Pointwise Variable Anisotropic Function Spaces On Shai Dekel

Pointwise Variable Anisotropic Function Spaces
On Shai Dekel download
https://ebookbell.com/product/pointwise-variable-anisotropic-
function-spaces-on-shai-dekel-50378702
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Pointwise Convergence Of Fourier Series 1st Edition Juan Arias De
Reyna
https://ebookbell.com/product/pointwise-convergence-of-fourier-
series-1st-edition-juan-arias-de-reyna-886836
Geometric Harmonic Analysis I A Sharp Divergence Theorem With
Nontangential Pointwise Traces 1st Edition Dorina Mitrea
https://ebookbell.com/product/geometric-harmonic-analysis-i-a-sharp-
divergence-theorem-with-nontangential-pointwise-traces-1st-edition-
dorina-mitrea-47136188

Shai Dekel
Pointwise Variable Anisotropic Function Spaces onℝ
n

DeGruyterStudiesin
Mathematics
|
Edited by
Carsten Carstensen, Berlin, Germany
Gavril Farkas, Berlin, Germany
Nicola Fusco, Napoli, Italy
Fritz Gesztesy, Waco, Texas, USA
Niels Jacob, Swansea, United Kingdom
Zenghu Li, Beijing, China
Karl-Hermann Neeb, Erlangen, Germany
Volume85

ShaiDekel
PointwiseVariable
AnisotropicFunction
Spacesonℝ
n
|

Mathematics Subject Classification 2020
43A85, 46E35, 42C15, 42C40, 42B20, 42B25, 42B30, 42B35, 41A15
Author
Dr. Shai Dekel
Tel Aviv University
School of Mathematical Sciences
69978 Tel Aviv
Israel
[email protected]
ISBN 978-3-11-076176-4
e-ISBN (PDF) 978-3-11-076179-5
e-ISBN (EPUB) 978-3-11-076187-0
ISSN 0179-0986
Library of Congress Control Number: 2022930167
Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek
The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie;
detailed bibliographic data are available on the Internet at http://dnb.dnb.de.
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston
Typesetting: VTeX UAB, Lithuania
Printing and binding: CPI books GmbH, Leck
www.degruyter.com

|
To my loving wife Adi and our amazing children Or, Chen, Ran, and Paz.
To my wonderful parents Sam and Dina… you are my inspiration!
My brother Asaf, my sister Vered, and the entire Dekel family… love!
Dedicated to my dear teachers Nira Dyn and Dany Leviatan on the occasion
of their 80th birthday

Preface
“One is amazed by the dramatic changes that occurred in analysis during the twentieth century. In
the 1930s complex methods and Fourier series played a seminal role. After many improvements,
mostly achieved by the Calderón–Zygmund school, the action takes place today on spaces of ho-
mogeneous type. No group structure is available, the Fourier transform is missing, but a version
of harmonic analysis is still present. Indeed the geometry is conducting the analysis.”
Yves Meyer, preface to [33]
This book is in many ways the brainchild of Pencho Petrushev. During the au-
thor’s visit to University of South Carolina in 2004, Pencho began drawing ellipses on
the board whose shape changed from point to point and scale to scale and said: “Shai,
I have a dream…”. Pencho was looking for the right geometric setup that would bridge
the gap between the classical isotropic setting ofℝ
n
equipped with the Euclidean
metric and the more abstract setup of spaces of homogeneous type. The “dream”
was to extend work that began as early as the 1960s and to generalize, in highly
anisotropic setting, the entire scope of classical approximation, modern harmonic
analysis, and function space theories. Meanwhile, Wolfgang Dahmen added his vi-
sion to the project. He was interested in establishing solid theoretical background for
“meshless methods”, which serve as a platform for the numerical solutions of par-
tial differential equations. Indeed, solutions of many classes of differential equations
exhibit anisotropic phenomena.
The author was fortunate enough to be invited by these two incredible mathemati-
cians for a two week visit at the University of Aachen in 2005. In Aachen, the author’s
two main contributions were: being a good listener during the days’ working sessions
and being a reasonably good beer drinking companion during the evenings. The main
outcomes of the visit were the first joint paper [22] and the basic foundations of [23].
The fundamental insights that lay the basis for the construction of the ellipsoid covers
(see Section 2.2) were:
(i) The anisotropic construction should take place inℝ
n
and use multilevel convex
elements, so as to have the machinery of local algebraic polynomial approxima-
tion available. Since ellipsoids are the prototype of convex domains (see Propo-
sition 1.6), they are the natural selection as building blocks.
(ii) The setup should support a generalized form ofpointwise variable anisotropy
and thus include as a very particular case the theory of classic anisotropic
spaces, where the “directionality” is fixed over all pointsx∈ℝ
n
. Therefore the
setup should allow the ellipsoids’ shape to change rapidly from point to point
and from scale to scale.
(iii) The collection of ellipsoids should satisfy the notions of the abstract “balls” as in
Stein’s book [61, Section 1.1], since this implies a corresponding induced quasi-
distance. As we will see, this necessitates that locally, in space and scale, inter-
secting ellipsoids need to have “equivalent” shapes.
https://doi.org/10.1515/9783110761795-201

VIII| Preface
As will become apparent in Section 2.5, any space of homogeneous type overℝ
n
,
equipped with the Lebesgue measure, whose anisotropic balls are “quasi-convex”,
naturally fits into this framework.
In January 2020 the author visited Marcin Bownik at the University of Oregon to
work on topics relating to Chapter 7 in this book. This visit served as an inception point
for the book and Marcin, who is an amazing mathematician and wonderful person,
provided tremendous help during the writing process.
Anisotropic phenomena naturally appear in nature and in various contexts in
mathematical analysis and its applications. One example is the formation of shocks,
which results in jump discontinuities of solutions of hyperbolic conservation laws
across lower-dimensional manifolds. Another example arises in signal processing,
where input functions have sharp edge or surface discontinuities separating between
smooth areas. The central objective of this book is a very flexible framework, where the
geometry of the anisotropic phenomena may change rapidly across space and scale.
Obviously, there is an incredible body of work that addresses the generalization
of the isotropic theory to more general setting. Already in 1967, in proving the hypoel-
lipticity of certain operators, Hörmander [47] studied differentiability andL
2Lipschitz
continuity along noncommuting vector fields. In the early 1970s, the development of
modern “real-variable” harmonic analysis enabled Coifman and Weiss to begin devel-
oping parts of the theory such as singular operators and Hardy spaces in the setting
of spaces of homogeneous type [19, 20]. Calderón and Torchinsky began studying in
1975 maximal operators based on an anisotropic dilation matrix subgroups [16, 17].
This line of research was generalized by Folland and Stein [39] in 1982, where they
investigated the Hardy spaces over homogeneous groups. Nagel, Stein, and Wainger
[56] established results in 1985, relating to basic properties of certain balls and metrics
that can be naturally defined in terms of a given family of vector fields. As an appli-
cation, they used these properties to obtain estimates for the kernels of approximate
inverses of some nonelliptic partial differential operators, such as Hörmander’s sum
of squares. In their book from 1987, Schmeisser and Triebel [59] devoted a full chapter
to anisotropic function spaces, equipped with a fixed directional anisotropy. In 2003,
Bownik [7] further developed and expanded anisotropic spaces based on powers of an
anisotropic dilation matrix. In fact, his book is the main precursor to this book and in
many ways inspired its writing. Marcin Bownik and Baode Li also helped with useful
comments during the writing of the book.
Shai Dekel 2022

1 Local polynomial approximation over convex
domains inℝ
n
In this chapter, we review the theory of local approximation using multivariate alge-
braic polynomials of fixed total degree over “regular” domains inℝ
n
. By “regular”
domains we mean domains that have nice geometric properties precisely defined in
Section 1.1. The local smoothness analysis and approximation by algebraic polynomi-
als are the critical components that allow us to construct anisotropic spaces that are
a “true” generalization of the classical isotropic function spaces overℝ
n
. This is in
contrast to general spaces of homogeneous type (see Definition 2.2) that do not have
enough “structure”, and thus function spaces defined over them are limited in vari-
ous ways. In Section 1.2, we review the analysis tools we use to quantify local function
smoothness. In Section 1.3, we provide some properties of algebraic polynomials over
convex domains. We then provide estimates for the degree of polynomial approxima-
tion over domains, where Section 1.4 is focused on approximation in thep-norm, with
1≤p≤∞, of the Sobolev class, and Section 1.5 is mostly dedicated to approximation
in thepquasi-norm, with 0<p<1.
1.1 Geometric properties of regular bounded domains
Definition 1.1.We denote byB(x
0,r)the Euclidean ball inℝ
n
with centerx
0∈ℝ
n
and
radiusr>0. The image of the Euclidean unit ballB
∗
:=B(0,1)via an affine transforma-
tion is called anellipsoid. For a given ellipsoidθ, we letA
θbe an affine transformation
such thatθ=A
θ(B
∗
). Denoting byv
θ:=A
θ(0)the center ofθ, we have
A
θ(x)=M
θx+v
θ,∀x∈ℝ
n
, (1.1)
where we may assumeM
θis a positive definiten×nmatrix.
Any positive definiten×nreal-valued matrixMmay be represented in the form
M=UDU
−1
, where the matrixUis ann×northogonal matrix, and the matrixD=
diag(σ
1,σ
2, . . . ,σ
n)is diagonal withσ
1≥σ
2≥⋅ ⋅ ⋅≥σ
n>0. It is easy to see that
σ
1≥⋅ ⋅ ⋅≥σ
nare the eigenvalues ofMandσ
−1
1
≤⋅ ⋅ ⋅≤σ
−1
n
are the eigenvalues ofM
−1
.
Hence
‖M‖
ℓ
2→ℓ
2
=σ
1and
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
M
−1&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;ℓ
2→ℓ
2
=1/σ
n. (1.2)
These norms
have a clear geometric meaning. Thus ifM
θis as in (1.1), then diam(θ)=
2‖M
θ‖
ℓ
2→ℓ
2
=2σ
1. We may also say that the width ofθis 2σ
n, sinceσ
nis the length of
the smallest axis ofθ.
https://doi.org/10.1515/9783110761795-001

2| 1 Local approximation
Lemma 1.2.If two ellipsoids θ=M
θ(B
∗
)+v
θand η=M
η(B
∗
)+v
ηsatisfy η⊆θ, then
M
η(B
∗
)⊆M
θ(B
∗
).
Proof.Without loss of generality, we can assume thatv
η=0. This implies thatB
∗
⊆
M(B
∗
)+v, whereM:=M
−1
η
M
θ, andv:=M
−1
η
v
θ, and therefore it suffices to prove
thatB
∗
⊆M(B
∗
). We first show that ifB
∗
⊆D(B
∗
)+v, whereD:=diag(σ
1, . . . ,σ
n)
is a diagonal matrix andv∈ℝ
n
, thenB
∗
⊆D(B
∗
). Indeed, ifB
∗
−v⊆D(B
∗
), then
|σ
i|≥max(|1 −v
i|, |−1−v
i|)≥1, ThereforeB
∗
⊆D(B
∗
).
Next, sinceMM
T
is a positive symmetric matrix, there exist a diagonal matrixD
and an orthogonal matrixUsuch thatUMM
T
U
T
=D
2
. Then
D(B
∗
)={Dx∈ℝ
n
:xx
T
≤1}
={y∈ℝ
n
:y
T
D
−2
y≤1}
={y∈ℝ
n
:y
T
(UM(UM)
T
)
−1
y≤1}
={UMz∈ℝ
n
:zz
T
≤1}
=UM(B
∗
).
SinceB
∗
⊆M(B
∗
)+v, we obtain
B
∗
=U(B
∗
)⊆UM(B
∗
)+Uv=D(B
∗
)+Uv.
From the first part of the proof this impliesB
∗
⊆D(B
∗
)=UM(B
∗
)⇒B
∗
=U
T
(B
∗
)⊆
M(B
∗
).
Definition 1.3.Letθ⊂ℝ
n
be an ellipsoid such thatθ=v
θ+M
θ(B
∗
), and letQ>0. We
denote by
Q⋅θ:=v
θ+QM
θ(B
∗
)
theQ-dilation ofθ.
Theorem 1.4([13]). For two ellipsoids θ, η inℝ
n
that satisfy η⊆θ, the following converse
is true:
θ⊆2
|θ|
|η|
⋅η,
where|Ω|denotes the volume (Lebesgue measure) of a measurable setΩ⊂ℝ
n
. Fur-
thermore, if the two ellipsoids have the same center, then this holds without the factor
of2.
Proof.Letθ=M
θ(B
∗
)+v
θandη=M
η+v
η. Without loss of generality, we may assume
thatv
η=0. LetM:=M
−1
η
M
θ. By Lemma 1.2
η⊆θ⇒M
η(B
∗
)⊆M
θ(B
∗
)⇒B
∗
⊆M(B
∗
).

1.1 Geometric properties of regular bounded domains |3
Also, as in the proof of Lemma 1.2, letUMM
T
U
T
=D
2
, whereUis orthogonal and
D=diag(σ
1, . . . ,σ
n),|σ
i|≥1, 1≤i≤n, andU
T
D(B
∗
)=M(B
∗
). We have withσ
max:=
max
1≤i≤n|σ
i|
|θ|
|η|
=
|M
−1
η
M
θ(B
∗
)|
|B
∗
|
=
|U
T
D(B
∗
)|
|B
∗
|
=
n
∏
i=1
|σ
i|≥σ
max.
Therefore
M
−1
η
M
θ(B
∗
)=M(B
∗
)=U
T
D(B
∗
)⊆σ
maxB
∗
⊆
|θ|
|η|
B
∗
.
This gives
M
θ(B
∗
)⊆
|θ|
|η|
M
η(B
∗
), (1.3)
which also proves the theorem for the case wherev
θ=v
η.
Next, sinceη⊆θ,
B
∗
=U(B
∗
)=UM
−1
η
(η)
⊆UM
−1
η
(M
θ(B
∗
)+v
θ)
=UM(B
∗
)+UM
−1
η
v
θ
=D(B
∗
)+UM
−1
η
v
θ.
In particular, since 0∈D(B
∗
)+UM
−1
η
v
θ, this gives that
−UM
−1
η
v
θ∈D(B
∗
)⊆σ
maxB
∗
,
and so
M
−1
η
v
θ∈σ
maxB
∗
⊆
|θ|
|η|
B
∗
. (1.4)
We conclude using (1.3) and (1.4) that
θ=M
ηM
−1
η
(M
θ(B
∗
)+v
θ)⊆2
|θ|
|η|
M
η(B
∗
)=2
|θ|
|η|
⋅η.
The ellipsoids are in fact the prototypical example of bounded convex domains.
Definition 1.5.A set Ω⊆ℝ
n
isconvexif for any two pointsx,y∈Ω, the line segment
[x,y]is contained in Ω. Theconvex hullof a setA⊂ℝ
n
is the “minimal” convex set
containingA, which is given by the intersection of all convex sets containingA.

4| 1 Local approximation
Proposition 1.6(John’s lemma [48]). For any bounded convex domainΩ⊂ℝ
n
, there
exists an ellipsoid θ⊆Ωsuch that
θ⊆Ω⊆n⋅θ.
As depicted in Figure1.1, this implies that the affine transformation A
−1
θ
(x) :=M
−1
θ
(x−v
θ)
gives
B(0,1)⊆A
−1
θ
(Ω)⊆B(0,n). (1.5)
Figure 1.1:A
−1
θ
(Ω), where Ω⊂ℝ
n
is a bounded convex domain.
It is interesting to note that John’s ellipsoidθis the ellipsoid with maximal volume
such thatθ⊆Ω. In some sense, this means thatθ“covers” Ω sufficiently well. Our
approximation theoretical applications of John’s lemma use the fact that bounded
convex domains are essentially equivalent to the Euclidean ballB
∗
up to an affine
transformation and scalen.
Definition 1.7.A domain Ω⊂ℝ
n
isstar-shapedwith respect to a Euclidean ballB⊆Ω
(or a pointx
0∈Ω), if for any pointx∈Ω, the convex hull of{x}∪B(or the line segment
[x,x
0]) is contained in Ω.
Definition 1.8.We call the set
V:={x∈ℝ
n
:0≤|x|≤ρ,∠(x,v)≤κ/2},
a finite cone of axis directionv, heightρ, and aperture angleκ, where∠(x,v)is the
angle betweenxandv. Forz∈ℝ
n
, the setz+V:={z+y,y∈V}is a translate ofV,

1.1 Geometric properties of regular bounded domains |5
which is a finite cone with head vertex atz. A coneV
′
is congruent toVif it can be
obtained fromVthrough a rigid motion.
We now define notions of “minimally smooth” domains (see [1, pp. 81–83], [60,
p. 189]). Although we will be mostly dealing with bounded convex domains and, in
particular, the particular case of ellipsoids, some of the results we use or prove hold
for more general types of domains.
Definition 1.9.A domain Ω⊂ℝ
n
is said to satisfy the uniform cone property if there
exist numbersδ>0,L>0, a finite cover of open sets{U
j}
J
j=1
of??????Ω, and a corresponding
collection{V
j}
J
j=1
of finite cones, each congruent to some fixed coneV, such that
(i) diam(U
j)≤L, 1≤j≤J.
(ii) For anyx∈Ω such that dist(x , ??????Ω)<δ, we havex∈⋃
J
j=1
U
j.
(iii) Ifx∈Ω∩U
j, thenx+V
j⊆Ω, 1≤j≤J.
We will say the domain satisfies the overlapping uniform cone property if in addition
the following condition is satisfied:
(iv) For every pair of pointsx
1,x
2∈Ω such that|x
1−x
2|<δand dist(x
i, ??????Ω)<δ,
i=1,2, there exists an indexjsuch thatx
i∈U
j,i=1,2.
Theorem 1.10.LetΩ⊂ℝ
n
be a convex domain such that B(0, R
1)⊆Ω⊆B(0
,R
2)for
some fixed0<R
1<R
2. ThenΩsatisfies the overlapping uniform cone property with
parameters that depend only on n, R
1, and R
2. Moreover, there exist δ>0and a fixed
cover{U
j}
J
j=1
with cones{V
j}
J
j=1
, all congruent to a fixed cone V, that may be uniformly
applied to all such convex domains.
Proof.Our construction is based on the fact that ifB(0,R
1)⊊Ω, then for anyx∈
Ω\B(0,R
1), the convex closure of{x}∪B(0,R
1)is, by convexity, contained in Ω and
also contained in a cone with head atx, axis direction of−x, and an aperture angle≥
2 arcsin(R
1/R
2).
Let{v
j}
J
j=1
be a finite set of normalized vector directions from the origin to be se-
lected later. LetV
j,1be the cone with head at the origin, axisv
j, height 9R
1/10, and
aperture angleκ<min(π /4,arcsin(R
1/R
2)). LetV
j,2, be the cone with head at the ori-
gin, axis directionv
j, heightR
2+1, and the same aperture angleκ. Our covering of??????Ω
consists of{U
j}
J
j=1
,U
j:=V
j,2\V
j,1. Thus diam(U
j)≤diam(B(0, R
2+1))≤2(R
2+1)=:L
,
and property (i) of Definition 1.9 is satisfied. With sufficient distribution of axis direc-
tions{v
j}, the cones{V
j,2}overlap, coverB(0,R
2), and thus also cover any Ω⊆B(0,R
2).
Observe that this requires
J>
S
n−1
κ
=
2π
n/2
Γ(n/2)κ
.
Therefore{U
j}
J
j=1
coverB(0,R
2) \B(0,R
1)and, in particular,??????Ω, since??????Ω⊂B(0,R
2) \
B(0,R
1). Thus property (ii) is satisfied for any 0<δ<R
1/10.

