power-point-integrasi-numerik - Copy (5).ppt

ok semoga berguna

1. Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) 
berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :
H sama
Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup
besar.

2. Metode Integrasi Gauss
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan
selang [-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x
1=-1, x
2=1 dan c
1=c
2=1  menjadi m. trapezoida
Karena x
1, x
2,,c
1 dan c
2 sembarang maka kita harus memilih
nilai tersebut sehingga error integrasinya min
 
2
)1()1()1()1(
2
)(
1
1



h
ffff
h
dxxfI
)()()(
2211
1
1
xfcxfcdxxfI 


3. Metode Integrasi Gauss
Bagaimana mencari x
1
, x
2,
,c
1
dan c
2 Persamaan dibawah ini
dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom
berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-
1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x
2
; f(x) = x
3
)()()(
2211
1
1
xfcxfcdxxfI 

0
3
2
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21












dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21



xx
cc

4. Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan metode
Gauss Legendre 2 titik
)
3
1
()
3
1
()(
1
1



ffdxxf

5. Transformasi
Range [a,b]  [-1,1]
X  u f(x)  g(u) dx du


b
a
i
dxxfL )( 


1
1
)(duugL
i

6. Transformasi
du
ab
dx
uabba
x
aububa
x
aabux
abuax
u
ab
ax

















2
2
)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a
b
x
-1
1
u

7. Transformasi
du
uabba
fabduug 






 

1
1
1
1
2
)()(
)(
2
1
)(
 )()()(
2
1
)(
2
1
2
1
abuabfabug 



1
1
)(duugL
i

8. Analisa
Dibandingkan dengan metode Newton-
Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode
Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan
efisien dalam operasi aritmatika, karena
hanya membutuhkan dua buah evaluasi
fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode
Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi
terlebih dahulu menjadi


1
1
)(duug

9. Algoritma Integrasi
Kuadratur Gauss dengan
Pendekatan 2 titikDefinisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan
batas atas integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
 )(
2
1
2
1
abuabx 
 )()()(
2
1
)(
2
1
2
1
abuabfabug 


















3
1
3
1
ggL

10. Contoh Soal

11. Metode Gauss Legendre
3 Titik
Parameter x
1
, x
2
, x
3
,c
1
,c
2
dan c
3 dapat dicari
dengan membuat penalaran bahwa
kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6
buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)()()()(
332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI 

543
2
)(;)(;)(
)(;)(;1)(
xxfxxfxxf
xxfxxfxf


53;0;53
9
5
;
9
8
;
9
5
321
321


xxx
ccc

12. Metode Gauss Legendre
3 Titik




















5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
)(
1
1
gggduug

13. Algoritma Metode Integrasi Gauss
Dengan Pendekatan 3 Titik

14. Metode Gauss n-Titik

15. Beberapa Penerapan Integrasi
Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

16. Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah
menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan
dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera
maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n
(dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9

17. Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat
dihitung dengan menggunakan 3
macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.732
2
15
1
160 








 
i
iyyy
h
L
5.73
16
0

i
i
yhL
7424
3
160









 
 genapi
i
ganjili
i
yyyy
h
L

18. Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar
Luas benda putar:
Volume benda putar:


b
a
p dxxfL )(2


b
a
p
dxxfV
2
)(

19. Contoh :
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4
bagian
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
Bagian II:
4 cm
6 cm 7 cm
12
cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
 56)7)(4(2 
I
L
 196)7)(4(
2

IV
  288)12(122 
IIL
  345612122
2

IIV

20. Contoh :
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan
pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: dan
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
 1082
2
2)(
4
1
50 






 
i
iIVII yyy
h
LL
  5.11872
2
4
1
22
5
2
0 






 
i
iIVII yyy
h
VV
IVIILL
IVIIVV

21. Contoh :
Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:
Volume = 18924.78 cm3
4.1758
560
10828810856






IVIIIIII
LLLLL


6024
5.118734565.1187196



IVIIIIII VVVVV