persamaandanpertidaksamaanlinear-181122015346.pptx

persamaan dan pertidaksamaan

1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

2. Dalam matematika khususnya aljabar dikenal beberapa istilah kesamaan , , dan pertidaksamaan

3. Kesamaan berasal dari kata “Sama” yang berarti serupa (halnya, keadaannya dan sebagainya), tidak berbeda, tidak berlainan. Dalam KBBI, kesamaan mempunyai arti perihal sama. Sedangkan kesamaan dalam merupakan kalimat pernyataan yang memiliki tanda hubung sama dengan (=) 9 × 8 = 70 + 2 28 : 4 = 12 – 5 12 + 13 = 45 – 20

4. Persamaan mempunyai arti perihal mempersamakan (tingginya, tingkatnya, dan sebagainya) atau keadaan yang sama atau yang serupa dengan yang lain. Sedangkan dalam matematika persamaan memiliki makna yaitu kalimat terbuka yang memiliki tanda hubung sama dengan (=). 2a = 6 n + 9 = 12 2x – y = -5 Perbedaannya: persamaan terdapat variabel , kesamaan tidak terdapat variabel

5. Ketidaksamaan adalah kalimat pernyataan yang menyatakan hubungan tidak sama. Tanda hubung tidak sama: 2 kurang dari 6 ditulis 2 < 6 5 lebih dari 3 ditulis 5 > 3 6 < 8 dan 10 > 8 ditulis 6 < 8 < 10 < dibaca “kurang dari” > dibaca “lebih dari”  dibaca “kurang dari atau sama dengan”  dibaca “lebih dari atau sama dengan”  dibaca “tidak sama dengan”

6. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan atau kalimat/pernyatan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. x < 4 p + 10 > 12 x + y > 25 Perbedaannya: pertidaksamaan terdapat variabel , ketidaksamaan tidak terdapat variabel

7. Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuat kalimat tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat sebagai HP. Contoh: a + 8 = 12 Pengganti a yang benar adalah 4. penyelesaiannya adalah a = 4 dan himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

8. Secara umum, persamaan linear adalah persamaan dengan derajat satu. Ini artinya semua suku pada persamaan tersebut memuat variabel pangkat tertinggi yaitu satu. Contoh: a + 3 = 2 x + 5y = 7x – 1 p - 2q + 3r =

9. Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri atas satu variabel dan pangkat dari variabel tersebut adalah satu. Contoh: 6t + 9 = 31 6 + 2y = 3y – 1

10. Persamaan yang ekuivalen adalah suatu persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, apabila pada persamaan itu dikenakan suatu operasi tertentu. Notasi ekuivalen adalah “  ” Contoh: x + 6 = 18, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12} x – 2 = 10, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12} 3x – 6 = 30, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}

11. Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu variabel, kita dapat menggunakan sifat penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

12. Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini dengan variabel x merupakan anggota himpunan bilangan asli. 4 x – 8 = 6 x – 12 Jawab: (persamaan awal) (kedua ruas ditambah 12) 4 x – 8 = 6 x – 12  4 x – 8 + 12 = 6 x – 12 + 12  4 x + 4 = 6 x +

13.  4 x + 4 = 6 x  4 x + 4 – 4 x = 6 x – 4 x (kedua ruas dikurang 4x) (kedua ruas dibagi 2)  0 + 4 = 2 x  4 = 2 x  2 x = 4  2 x : 2 = 4 : 2  x = 2 Jadi, HP = {2}

14. Contoh 2: Tentukan 4 bilangan cacah berurutan yang jumlahnya 122. Jawab: Misalkan bilangan cacah pertama = x bilangan cacah kedua = x + 1 bilangan cacah ketiga = x + 2 bilangan cacah keempat = x + 3 Jadi bilangan itu bisa diurutkan menjadi: x , x + 1, x + 2, x + 3

15. Sehingga: x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 122      4 x + 6 = 122 4 x + 6 – 6 = 122 – 6 4 x = 116 4 x : 4 = 116 : 4 x = 29 Jadi, bilangan itu adalah 29, 30, 31 dan 32

16. Selesaikanlah Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 126. apabila bilangan genap yang pertama 2 n , nyatakan bilangan kedua dan ketiga dalam n , serta tentukan ketiga bilangan itu. Jawab: bilangan genap pertama = 2 n bilangan genap kedua = 2 n + 2 bilangan genap ketiga = 2 n + 4

17. Sehingga: 2 n + 2 n + 2 + 2 n + 4 = 126      6 n + 6 = 126 6 n + 6 – 6 = 126 – 6 6 n = 120 6 n : 6 = 120 : 6 n = 20 Jadi, bilangan itu adalah 40, 42 dan 44

18. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang terdiri atas variabel dan pangkat dari variabel tersebut satu. Contoh: t + 2 < 13, disebut pertidaksamaan linear dengan satu variabel t k - l  10, disebut pertidaksamaan linear dengan dua variabel k dan l

19. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaannya tidak berubah. Secara matematis ditulis: Jika a < b maka a ± c < b ± c Jika a > b maka a ± c > b ± c Jika a  b maka a ± c  b ± c Jika a  b maka a ± c  b ± c

20. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaannya tidak berubah. Secara matematis ditulis: Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc dan 𝑎 < 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan 𝑎 > 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a  b dan c > 0 maka ac  bc dan 𝑎 ≤ 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a  b dan c > 0 maka ac  bc dan 𝑎 ≥ 𝑏 𝑐 𝑐

21. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaannya berubah. Secara matematis ditulis: Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc dan 𝑎 > 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan 𝑎 < 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a  b dan c < 0 maka ac  bc dan 𝑎 ≥ 𝑏 𝑐 𝑐 Jika a  b dan c < 0 maka ac  bc dan 𝑎 ≤ 𝑏 𝑐 𝑐

22. x < a x a x  a x a Tanda < atau > pada garis bilangan digambar T anda  a t au  pa d a g aris b ilan g an di g ambar 

23. x < a atau x > b a  x < b x a b x b x a x  a atau x  b x b x a

24. Contoh1: Apabila x adalah variabel pada {1, 2, 3, 4, 5}, tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. x – 2 < 3 b. x + 1  3 Jawab: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini dapat dilakukan dengan substitusi.

25. a. x – 2 < 3 Jadi, HP = {1, 2, 3, 4} b. x + 1  3 Jadi, HP = {2, 3, 4, 5} Variabel (x) 1 2 3 4 5 x – 2 -1 1 2 3 < 3? ya ya ya ya tidak Variabel (x) 1 2 3 4 5 x + 1 2 3 4 5 6  3? tidak ya ya ya ya

26. Contoh2: Tentukan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 15 – 8x > 40 – 13x dengan x  B. Jawab: Tanda variabel x positif 15 – 8x > 40 – 13x  15 – 8x + 13x > 40 – 13x + 13x (kedua ruas ditambah 13x)  15 + 5x > 40  15 + 5x – 15 > 40 – 15 (kedua ruas dikurangi 15)

27. (kedua ruas dibagi 5)    5x > 25 5x : 5 > 25 : 5 x > 5 Tanda variabel x negatif 15 – 8x > 40 – 13x (kedua ruas ditambah 8x) (kedua ruas dikurangi 40)  15 – 8x + 8x > 40 – 13x + 8x  15 > 40 – 5x  15 – 40 > 40 – 5x – 40  –25 > –5x

28.  –25 : (–5) > –5x : (–5)  5 < x (kedua ruas dibagi –5) (tanda ketidaksamaan berubah) (penyelesaian)  x > 5 HP = {6, 7, 8, 9, . . .} Atau dapat ditulis sebagai HP = {x  x > 5, x  B} Garis Bilangan: x 5

29. Contoh3: Selesaikan pertidaksamaan 6 < 2 – 4t < 10 dengan t  B. Jawab: 6 < 2 – 4t < 10  6 – 2 < 2 – 4t – 2 < 10 – 2  4 < – 4t < 8  4 : (–4) > – 4t : (–4) > 8 : (–4)  –1 > t > –2  –2 < t < –1 HP = {t  –2 < t < –1, t  B} atau HP { }

30. Contoh4: Model kerangka balok terbuat dari kawat tembaga dengan ukuran panjang rusuk-rusuknya x cm, ( x + 2) cm, dan ( x + 5) cm. Panjang kawat yang diperlukan seluruhnya tidak melebihi 100 cm. Jika panjang kawat seluruhnya dinyatakan dengan s cm maka: Nyatakan s dalam x Tulislah pertidaksamaan dalam x yang paling sederhana.

31. Jawab: a. s = 4 x + 4( x + 2) + 4( x + 5)  s = 4( x + x + 2 + x + 5)  s = 4(3 x + 7)  s = 12 x + 28 b. Karena s tidak melebihi 100 cm berarti s  100, diperoleh: 12 x + 28  100  12 x + 28 – 28  100 – 28   12 x  72 x  6 (bentuk paling sederhana)

32. Selesaikanlah: Sebuah mobil barang melalui jembatan timbang. Berat mobil barang itu 2,5 ton, sedangkan muatannya t ton. Berat maksimum yang diperkenankan untuk melewati jembatan tersebut adalah 6,5 ton. Tentukan nilai 2 t . Jawab: 2,5 + t  6,5 2,5 + t – 2,5  6,5 – 2,5 t  4 2 t  8