6| 1 Local approximation
We now construct for eachU
jthe corresponding coneV
j. It is in fact the cone with
axis direction−v
j, aperture angleκ, and height ofR
1/10. Thus all conesV
jare congru-
ent to a single coneV.
Now for any convex Ω,B(0,R
1)⊆Ω⊆B(0,R
2), letx∈Ω∩U
j. There are two cases.
Ifx∈B(0,R
1), then|x|>9R
1/10, and sox+V
j⊂B(0,R
1)⊆Ω. The second case is
x∈Ω\B(0,R
1). Let Ω
xbe the convex closure of{x}∪B(0,R
1). By convexity, Ω
x⊂Ω.
We have that the angle between−xand−v
jis smaller thanκ/2, the aperture angle of
V
jisκ, whereas the aperture angle of Ω
xis≥2κ. Also, the height ofV
jisR
1/10, which
implies thatx+V
j⊂Ω
x⊂Ω, which ensures property (iii). It remains to select{v
j}
J
j=1
to
be sufficiently dense, so that{U
j}
J
j=1
have sufficient overlap, to ensure property (iv). It
is sufficient to ensure that ifx,y∈B(0,R
2) \B(0,9R
1/10)and|x−y|<δ<R
1/10, then
there exists 1≤j≤Jsuch thatx,y∈V
2,j.
1.2 Moduli of smoothness
From this point, we assume that domains Ω⊂ℝ
n
are measurable with a nonempty
interior and that all functions are measurable as well.
1.2.1 Definitions and basic properties
Definition 1.11.LetW
r
p
(Ω), 1≤p<∞,r∈ℕ, denote theSobolev spaces, namely, the
spaces of functionsg:Ω→ℂ,g∈L
p(Ω), that have all their distributional derivatives
of order up toras functions inL
p(Ω). Forp=∞, we takeW
r
∞
(Ω)=C
r
(Ω), that is,
the functions with continuous bounded derivatives of order up tor. The norm of the
Sobolev space is given by
‖g‖
W
r
p
(Ω):=‖g‖
r,p=∑
|α|≤r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
, (1.6)
where forα∈ℤ
n
+
,|α| :=∑
n
i=1
α
i, whereas the seminorm is given by
|g|
W
r
p
(Ω):=|g|
r,p=∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
. (1.7)
It is known [1] that
‖g‖
W
r
p
(Ω)∼‖g‖
L
p(Ω)+|g|
W
r
p
(Ω). (1.8)
Definition 1.12.TheK-functional of orderroff∈L
p(Ω), 1≤p≤∞(see, e. g., [35]) is
defined by
K
r(f,t)
p:=K(f,t,L
p(Ω),W
r
p
(Ω)):=inf
g∈W
r
p
(Ω)
{‖f−g‖
p+t|g|
r,p},t>0. (1.9)

1.2 Moduli of smoothness |7
For a bounded domain Ω, we denote
K
r(f,Ω)
p:=K(f,diam(Ω)
r
)
p
. (1.10)
It is important to note that the K-functional is unsuitable as a measure of smooth-
ness if 0<p<1. In fact, it is shown in [36] that for any finite interval[a,b]⊂ℝ,
0<p<1, 0<q≤∞,r≥1, andt>0,K
r(f,t
r
,L
q([a,b]),W
r
p
([a,b]))=0 for any
f∈L
q([a,b]). This necessitates using other forms of smoothness in the range 0<p<1.
Forf:Ω→ℂ,f∈L
p(Ω), 0<p≤∞,h∈ℝ
n
, andr∈ℕ, we define therth order
difference operator Δ
r
h
:L
p(Ω)→L
p(Ω)by
Δ
r
h
(f,x) :=Δ
r
h
(f,Ω,x) :={
∑
r
k=0
(−1)
r+k
(
r
k
)f(x+kh), [x ,x+rh]⊂Ω,
0, otherwise,
(1.11)
where[x,y]denotes the line segment connecting any two pointsx,y∈ℝ
n
.
Definition 1.13.Themodulus of smoothness of orderris defined by
ω
r(f,t)
p=ω
r(f,Ω,t)
p:=sup
|h|≤t
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
r
h
(f,Ω, ⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
,t>0, (1.12)
where|h|denotes thel
2-norm of a vectorh∈ℝ
n
. For a bounded domain Ω, we also
denote
ω
r(f,Ω)
p:=ω
r(f,diam(Ω))
p
. (1.13)
We list some of the properties of the modulus of smoothness that we will use
throughout the book (see [35]) for more detail),
Proposition 1.14.LetΩ⊆ℝ
n
and f,g∈L
p(Ω),0<p≤∞. Then, for any t>0:
(i)ω
r(f,t)
p≤c(r,p)‖f‖
p. In a more general form, for any0≤k<r, ω
r(f,t)
p≤
c(r,k,p)ω
k(f,t)
p(where ω
0(f, ⋅)
p=‖f‖
p).
(ii)ω
r(f+g,t)
p≤c(p)(ω
r(f,t)
p+ω
r(g,t)
p).
(iii)For any λ≥1, ω
r(f,λt)
p≤(λ+1)
r
ω
r(f,t)
pfor1≤p≤∞, and ω
r(f,λt)
p
p
≤(λ+
1)
r
ω
r(f,t)
p
p
for0<p<1.
(iv)IfΩ
1⊆Ω
2⊆ℝ
n
, then
ω
r(f,Ω
1,t)
p≤ω
r(f,Ω
2,t)
p.
Also, for any vector h∈ℝ
n
and domainΩ⊆ℝ
n
,
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
r
h
(f,Ω
1, ⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
r
h
(f,Ω
2, ⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
. (1.14)

8| 1 Local approximation
1.2.2 K-functionals and moduli of smoothness
We now present the relationship of the difference and derivative operators using
B-splines. We recall the univariate B-spline of order 1 (degree 0),N
1(u) :=1
[0,1](u).
Then the B-spline of orderr(degreer−1) is defined byN
r:=N
r−1∗N
1. The B-spline of
orderris supported on[0,r], is inC
r−1
, and is a piecewise polynomial of degreer−1
over the integer intervals. Forh
1>0, we defineN
r(u,h
1) :=h
−1
1
N
r(h
−1
1
u). Letg∈C
r
(Ω),
and leth∈ℝ
n
with|h|=h
1>0. If the segment[x,x+h]is contained in Ω, then for
ξ:=h
−1
1
handG(u) := g(x+uξ),u∈ℝ, we have
h
−1
1
Δ
h(g,x)=h
−1
1
h
1
∫
0
G
′
(u)du
=∫
ℝ
G
′
(u)N
1(u,h
1)du
=∫
ℝ
D
ξg(x+uξ)N
1(u,h
1)du,
where
D
ξg(y) :=lim
u→0
g(y+uξ)−g(y)
u
.
By induction, forr≥1, we get
h
−r1
Δ
rh
(g,x)=∫
ℝ
G
(r)
(u)N
r(u,h
1)du=∫
ℝ
D
rξ
g(x+uξ)N
r(u,h
1)du. (1.15)
Based on relation (1.15), we can bound the modulus of smoothness of the Sobolev
class.
Theorem 1.15.For g∈W
r
p
(Ω), r≥1,1≤p≤∞,
ω
r(g,t)
p≤c(n,r)t
r
|g|
r,p,t>0. (1.16)
Proof.Letg∈C
r
(Ω)∩W
r
p
(Ω). SinceD
ξg=∑
n
i=1
ξ
i
??????g
??????x
i
and|ξ|=1, we have that‖D
ξg‖
p≤
|g|
1,p. We can see by induction thatD
r
ξ
g=∑
|α|=r
c
α??????
α
gwith|c
α|≤c(n,r). This implies
that‖D
r
ξ
g‖
p≤c(n,r)|g|
r,p. Leth∈ℝ
n
with 0<|h|=h
1≤t, letξ:=h
−1
1
h, and denote
Ω
r,h:={x∈Ω: [x,x+rh]⊂Ω}. Applying (1.11), (1.15), and then Minkowski’s inequality
for 1≤p≤∞yields
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
r
h
(g, ⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
r
h
(g, ⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω
h,r)
≤t
r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
∫
ℝ
D
r
ξ
g(⋅+uξ)N
r(u,h
1)du
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω
h,r)

1.2 Moduli of smoothness |9
≤t
r&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
D
r
ξ
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤c(n,r)t
r
|g|
r,p.
Taking the supremum over allh∈ℝ
n
,|h|≤t, gives (1.16) for functions inC
r
(Ω). For
1≤p<∞, we apply a standard density argument to obtain (1.16) for the Sobolev
class.
Proposition 1.16([49]). LetΩ⊂ℝ
n
satisfy the uniform cone property (Definition1.9),
and let1≤p≤∞and r≥1. Then there exist constants c
1(Ω,p,n,r)>0and c
2(n,r)>0
such that for any f∈L
p(Ω),
c
1K
r(f,t
r
)
p
≤ω
r(f,t)
p≤c
2K
r(f,t
r
)
p
,0<t≤diam(Ω). (1.17)
Proof.To see the right-hand side of (1.17), letgbe any function inW
r
p
(Ω). We apply
(1.16) to obtain
ω
r(f,t)
p≤ω
r(f−g,t)
p+ω
r(g,t)
p
≤2
r
‖f−g‖
p+C(n,r)t
r
|g|
r,p
≤C(n,r)(‖f−g‖
p+t
r
|g|
r,p).
Therefore by taking the infimum over all suchg∈W
r
p
(Ω)we obtain the right-hand side
of (1.17). The left-hand side is the main result of [49]. We note that the uniform cone
property is a slightly stronger assumption than that used in [49].
Note that althoughc
2in (1.17) depends only onnandr, the constantc
1may further
depend on the geometry of Ω (e. g., the parameters of the uniform cone property). We
can obtain a more specific left-hand side inequality for convex domains. A first result
for convex domains is the following:
Corollary 1.17.LetΩ⊂ℝ
n
be a convex domain such that B(0, R
1)⊆Ω⊆B(0
,R
2)for
some fixed0<R
1<R
2. Then for f∈L
p(Ω),1≤p≤∞, r≥1, and0<t≤2R
2,
c
1(r,p,n,R
1,R
2)K
r(f,t
r
)
L
p(Ω)
≤ω
r(f,t)
L
p(Ω)≤c
2(n,r)K
r(f,t
r
)
L
p(Ω)
. (1.18)
Proof.The right-hand side of (1.18) holds by (1.17) for more general domains. To prove
the left-hand side inequality, we observe that by Theorem 1.10 Ω satisfies the uniform
cone property with parameters that depend only onn,R
1, andR
2. Therefore by the
method of proof of [49] the left-hand side of (1.18) holds with constantc
1(r,p,n,R
1,R
2).
The proof of the second result on the relationship between K-functional and mod-
uli of smoothness over convex domains actually requires using the “local” polynomialapproximation results of the next chapter. We state it here.

10| 1 Local approximation
Proposition 1.18([26]). LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded convex domain. Then, for any f∈
L
p(Ω),1≤p≤∞, and r≥1,
K
r(f,t
r
)≤c(n,r,p)((1 −
t
r
diam(Ω)
r
)μ(Ω, t)
−(r−1+1/p)
+1)ω
r(f,t)
p,
where
μ(Ω,t) :=min
x∈Ω
|B(x,t)∩Ω|
|B(x,t)|
,0<t≤diam(Ω).
1.2.3 Marchaud inequalities
We saw that the modulus of smoothness has the property that for any 1≤k<r,
ω
r(f,t)
p≤c(r,k,p)ω
k(f,t)
p,t>0. Marchaud-type inequalities serve as the inverse.
They are easier to prove for the simple cases of Ω=ℝ
n
or where Ω is a univariate
segment. We will require the following results over regular domains.
Proposition 1.19([49]). LetΩbe a domain with the uniform cone property, and let f∈
L
p(Ω),1≤p≤∞. Then for any1≤k<r and0<t<1,
ω
k(f,t)
p≤ct
k
(
1
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
k+1
ds+‖f‖
p),
where the constant c depends on n, k, r and the uniform cone properties ofΩ.
The proof of Proposition 1.19 for the case 1≤p≤∞is facilitated by the equiva-
lence (1.17). In the case 0<p<1, we are not equipped with the K-functional and need
construct a “direct” proof [30]. We begin with a technical lemma.Lemma 1.20.LetΩbe a bounded open domain,̃t>0, and H∈ℝ
n
a unit vector. Let
U⊂Ωbe an open subdomain such that for any x∈U,[x,x+̃tH]⊂Ω. Let S(x,Ω), be the
connected segment of the line passing through x∈U with direction H that is contained
inΩ. We denote
Ω
U:=⋃
x∈U
S(x,Ω).
For1≤k≤r and f∈L
p(Ω),0<p≤1, we denote
ω
H
k
(f,t)
p
p
:=sup
|s|≤t
∫
Ω
U
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
k
sH
(f,Ω,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx,0<t≤
̃t
2r
. (1.19)

1.2 Moduli of smoothness |11
Then
ω
H
k
(f,t)
p
p
≤c(r,p,̃t)t
kp
(
̃t
∫
t
ω
r(f,Ω,s)
p
p
s
kp+1
ds+‖f‖
p
L
p(Ω)
).
Proof.The setup of the lemma enables us to apply an induction process similar to
the proof in the univariate case (see, e. g., Theorems 2.8.1 and 2.8.2 in [35]). First, as-
sume thatr=k+1. We partition Ω
U=Ω
1∪Ω
2, where Ω
1:=⋃
x∈U
S
1(x,Ω)and
Ω
2:=⋃
x∈U
S
2(x,Ω)with each segment partitionedS(x,Ω)=S
1(x,Ω)∪S
2(x,Ω)at its
midpoint. Observe that we are ensured that the length of eachS(x,Ω)is at least̃t.
Now leth=sH, where 0<s≤t≤̃t/4r. For anyx∈Ω
1, we have that[x,x+2kh]⊂
Ω
U. This implies that
(T
h−I)
k
=2
−k
(T
2h−I)
k
+Q(T
h)(T
h−I)
k+1
(1.20)
is well defined onL
p(Ω
1)withT
hf:=f(⋅+h)and
Q(z) :=
1−2
−k
(z+1)
k
z−1
∈Π
k−1(ℝ).
Next, observe that ifQ(z)=∑
k−1
0
a
iz
i
andg∈L
p(Ω), then
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Q(T
h)g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
≤
k−1
∑
0
a
p
i
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
T
i
h
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
≤C(k,p)‖g‖
p
L
p(Ω
U)
.
Applying (1.20) with definition (1.19) gives
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
≤2
−kp&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
2h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
+C
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k+1
h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
U)
≤2
−kp&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
2h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
+Cω
H
k+1
(f,s)
p
p
.
By repeated application we get, for 2
m
s≤̃t/4r,
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
1)
≤C(2
−mkp
‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
2
−jkp
ω
H
k+1
(f,2
j
s)
p
p
).
Our next step is bounding thekth difference operator onL
p(Ω
2). Ifx+kh∈Ω
2, then
there existsx
0∈Usuch thatx+kh∈S
2(x
0,Ω). This implies that[x−kh,x+kh]⊂Ω
U.
Using the equality|Δ
k
h
(f,x)|=|Δ
k
−h
(f(⋅+kh),x)|, we can apply the same machinery as
above on Ω
2for the functionf(⋅+kh)and the difference vector−hto obtain
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
h
f
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
2)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
Δ
k
−h
f(⋅+kh)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
p
L
p(Ω
2)
≤C(2
−mkp
‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
2
−jkp
ω
H
k+1
(f,2
j
s)
p
p
).

12| 1 Local approximation
Combining the above two estimates on Ω
1and Ω
2gives
ω
H
k
(f,t)
p
p
≤C(2
−mkp
‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
2
−jkp
ω
H
k+1
(f,2
j
t)
p
p
).
By induction we may conclude that, for 2
m
t≤̃t/4r,
ω
H
k
(f,t)
p
p
≤C(2
−mkp
‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
2
−jkp
ω
H
r
(f,2
j
t)
p
p
).
Now choosemsuch that
2
m
t≤
̃t
4r
≤2
m+1
t.
Then
2
−m
≤
8rt
̃t
⇒2
−mkp
≤C(r,p,̃t)t
kp
.
This allows us to obtain the desired result:
ω
H
k
(f,Ω,t)
p
p
≤Ct
kp
(‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
ω
H
r
(f,2
j
t)
p
p
2
(j+1)
t
∫
2
j
t
1
s
kp+1
ds)
≤Ct
kp
(‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
m
∑
j=0
2
(j+1)
t
∫
2
j
t
ω
H
r
(f,s)
p
p
s
kp+1
ds)
≤Ct
kp
(‖f‖
p
L
p(Ω
U)
+
̃t/4r
∫
t
ω
H
r
(f,s)
p
p
s
kp+1
ds)
≤Ct
kp
(‖f‖
p
L
p(Ω)
+
̃t
∫
t
ω
r(f,Ω,s)
p
p
s
kp+1
ds).
Theorem 1.21.LetΩsatisfy the overlapping uniform cone property, and let f∈L
p(Ω),
0<p≤1. Then for any r≥2, there exists̃t>0such that for0<t≤̃t,
ω
1(f,t)
p
p
≤ct
p
(
̃t
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+‖f‖
pp
), (1.21)
where the constant c depends on n, p, r and overlapping uniform cone properties ofΩ.
Proof.Using Definition 1.9, it is easy to see that we may “normalize” the collection of
finite cones{V
j}
J
j=1
to all be congruent to a single fixed coneVby taking the minimum

1.2 Moduli of smoothness |13
over the cones’ heights and aperture angles. Obviously, after this process, we still have
thatx+V
j⊂Ω for anyx∈U
j. We also ensure that the height of the fixed cone is smaller
thanδ. We denote this height byρ:=ρ(Ω). Then we addU
J+1:={
x∈Ω:dist(x, ??????Ω)>
δ}to the cover. IfU
J+1is not empty, then we can apply Lemma 1.20 withU=U
J+1and
arbitrary unit vectorHto obtain
ω
1(f,Ω,t)
p
L
p(U
J+1)
≤Ct
p
(
δ
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+‖f‖
p
p
),t≤δ/r.
Later we will need that for any constant̃t≤δ,
δ
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+‖f‖
pp
≤
̃t
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+C(̃t,r,p)‖f‖
pp
,t≤̃t/r,
which gives
ω
1(f,Ω,t)
p
L
p(U
J+1)
≤Ct
p
(
̃t
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+‖f‖
p
p
),t≤̃t/r. (1.22)
We now proceed to estimate on the regions “near”??????Ω. Leth∈ℝ
n
,|h|≤̃t/r, where
̃tsatisfies 0<̃t(ρ,κ)≤ρ≤δand will be determined later. We argue that for this
difference vector, it only remains to estimate‖Δ
h(f, ⋅)‖
L
p(U
??????Ω,h), with
U
??????Ω,h:={x∈Ω: [x,x+h]⊂Ω,dist(x, ??????Ω)<δ,dist(x +h, ??????Ω) <δ}.
Indeed, if[x,x+h]is not a subset of Ω, then by definition Δ
h(f,x)=0. If eitherxorx+h
are away from the boundary, then|f(x+h)−f(x)|was already part of the integration
overU
J+1. The technical difficulty we are facing when dealing withU
??????Ω,his that there
might not be “sufficient intersection” of the infinite line going through[x,x+h]with Ω.
This requires to use the overlapping uniform cone properties of Ω. Since|h|≤δ, by
property (iv) in Definition 1.9 there exists 1≤j≤Jsuch thatx,x+h∈U
j(note that
[x,x+h]may not be a subset ofU
j),x+V
j, andx+h+V
j⊂Ω.
By geometric consideration, as depicted in Figure 1.2, there exist̃c>0 and 0<
̃t≤ρsuch that if|h|≤̃c, then the conesx+V
jandx+h+V
jintersect, and there is a
pointz∈(x+V
j)∩(x+h+V
j)such that|x−z|, |x+h−z|≤̃t, where the constants
depend on the hightρand the head-angleκof the reference coneV. For example, if
x+h∈x+V
j, then we may choosez=x+h. In any case, now the lines going through
the segments[x,z]and[x+h,z]have “sufficient intersection” with Ω of the height of
the reference cone at leastρ.

