Postnewtonian Hydrodynamics Theory And Applications Gilberto Medeiros Kremer

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Post-Newtonian
Hydrodynamics

Post-Newtonian
Hydrodynamics
:
Theory and Applications

By
Gilberto Medeiros Kremer

Post-Newtonian Hydrodynamics: Theory and Applications

By Gilberto Medeiros Kremer
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
Curitiba, Brazil
E-mail: [email protected]

This book first published 2022

Cambridge Scholars Publishing

Lady Stephenson Library, Newcastle upon Tyne, NE6 2PA, UK

British Library Cataloguing in Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library

Copyright © 2022 by Gilberto Medeiros Kremer

All rights for this book reserved. No part of this book may be reproduced,
stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means,
electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without
the prior permission of the copyright owner.

ISBN (10): 1-5275-7969-7
ISBN (13): 978-1-5275-7969-9

To Maria Rachel

Contents
PREFACE xiii
1 THE BOLTZMANN EQUATION:
AN OVERVIEW 1
1.1 Non-relativistic Boltzmann equation....... 2
1.2 Boltzmann equation in special relativity..... 7
1.3 Boltzmann equation in
gravitationalﬁelds ................. 14
2 FIRST POST-NEWTONIAN
APPROXIMATION 27
2.1 Preliminaries .................... 28
2.2 Theﬁrstpost-Newtonianapproximation..... 31
2.3 The solution of Einstein’s ﬁeld
equations ...................... 37
2.3.1 TheWeinbergmethod........... 37
2.3.2 Explicit expressions for the components . 42
vii

2.3.3 TheChandrasekharmethod........ 47
2.4 Hydrodynamic equations for an
Eulerianﬂuid.................... 52
2.5 Brans-Dicke post-Newtonian
approximation ................... 58
2.5.1 Brans-Dicketheory............. 58
2.5.2 Post-Newtonian Brans-Dicke theory . . . 66
2.5.3 Hydrodynamic equations for an
Eulerianﬂuid ............... 75
2.6 Non-perfect ﬂuid hydrodynamic
equations ...................... 78
2.7 Thegravitationalpotentials............ 86
2.8 Theconservationlaws ............... 92
2.9 The post-Newtonian virial
theorem ....................... 104
3 SECOND POST-NEWTONIAN APPROXIMA-
TION 111
3.1 Preliminaries .................... 112
3.2 Equation for determination Ψ
ij.......... 115
3.3 Equation for determination Ψ
0i.......... 120
3.4 Equation for determination Ψ
00.......... 122
3.5 Agaugechoice ................... 124
3.6 Hydrodynamic equations for an
Eulerianﬂuid.................... 125
3.7 Conservation laws in general relativity...... 138
3.7.1 Energy-momentum pseudo-tensor of the
gravitationalﬁeld.............. 140
viii

3.7.2 The total linear momentum density con-
servation .................. 145
3.7.3 The total energy density conservation . . 148
4 POST-NEWTONIAN KINETIC THEORY 163
4.1 Firstpost-Newtonianapproximation ....... 164
4.1.1 Post-Newtonian Boltzmann equation . . . 164
4.1.2 Post-Newtonian Maxwell-J¨uttner
distribution function............ 167
4.1.3 Post-Newtonianmacroscopicﬁelds .... 169
4.1.4 Post-Newtonian transfer and Eulerian
hydrodynamicequations ......... 173
4.2 Second post-Newtonian
approximation ................... 176
4.2.1 Post-Newtonian Boltzmann equation . . . 177
4.2.2 Post-Newtonian Maxwell-J¨uttner
distribution function............ 179
4.2.3 Post-Newtonianmacroscopicﬁelds .... 181
4.2.4 Post-Newtonian hydrodynamic
equations .................. 185
4.3 Post-NewtonianJeansequations ......... 190
4.3.1 Stationary and spherically symmetrical
self-gravitatingsystems .......... 191
4.3.2 Stationary and axisymmetrical
self-gravitatingsystems .......... 194
5 STELLAR STRUCTURE MODELS 203
5.1 Thepolytropicequationofstate ......... 204
5.2 Stellarmeanmolecularweight........... 207
ix

5.3 NewtonianLane-Emdenequation......... 209
5.4 Post-Newtonian Lane-Emden
equation....................... 212
5.5 Lane-Emden equation in the post-Newtonian Brans-
Dicketheory .................... 215
5.6 Thephysicalquantitiesofstars.......... 217
5.6.1 Newtoniantheory ............. 217
5.6.2 Post-Newtoniantheory........... 220
5.6.3 Brans-Dicke post-Newtonian theory . . . 221
5.7 Polytropic solutions of the
Lane-Emdenequations............... 222
6 SPHERICALLY SYMMETRICAL
ACCRETION 227
6.1 Newtonian spherically symmetrical accretion . . 228
6.1.1 NewtonianBernoulliequation....... 228
6.1.2 Gas ﬂow velocity as function of radial dis-
tance .................... 235
6.2 Post-Newtonianaccretion ............. 240
6.2.1 Post-NewtonianBernoulliequation.... 240
6.2.2 Mach number as function of the radial dis-
tance .................... 253
6.3 Relativistic Bondi accretion............ 256
6.3.1 Relativistic Bernoulli equation...... 256
6.3.2 Mach number as function of the radial dis-
tance .................... 264
6.4 Numericalresults.................. 266
x

7 JEANS INSTABILITY: HYDRODYNAMIC EQUA-
TIONS 277
7.1 Newtonian Jeans instability............ 279
7.2 Jeans instability in expanding
Universe....................... 282
7.3 Post-Newtonian Jeans instability I........ 289
7.4 Post-Newtonian Jeans instability II........ 297
8 JEANS INSTABILITY: BOLTZMANN
EQUATION 307
8.1 Jeansinstabilityforasinglegas.......... 308
8.2 Jeans instability for systems
oftwoﬂuids .................... 321
8.3 JeansinstabilityinanexpandingUniverse.... 328
8.4 Post-Newtonian Jeans instability......... 336
9 GALAXY ROTATION CURVES 357
9.1 Post-Newtonian particle
dynamics ...................... 358
9.2 Maxwell-J¨uttner distribution
function....................... 361
9.3 Searchforstaticsolutions ............. 363
9.4 Numericalanalysisofsomeﬁelds ......... 366
9.5 Circularrotationcurves .............. 371
9.6 Stationary spherically symmetrical systems . . . 378
INDEX 38
xi

PREFACE
This book is about the post-Newtonian theory, a method of suc-
cessive approximations of Einstein’s ﬁeld equations in powers of
the light speed. This method was proposed in 1938 by Einstein,
Infeld and Hoﬀmann
1
and in 1965 the ﬁrst post-Newtonian hy-
drodynamic equations for a perfect ﬂuid were derived by Chan-
drasekhar.
2
Nowadays the post-Newtonian theory is still a ﬁeld
of investigation by many researches.
The aim of this book is to present the post-Newtonian theory
and some applications in a self-contained manner. The devel-
opment of the theory follows the works of Chandrasekhar and
its collaborators and the book by Weinberg.
3
For another dif-
ferent approach and applications of the post-Newtonian theory
1
A. Einstein, L. Infeld and B. Hoﬀmann, The gravitational equations
and the problem of motion,Ann. of Math.39, 65 (1938).
2
S. Chandrasekhar, The post-Newtonian equations of hydrodynamics in
general relativity,Ap. J.142, 1488 (1965).
3
S. Weinberg,Gravitation and cosmology. Principles and applications
of the theory of relativity(Wiley, New York, 1972).
xiii

the reader is referred to the book by Poisson and Will.
4
The book is organized as follows. In the ﬁrst Chapter an
overview of the non-relativistic and relativistic Boltzmann equa-
tion with the corresponding transfer and balance equations are
introduced. The particle four-ﬂow and the energy-momentum
tensor are calculated with the equilibrium Maxwell-J¨uttner dis-
tribution function and it is shown that the equilibrium condition
of the Boltzmann equation in gravitational ﬁelds leads to Tol-
man and Klein laws.
In Chapter two the ﬁrst post-Newtonian approximation of
Einstein’s ﬁeld equations is determined from Chandrasekhar and
Weinberg methods, which introduce diﬀerent gauge conditions
and equivalent gravitational potentials. The post-Newtonian
balance equations for an Eulerian and non-perfect ﬂuids are ob-
tained and the Brans-Dicke theory in the post-Newtonian ap-
proximation is developed. Other subjects of this chapter in-
clude the analysis of the gravitational potentials, the conserva-
tion laws and the virial theorem in the post-Newtonian approx-
imation.
The second post-Newtonian approximation is the subject
of Chapter three, where new gravitational potentials come out
from Einstein’s ﬁeld equations. The Eulerian balance equations
are determined and the conservation laws are investigated in
this approximation.
In Chapter four the ﬁrst and second post-Newtonian approx-
imations of the Boltzmann equation and of the Maxwell-J¨uttner
4
E. Poisson and C. M. Will,Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Rel-
ativistic, (Cambridge UP, Cambridge, 2014).
xiv

distribution function are derived. From a transfer equation of
the post-Newtonian Boltzmann equations the Eulerian balance
equations for perfect gases are obtained for the two approx-
imations. Furthermore, the post-Newtonian Jeans equations
for stationary spherically symmetrical and axisymmetrical self-
gravitating systems are derived.
The aim of Chapter ﬁve is the search for polytropic solutions
of the post-Newtonian Lane-Emden equation for some stars like
the Sun, white and brown dwarfs, red giants and neutron stars.
The post-Newtonian solutions are compared with the ones that
come out from the Newtonian Lane-Emden equation.
In Chapter six the problem of spherically symmetrical ac-
cretion is investigated where the Bernoulli equation and the
critical values of the ﬂow ﬁelds are determined in the post-
Newtonian approximation. The solutions of the post-Newtonian
Bernoulli equation are compared with the ones that follow from
the Bernoulli equations of a relativistic theory and its weak ﬁeld
approximation.
The Jeans instability from the hydrodynamic equations is
the subject of Chapter seven. Here the Newtonian Jeans insta-
bility is investigated for a non-expanding and expanding Uni-
verse. The post-Newtonian Jeans instability are obtained from
the mass density and momentum density balance equations in
the ﬁrst and second approximations.
The aim of Chapter eight is to study Jeans instability within
the framework of the Boltzmann equation. For the Newtonian
and post-Newtonian Boltzmann equations two approaches are
used to obtain the dispersion relation which leads to the Jeans
instability. In one of them the perturbed distribution function
xv

is left unspeciﬁed while in the other the perturbed distribution
function is written in terms of the summational invariants of the
Boltzmann equation. The determination of Jeans instability for
an expanding Universe and for a BGK model of the Boltzmann
equation – where collision between the particles are taken into
account – are also examined.
In the last chapter it is investigated the rotation curves of
galaxies within the post-Newtonian framework and the solution
of Jeans equation for stationary spherically symmetrical self-
gravitating systems.
The notations used in this book are: Greek indices take the
values 0,1,2,3 and Latin indices the values 1,2,3. The semicolon
denotes the covariant diﬀerentiation, the indices of Cartesian
tensors will be written as subscripts, the summation convention
over repeated indices will be assumed and the partial diﬀeren-
tiation will be denoted by∂/∂x
i
.
It is expected that this book can be helpful not only as a
text for advanced courses but also as a reference for physicists,
astrophysicists and applied mathematicians who are interested
in the post-Newtonian theory and its applications.
The ﬁnancial support of Conselho Nacional de Desenvolvi-
mento Cient´ıﬁco e Tecnol´ogico (CNPq, grant No. 304054/2019-
4) Brazil, is gratefully acknowledged.
Gilberto Medeiros Kremer
Itaja´ı, Brazil
July 2021
xvi

CHAPTER 1
THE BOLTZMANN
EQUATION:
AN OVERVIEW
In this chapter an outline of the Boltzmann equation is pre-
sented. The non-relativistic Boltzmann equation is based on
the book [1] while the relativistic one on the book [2]. For more
details and references on non-relativistic and relativistic Boltz-
mann equation the reader should consult these two books and
the references therein.
1

2 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
1.1 Non-relativistic Boltzmann equa-
tion
The Boltzmann equation is a non-linear integro-diﬀerential equa-
tion for the space-time evolution of the one-particle distribution
functionf(x,v,t) in the phase space spanned by the space co-
ordinatesxand velocityvof the particles. The one-particle
distribution function is such thatdN=f(x,v,t)d
3
xd
3
vgives
at timetthe number of particles in the volume elementd
3
x
aboutxand with velocities in a ranged
3
vaboutv. In the non-
relativistic kinetic theory of monatomic gases the Boltzmann
equation reads
∂f
∂t
+v
i
∂f
∂xi
+Fi
∂f
∂vi
=
∂
σ
f(x,v
∂
∗
,t)f(x,v
∂
,t)
−f(x,v
∗,t)f(x,v,t)
ρ
gσdΩd
3
v∗. (1.1)
HereFis a force per unit mass which acts on the particles and
do not depend on its velocities. The right-hand side is a con-
sequence of the so-calledStoßzahlansatzwhich considers only
binary collisions of two beams of particles which before collision
have velocities (v,v
∗) and after collision (v
∂
,v
∂
∗
). Furthermore,
g=|v
∗−v|is a relative velocity,σa collision diﬀerential cross
section anddΩ an element of solid angle of the scattered parti-
cles. In the binary collision the momentum and energy conser-
vation laws hold
mv+mv
∗=mv
∂
+mv
∂
∗
,
1
2
mv
2
+
1
2
mv
2
∗
=
1
2
mv
∂2
+
1
2
mv
∂2
∗
,
(1.2)

1.1. NON-RELATIVISTIC BOLTZMANN EQUATION 3
wheremis the particle rest mass.
In the kinetic theory of gases the macroscopic ﬁelds are
given in terms of integrals over the microscopic quantities of
the particles multiplied by the one-particle distribution func-
tion. The microscopic quantities massm, momentummvand
energymv
2
/2 of a particle imply the macroscopic ﬁelds of mass
densityρ, momentum densityρVand energy densityρuof the
gas deﬁned by
ρ(x,t)=
∂
mf(x,v,t)d
3
v, ρV(x,t)=
∂
mvf(x,v,t)d
3
v,(1.3)
ρu(x,t)=
∂
m
2
v
2
f(x,v,t)d
3
v.(1.4)
The energy density can be decomposed into a sum of a kinetic
energy densityρV
2
/2 and an internal energy densityρεby intro-
ducing the peculiar velocityV
i=vi−Viwhich is the diﬀerence of
the particle velocityvand the hydrodynamic velocityV. Hence
we have
ρu=
1
2
ρV
2
+ρε,whereρε=
∂
1
2
mV
2
f(x,v,t)d
3
v.(1.5)
Note that
ε
V
ifd
3
v=0.
An important quantity in the kinetic theory of gases is the
so-called summational invariantψdeﬁned by the relationship
ψ+ψ
∗=ψ
∂
+ψ
∂
∗
. It is easy to see that the massm, the momen-
tummvand the energymv
2
/2 of a particle are summational in-
variants. One important consequence is that the representation
of the summational invariant as a sum of mass, momentum and

