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Física del estado Solido.

1. Paramagneto cuántico y su
límite clásico
Andres Felipe Valencia F.
Estado Sólido
Universidad del Valle, departamento de Física,
760032, Cali, Colombia
Dic 4, 2024

2. ÍNDICE
1. Introducción al paramagnetismo.
1.1 Definición.
1.2 Modelo de Dipolos en un campo magnético. Ensamble Canónico.
1.3 Modelo clásico de Langevin.
1.4 Paramagneto de spin ½ . Gas ideal.
2. Paramagnetismo de Pauli.
2.1 Corrección cuántica al gas ideal. Gas de fermiones.
2.2 Gas de fermiones con campo magnético.
2.3 Desarrollo de Sommerfeld.
3. Límite Clásico del Paramagneto Cuántico.
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-Salinas, S. R., & Salinas, S. R. (2001). Introduction to Statistical Methods.Introduction to Statistical Physics, 1-17.
-Grosso, G., & Parravicini, G. P. (2013).Solid state physics. Academic press.
-Lectures Mecánicaestadística-Instituto Balseiro.

3. INTRODUCCIÓN AL PARAMAGNETISMO
▪El paramagnetismo ocurre en materiales donde los momentos magnéticos de los
átomos, moléculas o iones son independientes y no interactúan significativamente entre
sí, estos momentos magnéticos tienen su origen en los espines de electrones
desapareados.
▪ Cuando se aplica un campo magnético externo, estos momentos tienden a alinearse en
la dirección del campo, generando una magnetización neta proporcional al campo.
Paramagnetismo. (2023, 19 de mayo). Wikipedia, La enciclopedia libre 3/25

4. MODELO DE DIPOLOS EN UN CAMPO
MAGNÉTICO
Paramagnetismo desde el ensamble canónico:
▪El ensamble canónico nos permite describir el
paramagnetismo, asumiendo un hamiltoniano
clásico, para � dipolos magnéticos, dado por:
❑Pueden orientarse libremente.
❑Son independientes (no interactúan entre sí).
❑Están localizados (son distinguibles)
Premisas
Construcción del hamiltoniano
❑Aparte de la agitación térmica, los dipolos son prácticamente estáticos, de modo que
el hamiltoniano no contiene términos cinéticos.
❑Se debe asegurar la menor energía para dipolos paralelos a ??????.
❑La energía debido a la interacción de los dipolos con el campo externo (sobre el eje ??????) en
buena aproximación es:
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5. Función de partición
Sobre estados
posibles
▪Consiste en suponer que todos los dipolos admiten cualquier orientación.
Esto es, ??????
??????= ?????? cos??????
MODELO DE DIPOLOS EN UN CAMPO
MAGNÉTICO
Modelo clásico de Langevin:
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6. ▪Se sigue para el momento magnético medio por dipolo:
Donde se define la
función de Langevin:
Magnetización:
MODELO CLÁSICO DE LANGEVIN
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7. ▪Cuando ??????→∞ entonces??????
??????→?????? , esto es todos los dipolos están alineados con el
campo magnético externo.
▪Cuando ??????→0 o T→∞ entonces??????
??????≈
?????? ??????
????????????
~
1
??????
, que es la ley de Curie observada
experimentalmente.
Magnetización Susceptibilidad
Ley de Curie
Modelo clásico de Langevin:
MODELO CLÁSICO DE LANGEVIN
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8. 8/25
PARAGMANETO DE SPIN ½ IDEAL
▪Un caso concreto se da para un gas ideal de � partículas magnéticas localizadas de spin
½ en presencia de un campo magnético aplicado ??????.
Función de partición
Con la función de partición podemos establecer
una conexión con la termodinámica
❑Energía magnética libre por partícula:
❑Magnetización por partícula
❑Susceptibilidad magnética

