P2. Dasar-dasar Fisika Kuantum pertama.pdf

Dasar dasar Fisika Kuantum

1. DASAR-DASAR FISIKA
KUANTUM
QonitatulHidayah, M.Sc

2. PersamaanGelombang
Tinjaulahgetaransebuahkawatyangdiregangsepanjangsumbu-x
dengankeduaujungnyadibuattetap.Misalkansimpanganpada
sembarangposisidanwaktuadalah��,�.Fungsiinidisebutfungsi
gelombang.Dalamteorigelombangsimpanganitumemenuhi
persamaangelombangseperti:
�
2
��,�
��
2
=
1
??????
2
�
2
��,�
��
2
Jikamisalkan��,�=��??????(�)(2),maka
??????
2
��
�
2
�(�)
��
2
=
1
??????(�)
�
2
??????(�)
��
2
=−�
2
vadalahkecepatanfasa
(1)
(3)

3. Pemberian−�
2
dapatdilakukankarenatelahterjadipemisahanvariabelx
danvariabelt.Jadi,persamaan(3)itudiperolehduapersamaan
ⅆ
2
????????????
ⅆ??????
2
+�
2
??????�=0(4)
ⅆ
2
????????????
ⅆ??????
2
+
�
2
??????
2
??????�=0(5)
Persamaan(4)mempunyaisolusiumum:
??????�=??????ⅇ
−ⅈ�??????
(6)
dimana�=2????????????,fadalahfrekuensi,karenavadalahkecepatanmerambat
makapanjanggelombang??????=Τ
??????
??????.Fungsigelombang(2)menjadi
??????�,�=??????�ⅇ
−ⅈ�??????
Selanjutnya,persamaan(5)mempunyaisolusiumum:
??????�=�sin
2??????
??????
�+�cos
2??????
??????
�(7)

4. UntukmenentukankonstantaCdanDdiperlukansyaratbatas,misalnya
untukfungsitersebut,padax=0,danx=LdenganLadalahpanjang
kawat.Andaikan,untukx=0,??????0=0makaD=0,danpers.(7)menjadi
??????�=�sin
2??????
??????
�(8)
Selanjutnyajikadiambilsyaratbatasdix=L,(L)=Csin(2L/)=0,maka
sin(2L/)=0,sehingga:
2�
??????
=�;�=1,2,…(9)
Bilanganndisebutnomormodusnormal.Akhirnyapersamaan(8)dapat
dituliskan
??????
��=�sin
�??????
�
�(10)
Subtitusipers(9)dan(6)kepers(2)menghasilkan
??????
��,�=??????sin
�??????
�
�ⅇ
−ⅈ�??????
(11)
Persamaaninimenggambaransimpanganmodusnormalgetarankawat.

5. PersamaanSchrodinger
Schrodinger(1926)menggunakansifatgelombangdeBrogliesuatu
partikeldalampersamaangelombang(5).Jikamomentumpartikel
adalahp,makapanjanggelombangnyaadalah??????=Τℎ??????.Karena
kecepatan??????=????????????maka
??????=
ℏ�
??????
(2.1)
Dimanaℏ=Τℎ2??????dan�=2????????????.Dengandemikianmakapersamaan
gelombang(5)menjadi
ⅆ
2
????????????
ⅆ??????
2
+
??????
2
ℏ
2
??????�=0(2.2)
TetapikarenaenergikinetikpartikeladalahK=
??????
2
2�
(2.3),makapers.
(2.2)menjadi
ⅆ
2
????????????
ⅆ??????
2
+
2��
ℏ
2
??????�=0(2.4)

6. JikaenergipotensialyangdimilikipartikeladalahV,makaenergi
partikelituadalah
E = K + V (2.5)
dengandemikian,makapersamaangelombang(2.4)menjadi
ⅆ
2
????????????
ⅆ??????
2
+
2�
ℏ
2
�−????????????�=0(2.6)
Disebutpers.Schrodingeryangtidakbergantungwaktu.Untuk3
dimensipersamaanSchrodingeradalah
�
2
φ(x,y,t)+
2�
ℏ
2
�−????????????�,�,�=0 (2.7)
Solusipers.ItuadalahenergiEdanfungsigelombang??????�.Untuk
menyelesaikanpersitudiperlukansyaratbatasbagifungsigelombang
??????�.SyaratbatasinibisaditentukanjikabentukenergipotensialV
diketahuisebelumnya.