4 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
energy of a particle leads to the determination of the one-particle
distribution function at equilibrium. Indeed, the equilibrium is
characterized when the collision term of the Boltzmann equa-
tion (1.1) vanishes, i.e., at equilibrium the number of particles
entering in the phase space volume is equal to those that leav-
ing it. In this sensef(x,v
∂
∗
,t)f(x,v
∂
,t)=f(x,v ∗,t)f(x,v,t)
implying that lnf(x,v,t)isasummationinvariantsothatat
equilibrium the one-particle distribution function becomes the
Maxwellian distribution function
f=
ρ
m
ψ
m
2πkT
π
3
2
exp
φ
−
mV
2
2kT

, (1.6)
where the absolute temperatureTis related with the speciﬁc
internal energy byε=3kT/2mwithkdenoting the Boltzmann
constant.
The derivation of hydrodynamic equations from a transfer
equation for arbitrary macroscopic quantities which are associ-
ated with mean values of microscopic quantities is an old subject
in the literature of kinetic theory of gases which goes back to
the work of Maxwell in 1867 [3]. In 1911 Enskog [4] determined
from the Boltzmann equation a general transfer equation for an
arbitrary function of the space-time and particle velocity where
the hydrodynamic equations could be obtained. The starting
point for the knowledge of the so-called Maxwell-Enskog trans-
fer equation follows from the multiplication of the Boltzmann
equation (1.1) by an arbitrary function of the space-time coordi-
nates and particle velocity Ψ(x,v,t) and subsequent integration
of the resulting equation over all values of the particle velocity
componentsd
3
v. Hence it follows the Maxwell-Enskog transfer

1.1. NON-RELATIVISTIC BOLTZMANN EQUATION 5
equation
∂
Ψ
φ
∂f
∂t
+v
i
∂f
∂xi
+Fi
∂f
∂vi

d
3
v=
∂∂t
∂
Ψfd
3
v
+
∂
∂xi
∂
Ψv
ifd
3
v+
∂
∂ΨfF
i
∂vi
d
3
v
−
∂φ
∂Ψ
∂t
+v
i
∂Ψ
∂xi
+Fi
∂Ψ
∂vi

fd
3
v
=
14
∂
[Ψ+Ψ
∗−Ψ
∂
−Ψ
∂
∗
][f
∂
∗
f
∂
−f∗f]gσdΩd
3
v∗d
3
v.(1.7)
In the above equation the underlined term vanishes since it can
be converted by the use of the divergence theorem into an inte-
gral over a surface situated far away in the velocity space where
the distribution function tends to zero. Its right-hand side fol-
lows by considering the symmetry properties of the collision op-
erator of the Boltzmann equation where it was introduced the
abbreviationsf
∂
∗
≡f(x,v
∂
∗
,t),f≡f(x,v,t) and so on. Note
that the right-hand side of the transfer equation vanishes if Ψ
is a summational invariant, i.e., for Ψ≡ψ.
The balance equations for the ﬁelds of mass densityρ,mo-
mentum densityρVand energy densityρuare obtained from
the transfer equation (1.7) by choosing Ψ equal to the massm,
momentummvand energymv
2
/2 of the particles. Hence, it
follows respectively
∂ρ
∂t
+
∂ρV
i
∂xi
=0, (1.8)

6 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
∂ρV
i
∂t
+
∂(ρV
iVj+pij)
∂xj
=−ρ
∂φ
∂xi
, (1.9)
∂

ρ
ψ
ε+
V
2
2
πϕ
∂t
+
∂

ρ
ψ
ε+
V
2
2
π
V
i+qi+pijVj

∂xi
=−ρ
∂φ
∂xi
Vi.
(1.10)
Intheaboveequationswehaveidentiﬁedtheforceperunitmass
Fas the gravitational ﬁeldg=−∇φwhereφis the Newtonian
gravitational potential, which is related with the mass densityρ
and the universal gravitational constantGthrough the Poisson
equation∇
2
φ=4πGρ. Furthermore, it was introduced the
pressure tensorp
ijand the heat ﬂux vectorq iwhich are given
in terms of the one-particle distribution function by
p
ij=
∂
mV iVjfd
3
v, q i=
∂
1
2
mV
2
Vifd
3
v.(1.11)
The pressure is the trace of the pressure tensorp=p
rr/3and
for perfect gases it is related to the speciﬁc internal energy by
p=2ρε/3=ρkT/m.
If we eliminate the time derivative of the hydrodynamic ve-
locityVfrom the balance equation for the energy density (1.10)
by using the momentum density balance equation (1.9) we get
the internal energy density balance equation
∂ρε
∂t
+
∂(ρεV
i+qi)
∂xi
+pij
∂Vi
∂xi
=0. (1.12)

1.2. BOLTZMANN EQUATION IN SPECIAL RELATIVITY 7
1.2 Boltzmann equation in special rel-
ativity
In special relativity it is considered that a gas particle of rest
massmis characterized by the space-time coordinates (x
α
)=
(ct,x) and momentum four-vector (p
α
)=(p
0
,p). From the
constraint that the length of the momentum four-vector is equal
tomc, its time componentp
0
is given in terms of the spatial
componentspbyp
0
=

|p|
2
+m
2
c
2
.
The one-particle distribution functionf(x
α
,p
α
)=f(x,p,t)
is deﬁned in terms of the space-time and momentum coordinates
so that the number of particles in the volume elementd
3
xabout
xand with momenta in a ranged
3
paboutpat timetis given
bydN=f(x,p,t)d
3
xd
3
p.
In order to know if the one-particle distribution function is a
scalar invariant we have to know ifd
3
xd
3
pis a scalar invariant,
because the number of particles in a volume element is indeed
a scalar invariant due to fact that all observers will count the
same number of particles.
We consider two inertial systems which transform according
a homogeneous Lorentz group in a Minkowski space-time and
whose components of the metric tensor are diag(1,−1,−1,−1).
Thevolumeelementsd
4
x=d
4
x
∂
andd
4
p=d
4
p
∂
are scalar
invariants. If we choose the primed frame of reference as a rest
frame wherep
∂
=0,wehavethatd
3
x
∂
is the proper volume
whose transformation law is
d
3
x=

1−v
2
/c
2
d
3
x
∂
. (1.13)

8 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
The transformation law forp
0
andd
3
p–bytakingintoaccount
the primed frame as a rest frame wherep
∂
=0–are
p
0
=
1

1−v
2
/c
2
p
∂0
,
d
3
p
∂
p
∂
0
=
d
3
p
p0
. (1.14)
In a Minkowski space-timep
0=p
0
hence from the above equa-
tionswehavethatd
3
xd
3
p=d
3
x
∂
d
3
p
∂
is a scalar invariant and
as a consequence the one-particle distribution function is also a
scalar invariant. Note thatd
3
p/p0is a scalar invariant.
In the phase space spanned by the space coordinatesxand
momentumpof the particles the space-time evolution of the
one-particle distribution functionf(x,p,t)isgivenbytheBoltz-
mann equation
p
μ
∂f
∂x
μ
=
∂

f(x,p
∂
∗
,t)f(x,p
∂
,t)
−f(x,p
∗,t)f(x,p,t)

FσdΩ
d
3
p∗
p∗0
.(1.15)
The right-hand side of the above equation represents the colli-
sion term which takes into account the binary collision of two
beams of particles which before collision have momenta (p,p
∗)
and after collision (p
∂
,p
∂
∗
). The relative velocity here is given
by the invariant ﬂux
F=
p
0
p
0
∗
c

(v−v ∗)
2
−
1
c
2
(v×v ∗)
2
=

(p
α
∗
pα)
2
−m
4
c
4
.
(1.16)

1.2 SPECIAL RELATIVITY 9
Furthermore,σis the invariant diﬀerential cross-section anddΩ
the solid angle element. At collision the energy-momentum con-
servation law holds
p
μ
+p
μ
∗
=p
∂μ
+p
∂μ
∗
, (1.17)
which is a summational invariant.
The transfer equation for an arbitrary function Ψ(x
μ
,p
μ
)
is obtained from the multiplication of the Boltzmann equation
(1.15) by Ψ(x
μ
,p
μ
) and integration of the resulting equation
with respect tod
3
p/p0, yielding
∂
∂x
μ
∂
Ψp
μ
f
d
3
p
p0
−
∂
∂Ψ
∂x
μ
p
μ
f
d
3
p
p0
=
1
4
∂
[Ψ+Ψ
∗−Ψ
∂
−Ψ
∂
∗
][f
∂
∗
f
∂
−f∗f]FσdΩ
d
3
p∗
p∗0
d
3
p
p0
,(1.18)
where the right-hand side follows from the symmetry properties
of the collision operator of the Boltzmann equation. Here it was
introduced the abbreviationsf
∂
∗
≡f(x,p
∂
∗
,t),f≡f(x,p,t)and
so on.
The equilibrium state is attained when the right-hand side
of Boltzmann equation (1.15) vanishes so that lnf(x,p,t)isa
summational invariant and the one-particle distribution func-
tion at equilibrium becomes the Maxwell-J¨uttner distribution
function
f(x,p,t)=
n
4πm
2
ckT K2(ζ)
exp
γ
−
p
μ
Uμ
kT
δ
. (1.19)

10 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
Herenis the particle number density,U
μthe hydrodynamic
four-velocity – such thatU
μU
μ
=c
2
–andK 2(ζ) the modiﬁed
Bessel function of second kind deﬁned by
K
n(ζ)=
γ
ζ
2
δ
n
Γ
ξ
1
2
χ
Γ
ξ
n+
1
2
χ
∂
∞
1
e
−ζy
(y
2
−1)
n−
1
2dy.(1.20)
The relativistic parameterζ=mc
2
/kTis the ratio of the rest
energy of the gas particlemc
2
and the thermal energy of the
gaskT. In the non-relativistic limiting caseζρ1 while in the
ultra-relativistic limiting caseζε1.
The macroscopic ﬁelds of particle four-ﬂowN
μ
and energy-
momentum tensorT
μν
are deﬁned in terms of the one-particle
distribution function as
N
μ
=
∂
cp
μ
f(x,p,t)
d
3
p
p0
,T
μν
=
∂
cp
μ
p
ν
f(x,p,t)
d
3
p
p0
.(1.21)
The balance equations for the macroscopic ﬁelds are ob-
tained from the transfer equation (1.18) by choosing Ψ =c
and Ψ =cp
μ
, yielding
∂
∂x
μ
∂
cp
μ
f
d
3
p
p0
=0,⇒∂ μN
μ
=0, (1.22)
∂
∂x
ν
∂
cp
μ
p
ν
f
d
3
p
p0
=0,⇒∂ νT
μν
=0. (1.23)
Let us determine the equilibrium values of the particle four-
ﬂowN
μ
and energy-momentum tensorT
μν
from the Maxwell-
J¨uttner distribution function. We choose a local Lorentz frame

1.2 SPECIAL RELATIVITY 11
where the spatial components of the hydrodynamic four-velocity
vanishes, i.e.,U
μ
=(c,0) and write the particle four-ﬂow as
N
μ
=
∂
cp
μ
f
d
3
p
p0
=−
cn
4πm
2
ckT K2(ζ)
∂
∂Uμ
∂
e
−(p
μ
Uμ)
d
3
pp0
,
(1.24)
where we have introducedU
μ=Uμ/kTwhich obeys the rela-
tionships
U
μ
Uμ=
ζ
2
(mc)
2
,
∂ζ
∂Uμ
=
(mc)
2
ζ
U
μ
=mU
μ
.(1.25)
In a local Lorentz frame we can use spherical coordinates to
write
d
3
p=|p|
2
sinθd|p|dθdϕ, (1.26)
where the range of the angles are 0≤θ≤πand 0≤ϕ≤2π.
Furthermore we change the integration variable and introduce
anewvariableysuch that
p
0=mcy,|p|
2
=p
2
0
−m
2
c
2
=m
2
c
2
(y
2
−1),(1.27)
d|p|
p0
=
dy

y
2
−1
. (1.28)
Hence by considering that the integrals over the anglesθandϕ
furnish 4π, (1.24) becomes
N
μ
=−
ζn
mK2(ζ)
∂
∂Uμ
∂
e
−ζy

y
2
−1dy
=−
ζn
mK2(ζ)
∂K
1(ζ)/ζ
∂Uμ
=nU
μ
. (1.29)

12 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
The evaluation of the energy-momentum tensor proceeds in
the same way
T
μν
=
∂
cp
μ
p
ν
f
d
3
p
p0
=
ζn
mK2(ζ)
∂
2
K1(ζ)/ζ
∂Uμ∂Uν
=(+p)
U
μ
U
ν
c
2
−pg
μν
, (1.30)
Hereg
μν
is the Minkowski metric tensor. The energy density
and the hydrostatic pressurepare given by
=ρc
2
γ
K
3(ζ)
K2(ζ)
−
1
ζ
δ
,p =nkT. (1.31)
In the above equations it was used the recurrence relation
for the modiﬁed Bessel function of second kind
d
dζ
γ
K
n(ζ)
ζ
n
δ
=−
K
n+1
ζ
n
. (1.32)
The energy density has the following values in the non-
relativisticζρ1 and ultra-relativisticζε1 limiting cases
=ρc
2
γ
1+
3kT
2mc
2
δ
,forζρ1, (1.33)
=3nkT=3p,forζε1, (1.34)
by using the asymptotic expressions for the modiﬁed Bessel
function of the second kind given in the Appendix.
Another quantity that is very important in the analysis of
the Boltzmann equation is the entropy. In a relativistic the-
ory the entropy four-ﬂow is given in terms of the one-particle