9. El modelo solo tendrá sentido cuando los elementos magnéticos estén
suficientemente separados y/o la temperatura sea lo suficientemente alta para que la
energía de interacción dipolo-dipolo sea despreciable respecto a la energía térmica.
A bajas temperaturas se hacen importantes
las interacciones entre los dipolos.
Limitaciones
MODELO CLÁSICO DE LANGEVIN
Se refiere en este contexto a “Limite Clásico”, cuando un sistema en estas condiciones se
rige por la estadística de Maxwell – Boltzmann, y no se diferencia entre bosones y fermiones.
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10. CORRECCIÓN CUÁNTICA AL GAS IDEAL
▪ Las consecuencias de la cuantización → influencia en las propiedades
macroscópicas.
▪Las partículas son ahora indistinguibles (todas las partículas pueden estar en los
mismos estados cuánticos).
▪ El principio de exclusión de Pauli: Para conjuntos de partículas idénticas, Ψ solo
puede ser simétrica o antisimétrica bajo permutaciones de 2 partículas.
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11. CORRECCIÓN CUÁNTICA AL GAS IDEAL
Estadística de Fermi-Dirac y Bose-Einstein:
▪Gran función de partición para el estado ?????? de una partícula a temperatura ?????? y
potencial químico ?????? fijo.
▪Número medio de partículas por estado ??????.
c
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12. CORRECCIÓN CUÁNTICA AL GAS IDEAL
Gas de fermiones:
▪Se puede obtener la corrección a la ecuación de gas ideal, que proviene de acercarse al
limite clásico desde la estadística cuántica:
Distribución de fermi
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13. CORRECCIÓN CUÁNTICA AL GAS IDEAL
▪En el limite ??????→0:
▪Número total de partículas:
Energía de fermi
Densidad de estados
c
Gas de fermiones a temperatura cero:
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14. CORRECCIÓN CUÁNTICA AL GAS IDEAL
▪En el limite ??????→0:
▪Energía (degenerada):
c
Cada nivel energético se puede
ocupar un factor de ??????
� veces.
Para el caso especifico de spin ½, cada
nivel se ocupa con dos estados. Y se llena
parejo hasta alcanzar la energía de fermi.
Gas de fermiones a temperatura cero:
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15. ▪Ahora consideremos el mismo sistema, pero añadiendo un campo magnético,
para romper el degeneramiento de spin ½ .
GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
▪La densidad de estados se ve modificada, ya que las energías se corren ±???????????? .
En la densidad de estados ya no se incluye
el factor ??????
� ya que estamos considerando
cada grado de libertad por separado,
puesto que aportan energías distintas.
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16. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
▪Ahora calculemos el numero de partículas:
▪La densidad de estados total será simplemente la suma de la densidad de
estados con spin arriba y abajo.
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17. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
▪Ahora calculemos el numero de partículas.
▪Para obtener la energía en función de �,
hacemos un limite para campos pequeños ??????→0
▪Conociendo la energía de fermi a campo cero,
podemos hacer:
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18. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
▪Ahora calculemos el numero de partículas.
Aproximaciones
c
▪Conociendo también el numero de partículas
a campo cero:
▪De aquí podemos despejar ??????(??????).
▪Y obtener la energía de fermi.
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19. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
▪Calculamos la magnetización.
Aproximaciones
c
Haciendo aproximación
a segundo orden La respuesta de un gas de fermiones (en
este caso para electrones spin ½ ) es
conocido como Paramagnetismo de Pauli.
▪Hasta aquí se solo se ha considerado temperatura cero. Para explorar el
comportamiento del gas a temperaturas finitas (pero cercanas a cero) se emplea
las correcciones de Sommerfeld.
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20. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
Desarrollo de Sommerfeld:
▪Arrancamos de forma similar, calculando el numero de partículas y la energía.
▪Se utilizan unos cuantos artilugios matemáticos para resolver la integral.
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21. GAS DE FERMIONES CON CAMPO MAGNÉTICO
Desarrollo de Sommerfeld:
▪Obtenemos la siguiente expresión para �, y de forma similar para la Energía.
▪Usando la densidad de estados anterior, y la aproximación del potencial
químico a temperatura cero.
▪De forma similar podemos encontrar la corrección ??????.
c
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22. LÍMITE CLÁSICO DEL PARAMAGNETO CUÁNTICO
▪En este limite (altas temperaturas), la distribución de Fermi-Dirac
se aproxima a la distribución clásica de Boltzmann.
c
▪Con esta aproximación �
+ y �
− toman la forma;
▪Y el calculo de la magnetización queda como;
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23. LÍMITE CLÁSICO DEL PARAMAGNETO CUÁNTICO
▪El numero de partículas se calcula de forma similar;
c
▪Al combinar esta expresión con la de la magnetización se elimina ??????, y se obtiene;
▪Permitiendo encontrar la susceptibilidad, y evidenciar nuevamente la ley de Curie
en este régimen.
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24. Característica ParamagnetismoClásico Paramagnetismode Pauli
Origen físico MomentosmagnéticosintrínsecosElectronesde conducción(espines)
Sistema típico Iones, moléculas Metalescon electroneslibres
Estadísticarelevante Boltzmann Fermi-Dirac
Dependencia con la densidad de estados No relevante Proporcional a �(�
??????)
Ejemplo �??????
3
+�
2 �??????,�??????,�??????
CONCLUSIONES
Condición/limite ParamagnetismoClásico Paramagnetismode Pauli
Campo magnético??????→??????
�→0, ya que los momentos están
distribuidos aleatoriamente sin
campo
�→0, porque el desbalance entre
espines ↑ y ↓ es inexistente sin campo.
Campo magnético??????→∞
Magnetización �→�
�??????�, todos los
momentos se alinean con el campo.
Magnetización �∝�, permanece
lineal porque el desbalance está
restringido por la densidad de estados
�(�
??????).
Temperatura ??????→∞ �∝1/??????, siguela ley de Curie �∝1/??????, siguela ley de Curie
Temperatura ??????→?????? No da unabuenadescripción �∝�??????
2

25. GRACIAS