Polinomio.ppt polinomiios presentacion algebra

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

1. POLINOMIOSPOLINOMIOS
Prof. Lic. Sandra M. Mansilla
FRRO - UTN - Lic. Sandra M. Mansilla

2. Este material ha sido elaborado
para que usted, estudiante de la
carrera Ingeniería en la FRRo-
UTN, pueda repasar los contenidos
referidos a “Polinomios” sin la
necesidad de recurrir al docente
obligatoriamente.
Esperamos que le sea de utilidad.
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3. ObjetivosObjetivos
Recorrer los contenidos necesarios sobre el tema
“Polinomios”, para optimizar su utilización aplicada
a la resolución de ejercicios en varias asignaturas
de la carrera, como ser Análisis Matemático,
Álgebra y Geometría Analítica, Física.
Brindar la posibilidad de hacer un repaso del tema,
adaptado al ritmo de cada usuario, con opción de
volver hacia atrás cuantas veces sean necesarias,
o avanzar a medida que se vayan resolviendo
satisfactoriamente las instancias de evaluación
propuestas.
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4. Primera partePrimera parte
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5. Definición: Dado , se llama polinomio P de grado n
en la variable x a toda expresión de la forma:
donde son números complejos y .
Los números se llaman coeficientes. El
número se denomina coeficiente principal y el es el
término independiente del polinomio.
Para indicar que un polinomio P tiene coeficientes
complejos se escribe: C[x]. Si tiene coeficientes reales se
indica : R[x].
Puede expresarse un polinomio en forma abreviada, como:


01
2
2
2
2
1
1 ax ax a. . .x ax ax axP
n
n
n
n
n
n 




na, . . . , a, a
10
0
na
0Nn
na, . . . , a, a
10
na
0a



n
k
k
k
x axP
0
P
P
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6. Polinomio nulo: Un polinomio que tenga todos sus
coeficientes iguales a cero se llama polinomio nulo. Se
representa con y carece de grado.
Igualdad de polinomios: Dos polinomios a coeficientes
complejos son iguales si y sólo si tienen el mismo grado y
los coeficientes de los términos de igual grado son iguales.
Se completa la definición diciendo que los polinomios que
no tienen grado son iguales entre sí.
0xP
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7. Autoevaluación 1Autoevaluación 1
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8. I.Seleccione, de las siguientes, la expresión que
representa un polinomio
12xx
253
32 4 xxx 
7
1
7
1
7
2
 xxx
23
25 xx
x

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9. II. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes
proposiciones .
a) “ .”
b)“ y es de grado 3.”
c) “P definido en b) y es de grado 3.”
VV
VV
VV
FF
FF
FF
 iviuvxuxxxxx  333
23
 ][8725
3
xRixxixxP 
][xC
VV
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10. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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11. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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12. II. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes
proposiciones .
a) “ .”
b)“ y es de grado 3.”
c) “P definido en b) y es de grado 3.”
VV
VV
VV
FF
FF
FF
 iviuvxuxxxxx  333
23
 ][8725
3
xRixxixxP 
][xC
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13. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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14. II. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes
proposiciones .
a) “ .”
b)“ y es de grado 3.”
c) “P definido en b) y es de grado 3.”
VV
VV
VV
FF
FF
FF
 iviuvxuxxxxx  333
23
 ][8725
3
xRixxixxP 
][xC
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15. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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16. SU RESPUESTA ES INCORRECTASU RESPUESTA ES INCORRECTA
Deberá revisar nuevamente el tema
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17. Segunda parteSegunda parte
1ª parte
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18. OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA: Dados dos polinomios P y C[x], tales que
y , se llama suma de
y a otro polinomio que se define como sigue:
a) Si


b) Si , podemos suponer que m > n, sin perder
generalidad. Entonces:
Q



n
k
k
k
x axP
0



m
k
k
k
x bxQ
0
xP
xQ
mn
     
0011
1
11
bax ba. . .x bax baxQxP
n
nn
n
nn



mn
     
0011
1
1
bax ba. . .x ba . . . x bx bxQxP
n
nn
m
m
m
m



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19. Propiedades de la suma de polinomios
S1) C[x] C[x]
S2) P + Q = Q + P C[x]
S3) + C[x]
S4) C[x]
S5) Para cada C[x] C[x] /
El polinomio –P se llama opuesto de P y tiene por
coeficientes a los opuestos de los coeficientes de P.
QP Q;P
Q;P
 QP  RQPR   R;Q;P
P   xPxP/xQ  00
P P 0PP
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20. DIFERENCIA: Dados dos polinomios P y Q  C[x] , se
define:
PRODUCTO: Dados dos polinomios P y Q  C[x], tales
que y , se llama producto
de y a otro polinomio cuyos términos son
todos de la forma , donde
y .
  xQxPxQxP 