1.2 SPECIAL RELATIVITY 13
distribution function by
S
μ
=−k
∂
cflnfp
μ
d
3
p
p0
. (1.35)
If we choose Ψ =−kclnfin the transfer equation (1.18) we get
the balance equation for the entropy four-ﬂow
∂
∂x
μ
∂
(−kclnf)p
μ
f
d
3
p
p0
=−kc
∂
∂f
∂x
μ
p
μ
f
d
3
p
p0
+
kc
4
∂φ
ln
f
∂
f
∂
∗
ff∗
ζφ
f
∂
f
∂
∗
ff∗
−1

f ∗fFσdΩ
d
3
p∗
p∗0
d
3
p
p0
.(1.36)
The ﬁrst term in the right-hand side of the above equation van-
ishes, since it can be identiﬁed as the multiplication of the Boltz-
mann equation (1.15) bykc, integration over all values of
d
3
p
p0
and considering the symmetry properties of the collision opera-
tor. The second term is non-negative thanks to the relationship
(x−1) lnx≥0 which is valid for allx>0. Hence the entropy
four-ﬂow balance equation reduces to
∂
μS
μ
≥0. (1.37)
The equilibrium entropy four-ﬂow can be obtained from the
insertion of the Maxwell-J¨uttner distribution function (1.19)
into its deﬁnition (1.35) and integration of the resulting equa-
tion, yielding
S
μ
=k
∂
fp
μ
e
−
p
μ
Uμ
kT
ω
p
ν
Uν
kT
−ln
φ
n
4πm
2
ckT K2(ζ)

d
3
p
p0

14 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
=
T
μν
Uν
T
+kln
φ
4πm
2
ckT K2(ζ)
n

N
μ
=n
ω
kln
φ
4πm
2
ckT K2(ζ)
n

+

nT

U
μ
. (1.38)
thanks to (1.29) and (1.30). The entropy per particlesis related
to the equilibrium value of the entropy four-ﬂow written asS
μ
=
nsU
μ
.
The Gibbs function per particle is identiﬁed with the chem-
ical potentialμand deﬁned by
μ=

n
−Ts+
p
n
=kT
ω
ln
φ
n
4πm
2
ckT K2(ζ)

+1

.(1.39)
From this last result we can rewrite the Maxwell-J¨uttner
distribution function (1.19) as
f=exp
φ
μ
kT
−1−
p
μU
μ
kT

. (1.40)
1.3 Boltzmann equation in
gravitational ﬁelds
In order to write the number of particles in terms of the one-
particle distribution function we have to know the transforma-
tions of the volume elementsd
3
xandd
3
pin a Riemannian space.
These transformations read
p
0
√
−gd
3
x=p
∂0

−g
∂
d
3
x
∂
,
√
−g
d
3
p
p0
=

−g
∂
d
3
p
∂
p
∂
0
,(1.41)

1.3 GRAVITATIONAL FIELDS 15
wheregis the determinant of the metric tensorg
μν.
Hence in a Riemannian space the one-particle distribution
function is the scalar invariantf(x,p,t) such that
dN=f(x,p,t)p
0
√
−gd
3
x
√
−g
d
3
p
p0
, (1.42)
gives the number of particle world lines that crosses the hyper-
surface element represented by the three-dimensional space on
the surfacex
0
= constant and with momentum four-vector con-
tained in the celld
3
p/p0of the mass-shell. In a Minkowski space
√
−g=1,p 0=p
0
anddN=f(x,p,t)d
3
xd
3
p.
In the presence of a gravitational ﬁeld the left-hand side
of the Boltzmann equation should be modiﬁed. For that end
we shall write the one-particle distribution functionf(x,p,t)
asf(x
μ
(τ
∗
),p
i
(τ
∗
)) whereτ
∗
=τ/mis an aﬃne parameter
along the world line of a particle of rest massmandτdenotes
the proper time. The variation of the one-particle distribution
function with respect to the aﬃne parameterτ
∗
reads
df(x
μ
(τ
∗
),p
i
(τ
∗
))
dτ
∗
=
∂f
∂x
μ
dx
μ
dτ
∗
+
∂f
∂p
i
dp
i
dτ
∗
. (1.43)
Now from the equation of motion of a particle in the presence
of a gravitational ﬁeld
d
2
x
μ
dτ
2
+Γ
μ
νλ
dx
ν
dτ
dx
λ
dτ
=0, (1.44)
rewritten as
dp
i
dτ
∗
=−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
,where p
μ
=
dx
μ
dτ
∗
, (1.45)

16 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
it follows that (1.43) becomes
df(x
μ
(τ
∗
),p
i
(τ
∗
))
dτ
∗
=p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
i
. (1.46)
Hence, the left-hand side of the Boltzmann equation is replaced
by
p
μ
∂f
∂x
μ
−→p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
i
, (1.47)
while in its right-hand side we should replace the invariant el-
ementd
3
p∗/p∗0by
√
−gd
3
p∗/p∗0. Therefore the Boltzmann
equation in the presence of a gravitational ﬁeld reads
p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
i
=
∂
(f
∂
∗
f
∂
−f∗f)FσdΩ
√−g
d
3
p∗
p∗0
.
(1.48)
Another expression for the Boltzmann equation in gravita-
tional ﬁelds is obtained when the mass-shell conditionp
μp
ν
=
m
2
c
2
is not taken into account. First we note that
∂f(x
μ
,p
i
)
∂x
μ
=
∂f(x
μ
,p
μ
)
∂x
μ
+
∂f(x
μ
,p
μ
)
∂p
0
∂p
0
∂x
μ
, (1.49)
∂f(x
μ
,p
i
)
∂p
i
=
∂f(x
μ
,p
μ
)
∂p
i
+
∂f(x
μ
,p
μ
)
∂p
0
∂p
0
∂p
i
, (1.50)
while from the mass-shell conditionp
μp
ν
=m
2
c
2
and (1.45) it
follows that
∂p
0
∂x
μ
=−
1
p0
p
ν
pκΓ
κ
μν
,
∂p
0
∂p
i
=−
p
i
p0
. (1.51)

1.3 GRAVITATIONAL FIELDS 17
Hence by taking into account (1.49) – (1.51) the Boltzmann
equation (1.48) can be rewritten as
p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
σ
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
σ
=
∂
(f
∂
∗
f
∂
−f∗f)FσdΩ
√−g
d
3
p∗
p∗0
.
(1.52)
The particle four-ﬂowN
μ
and the energy-momentum tensor
T
μν
are deﬁned in terms of the one-particle distribution function
by
N
μ
=
∂
cp
μ
f(x,p,t)
√
−g
d
3
p
p0
, (1.53)
T
μν
=
∂
cp
μ
p
ν
f(x,p,t)
√
−g
d
3
p
p0
. (1.54)
To obtain the balance equations for the particle four-ﬂow
and energy-momentum tensor we need to know a relationship
that follows from the Liouville theorem in a seven-dimensional
phase space spanned by the coordinates (x
μ
,p
i
).
In a Riemannian spaced
4
xis a scalar density of weight−1
whose invariant volume element is
√
−gd
4
x=
√
−g
∂
d
4
x
∂
.Let
us consider a seven-dimensional phase space spanned by the
coordinates (x
μ
,p
i
) where the invariant volume element is given
bydF=
√
−gd
4
x
√
−g
d
3
p
p0
.In this phase space we introduce a
seven-dimensional momentump
A
and a corresponding seven-
dimensional gradient∂/(∂x
A
) deﬁned by
(p
A
)=
γ
dx
μ
dτ
∗
,
dp
i
dτ
∗
δ
≡
ξ
p
μ
,−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
χ
,(1.55)

18 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
γ
∂
∂x
A
δ
=
γ
∂
∂x
μ
,
∂
∂p
i
δ
. (1.56)
According to the Liouville theorem the density of the points
in the phase space is constant along the trajectories in the
phase space, which means that the density of the points in the
phase space moves like an incompressible ﬂuid. By identifying
−g/p
0as the density of the points in the phase space spanned
by (x
μ
,p
i
) the Liouville theorem implies that the divergence of
−gp
A
/p0must vanish, i.e.
∂
∂x
A
γ
−g
p0
p
A
δ
=
∂
∂x
μ
γ
−g
p0
p
μ
δ
+
∂
∂p
i
γ
g
p0
Γ
i
μν
p
μ
p
ν
δ
=0.
(1.57)
The balance equation for the particle four-ﬂow is obtained
from the multiplication of the Boltzmann equation (1.48) byc
and the integration of the resulting equation over the invariant
volume elementdF=
√−gd
4
x
√
−g
d
3
p
p0
, yielding
∂
c

p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
i
β
γ
−g
p0
δ
d
3
pd
4
x
=
∂

∂∂x
μ
φ
cp
μ
f
γ
−gp0
δζ
−
∂
∂p
i
φ
cf
γ
−g
p0
δ
Γ
i
μν
p
μ
p
ν

β
d
3
pd
4
x=0,(1.58)
thanks to (1.57) and to the vanishing of the right-hand side of
the Boltzmann equation for all summational invariant. The un-

1.3 GRAVITATIONAL FIELDS 19
derlined term vanishes, since the volume integral in the momen-
tum space can be transformed into an integral over an inﬁnitely
far surface where the one-particle distribution function tends to
zero. The remaining integral above can be rewritten as
∂
∂
∂x
μ
φ
cp
μ
f
γ
−gp0
δζ
d
3
pd
4
x
=
∂
∂∂x
μ

√
−g
φ∂
cp
μ
f
√
−g
d
3
p
p0

β
d
4
x
=
∂

∂∂x
μ
φ∂
cp
μ
f
√
−g
d
3
p
p0

+
∂ln
√
−g
∂x
μ
∂
cp
μ
f
√
−g
d
3
p
p0
β
√
−gd
4
x
=
∂φ∂
cp
μ
f
√
−g
d
3
p
p0

;μ
√
−gd
4
x
=
∂
N
μ
;μ
√
−gd
4
x=0, (1.59)
where the following relationships were used
∂ln
√
−g
∂x
μ
=Γ
ν
μν
,A
μ
;μ
=
∂A
μ
∂x
μ
+Γ
μ
μν
A
ν
.(1.60)
Now by considering that the integration over
√−gd
4
xis arbi-
trary, the integrand of the above equation must vanish and we
ﬁnd the balance equation for the particle four ﬂow, namely
N
μ
;μ
=0. (1.61)

20 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
We shall determine the energy-momentum tensor balance
equation in two steps, in the ﬁrst one the time component of
the momentum four-vectorp
μ
is considered and in the other its
spatial components. Let us begin by multiplying the Boltzmann
(1.48) withp
0
(−g/p0)d
3
pd
4
xand the integration of the resulting
equation
∂
cp
0

p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
i
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
i
β
γ
−
g
p0
δ
d
3
pd
4
x
=
∂

∂∂x
μ
φ∂
cp
0
p
μ
f
√
−g
d
3
p
p0

+
∂ln
√
−g
∂x
μ
∂
cp
0
p
μ
f
√
−g
d
3
p
p0
−
∂
cf
φ
∂p
0
∂x
μ
p
μ
−
∂p
0
∂p
i
Γ
i
μν
p
μ
p
ν

√−g
d
3
p
p0
β
√
−gd
4
x
−
∂
∂
∂p
i
φ
cp
0
f
γ
−
gp0
δ
Γ
i
μν
p
μ
p
ν

d
3
pd
4
x=0.(1.62)
If we consider that the underlined term vanishes, use (1.51) and
the fact that the integration over
√
−gd
4
xis arbitrary so that
the integrand of the remaining equation is zero, we get from the
above equation that
∂T
0μ∂x
μ
+Γ
ν
μν
T
0μ
+Γ
0
μν
T
μν
=T
0μ
;μ
=0. (1.63)
Following the same methodology for the spatial components
of the momentum four-vector and multiplying the Boltzmann

1.3 GRAVITATIONAL FIELDS 21
equation (1.48) withp
i
(−g/p0)d
3
pd
4
xand integrating the re-
sulting equation we get
∂
cp
i

p
μ
∂f
∂x
μ
−Γ
j
μν
p
μ
p
ν
∂f
∂p
j
β
γ
−
g
p0
δ
d
3
pd
4
x
=
∂

∂∂x
μ
φ∂
cp
i
p
μ
f
√
−g
d
3
p
p0

+
∂ln
√
−g
∂x
μ
∂
cp
i
p
μ
f
√
−g
d
3
p
p0
+
∂
cf
∂p
i
∂p
j
Γ
j
μν
p
μ
p
ν
√−g
d
3
p
p0
β
√
−gd
4
x
−
∂
∂
∂p
i
φ
cp
0
f
γ
−
gp0
δ
Γ
i
μν
p
μ
p
ν

d
3
pd
4
x=0.(1.64)
The underlined term above vanishes and note thatx
μ
andp
i
are independent variables. The above equation leads to
∂T
iμ
∂x
μ
+Γ
ν
μν
T
iμ
+Γ
i
μν
T
μν
=T
iμ
;μ
=0. (1.65)
Hence by collecting the two above results (1.63) and (1.65), the
balance equation for the energy-momentum tensor is
T
νμ
;μ
=0. (1.66)
Previously it was pointed out that the right-hand side of
Boltzmann’s equation (1.48) vanishes identically at equilibrium

22 CHAPTER 1. BOLTZMANN EQUATION
when the one-particle distribution function is given by (1.19)
or (1.40), which is the Maxwell-J¨uttner distribution function.
We shall determine the restrictions dictated by the left-hand
side of (1.48) when the one-particle distribution function is the
Maxwell-J¨uttner one. If we insert (1.40) into the left-hand side
of the the Boltzmann equation (1.48) we get the momentum
four-vector polynomial equation
p
ν
∂ν

μ
kT

−
1
2
p
μ
p
ν

φ
U
μ
kT

;ν
+
φ
U
ν
kT

;μ
β
=0.(1.67)
The above equation is valid for all values ofp
μ
so that the co-
eﬃcients of the polynomial equation must vanish, yielding
∂
ν

μ
kT

=0,
φ
U
μ
kT

;ν
+
φ
U
ν
kT

;μ
=0. (1.68)
Here it was assumed that the particles have non-vanishing rest
mass.
Let us ﬁrst analyze (1.68)
2which is the so-called Killing
equation andU
ν/kTis a (timelike) Killing vector. We rewrite
the Killing equation as
U
μ;ν+Uν;μ−
1
T
(U
μ∂νT+U ν∂μT)=0, (1.69)
and perform the projections with respect toU
μ
U
ν
andU
ν
,
yielding
˙
T≡U
μ
∂μT=0,and
˙
U μ≡U
ν
Uμ;ν=
c
2
T
∂
μT,(1.70)

1.3 GRAVITATIONAL FIELDS 23
respectively. The interpretation of equations (1.70) is: in equi-
librium a gas must have a stationary temperature and its accel-
eration must be counterbalanced by a spatial temperature gra-
dient. Note that the condition (1.70)
2is not compatible with a
geodesic ﬂuid motion which would require
˙
U
μ
=0.
We consider a ﬂuid at rest where the spatial components of
the four-velocity vanish so that (see (2.6))
(U
μ
)=
γ
c
√
g00
,0
δ
. (1.71)
The existence of a time-like Killing vector corresponds to a sta-
tionary metric, where the acceleration term becomes
˙
U
μ
=U
ν
U
μ
;ν
=U
0
γ
∂U
μ
∂x
0
+Γ
μ
00
U
0
δ
=
c
2
g00
Γ
μ
00
=−c
2
g
μν
∂νln
√g00. (1.72)
Here we have used (2.10) and neglected all time derivatives,
since we are dealing with a stationary metric. Now from (1.70)
2
and (1.72) we have
c
2
g
μν
∂ν[ln (
√
g00T)] = 0, (1.73)
which implies Tolman’s law [5, 6]
√
g00T= constant. (1.74)
From Tolman’s law and the equilibrium condition (1.68)
1
follows Klein’s law [7]
√
g00μ= constant. (1.75)

24
We note that both laws were obtained from the equilibrium
conditions applied to the Maxwell-J¨uttner distribution function,
but they can also be derived on purely thermodynamics grounds
as in Tolman and Klein’s original papers.
Appendix
The asymptotic expansion ofK n(ζ) for large values ofζ, i.e.
ζρ1, is given by (see [8, 9])
K
n(ζ)=

π
2ζ
1
e
ζ

1+
4n 2
−1
8ζ
+
(4n
2
−1)(4n
2
−9)
2!(8ζ)
2
+
(4n
2
−1)(4n
2
−9)(4n
2
−25)
3!(8ζ)
3
+...