14| 1 Local approximation
Figure 1.2:The pointsxandx+hare contained in someU
j, andz∈(x+V
j)∩(x+h+V
j).
This leads to the partition
U
??????Ω,h=
J
⋃
j=1
U
h,j,U
h,j:={x∈U
??????Ω,h:x,x+h∈U
j}.
It follows from the discussion above that there exist two unit vectorsH
j,1andH
j,2
such that ifx∈U
h,j, then
(i)h=a
1H
j,1−a
2H
j,2with 0≤a
1,a
2≤C|h|,
(ii)[x,x+a
1H
j,1]⊂x+V
jand[x+h,x+h+a
2H
j,2]⊂x+h+V
j,
(iii) the connected components of the intersection of Ω with the infinite lines con-
taining the segments[x,x+a
1H
j,1]and[x+h,x+h+a
2H
j,2]are at least of length̃t.
The above properties allow us to apply Lemma 1.20 twice withU=U
J+1andH=
H
j,1,H
j,2which gives
‖Δ
hf‖
L
p(U
h,j)≤‖Δ
a
1H
j,1
f‖
L
p(U
h,j)+‖Δ
a
2H
j,2
f‖
L
p(U
h,j)
≤Ct
p
(
̃t
∫
t
ω
r(f,Ω,s)
p
p
s
p+1
ds+‖f‖
p
L
p(Ω)
).
We now sum this estimate over allU
h,jand then take the supremum onh≤̃t/r. Fi-
nally, the proof of the theorem is completed by adding estimate (1.22) overU
J+1to the
estimate over⋃
J
j=1
U
j.
Corollary 1.22.LetΩbe a convex domain with B(0, R
1)⊆Ω⊆B(0,R
2)for0<R
1<R
2<
∞. Then for any r≥2, there exists̃t>0such that for any0<t≤̃t/r,0<p≤1, and

1.3 Algebraic polynomials over domains |15
f∈L
p(Ω),
ω
1(f,t)
p
p
≤ct
p
(
̃t
∫
t
ω
r(f,s)
p
s
p+1
ds+‖f‖
pp
), (1.23)
where the constant c depends on R
1, R
2, n, p, r.
1.3 Algebraic polynomials over domains
Let Π
r−1:=Π
r−1=Π
r−1(ℝ
n
)denote the multivariate polynomials of total degreer−1
(orderr) innvariables. This is the collection of functions of the typeP(x)=∑
|α|<r
c
αx
α
,
where forα∈ℤ
n
+
,c
α∈ℂ,|α| :=∑
n
i=1
α
i, andx∈ℝ
n
,x
α
:=∏
n
i=1
x
α
i
i
. By|Ω|we denote the
Lebesgue measure of a set Ω.
Lemma 1.23([30]). Let P∈Π
r−1, and letΩ
1,Ω
2⊂ℝ
n
be bounded convex domains such
thatΩ
1⊆Ω
2and|Ω
2|≤ρ|Ω
1|for some ρ>1. Then for0<p≤∞,
‖P‖
L
p(Ω
2)≤c(n,r,p,ρ)‖P‖
L
p(Ω
1).
Proof.LetAx=Mx+bbe the affine transformation for which (1.5) holds for Ω
1. Since
A
−1
(Ω
1)⊆B(0,n), we have
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
A
−1
(Ω
2)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
=
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
A
−1
(Ω
1)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
|A
−1
(Ω
2)|
|A
−1
(Ω
1)|
≤
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
B(0,n)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
ρ:=C(n,ρ).
(1.24)
Observe thatA
−1
(Ω
2)is a convex domain that containsA
−1
(Ω
1)and therefore also con-
tainsB(0,1). Together with (1.24), this implies that the diameter ofA
−1
(Ω
2)must be
bounded by a constant that depends onnandρ, i. e.,A
−1
(Ω
2)⊆B(0,R),R:=R(n,ρ).
Hence
applying the equivalence of finite-dimensional (quasi-)normed spaces, we ob-
tain
‖P‖
L
p(Ω
2)=
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
det(M )
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
1/p
‖P‖
L
p(A
−1
(Ω
2))
≤
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
det(M )
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
1/p
‖P‖
L
p(B(0,R))
≤C
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
det(M )
&#3683966248; &#3683966248; &#3683966248; &#3683966248;
1
/p
‖P‖
L
p(B(0,1))
≤C
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1
/p
‖P‖
L
p(A
−1
(Ω
1))
=C‖P‖
L
p(Ω
1).

16| 1 Local approximation
Lemma 1.24([30]). For any bounded convex domainΩ⊂ℝ
n
, P∈Π
r−1, and0<p,
q≤∞, we have
‖P‖
L
q(Ω)∼|Ω|
1/q−1/p
‖P‖
L
p(Ω) (1.25)
with constants of equivalency depending only on n, r, p, and q.
Proof.LetAx=Mx+bbe the affine transformation for which (1.5) holds. Since
A(B(0, 1))=θ, from the properties of John’s ellipsoid we get|det(M )|∼|Ω|with
constants of equivalency depending only onn. Also, by the equivalence of finite-
dimensional (quasi-)normed spaces, for any polynomial
̃
P∈Π
r−1, we have that
‖
̃
P‖
L
p(B(0,1)) ∼‖
̃
P‖
L
q(B(0,n)) with
constants of equivalency that depend only onn,r,
p, andq. LetP∈Π
r−1, and denote
̃
P:=P(A⋅). Then
‖P‖
L
q(Ω)=
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/q
‖
̃
P‖
L
q(A
−1
(Ω))
≤
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/q
‖
̃
P‖
L
q(B(0,n))
≤C
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1
/q
‖
̃
P‖
L
p(B(0,1))
≤C
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1
/q
‖
̃
P‖
L
p(A
−1
(Ω))
≤C
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/q−1/p
‖P‖
L
p(Ω)
≤C|Ω|
1/q−1/p
‖P‖
L
p(Ω).
We will need the following Bernstein–Markov-type inequality, which provides an
estimate for the norms of derivatives of algebraic polynomials (see also [51]):
Proposition 1.25([57]). LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded convex domain. Then, for1≤p≤∞,
any polynomial P∈Π
r−1, and α∈ℤ
n
+
such that|α| :=∑
n
i=1
α
i≤r−1,
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
P
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n, |α|)width(Ω)
−|α|
‖P‖
L
p(Ω), (1.26)
wherewidth(Ω) is the diameter of the largest n-dimensional Euclidean ball contained
inΩ.
Theorem 1.26.LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded domain, and let0<p<∞. Then, for any
P∈Π
r−1, we have that ω
r(P,t)
p=0,0<t≤diam(Ω). In the other direction, ifΩis also
open and connected and f∈L
p(Ω)is such that ω
r(f,Ω)
p=0for some r≥1, then there
exists a polynomial P∈Π
r−1such that f=P a. e. onΩ.
Proof.The first part is a direct application of identity (1.15), since it implies that
Δ
r
h
(P,x)=0 for anyx∈Ω andh∈ℝ
n
. To prove the second part, we apply the Whit-
ney decomposition of Ω into interior disjoint cubes (see, e. g., the appendix in [41]).
Namely, there exists a family of closed cubes{Q
k}
∞
k=1
such that:

1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains |17
(i)⋃
k
Q
k=Ω, and the cubesQ
k, have disjoint interiors,
(ii)√nl(Q
k)≤dist(Q
k,Ω
c
)≤4√nl(Q
k), wherel(Q
k)is the side length ofQ
k,
(iii) if the boundaries ofQ
kandQ
jtouch, then
1
4
≤
l(Q
j)
l(Q
k)
≤4,
(iv) for anyQ
k, there are at most 12
n
cubesQ
jthat touch it.
Now from the Whitney decomposition we construct a cover of “substantially” overlap-
ping cubes{
̃
Q
k}
∞
k=1
, simply by symmetrically extending the lengths of the cubes, such
thatl(
̃
Q
k)=2l(Q
k), 1≤k≤∞. By property (ii) of the Whitney decomposition we know
that each
̃
Q
kis contained in Ω, and thus⋃
k
̃
Q
k=Ω. Also, for touching cubesQ
kand
Q
j, the extensions have a “substantial” intersection, i. e.,
|
̃
Q
k∩
̃
Q
j|≥min{l(Q
k)/2,l(Q
j)/2}
n
.
As we will see, in the subsequent sections, we work hard to prove the anisotropic
theory of “local” polynomial approximation. In particular, we produce uniform
bounds for polynomial approximation on bounded convex domains in thep-norms,
0<p≤∞. However, here, on the cubes{
̃
Q
k}, we may apply the isotropic theory.
Namely, we may use the Whitney-type inequality on the unit cube [62], which by the
invariance under dilations implies that there exists a constantc(p,n,r)>0 such that
E
r−1(f,
̃
Q
k)
p:=inf
P∈Π
r−1
‖f−P‖
L
p(
̃
Q
k)
≤cω
r(f,
̃
Q
k)
p. This means thatf=P
ka. e. on
̃
Q
kfor
someP
k∈Π
r−1, 1≤k≤∞. Since Ω is a connected domain, using the “substantial”
intersections of the extended cubes of touching cubes yields that for touching cubes
Q
k,Q
j, we have thatP
k=P
j. From this we may conclude by induction (on a sequence
of cubes touching at least one cube from the set of previous cubes) that there exists a
uniqueP∈Π
r−1such thatP=P
kfor allk. This concludes the proof.
Remark 1.27.Note that we should take care not to use the anisotropic Whitney theo-
rem (Theorem 1.34) in the proof of the second part of Theorem 1.26 for the case 0<p<
1, since we would end up with a circular argument.
1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains
Given a bounded regular domain Ω⊂ℝ
n
, our goal is estimating the degree of approx-
imation of a functionf∈L
p(Ω), 0<p≤∞, by algebraic polynomials of total degree
r−1,
E
r−1(f,Ω)
p:=inf
P∈Π
r−1
‖f−P‖
L
p(Ω).

18| 1 Local approximation
For a star-shaped domain Ω (see Definition 1.7), we denote
ρ
max:=max{ρ |Ω is star-shaped with respect to a ballB⊆Ω of radiusρ}.
Thechunkiness parameterof Ω [15] is defined as
γ:=
diam(Ω)
ρ
max
. (1.27)
Note that the chunkiness parameterγbecomes larger in cases where the domain is
longer and thinner. This leads to the following Bramble–Hilbert formulation (see, e. g.,
[15]).
Theorem 1.28(Bramble–Hilbert lemma for star-shaped domains). LetΩbe a bound-
ed domain that is star-shaped with respect to some ball B with chunkiness parameter γ,
and let g∈W
r
p
(Ω),1≤p≤∞, r≥1. Then there exists a polynomial P∈Π
r−1such that
|g−P|
k,p≤C(n,r)(1+γ)
n
diam(Ω)
r−k
|g|
r,p,k=0,1, . . . ,r−1. (1.28)
Before we proceed with the proof of Theorem 1.28, we need some preparation. Let
g∈C
r
(Ω)and recall that the classicalTaylor polynomialof orderr(degreer−1) at
x∈Ω about a pointy∈Bis given by
T
r
y
g(x) :=∑
|α|<r
??????
α
g(y)
α!
(x−y)
α
, (1.29)
whereα! :=∏
n
i=1
α
i!. Then theTaylor remainderof orderris given by
R
r
y
g(x) :=g(x)−T
r
y
g(x)=r∑
|α|=r
(x−y)
α
α!
1
∫
0
s
r−1
??????
α
g(x+s(y−x))ds, (1.30)
which is meaningful, since the segment[x,y]is contained in Ω. Then we have
g(x)=T
r
y
g(x)+R
ry
g(x),x∈Ω.
Our construction of an approximating polynomial relies on averaging the Taylor poly-
nomials over the ballB. It can be shown that there exists a cut-off functionϕ∈C
∞
for
B(0,1)with the following properties:
(i)∫
ℝ
nϕ(x)dx=1,
(ii) supp(ϕ) =B(0,1),
(iii)‖ϕ‖
∞≤1.
For any ballB(x
0,ρ), the cut-off functionϕ
B:=ρ
−n
ϕ
(ρ
−1
(⋅−x
0))satisfies the following
properties:

1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains |19
(i)∫
ℝ
nϕ
B(x)dx=1,
(ii) supp(ϕ
B)=B(x
0,ρ),
(iii)‖ϕ
B‖
∞≤ρ
−n
.
Theav
eraged Taylor polynomialofg∈C
r
(Ω)overB⊆Ω of orderr(degreer−1) is given
by
T
r
B
g(x) :=∫
B
T
r
y
g(x)ϕ
B(y)dy,x∈Ω. (1.31)
We also denote theaveraged Taylor remainderby
R
r
B
g(x) :=g(x)−T
r
B
g(x).
Lemma 1.29.For x∈Ω, whereΩis star-shaped with respect to B(x
0,ρ)⊂Ω, and g∈
C
r
(Ω),
R
r
B
g(x)=r∑
|α|=r
∫
V(x)
K
α(x,z)??????
α
g(z)dz, (1.32)
where V(x)is the convex closure of{x}∪B, and K
α=
1
α!
(x−z)
α
K(x,z)with
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
K(x,z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤C(γ+1)
n
|x−z|
−n
,γ=
diam(Ω)
ρ
. (1.33)
Proof.We fixx∈Ω and observe that, by properties (i) and(ii) ofϕ
B,
R
r
B
g(x)=g(x)−T
r
B
g(x)
=∫
B
(g(x)−T
r
y
g(x))ϕ
B(y)dy
=∫
B
R
r
y
g(x)ϕ
B(y)dy
=r∑
|α|=r
∫
B
(x−y)
α
α!
ϕ
B(y)
1
∫
0
s
r−1
??????
α
g(x+s(y−x))dsdy.
We now make the change of variables(y,s)to(z,s)withz=x+s(y−x)and define the
integration domain
A:={(z,s) :s∈[0,1],
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
s
−1
(z−x)+x−x
0
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤ρ}

20| 1 Local approximation
to obtain
R
r
B
g(x)=r∑
|α|=r
1
α!
∫
A
(x−z)
α
ϕ
B(s
−1
(z−x)+x)??????
α
g(z)s
−n−1
dzds
=r∑
|α|=r
∫
V(x)
??????
α
g(z)
1
α!
(x−z)
α
1
∫
0
1
A(z,s)ϕ
B(s
−1
(z−x)+x)s
−n−1
dsdz
=r∑
|α|=r
∫
V(x)
??????
α
g(z)K
α(x,z)dz,
where
K
α(x,z) :=
1
α!
(x−z)
α
K(x,z),K(x,z) :=
1
∫
0
1
A(z,s)ϕ
B(s
−1
(z−x)+x)s
−n−1
ds.
We now prove estimate (1.33). Observe that
(z,s)∈A⇒
|z−x|
|x−x
0|+ρ
<s.
So witht:=|z−x|/(|x−x
0|+ρ)and property (iii) ofϕ
B, we get
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
K(x,z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
=
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1
∫
0
1
A(z,s)ϕ
B(s
−1
(z−x)+x)s
−n−1
ds
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤‖ϕ
B‖
∞
1
∫
t
s
−n−1
ds
≤C(n)ρ
−n
t
−n
=C(n)ρ
−n
|x−z|
−n
(|x−x
0|+ρ)
n
=C(n)(1+
1
ρ
|x−x
0|)
n
|x−z|
−n
≤C(n)(1+γ)
n
|x−z|
−n
.
Next, we provide the following commutativity of Taylor polynomials and differen-
tiation under affine transformations.
Lemma 1.30([29]). Let A(x)=Mx+b be a nonsingular affine transformation, and let
g∈C
r
(Ω). Then, for any x∈Ωand α∈ℤ
n
+
with1≤|α|≤r, we have
??????
α
x
[T
r
y
(g(A⋅))(A
−1
x)]=T
r−|α|
y
(??????
α
g(A⋅))(A
−1
x), (1.34)

1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains |21
which implies that for a star-shaped domain (with respect to B),
??????
α
x
[T
r
B
(g(A⋅))(A
−1
x)]=T
r−|α|
B
(??????
α
g(A⋅))(A
−1
x). (1.35)
Proof.Observe that it is sufficient to prove that for any 1≤k≤r−1 and 1≤s≤n,
??????
e
s
x
[∑
|β|=k
??????
β
y
̃g(y)
β!
(A
−1
x−y)
β
]=∑
|γ|=k−1
??????
γ
y
̃g
x
s
(y)
γ!
(A
−1
x−y)
γ
, (1.36)
wherẽg:=g(A⋅),̃g
x
s
:=g
x
s
(A⋅),g
x
s
:=
??????g
??????x
s
, and{e
s}
s=1,...,n is the standard basis ofℝ
n
.
The case of a general multivariate derivative??????
α
x
follows by repeated applications of
(1.36), and the Taylor series formulation (1.34) is obtained by adding all the degrees
1≤k≤r−1. To prove the above, letM=: (a
i,j)
1≤i,j≤nandM
−1
=: (b
i,j)
1≤i,j≤n. In the
calculations below, ifβ
i=0, then differentiating(A
−1
x−y)
β
with respect tox
sdoes
not produce the termβ
ib
i,s(A
−1
x−y)
β−e
i
, we rather have 0, and it does not appear in
the summation. Hence in this case, we regardβ
ib
i,s(A
−1
x−y)
β−e
i
:=0 and(β−e
i)!=∞,
and again the term is not there. This takes care of itself automatically when we switch
below the summation fromβtoγ=β−e
i:
??????
e
s
x
[∑
|β|=k
??????
β
y
̃g(y)
β!
(A
−1
x−y)
β
]=∑
|β|=k
??????
β
y
̃g(y)
β!
??????
e
s
x
((A
−1
x−y)
β
)
=∑
|β|=k
??????
β
y
̃g(y)
β!
n
∑
i=1
β
ib
i,s(A
−1
x−y)
β−e
i
=∑
|β|=k
n
∑
i=1
??????
β
y
̃g(y)
(β−e
i)!
b
i,s(A
−1
x−y)
β−e
i
=∑
|γ|=k−1
(A
−1
x−y)
γ
γ!
n
∑
i=1
b
i,s??????
γ+e
i
y
̃g(y)
=∑
γ|=k−1
(A
−1
x−y)
γ
γ!
n
∑
i=1
b
i,s??????
γ
y
(
n
∑
j=1
a
j,ig
x
j
(Ay))
=∑
|γ|=k−1
(A
−1
x−y)
γ
γ!
n
∑
j=1
??????
γ
y
(g
x
j
(Ay))
n
∑
i=1
a
j,ib
i,s
=∑
|γ|=k−1
(A
−1
x−y)
γ
γ!
n
∑
j=1
??????
γ
y
(g
x
j
(Ay))δ
j,s
=∑
|γ|=k−1
??????
γ
y(̃g
x
s
(y))
γ!
(A
−1
x−y)
γ
.

22| 1 Local approximation
Proof of Theorem1.28.We first assume thatg∈C
r
(Ω)and diam(Ω)=1. We need the
following Riesz potential inequality [15, Lemma 4.3.6]: for a given
h(x)=∫
Ω
|x−z|
r−n&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
dz,
wheref∈L
p(Ω), 1≤p≤∞, we have
‖h‖
L
p(Ω)≤C(n,r)diam(Ω)
r
‖f‖
L
p(Ω). (1.37)
Fork=0, we use (1.32), (1.33), and (1.37) with diam(Ω) =1 to proceed with
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
g−T
r
B
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω
)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
R
r
B
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤r∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
∫
Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
K
α(⋅,z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
??????
α
g(z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
dz
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
∫
Ω
|x−z|
r−n&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
??????
α
g(z)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
dz
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
|g|
W
r
p
(Ω).
For 0<k<r, letα∈ℤ
n
+
with|α|=k, and leth:=??????
α
g. Applying (1.35) withA(x)=x
and the estimate above forhgive
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
(g−T
r
B
g)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
h−T
r−k
B
h
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
|h|
W
r−k
p
(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
|g|
W
r
p
(Ω).
Summing up over allα∈ℤ
n
+
with|α|=k, we conclude
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
g−T
r
B
g
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;W
k
p
(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
|g|
W
r
p
(Ω),k=0, . . . ,r−1.
This finishes the proof for the caseg∈C
r
(Ω)and diam(Ω) =1. For an arbitrary
bounded domain Ω that is star-shaped with respect toB, let
̃
Ω=A
−1
(Ω), whereAis an
affine transform defined through its inverseA
−1
(x) :=diam(Ω)
−1
(x−x
0), wherex
0is
the center ofB. Observe that
̃
Ω satisfies diam(
̃
Ω)=1 and is star-shaped with respect to
the ballA
−1
(B), having the same chunkiness parameterγas Ω. For̃g:=g(A⋅), by the
previous part in the proof
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
̃g−T
r
A
−1
(B)
̃g
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;W
k
p
(
̃
Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
|̃g|
W
r
p
(
̃
Ω)
,k=0, . . . ,r−1.

