圏論メモ_対角関手.pdf 任意の圏𝑪の任意の対象は 圏𝟏からの関手であり、そして対象間の射は自然変換とみなせることの説明

圏論メモ_対角関手.pdf

任意の圏𝑪の任意の対象は
圏𝟏からの関手であり、そして対象間の射は自然変換とみなせることの説明

1. 圏論メモ
2025August 28
任意の圏 �の任意の対象は
圏??????からの関手であり、そして対象間
の射は自然変換とみなせることの説明
1

2. この資料の構成
[1] 一般的な圏の定義 (圏の対象、射などの定義 )を説明する。
[2] 圏??????の定義を説明する。
[3] 圏の間の関手の定義を説明する。
[4] 関手と関手の間の射 (自然変換)を説明する。
[5] 任意の圏の任意の 対象�は、圏??????からの関手 Δ
??????�とみなせること
を説明する。
[6] 圏の任意の 対象�,�の任意の射 �は圏??????からの関手 Δ
??????�,Δ
??????�の間の
射(自然変換)とみなせることを説明する。
2

3. 圏�
対象(Object)の集合 、対象の間の射 (Morphism)、
2つの射に関する 合成∘が定義され、 合成∘に関して結合法則を満たし、
各対象Ob�∋�毎に恒等射 ????????????
�が定義されている概念を圏 �という
Ob�=�,�,�,�,…
Mor
��,�=�,�,ℎ,…,�,�∈Ob�
恒等射の合成を以下で定義する。
id
X∘id
�=id
��∈Ob�
結合法則は次ページに記載
[1] 一般的な圏の定義 (圏の対象、射などの定義 )を説明する
3

4. 圏�の射の結合法則
�∈Mor
��,�,�∈Mor
��,�,ℎ∈Mor
�(�,�)
圏�
�
�∘�∘ℎ=�∘�∘ℎ
����
�ℎ
�∘�
�∘ℎ
[1] 一般的な圏の定義 (圏の対象、射などの定義 )を説明する
4

5. 圏??????
対象(Object)が1つのみ、射(Morphism)が恒等射のみ の圏
Ob??????=??????
Mor
????????????,??????=id
??????
数式で書くと以下のようになる。
恒等射の合成を以下で定義する。
id
??????∘id
??????=id
??????
[2] 圏??????の定義を説明する。
5

6. 圏??????の恒等射の合成
??????
id
??????
圏??????
id
??????
id
??????∘id
??????=id
??????
?????? ??????
[2] 圏??????の定義を説明する。
6

7. 関手の定義
圏�,�の間の関手 �を以下で定義する。
Ob�∋�↦��∈Ob�
[1] 関手�は圏�の対象�を、圏�の対象��に写す
�∈??????????????????
��,�,�∈??????????????????
��,�
??????????????????
��,�∋�∘�↦
��∘�=��∘��∈??????????????????
���,��
[2] 関手�は圏�の射を、圏 �の射に以下のように整合的に写す
(次ページの図も参照 )
[3]圏の間の関手の定義を説明する
7

8. [2] 関手�は圏�の射を、圏 �の射に以下のように整合的に写す
�∈??????????????????
��,�,�∈??????????????????
��,�
圏�
�
���
�
�∘�
圏�
��
��
��
��∘�=��∘��
����
関手�
[3]圏の間の関手の定義を説明する
8

9. 圏�と圏�の間の関手�,�の間の自然変換
??????:�⟹�(??????
�:��↦��)の定義
��
??????�
��
��
??????�
�(�)
����
��∘??????
�=??????
�∘��
が成立するとき、
??????を関手�,�の間の自然変換と呼ぶ
圏�
�
�
�⟹
圏�
[4] 関手と関手の間の射 (自然変換 )を説明する
9

10. 圏�と圏�の間の関手 �,�の間の自然変換 ??????:�⟹�
自然変換は圏�
�
の射である
自然変換??????:�⟹�のような図 (ペースト図 )で表すこともある
⟹�
�
�
??????
�
[4] 関手と関手の間の射 (自然変換 )を説明する
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11. 圏�の任意の対象 �∈Ob�は、圏??????からの関手 Δ
1�とみなせる
id
??????∈??????????????????
�??????,??????
圏�
関手Δ
1�
??????
id
??????
圏??????
??????
id
??????
??????
id
�
���
id
�
id
�∘id
�=id
�
id
??????∘id
??????=id
??????
[5] 任意の圏の任意の 対象�は、圏??????からの関手 Δ
??????�とみなせることを説明する。
11

12. �↦
??????
�
Δ
1�=id
�
id
�∘�=�∘id
�
が成立するので、
�は関手Δ
1�,Δ
1�の間の自然 変換である
圏??????
??????
??????
id
??????⟹
圏�
[5] 圏の任意の 対象�,�の任意の射 �:�→�は圏??????からの関手 Δ
??????�,Δ
??????�の間の射
(自然変換�:Δ
??????�⟹Δ
????????????)とみなせることの説明
Δ
1�=id
�
�↦
??????
�
12

13. ⟹??????�
Δ
??????�
Δ
??????�
�
∴圏の任意の対象 �,�の任意の射 �は
圏??????からの関手 Δ
??????�,Δ
??????�の間の射(自然変換 )である
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