[Pds] Transformada Z

Explicação sobre Transformada Z sobre o olhar de Processamento Digital de Sinais

1. A Transformada Z
Cássio Santos, Daniel Andrade e Victor Oliveira
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2. Roteiro
●Introdução
●Exponenciais complexas como autofunções de sistemas
●A Transformada Z
●Relação com a transformada de Fourier
●Convergência
●Propriedades
●Aplicações práticas

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3. Introdução
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4. Introdução
-A transformada de Fourier não converge para todas as sequências
-Não converge para todas as sequências (ex: função degrau)
-Limitada a sinais absolutamente integráveis

-Contrapartida da Transformada de Laplace para sinais discretos no tempo
-Representação de diversos sinais para os quais não existe DTFT
-Para resolução analítica, é mais conveniente usar a representação Z
-Pode ser utilizada para a análise de sinais instáveis
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5. Exponenciais complexas como autofunções de SLIT
●Em tempo contínuo, uma exponencial complexa aplicada a um SLIT resulta
em na convolução da mesma pelo sistema:
Entrada

Figura 3: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.
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6. Exponenciais complexas como autofunções de SLIT

●Analogamente em um sistema de tempo discreto temos:
○Entrada:
6
Figura 4: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.

7. Definição
-A transformada Z de um sinal arbitrário x[n] é definida como:


-Onde z é uma variável complexa e contínua.
-A relação de correspondência entre a sequência e sua transformada Z é
denotada por:
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8. Definição
-A equação anterior é conhecida como transformada Z bilateral, ou
transformada Z de dois lados;
-A transformada Z unilateral ou de um lado é definida por:


-A equivalência entre ambas transformadas acontece quando x[n] = 0 para
n < 0.
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9. Relação entre T. Laplace e a FT
9

10. Relação entre T. Laplace e a FT

-A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
10
,

11. Relação entre T. Laplace e a FT
-A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
comparando
FT
11

12. Relação entre T. Laplace e a FT
-A FT é um caso especial da Transformada de Laplace
12
,

13. Relação entre T. Laplace e a FT
13
Plano S Figura 5: Relação entre T. Laplace e a FT no
plano S

14. Relação entre Transformada Z e a DTFT
14

15. Relação entre Transformada Z e a DTFT
15
,

16. Relação entre Transformada Z e a DTFT
comparando
DTFT
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17. O Plano Z
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●A DTFT é um caso especial da
Transformada Z
○No perímetro do círculo unitário (r = 1), a
Transformada Z é igual a DTFT
Figura 1: Equivalêcia da Transformada Z e da
DTFT no plano Z

18. Região de Convergência
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19. -A transformada Z não converge para todas as sequências
-A transformada deve ser absolutamente somável




-A TZ pode convergir mesmo se a FT não convergir
-Devido a exponencial real r
-n
(ex: r>1)
Região de Convergência (RDC ou ROC)
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20. Região de Convergência (RDC ou ROC)
-A convergência pode ser visualizada através do
plano complexo.
-A região de convergência é muito importante,
pois dois sinais podem ter a mesma
transformada Z.
-A região de convergência da soma de
exponenciais é a intersecção das RDCs de
cada exponencial individual.
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Figura 1: Representação da aplicação de uma
exponencial complexa ao sistema LTI.

21. -Já a função possui o mesmo
valor de transformada.
Região de Convergência (RDC ou ROC)

-A função possui a transformada Z
de:
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22. Transformada Z Inversa
22

23. Transformada Z Inversa
-Mudando a variável de integração de ɷ para z


-Portanto,


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24. Transformada Z Inversa
-Integral em um caminho fechado no plano complexo
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25. Pares comuns da Transformada Z
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26. Propriedades
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27. Propriedades
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-Linearidade:
-Deslocamento no tempo:
-Multiplicação por Exponencial:
-Diferenciação:
-Convolução:

28. Aplicações práticas
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29. Aplicações
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-Utilizada principalmente para analizar e processar dados digitais
-Imagens, áudio, vídeo
-Extensivamente utilizada no Processamento Digital de Sinais
-Projeto de Sistemas
-Análise da estabilidade do sistema
-Calcular a resposta em frequência de um sistema
-Resolução de equações de diferenças

30. Análise de sistemas
-Sistemas podem ser representados por equações a diferenças.
-Com a aplicação das propriedades sobre a equação do sistema no tempo discreto, a função
de transferência pode ser determinada pela função de polinômios.



-G(z) é conhecida como função de transferência e sua transformada inversa é
g[n] é a resposta ao impulso unitário.

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31. Resolução de equações de diferenças
Exemplo:



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substitui as C.I.
Propriedade

32. Análise e caracterização de sistemas LTI
●Estabilidade
○Para uma sistema ser estável a região de convergência da sua função deve conter o círculo
unitário

●Causalidade
○O sistema deve ter uma resposta ao impulso igual a zero para n < 0
○Para um sistema ser causal a sua região de convergência deve estar fora do polo mais
externo (Lateral direita)
○Na função de transferência, a ordem do numerador não é maior que a do denominador
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33. Análise e caracterização de sistemas LTI

Exemplo:
Considerando o sistema LTI para o qual x[n] e y[n] satisfazem a equação de
diferenças linear de coeficiente constante:
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Aplicando a transformada Z dos dois lados da equação, usando a propriedade de
deslocamento no tempo:

34. Análise e caracterização de sistemas LTI
Organizando a equação:
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Encontrando a função de transferência:

35. Análise e caracterização de sistemas LTI

Analisando a função de transferência podem existir duas regiões de convergência
possíveis para a expressão. Uma considerando |z| > ½ e outra considerando |z| <
½

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Considerando inicialmente a ROC para |z| > 1 e escrevendo a função de
transferência como:

Resposta ao impulso unitário:

36. Análise e caracterização de sistemas LTI

Considerando a ROC para |z| < 1 e escrevendo a função de transferência como:


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Neste caso o sistema é anti-causal e instável

Resposta ao impulso unitário:

37. Referências
[1] Alan V. Oppenheim at al. 1975. Digital Signal Processing (1nd Ed.).
Prentice-Hall, Inc.
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