1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains |23
Thus, withP:=T
r
A
−1
(B)
̃g(A
−1
⋅)∈Π
r−1, for 1≤p<∞(the proof forp=∞is exactly the
same with no need for the change of variables), we obtain
‖g−P‖
L
p(Ω)=diam(Ω)
−1/p&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
̃g−T
r
A
−1
(B)
̃g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(
̃
Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
−1/p
(γ+1)
n
|̃g|
W
r
p
(
̃
Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
−1/p
(γ+1)
n
diam(Ω)
r
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g(A⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(
̃
Ω)
=C(n,r)(γ+1)
n
diam(Ω)
r
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=C(n,r)(γ+1)
n
diam(Ω)
r
|g|
W
r
p
(Ω).
For 0<k<r, letα∈ℤ
n
+
with|α|=k, and leth:=??????
α
g. Applying (1.35) with the affine
transformationAdefined above and the above estimate forhgives
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
(g−P)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
h−??????
α
[T
r
A
−1
(B)
̃g(A
−1
⋅)]
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
h−T
r−k
A
−1
(B)
h
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
diam(Ω)
r−k
|h|
W
r−k
p
(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
diam(Ω)
r−k
|g|
W
r
p
(Ω).
Summing up over allα∈ℤ
n
+
with|α|=k, we conclude
|g−P|
W
k
p
(Ω)
≤C(n,r)(γ+1)
n
diam(Ω)
r−k
|g|
W
r
p
(Ω),k=0, . . . ,r−1.
This concludes the proof forg∈C
r
(Ω). SinceC
∞
(Ω)is dense inW
r
p
(Ω), 1≤p<∞,
we may apply a standard density argument to obtain (1.28) forg∈W
r
p
(Ω), that is, there
exist sequences{g
k},g
k∈C
r
(Ω), and{P
k},P
k∈Π
r−1,k≥1, for which (1.28) is satisfied
and also‖g−g
k‖
W
r
p
(Ω)→0. Then from{P
k}we may extract a subsequence converging
toP∈Π
r−1(e. g., in theL
∞norm), such that (1.28) is satisfied forgwithP.
The Bramble–Hilbert lemma for star-shaped domains implies that for Ω, a star-
shaped domain with respect to some ballB, with chunkiness parameterγandf∈
L
p(Ω), 1≤p≤∞, we have
K
r(f,Ω)
p≤E
r−1(f,Ω)
p≤C(n,r)(γ+1)
n
K
r(f,Ω)
p. (1.38)
If we further assume that the domain satisfies the uniform cone property, then apply-
ing (1.17), fort=diam(Ω), we obtain the equivalence
E
r−1(f,Ω)
p∼K
r(f,Ω)
p∼ω
r(f,Ω)
p (1.39)

24| 1 Local approximation
for 1≤p≤∞with constants that also depend on the shape of the domain Ω. An ap-
plication of Theorem 1.28 is the following:
Theorem 1.31([29]). LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded domain, and let A be a nonsingular affine
map such that B(0,1)⊆A
−1
(Ω)⊆B(0,n)and A
−1
(Ω)is star-shaped with respect to
B(0,1). Then, for g∈W
r
p
(Ω), r≥1,1≤p≤∞, there exists a polynomial P∈Π
r−1such
that
|g−P|
W
k
p
(Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
r−k
|g|
W
k
p
(Ω)
,k=0,1, . . . ,r. (1.40)
For the case of g∈C
r
(Ω), P(x)=T
r
B(0,1)
(g(A⋅))(A
−1
x)satisfies(1.40).
Proof.Note that we can bound the chunkiness parameter (1.27) as follows:
γ(A
−1
(Ω))≤2n. (1.41)
SinceA(x)=Mx+bmapsB(0,1)into Ω, we get that‖M‖
2≤diam(Ω). This gives that
max
1≤i,j≤n|a
i,j|≤diam Ω, whereM=(a
i,j)
1≤i,j≤n. With̃g:=g(A⋅)and
̃
Ω:=A
−1
(Ω), for
y∈
̃
Ω andα∈ℤ
n
+
with|α|=k,k=1, . . . ,r, we get
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
??????
α
̃g(y)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤diam(Ω)
k
∑
|β|=k
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
(??????
β
g)(Ay)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
.
In particular,
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
̃g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(
̃
Ω)
≤c(n,r)diam(Ω)
r
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
(??????
α
g)(A⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(
̃
Ω)
. (1.42)
We can now prove (1.40) fork=0. Let
̃
P:=T
r
B(0,1)
̃g∈Π
r−1andP:=
̃
P(A
−1
⋅). Then since
the chunkiness parameter of
̃
Ω satisfies (1.41), using (1.28) and (1.42), for 1≤p<∞
(the proof forp=∞is exactly the same with no need for the change of variables), we
obtain
‖g−P‖
L
p(Ω)=
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
‖̃g−
̃
P‖
L
p(
̃
Ω)
≤c(n,r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
|̃g|
W
r
p
(
̃
Ω)
≤c(n,r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
diam(Ω)
r
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g(A⋅)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(
̃
Ω)
=c(n,r)diam(Ω)
r
∑
|α|=r
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
g
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=c(n,r)diam(Ω)
r
|g|
W
r
p
(Ω).
For 0<k<r, we proceed as in the proof of Theorem 1.28. Letα∈ℤ
n
+
with|α|=k,
and leth:=??????
α
g. Applying (1.35) with the affine transformationAdefined above, in the

1.4 The Bramble–Hilbert lemma for convex domains |25
casek=0 forh, we get
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
??????
α
(g−P)
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
h−??????
α
[T
r
B(0,1)
̃g(A
−1
⋅)]
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
=
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
h−T
r−k
B(0,1)
h
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
r−k
|h|
W
r−k
p
(Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
r−k
|g|
W
r
p
(Ω).
Summing up over allα∈ℤ
n
+
with|α|=k, we conclude
|g−P|
W
k
p
(Ω)
≤C(n,r)diam(Ω)
r−k
|g|
W
r
p
(Ω),k=0, . . . ,r−1.
This concludes the proof forg∈C
r
(Ω). SinceC
∞
(Ω)is dense inW
r
p
(Ω), 1≤p<∞,
we may apply a standard density argument as in the proof of Theorem 1.28 to obtain
(1.40) forg∈W
r
p
(Ω).
An immediate application of John’s lemma (Proposition 1.6) and Theorem 1.31
gives the following:
Corollary 1.32(Bramble–Hilbert lemma for convex domains [29]). LetΩ⊂ℝ
n
be a
bounded convex domain, and let g∈W
r
p
(Ω), r∈ℕ,1≤p≤∞. Then there exists a
polynomial P∈Π
r−1such that
|g−P|
k,p≤C(n,r)diam(Ω)
r−k
|g|
r,p,k=0,1, . . . ,r−1. (1.43)
For the case of g∈C
r
(Ω), P(x)=T
r
B(0,1)
(g(A⋅))(A
−1
x)satisfies(1.43), where T
r
B
h is the
averaged Taylor polynomial of h with respect to the ball B, given by(1.31). In particular,
for the case k=0, we obtain
E
r−1(g,Ω)
p≤C(n,r)diam(Ω)
r
|g|
r,p. (1.44)
For the general case of functions inL
p(Ω), we also get the following:
Corollary 1.33.LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded convex domain, and let f∈L
p(Ω),1≤p≤∞.
Then, for any r≥1,
E
r−1(f,Ω)
p∼K
r(f,Ω)
p, (1.45)
where the constants of equivalency depend only on n and r and not on f orΩ.
Proof.Letg
i∈W
r
p
(Ω),i≥1, be a sequence such that
K
r(f,diam(Ω)
r
)
p
=inf
i
{‖f−g
i‖
p+diam(Ω)
r
|g
i|
r,p}.

26| 1 Local approximation
By (1.43) there exist polynomialsP
i∈Π
r−1,i≥1, such that
‖g
i−P
i‖
p≤C(n,r)diam(Ω)
r
|g
i|
r,p.
Therefore
E
r−1(f,Ω)
p≤inf
i
‖f−P
i‖
p
≤inf
i
{‖f−g
i‖
p+‖g
i−P
i‖
p}
≤inf
i
{‖f−g
i‖
p+C(n,r)diam(Ω)
r
|g
i|
r,p}
≤C(n,r)K
r(f,diam(Ω)
r
)
p
=C(n,r)K
r(f,Ω)
p.
To proveK
r(f,Ω)
p≤E
r−1(f,Ω)
p, letPbe an arbitrary polynomial in Π
r−1. Then
using (1.9), it is easy to see that
K
r(f,diam(Ω)
r
)
p
≤‖f−P‖
p+diam(Ω)
r
|P|
r,p=‖f−P‖
p.
SincePwas chosen arbitrarily, we get that
K
r(f,Ω)
p=K
r(f,diam(Ω)
r
)
p
≤inf
P∈Π
r−1
‖f−P‖
p=E
r−1(f,Ω)
p.
1.5 The Whitney theorem for convex domains
In the previous section, where the polynomial approximation was taking place in the
L
pspace with 1≤p≤∞, we were able to apply the tools of Sobolev spaces and the
K-functional. However, for the case of 0<p<1, we need to directly estimate “local”
low-order polynomial approximation over convex domains explicitly using moduli of
smoothness. The critical emphasis is on estimates where the leading constant does
not further depend on the geometry of the domain. The main result of this section is
the following:
Theorem 1.34([30]). LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded convex domain, and let f∈L
p(Ω),0<
p≤∞. Then for any r≥1,
E
r−1(f,Ω)
p≤C(n,r,p)ω
r(f,Ω)
p, (1.46)
where ω
r(f,Ω)
pis defined in(1.13).
Before we proceed with the proof of Theorem 1.34, we review two corollaries that
can be derived from it. By the first part of Theorem 1.26 we have thatω
r(P,Ω)
p=0 for

1.5 The Whitney theorem for convex domains |27
any polynomialP∈Π
r−1. Thus
ω
r(f,Ω)
p≤ω
r(f−P,Ω)
p≤C‖f−P‖
p,
which gives
ω
r(f,Ω)
p≤CE
r−1(f,Ω)
p.
Combining this with (1.45) and (1.46) yields the following:
Corollary 1.35.For all bounded convex domainsΩ⊂ℝ
n
, functions f∈L
p(Ω), and r≥1,
for1≤p≤∞, we have the equivalence
E
r−1(f,Ω)
p∼K
r(f,Ω)
p∼ω
r(f,Ω)
p, (1.47)
and for0<p<1, we have the equivalence
E
r−1(f,Ω)
p∼ω
r(f,Ω)
p, (1.48)
where the constants depend on n, r, and p but not onΩor f .
Corollary 1.36.For any bounded convex domainΩ⊂ℝ
n
, r≥1, and1≤p<∞, there
exists a linear projector P
Ω,p:L
p(Ω)→Π
r−1that realizes the Whitney inequality
‖f−P
Ω,pf‖
L
p(Ω)≤C(n,r,p)ω
r(f,Ω)
p.
This also implies that the projectors{P
Ω,p}
Ωare uniformly bounded over all bounded
convex domains.
Proof.Recall that by (1.43), for anyg∈C
r
(Ω), the linear projector
P
Ωg(x) :=T
r
B(0,1)
(g(A⋅))(A
−1
x)
realizes the Bramble–Hilbert lemma
‖g−P
Ωg‖
L
p(Ω)≤C(n,r)diam(Ω)
r
|g|
W
r
p
(Ω).
By (1.47) this further implies that
‖g−P
Ωg‖
L
p(Ω)≤C(n,r,p)ω
r(g,Ω)
p.
Observe that this also gives thatP
Ωis bounded onC
r
(Ω)∩L
p(Ω):
‖P
Ωg‖
p≤‖P
Ωg−g‖
p+‖g‖
p
≤Cω
r(g,Ω)
p+‖g‖
p
≤C‖g‖
p.

28| 1 Local approximation
SinceC
r
(Ω)is dense inL
p(Ω), 1≤p<∞, we may extendP
Ωto a bounded projector
P
Ω,pthat realizes the Whitney estimate for functions inL
p(Ω).
We prove Theorem 1.34 separately for 1≤p≤∞and 0<p<1. As we will see,
in the former case, we can use the equivalence of the modulus of smoothness and the
K-functional and then apply the machinery of K-functionals. In the latter case, we have
to work significantly harder as the classical K-functional inL
p, 0<p<1, is trivial.
Proof of Theorem1.34for the case1≤p≤∞.LetA(x)=Mx+bbe the affine transfor-
mation for which (1.5) holds. Corollary 1.33 implies that for
̃
Ω:=A
−1
(Ω)and
̃
f:=f(A⋅),
there exists a polynomial
̃
P∈Π
r−1such that
‖
̃
f−
̃
P‖
L
p(
̃
Ω)
≤C(n,r)K
r(
̃
f,
̃
Ω)
p.
SinceB(0,1)⊆
̃
Ω⊆B(0,n),
̃
Ω fulfills the conditions of Corollary 1.17 withR
1=1 and
R
2=n, we may apply (1.18) witht=diam(
̃
Ω)to obtain
‖
̃
f−
̃
P‖
L
p(
̃
Ω)
≤C(n,r)K
r(
̃
f,
̃
Ω)
p
≤C(n,r,p)ω
r(
̃
f,
̃
Ω)
p.
DenotingP:=
̃
P(A
−1
⋅)yields
‖f−P‖
L
p(Ω)=
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
‖
̃
f−
̃
P‖
L
p(
̃
Ω)
≤C
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
det(M )
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
ω
r(
̃
f,
̃
Ω)
p
=Cω
r(f,Ω)
p.
This proves Theorem 1.34 for the case 1≤p≤∞.
We now turn to the proof of the Whitney theorem for 0<p<1 [30]. We first
consider the caser=1.
Lemma 1.37.LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded domain, and let f∈L
p(Ω),0<p<∞. Then
there exists a constant c such that
∫
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
f(x)−c
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx≤
1
|Ω|
∫
|h|≤diam(Ω)
∫
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(f,Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dxdh, (1.49)
where|Ω|denotes the volume ofΩ.
Proof.By a standard density argument we may assume thatfis continuous. Consider
the functionϕ(y) :=∫
Ω
|f(x)−f(y)|
p
dx,y∈Ω. Clearly, there existsy
0∈Ω such that
ϕ(y
0)≤
1
|Ω|
∫
Ω
ϕ(y)dy.

1.5 The Whitney theorem for convex domains |29
Therefore withc:=f(y
0)we get
∫
Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(x)−c
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx=ϕ(y
0)
≤
1
|Ω|
∫
Ω
ϕ(y)dy
=
1
|Ω|
∫
Ω
∫
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
f(x)−f(y)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dy.
By definition, for any domain Ω and everyx∈Ω, ifx+h̸∈Ω, then Δ
h(f,Ω,x)=0.
Therefore the substitutionh=y−xyields (1.49).
Corollary 1.38.LetΩ⊂ℝ
n
be a bounded convex domain, and let f∈L
p(Ω),0<p<∞.
Then there exists a constant c such that
‖f−c‖
L
p(Ω)≤(2n)
n/p
ω
1(f,Ω)
p. (1.50)
Proof.Let
̃
Ω:=A
−1
(Ω), whereAis the affine transformation for which (1.5) holds.
Denote
̃
f:=f(A⋅). By Lemma 1.37 there exists a constantcsuch that
∫
̃
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
̃
f(x)−c
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx≤
1
|
̃
Ω|
∫
|h|≤2n
∫
̃
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(
̃
f,
̃
Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dh.
Hence
∫
̃
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
̃
f(x)−c
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx≤
|B(0,2n)|
|B(0,1)|
ω
1(
̃
f,
̃
Ω)
p
p
=(2n)
n
ω
1(
̃
f,
̃
Ω)
p
p
.
As we have seen in the proof of Theorem 1.34 for the case 1≤p≤∞, the Whit-
ney inequality is invariant under affine maps, and therefore the above inequality im-
plies (1.50).
Lemma 1.39.LetΩ⊂ℝ
n
be a convex domain such that B(0, R
1)⊆Ω⊆B(0,R
2)for some
0<R
1<R
2, and let f∈L
p(Ω),0<p<∞. Then, for each m∈ℕ, there exists a step
function
ϕ=
K
∑
k=1
1
Q
k
c
k
with the following properties:
(1)Q
k,1≤k≤K≤C
1(n,R
2)m
n
, are cubes taken from the uniform grid of side length
m
−1
and thus have disjoint interiors;

30| 1 Local approximation
(2) Ω⊆⋃
K
k=1
Q
k;
(3)‖f−ϕ‖
L
p(Ω)≤C(n,R
1,R
2)ω
1(f,1/m)
L
p(Ω);
(4)‖
ϕ‖
L
p(ℝ
n
)≤C(n,R
1,R
2,p)‖f‖
L
p(Ω).
Proof.Form∈ℕ, we select from the uniform grid of lengthm
−1
all the cubesQ
k,
1≤k≤
̃
K≤(2R
2)
n
m
n
, for which int(Q
k∩Ω)̸=0. For each 1≤k≤
̃
K, we construct
fromQ
k, by a symmetric extension, the cube
̃
Q
kwith side length 3m
−1
. For example,
the cube[0,m
−1
]
n
is extended to[−m
−1
,2m
−1
]
n
. We claim that there exists a constant
C
2(n,R
1,R
2)such that
|
̃
Q
k∩Ω|≥C
2(n,R
1,R
2)m
−n
,1≤k≤
̃
K. (1.51)
Indeed, given 1≤k≤
̃
K, take a pointx
0∈Q
k∩Ω. Ifx
0∈B(0,R
1), then it is easy to see
that there exists a constantC
3(n,R
1)for which
|Ω∩
̃
Q
k|≥
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B(0,R
1)∩
̃
Q
k
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≥C
3(n,R
1)m
−n
.
Otherwise,x
0̸∈B(0,R
1), and we denote byV(x
0)the cone defined by the convex clo-
sure of the set{x
0}∪B(0,R
1)⊆Ω. SinceB(0,R
1)⊂V(x
0)⊂B(0,R
2), it follows that
the head angleαof the coneV(x
0)satisfies sin(α /2)≥R
1/R
2. Therefore the volume
ofV(x
0)∩
̃
Q
kis bounded from below by the volume of a cone inℝ
n
with head angle
2 arcsin(R
1/R
2)and heightm
−1
. This implies that there exists a constantC
4(n,R
1,R
2)
such that
|Ω∩
̃
Q
k|≥
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
V(x
0)∩
̃
Q
k
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≥C
4(n,R
1,R
2)m
−n
.
We conclude that (1.51) holds withC
2:=min(C
3,C
4).
Next, we augment cubesQ
k,
̃
K<k≤K, withK≤C
1(n,R
2)m
n
, taken from the
uniform grid of lengthm
−1
, to ensure that⋃
K
k=1
Q
k=⋃
̃
K
k=1
̃
Q
k.
We first assume thatf≥0. This will allow us to show thatϕconstructed below
satisfies property (4). We also focus on the case 0<p≤1. Lemma 1.37 implies that for
each 1≤j≤
̃
K, there exists a constant̃c
jthat satisfies
∫
̃
Q
j∩Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(x)−̃c
j
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx≤
1
|
̃
Q
j∩Ω|
∫
|h|≤3√nm
−1
∫
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(f,
̃
Q
j∩Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dh.
We denote by{
̃
Q
k,j:1≤j≤J(k)≤3
n
}the collection of larger cubes that contain the
cubeQ
k, 1≤k≤K, and set
c
k:=
1
J(k)
J(k)
∑
j=1
̃c
k,j.