n
k
k
k
x axP
0



m
k
k
k
x bxQ
0
xP xQ
ji
ji
x b a

n , . . . , , ,i 210 m , . . . , , ,j 210
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21. Propiedades del producto de polinomios
P1) C[x] C[x]
P2) P . Q = Q . P C[x]
P3) . C[x]
P4) C[x]
P5) C[x]
P6)  C[x] C[x] / . Dicho polinomio
T es y recibe el nombre de polinomio unidad.
Q . P Q;P
Q;P
Q . P R . Q . PR  R;Q;P
  R . PQ . PRQ . P   R;Q;P
P  000  . xP/xQ
P  T PT . P
1xT
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22. Autoevaluación 2Autoevaluación 2
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23. I. Indique en cada caso si es verdadera o falsa la
afirmación.
a) “ La suma de dos polinomios de grado distinto de
cero puede dar como resultado un polinomio de grado
cero.”
b) “El producto de un polinomio por su polinomio
opuesto es el polinomio nulo.”
c) “Si
se verifica
que P.Q=R+S-T.”
VV FF
VV FF
  
  
237457
34232
234y 34
; 35 ; 23 ;
ixxxxTixxixxR
ixxxSxxixQixxxP


VV FF
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24. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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25. I. Indique en cada caso si es verdadera o falsa la
afirmación.
a) “ La suma de dos polinomios de grado distinto de
cero puede dar como resultado un polinomio de grado
cero.”
b) “El producto de un polinomio por su polinomio
opuesto es el polinomio nulo.”
c) “Si
se verifica
que P.Q=R+S-T.”
VV FF
VV FF
  
  
237457
34232
234y 34
; 35 ; 23 ;
ixxxxTixxixxR
ixxxSxxixQixxxP


VV FF
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26. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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27. I. Indique en cada caso si es verdadera o falsa la
afirmación.
a) “ La suma de dos polinomios de grado distinto de
cero puede dar como resultado un polinomio de grado
cero.”
b) “El producto de un polinomio por su polinomio
opuesto es el polinomio nulo.”
c) “Si
se verifica
que P.Q=R+S-T.”
VV FF
VV FF
  
  
237457
34232
234y 34
; 35 ; 23 ;
ixxxxTixxixxR
ixxxSxxixQixxxP


VV FF
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28. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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29. II. Dados los polinomios

indique en cada caso la respuesta correcta, sin efectuar
cálculos.
a) El grado de P+Q es:
b) El grado de R.S.P+T.U es:
c) El grado de (R-S).(T+U) es:
 iixxxxP  2
34
 xixxixQ 231
25
  12
3
 ixxxR
 ixixxS 
37
3  15
24
 xxxT
 ,
2
1
2
4
3
3
 xxxU
594
21147
4 11 28
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30. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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31. II. Dados los polinomios

indique en cada caso la respuesta correcta, sin efectuar
cálculos.
a) El grado de P+Q es:
b) El grado de R.S.P+T.U es:
c) El grado de (R-S).(T+U) es:
 iixxxxP  2
34
 xixxixQ 231
25
  12
3
 ixxxR
 ixixxS 
37
3  15
24
 xxxT
 ,
2
1
2
4
3
3
 xxxU
594
21147
4 11 28
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32. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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33. II. Dados los polinomios

indique en cada caso la respuesta correcta, sin efectuar
cálculos.
a) El grado de P+Q es:
b) El grado de R.S.P+T.U es:
c) El grado de (R-S).(T+U) es:
 iixxxxP  2
34
 xixxixQ 231
25
  12
3
 ixxxR
 ixixxS 
37
3  15
24
 xxxT
 ,
2
1
2
4
3
3
 xxxU
594
21147
4 11 28
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34. SU RESPUESTA ES INCORRECTASU RESPUESTA ES INCORRECTA
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35. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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36. Tercera parteTercera parte
2ª parte
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37. COCIENTE:
Algoritmo de la división
Dados P y C[x], con , existe un único par de
polinomios Q y C[ x] que cumple las condiciones
siguientes:
a)
b) ó gr(R)< gr(D)
Los polinomios P, D, Q y R se llaman respectivamente
dividendo, divisor, cociente y resto de la división.
Para el proceso de obtención del cociente y el resto se
adopta el esquema gráfico P D
R Q
D 0D
R
xRxQxDxP  .
0xR
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38. Cuando el divisor es de la forma (x-α), con αC, el
proceso puede simplificarse más, utilizando la llamada
regla de Ruffini, como se muestra en el ejemplo que
sigue:
1 2 -3 4
2 2 8 10
1 4 5 14
Del esquema se obtiene , y .
¿Qué grado tiene el polinomio cociente cuando el divisor
es de la forma (x-α), con αC? ¿Qué grado tiene R(x)?
:)432(
23
 xxx )2(x
 5 4 1
2
 xxxQ 14xR
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39. Valor numérico de un polinomio:
Si en el polinomio  C[x], se le asigna a
la variable x un valor numérico , con C, se obtiene
el número complejo , llamado valor numérico
de P(x) en , y se simboliza P().
Teorema del Resto
El resto de la división de un polinomio P  C[x], con
gr(P) 1 por un binomio de la forma , con C
es una constante igual al valor numérico .
En particular, si R=0, el resto no tiene grado.



