Operasi suku banyak atau polinom dan operasinya

Operasi suku banyak

1. Presentase KelompokPresentase Kelompok
SMA Negeri 2 MedanSMA Negeri 2 Medan
Dibimbing oleh : Bapak Syahrul,SpdDibimbing oleh : Bapak Syahrul,Spd
Operasi Pada Bentuk Operasi Pada Bentuk
AljabarAljabar

2. ALJABAR

Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam
Matematika.

Kata Aljabar berasal dari kata Al-Jabr yang diambil dari
buku karangan Muhammad Ibnu Musa Al-Khwarizmi
( 780-850 M ),yaitu Kitab Al-Jabr wa al-nuqabalah,yang
membahas tentang cara penyelesaian persamaan
persamaan aljabar.Pemakaian nama aljabar ini sebagai
penghormatan kepada Al-Khwarizmi atas jasa jasa nya
mengembangkan aljabar,melalui karya tulisannya.
Al-Khwarizmi adalah ahli matematika dan ahli
astronomi yang termahsyur yan tinggal di Baghdad (Irak)
pada permulaan abad ke-9.

3. Penjumlahan Dan Pengurangan Suku-Suku SejenisPenjumlahan Dan Pengurangan Suku-Suku Sejenis
1).Penjumlahan Suku-Suku Sejenis
Salah satu bentuk aljabar seperti, 5x
2
– 4xy+6y+3x
2
+7xy – 10y
dapat ditulis dalam susunan yang berbeda dengan mengelompokkan
Suku Suku Yang Sejenis,yaitu :
5x
2
–4xy +6y +3x
2
+7xy –10y
5x
2
+3x
2
–4xy +7xy +6y –10y
Oleh karena terdapat suku suku sejenis,maka bentuk aljabar
diatas dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan
menggunakan sifat distributif ac + bc = (a+b)c dan ac – bc = (a –
b)c,sehingga :
5x
2
+3x
2
= (5+3)x
2
5x
2
dan 3x
2
adalah suku suku sejenis
= 8x
2

- 4xy+7y = (-4+7)xy -4xy dan 7xy adalah suku suku sejenis
= 3xy
6y – 10y= (6 – 10)y 6y dan -10y adalah suku suku sejenis
= -4y
Jadi, 5x
2
– 4xy+6y+3x
2
+7xy – 10y=8x
2
+3xy – 4y
Suatu bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara
menjumlahkan suku suku yang sejenis.

4. Contoh Soal :
1.Sederhanakan bentuk berikut !
x
2
+3xy – 2y
2
– 2x
2
+3xy+y
2
Jawab : x
2
+3xy–2y
2
–2x
2
+3xy+y
2
: x
2
–2x
2
+3xy+3xy–2y
2
+y
2

: -x+6xy – y
2
2.Tentukanlah jumlah dari
a. 3x – 1 dan x – 3
b.

3x
2
– 4x+5 dan -7x
2
+2x – 8
Jawab :
a.(3x – 1) + ( x – 3) : 3x – 1+x – 3
: 3x+x – 1 – 3
: 4x – 4
b.(3x
2
– 4x+5)+(-7x
2
+2x – 8) : 3x
2
– 4x+5 – 7x
2
+2x – 8
: 3x
2
– 7x
2
– 4x+2x+5 – 8
: -4x
2
– 2x – 3

5. 2).Pengurangan Bentuk Bentuk Sejenis
Untuk memperoleh hasil pengurangan bentuk bentuk aljabar,digunakan
sifat distributif a(b+c)=ab+ac dan a(b – c)=ab – ac.
Selain itu perlu diingat pula hasil perkalian dua bilangan,yaitu :
(i). Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif,
(ii). Hasil kali bilangan positif dengan bilangan negatif adalah bilangan
negatif,dan
(iii). Hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif.
Dengan menggunakan ketentuan diatas,bentuk perkalian dalam aljabar
dapat diuraikan menjadi bentuk lebih sederhana.
Contoh Soal :
1.Sederhanakanlah 8 – 3(2x+7) !
Jawab : 8 – 6x – 21
: - 6x + 8 – 21
: -6x – 13
2.Kurangkanlah 5x – 3 dari 9x – 6,kemudian sederhanakan hasil nya !
Jawab : (9x – 6) - ( 5x – 3) : 9x – 6 – 5x +3
: 9x – 5x – 6+3
: 4x - 3

6. Pemfaktoran
1). Pemfaktoran dengan Hukum Distributif
Telah dipelajari bahwa hukum distriibutif dapat dinyatakan sebagai
berikut:
ab+ac = a(b+c),dengan a,,b,,dan c sembarang bilangan nyata.

bentuk penjumlahan bentuk perkalian
Bentuk diatas menunjukkan,bahwa suatu bentuk penjumlahan dapat
dinyatakan sebagai bentuk perkalian suku suku dalam bentuk penjumlahan memiliki
faktor yang sama (faktor persekutuan).
Menyatakan bentuk penjumlahan suku suku menjadi bentuk perkalian
faktor disebut memfaktorkan.
Dengan demikian,bentuk ab+ac dengan faktor persekutuan a dapat
difaktorkan menjadi a(b+c)sehingga terdapat dua faktor,yaitu a dan b+c.
a (b+c)

a b+c
Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk
perkalian.
bentuk penjumlahan suku suku yang memilki faktor yang sama dapat
difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif.