,(1.76)
while for small values ofζ, i.e.ζε1, it reads [8, 9]
K
n(ζ)=
1
2
n−1
κ
k=0
(−1)
k
(n−k−1)!
k!
ψ
ζ
2
π
n−2k
+(−1)
n+1
∞
κ
k=0
ψ
ζ
2
π
n+2k
k!(n+k)!
×

ln
ζ
2
−
1
2
ψ(k+1)−
1
2
ψ(n+k+1)

.(1.77)
Above the functionψ(n) is deﬁned in terms of Euler’s constant
γ=0.577 215 664...by
ψ(n+1)=−γ+
n
κ
k=1
1
k
,ψ (1) =−γ. (1.78)

25
References
[1] G. M. Kremer,An introduction to the Boltzmann equation
and transport processes in gases(Springer, Berlin, 2010).
[2] C. Cercignani and G. M. Kremer,The relativistic Boltz-
mann equation: theory and applications(Birkh¨auser, Basel,
2002).
[3] J. C. Maxwell, On the dynamical theory of gases,Phil.
Trans. R. Soc. London157, 49 (1867).
[4] D. Enskog, Bermerkungen zu einer Fundamentalgleichung
in der kinetischen Gastheorie,Phys. Z.12, 534 (1911).
[5] R. C. Tolman, On the weight of heat and thermal equilib-
rium in general relativity,Phys. Rev.35, 904 (1930).
[6] R. C. Tolman and P. Ehrenfest, Temperature equilibrium
in a static gravitational ﬁeld,Phys. Rev.36, 1791 (1930).
[7] O. Klein, On the thermodynamical equilibrium of ﬂuids in
gravitational ﬁelds,Rev. Mod. Phys.21, 531 (1949).
[8] M. Abramowitz and I. A. Stegun,Handbook of mathemat-
ical functions(Dover, New York , 1968).
[9] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik,Tables of integrals,
series and products5th ed. (Academic Press, San Diego,
1994).

CHAPTER 2
FIRST
POST-NEWTONIAN
APPROXIMATION
In this chapter the ﬁrst post-Newtonian approximation of Ein-
stein’s ﬁeld equations is derived following the Chandrasekhar
and Weinberg methods and the corresponding Poisson equations
and Eulerian hydrodynamic equations are determined. The
ﬁrst post-Newtonian approximation of the Brans-Dicke theory is
analysed and the hydrodynamic equations for non-perfect ﬂuids
are obtained. The gravitational potentials and conservation laws
in the ﬁrst post-Newtonian approximation are also discussed.
27

28 CHAPTER 2. FIRST POST-NEWTONIAN
2.1 Preliminaries
We start with the general expression for the line elementdsin
terms of the metric tensorg
μν, namely
ds
2
=c
2
dτ
2
=gμνdx
μ
dx
ν
=g00(dx
0
)
2
+2g 0idx
0
dx
i
+gijdx
i
dx
j
,(2.1)
whereτis the proper time anddx
0
=cdt.
If we introduce the spatial metric tensor
γ
ij=−g ij+
g
0ig0j
g00
, (2.2)
the line element (2.1) can be rewritten as
ds
2
=c
2
dτ
2
=g00(cdt)
2
+2g 0idx
0
dx
i
+
γ
g
0ig0j
g00
−γij
δ
dx
i
dx
j
. (2.3)
From the above expression we can derive a relationship between
the timetand the proper timeτdiﬀerentials through the divi-
sion of (2.3) by (cdt)
2
and the introduction of the velocity and
speed deﬁned by
V
i
=
dx
i
dt
,V =

γij
dx
i
dt
dx
j
dt
. (2.4)
Hence it follows that
γ=
dt
dτ
=
1

g00
ψ
1+
g0iV
ig00c
π
2
−
V
2
c
2
. (2.5)

2.1 PRELIMINARIES 29
Note that in a Minkowski space-timeg
00=1,g 0i= 0 andγ=
1/

1−V
2
/c
2
reduces to the Lorentz factor of special relativity.
The contravariant components of the four-velocityU
μ
=
dx
μ
/dτare given as functions of the velocity by
(U
μ
)=
γ
dx
0
dτ
=γc,
dx
i
dτ
=γV
i
δ
, (2.6)
while the covariant components read
(U
μ)=(g μνU
ν
)=γ
ξ
cg 00+g0iV
i
,cg0i+gijV
j
χ
.(2.7)
It is straightforward to obtain from (2.6) and (2.7) thatU
μ
Uμ=
c
2
.
A macroscopic description of a relativistic ﬂuid is based
on the balance equations of particle four-ﬂowN
μ
and energy-
momentum tensorT
μν
, namely
N
μ
;μ
=
∂N
μ
∂x
μ
+Γ
μ
μλ
N
λ
=0, (2.8)
T
μν
;ν
=
∂T
μν
∂x
ν
+Γ
μ
νλ
T
λν
+Γ
ν
νλ
T
μλ
=0,(2.9)
where the semicolon denotes the covariant derivative and Γ
σ
μν
are the Christoﬀel symbols
Γ
σ
μν
=
g
στ
2
γ
∂g
μτ
∂x
ν
+
∂g
τν
∂x
μ
−
∂g
μν
∂x
τ
δ
. (2.10)
A perfect ﬂuid is characterized by the absence of dissipative
eﬀects like viscous stresses and heat conduction. For a perfect

30 CHAPTER 2. FIRST POST-NEWTONIAN
ﬂuid the particle four-ﬂow and the energy-momentum tensor are
represented as
N
μ
=nU
μ
,T
μν
=(+p)
U
μ
U
ν
c
2
−pg
μν
. (2.11)
Herendenotes the particle number density of the relativis-
tic ﬂuid,pandits pressure and energy density, respectively.
The energy density has two parts=ρc
2
(1 +ε/c
2
) one as-
sociated with the mass densityρ=mnand another to the
internal energy densityρε. The speciﬁc internal energy for a
non-relativistic perfect ﬂuid is given byε=c
vT,wherec vis
the speciﬁc heat at constant volume andTthe absolute tem-
perature. For monatomic gasesc
v=3k/2mwithkdenoting
Boltzmann constant andmthe rest mass of a ﬂuid particle.
The connection between the space-time geometry and the
matter content inside it is governed by Einstein’s ﬁeld equations
R
μν−
1
2
Rg
μν=−
8πG
c
4
Tμν, (2.12)
whereG=6.674×10
−11
m
3
/(s
2
kg) is the universal gravitational
constant.
The Ricci tensor
R
μν=R
τ
μτ ν
=
∂Γ
τ
μτ
∂x
ν
−
∂Γ
τ
μν
∂x
τ
+Γ
σ
μτ
Γ
τ
νσ
−Γ
σ
μν
Γ
τ
στ
,
(2.13)
is a contraction of the Riemann curvature tensor (or Riemann–
Christoﬀel tensor)
R
τ
μσν
=
∂Γ
τ
μσ
∂x
ν
−
∂Γ
τ
μν
∂x
σ
+Γ
τ
ν
Γ

μσ
−Γ
τ
σ
Γ

μν
,(2.14)

2.2 FIRST APPROXIMATION 31
and a contraction of the Ricci tensorR=g
μν
Rμνis the scalar
curvature (or Ricci scalar).
An alternative form of the Ricci tensor is given in terms of
second derivatives of the metric tensor
R
μν=
g
στ
2
γ
∂
2
gμν
∂x
σ
x
τ
+
∂
2
gστ
∂x
μ
x
ν
−
∂
2
gσν
∂x
μ
x
τ
−
∂
2
gμτ
∂x
σ
x
ν
δ
+g
στ
gκη(Γ
κ
στ
Γ
η
μν
−Γ
κ
σν
Γ
η
μτ
).(2.15)
Equivalently Einstein’s ﬁeld equations may be written as
R
μν=−
8πG
c
4
γ
T
μν−
12
T
σ
σ
gμν
δ
=−
8πG
c
4
Tμν,(2.16)
whereT
σ
σ
=g
σκ
Tκσis the trace of the energy-momentum ten-
sor.
2.2 The ﬁrst post-Newtonian approx-
imation
The post-Newtonian theory is a method of successive approxi-
mations in 1/c
2
powers for the determination of the components
of the metric tensor from Einstein’s ﬁeld equations which was
proposed by Einstein, Infeld and Hoﬀmann [1] in 1938. In this
method Einstein’s ﬁeld equations (2.16) ofO(c
−n
) – order can
be written as
n
Rμν=−
8πG
c
4
n−2
Tμν. (2.17)

32 CHAPTER 2. FIRST POST-NEWTONIAN
Hence from the knowledge of the energy-momentum tensor in
the (n−2)th-order the Ricci tensor and consequently the metric
tensor in thenth-order can be determined.
From the knowledge of the metric tensor components in a
Minkowski space-timeg
00=1,g ij=−δ ijandg 0i=0wecan
split the contravariant and covariant components of the metric
tensor as
g
00=1+
2
g00+
4
g00+
6
g00+O(c
−8
), (2.18)
g
00
=1+
2
g
00
+
4
g
00
+
6
g
00
+O(c
−8
), (2.19)
g
ij=−δ ij+
2
gij+
4
gij+O(c
−6
),g0i=
3
g0i+
5
g0i+O(c
−7
),(2.20)
g
ij
=−δ ij+
2
g
ij
+
4
g
ij
+O(c
−6
),g
0i
=
3
g
0i
+
5
g
0i
+O(c
−7
),(2.21)
where
n
gμνand
n
g
μν
denote the metric tensor components of order
O(c
−n
).
The relationships between the covariant and contravariant
components of the metric tensor can be found fromg
μσ
gσν=δ
ν
μ
,
which implies that
g
0σ
g0σ=g
00
g00+g
0i
g0i=1, (2.22)
g
0σ
giσ=g
00
gi0+g
0j
gij=0, (2.23)
g
iσ
gjσ=g
i0
gj0+g
ik
gjk=δ
i
j
. (2.24)
The above equations with the representations (2.18) – (2.21)
become
1+
2
g00+
2
g
00
+O(c
−4
)=1, (2.25)

2.2 FIRST APPROXIMATION 33
3
g0i−
3
g
0j
δij+O(c
−4
)=0, (2.26)
δ
i
j
−δik
2
gjk−δjk
2
g
ik
+O(c
−4
)=δ
i
j
, (2.27)
so that we can infer that:
2
g
00
=−
2
g00,
2
g
ij
=−
2
gijand
3
g
0i
=
3
g0i.
On the basis of (2.18) – (2.21) the components of the Chris-
toﬀel symbols (2.10) can be split in ordersO(c
−n
)as
(i) Γ
0
00
=
3
Γ
0
00
+
5
Γ
0
00
+O(c
−7
), where
3
Γ
0
00
=
1
2c
∂
2
g00
∂t
,
5
Γ
0
00
=
1
2c
∂
4
g00
∂t
+
2
g
00
2c
∂
2
g00
∂t
−
3
g
0i
2c
∂
2
g00
∂x
i
;
(2.28)
(ii) Γ
0
0i
=
2
Γ
0
0i
+
4
Γ
0
0i
+O(c
−6
), where
2
Γ
0
0i
=
1
2
∂
2
g00
∂x
i
,
4
Γ
0
0i
=
1
2
∂
4
g00
∂x
i
+
2
g
00
2
∂
2
g00
∂x
i
; (2.29)
(iii) Γ
0
ij
=
3
Γ
0
ij
+O(c
−5
), where
3
Γ
0
ij
=
1
2
λ
∂
3
g0i
∂x
j
+
∂
3
g0j
∂x
i
−
1
c
∂
2
gij
∂t

; (2.30)
(iv) Γ
i
00
=
2
Γ
i
00
+
4
Γ
i
00
+O(c
−6
), where
2
Γ
i
00
=
1
2
∂
2
g00
∂x
i
,
4
Γ
i
00
=
1
2
∂
4
g00
∂x
i
−
2
g
ij
2
∂
2
g00
∂x
j
−
1
c
∂
3
g0i
∂t
;
(2.31)