1.5 The Whitney theorem for convex domains |31
We claim that
ϕ:=
K
∑
k=1
1
Q
k
c
k
satisfies properties (3) and (4). We proceed to prove property (3). Recalling that only
the cubesQ
k, 1≤k≤
̃
K, intersect with the interior of Ω and applying the properties of
the modulus of smoothness from Proposition 1.14 and (1.51), we have
‖f−ϕ‖
p
L
p(Ω)
=
̃
K
∑
k=1
∫
Q
k∩Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(x)−c
k
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx
=
̃
K
∑
k=1
∫
Q
k∩Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1
J(k)
J(k)
∑
j=1
(f(x)−̃c
k,j)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx
≤
̃
K
∑
k=1
J(k)
∑
j=1
∫
Q
k∩Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
&#3683966248;
f(x)−̃c
k,j
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx
=
̃
K
∑
j=1
∫
̃
Q
j∩Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(x)−̃c
j
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx
≤
̃
K
∑
j=1
1
|
̃
Q
j∩Ω|
∫
|h|≤3√nm
−1
∫
̃
Q
j∩Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(f,
̃
Q
j∩Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dh
≤C(n,R
1,R
2)m
n
̃
K
∑
k=1
∫
|h|≤3√
nm
−1
∫
Q
k∩Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(f,Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dh
=C(n,R
1,R
2)m
n
∫
|h|≤3√
nm
−1
∫
Ω
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
Δ
h(f,Ω,x)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
p
dx dh
≤C(n,R
1,R
2)ω
1(f,3√
n/m)
p
L
p(Ω)
≤C(n,R
1,R
2)ω
1(f,1/m)
p
L
p(Ω)
.
This
proves (3). To prove property (4), we note that since we assumed thatf≥0, it
follows from the proof of Lemma 1.37 that we may takẽc
j≥0, 1≤j≤
̃
K, and hence
thatc
k≥0, 1≤k≤K. Applying (1.51) yields
‖ϕ‖
p
L
p(ℝ
n
)
=m
−n
K
∑
k=1
c
p
k
=m
−n
K
∑
j=1
(
1
J(k)
j(k)
∑
j=1
̃c
k,j)
p

32| 1 Local approximation
≤C(n,R
1,R
2)
K
∑
j=1
J(k)
∑
j=1
̃c
p
k,j
|
̃
Q
k,j∩Ω|
≤C(n,R
1,R
2)
̃
K
∑
j=1
̃c
p
j
|
̃
Q
j∩Ω|.
Using the norm equivalence of finite-dimensional spaces, we may proceed with
̃
K
∑
j=1
̃c
p
j
|
̃
Q
j∩Ω|=
̃
K
∑
k=1
(
J(k)
∑
j=1
̃c
p
k,j
)|Q
k∩Ω|
≤C(n,p)
̃
K
∑
k=1
∫
Q
k∩Ω
c
p
k
dx
=C(n,p)‖ϕ‖
p
L
p(Ω)
≤C(n,p)(‖f‖
p
L
p(Ω)
+‖f−ϕ‖
p
L
p(Ω)
)
≤C(n,p)(‖f‖
p
L
p(Ω)
+ω
1(f,1/n)
p
L
p(Ω)
)
≤C(
n,p)‖f‖
p
L
p(Ω)
.
The proof of the case 1≤p<∞is similar, and this completes the proof of (4) for
nonnegative functions.
For an arbitrary functionf∈L
p(Ω), 0<p<∞, we use the representationf=f
+−f
−
wheref
+(x) :=max(0, f(x))andf
−(x) :=max(0, −f(x))≥0. Using the above method,
we construct approximating step functionsϕ
1,ϕ
2such that
‖f
+−ϕ
1‖
L
p(Ω)≤Cω
1(f
+,1/n)
p, ‖f
−−ϕ
2‖
L
p(Ω
)≤Cω
1(f
−,1/n)
p,
and
‖ϕ
1‖
L
p(ℝ
n
)≤C‖f
+‖
L
p(Ω), ‖ϕ
2‖
L
p(ℝ
n
)≤C‖f
−‖
L
p(Ω).
It is easy to see that for anyx,h∈ℝ
n
,|Δ
h(f
±,x)|≤|Δ
h(f,x)|. Thereforeω
1(f
±⋅)
p≤
ω
1(f, ⋅)
p. Also, it is clear that‖f
±‖
L
p(Ω)≤‖f‖
L
p(Ω). We conclude that the step function
ϕ:=ϕ
1−ϕ
2fulfills properties (1)–(4).
Definition 1.40.Let Ω⊂ℝ
n
be a bounded convex domain containing the origin. We
denote byϕ
Ω∈C(&#3627408714;
n−1
)the unique continuous function that describes??????Ω, where&#3627408714;
n−1
is the unit sphere. Namely, forθ∈&#3627408714;
n−1
,ϕ
Ω(θ)=rif and only if(r,θ)is the unique point
inℝ
n
in polar representation for which(r,θ)∈??????Ω. Observe that the norm ofC(&#3627408714;
n−1
)
induces a metric on the collection of such domains.

1.5 The Whitney theorem for convex domains |33
Lemma 1.41.Let{Ω
m}
m≥1be convex domains inℝ
n
such that B(0, R
1)⊆Ω
m⊆B(0,R
2)
for some0<R
1<R
2. Then there exists a subsequence{Ω
m
i
}
i≥1that converges in the
sense of Definition1.40to a convex domainΩsuch that B(0, R
1)⊆Ω⊆B(0,R
2).
Proof.Letϕ
Ω
m
(θ),m≥1,θ∈&#3627408714;
n−1
, be the corresponding continuous function that
describes the boundary of Ω
m. A similar argument to that used in Theorem 1.10 shows
that all the functions{ϕ
Ω
m
}are uniformly bounded in the Lip-1 norm with a uniform
constantM:=M(n,R
1,R
2). By the Arzelà–Ascoli theorem there exists a convergent
subsequence to some functionϕ. It is easy to verify that the functionϕdescribes the
boundary of a convex domain Ω withB(0,R
1)⊆Ω⊆B(0,R
2).
Proof of Theorem1.34for the case0≤p≤1.Estimate (1.50) is (1.46) forr=1. Assume
on the contrary that for fixed parametersn,r>1, and 0<p≤1, there does not exist a
constantC(n,r,p)for which (1.46) holds for all bounded convex domains Ω⊂ℝ
n
and
functionsf∈L
p(Ω). In view of the invariance of the Whitney estimate under affine
maps, by John’s lemma (Proposition 1.6) this implies the existence of a sequence of
convex domains{
̃
Ω
m}
m≥1,B(0,1)⊆
̃
Ω
m⊆B(0,n), and functions
̃
f
m∈L
p(
̃
Ω
m)for which
E
r−1(
̃
f
m,
̃
Ω
m)
p
p
>mω
r(
̃
f
m,
̃
Ω
m)
p
p
,m≥1.
By Lemma 1.41 we may assume that{
̃
Ω
m}
m≥1converges to a convex domain Ω such
thatB(0,1)⊆Ω⊆B(0,n)in the sense of Definition 1.40. For any sequenceϵ
k↓0, there
existm
k↑∞such that
B(0,1/2)⊆Ω
m
k
:=(1−ϵ
k)
̃
Ω
m
k
⊆Ω⊆B(0,n).
Hence, for the functionsf
m
k
:=(1−ϵ
k)
−n/p̃
f
m
k
((1−ϵ
k)
−1
⋅), we have
E
r−1(f
m
k
,Ω
m
k
)
p
p
=E
r−1(
̃
f
m
k
,
̃
Ω
m
k
)
p
>m
kω
r(
̃
f
m
k
,
̃
Ω
m
k
)
p
p
=m
kω
r(f
m
k
,Ω
m
k
)
p
p
.
Clearly,{Ω
m
k
}
k≥1,B(0,1/2)⊆Ω
m
k
⊆Ω⊆B(0
,n), also converges to Ω in the sense of
Definition 1.40. We simplify the notation by settingf
k:=f
m
k
and Ω
k:=Ω
m
k
, Ω
k⊆Ω,
and we letP
k∈Π
r−1be the best approximation tof
kon Ω
k, i. e.,
‖f
k−P
k‖
p
L
p(Ω
k)
=E
r−1(f
k,Ω
k)
p
p
>kω
r(f
k,Ω
k)
p
p
.
Settingg
k:=λ
k(f
k−P
k)withλ
kdefined by‖g
k‖
L
p(Ω
k)=1, we have a sequence of do-
mains{Ω
k}
k≥1and functions{g
k}
k≥1with the following properties:
(i)‖g
k‖
L
p(Ω
k)=E
r−1(g
k,Ω
k)
p=1,
(ii)ω
r(g
k,Ω
k)
p
p
≤1/k,
(iii)B(0,1/2)⊆Ω
k⊆Ω, and{Ω
k}c
onverges to Ω in the sense of Definition 1.40.

34| 1 Local approximation
By Corollary 1.22 the Marchaud inequality holds with a uniform constant for all the
above domains{Ω
k}. Thus, for sufficiently small 0<δ<̃t, wherẽt(n,r,p)is deter-
mined in Corollary 1.22, from property (ii) we get
ω
1(g
k,δ)
p
L
p(Ω
k)
≤C(n,r,p)δ
p
(
̃t
∫
δ
u
−(p+1) 1
k
du+1)
≤C(n,r,p)(
1
k
+δ
p
).
It follows that for eachϵ>0, there existδ
0andk
0such that
ω
1(g
k,δ)
pL
p(Ω
k)
≤ϵforδ<δ
0andk≥k
0.
Applying Lemma 1.39 withR
1=1/2 andR
2=n, w
e get that for anyϵ>0, there exist
functionsϕ
k,m,k≥k
0,m:=m(ϵ), that are piecewise constant over the grid of length
m
−1
and for which
‖g
k−ϕ
k,m‖
p L
p(Ω
k)
≤Cω
1(g
k,m
−1
)
p
L
p(Ω
k)
≤ϵ,k≥k
0(ϵ). (1.52)
Lemma 1.39(4) and property (i) also yield
‖ϕ
k,m‖
p
L
p(ℝ
n
)
≤C(n,p). (1.53)
Sinceϕ
k,mis constant over the cubes of side lengthm
−1
, we may apply (1.53) to obtain
‖ϕ
k,m‖
L
∞(Ω)≤C(m
n
∫
Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
ϕ
k,m(x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx)
1/p
≤Cm
n/p
=:M.
Consider the set Φ:=Φ(ϵ)of all step functions over the uniform grid of side lengthm
−1
that take the values
jϵ
1/p&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B(0,n)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
−1/p
,j=0,±1, . . . ,±⌈ϵ
−1/p&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B(0,n)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
1/p
M⌉.
Clearly,
inf
φ∈Φ
‖ϕ
k,m−φ‖
p
L
p(Ω)
≤∫
Ω
(ϵ
1/p&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B(0,n)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
−1/p
)
p
dx≤ϵ.
Hence the set Φ is a finiteϵ-net for{ϕ
k,m}
∞
k=k
0(ϵ)
inL
p(Ω). Thus there existφ
ϵ∈Φ and
infinite subsequences{ϕ
ϵ
k,m
}
k≥1and{g
ϵ
k
}
k≥1such that‖ϕ
ϵ
k,m
−φ
ϵ‖
p
L
p(Ω)
≤ϵ, and, in turn,

1.5 The Whitney theorem for convex domains |35
‖g
ϵ
k
−φ
ϵ‖
p
L
p(Ω
k)
≤2ϵ. Applying the above process forϵ
i:=1/(2i),i≥2, we can construct
a sequence{φ
i}
i≥2with the following properties:
(i) 0<C
1≤‖φ
i‖
L
p(Ω)≤C
2<∞.
(ii) For eachi≥2,‖φ
i−g
i,j‖
L
p(Ω
i,j)≤1/ifor allj≥1, w
here{g
i,j}
j≥1is an infinite
subsequence of{g
k}.
(iii)E
r−1(φ
i,Ω)
p
p
≥1/2.
(iv)ω
r(φ
i,Ω
)
p
p
≤C/i, whereC=C(r).
Let us prove property (iii). Since Ω
i,j⊆Ω,j≥1, it follows that
E
r−1(φ
i,Ω)
p
p
≥inf
Q∈Π
r−1
‖φ
i−Q‖
p
L
p(Ω
i,j)
≥inf
Q∈Π
r−1
‖g
i,j−Q‖
p
L
p(Ω
i,j)
−‖φ
i−g
i,j‖
p
L
p(Ω
i,j)
≥1−1/i≥1/2
.
We now
prove property (iv). For a fixedi≥2, leth∈ℝ
n
,|h|≤diam(Ω), be such that
ω
r(φ
i,Ω)
p
p
≤2∫
Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(φ
i,Ω,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx.
Now let
Ω
i,j,h:={x∈Ω: [x,x+rh]⊂Ω, [x,x+rh]̸⊂Ω
i,j}
and
̃
Ω
i,j,h:=⋃
x∈Ω
i,j,h
[x,x+rh].
As the domains Ω
i,jconverge to Ω asj→∞in the sense of Definition 1.40, it follows
that the measure of the sets
̃
Ω
i,j,htends to zero asj→∞. Consequently,
∫
̃
Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
φ
i(x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx→0,j→∞. (1.54)
This gives
ω
r(φ
i,Ω)
p
p
≤2∫
Ω
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(φ
i,Ω,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx
≤2(∫
Ω\Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(φ
i,Ω,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx+∫
Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(φ
i,Ω,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx)

36| 1 Local approximation
≤C(∫
Ω
i,j
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(φ
i,Ω
i,j,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx+∫
̃
Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
φ
i(x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx)
≤C(∫
Ω
i,j
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
Δ
r
h
(g
i,j,Ω
i,j,x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx+‖φ
i−g
i,j‖
p
L
p(Ω
i,j)
+∫
̃
Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
φ
i(x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx)
≤C(ω
r(g
i,j,Ω
i,j)
p
p
+‖φ
i−g
i,j‖
p
L
p(Ω
i,j)
+∫
̃
Ω
i,j,h
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
φ
i(x)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
p
dx)
=:C(I
1+I
2+I
3).
Finally,I
1=ω
r(g
i,j,Ω
i,j)
p
p
→0 asj→∞, and by (1.54)I
3→0 asj→∞, whereas by
(ii)I
2≤1/ifor allj≥1. This completes the proof of (iv).
We now repeat the proof with the sequence{φ
i}
i≥2on the fixed domain Ω in place
of sequences{g
k}
k≥1and{Ω
k}
k≥1. This can be done because properties (i), (iii), and
(iv) of{φ
i}are almost the same as properties (i) and (ii) of{g
k}, and, in addition, we
have the major advantage of a fixed domain Ω. Thus we obtain sequences{Ψ
i,m}of
piecewise constants on the grid of lengthm
−1
for which
‖φ
i−Ψ
i,m‖
p
L
p(Ω)
≤ϵ
and which possess the finiteϵ-net property, that is, for eachϵ>0, we have Ψ
ϵ
such
that‖φ
ϵ
i
−Ψ
ϵ
‖
p
L
p(Ω)
≤2ϵfor an infinite subsequence of{φ
i}. Takingϵ
l=1/(2l)and
repeating the argument forl=2,3, . . ., each time taking a subsequence of the previous
one, in summary, we obtain a sequence{Ψ
l}
l≥2and a sequence{φ
j}
j≥2such that
‖Ψ
l−φ
j‖
p
L
p(Ω)
≤
1
l
,∀j≥l.
Hence{Ψ
l}
l≥2is a Cauchy sequence inL
p(Ω)and therefore converges to some Ψ∈
L
p(Ω). This implies thatφ
j→Ψ inL
p(Ω)and, in turn, that, on the one hand,
ω
r(Ψ,Ω)
p=0, whereas, on the other hand,
E
r−1(Ψ,Ω)
p
p
≥inf
Q∈Π
r−1
‖φ
j−Q‖
p
L
p(Ω)
−‖Ψ−φ
j‖
p
L
p(Ω)
≥
1
2
−‖Ψ−φ
j‖
pL
p(Ω)
→
1
2
asj→∞,
contradicting Theorem 1.26.
We conclude that Theorem 1.34 holds, that is, there exists a constantC(n,r,p)such
that for all bounded convex domains Ω and all functionsf∈L
p(Ω), 0<p<1,
E
r−1(f)
p≤C(n,r,p)ω
r(f,Ω)
p.

2 Anisotropic multilevel ellipsoid covers ofℝ
n
Spaces of homogeneous type serve as a platform for significant generalization of the
Euclidean space equipped with the Lebesgue measure [33]. However, function spaces
defined over general spaces of homogeneous type are limited in many ways. Kernels
can only have limited regularity, Hardy spaces are only defined for values ofp≤1
“close” to 1, Besov spaces can only be defined for limited smoothnessα>0, etc. In
fact, these limitations are determined by the parameterαof Proposition 2.4. Thus the
goal of the construction presented in Section 2.2 is providing a platform for spaces of
homogeneous type that are sufficiently general on one hand but, at the same time,
do not have these limitations and allow almost complete generalization of their Eu-
clidean function space counterparts. Our setup is over the spaceℝ
n
and uses the
Lebesgue measure. However, the Euclidean distance is replaced by quasi-distances
derived from replacing the Euclidean balls by (possibly) anisotropic ellipsoids that
may change rapidly from point to point and from scale to scale. This pointwise variable
control over the local geometry of the homogeneous space overℝ
n
allows us to apply
local smoothness analysis using machinery such as moduli of smoothness and rep-
resentations/approximations by algebraic polynomials. In Section 2.5, we precisely
characterize the spaces of homogeneous type that induce ellipsoid covers, which al-
lows us to provide examples showing that our setting is quite comprehensive.
2.1 Spaces of homogeneous type
Definition 2.1.Aquasi-distanceon a setXis a mappingρ:X×X→[0, ∞)that satisfies
the following conditions for allx,y,z∈X:
(i)ρ(x,y)=0⇔x=y,
(ii)ρ(x,y)=ρ
(y,x),
(iii)
there existsκ≥1 such that
ρ(x,y)≤κ(ρ(
x,z)+ρ(z,y)) . (2.1)
Any quasi-distanceρdefines a topology for which the ballsB
ρ(x,r) :={y∈X:
ρ(x,y)<r}form a base.
Definition
2.2([19]). A space ofhomogeneous type(X,ρ,μ)is a setXtogether with a
quasi-distanceρand a nonnegative measureμsuch that 0<μ(B
ρ(x,r))<∞for all
x∈Xandr>0 and such that the followingdoubling conditionholds for some fixed
c
0>0:
μ(B
ρ(x,2r))≤c
0μ(B
ρ(x,r)),∀x∈X,∀r>0. (2.2)
https://doi.org/10.1515/9783110761795-002

