Plano cartesiano y lineas rectas

Plano cartesiano y lineas rectas

2. PLANOCARTESIANO YLINEASRECTAS
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, F´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. PL A N OCA RT E S I A N O
PLANOCARTESIANO
Los puntos en un plano se pueden identicar con pares ordenados de n´umeros
para formarel plano coordenadooplano cartesiano.
Para hacer esto, trazamos dos rectas reales perpendiculares que se cruzan en0
en cada recta.
Por lo general, una recta es horizontal con direcci´on positiva a la derecha y se
llamaeje x; la otra recta es vertical con direcci´on positiva hacia arriba y se
denominaeje y. El punto de intersecci´on del eje x y el eje y es elorigen O

4. PL A N OCA RT E S I A N O
PLANOCARTESIANO
x43211234y(a; b)43211234

5. PL A N OCA RT E S I A N O
CUADRANTES
xyIIIIIIIV
Este sistema de coordenadas recibe el
nombre de sistema de coordenadas
rectangulares o sistema de
coordenadas cartesianas en honor al
matem´atico franc´es Ren´e Descartes
(1596-1650). El plano provisto con
este sistema de coordenadas se llama
plano coordenado o plano cartesiano
y se denota conR
2
.
Los ejesxyyse denominan ejes
coordenados y dividen el plano
cartesiano en cuatro cuadrantes,
marcados I, II, III y IV en la gura.
Note que el primer cuadrante est´a
formado por los puntos cuyas
coordenadasxyyson positivas.

6. RE C TA S
RECTAS
ECUACI´ON DE LA RECTA La ecuaci´on de una recta no vertical que pasa por los puntosA(x1; y1)y
B(x2; y2)tiene por ecuaci´on:
y=mx+b
Donde al valormse le llama la pendiente de la recta y al valorbintercepto
con el ejey.
Podemos conocer el valor de la pendiente si conocemos las coordenadas los
puntosAyBsobre la recta. Se calculamcomo:
m=
y2y1
x2x1

7. RE C TA S
ECUACI´ON DE LA RECTA El valor de intercepto con el ejeyse puede calcular usando la pendiente y
alguno de los puntos sobre la recta:b=y1mx1
x43211234ybm43211234

8. RE C TA S
EJEMPLO
Encontrar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntosA(4;1)yB(2;2)
Primero calculamos la pendiente la recta:
m=
y2y1
x2x1
=
2(1)
2(4)
=
1
2
Luego calculamos el punto de intersecci´on con el ejey:
b=y1mx1=1
1
2
(4)
=1 + 2
= 1

9. RE C TA S
EJEMPLO
La ecuaci´on de la recta que buscamos ser´a entonces:
y=
1
2
x+ 1
x43211234y43211234

10. RE C TA S
EJERCICIOS
Determine la ecuaci´on de la recta que satisface las indicaciones dadas en cada
caso, luego graque cada recta:
Pasa por los puntosA(2;2)yB(3;1)
Pasa por el puntoA(1;1)y tiene pendientem= 3
Pasa por el puntoA(3;1)y corta al ejeyen -2
Corta al ejexen 3; y al ejeyen -5
Pasa por los puntosA(2;2)yB(3;2)
Pasa por los puntosA(2;2)yB(2;1)

11. RE C TA S
RECTASPARALELAS
RECTASPARALELAS Dos lineas rectas son paralelas si mantienen una equidistancia entre si, es
decir, nunca se cortan la una a la otra.
Para que dos rectasL1:y=m1x+b1yL2:y=m2x+b2sean paralelas
deben tener la misma pendiente, es decir:m1=m2
x43211234yparalelas43211234

12. RE C TA S
RECTASPERPENDICULARES
RECTASPERPENDICULARES Dos lineas rectas son perpendiculares si se cortan formando un´angulo recto.
Para que dos rectasL1:y=m1x+b1yL2:y=m2x+b2sean
perpendiculares, sus pendientes deben cumplir:m1m2=1
x43211234yperpendiculares43211234

13. RE C TA S
EJERCICIOS
Determine la ecuaci´on de la recta que satisface las indicaciones dadas en cada
caso, luego graque:
Pasa por el puntoA(1;1)y es paralela a la rectay= 2x5
Pasa por el puntoA(3;1)y es perpendicular a la rectay=
1
3
x2
Es paralela a la rectay= 2x5, y pasa por el punto de intersecci´on
entre la rectay=x+ 5con la rectay=2x1