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positivo e pochissimo cavalleresco. Quella esclamazione dunque «oh
gran bontà dei cavalieri antiqui!» è veramente ironica e suona
irrisione. Tanto è vero, che poco dopo, nel c. II, ripetendosi la
medesima situazione del duello interrotto per la stessa ragione,
Rinaldo lascia Sacripante a piedi:
E dove aspetta il suo Bajardo, passa,
E sopra vi si lancia, e via galoppa;
Nè al cavalier, ch'a piè nel bosco lassa,
Pur dice addio, non che lo 'nviti in groppa.
Ripetete sul serio, se vi riesce, dopo questo:
Oh gran bontà dei cavalieri antiqui!
Il poeta scherza, e con quel povero re di Circassia, «quel d'amor
travagliato Sacripante», lo scherzo del poeta è veramente crudele e
passa la parte. Già, come lo dipinge: «Un ruscello. Parean le guance,
e 'l petto un Mongibello!» Gli pone accanto, benigna, colei per cui si
duole;
[42] poi, sotto gli occhi di Angelica, lo fa buttare in terra
miseramente da un cavaliere che passa di corsa; e Angelica non ha
ancor finito di confortarlo con fine ironia, attribuendo cioè, al solito,
la colpa della caduta al cavallo, che gli fa dare il calcio dell'asino da
quel messaggero che sopravviene afflitto e stanco su un ronzino:
Tu dêi saper che ti levò di sella
L'alto valor d'una gentil donzella.
C'è da morirne! Ma non basta: ecco Rinaldo; Angelica fugge; e il
povero Sacripante, re di Circassia, resta scornato, bastonato e a
piedi.
Ma alla fin fine può consolarsi, che non avvengono soltanto a lui
simili disgrazie. Ad altri ne occorrono anche di peggiori. Ce n'è per
tutti! Il poeta si spassa a rappresentar la frode delle varie illusioni e
a frodar anche i maghi che le frodi ordiscono. È un mondo in balia
dell'amore, della magia, della fortuna; che ne volete? E come

dell'amore le pazzie e della magia gl'inganni, egli rappresenta della
fortuna la mutabilità.
Ferraù, staccatosi al bivio da Rinaldo, gira gira, si ritrova «onde si
tolse», e poichè non spera di ritrovar la donna, si scorda le botte
date e ricevute, la tenzone differita, e si rimette a cercar l'elmo che
gli era caduto nell'acqua.
Or se fortuna (quel che non volesti
Far tu) pone ad effetto il voler mio,
Non ti turbar,
gli grida l'Argalia emerso dalle onde con l'elmo in mano, l'elmo
caduto a Ferraù giusto dove il cadavere dell'Argalia era stato gittato.
Un tratto che a noi non suona comicamente, ma che forse poteva
sonar comico a coloro che avevan dimestichezza col poema e i
personaggi del Bojardo, è nei versi che dipingono l'orrore di Ferraù
all'apparir dell'ombra d'Argalia:
Ogni pelo arricciosse
E scolorosse al Saracino il viso.
Ora Ferraguto era stato raffigurato dal Bojardo.
Tutto ricciuto e ner come carbone.
Gli si poteva arricciare il pelo e scolorir il viso?
L'altro contendente, Rinaldo, spedito da Carlo in Bretagna per ajuti e
distolto così d'andar cercando Angelica.
Che gli avea il cor di mezzo il petto tolto,
arrivato a Calesse, lo stesso giorno,
Contro la volontà d'ogni nocchiero,
Pel gran desir che di tornare avea,
Entrò nel mar ch'era turbato e fiero;

ma, sissignori, spinto dal vento nella Scozia, si scorda di Angelica, si
scorda di Carlo e della gran fretta che avea di ritornare, e s'affonda
solo nella gran Selva Caledonia, facendo ora una, ora un'altra via.
Dove più aver strane avventure pensa.
E capitato a una badia, prima mangia, poi domanda all'abbate come
si possano ritrovare queste avventure per dimostrarsi valente. E «i
monachi e l'Abbate»:
Risposongli, ch'errando in quelli boschi,
Trovar potria strane avventure e molte:
Ma come i luoghi, i fati ancor son foschi;
Chè non se n'ha notizia le più volte.
Cerca, diceano, andar dove conoschi
Che l'opre tue non restino sepolte,
Acciò dietro al periglio e alla fatica
Segua la fama, e il debito ne dica.
Il Rajna qua si compiace nel notare che «mai un barone del ciclo di
Carlo Magno fu convertito così espressamente in Cavaliere Errante
come in questo caso», ma non può non avvertire che «le parole
degli ospiti dànno tuttavia a conoscere come lo spirito della
cavalleria romanzesca sia ormai svanito» poichè sempre per i
principali tra gli Erranti la modestia è uno dei primissimi doveri, tal
che nulla è tanto difficile, quanto indurli a confessarsi autori di
qualche opera gloriosa, e anche quando essi si provano dinanzi a
migliaia di spettatori, procurano di celarsi con ignote divise;
cavalcano quasi sempre sconosciuti, mutando spesso di insegne, e
nascondendosi molte volte anche a gli amici più cari e più fidi.
E allora? Non dobbiamo arguire che qui ci sia un'intenzione satirica,
e che anzi questa intenzione sia stata così forte nel poeta, da farlo
venir meno una volta tanto alle condizioni serie dell'arte, che pure
egli più di tutti suol rispettare? L'incoerenza estetica, di fatti, nella
condotta di Rinaldo è lampantissima e inescusabile, il personaggio
non apparisce libero, ma soggetto all'intenzione dell'autore.

Ho voluto notar questo perchè mi sembra che troppo si tenda, da
qualche tempo in qua, a sforzare i termini dell'immedesimazione del
poeta con la sua materia. Certo è difficilissimo vederli netti e precisi,
questi termini. Ma non li vede affatto, secondo me, o ha ben poco
chiaro il lume del discorso, chi, riconoscendo — com'è giusto —
l'immedesimazione del poeta col suo mondo, nega l'ironia o in gran
parte la esclude o gli dà poca importanza. Bisogna riconoscere l'una
cosa e l'altra — l'immedesimazione e l'ironia — poichè nell'accordo,
se non sempre perfetto quasi sempre però raggiunto, d'entrambe
queste cose a prima vista contrarie, sta, ripeto, il segreto dello stile
ariostesco.
L'immedesimazione del poeta col suo mondo, consiste in questo, che
egli con la fantasia potente vede, digrossato, finito anzi in ogni
contorno, preciso, limpido, ordinato e vivo, quel mondo che altri
aveva messo insieme grossolanamente e aveva popolato di esseri,
che, o per la loro goffaggine o per la loro sciocchezza o per la puerile
loro incoerenza, ecc. non poteano in alcun modo esser presi sul serio
neppure dai loro stessi autori; e poi di maghi e di fate e di mostri
che, naturalmente, ne accrescevano la irrealità e la
inverosimiglianza. Il poeta toglie questi esseri dal loro stato di
fantocci o di fantasmi, dà loro consistenza e coerenza, vita e
carattere. Obbedisce fin qui alla propria fantasia, istintivamente. Poi
subentra la speculazione. C'è, ho detto, un elemento irriducibile in
quel modo, un elemento cioè che il poeta non riesce a oggettivar
seriamente, senza mostrar coscienza della irrealità di esso. Con quel
meraviglioso accorgimento, di cui ho fatto parola più su, egli però
s'industria di renderlo coerente con tutto il resto. Ma non sempre in
questo giuoco la fantasia lo assiste. E allora egli s'ajuta con la
speculazione: la vita perde il movimento spontaneo, diventa
macchina, allegoria. È uno sforzo. Il poeta intende di dare una certa
consistenza a quelle costruzioni fantastiche, di cui sente la irrealità
irriducibile, per mezzo di una — dirò così — impalcatura morale.
Sforzo vano e malinteso, perchè il solo fatto di dar senso allegorico a
una rappresentazione dà a veder chiaramente che già si tien questa
in conto di favola che non ha alcuna verità nè fantastica nè effettiva,

ed è fatta per la dimostrazione di una verità morale. C'è da giurare
che al poeta non prema affatto la dimostrazione d'alcuna verità
morale, e che quelle allegorie siano nel poema suggerite dalla
riflessione, per rimedio. Quello era il mondo; quelli, gli elementi,
ch'esso offriva. L'elemento della magia, del meraviglioso cavalleresco
non si poteva in alcun modo eliminare senza snaturare al tutto quel
mondo. E allora il poeta o cerca di ridurlo a simbolo, o senz'altro lo
accoglie, ma — naturalmente — con un sentimento ironico.
Un poeta può, non credendo alla realtà della propria creazione,
rappresentarla come se ci credesse, cioè non mostrare affatto
coscienza della irrealità di essa; può rappresentar come vero un suo
mondo affatto fantastico, di sogno, regolato da leggi sue proprie, e,
secondo queste leggi, perfettamente logico o coerente. Quando un
poeta si mette in codeste condizioni, il critico non deve più vedere se
quel che il poeta gli ha posto innanzi è vero o è sogno, ma se come
sogno è vero; poichè il poeta non ha voluto rappresentare una realtà
effettiva, ma un sogno che avesse apparenza di realtà, s'intende di
sogno, fantastica, non effettiva.
Ora questo non è il caso dell'Ariosto. In più d'un punto, come
abbiamo già notato, egli mostra apertamente coscienza della irrealtà
della sua creazione, la mostra anche dove all'elemento meraviglioso
di quel mondo dà valore morale e consistenza logica, non fantastica.
Il poeta non vuol creare e rappresentare come vero un sogno; non è
preoccupato soltanto della verità fantastica del suo mondo, è
preoccupato anche della realtà effettiva; non vuole che quel suo
mondo sia popolato di larve o di fantocci, ma di uomini vivi e veri,
mossi e agitati dalle nostre stesse passioni; il poeta insomma vede,
non le condizioni di quel passato leggendario divenute realtà
fantastica nella sua visione, ma le ragioni del presente, trasportate e
investite in quel mondo lontano. Ora naturalmente, allorchè esse vi
trovano elementi capaci di accoglierle, la realtà fantastica si salva;
ma allorchè non li trovano, per la irriducibilità stessa di quegli
elementi, l'ironia scoppia, inevitabile, e quella realtà si frange.

Quali sono queste ragioni del presente? Sono le ragioni del buon
senso, di cui il poeta è dotato; sono le ragioni della vita entro i limiti
della possibilità naturale: limiti che in parte la leggenda, in gran
parte il capriccioso arbitrio di rozzi e volgari cantatori aveva
balordamente, goffamente o grottescamente violati; sono le ragioni
del tempo, in fine, in cui il poeta vive.
Abbiamo veduto Ferraù e Rinaldo a cavallo insieme, guidati —
com'ho detto — da un criterio molto positivo e pochissimo
cavalleresco; abbiamo ascoltato il consiglio dell'abbate a Rinaldo in
cerca d'avventure; tant'altri esempii potremmo recare; ma basterà
senz'altro quello de la volata di Ruggero su l'ippogrifo. Anche quando
il poeta con la magia dello stile riesce a dar consistenza di realtà a
quell'elemento meraviglioso, levandosi poi a un volo troppo alto in
questa realtà fantastica, tutt'a un tratto, quasi temesse d'averne lui
stesso o chi l'ascolta il capogiro, precipita a posarsi su la realtà
effettiva, rompendo così l'incanto della fantastica. Ruggero vola
sublime su l'ippogrifo; ma anche dalla sublimità di quel volo il poeta
avvista in terra le ragioni del presente, che gli gridano: — Cala! cala!
Non crediate, Signor, che però stia
Per sì lungo cammin sempre su l'ale;
Ogni sera all'albergo se ne gìa
Schivando a suo poter d'alloggiar male.
E quest'ippogrifo è vero? proprio vero? Lo rappresenta cioè il poeta
senza mostrare affatto coscienza dell'irrealità di esso? Lo vede la
prima volta calar dal castello d'Atlante sui Pirenei, con in groppa il
mago, e dice che — sì — il castello, come castello, non era vero, era
finto, opera di magia; ma l'ippogrifo no, l'ippogrifo era vero e
naturale. Proprio vero? proprio naturale? Ma sì, generato da un grifo
e da una giumenta. Sono animali che vengono nei monti Rifei.
— Ah sì? proprio proprio? e come va che non se ne vedono mai? —
Oh Dio; ne vengono, ma rari... — Quest'attenuazione, prettamente
ironica, mi fa pensare a quella farsa napoletana, ove un impostore si
lagna delle sue sciagure e, tra le altre, di quella del padre, che,

prima di morire, penò tanto, ridotto a vivere, poveretto, non so per
quanti mesi senza fegato: all'osservazione, che senza fegato non si
può vivere, concede che sì, ne aveva, ma poco, ecco! Così
gl'ippogrifi; ne vengono; ma rari! Proprio da impostore, il poeta non
vuol passare. Ha l'aria di dirvi: — Signori miei, di codeste fole io non
posso farne a meno; bisogna pure che c'entrino, nel mio poema; e
bisogna che io, fin dove posso, mostri di crederci. — Ecco qua la
gran muraglia che cinge la città d'Alcina:
... Par che la sua altezza a ciel s'aggiunga
E d'oro sia dall'alta cima a terra.
Ma come? Una muraglia di tal fatta, tutta d'oro?
Alcun dal mio parer qui si dilunga
E dice ch'ella è alchimia; e forse ch'erra,
Ed anco forse meglio di me intende:
A me par oro, poichè sì risplende.
Come ve lo deve dir meglio il poeta? Sa come voi che «non è
tutt'oro, quel che luce»; ma a lui oro deve parere, «poichè sì
risplende...». Per intonarsi quanto più può con quel mondo, fin da
principio s'è dichiarato matto come il suo eroe. È tutto un giuoco di
continui accomodamenti per stabilir l'accordo tra sè e la materia, tra
le condizioni inverosimili di quel passato leggendario e le ragioni del
presente. Dice:
Chi va lontan dalla sua patria, vede
Cose da quel che già credea, lontane;
Che narrandole poi, non se gli crede,
E stimato bugiardo ne rimane;
Chè 'l sciocco vulgo non gli vuol dar fede
Se non le vede e tocca chiare e piane.
Per questo io so che l'inesperienza
Farà al mio Canto dar poca credenza.
Poca o molta ch'io ci abbia non bisogna