38| 2 Ellipsoid covers
Obviously, we assume thatμis defined on aσ-algebra that contains all Borel sets and
ballsB(x,r). Throughout the book, we will frequently use the notation|Ω| := μ(Ω)for
measurable Ω⊆X. The doubling condition (2.2) implies, with the“upper dimension’’
d:=log
2c
0, the following growth condition on the volume of balls:
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B
ρ(x,λr)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤c
0λ
d&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B
ρ(x,r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
,∀x∈ℝ
n
,r>0,λ≥1. (2.3)
ANormal Space of Homogeneous Typeis a homogeneous space for which (2.2) is re-
placed by the stronger conditionμ(B
ρ(x,r))∼rwith constants that do not depend on
xandr.
Remark 2.3.Given a metric spaceXequipped with distanceρand measureμ, the con-
ditionμ(B
ρ(x,r))∼r,x∈X,r>0, is a particular case ofAhlfors–David q-regularity
withq=1. In fact, this condition, also known asAhlfors-1 regularity, already appeared
in Ahlfors’ paper from 1935 [2].
Proposition 2.4([54]). Let ρ be a quasi-distance on a set X satisfying(2.1)with κ≥1.
Then there exist a quasi-distance ρ
′
on X and constants c>0and0<α<1such that
any x,y,z∈X and r>0,
(i)ρ
′
(x,y)∼ρ(x,y),
(ii)|ρ
′
(
x,z)−ρ
′
(y,z)|≤cr
1−α
ρ
′
(x,y)
α
whenever ρ
′
(x,z),ρ
′
(y,z)≤r.
Moreover, we may choose
α:=
log(2)
log(3κ
2
)
, (2.4)
where κ is given by(2.1).
Proposition 2.5([54]). Let(X,ρ,μ)be a space of homogeneous type such that all the
balls are open sets. Then the function
ρ
′
(x,y) :=inf{μ(B
ρ) :B
ρis a ball, x,y∈B
ρ}
,x,y∈X,x̸=y,
and ρ
′
(x,x) :=0, x∈X, is a quasi-distance on X inducing the same topology as ρ, and
(X,ρ
′
,μ)is a normal space of homogeneous type.
The above results (e. g., [33]) are typically applied to “correct” a given quasi-
distanceρof a space of homogeneous type(X,ρ,μ)and derive from it a quasi-distance
ρ
′
such that(X,ρ
′
,μ)is a normal space of homogeneous type, where also property (ii)
of Proposition 2.4 holds.
In the Euclidean setting, whenn=1, the notions of distance and volume are
equivalent, and thereforeρ(x,y)=ρ
′
(x,y)=|x−y|
. However, it is interesting to note
that “normalizing” the Euclidean distance in dimensionsn≥2 as above by using the
volume of minimal balls simplifies computations where the dimensionncomes into

2.1 Spaces of homogeneous type |39
play. As we will see later, the spaces constructed and analyzed in this book are normal
spaces of homogeneous type. For normal spaces, the conditionμ(B
ρ(x,r))∼rallows
us to show that integration of the quasi-distance “behaves” similarly to integration of
the Euclidean distance.
Theorem 2.6.Let(X,ρ,μ)be a normal space of homogeneous type, Then, for any δ>0,
there exist constants of equivalency such that for all x∈X, r>0, and β>0,
∫
B
ρ(x,r)
ρ(x,y)
δ−1
dμ(
y)∼r
δ
, (2.5)
∫
B
ρ(x,r)
c
ρ(x,y)
−(δ+
1)
dμ(y)∼r
−δ
, (2.6)
∫
X
1
(β+ρ(x,y))
(1+δ)
dμ
(y)∼β
−δ
. (2.7)
Proof.We will prove (2.5). The other two equivalences are proved in similar manner.
For the upper bound, it is sufficient to use dyadic rings:
∫
B
ρ(x,r)
ρ(x,y)
δ−1
dμ(
y)=
∞
∑
k=0
∫
2
−(k+1)
r≤ρ(x,y)<2
−k
r
ρ(x,y)
δ−1
dμ( y)
≤C
∞
∑
k=0
(2
−k
r)
δ−1&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B
ρ(x,2
−k
r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤Cr
δ
∞
∑
k=0
2
−kδ
≤Cr
δ
.
For the lower bound, we need to make sure that the rings have “substantial” volume.
Let 0<c
1<c
2<∞be constants such thatc
1r≤μ(B
ρ(x,r))≤c
2rfor allx∈Xand
r>0. Then forM∈ℕ, satisfyingMc
1>c
2, and̃c
1:=Mc
1−c
2, we have that for all
x∈Xandr>0
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B
ρ(x,Mr) \B
ρ(x,r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≥̃c
1r.
We use these constants to estimate
∫
B
ρ(x,r)
ρ(x,y)
δ−1
dμ(
y)=
∞
∑
k=0
∫
M
−(k+1)
r≤ρ(x,y)<M
−k
r
ρ( x,y)
δ−1
dμ(y)
≥C
∞
∑
k=0
(M
−k
r)
δ−1&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
B
ρ(x,MM
−(k+1)
r)\B
ρ(x,M
−(k+1)
r)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;

40| 2 Ellipsoid covers
≥C
∞
∑
k=0
(M
−k
r)
δ−1
M
−(k+1)
r
≥Cr
δ
∞
∑
k=0
M
−kδ
≥Cr
δ
.
Definition 2.7.Let(X,ρ,μ)be a space of homogeneous type. Forf∈L
loc
1
(X), we define
themaximal function
Mf(x) :=sup
x∈B
ρ
1
|B
ρ|
∫
B
ρ
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
f(y)
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
dy (2.8)
and thecentral maximal function
M
Bf(x) :=sup
r>0
1
|B
ρ(x,r)|
∫
B
ρ(x,r)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
f(y)
&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;&#3683966248;
dy. (2.9)
It is well known and easy to see thatMf(x)∼M
Bf(x)for allx∈X. Thus from this
point we will use the central maximal function. It is a classic result [33, 61] that the
maximal theorem holds in the general setup of spaces of homogeneous type.
Proposition 2.8([19]). Let(X,ρ,μ)be a space of homogeneous type. Then there exists
a constant c>0such that for all f∈L
1
(X)and α>0,
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
{x:M
Bf(x)>α}
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
&#3683966248;
≤cα
−1
‖f‖
1. (2.10)
For1<p<∞, there exists a constant A
p>0such that for all f∈L
p
(X),
‖M
Bf‖
p≤A
p‖f‖
p. (2.11)
We will also need the Fefferman–Stein vector-valued maximal function inequality
in the setting of spaces of homogeneous type.
Proposition 2.9([42]). For1<p, q<∞, there exists a constant c=c(p,q)such that
for all measurable functions{f
j}on X,
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
(∑
j
|M
Bf
j|
q
)
1/q&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(X)
≤c
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
(∑
j
|f
j|
q
)
1/q&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;
&#3683966249;L
p(X)
. (2.12)

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

Jam sekvantan tagon estis sendita al Serrao multnombra grupo da
maristoj. Ili devis helpi la averiintojn dum forportado de provizoj kaj
gravaj partoj de Santiago en la tendaron.
Estis tiom da provizoj, ke ili devis ilin transportadi preskaŭ du
monatojn. Serrao kun parto de ŝipanaro restadis apud averiinta ŝipo
por gardi ĉion, la ceteraj maristoj transportadis. Ĝi estis superhoma
peno, ĉar frostoj kaj ventegoj malfaciligis iradon. Kaj transporto
surmara estis tute neebla.
Fine estis ĉio transportita. Kun lasta ekspedicio revenis kapitano
Serrao. Li estis malgrasiĝinta, maldikega, sed el liaj okuloj radiis
ĝojo, ke li denove vidas kamaradojn kaj la admiralon.
Magalhaes rapide repaciĝis kun perdo de Santiago. La ŝipanaro estas
savita, provizoj ankaŭ, la priservado de restantaj ŝipoj estos pli facila
— kaj la tuta eskadro estos almenaŭ pli moviĝema.
En aŭgusto la vintro malaperis. Blovegoj ĉesis, la neĝo degelis. Nur
antaŭ la mateno estis ankoraŭ malfortaj frostetoj.
Plej suprema tempo, ke ili jam ekveturu! La superstiĉa ŝipanaro vidis
en frakasiĝo de Santiago malbonan antaŭsignon. Ĉu ĝi ne estas lasta
admono, ke ili turniĝu kaj veturu hejmen?
Kaj io ankoraŭ pli malbona — kelkaj maristoj ekmalsaniĝis. Kaŭze de
manko de legomo iliaj dentoj komencis ŝanceliĝi, iliaj dentkarnoj kaj
tutaj buŝoj ŝvelis. Manĝado signifis por ili neimageblajn suferojn.
Kelkaj maristoj jam mortis.
Fernao bone sentis, kia laciĝo kaptas la ŝipanarojn. Nur ke li jam
povu ekveturi! Eble ili ie malkovros marbordon, kie estos bestaro kaj
fruktoj. Ŝipanaroj rekonsciiĝos kaj forgesos la travivintajn suferojn.
Iam alkuris Henriko forte spiregante. En mano li tenis ampleksan
pakaĵon.

“Sinjoro admiralo, ĉi tion mi malkovris sur la kajo!”
Li disvolvis haŭton, en kiu estis io enpakigita. Admiralo ekvidis
kelkajn faskojn da sagoj.
“Kie ili kuŝis?”
“En densaĵo malantaŭ la tendaro. La pintoj estas venenigitaj.”
“Al mi ankaŭ ŝajnas,” rimarkis Magalhaes.
“Ĉio estis klara. Patagonianoj preparas sin ataki la tendaron. La
ekspedicio ja estas sufiĉe forta por repuŝi ilin. Sed ĉu admiralo
allasu, ke tute superflue mortu kelkaj maristoj? Ne, li intencis egale
jam baldaŭ forveturi, ĉi tio estas la lasta instigo.
Sed li tamen devos renkonti la Patagonianojn ankoraŭ unufoje. Li
estas promesinta, ke li alveturigos Hispanujon ne nur produktojn el
nove malkovritaj landoj, sed ankaŭ homojn. Ĉi tiujn indiĝenojn li
kompreneble ne kunprenos multajn, ĉar ilia nenormala apetito
signifus novan, jam ne tolereblan limigon de nutraĵoj. Tial li kaptos
almenaŭ unu aŭ du.
Sed la maristoj ne kuraĝis kateni tiajn grandegulojn. Pro tiu kaŭzo ili
kaptis Patagonianojn per fia ruzo.
Ili allogis du indiĝenojn al la kabano, kie estis deponitaj provizoj. Tie
ili komencis ilin pridonaci. La indiĝenoj ricevis tiom da ludiloj, ke ili
havis plenajn manbrakojn da ili. Iliaj okuloj radiis kaj blankaj dentoj
brilis de feliĉaj ridoj.
Poste la maristoj montris al ili brilajn katenojn, du larĝajn ringojn
kunligitaj per tintsona ĉeneto. La indiĝenoj avide rigardis la novan
ludilon.
Ĉu vi ŝatus havi tion? demandis la maristoj per mansignoj.
Kompreneble! kapjesis Patagonianoj. Sed kien doni ilin, se ni havas

plenajn manojn?
Nu, kaj ĉu ni provu doni ilin ĉi tien, sur la piedojn? montris embuske
la maristoj.
Jes! Jes! ridis feliĉe grandeguloj.
Du maristoj singarde proksimiĝis kun katenoj al siaj viktimoj. Unu
klako, la dua — kaj la konfidemaj infanoj de la naturo estis katenitaj.
Nun jam havas ekspedicio ĉion, kion ĝi bezonis: printempan veteron,
riparitajn ŝipojn, sudamerikajn indiĝenojn.
Sur Trinidado oni faris konsilon. Ĉirkaŭ Magalhaes sidis Serrao,
Barbosa kaj Mesquita.
“Post ĉiuj okazintaĵoj, kiujn ni travivis en golfo de San Julian,” diris
admiralo, “ni devos alie aranĝi la komandon de la ŝipoj. Kapitano
Serrao komandos Concepcion, Barbosa Viktorion kaj Mesquita San
Antonion. Ni ekveturas al decida parto de nia navigado, kie mi
bezonos virojn fidelajn kaj hardajn. Kun via helpo mi venkos.”
La kapitanoj disiris al siaj ŝipoj kun mienoj seriozaj, malserenaj. Ili
bone konsciis, kia tasko ilin atendas.
La 24-an de aŭgusto ekveturis la malgrandigita eskadro suden. La
saman tagon estis ribelintoj liberigitaj de katenoj kaj ribelemaj
Cartagena kaj pastro postlasitaj sur la bordo. Neniu jam plu vidis
ilin...
Komence ili ne retenis sin per esplorado de la bordo, ĉar tion faris
jam Serrao dum sia malfeliĉa veturo kun Santiago. Sed ju pli ili
proksimiĝis al la sudo, des pli maltrankvila estis admiralo. Ĉu tiu ĉi
kontinento estas senfina? Ili povis veturi en kiun ajn golfon, ĉie ili
vidis novan bordon, kiu stariĝis en ilian vojon kaj baris liberan
ekveturon en oceanon, je kiu Fernao tiom sopiris.
Ĉ

Karaveloj ŝoviĝis suden malrapide, sed persiste. Ĉu nenie aperos
regiono, kiu promesus almenaŭ iomete da refreŝiĝo? Ĉie nur nuda
bordo, rokoj kaj dezertoj!
Io peza faladis sur la karavelojn. Ombro de la morto, kiu ne ĉesis
falĉi la mizerigitajn maristojn, timigis kaj terurigis. La malespero
kuŝis en iliaj okuloj, en iliaj movoj, en iliaj vortoj.
Magalhaes denove fariĝis malparolema kaj malserena. Li kapablis
stari sur la ferdeko tutajn horojn kaj necedeme observi la rokan
bordon. Kiomfoje jam trompis lin golfoj?
Jam forpasis du monatoj de tiu tempo, kiam ili forlasis vintran
tendaron. Antaŭ ili nun tre alten leviĝas rokoj, kiuj iomete elkuras en
la maron. Kio estas malantaŭ ili? Ĉu malgranda golfo? Ĉu pli vasta
golfo?
Ĉu ili devas allasi, ke ili estu denove trompitaj, kiel jam tiomfoje? Ĉu
ne estus pli bone veturi pluen kaj ne sin deteni ĉi tie? Ja ĉi tie estas
nur rokoj, nuraj rokoj, pri ia golfo evidente oni ne povas paroli —
“En la golfon!” komandas al ĝenerala surprizo admiralo kaj rigardas
la rokaron. “Ni ankros.”
Levilaj radoj sur la ferdekoj bruegas, ĉenoj grincas, ankroj
malleviĝas sub la akvonivelon. La levitaj radoj rotacias plue, la ĉenoj
estas jam plene streĉitaj — kaj ĉiam ankoraŭ ne aŭdiĝis la knara
sono, kiu donas signon, ke ankro malleviĝis ĝis la fundo. Ili estas
tute proksime de la bordo — kaj la ankroj flugpendas en la akvoj
tute libere! Maristoj estas devigataj salti sur la bordon kaj tie la
ankrojn alfiksi.
Concepcion kaj San Antonio ricevas ordonon esplori la golfon. Ne
estas necese tiri tien tutan eskadron, se por tio sufiĉas nur du ŝipoj.
Tiamaniere ili kutimis tion fari, ke pli vastan golfon esploris unu aŭ
du karaveloj, dume la ceteraj atendis ilin apud la elveturejo.

Apenaŭ ili ekveturis antaŭen, komencis sovaĝa tempesto. Tridek ses
horojn kruciĝis la fulmoj kaj tondro bruegis en la rokaro per milfoja
eĥo. La ŝipoj dancis sur la ondoj kiel pajleroj. Ne estis eble gvidi la
direkton de la navigado. Ĉiuj klopodoj devis celdirekti nur al tio, ke la
ondoj ne renversu ŝipojn aŭ ke ili ne ĵetu ilin sur la rokojn. Fine la
tempesto ĉesis.
Concepcion kaj San Antonio volis veturi laŭ sia plano. Subite ekblovis
ventego, kuntiris ambaŭ ŝipojn, pelis ilin antaŭen, rabe, nereteneble.
Kaj rekte kontraŭ rokojn!
Maristoj faris ĉion eblan por haltigi la rapide veturantajn ŝipegojn.
Almenaŭ malrapidigi ilian sovaĝan flugon kaj mildigi puŝegon, kiu
estas jam neevitebla!
Vane!
La konsternitaj homoj ĵetiĝis sur genuojn. Ili adiaŭis la vivon. Serrao
staris sur la ferdeko de Concepcion kaj konsternite rigardis antaŭen.
Li estis iomete paliĝinta, sed trankvila, kvieta. Li ne apartenis al
homoj, kiujn danĝero povas skui. Ĉu ili pereos? Li faris ĉion, kio kuŝis
el liaj fortoj, por savi la ŝipon. Admiralo malĝojos pro liaj servoj.
Unue Santiago, nun Concepcion. Kio Santiago koncernas, tie li savis
almenaŭ ŝipanaron kaj provizojn. Ĉi tie li jam ne sukcesos la samon.
La rokoj elstaras vertikale el profundaj akvoj, ili suprenleviĝas en
vidneatingeblan altecon. Puŝego — kaj estos fino.
Kun malvarma decidemo li rigardis renkonten al la certa pereo. Sed
subite — ĉu tio ne estas iluzio?
Serrao ektremis kaj akre kriis:
“Lopez — atenton!”
Post averio de Santiago estis Lopez la ŝipgvidisto sur Concepcion.

Ne estis necese admoni lin. Ankaŭ li jam ekvidis la trairejon, kiu tiel
neatendite, kiel per miraklo malfermiĝis inter du rokoj!
Li rapide direktis la ŝipgvidilon kaj traveturis la mallarĝan
interkrutejon. San Antonio enveturis ĝin jam tute sendanĝere.
Ambaŭ ŝipoj troviĝis en nova golfo. Ĝi estis ankaŭ ĉirkaŭita de
grandegaj rokoj. La suba fluo ĉesis kaj kontraŭ ilin ekblovis forta
vento. Ĉu vento? La golfo estas tamen ŝirmata de rokoj, kiuj sekure
enfermas ĝin! De kie venas tiu vento?
Antaŭen!
Serrao subiĝis al febra streĉo.
Ambaŭ ŝipoj trapuŝis sin al kontraŭa flanko de golfo nur paŝon post
paŝo. Kiam ili estis en duono de la vojo, maristoj ekvidis novan
interkrutejon, kiu versimile kondukos ilin en novan golfon!
Ili ne trompis sin. Baldaŭ ili vidis golfon trian, kvaran kaj kvinan.
Serrao haltigis sian ŝipon kaj atendis San Antonion.
“Kion vi opinias pri la afero, sinjoro Mesquita?”
“Mi kredas, ke ni estas en la trapasejo,” respondis la emociita
kapitano.
“Al mi ŝajnas la samo. Do — reen al admiralo!”
Bombardiloj tondras, flagoj flirtas, ŝipanaro jubilas... Magalhaes
akceptas ambaŭ kapitanojn, li streĉe aŭskultas ilian sciigon kaj poste
la tuta eskadro veturas en la golfon.
Ili veturas tage kaj nokte. Post nelonge ili atingas lokon, kie la golfo
dividiĝas en du partojn. Unu direktas dekstren al sudokcidento, dua
maldekstren al sudoriento.