7. Pers.Schrodinger(2.6)untuk1dimensidapatdituliskan
−
ℏ
2
2�
ⅆ
2
ⅆ??????
2
+??????�??????�=�??????�(2.8)
Untukitunyatakanlah
෡??????=−
ℏ
2
2�
ⅆ
2
ⅆ??????
2
+??????�(2.9)
Sehinggapers(2.8)menjadi
෡????????????�=�??????�(2.10)
෡??????disebutHamiltonianpartikelyangmerupakanoperatorenergidari
partikel.Untukkasus3dimensiHamiltonianituadalah
෡??????=−
ℏ
2
2�
�
2
+??????�,�,�(2.11)

8. Analogidenganfisikaklasik,E=K+V,maka−Τℏ
2
2��Τ
2
�??????
2adalah
operatorenergikinetikdanVadalahoperatorenergipotensialdari
partikel.Fungsigelombangpartikelbisadituliskanseperti
??????�,�=??????�ⅇ
−ⅈ????????????/ℏ
(2.12)
Jikaoperator෡??????dioperasikanpadafungsilengkapitumaka
෡????????????�,�=෡????????????�e
−ⅈ????????????/ℏ
=�??????�e
−ⅈ????????????/ℏ
=??????ℏ
�
��
??????�,�
Persamaanini??????ℏ
�
�??????
??????�,�=෡????????????�,�(2.13)
disebutpersamaanSchrodingeryangbergantungwaktu.

9. Denganfungsigelombang??????�dapatdinyatakankerapatanpeluang
untukmenemukanpartikelitudiposisixdalamrentangdx,yakni
??????�
2
ⅆ�sehinggaberlaku
න
−∞
+∞
??????�
2
ⅆ�=1 (2.14)
Pers.tsbmenyatakanfungsigelombangpartikelternormalisasi.

10. Contoh:
Diantarafungsi-fungsiAsinax,BcosbxdanCe
ax
yangmanakah
fungsieigendarioperator
ⅆ
ⅆ??????
ⅆ��
ⅆ
2
????????????
2
dantentukannilaieigen
bersangkutan

11. JelasbahwaAsinax,BcosbxdanCe
ax
adalahfungs-fungsi
eigendarioperatormasing-masingdengannilaieigen
−�
2
,−�
2
ⅆ���
2
.
ⅆ
2
ⅆ�
2

12. Sifat-sifatFungsiGelombang
Untukfungsigelombangpartikelyangtidakbergantungwaktu,ψ(x),
|ψ(x)|
2
dxdisebutpeluangmenemukanpartikeldiantaraxdanx+dx
|ψ(x)|
2
rapatpeluangpartikelberadadix.Totalpeluanguntuk
menemukanpartikelitudisepanjangsumbu-xadalah
׬
−∞
+∞
??????
∗
�??????�ⅆ�=׬
−∞
+∞
??????�
2
ⅆ�=1 (3.1)
Fungsiψ(x)yangmemenuhipersamaandiatasdisebutfungsiyang
dinormalisasi.

13. Suatufungsigelombangpartikelharusmemilikikelakuanyangbaik,
yakni:
•Tidaksamadengannoldanbernilaitunggal,artinyasuatuharga
x,ψ(x)memilikihanyasatuhargasaja.
•Fungsidanturunannyakontinudisemuahargax,dan
•Fungsi(hargamutlaknya)tetapterbatas(finite)untukxmenuju
±∞

14. Contoh:
Perhatikanfungsigelombangdalampersamaan
??????
��=�sin
�??????
??????
�
Normalisasinyaharusmemenuhi
න
−∞
+∞
??????�
2
ⅆ�=�
2
න
0
�
sin
2
�??????
??????
�ⅆ�=1
sin
2
=(1-cos2)/2,makahasilintegraldiatasadalahC
2
(L/2)=1
sehinggaC=
Jadisecaralengkapfungsiyangdinormalisasiadalah??????
��=
2
�
sin
�??????
�
�
Berdasarkanintegraldiatas,makauntukdaerah�≤??????ⅆ���≥
??????,ln�=0.
2/??????