Ch'io ponga mente al vulgo sciocco e ignaro!
A voi so ben che non parrà menzogna
Che 'l lume del discorso avete chiaro.
Qui «aver chiaro il lume del discorso» significa «saper leggere sotto
il velame dei versi». Siamo nel canto d'Alcina: e il poeta ci
suggerisce: «S'io dico Alcina, s'io dico Melissa, s'io dico Erifilla, s'io
dico l'iniqua frotta, o Logistilla, Andronica o Fronesia o Dicilla o
Sofrosina, voi intendete bene a che cosa io voglia alludere». È un
altro espediente (non felice) per stabilir l'accordo, ma che pure,
come tutti gli altri, scopre l'ironia del poeta, cioè la coscienza della
irrealità della sua creazione. Dove l'accordo non si può stabilire,
quest'ironia però non scoppia mai stridula o stonata, appunto perchè
l'accordo è sempre nell'intenzione del poeta, e quest'intenzione
d'accordo è per sè stessa ironica.
L'ironia è nella visione che il poeta ha, non solo di quel mondo
fantastico, ma della vita stessa e degli uomini. Tutto è favola e tutto
è vero, poichè è fatale che noi crediamo vere le vane parvenze che
spirano dalle nostre illusioni e dalle passioni nostre; illudersi può
esser bello, ma del troppo immaginare si piange poi sempre la frode:
e questa frode ci appare comica o tragica secondo il grado della
partecipazione nostra ai casi di chi la subisce, secondo l'interesse o
la simpatia che quella passione o quell'illusione ci suscitano, secondo
gli effetti che quella frode produce. Così avviene che noi vediamo il
sentimento ironico del poeta mostrarsi anche sotto un altro aspetto
nel poema, non più spiccato ed evidente, ma attraverso la
rappresentazione stessa, in cui è riuscito a trasfondersi per modo
che essa così si senta e così si voglia. Il sentimento ironico, in
somma, oggettivato, spira dalla rappresentazione stessa anche là
dove il poeta non mostra apertamente coscienza della irrealità di
essa.
Ecco qua Bradamante in cerca del suo Ruggiero: per salvarlo, ha
corso rischio di perire per mano del maganzese Pinabello; il poeta le
fa soffrire insieme coi lettori il supplizio di sentirsi predire e di vedersi
mostrare a dito dalla maga Melissa tutti gl'illustri suoi discendenti; e

poi va, va per monti inaccessibili, sale balze, traversa torrenti, arriva
al mare, trova l'albergo ov'è Brunello (e qui non dice se ella vi
mangia); riprende la via
Di monte in monte e d'uno in altro bosco,
e si riduce fin sui Pirenei; s'impadronisce de l'anello; lotta con
Atlante; riesce a romper l'incanto; scioglie in fumo il castello del
mago; e, sissignori, dopo aver corso tanto, dopo essersi tanto
affannata e travagliata, si vede portar via dall'ippogrifo il suo
Ruggero liberato. Non le resta che di ricevere le congratulazioni di
coloro ch'ella non s'era curata di liberare! Ma neanche queste,
perchè:
Le donne e i cavalier si trovâr fuora
Delle superbe stanze alla campagna
E furon di lor molte a cui ne dolse;
Che tal franchezza un gran piacer lor tolse.
L'Ariosto non aggiunge altro. Un vero umorista non si sarebbe
lasciata sfuggire la stupenda occasione di descrivere gli effetti nelle
donne e nei cavalieri dell'improvviso sciogliersi dell'incanto, del
ritrovarsi alla campagna, e il dolore del perduto bene della schiavitù
per una libertà che dal bel sogno li faceva piombare nella realtà
nuda e cruda. La descrizione manca affatto. Il poeta si compiace in
un'altra descrizione, invece, come già Atlante si compiaceva di
scherzare coi cavalieri che venivano a sfidarlo; voglio dire nella
descrizione comica di tutti quei liberati, che vorrebbero impadronirsi
dell'ippogrifo, il quale li mena per la campagna:
Come fa la cornacchia in secca arena
Che seco il cane or qua or là si mena.
Perchè manca quell'altra descrizione? Ma perchè il poeta si è posto
fin da principio, rispetto alla sua materia, in condizioni del tutto
opposte a quelle in cui si sarebbe messo un umorista. Egli schiva il
contrasto e cerca l'accordo tra le ragioni del presente e le condizioni

favolose di quel mondo passato: lo ottiene sì, ironicamente, perchè,
com'ho detto, è per sè stessa ironica quell'intenzione d'accordo; ma
l'effetto è che quelle condizioni non si affermano come realtà nella
rappresentazione, si sciolgono, per dirla col De Sanctis, nell'ironia, la
quale, distruggendo il contrasto, non può più drammatizzarsi
comicamente, ma resta comica, senza dramma.
Si affermano invece le ragioni del presente trasportate e investite
negli elementi di quel mondo lontano capaci d'accogliere, e allora
possiamo anche avere il dramma, ma seriamente e finanche
tragicamente rappresentato: Ginevra, Olimpia, la pazzia d'Orlando. I
due elementi — comico e tragico — non si fondono mai.
Si fonderanno in un'opera, nella quale il poeta, ben lungi dal mostrar
coscienza della irrealità di quel mondo fantastico; ben lungi dal
cercar con esso l'accordo, che di necessità non è possibile se non
ironicamente, palesata in tanti modi la coscienza di quella irrealità;
ben lungi dal trasportare in quel mondo fantastico le ragione del
presente per investirne gli elementi capaci d'accoglierle; darà a
questo mondo fantastico del passato consistenza di persona viva,
corpo, e lo chiamerà Don Quijote, e gli porrà in mente e gli darà per
anima tutte quelle fole e lo porrà in contrasto, in urto continuo e
doloroso col presente. Doloroso, perchè il poeta sentirà viva e vera
entro di sè questa sua creatura e soffrirà con essa dei contrasti e
degli urti.
A chi cerca contatti e somiglianze tra l'Ariosto e il Cervantes, basterà
semplicemente pôr bene in chiaro in due parole le condizioni in cui
fin da principio il Cervantes ha messo il suo eroe e quelle in cui s'è
messo l'Ariosto. Don Quijote non finge di credere, come l'Ariosto, a
quel mondo meraviglioso delle leggende cavalleresche: ci crede sul
serio; lo porta, lo ha in sè quel mondo, che è la sua realtà, la sua
ragion d'essere. La realtà che porta e sente in sè l'Ariosto è ben
altra; e con questa realtà in sè, egli è come sperduto nella leggenda.
Don Quijote, invece, che ha in sè la leggenda, è come sperduto nella
realtà. Tanto è vero che, per non vaneggiar del tutto, per ritrovarsi in

qualche modo, così sperduti come sono, l'uno si mette a cercar la
realtà nella leggenda; l'altro, la leggenda nella realtà.
Come si vede, son due condizioni al tutto opposte.
Sì: vi dice Don Quijote, i molini a vento son molini a vento, ma sono
anche giganti: non io, Don Quijote, ho scambiato per giganti i molini
a vento; ma il mago Freston ha cangiato in molini a vento i giganti.
Ecco la leggenda nella realtà evidente.
Sì: vi dice l'Ariosto, Ruggero vola su l'ippogrifo: il mago Freston, cioè
la stramba immaginazione dei miei antecessori, ha cacciato dentro a
questo mondo anche bestie siffatte, e bisogna ch'io ci faccia volar su
il mio Ruggero: però vi dico che ogni sera egli se ne va all'albergo e
schiva a suo potere d'alloggiar male.
Ecco nella leggenda evidente la realtà.
Ma intanto, altro è fingere di credere, altro è credere sul serio.
Quella finzione, per sè stessa ironica, può condurre a un accordo con
la leggenda, la quale, o si scioglie facilmente nell'ironia, come
abbiamo veduto, o con un procedimento inverso a quello fantastico,
cioè con una impalcatura logica, si lascia ridurre a parvenza di realtà.
La realtà vera, invece, se per un momento si lascia alterare in forme
inverosimili dalla contemplazione fantastica d'un maniaco, resiste e
rompe il naso, se questo maniaco non si contenta più di
contemplarla a suo modo da lontano, ma viene a darvi di cozzo.
Altro è abbattersi a un castello finto, che si lascia a un tratto
sciogliere in fumo, altro a un molino a vento vero, che non si lascia
atterrare come un gigante immaginario.
— Mire vuestra merced, grida Sancho al suo padrone, que aquellos
que allì se parecen, no son gigantes, sino molinos de viento, y lo que
en ellos parecen brazos son las aspas, que volteadas del viento
hacen andar la piedra del molino.
Ma Don Quijote volge uno sguardo compassionevole al suo panciuto
scudiero, e grida ai molini:

— Pues aunque moveis mas brazos que los del gigante Briareo, me
lo habeis de pagar.
La paga lui, ohimè. E noi ridiamo. Ma il riso che qua scoppia per
quest'urto con la realtà è ben diverso di quello che nasce là per
l'accordo che il poeta cerca con quel mondo fantastico per mezzo
dell'ironia, che nega appunto la realtà di quel mondo. L'uno è il riso
dell'ironia, l'altro il riso dell'umorismo.
Allorchè Orlando urta anche lui contro la realtà e smarrisce del tutto
il senno, getta via le armi, si smaschera, si spoglia d'ogni apparato
leggendario, e precipita, uomo nudo, nella realtà. Scoppia la
tragedia. Nessuno può ridere del suo aspetto e de' suoi atti; quanto
vi può esser di comico in essi è superato dal tragico del suo furore.
Don Quijote è matto anche lui; ma è un matto che non si spoglia; è
un matto anzi che si veste, si maschera di quell'apparato leggendario
e, così mascherato, muove con la massima serietà verso le sue
ridicole avventure.
Quella nudità e questa mascheratura sono i segni più manifesti della
loro follia. Quella, nella sua tragicità, ha del comico; questa ha del
tragico nella sua comicità. Noi però non ridiamo dei furori di quel
nudo; ridiamo delle prodezze di questo mascherato, ma pur
sentiamo che quanto vi è di tragico in lui non è del tutto annientato
dal comico della sua mascheratura, così come il comico di quella
nudità è annientato dal tragico della furibonda passione. Sentiamo
insomma che qui il comico è anche superato, non però dal tragico,
ma attraverso il comico stesso.
[43] Noi commiseriamo ridendo, o
ridiamo commiserando.
Come è riuscito il poeta a ottenere questo effetto?
* * *
Per conto mio, non so proprio capacitarmi che l'ingegnoso
gentiluomo Don Quijote sia nato en un lugar de la Mancha, e non
piuttosto in Alcalà de Henáres nell'anno 1547. Non so capacitarmi

che la famosa battaglia di Lepanto, che doveva, come tante
magnanime imprese della cavalleria, strepitosamente apparecchiate,
cader nel vuoto, così che l'arguto Gran Visir di Selim potè dire ai
cristiani: — «Noi vi abbiamo tagliato un braccio prendendovi l'isola di
Cipro; ma voi che ci avete fatto, distruggendoci tante navi subito
ricostruite? La barba, che ci è rinata il giorno dopo!» — non so
capacitarmi, dicevo, che la famosa battaglia di Lepanto, di cui i
confederati cristiani non seppero trarre alcun profitto, non sia
qualcosa come la espantable y jamas imaginada aventura de los
molinos de viento.
— Questa è, — dice Don Quijote al suo fido scudiero, — questa è,
Sancho, buona guerra, e gran servizio a Dio toglier tanto mal seme
dalla faccia della terra!
Non vedeva dunque il turbante turco Don Quijote in capo a quei
giganti, che al buon Sancho parevano molini a vento?
Forse erano, per la Spagna.
L'isola di Cipro poteva premere ai signori veneziani, una guerra
contro i Turchi poteva premere a Pio V, fiero papa domenicano, nelle
cui vecchie vene fremeva ancor saldo il sangue della giovinezza. Ma
a que' bei dì di primavera, quando il Torres giunse in Ispagna, inviato
dal Papa a patrocinar la causa de' Veneziani, Filippo II moveva verso
i festeggiamenti sontuosi di Cordova e di Siviglia: molini a vento, le
navi del Gran Visir!
Non per Don Quijote, però: dico per il Don Quijote, non della
Mancha, ma di Alcalà. Eran giganti veri per lui, e con che cuore di
gigante mosse incontro a loro.
Gli avvenne male, ahimè! Ma all'evidenza, come ad alcun nemico,
come alla sorte ingrata, egli non volle arrendersi mai! E disse allora
che le cose della guerra van soggette più delle altre a continui
mutamenti: pensò, e gli parve la verità, che il tristo incantatore suo
nemico, il mago Freston, colui che gli aveva tolto i libri e la casa,
aveva cangiato i giganti in molini per togliergli anche il vanto della
vittoria.

Questo soltanto? Anche una mano gli tolse, il tristo mago. Una
mano, e poi la libertà.
Molti han voluto cercar la ragione per cui Miguel Cervantes de
Saavedra, prode soldato, reduce di Lepanto e di Terceira, piuttosto
che cantare epicamente, come alla sua natura eroica sarebbe meglio
convenuto, le gesta del Cid o i trionfi di Carlo V, o la stessa giornata
di Lepanto o la spedizione delle Azzorre, potè concepire un tipo
come il Cavaliere dalla Trista Figura e comporre un libro come il Don
Quijote. E si è voluto finanche supporre che il Cervantes creasse il
suo eroe per la stessa ragione per cui più tardi il nostro buon Tassoni
il suo Conte di Culagna. Qualcuno, è vero, si è spinto fino a dire che
la vera ragione del lavoro sta nel contrasto, costante in noi, fra le
tendenze poetiche e quelle prosaiche della nostra natura, fra le
illusioni della generosità e dell'eroismo e le dure esperienze della
realtà. Ma questa che, se mai, vorrebbe essere una spiegazione
astratta del libro, non ci dà la ragione per cui fu composto.
Scartate come inammissibili le vedute del Sismondi e del Bouterwek,
tutti, o più o meno, si sono attenuti a ciò che lo stesso Cervantes
dichiara nel prologo della prima parte del suo capolavoro e nella
chiusa del secondo volume: che il libro cioè non ha altro fine che
quello d'arrestare e di distruggere l'importanza che hanno nel mondo
e presso il volgo i libri di cavalleria, e che il desiderio dell'autore altro
non è stato che quello di abbandonare all'esecrazione degli uomini le
false e stravaganti storie della cavalleria, le quali, colpite a morte da
quella del suo vero Don Quijote, non camminano più se non
traballando e hanno indubbiamente a cadere del tutto.
Ora noi ci guarderemo bene dal contraddire allo stesso autore; tanto
più che è noto a tutti qual potere avessero a quei dì in Ispagna i libri
di cavalleria e come il gusto per siffatta letteratura avesse assunto il
grado della follia. Ci avvarremo anzi anche noi di queste parole e ci
serviremo dell'autore stesso e della stessa storia della sua vita per
dimostrare la vera ragione del libro e quella, più profonda,
dell'umorismo di esso.