Kien do nun? Kiu el ili estas la trapasejo?
Nova ordono. Concepcion kaj San Antonio esploros la sudorientan
kanalon. Admiralo atendos ilin apud komenco de la sudokcidenta
kanalo.
Antaŭ la forveturo de ambaŭ ŝipoj Magalhaes kunvokis kapitanojn
kaj oficirojn por konsiliĝi sur Trinidado. Li volis aŭdi iliajn raportojn
pri stato de provizoj kaj li ankaŭ ŝatus aŭdi, kion ili opinias pri la plua
veturo.
“La provizoj konsiderinde malgrandiĝis,” diris Mesquita. “En la plej
bona kazo ni eltenos tri monatojn.”
La informoj el aliaj ŝipoj estis neniel pli ĝojigaj.
“La afero estas pli malbona, ol ni povis supozi en komenco de la
veturo,” konsentis admiralo. “Atendas nin ankoraŭ grandaj
malhelpaĵoj kaj ni devos venki multajn danĝerojn. Ni povas elekti: aŭ
reveni hejmen jam nun, aŭ navigadi ĝis al Molukoj, kiel mi promesis
al la reĝo. Al mi estas ĉio klara. Kaj kia estas via opinio?”
Kapitanoj kaj oficiroj silentis. Nur Gomez energie diris:
“Dum nunaj cirkonstancoj estos pli bone, se ni revenos. La trapasejo
estas malkovrita. Ŝipoj estas kadukaj, ŝipanaro malsatigita,
malfortigita, laca. Se ni revenos, ni aranĝos novan ekspedicion. Se ni
ne revenos, ni enveturos oceanon, kies distancojn neniu konas. Se la
veturo daŭros longe, ni pereos!”
Admiralo rigardis la ceterajn. Ili silentis, sed ne estis malfacile diveni,
ke la plejmulto konsentas kun Gomez.
La vizaĝo de Magalhaes fariĝis iomete pli malserena kaj malmola,
kiam li diris: “Mi volis aŭdi vian opinion, sinjoroj, kaj estas bone, ke
mi konas ĝin. Kio min koncernas, mi ne intencas nuligi la promeson,
kiun mi donis. Mi scias, ke ni devos multe moderigi nin. Sed ankaŭ

se mi scius, ke mi devos nutriĝi per haŭtoj, per kiuj estas
ĉirkaŭvolvitaj velstangoj, mi rigardas tion mia devo veturi ĝis al
Molukoj. Informu la ŝipanarojn, ke post atingo de oceano ni daŭrigos
la veturon!”
Kiam kapitanoj revenis sur ŝipojn, Concepcion kaj San Antonio
entreprenis la esplorveturon.
Ili jam estis du tagojn for. Admiralon konsumis malpacienco. Ho, se li
havus flugilojn de aglo kaj povus traflugi ambaŭ markolojn kiel birdo
por trapenetri iliajn misterojn kaj sekretojn! Kaj — ĉu ne estas ebla
intertempe, ol revenos ambaŭ esplorŝipoj, elsendi en sudokcidentan
markolon rapidan ŝalupon?
Maristoj sidiĝas en la ŝalupon, streĉas malgrandan velon, premas
remilojn. Post nelonge malaperas la ŝalupo inter la rokoj.
Kelkajn tagojn atendis admiralo kun Trinidado kaj Viktorio revenon
de esplorŝipoj. Fine reveturas Concepcion. Serrao salutas admiralon,
lia vizaĝo aspektas serioze, pale.
“Sinjoro admiralo, la sudorienta golfo post unutaga veturo turniĝas al
okcidento, poste denove al nordo. Mi konstatis, ke ĝi kuniĝas kun la
sudokcidenta golfo.”
“Dankon, Serrao, mi estas feliĉa, ke ni povis tion konstati. Ni atendos
San Antonion kaj ekveturos.”
“San Antonio, sinjoro admiralo —”
“Kio okazis kun ĝi?”
“San Antonio jam sendube ne revenos.”
“Ĉu ili averiis?”

“Mi timas, ke okazis io pli malbona. Tuj la unuan tagon restis la ŝipo
malantaŭe. Baldaŭ ĝi perdiĝis al niaj okuloj — kaj ekde tiu tempo ni
ne vidis ĝin.”
“Sed — Mesquita tamen...!” diris peze Magalhaes.
“Jes. Mesquita estas konfidinda. Sed sur la ŝipo estis ankaŭ aliaj. Tie
estis ankaŭ Gomez.”
Magalhaes devis kolekti ĉiujn fortojn por resti trankvila. Gomez! Ĉu
estas eble kredi, ke li estus kapabla fari tian abomenindaĵon kaj
perfidi admiralon? Kaj ĵus en tiu momento, kiam estis necese kolekti
penadon de ĉiuj por malkovri depratempajn sekretojn de la tero?
Magalhaes ordonis traserĉi ĉiujn apudajn golfetojn. Sensukcese. San
Antonio malaperis.
Kaj jam revenis la ŝalupo, kiu estis forveturinta esplori sudokcidentan
markolon.
Kiel mienas la maristoj? Ili salutsvingas — sed tio nenion signifas.
Maristoj ofte salutsvingas, kiam ili adiaŭas aŭ revenas.
Nun ili jam trankviliĝas. Kaj en la silenton aŭdiĝas la voĉo de oficiro,
kiu tremas de emocio:
“Sinjoro admiralo, ni veturis ĉiam okcidenten. Ni esploris ĉiun
branĉeton de ĉi tiu golfo. La vojo estas ĉie libera. Ni veturis tiom
longe, ĝis ni ekvidis vastan oceanon.”
Fernao, kion signifas ĉiuj batoj, per kiuj la vivo tiom riĉege donacigis
vin, kompare kun raviga beleco de ĉi tiu momento? Ĉio estas subite
forgesita. La vivo fine riĉe rekompencis vian fidon, vian aŭdacon,
vian persistemon. Kial do miri, ke vi ne kapablas ekparoli? Aŭ ĉu
kapo de unu homo estis iam superŝutita per tiom da tristo kaj feliĉo,
kiom da ili travivas vi?

Ne hontu, Fernao, pro la larmoj, kiuj fluas de sur via vizaĝo, vipita
de ventoj kaj sulkigita! Rigardu viajn maristojn! Ili estas maldelikataj
viroj — kaj ili tamen staras kiel alforĝitaj. Ili tre ŝatus voki al vi
“Vivat!”, sed ili ne povas.
Ja ankaŭ ili antaŭsentas, kion vi scias: ke vi travivas grandan
momenton en historio de la tuta homaro.

XIV.
Trans Pacifikon
La regiono ĉirkaŭ la golfo prezentis mirbelan, sed samtempe tristan
aspekton. Ĉirkaŭ en rondo leviĝis ĉielatingaj rokoj, kies pintoj estis
kovritaj per neĝo. Sur deklivoj de la montoj gluglis riveretoj kaj ĝi
estis ununura sono, kiu vivigis la regionon. Nenie postsigno pri
homaj loĝejoj. Larĝeco de traveturejo estis tre malsama. Ĉe
marbordoj distanco ĝis tridek kilometroj, alie ili alproksimiĝis je kvar
kilometroj. En mallarĝigitaj lokoj ĵetis abruptaj rokmuroj malhelajn
ombrojn, tiel ke la ekspedicio veturis en deprimanta duonkrepusko.
Strangan fenomenon vidis maristoj dumnokte. Sur malproksimaj
montoj flamis fajroj, kies devenon ili komence ne sciis klarigi al si.
Nur pli poste ili ekkonis, ke la regiono ĉirkaŭ trapasejo ne estas
neloĝata. Tie vivis primitivaj indiĝenoj, kiuj konservadis ankoraŭ
eternan fajron. Magalhaes nomigis ĉi tiun regionon Fajrolando.
La veturo tra la trapasejo estis peniga kaj longdaŭra. Profundo de la
akvo estis sur iuj lokoj tiom granda, ke ne estis eble atingi fundon eĉ
per plumbilo alligita per plej longa pendoŝnuro, alie estis embuska
rokaro kaŝita tuj sub akvonivelo. Tie aŭ tie elstaris insuletoj. Pro tio
Magalhaes ordonis, ke oni antaŭe esploru ĉiun paŝeton de la vojo,
kiun la eskadro sekvos. Grupo da maristoj en ŝalupo mezuris ĉiam
profundon de la fundo sur certa vojparto kaj nur poste karaveloj iom
antaŭenveturis.

Malgraŭ tio, ke admiralo estis konsumata de malpacienco kaj sopiro
ekvidi kiel eble plej baldaŭ oceanon, pri kiu li tiom da jaroj revis, li
restis dum la tuta tempo de la veturo en trapasejo tre singarda.
La ŝipoj progresis antaŭen tre malrapide, paŝon post paŝo. Malgraŭ
tio, ke oni veturis tage kaj nokte, ili faris en dudek kvar horoj vojon
de nuraj dudek kilometroj. Detenis ilin ankaŭ la vento, kiu blovis
daŭre kontraŭ direkto de ilia veturo.
Unu tagon ankris la ekspedicio apud riverenfluo. Maristoj surbordiĝis.
Post nelonge aŭdiĝis en la golfeto iliaj ĝojkrioj. La rivero svarmis per
fiŝoj, kiuj estis similaj al sardinoj.
“Rivero de sardinoj!” vokis maristoj kaptante fiŝojn per la manoj,
ĉapoj kaj bastonoj. “Sardinrivero!”
Post momento estis sur la bordo kelkaj fajroj. Maristoj ne atendis,
ĝis la ŝipkuiristo pretigos al ili manĝaĵon. Ili konstruis rostpikilojn kaj
jam oni rostis bongustajn fiŝojn.
“Nur ankoraŭ spici tion per io!” vokis frandeme Garcia, kun ĝuo
manĝante rostaĵon.
“Provu ĉi tion!” lia kamarado prezentis al li ian radiketon. La kreskaĵo
estis tre simila al celerio. La maristoj manĝis ĝin kiel la plej bonan
frandaĵon. Kaj kial miri? Ja de tiu tempo, kiam ili forlasis Brazilion, ili
havis en buŝo nek peceton da freŝa legomo. Jen la kaŭzo de
malsanoj!
Iu komencis hispanan popolan kanton. Ceteraj aliĝis kaj jam aŭdiĝis
en la trapasejo gajaj melodioj.
Maristoj kaptis multegajn sardinojn por havi provizon, ŝirkolektis
“celeriojn” kaj tre refreŝigitaj daŭrigis vojon en malafabla kaj senfina
trapasejo.

Iun vesperon, kiam Fernao sidis en sia kabino klinita super
landkartoj, frapis je la pordo Henriko.
“Sinjoro admiralo,” li diris, “venis ses maristoj. Ili volas paroli kun vi.”
“Kion ili deziras?”
“Mi ne scias,” respondis Henriko kaj iel misteroplene li ridis.
“Ili eniru!”
Henriko malfermis pordon kaj maristoj paŝis internen. Magalhaes
atente rigardis ilin. Li konis jam ĉiujn virojn de sia ekspedicio
persone. Pri ĉiu li sciis, sur kiu ŝipo li laboras.
Li tuj konsciiĝis, ke el ĉiu karavelo venas du. Kaj inter ili troviĝas
ankaŭ homoj el Trinidado! Ankaŭ la fidela Garcia! Tio aspektas kiel
deputacio. Ĉu ili venas por plendi? Aŭ peti pri io? Li rememorigis al si
la deputacion en San Julian kaj eksentis malagrablan frostotremon
tra la dorso.
Garcia paŝis antaŭen. Li ĉifis ĉapon en la manoj kaj staris alterne
levante piedojn kaj embarasite ektusis.
“Do, Garcia, kion vi deziras?” klopodis forigi liajn embarasojn
Magalhaes.
“Sinjoro admiralo, ni estas delegitoj de ŝipanaro...”
“Al mi?” demandis lakone admiralo.
“Jes, al vi, sinjoro admiralo. Ni devas informi vin, ke ni jam
interkonsentiĝis.”
Fernao malkurbiĝis kaj fikse rigardis la mariston.
“Nome... ke vi sciu, pri kio temas, sinjoro admiralo,” Garcia jam tute
venkis la komencajn embarasojn, “ni diros tion al vi laŭvice. Ni sur

ĉiuj ŝipoj jam ekde hieraŭ kverelas!”
“Kial?” demandis Magalhaes kaj en lia demando kuŝis minacanta
tono.
“Ni ne scias — nome ni ne scias, kiamaniere ni nomigus ĉi tiun
trapasejon,” daŭrigis vigle Garcia.
Fernao ekridis. Laŭte, sincere, el la koro. Tiel vidis lin maristoj
ankoraŭ neniam.
Kaj kiel li ne ĝojradiu! Li atendis novan ribelon aŭ minimume novajn
plendojn, ke ili reveturu hejmen — kaj liaj maristoj polemikas pri
nomo de la trapasejo! Nur nun li komprenis la misteroplenan ridon
sur la vizaĝo de Henriko!
“Do vi ne povas trovi taŭgan nomon?” demandis jam gaje la
admiralo. “Nu — ni havis sufiĉe da nomoj...”
“Ekzemple?”
“Trinidadanoj proponis ‘Suda trapasejo’, en Viktorio ‘Amerika
trapasejo’, tiuj el Concepcion havis eĉ du nomojn: ‘Trapasejo de
Virgulinoj’ kaj ‘Kanalo de ĉiuj sanktuloj’. Al sinjoro Pigafetta plaĉis
nomo ‘Patagonia trapasejo’ —”
“Kaj nun vi venas al mi, ke mi decidu la aferon, ĉu ne?”
“Ne, sinjoro admiralo. Ni jam interkonsentiĝis. Ĉiuj. Maristoj, oficiroj
kaj ankaŭ kapitanoj.”
Magalhaes demande rigardis lin.
“Ni eĉ ne scias, kiu havis tiun ideon,” daŭrigis Garcia. “Sed la nomo
ekplaĉis al ni tiom, ke por unufojo ĉesis ĉiuj disputoj. Ni venas por
sciigi al vi tion.”
“Do?”
Ĉ

“Ĉi tiu markolo nomiĝas ekde hodiaŭa tago — trapasejo de
Magalhaes.”
“Ho!” vokis surprizite admiralo. Ĉio estis tiom neatendita, ke li
embarasite silentiĝis. Nur post momento li diris mole: “Mi dankas al
vi, amikoj. Vi eble tro rapidis. Sed se la nomo estis kapabla unuigi
vin, ĝi estu, mi akceptas vian honorigon.”
La tutan nokton — Magalhaes tiam preskaŭ ne dormadis — li pensis
pri la maristoj. Ili estas maturaj viroj, malmolaj, maldelikataj, iam
preskaŭ brutmoraj, sed ili kapablas ŝanĝi humorojn kiel infanoj. En
San Julian ili estus pretaj neniigi vin, en trapasejo ili honorigas vin...
Kvar longajn semajnojn daŭris navigado en trapasejo. Dum tiu
tempo eskadro faris vojon de ses cent kilometroj. Poste ankoraŭ
lasta kabo — ili nomigis ĝin Eldezirata — kaj antaŭ ili malfermiĝis
senfina oceano.
Kanonsalvo de sur Trinidado. Flagojn supren! Estu salutata oceano
misteroplena, enigma, ne esplorita, senfina! Estu salutata, oceano,
kiun ne vidis krom Balboa kaj ties akompanantoj eĉ unu Eŭropano!
Vi kondukos nin al Molukoj, de kie estas jam nur salteto al Malako,
en Hindujon kaj Eŭropon! Fino de ĉiuj hipotezoj, preceptoro Behaim,
doktaj majstroj en universitatoj, kosmografoj, geografoj, astronomoj!
La homa spirito ekflugos libere kaj ne katenita tra ĉiuj spacoj de la
mondo, ekipita per solidaj scioj!
Kanonoj tondras ankaŭ sur Concepcion, flagetoj ĝoje flirtas. Estu
salutata, maro de malproksimaj horizontoj, maro de mil kuraĝaj
esperoj! Jam post nelonge ni atingos riĉajn landojn, kiuj abundos per
ĉio — per bongustaj manĝaĵoj, freŝa akvo, refreŝigaj trinkaĵoj kaj
spicoj kaj oro! Jes, ni atingos ilin baldaŭ, admiralo ja diris jam
tiomfoje, ke sur la alia flanko de trapasejo ni atingos la insulojn de
multekostaj spicoj, kiujn ni promesis malkovri navigante okcidenten!
Pro kanonsalvoj forte tremas ankaŭ Viktorio, kiu fermas la eskadron.
Venkaj flagoj ridetas ankaŭ sur ĝiaj mastoj.

Adiaŭ, trapasejo! Adiaŭ, danĝeraj rokoj! Adiaŭ, embuskaj
akvoturniĝoj kaj vojerarigaj golfetoj! Adiaŭ, trista malgajeco de
senesperaj semajnoj! Estu salutata, libereco de vastaj spacoj, kie
estas eble ĝoje elspiri, ĝoji pri heleco de tago, ĝui de la frua mateno
ĝis la malfrua nokto orajn sunradiojn!
Kaj antaŭ ĉio estu salutata vi, homa aŭdaco! Nur vi venkas
malhelpaĵojn, kiuj estas laŭ rigida pensado nevenkeblaj!
Fernao staris sur ferdeko de Trinidado forte kortuŝita. Li pensis je
Francisko kaj iliajn komunajn revojn. Li pensis pri liaj amike varmaj
leteroj, per kiuj li invitis Fernaon al si. Ĉu Francisko atendas lin?
Certe! Eble li staras ĉiutage sur bordo de la insulo kaj rigardas
orienten. Do, flugu al li, kvietaj ondetoj de la Suda maro! Diru al li,
ke Fernao alveturas! Ke li malkovris trapasejon kaj nun vojaĝas al
Molukoj.
Sed Magalhaes ne estis nur revulo. Li havis tro evoluintan sencon
por realeco, ol ke li ne pripensu ĉiujn eblojn. Ekde forveturo el golfo
de San Julian la ŝipoj estis denove tre difektitaj. En trapasejo ne
estis eble ripari ilin. Provizoj de manĝaĵoj post perfido de Gomez
malgrandiĝis tiom, ke ili sufiĉos apenaŭ por du monatoj. La ŝipanaro
estas nun jam denove lacigita de longa veturo, precipe de elĉerpiga
navigado en trapasejo, kie ili ĉiuj troviĝis en senĉesa streĉo kaj ne
povis trankvile dormi. Kaj la nombro de pacientoj ĉiam kreskis...
Tial en lian ĝojon miksiĝis ankaŭ malgaja sento de necerteco. Se la
markartoj ne mensogas, la ekspedicio atingos Molukojn tre baldaŭ.
Sed Magalhaes jam ĉesis kredi landkartojn. Ili estis desegnitaj el
fantazio, el hipotezoj. Ĉu ili ne trompis lin jam kun lokigo de la
trapasejo?
Ŝipoj celdirektis laŭlonge de sudamerikaj bordoj al nordokcidento.
Post kelkaj tagoj ili deflankiĝis sur la vastan maron. Blovis favora
vento kaj tiel la kontinento baldaŭ malaperis en malproksimo. Unu
tago similis al dua kiel ovo al ovo. Matene elsaltis super horizonton
Ĝ

fajra suno. Ĝi inundis oceanon per ora, blindiga brilo. Poste ĝi
komencis brulradii. Tago estas longa, monotona, senfina.
Kaj ŝipoj veturas kaj veturas. Ĉu ili veturas? Se vi rigardas al
horizonto, vi havas impreson, ke ili staras. Mankas ia firma punkto,
laŭ kiu vi povus sekvi movon de karavelo. Horizonto estas ĉiam
egala. Nur se vi rigardas malsupren, vi vidas, ke etaj ondoj restas
malantaŭe. Do oni tamen veturas!
Semajnon, du semajnojn, tri semajnojn.
Monaton!
Magalhaes vidas, ke landkartoj ankaŭ nun ruztrompis lin. Se ili dirus
veron, ili jam estus atingintaj Molukojn!
Nutraĵoj rapide malaperas. Ĉu estas eble ankoraŭ limigi porciojn, kiuj
jam de longe ne sufiĉas por satigi, apenaŭ vivtenante homon? Ĝi
estas kruela, sed nenio alia restas. Nun neniu kverelas. Ĉiuj
komprenas, ke la limigo povas signifi savon.
Neniu lando sur horizonto! Nek pruvsigno, ke ili al firma tero
proksimiĝus!
Kaj tamen!
Unu tagon vokis patrolo en ŝipkorbo, ke li vidas insulon. Ĉiuj
rapidegis sur la ferdekojn. Freŝa akvo, manĝaĵoj, ripozo sur firma
tero...
Ĝi estis unu el koralinsuloj, kiuj kreskas super la nivelon de oceano
kaj restas nuraj rokoj. Sen kreskaĵoj, sen bestoj, sen homoj. Kaj sen
akvo.
Maristoj havis impreson, kvazaŭ ili falus en abismon. La trompiĝo
ankoraŭ pligrandigis ilian sopiron je tio, kio mankis al ili. La sopiro
jam antaŭ longe ŝanĝiĝis en insistan bezonon. Skorbuto furiozis ĉiam

