Operações com intervalos

1. Intervalos Reais
Profº Ildálio Aguiar de Souza Santos

2. Intervalos
No conjunto dos números reais destacaremos alguns
subconjuntos importantes, determinados por
desigualdades, na qual determinamos de intervalos

3. Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:

4. Intervalos

5. Intervalos

6. Intervalos

7. Intervalos
Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8,
incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado:
Por exemplo, pense nos números 5 e 8.
Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo,
teremos um intervalo aberto:
Considerando ainda os intervalos mistos:

8. Intervalos
Outros exemplos:
]5, +∞[
] - ∞, 8[

9. Operações com intervalos

10. Intersecção de
Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números
reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,
fazer a sua intersecção.
A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um
conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.
Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos
alguns exemplos:

11. Intersecção de
Intervalos
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
Exemplo 1
Consideremos os intervalos ] [3,2A= - ] ]1,4B= -
Vamos determinarA BÇ
e
começando por fazer a sua
representação gráfica
A partir desta representação é possível observar que os
elementos comuns estão entre . 1- 2e

12. E o que podemos dizer relativamente aos extremos,
pertencem ou não à intersecção?
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
Intersecção de
Intervalos
Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem,
já que
1B- Ï 2AÏ
Então,
] [1,2A BÇ = -
e
21-

13. Intersecção de
Intervalos
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
- 2
Não existem elementos comuns aos dois intervalos.
A intersecção é assim um conjunto vazio
{}C D ouÇ = Æ
Sejam
Exemplo 2
Façamos a sua representação gráfica afim de determinar
4, 2Cé ù= - -
ë û
[ [1,D= +¥
C DÇ
e

14. Intersecção de
Intervalos
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
1
2
Exemplo 3
Dados os intervalos
1
,
2
E
ù ù
= - ¥
ú ú
û û
1
,3
2
F
é é
=
ê ê
ë ë
e
encontremos a sua intersecção.
A representação gráfica é
Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o
1 1 1
,
2 2 2
E F
é ù ì ü
Ç = = í ýê ú
ë û î þ
1
2
Logo,

15. Exemplo 4
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
0, 5
Dados os intervalos e procuremos a
intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
] ];0,5G= - ¥ ] ]0,5;3H=
Intersecção de
Intervalos
Agora não existem elementos que pertençam
simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a
mas não pertence a .
Assim,
0,5 G
H
[ [{}0,5;0,5G H ouÇ = = Æ

16. Exemplo 5
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
0, 5
Neste caso temos ,
Logo,
Assim,
H BÌ
Intersecção de
Intervalos
Dados os intervalos e procuremos a
intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
] ]0,5;3H=] ]1,4B= -
B H HÇ =
] ]0,5;3B HÇ =

17. Reunião de Intervalos
A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto
constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Isto significa que para que um dado elemento pertença ao
conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.
Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o
que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.
Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode
ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:

18. Reunião de Intervalos
Exemplo 1
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
Consideremos os intervalos
Comecemos por fazer a representação gráfica de e .
] ] ] ]2 1,4, BA = -= -¥
A
e
B
] ],4A BÈ = -¥
Assim,

19. Reunião de Intervalos
Exemplo 2
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
A
C
] [,A CÈ = -¥ +¥ = ¡
Neste caso verificamos que, unindo os elementos de
com os de obtemos todos os elementos de R .
Portanto:
Consideremos os intervalos
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação
gráfica, de e .
] ] [ [, 2,2 CA ¥ == - +¥
AC
e

20. Reunião de Intervalos
Exemplo 3
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
[ [ [ ]2, 3,0C DÈ = + ¥ È -
A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio.
Não nos é possível representar esta reunião sob a forma
de um único intervalo.
CD
Consideremos os intervalos
A representação gráfica destes dois intervalos é.
[ [ [ ]3 02, ,DC = -= +¥ e

21. Reunião de Intervalos
Exemplo 4
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
Atendendo a que temos que a reunião éD AÌ
] ],2A DÈ = -¥
Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio
conjunto . A
Consideremos os intervalos
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de
com .
] ] [ ]2 3,0, DA = -= - ¥
A
D
e

22. Diferença de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números
reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,
fazer a sua diferença.
A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, um
conjunto constituído pelos elementos de A que não estão em
B.
Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemos
alguns exemplos:

23. Diferença de Intervalos
- ¥ + ¥
-5-4-3-2-1012345
Exemplo 1
A partir desta representação é possível observar que os
elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .
Consideremos os intervalos ] [3,2A= - ] ]1,4B= -
Vamos determinarA BÇ
e
começando por fazer a sua
representação gráfica
A - B

24. E o que podemos dizer relativamente aos extremos,
pertencem ou não à diferença?
Diferença de Intervalos
Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não
pertence, já que
1B- Ï e