Come nasce al Cervantes l'idea di coglier vivo e vero nel suo paese e
nel tempo suo, anzichè lontano, in Francia, al tempo di Carlomagno,
l'eroe da celebrare con quell'intento espresso nelle parole del
prologo? Quando e dove gli nasce questa idea e perchè?
Non è senza ragione il favore straordinario per la letteratura epica e
cavalleresca in quel tempo: è l'incubo del secolo del poeta la lotta fra
Cristianità e Islamismo. E il poeta, fin dall'infanzia anche lui sotto il
fascino dello spirito cavalleresco, povero, ma altero discendente
d'una nobile famiglia da più secoli devota alla monarchia e alle armi,
fu per tutta la vita uno strenuo difensore della sua fede. Non aveva
dunque bisogno d'andarlo a cercar lontano, nella leggenda, l'eroe,
cavaliere della fede e della giustizia: lo aveva presente, in sè. E
quest'eroe combatte a Lepanto; quest'eroe tien testa per cinque
anni, schiavo in Algeri, ad Hassan, il feroce re berbero; quest'eroe
combatte in tre altre campagne per il suo re contro a Francesi e
Inglesi.
Come mai, tutt'a un tratto, gli si mutano in molini a vento queste
campagne, e l'elmo che ha in testa in un vil piatto da barbiere?
Ha avuto molta fortuna una considerazione del Sainte-Beuve, che
cioè nei capolavori del genio umano viva nascosta una plusvalenza
futura, la quale si svolge di per sè sola, indipendentemente dagli
autori medesimi, come dal germe si svolgono il fiore ed il frutto
senza che il giardiniere abbia fatto altro se non avere zappato bene,
rastrellato, innaffiato il terreno, e dato ad esso tutte quelle cure e
conferito quegli elementi che meglio valessero a fecondarlo. Di
questa considerazione avrebbero potuto farsi forti tutti coloro che nel
medio evo scoprivano non so che allegorie nei poeti greci e latini.
Era anche questo un modo di sciogliere in rapporti logici le creazioni
della fantasia. Certo, quando un poeta riesce veramente a dar vita a
una sua creatura, questa vive indipendentemente dal suo autore,
tanto che noi possiamo immaginarla in altre situazioni in cui l'autore
non pensò di collocarla, e vederla agire secondo le intime leggi della
sua propria vita, leggi che neanche l'autore avrebbe potuto violare;
certo, questa creatura, in cui il poeta riuscì a raccogliere

instintivamente, ad assommare e a far vivere tanti particolari
caratteristici e tanti elementi sparsi qua e là, può divenir poi quel che
suol dirsi un tipo, ciò che non era nell'intenzione dell'autore nell'atto
della creazione.
Ma si può dir questo veramente del Don Quijote del Cervantes? Si
può dire e sostenere sul serio che l'intenzione del poeta nel
comporre il suo libro era solamente quella di toglier con l'arma del
ridicolo ogni autorità e prestigio che avevan nel mondo e presso il
volgo i libri di cavalleria, a fine di distruggerne i mali effetti, e che il
poeta non si sognò mai di porre in quel suo capolavoro tutto quello
che ci vediamo noi?
Chi è Don Quijote, e perchè è ritenuto pazzo?
Egli in fondo non ha — e tutti lo riconoscono — che una sola e santa
aspirazione: la giustizia. Vuol proteggere i deboli e atterrare i
prepotenti, recar rimedio a gli oltraggi della sorte, far vendetta delle
violenze della malvagità. Quanto più bella e più nobile sarebbe la
vita, più giusto il mondo, se i propositi dell'ingegnoso gentiluomo
potessero sortire il loro effetto! Don Quijote è mite, di squisiti
sentimenti, prodigo e non curante di sè, tutto per gli altri. E come
parla bene! Quanta franchezza e quanta generosità in tutto ciò che
dice! Egli considera il sacrificio come un dovere, e tutti i suoi atti,
almeno nelle intenzioni, son meritevoli d'encomio e di gratitudine.
E allora la satira dov'è? Noi tutti amiamo questo virtuoso cavaliere; e
le sue disgrazie se da un canto ci fanno ridere, dall'altro ci
commuovono profondamente.
Se il Cervantes voleva far dunque strazio dei libri di cavalleria, per i
mali effetti che essi producevano negli animi de' suoi contemporanei,
l'esempio ch'egli reca con Don Quijote non è calzante. L'effetto che
quei libri producono in Don Quijote non è disastroso se non per lui,
per il povero Hidalgo. Ed è così disastroso, solo perchè l'idealità
cavalleresca non poteva più accordarsi con la realtà dei nuovi tempi.
Orbene, questo appunto, a sue spese, aveva imparato don Miguel
Cervantes de Saavedra. Com'era stato egli rimeritato del suo

eroismo, delle due archibugiate e della perdita della mano nella
battaglia di Lepanto, della schiavitù sofferta per cinque anni in
Algeri, del valore dimostrato nell'assalto di Terceira, della nobiltà
dell'animo, della grandezza dell'ingegno, della modestia paziente?
che sorte avevano avuto i sogni generosi, che lo avevan tratto a
combattere sui campi di battaglia e a scrivere pagine immortali? che
sorte le illusioni luminose? S'era armato cavaliere come il suo Don
Quijote, aveva combattuto, affrontando nemici e rischi d'ogni sorta
per cause giuste e sante, s'era nutrito sempre delle più alte e nobili
idealità, e qual compenso ne aveva avuto? Dopo aver miseramente
stentato la vita in impieghi indegni di lui; prima scomunicato, da
commissario di proviande militari in Andalusia; poi, da esattore,
truffato, non va forse a finire in prigione? E dov'è questa prigione?
Ma lì, proprio lì nella Mancha! In un'oscura e rovinosa carcere della
Mancha, nasce il Don Quijote.
Ma era già nato prima il vero Don Quijote: era nato in Alcalà de
Henàres nel 1547. Non s'era ancora riconosciuto, non s'era veduto
ancor bene: aveva creduto di combattere contro i giganti e di avere
in capo l'elmo di Mambrino. Lì, nell'oscura carcere della Mancha, egli
si riconosce, egli si vede finalmente; si accorge che i giganti eran
molini a vento e l'elmo di Mambrino un vil piatto da barbiere. Si
vede, e ride di sè stesso. Ridono tutti i suoi dolori. Ah, folle! folle!
folle! Via, al rogo, tutti i libri di cavalleria!
Altro che plusvalenza futura! Leggete nello stesso prologo alla prima
parte ciò che il Cervantes dice all'ozioso lettore: «Io non ho potuto
contravvenire all'ordine naturale che vuole che ogni cosa generi ciò
che le somiglia. E così, che cosa poteva mai generare lo sterile e mal
coltivato ingegno mio, se non la storia d'un figlio rinsecchito,
ingiallito e capriccioso, pieno di pensieri varii non mai finora da alcun
altro immaginati; generato com'ei fu in una carcere, dove ogni
angustia siede ed ha stanza ogni tristo umore?».
Ma come si spiegherebbe altrimenti la profonda amarezza che è
come l'ombra seguace d'ogni passo, d'ogni atto ridicolo, d'ogni folle
impresa di quel povero gentiluomo della Mancha? È il sentimento di

pena che ispira l'immagine stessa nell'autore, quando, materiata
com'è del dolore di lui, si vuole ridicola. E si vuole così, perchè la
riflessione, frutto d'amarissima esperienza, ha suggerito all'autore il
sentimento del contrario, per cui riconosce il suo torto e vuol punirsi
con la derisione che gli altri faranno di lui.
Perchè Cervantes non cantò il Cid Campeador? Ma chi sa se
nell'oscura e rovinosa carcere l'immagine di quest'eroe non gli
s'affacciò veramente, a destargli un'angosciosa invidia!
Tra Don Quijote, che nel suo tempo volle vivere come, non già nel
loro, ma fuori del tempo e fuori del mondo, nella leggenda o nel
sogno dei poeti avevano vissuto i cavalieri erranti, e il Cid
Campeador che, ajutando il tempo, potè facilmente far leggenda
della sua storia, non avvenne in quella carcere, alla presenza del
poeta, un dialogo?
Presso le altre genti il romanzo cavalleresco aveva creato a sè stesso
personaggi fittizi, o meglio, il romanzo cavalleresco era sorto dalla
leggenda che si era formata intorno ai cavalieri. Ora la leggenda che
fa? Accresce, trasforma, idealizza, astrae dalla realtà comune, dalla
materialità della vita, da tutte quelle vicende ordinarie, che creano
appunto le maggiori difficoltà nell'esistenza. Perchè un personaggio
non più fittizio, ma un uomo che prenda a modello le smisurate
immagini ideali messe su dall'immaginazione collettiva o dalla
fantasia d'un poeta, riesca a riempir di sè queste grandiose
maschere leggendarie, ci vuole non solo una grandezza d'animo
straordinaria, ma anche il tempo che ajuti. Questo avvenne al Cid
Campeador.
Ma Don Quijote? Coraggio a tutta prova, animo nobilissimo, fiamma
di fede; ma quel coraggio non gli frutta che volgari bastonate; quella
nobiltà d'animo è una follia; quella fiamma di fede è un misero
stoppaccio ch'egli si ostina a tenere acceso, povero pallone mal fatto
e rappezzato, che non riesce a pigliar vento, che sogna di lanciarsi a
combattere con le nuvole, nelle quali vede giganti e mostri, e va
intanto terra terra, incespicando in tutti gli sterpi e gli stecchi e gli
spuntoni, che ne fanno straziò, miseramente.

VI.
Umoristi italiani
Non è mia intenzione tracciare, neppure per sommi capi, la storia
dell'umorismo presso le genti latine e segnatamente in Italia. Ho
voluto soltanto, in questa prima parte del mio lavoro, oppormi a
quanti han voluto sostenere che esso sia un fenomeno
esclusivamente moderno e quasi una prerogativa delle genti anglo-
germaniche, in base a certi preconcetti, a certe divisioni e
considerazioni, arbitrarie le une, sommarie le altre, come mi sembra
di aver dimostrato.
La discussione intorno a queste divisioni arbitrarie e considerazioni
sommarie, se forse mi ha fatto ritardare alquanto il cammino, che mi
ero proposto più spedito, trattenendomi a osservar da presso certi
particolari aspetti, certe particolari condizioni nella storia della nostra
letteratura; tuttavia non mi ha disviato mai dall'argomento
principale, che del resto vuol essere trattato con sottile penetrazione
e minuta analisi. Vi ho girato attorno, ma per circuirlo sempre più e
penetrarlo meglio da ogni parte.
A qualcuno che forse avrà creduto di trovare una contradizione tra il
mio assunto e gli esempii finora recati di scrittori italiani, nei quali
non ho riconosciuto la nota del vero umorismo, ricorderò che io ho
parlato in principio di due maniere d'intenderlo, e ho detto che il
vero nodo della questione è appunto qui: cioè, se l'umorismo debba
essere inteso nel senso largo con cui comunemente si suole
intendere, e non in Italia soltanto; o in un senso più stretto e
particolare, con peculiari caratteri ben definiti, che è per me il giusto
modo d'intenderlo. Inteso in quel senso largo — ho detto — se ne
può trovare in gran copia nella letteratura così antica come moderna
d'ogni paese; inteso in questo senso stretto e per me proprio, se ne

troverà parimenti, ma in molto minor copia, anzi in pochissime
espressioni eccezionali, così presso gli antichi come presso i moderni
d'ogni paese, non essendo prerogativa di questa o di quella razza, di
questo o di quel tempo, ma frutto di una specialissima disposizione
naturale, d'un intimo processo psicologico, che può avvenire tanto in
un savio dell'antica Grecia, come Socrate, quanto in poeta dell'Italia
moderna, come Alessandro Manzoni.
Non è lecito però assumere a capriccio questo o quel modo
d'intendere e applicar l'uno a una letteratura, per concludere che
essa non ha umorismo, e applicar l'altro a un'altra per dimostrare
che l'umorismo vi sta di casa. Non è lecito sentir soltanto negli
stranieri, a causa della lingua diversa, quel particolar sapore, che per
la familiarità dello stesso strumento espressivo non si avverte più nei
nostri, ma nei quali intanto gli stranieri a lor volta lo avvertono. Così
facendo, noi saremo i soli a non riconoscer traccia d'umorismo nella
nostra letteratura, mentre vedremo gl'inglesi, ad esempio, porre a
capo della loro un umorista, il Chaucer, il quale, se mai, può esser
considerato per tale, ove si assuma l'umorismo sul senso più largo,
in quel senso cioè per cui può esser considerato quale umorista
anche il Boccaccio e tanti altri scrittori nostri con lui.
Nessuna contradizione, dunque, da parte nostra. La contradizione
invece è in coloro che, dopo aver affermato che l'umorismo è un
fenomeno nordico e una prerogativa delle genti anglo-germaniche,
quando poi vogliono recare due esempii mirabili del più schietto e
compiuto umorismo, citano Rabelais e Cervantes, un francese e uno
spagnuolo; oppure il Rabelais e il Montaigne; e citando il Rabelais
non hanno occhi per vedere in casa loro il Pulci, il Folengo, il Berni;
e, citando il Montaigne, che è il tipo dello scetticismo sereno, non
avido di lotte, sorridente, senza impeti, senza ideali da difendere,
senza virtù da seguire, lo scettico che tollera tutto senza aver fede in
nulla, che non ha nè entusiasmi nè aspirazioni, che si serve del
dubbio per giustificare l'inerzia con la tolleranza, che dimostra una
percezione della vita serena, ma sterile, indice di egoismo e di
decadenza di razza, giacchè il libero esame che non spinge all'azione
può meglio che salvare dalla schiavitù, accettare, o rendersi complice

del dispotismo, non s'accorgono, dico, che le ragioni per cui han
negato a tanti scrittori italiani non solo la nota umoristica, ma anche
la possibilità d'averla, sono appunto queste che dicono d'aver
prodotto l'umorismo del Montaigne.
Un peso, come si vede, e due misure.
Noi vedremo che, in realtà, l'avere una fede profonda, un ideale
innanzi a sè, l'aspirare a qualche cosa e il lottare per raggiungerla,
lungi dall'essere condizioni necessarie all'umorismo, sono anzi
opposte; e che tuttavia può benissimo essere umorista anche chi
abbia una fede, un ideale innanzi a sè, un'aspirazione, e lotti a suo
modo per raggiungerla. Un ideale qualsiasi, in somma, per sè stesso,
non dispone affatto all'umorismo, anzi ostacola questa disposizione.
Ma l'ideale può ben esserci; e se c'è, l'umorismo, che deriva da altre
cause, certamente prenderà qualità da esso, come del resto da tutti
gli altri elementi costitutivi dello spirito di questo o di quell'umorista.
In altre parole: l'umorismo non ha affatto bisogno d'un fondo etico,
può averlo o non averlo: questo dipende dalla personalità, dall'indole
dello scrittore; ma, naturalmente, dall'esserci o dal non esserci,
l'umorismo prende qualità e muta d'effetto, riesce cioè più o meno
amaro, più o meno aspro, pende più o meno o verso il tragico o
verso il comico, o verso la satira, o verso la burla, ecc.
Chi crede che sia tutto un giuoco di contrasto tra l'ideale del poeta e
la realtà, e dice che si ha l'invettiva, l'ironia, la satira, se l'ideale del
poeta resta offeso acerbamente e sdegnato dalla realtà; la
commedia, la farsa, la beffa, la caricatura, il grottesco, se poco se ne
sdegna e delle apparenze della realtà in contrasto con sè è piuttosto
indotto a ridere più o meno fortemente; e che infine si ha
l'umorismo, se l'ideale del poeta non resta offeso e non si sdegna,
ma transige bonariamente, con indulgenza un po' dolente, mostra
d'avere dell'umorismo una veduta troppo unilaterale e anche un po'
superficiale. Certo molto dipende dalla disposizione d'animo del
poeta; certo l'ideale di questo in contrasto con la realtà può o
sdegnarsi o ridere o transigere; ma un ideale che transige non
dimostra in verità d'esser molto sicuro di sè e profondamente