n
k
k
kx axP
0




n
k
k
k
a
0
x 
P
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40. Raíz de un polinomio: Sean P C[x], con gr(P) 1 y
C. Se dice que  es una raíz o un cero de si y
sólo si =0.
Como consecuencia del teorema del resto se enuncia
el siguiente teorema llamado:
Teorema del factor
Si C es una raíz de P  C[x], entonces es un
factor de .
En símbolos:  raíz de 
El recíproco es inmediato:
Si , con C, es un factor de , entonces 
es una raíz de .
xP
P
-x
xP
x . Qx-αxPxP
-x xP
xP
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41. Autoevaluación 3Autoevaluación 3
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42. Indique en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa.
a) El resultado de la división de por
es y el
resto es
b) La división de por es exacta.
c)El resto de la división de por
Q(x)=(x-3) es cero. Por lo tanto, 3 es divisor de P(x).
d) t es raíz del polinomio P(x) si y sólo si (x-t) divide a P(x).
 4
3
1
5
6
 xxxP

23
2xxxD   4020105
23
 xxxxC
4
3
1
80)(
2
 xxxR FFVV
 5111
23
 xxx 3x
FFVV
5111)(
23
 xxxxP
VV FF
VV FF
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43. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
Seguir adelante
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44. Indique en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa.
a) El resultado de la división de por
es y el
resto es
b) La división de por es exacta.
c) El resto de la división de por
Q(x)=(x-3) es cero. Por lo tanto, 3 es divisor de P(x).
d) t es raíz del polinomio P(x) si y sólo si (x-t) divide a P(x).
 4
3
1
5
6
 xxxP

23
2xxxD   4020105
23
 xxxxC
4
3
1
80)(
2
 xxxR
FFVV
 5111
23
 xxx 3x
FFVV
5111)(
23
 xxxxP
VV FF
VV FF
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45. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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46. Indique en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa.
a) El resultado de la división de por
es y el resto
es
b) La división de por es
exacta.
c) El resto de la división de por
Q(x)=(x-3) es cero. Por lo tanto, 3 es divisor de P(x).
d) t es raíz del polinomio P(x) si y sólo si (x-t) divide a P(x).
 4
3
1
5
6
 xxxP

23
2xxxD   4020105
23
 xxxxC
4
3
1
80)(
2
 xxxR
FFVV
 5111
23
 xxx 3x
FFVV
5111)(
23
 xxxxP
VV FF
VV FF
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47. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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48. Indique en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa.
a)El resultado de la división de por
es y el
resto es
b) La división de por es exacta.
c) El resto de la división de por
Q(x)=(x-3) es cero. Por lo tanto, 3 es divisor de P(x).
d) t es raíz del polinomio P(x) si y sólo si (x-t) divide a P(x).
 4
3
1
5
6
 xxxP

23
2xxxD   4020105
23
 xxxxC
4
3
1
80)(
2
 xxxR FFVV
 5111
23
 xxx 3x
FFVV
5111)(
23
 xxxxP
VV FF
VV FF
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49. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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50. SU RESPUESTA ES INCORRECTASU RESPUESTA ES INCORRECTA
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51. Cuarta parteCuarta parte
3ª parte
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52. Definición: Dado el polinomio
es posible asociarle la ecuación , es decir:
que recibe el nombre de ecuación polinómica de grado n o
ecuación asociada al polinomio .
Resolver una ecuación polinómica es determinar todas sus
raíces, las que obviamente serán los ceros del polinomio al
que dicha ecuación está asociada.
Teorema fundamental del Álgebra
Toda ecuación polinómica de grado positivo admite por lo
menos una raíz en C.
También puede demostrarse que:

01
1
1 . . . axaxaxaxP
n
n
n
n 


0xP
0
01
1
1 

 ax a. . .x ax a
n
n
n
n
xP
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53. Todo polinomio de grado n positivo tiene a lo sumo n raíces
reales o complejas distintas, y puede descomponerse de
manera única en el producto de a lo sumo n factores distintos de
la forma (x-α
j) y el factor a
n.
Si aceptamos que esta descomposición en factores es única,
podemos afirmar que un polinomio de grado n tiene como
máximo n raíces distintas. Decimos como máximo, porque
puede darse que en la descomposición factorial de un polinomio
un factor aparezca k veces. En ese caso, diremos
que es una raíz múltiple de orden k, y en la descomposición
se indicará con el factor , en lugar de escribir k veces el
Entonces podemos indicar:
donde
      
n-nn
x . -x . . . . . x . x . axP 
121
 
i
x 
i

 
k
i
x 
 
i
x 
      
m i 2 1
k
m
k
i
k k
n
x . . . . .-x . . . . .x . x . axP 
21
nk. . .k. . .kk
m i

21
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54. Autoevaluación 4Autoevaluación 4
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55. Indique en cada caso si la afirmación dada es
verdadera o falsa.
a) Los polinomios de grado cero no tienen raíces.
b) El grado de
es r
1.r
2.r
3
c) Un polinomio de grado cinco puede tener cinco o
más raíces distintas.
   
32 1
r
3
r
2
r
1 - . . .  xxxaxP
n 
VV FF
VV FF
VV FF
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56. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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57. Indique en cada caso si la afirmación dada es verdadera
o falsa.
a) Los polinomios de grado cero no tienen raíces.
b) El grado de
es r1.r2.r3
c) Un polinomio de grado cinco puede tener cinco o más
raíces distintas.
   
32 1
r
3
r
2
r
1 - . . .  xxxaxP
n 
VV FF
VV FF
VV FF
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58. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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59. Indique en cada caso si la afirmación dada es
verdadera o falsa.
a) Los polinomios de grado cero no tienen raíces.
b) El grado de
es r1.r2.r3
c) Un polinomio de grado cinco puede tener cinco o
más raíces distintas.
   
32 1
r
3
r
2
r
1 - . . .  xxxaxP
n 
VV FF
VV FF
VV FF
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60. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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61. SU RESPUESTA ES INCORRECTASU RESPUESTA ES INCORRECTA
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62. Quinta parteQuinta parte
4ª parte
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63. Teorema:
Si un polinomio es a coeficientes reales y admite una raíz
compleja, entonces también admite la conjugada. Además,
ambas raíces tendrán el mismo orden de multiplicidad.
El siguiente teorema permite encontrar, si existen, las raíces
racionales de un polinomio a coeficientes enteros.
Teorema de Gauss:
Sea , donde
son números enteros. Si , con p y q enteros, primos
entre sí y , es raíz de entonces:
a) p es divisor de
b) q es divisor de

01
1
1 ax a. . .x ax axP
n
n
n
n 

 n
a, . . . , a, a
10
q
p
0q xP
0
a
n
a
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64. Autoevaluación 5Autoevaluación 5
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65. Indique en cada caso si la afirmación dada es
verdadera o falsa.
a) Dado un polinomio
a coeficientes enteros, si p es divisor de a
0
y q de a
n,
entonces p/q es raíz de P(x).
b) Un polinomio a coeficientes reales de grado impar
siempre tiene una raíz real.
c) Si un polinomio a coeficientes reales tiene todos
sus coeficientes positivos, se pueden descartar de
entrada raíces positivas.
VV FF
VV FF
VV FF

01
1
1
ax a. . .x ax axP
n
n
n
n



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67. Indique en cada caso si la afirmación dada es
verdadera o falsa.
a) Dado un polinomio
a coeficientes enteros, si p es divisor de a
0
y q de a
n,
entonces p/q es raíz de P(x).
b) Un polinomio a coeficientes reales de grado impar
siempre tiene una raíz real.
c) Si un polinomio a coeficientes reales tiene todos
sus coeficientes positivos, se pueden descartar de
entrada raíces positivas.
VV FF
VV FF
VV FF

01
1
1
ax a. . .x ax axP
n
n
n
n



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68. ¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!¡SU RESPUESTA ES CORRECTA!
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69. Indique en cada caso si la afirmación dada es
verdadera o falsa.
a) Dado un polinomio
a coeficientes enteros, si p es divisor de a
0
y q de a
n,
entonces p/q es raíz de P(x).
b) Un polinomio a coeficientes reales de grado impar
siempre tiene una raíz real.
c) Si un polinomio a coeficientes reales tiene todos
sus coeficientes positivos, se pueden descartar de
entrada raíces positivas.
VV FF
VV FF
VV FF

01
1
1
ax a. . .x ax axP
n
n
n
n



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