15. Suatufungsigelombangyangdinormalisasidapatdinyatakansebagai
kombinasilinierdaribeberapafungsiyangmasing-masing
dinormalisasijuga.Jikaψ(x)adalahkombinasilinierdarisekumpulan
fungsi-fungsi??????
��,makapenulisannyasecaraumumadalahseperti
??????�=σ
��
�??????
��(3.2)
c
nadalahkoefisienbagifungsi
n(x)yangbisarilataukompleks.
Koefisienitumemenuhiintegralseperti
�
�=׬
−∞
+∞
??????
�
∗
�??????�ⅆ�(3.3)
Jikafungsi-fungsi??????
��selainternormalisasijugaorthogonalsatu
samalainmakaberlaku
න
−∞
+∞
??????
�
∗
�??????
��ⅆ�=??????
��(3.4)
danσ
��
�
∗
��=1(3.5)

16. Contoh:
Misalkanfungsi??????�=ቊ
�,0≤�≤Τ??????2
??????−�,Τ??????2≤�≤??????
Jika??????�=σ
��
�??????
��;??????
��=
2
�
sin
�??????
�
�Tentukanlahharga-
hargakoefisien�
�.
Fungsi??????0=0ⅆ��????????????=0;harga-hargainisamadengan
??????
�0=??????
�??????=0;??????�dan??????
��memilikisyaratbatasyang
samasehingga??????�dapatdinyatakansebagaikombinasilinierdari
fungsi-fungsi??????
��.

17. Makafungsi??????�sebagaikombinasilinierdarifungsi-fungsi??????
��
adalah
??????�=
2??????
Τ32
??????
2
෎
�
1
�
2
sin
�??????
2
Jika??????
��fungsi-fungsinonorthogonal,makasecaraumum
׬
−∞
+∞
??????
�
∗
�??????
�
∗
�ⅆ�=??????
��
σ
���
��
��
��=1
Untukmemudahkanpenulisan,fungsi-fungsidituliskandalamket
seperti|ۧ??????
�dankonjugasinyadalambrasepertiൻ??????
�|.Integral
dituliskan
න
−∞
+∞
??????
�
∗
�??????
��ⅆ�=??????
�|??????
�
(3.6)

18. Operator Fisis
Setiapbesaranfisissuatupartikeldikaitkandenganoperatornya;
misalnyaoperatorbagienergitotaladalah෡??????yangdidalamruang
adalah
෡??????=−
ℏ
2
2�
�
2
+??????
Energitotalpartikelsebagaijumlahenergikinetikdanenergipotensial
disebutHamiltonianpartikel.
Operator energipotensial
Operator energikinetik
(4.1)

19. Bagioperatorbesaranfisisberlakuistilahpengertianberikut:
•Hargasuatubesaranfisisadalahnilaieigendarioperatornya
•Nilaieigendarisuatuoperatorbesaranfisisberkaitandengansuatu
fungsieigen;nilaieigenadalahril.
Persamaanhargaeigen:
Hˆ
( x) =E(x)
fungsieigenpartikel
nilaieigen;energipartikel
operatorenergitotal,disebuthaamiltonianpartikel
•Hargarata-ratasuatubesaranfisispadafungsikeadaannya
memenuhipersamaan
መ??????adalahoperatorbesaranfisis,dan??????adalahhargarata-ratanya
denganfungsigelombang(keadaan)partikelbersangkutanyang
ternormalisasi.
(4.2)
(4.3)??????=න
−∞
+∞
??????
∗
�መ????????????�ⅆ�

20. Jikafungsiitubelumternormalisasi,makahargarata-rataituharus
diungkapkansebagaiberikut:
??????=
׬
−∞
+∞
??????
∗
�መ????????????�ⅆ�
׬
−∞
+∞
??????
∗
�??????�ⅆ�
Tinjausuatuoperatorbesaranfisisdaripartikel,misalnyaመ??????,yang
mempunyaisekumpulannilaieigen�
�masing-masingdenganfungsi-
fungsieigen??????
��yangortonormal,makapersnilaieigenadalah
መ????????????
��=�
�??????
��
Jikafungsikeadaanpartikel??????�merupakankombinasilinierdari
fungsi-fungsieigentesebutmakaakandinyatakan
??????�=෍
�
�
�??????
��
(4.4)
(4.5)
(4.6)

21. Dengandemikianmakahargarata-rataoperatorመ??????dalamkeadaanitu
adalah
??????=න??????
∗
�መ????????????�ⅆ�
=෍
��
�
�
∗
�
�න??????
�
∗
�መ????????????
��ⅆ�
=෍
��
�
�
∗
�
��
�න??????
�
∗
�??????
��ⅆ�
=෍
��
�
�
∗
�
��
�??????
��=෍
�
�
�
2
�
�
Karenahargarata-ratasuatubesaranfisisadalahrilmakaberlaku
න�
∗
�መ??????��ⅆ�=නመ??????��
∗
��ⅆ�
Secaramatematik,operatoryangmemenuhipersamaandiatas
disebutoperatorhermitian.
(4.7)
(4.8)