radicato. E consisterà l'umorismo in questa limitazione dell'ideale?
No. La limitazione dell'ideale sarà, se mai, non causa, ma
conseguenza di quel particolar processo psicologico che si chiama
umorismo.
Lasciamo star dunque una buona volta gl'ideali, la fede, le
aspirazioni e via dicendo: lo scetticismo, la tolleranza, il carattere
realistico, che le nostre lettere assunsero fin quasi dal loro inizio,
furon bene disposizioni e condizioni favorevoli all'umorismo;
l'ostacolo maggiore fu la retorica imperante, che impose leggi e
norme astratte di composizione, una letteratura di testa, quasi
meccanicamente costruita, in cui gli elementi soggettivi dello spirito
eran soffocati. Infranto il giogo, abbiamo detto, di questa poetica
intellettualistica dalla ribellione appunto degli elementi soggettivi
dello spirito, che caratterizza il movimento romantico, l'umorismo si
affermò liberamente, massime in Lombardia che del romanticismo
italiano fu il campo. Ma questo così detto romanticismo fu l'ultima e
clamorosa levata di scudi della volontà e del sentimento ribelli
all'intelletto; in tanti altri periodi, in tanti altri momenti della storia
letteraria d'ogni nazione avvennero di tali ribellioni, e ci furon sempre
solitarie anime ribelli, e ci fu sempre il popolo che si espresse nei
varii dialetti senza imparare a scuola regole e leggi.
Fra questi scrittori solitarii ribelli alla retorica, fra i dialettali bisogna
cercar gli umoristi e, in senso largo, ne troveremo in gran copia, fin
dagli inizi della nostra letteratura, segnatamente in Toscana; nel
senso vero e proprio pochi ne troveremo, ma non se ne trovano di
più certo nelle letterature degli altri paesi, nè questi pochi nostri son
da meno dei pochi stranieri, che a confusione nostra ci son messi
innanzi di continuo, e son sempre quelli, se ben s'avverte, da contarli
su le dita d'una mano. Solo che il valore e il sapor dei nostri, noi non
lo abbiamo saputo mai nè metter bene in rilievo, e pregiare, nè
avvertire e distinguere a dovere, perchè alle loro singole e
specialissime individualità la critica, guidata nella maggior parte delle
nostre storie letterarie da pregiudizii che non hanno nulla che vedere
con l'estetica o, comunque, da criterii generali, non ha saputo a volta
a volta adattarsi e piegarsi, e ha giudicato come errori, eccessi o

difetti quelli che eran caratteri peculiari. Dico questo soltanto: chi sa
che giudizio troveremmo nelle nostre storie letterarie d'un libro come
la Vita e opinioni di Tristram Shandy, se scritto in italiano, da uno
scrittore italiano, chi sa che capolavoro d'umorismo sarebbero, ad
esempio, la Circe o I capricci di Giusto Bottajo, se scritti in inglese,
da uno scrittore inglese, o magari la stessa Vita di Cicerone di Gian
Carlo Passeroni!
Discorrevo, qualche anno fa, appunto di questo, con un cultissimo
signore inglese, conoscitore profondo della letteratura italiana.
— Neanche nel Machiavelli? — mi domandava egli con meraviglia
quasi incredula. — I vostri critici non riconoscono umorismo neanche
nel Machiavelli? neanche nella novella di Belfagor?
Ed io pensavo alla grandezza nuda di questo Sommo nostro, che non
andò mai a vestirsi nel guardaroba della retorica; che come pochi
comprese la forza delle cose; a cui la logica venne sempre dai fatti;
che contro ogni sintesi confusa reagì con l'analisi più arguta e più
sottile; che ogni macchina ideale smontò coi due strumenti
dell'esperienza e del discorso; che ogni esagerazione di forma
distrusse col riso; pensavo che nessuno ebbe maggiore intimità di
stile di lui e più acuto spirito d'osservazione; che poche anime furono
come la sua disposte all'apprensione dei contrasti, a ricevere più
profondamente l'impressione delle incongruenze della vita; pensavo
che, parendo a molti un carattere dell'umorismo quella certa cura
delle minuzie e una — come dice il D'Ancona — «a giudicarla
astrattamente e a prima vista, trivialità e volgarità», anche egli, il
Machiavelli, alla moltitudine talvolta si mescolò fino alla volgarità,
tanto che scrisse: «Così involto tra questi pidocchi, traggo il cervello
di muffa, e sfogo questa malignità di questa mia sorte, sendo
contento mi calpesti per questa via per vedere se la se ne
vergognassi»; ma anche:
Però se alcuna volta io rido o canto
Facciol perchè non ho se non quest'una
Via da sfogare il mi' angoscioso pianto;

pensavo anche a un'acuta osservazione del De Sanctis, che cioè: «il
Machiavelli adopera la tolleranza che comprende e assolve: non già
la tolleranza indifferente dello scettico, dell'ebete, dello sciocco; ma
la tolleranza dello scienziato, che non sente odio contro la materia
ch'egli analizza e studia, e la tratta coll'ironia dell'uomo superiore alle
passioni e dice: — ti tollero, non perchè ti approvi, ma perchè ti
comprendo» — pensavo a tutti questi elementi che, a farlo apposta,
se li mettiamo in fila, son proprio quelli che gl'intenditori delle
letterature straniere riconoscono proprii dei veri e più celebrati
umoristi (s'intende, inglesi o tedeschi), e — Dio me lo perdoni — non
sapevo più se piangere o ridere di tutte le meraviglie che questi
intenditori han sempre detto... che so? delle Lettere d'un drappiere e
degli altri scritti politici del decano Gionata Swift!
A questi intenditori, che delle letterature straniere ci pongono innanzi
i soliti cinque o sei scrittori umoristi, basta dare della letteratura
nostra un giudizio così fatto: «L'opera d'arte è scherzo geniale di
fantasia, è riso fugace d'impressione destato dalle immagini, non
dalle cose, gajezza accademica di ricordi, erudita ilarità; manca il
sentimento profondo della famiglia (e ne aveva tanto lo Swift,
difatti!), della natura, della patria; o meglio manca in quella forma
gaja e ne assume un'altra, acre e violenta (e che miele, difatti, nello
Swift), che ricorda Persio e Giovenale. Non fo nomi; basti accennare
che le tradizioni classiche, lo spirito d'imitazione, la lingua ristretta
nel vocabolario, schiva del popolo, impedirono nell'arte la libertà di
atteggiamenti, di forma, di stile indispensabile all'humour: come altri
ostacoli, il Papato, la dominazione straniera, le discordie intestine, la
boria regionale e le accademie e le scuole impedirono la libertà
politica, religiosa, scientifica. Ne affligge antico male; in scienza
pedanti, in arte retori, nella vita attori, solenni sempre o gravi,
insofferenti di analisi, corrivi alle grandi idee, sdegnosi delle modeste
e lente esperienze, cercatori di tesi e di antitesi, vaporosi o empirici,
atei o mistici, manierati o barbari. La nostra coltura è a strati, e non
sempre nazionale; lo straniero persiste dentro a noi; le forme
letterarie hanno tipi fissi; una generazione fa il testo, altre parecchie
fanno le note; così si pensa e sente per riflesso, per reminiscenza o

per fantasia; così ne sfugge il senso reale della vita, si ottunde quella
libertà di percezione e di attitudini che crea l'umorismo: e si
riproduce il circolo vizioso; gli scrittori umoristi non sorgono perchè
mancano le condizioni adatte, e queste non mutano perchè mancano
gli scrittori. Il difetto è alla radice; poco sviluppato lo spirito di
curiosità; fioca la nota intima. L'humour vuole l'uno e l'altra; vuole il
pensatore e l'artista; ma l'arte e la scienza presso noi son divise tra
loro e divise dalla vita».
[44]
Ho citato il Machiavelli. Citerò, a questo proposito, un altro piccolo
nostro che non ebbe quella «libertà di atteggiamenti, di forma, di
stile, indispensabile all'humour», a cui «il Papato... le accademie e le
scuole impedirono la libertà politica, religiosa e scientifica», un
insofferente d'analisi, pedante in iscienza e retore in arte, uno che
ebbe poco sviluppato lo spirito di curiosità, ecc.: Giordano Bruno, se
permettete, academico di nulla academia, autore, tra l'altro, dello
Spaccio de la Bestia trionfante, della Cabala del Cavallo Pegaseo,
dell'Asino Cillenico e del Candelajo; colui che ebbe per motto, come
tutti sanno: In tristitia hilaris, in hilaritate tristis, che pare il motto
dello stesso umorismo.
E la candela di quel suo candelajo «potrà chiarir alquanto certe
ombre dell'idee, le quali invero spaventano le bestie», — dice egli
stesso; e dice anche: — «Considerate chi va, chi viene, che si fa, che
si dice, come s'intende, come si può intendere; chè certo,
contemplando quest'azioni e discorsi umani col senso d'Eraclito, o di
Democrito, avrete occasion di molto o ridere o piangere».
Per conto suo, l'autore le ha contemplate col senso di Eraclito e di
Democrito a un tempo.
«Qua Giordano parla per volgare, nomina liberamente, dona il
proprio nome a chi la natura dona il proprio essere; non dice
vergognoso quel che fa degno la natura; non copre quel ch'ella
mostra aperto, chiama il pane pane, il vino vino, il piede piede, et
altre parti di proprio nome; dice il mangiare mangiare, il dormire
dormire, il bere bere, e così gli altri atti naturali significa con proprio
titolo».

Questo, nella Epistola esplicatoria che precede lo Spaccio della Bestia
trionfante. Apriamo un po' questo Spaccio e sentiamo che cosa
Mercurio dice di Giove. Ecco qua: «Ha ordinato che oggi a
mezzogiorno doi meloni tra gli altri, nel melonajo di Fronzino, sieno
perfettamente maturi: ma che non sieno colti se non tre giorni a
presso, quando non saran giudicati buoni a mangiare. Vuole che al
medesimo tempo de la iviuma che sta a le radici del monte di Cicala,
in casa di Gioan Bruno, trenta iviomi sieno perfetti colti, e diecesette
cadano scalmati in terra, quindici siano rosi da' vermi; che Nasta,
moglie d'Albenzio, mentre si vuole increspar li capegli de le tempie,
vegna, per aver troppo scaldato il ferro, a bruciarsene
cinquantasette, ma che non si scotte la testa, o per questa volta non
biastemi quando sentirà il puzzo, ma con pazienza la passe; che dal
sterco del suo bove nascano dugento cinquanta doi scarafoni, de'
quali quattordici sieno calpestati e uccisi per il pie' di Albenzio, vinti
sei muojano di rinversato, vinti doi vivano in caverna, ottanta vadano
in peregrinaggio per il cortile, quaranta doi si retirino a vivere sotto
quel ceppo vicino a la porta, sedici vadano isvoltando le pallottole
per dove meglio li vien comodo, il resto corra a la fortuna... Che
Ambrogio ne la centesima e duodecima spinta abbia spaccio et
ispedito il negozio con la mogliera, e che non la ingravide per questa
volta, ma ne l'altra volta, con quel seme in cui si convertisce quel
porro cotto che mangia al presente con sapa e pane miglio».
E questo per dimostrare a Sofia che s'inganna se pensa che ai celesti
non sieno a cura così le cose minime, come le più grandi.
Come si chiama questo?
Dice di sè Giordano nell'Antiprologo del Candelajo: «L'autore, se voi
lo conoscete, direste ch'have una fisionomia smarrita; par che
sempre sia in contemplazione de le pene de l'inferno; par sia stato a
la pressa, come le barrette; un che ride, sol per far come fan gli altri.
Per il più lo vedrete fastidito, restio e bizzarro: non si contenta di
nulla, ritroso come un vecchio d'ottant'anni, fantastico come un
cane». E Dedalo si chiama «circa gli abiti dell'intelletto» nella

proemiale epistola al Dell'infinito Universo e Mondi, e come Moro, dio
del riso, s'introduce nello Spaccio.
«Lo stile del Bruno, — osserva nel suo studio mirabile su Tre
commedie italiane nel Cinquecento il Graf
[45] — lo stile del Bruno è
l'immagine viva della mente onde muove. Ad un'amplissima varietà
di forme, di figurazioni e di processi, s'accoppia in esso un'efficacia
impareggiabile. Pien di vitale fervore esso non si adagia ne'
simmetrici spartimenti retorici, ma si devolve per effluente, organica
funzione. Di natura proteiforme, con pari agevolezza s'adegua al più
arduo pensiero della mente disquisitiva, e al più volgar sentimento di
un'anima abjetta. Le parole vi si affrontano in riscontri impensati, e
dal cozzar loro erompe sfavillando nuova luce d'idee. Esso è un vivo
fermento di peregrini concetti, d'immagini epifaniche, di clausole
feconde. La lingua copiosa, proporzionata alla varietà e al numero
delle cose che per essa si debbono significare, non conosce, o
disprezza, i ritegni e le leggi dell'accademica purità, e s'impingua di
elementi tratti così da' ripositorii più augusti dell'eloquenza classica,
come dagli ultimi fondi della parlata vernacola. Un istrumento sì fatto
era necessario ad un ingegno che, senza smarrire mai l'equilibrio,
trascorre tutti i gradi dell'essere, dagli imi termini del reale ai
supremi dell'ideale. Sia che raffronti, e associi o sceveri i termini del
pensiero, sia che narri o descriva, la virtù sua rimane sempre uguale
a sè stessa».
[46]
Le contraddizioni innegabili che il Graf in questo suo studio scopre
nella mente del filosofo panteista, per cui confessa di non intendere
«come si generi in essa il momento del riso» si spiegano, secondo
me, perfettamente con quell'intimo e particolar processo psicologico
in cui consiste appunto l'umorismo e che implica per sè stesso
queste e tant'altre contraddizioni.
Del resto, il Graf stesso soggiunge: «Può darsi che la contraddizione
tragga la origine da una certa disformità preesistente fra l'intelletto e
l'indole da una parte, e fra la virtù apprensiva e la raziocinativa da
un'altra».

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