pli sovaĝe. Dentkarnoj ŝvelis, dentoj malfirmiĝis, ŝanceliĝis kaj
elfalis. Palatoj en buŝoj ŝvelis. Tri mortintajn maristojn jam englutis
profundaĵoj de oceano. Mortis ankaŭ Patagonianoj.
Kaj nova ĝojo, nova espero — nova insulo!
Kaj nova, ĉi tiun fojon ankoraŭ pli granda trompiĝo. Nek homoj, nek
nutraĵoj, nek gluteto de trinkakvo!
“Insuloj de malfeliĉo,” diris amare admiralo. Kaj tiel ili ankaŭ nomigis
la insulojn.
Post du monatoj estis provizoj de viando elĉerpitaj. Restis nur
biskvitoj. Sed kiaj biskvitoj ili estis! Malbonodorantaj, maldolĉaj,
traboritaj de vermoj!
Ĉu ili malbonodoras? Se oni nur havus ilin! Oni ricevas malgrandan
manplaton da ili, ĝi sufiĉas por dufoje trifoje en la buŝon — ĉu ne
estus eble pligrandigi ĉi tiun ridindan porcion?
Ili miksis en biskvitojn lignerojn kaj tiamaniere trompis siajn
malsatajn stomakojn.
La trinkakvo en bareloj jam putriĝis. Ĝi tiom malbonodoris, ke ili
trinkante ŝtopis al si nazojn, ke ili sukcesu ĝin engluti.
Dek semajnoj!
La ekspedicio ŝanĝiĝas al lazareto, kaj la oceano, kiun ili tiel solene
bonvenigis, fariĝas tombejo. Preskaŭ ĉiuj estas malsanaj.
Helpkuracistoj havas multege da laboro, ili faras ĉion, kion ili
kapablas, sed en tiu ĉefa punkto ili estas senpovaj. Cetere, ili apenaŭ
tenas sin sur la piedoj.
Tiuj, kiuj ne malsaniĝis grave, ne fartas multe pli bone. Vizaĝoj
malgrasiĝintaj, okuloj profunde en okulkavaĵoj, korpo nur ostoj kaj
haŭto. Kaj fortoj estas for. Ili sidadas sur ferdekoj, kuŝadas en

subferdekoj por eviti brulantajn sunradiojn. Ili estas nerazitaj kaj
similas al ombroj.
Jam dek maristoj mortis dumvoje de la trapasejo. Kaj kelkaj pluaj
ŝanceliĝas inter vivo kaj morto.
Kaj admiralo?
Li estas sana. Ĝi aspektas, kvazaŭ li estus pli forta ol la naturo. Li
manĝas la saman nutraĵon kiel ŝipanaro, kaj tamen li estas ĉie, kie
ĝuste oni bezonas lian helpon. Se li vidas, ke elĉerpita maristo
sensukcese kaj pene streĉas la ŝnuregon, per kiu li devas altiri velon,
li alsaltas kaj streĉas la ŝnuregon sola. Nun li troviĝas denove en
kuirejo. Ĉu li eble volas preni al si ion pli bonan? Ne. Li gustumas la
supon kaj konsilas al kuiristoj, kiamaniere fari ĝin pli bongusta. Li
kontrolas kabinojn, kie kuŝas malsanuloj. Maristo kuŝas en doloroj, la
premkontuzita korpo brulas kaj flamas. Kie estas helpkuracisto? En
apuda kabino — li jam ne sufiĉas fari ĉiun laboron. Admiralo kliniĝas
al la malsanulo kaj delikate levas lin. La malsanulo ne parolas, lia
buŝo estas duonfermita de doloro, sed lia dankema rigardo diras
ĉion. Alia mortas pro soifo. Admiralo ne hezitas kaj donas al li
trinkgluton el sia botelo. Maristo rigardas al Magalhaes — kaj subite
lia vizaĝo kurbiĝas kaj li ploras.
“Ho, kio admiralon koncernas!” li aŭdas debaton el komuna kabino
por ŝipanaro. “Tiaj homoj estas malmultaj!”
Magalhaes volis rapide foriri. Li estus malfeliĉa, se iu hazarde
malfermus la pordon kaj opinius, ke li spionaŭskultas. Sed tiu voĉo
alfrostigis lin al planko. Ĉu estas eble, ke tiamaniere parolu —?
Jes, ĝi estis li! Elcano, unu el 1a plej grandaj ribelantoj en San
Julian!
“Mi diras al vi, ke tiaj admiraloj ne estas multaj! Mi jam lernis koni
kelkajn komandantojn, sed neniu el ili estis tiom oferema kiel li. Ja
tiu homo zorgas pri ni kiel patro! Li kiel unua ellitiĝas — dormi li iras

la lasta — mi ne komprenas, kiel li povas tion sukcesi! Li estas vere
— granda admiralo!”
La veturo ne havis finon. Ili estis sur la maro jam tri monatojn.
Provizoj estis elĉerpitaj. Oni finmanĝis la reston de la biskvitoj. Sur la
karaveloj furiozis malsato.
En kabino de maristoj regis silento. Homoj kuŝis sur la kuŝbretoj kiel
kadavroj. La paroloj lacigas, pli bone silenti. Kaj tamen! En angulo de
kabino obtuze parolas du maristoj.
“Venu kun mi en kuirejon!”
“Ĝi ne havas sencon.”
“Se vi ne volas iri, bone. Sed vi bedaŭros.”
“Eble vi tie havas bakitan anseron?”
“Ansero ĝi ne estas, sed la bakaĵo jes.”
Maristo kun peno leviĝis kaj malfermigis enfalintajn okulojn:
“Ĉu bakaĵo?”
“Mi jam diris.”
“Do ne streĉu min kaj diru, kion vi havas!”
La dua maristo kliniĝis al li kaj klarigis:
“Mi kaptis apud la magazeno du ratojn. Kuiristo promesis, ke li bakos
ilin por mi. Unu raton mi kompreneble devis donaci al li.”
“Ratoj!” ekĝemis la najbaro kaj peze falegis sur la kuŝbreton. “Ratoj!
Ne! Pli volonte morti!”

“Kiel vi volas!” viro levis la ŝultron kaj foriris en kuirejon. Kuiristo
plenumis la donitan vorton. Li prezentis al maristo bakitan raton kaj
tiu komencis avide manĝi.
Apenaŭ li formanĝis kelkajn pecetojn, la pordo malfermiĝis. Li rapide
ŝovis bakaĵon sub la tablon. Ŝipreguloj ne permesis, ke maristoj
restadu en kuirejo.
Sed ĝi estis nur la malsanulo, kiu antaŭ kelkaj momentoj rifuzis la
inviton.
“Mi decidiĝis alie,” li diris kvazaŭ li senkulpigus sin. “Ĉu vi povas doni
al mi peceton, kamarado?”
“Kompreneble. Ĝi estas tute bongusta. Apud magazeno mi jam
preparis kaptilon. Kiam mi kaptos ion, mi bakos denove.”
La bonodoro de bakita viando penetris en subferdekon. Post nelonge
sciis ĉiuj ŝipanaroj, per kio estas ebla almenaŭ por momento forigi
teruran malsaton.
Je ŝipratoj estis aranĝita sovaĝa ĉasado. Post nelonge estis ratoj
preskaŭ ekstermitaj. Ju pli malmultaj, des pli multekostaj ili estis. Se
iu havis pli grandan sukceson, li vendis ilin. Por unu rato oni ricevis
eĉ hispanan dukaton.
Kiam ili estis survoje tra Suda maro dum cent tagoj, plimalfortiĝis eĉ
sanaj maristoj tiagrade, ke ili ne estis kapablaj priservi la ŝipojn. Tiuj
veturis sur kvietaj ondoj de la oceano solaj, sen homa helpo.
La malsato ŝanĝiĝis al furiozo. Sur la ŝipoj troviĝis jam nenio, kion
oni povus manĝi.
Nenio? Sed tamen —!
Per kio estas ĉirkaŭvolvitaj mastoj, ke sur ili ne trafrostiĝu ŝnuregoj?
Ĝi estas ja haŭto — ĉu ni estis trafitaj per blindeco, ke ni iradis tiom

longe preter ili kun dolorantaj stomakoj? La haŭto, kiun ni dismaĉos,
kaj se ni iom fermetos la okulojn, ni imagos al ni eĉ bovinon, aŭ ne,
pli volonte junan bovideton, bovidan rostaĵon —
Ili ĵetis sin al la malkovraĵo kun novaj esperoj. Sed kiel povus mordi
iliaj malsanaj, ŝanceliĝantaj dentoj la malnovan haŭton, kiu ŝanĝiĝis
dum la jaroj al fera kiraso?
Ankaŭ ĉi tie ili trovis elirvojon. Ili donis haŭton en akvon, lasis ĝin tiel
kelkajn tagojn kaj poste bakis ĝin en arda cindro.
Jam ili estis en Suda maro tri monatojn kaj dudek tagojn!
Admiralo staris sur kapitana ponteto kaj trarigardis ruinojn de sia
ŝipanaro. Fakte, nun ili estis nuraj ruinoj. Kiam ili elveturis el
Hispanujo, ili estis ducent sesdek kvin. Kaŭze de perfido de Gomez
kaj mortoj en trapasejo malpligrandiĝis la nombro al cent sepdek.
Kaj nun, dumvoje de la trapasejo, pereis denove dek naŭ kamaradoj.
Ruinoj. Sur fingroj vi povus kalkuli tiujn, kiuj restis sanaj. Kaj ĉu
estas nepre eble diri pri iu, ke li estas sana? Ĉiuj pretermoviĝas sur
la ferdeko kiel ĥimeraj ombroj. Ja ili jam eĉ ne pretermoviĝas, sed
indiferente, apatie sidas kaj kuŝas. Iuj havas fermitajn okulojn, aliaj
en malespera rezigno fikse rigardas antaŭen.
Fernao faris ĉion, kio estis en lia povo. Sed plua veturo superas jam
homajn fortojn. La ŝipmagazenoj estas kiel elbalaitaj. La ratoj estas
ekstermitaj. La haŭto de sur mastoj malaperis. Sur la ŝipoj estas jam
nur ligno — kaj malsanaj, malsataj homoj.
Kiu estas ankoraŭ tiel forta, ke li trenas sin el subferdeko supren?
Pigafetta! Unu el tiuj malmultaj feliĉuloj, kiuj rezistis al ĉiuj malsanoj.
Li iris al admiralo.
“Do, sinjoro Pigafetta, ĉu vi ankoraŭ skribas vian tagolibron?”
bonvenigis lin Magalhaes.

“Jes, sinjoro admiralo. Mi ja ne scias, se iu legos ĝin, sed mi notas
ĉion.”
“Ni esperu,” diris admiralo.
Ili silentiĝis. Varmego faris ferdekon simila al infera fajrujo.
“Ĝi estis grandioza veturo, sinjoro admiralo,” ekparolis post momento
denove Pigafetta. “Dum cent dek tagoj nek unu ventego! Ĝi estas
vere neaŭdita!”
“Ĝi estis ankaŭ nia feliĉo. Se venus eĉ la plej eta tempesto, ĝi
neniigus nin ĉiujn. Balboa nomigis ĉi tiujn akvojn la Suda maro. Sed
ni donis al ili nomon, kiu rememorigos homojn pri nia navigado.”
“Kia estos la nomo?”
“Pacifiko.”
“Bonege, sinjoro admiralo — Pacifiko! Trankvila oceano! Mi tuj
enskribos tion. Brilega ideo! Cent dek tagoj, neniu tempesto — kiel
memkomprenebla: Pacifiko! Pardonu, sinjoro admiralo, mi iros en
kajuton por enskribi ĝin kaj revenos sur la ferdekon.”
Magalhaes ridetis. Admirinda homo estas tiu Pigafetta! Post unu-du
tagoj povas esti la ekspedicio unu grandega tombejo — kaj li volas
skribi en sian taglibron!
Sed apenaŭ faris Pigafetta kelkajn paŝojn, li haltis kaj rigardis la
admiralon. Liaj okuloj estis malfermigitaj pro nepriskribebla mirego.
Ĉu li aŭdis ion? Aŭ ĉu ĝi estis nura trompiĝo de la sentoj?
Ankaŭ Magalhaes havis senton, kvazaŭ lin kaptus abrupta
kapturniĝo. Lia koro ekbategis.
Ĉu ĝi estos grako de iu nevidebla birdo?

Kaj denove tiu raŭka, knara voĉo. Dio — ĉu vere ekkriis la patrolo
sur la masto?
Ili ambaŭ rigardis supren.
La maristo elkliniĝis el ŝipkorbo. Li estis pala kiel kreto. Liaj okuloj
estis malfermigitaj. Li svingis per manoj, montris al okcidento kaj
vokis ree kaj ree:
“Tierra! Tierra! Tierra!”
La ferdekoj subite vigliĝis. Maristoj klopodis leviĝi. Iuj sukcesis tion
fari, aliaj renversiĝis kaj restis kuŝi senmovaj.
Kiu povis, tiu celis al rando de la ferdeko. Ĉu estus ebla, ke ekzistu
ankoraŭ io alia ol akvo?
Ili ne trompiĝas!
En malproksimo videblas blueta strio. Ili konas tian bildon.
Tiamaniere ĉiam ilin bonvenigis firma tero, kiam ili reveturis el
malproksimaj landoj!
“Tierra!” tondris la ferdekoj.
“Tierra!” barelsonis la subferdekoj.
“Tierra!” ĝemis la malsanuloj.
Tierra! Tierra! Tierra!
Ĉiuj moviĝis sur la ferdekon. Ili apogis sin je balustradoj kaj rigardis
antaŭen. Ili vidis la ĉarman strion de la tero. Ne, ne, tio ne estas
fantomo! —
Poste ili singulte ekploris kaj ĉirkaŭbrakis unu alian.

XV.
Inter indiĝenoj
La tero malrapide proksimiĝis. Maristoj komencis distingi kolorojn kaj
formojn.
Jen aperis sur la bordo unu homo. Poste dua, tria, deka. Jam vidiĝas
tie cent, du cent, kvin cent homoj — kaj ĉiam alkuras novaj. Ili vigle
gestas, poste saltas en malgrandajn boatojn kaj post nelonge tuta
ĉirkaŭaĵo de karaveloj svarmas per la alveturintoj.
Ho ve, se ili venas kiel malamikoj! Malfortigitaj ŝipanaroj estos
venkitaj dum unua atako!
Sed en okuloj de indiĝenoj oni ne vidas koleron. En ili estas nur
surprizo, mirego kaj scivolo.
“Levpontetojn, ŝtupetarojn kaj ŝnuregojn malsupren!” tondras voĉo
de la admiralo de sur Trinidado.
Post nelonge la karaveloj similas al formikejo. Indiĝenoj kuretas sur
la ferdekoj de unu objekto al alia, ĉion ili palptuŝas. ĉion esploras kaj
samtempe entuziasme ĝojkrias. Iuj kuras en subferdekojn, penetras
en kabinojn de ŝipanaro kaj oficiroj, en kuirejon, en magazenojn. Ili
prenas ĉion, kion ili vidas: ĉapojn, surtutojn, lampojn, hakilojn,
tranĉilojn, potojn, martelojn, kolorŝtofojn — kaj tion ili faras kun

absoluta memkompreneblo, malkaŝe, antaŭ okuloj de konsternitaj
maristoj!
La marnavigantoj rigardas la vizitantojn kiel fantomojn. Ili tute ne
komprenas, kion devas signifi tiu stranga konduto. La indiĝenoj
venas tamen kiel amikoj, pri tio atestas almenaŭ iliaj ridantaj,
ĝojantaj vizaĝoj. Estas vero, ke ili havas iajn primitivajn armilojn —
lignajn stangojn finitajn per fiŝostoj — sed ili neniun ĝenas. Sed ili
ŝtelas! Ili forprenas ĉion, kio ne estas alfiksita! Kiam iliaj manoj estas
jam plenaj, ili ĵetas la objektojn sur la ŝultrojn, pendigas ilin ĉirkaŭ la
kolojn, enplektas ilin en densajn hararojn...
La ekspedicio tute ne scias, ke ĝi atingis insulon, kies loĝantoj ĝis tiu
tempo ne vidis aliajn homojn. Ili vivis kaj mortis sur sia insulo de
pratempo firme kredante, ke ili estas unusolaj estaĵoj en la tuta
mondo. La tuta mondo — tio estis ilia insulo kaj kelkaj pli malgrandaj
insuletoj en ties proksimo. La tuta mondo — tio estis palmoj kaj
kabanoj kaj sabla bordo kaj plue jam nur akvo kaj akvo kaj akvo.
Fajra suno super la kapoj, varma klimato, malavara naturo.
Abundeco kaj superfluo. Kion vi vidas, ĉion vi povas preni. Al neniu
vi kaŭzos malutilon, ĉar ĉiu vivas en bonfarto.
Kaj jen subite aperas apud ilia insulo tri miraklaj kaj nekompreneble
grandaj ŝipegoj. Kiu ja alveturas en ili? Li estu kiu ajn, li certe
alportas novan ĝojon al ili. Tial ili rapidegas sur la ferdekojn sen eĉ
plej eta esprimo de timo kaj kun infana ĝojo ili prenas ĉion, kion ili
vidas.
La Eŭropanoj rigardas ilian konduton senmove. Ĉu ili estos prirabitaj
pri ĉio? La indiĝenoj penetris jam eĉ en kabinon de admiralo kaj
forportas landkartojn kaj mezuraparatojn! Kion diras al la afero la
komandanto?
Magalhaes staras sur kapitana ponteto kaj indignite observas la
konduton de la indiĝenoj. Jam kelkfoje li intencis voki al maristoj, ke
ili defendu sin, sed li ĉiam rekonsciiĝis. La rigardo al ŝancelirantaj

viroj, kiuj estis tute senpovaj, se la indiĝenoj eĉ nur puŝetis ilin, estis
por li sufiĉe klara averto. Se ĉi tiu vizito ŝanĝiĝus al batalo, ĝi
signifus finon de la ekspedicio.
Dum li meditis, alkuris Henriko.
“Sinjoro admiralo, ili ŝtelis nian ŝalupon!” li komunikis kolerigita.
Magalhaes rigardis al postkilo de Trinidado.
Savboato, la lasta rifuĝejo en kazo, ke la ŝipo averius, estis jam
detranĉita de Trinidado kaj indiĝenoj en ĝi gaje veturis al la bordo!
“Levi ankrojn, altiri velojn!” vokis admiralo.
La ĉenoj ektintis, ankroj flugis alten. Karaveloj ekmoviĝis. En
indiĝenojn kvazaŭ oni pafus. Ili rapidkuris al ŝtupoj kaj ŝnuregoj. Tie
ekestis paniko, ĉar ĉiuj volis esti tuj malsupre. Ili forĵetis ŝtelitajn
objektojn kaj ĵetiĝis en la maron. Post nelonge la ferdekoj estis
liberigitaj.
Eskadro forveturis al vasta maro.
Magalhaes kunvokis konsilan kunvenon de kapitanoj. Estis
interkonsentite, ke ili aranĝos dumnokte ekspedicion al la insulo por
ree ekposedi la forŝtelitan boaton kaj havigi al si akvon kaj nutraĵojn.
“Kiu sentas sin sufiĉe forta por teni en la mano muskedon aŭ
glavon?” demandis admiralo.
“Mi, sinjoro admiralo! Mi! Mi! Mi!” eksonis batalavide el ĉiuj flankoj.
Ankaŭ kelkaj malsanuloj leviĝis sur la kuŝejoj. Iliaj vizaĝoj kuntiriĝas
de doloro, la fingroj konvulsie fermiĝas, sed iliaj okuloj flagras en
stranga febro kaj tra la ŝvelitaj buŝoj trapuŝiĝas dolora ĝemo: “Mi,
mi —!”
Magalhaes elektis nur la plej kapablajn.

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Pointwise Variable Anisotropic Function Spaces On Shai Dekel

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Pointwise Variable Anisotropic Function Spaces On Shai Dekel

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78