7. 2). Pemfaktoran bentuk x
2
+2xy+y
2
dan x
2
– 2xy + y
2
Pada bahasan sebelum telah dipelajari bahwa pengkuadratan suku dua
dijabarkan seperti berikut :
(x+3)
2
= x
2
+6x+9
(3x – 4)
2
= 9x
2
– 24x+16
Dari contoh diatas,diperoleh bahwa hasil pengkuadratan suku dua
menghasilkan suku tiga dengan ciri ciri :
(i). Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat
(ii). Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan
akar kuadrat suku ketiga.
x
2
+6x+9 9x
2
– 24x +16
(x)
2
(3)
2
(3x)
2
(4)
2
2(x)(3) 2(3x)(4)
Dengan demikian,kedua bentuk penjumlahan diatas dapat difaktorkan dengan
cara sebagai berikut:
1. x
2
+6x+9 = (x)
2
+2(x)(3)+(3)
2
= (x+3)
2
2.9x
2
– 24x+16 = (3x)
2
– 2(3x)(4)+(4)
2
= (3x – 4)
2
x
2
+ 2xy + y
2
= (x+y)
2
x
2
– 2xy + y
2
= (x – y)
2

8. 3). Pemfaktoran bentuk ax
2
+bx+c dengan a=1
Pada bahasan ini,akan dipelajari pemfaktoran bentuk ax
2
+bx+c dengan
a=1.misalnya, bentuk seperti berikut:
X
2
+10x – 21, berarti a = 1,b =10 ,dan c = -21
X
2
– 12x+20, berarti a = 1,b = -12,dan c= 20
Pada bentuk ax
2
+bx+c, a disebut koefisien x
2 ,
b koefisien x,dan ,c bilangan
konstan (tetap).
Untuk x
2
+10x – 20,maka koefisien x
2
= 1,koefisien x = 10,dan -21 adalah bilangan
konstan.
Untuk x
2
– 12x+20,maka koefisien x
2
= 1,koefisien x = -12,dan 20 adalah bilangan
konstan.
Ternyata memfaktorkan bentuk x2+bx+c dapat dilakukan dengan cara
menetukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut:
(i).bilangan konstan c merupakan hasil perkalian
(ii).koefisien x,yaitu b merupakan hasil penjumlahan
Pemfaktoran bentuk x
2
+bx+c adalah :
x
2
+bx+c = (x+p)(x+q)
dengan syarat c = p x q dan b = p + q

9. Pecahan Dalam Bentuk Aljabar
1). Menyederhanakan Pecahan Dalam Aljabar
Telah dikemukakan bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan
dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol,maka diperoleh pecahan baru yang
senilai,tetapi menjadi lebih sederhana.Misalnya:
= =

Dengan demikian,jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor
yang sama,maka pecahan tersebut dapat disederhanakan.Hal ini berarti ,bahwa untuk
menyederhanakan pecahan aljabar,harus diingat kembali berbagai bentuk aljabar yang
dapat difaktorkan beserta aturan pemfaktorannya.
Contoh :
1. x
2
+x – 6 , sederhanakan !
2x
2
+6x
x
2
+x – 6 (x+3)(x – 2) pembilang dan penyebut dibagi dengan x+3
2x
2
+6x 2x(x+3)
x – 2
2x

24
18
64
63
x
x
4
3

10. Dalam menyederhanakan pecahan aljabar,kadang
kadang harus digunakan lawan suatu bentuk aljabar,yaitu
–(a – b)= b – a sebagai salah satu langkah dalam
menyederhanakan pecahan.
Contoh :
2. 2 – x 2 – x 3. x
4
– 1 (x
2
+1)(x
2
– 1)
x
2
– 4 (x+2)(x - 2) 2 – 2x
2
2(1 – x
2
)
-(x – 2) (x
2
+1)(x
2
- 1)
(x+2)(x – 2) -2(x
2
– 1)
-1 x
2
+1
x+2 -2
1 x
2
+1
x+2 2

11. 2).Menyederhanakan Pecahan Bersusun
Suatu pecahan yang pembilang atau penyebut atau
keduanya memuat pecahan disebut Pecahan Bersusun,misalnya :

+ atau 1+
a
2
– b
2

Pecahan bersusun dapat disederhanakan dengan mengalikan pembilang
dan penyebut dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut pecahan
yang terdapat pada pembilang maupun penyebut pecahan bersusun.dengan demikian
pembilang maupun penyebut pecahan bersusun tidak lagi memuat pecahan.
Contoh :
2.Sederhanakanlah 1+ 1/3
½ - ¼
Jawab : 1+1/3 = 12(1+1/3) = 12+4
½ - ¼ 12( ½ - ¼ ) 6 – 3
= 16/3
= 5 1/3

a
1
b
1
a
1
b
a
a
b

12. 3). Penjumlahan,Pengurangan,Perkalian,dan Pembagian
Telah dipelajari bahwa pecahan pecahan yang
penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara
menjumlahkan atau mengurangkan pembilang pembilangnya.
Namun dalam perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan
mengalikan pembilang dengan pembilang,dan penyebut dengan penyebut.untuk
pembagian dua pecahan,telah dibahas bahwa membagi dengan suatu pecahan
sama dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya.
Contoh :
1. 2x – 1 – 2(2x+1) ,sederhanakanlah !
4 3
Jawab : 2x – 1 – 2(2x+1) = 3(2x – 1) – 4(2)(2x+1)
4 3 4(3) 3(4)
= 6x – 3 – 8(2x+1)
12 12
= 6x – 3 – 16x – 8
12
= -10x – 11
12