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1. Matemáticas Clase 4 – ecuaciones e inecuaciones

2. Ecuación de primer grado Es una igualdad de expresiones algebraicas en que existe una sola variable con exponente uno. Ejemplos: 1. 9x – 7 = 4x + 32 2. ax + b = cx + d 2 7 x x 4 21 5 14 –– + –– = –– – 8 3. Resolver la ecuación implica aplicar las propiedades del conjunto de los reales para “despejarla” y encontrar el valor de la incógnita que haga que la igualdad se cumpla (o sea, que se produzca una identidad )

3. Ecuación de primer grado Ejemplo: ¿Cómo se resuelve una ecuación de primer grado? A toda igualdad se le puede sumar (o restar) un valor real en ambos miembros, manteniendo la igualdad. Toda igualdad puede ser multiplicada (o dividida) por un valor real distinto de cero en ambos miembros, manteniendo la igualdad. Ejemplo: 2x – 3 = x (Sumando 3) 2x = x + 3 (Restando x ) x = 3 (Multiplicando por 2) (Restando x ) (Dividiendo por 5)

4. Ecuación de primer grado Ecuaciones numéricas Ejemplos: 5x + 10 = 2x + 22 5x – 2x + 10 = 2x + 22 – 2x 3x + 10 = 22 3x + 10 – 10 = 22 – 10 3x = 12 x = 4  (Restando 2x) (Restando 10) (Dividiendo por 3) 3x 12 3 3 = a) 5(x + 2) = 2(x + 11) (Distribuyendo)

5. Ecuación de primer grado Ecuaciones numéricas Ejemplos: 10x + 7 – 6x + 9 = 4x + 16 (Reduciendo términos semejantes) 4x + 16 = 4x + 16 (Restando 16) 4x + 16 – 16 = 4x + 16 – 16 4x = 4x (Restando 4x) 4x – 4x = 4x – 4x 0 = 0 b) 10x + 7 – 3(2x – 3) = 4x + 16 (Distribuyendo)

6. Ecuación de primer grado Ecuaciones numéricas c) 8x + 2 + 3x = 9x + 12 + 2x (Reduciendo términos semejantes) 11x + 2 = 11x + 12 (Restando 2) 11x = 11x + 10 (Restando 11x) 0 = 10 11x + 2 – 2 = 11x + 12 – 2 11x – 11x = 11x + 10 – 11x

7. Ecuación de primer grado Ecuaciones fraccionarias Un método muy útil para resolverlas es eliminar los denominadores y dejarlas lineales. Ejemplo: Determinar el valor de x en la siguiente ecuación 2 ∙ 3x + 2 ∙ 1 = 1 ∙ 3x – 20 6x + 2 = 3x – 20 (Simplificando) (Multiplicando por 10) (Simplificando) 3 5 x x 3 15 3 10 –– + –– = –– – 2 3 5 1 5 3 10 –– + –– = –– – 2 x x 3 5 1 5 3 10 10 ∙ –– x + 10 ∙ –– = 10 ∙ –– x – 10 ∙ 2

8. Ecuación de primer grado 3x + 2 = – 20 3x = – 22 6x – 3x + 2 = 3x – 3x – 20 (Restando 2) 3x + 2 – 2 = – 20 – 2 (Dividiendo por 3) 6x + 2 = 3x – 20 (Restando 3x) 3x 3 – 22 3 –– = –––– – 22 3 x = ––––

9. Ecuación de primer grado Ecuaciones literale s Ejemplos: px + q = qx + p (Restando qx ) a) Si p ≠ q, determinar el valor de x px + q – qx = qx + p – qx px + q – qx = p (Restando q ) px + q – qx – q = p – q px – qx = p – q (Factorizando por x ) x(p – q) = p – q x = 1 (Dividiendo por (p – q) ) Es aquella ecuación en la que el valor de la incógnita se despeja en términos de otras letras que representan cantidades conocidas.

10. Ecuación de primer grado Ecuaciones literale s a(x + b) = ac – ax (Distribuyendo) ax + ab = ac – ax (Sumando ax ) ax + ax + ab = ac – ax + ax 2ax + ab = ac (Restando ab) 2ax + ab – ab = ac – ab 2ax = ac – ab (Factorizando por a ) 2ax = a(c – b) (Dividiendo por 2a) 2a 2ax a(c – b) 2a = (c – b) 2 x = b) Si a ≠ 0, hallar el valor de x

11. Desigualdades Definición Una desigualdad es una comparación entre a y b tal que: a > b Se lee a mayor que b , cuando la diferencia a – b es positiva a < b Se lee a menor que b , cuando la diferencia a – b es negativa. La simbología utilizada es: < Menor que > Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que

12. Desigualdades Propiedades Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad. Ejemplos: Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad, a ≤ b resulta: a + m ≤ b + m (Sumando 2 a cada lado de la desigualdad) 5 < 8 5 + 2 < 8 + 2 1) 7 < 10 (Restando 3 a cada lado de la desigualdad) 12 > 8 2) 12 – 3 > 8 – 3 9 > 5

13. Desigualdades Propiedades Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Si multiplicamos por m > 0 ambos miembros de la desigualdad, a ≤ b resulta: a  m ≤ b  m Si dividimos por m > 0 ambos miembros de la desigualdad, a ≤ b resulta: b m a m ≤

14. Desigualdades 1) < (Multiplicando por 2 cada lado de la desigualdad) < ∙ 2 ∙ 2 3 7 6 5 6 5 3 7 6 7 12 5 < 2) 160 > 24 (Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad) 24 8 160 8 > 20 > 3 Ejemplo:

15. Desigualdades Propiedades Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. 7 3 < 10 3 Ejemplo: 7 < 10 343 < 1.000 (Elevando al cubo cada miembro) Si a > 0 y b > 0 y elevamos ambos miembros de la desigualdad a m , a ≤ b resulta: a m ≤ b m

16. Desigualdades Propiedades Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el grado de la potencia es par, cambia de sentido. – 3 > – 6 – 8 < – 4 Ejemplos: (– 3) 3 > (– 6) 3 – 27 > – 216 (– 8) 2 > (– 4) 2 64 > 16 1) 2) /( ) 3 /( ) 2 Si a < 0 y b < 0 y elevamos ambos miembros de la desigualdad a: a ≤ b resulta: a m ≤ b m m impar a ≤ b resulta: a m ≥ b m m par

17. Desigualdades Propiedades Si ambos miembros de una desigualdad son positivos o negativos, y se invierten, es decir, se elevan a – 1, la desigualdad cambia de sentido. Ejemplos: – 5 < – 2 (– 5) –1 > (– 2) –1 – 1 5 – 1 2 > < 6 5 3 7 > 5 6 7 3 –1 > 3 7 6 5 –1 /( ) –1 /( ) –1 Si a y b tienen igual signo y elevamos ambos miembros de la desigualdad a – 1 , a ≤ b resulta: a – 1 ≥ b – 1 ≥ 1 a 1 b o bien:

18. Intervalos Intervalo abierto Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b , sin incluir “ a ” ni “ b ”. ] a, b [ = { x Є IR / a < x < b } a b – ∞ +∞ Gráficamente: Intervalo cerrado a b – ∞ +∞ Gráficamente: [ a, b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b , incluyendo “ a ” y “ b ”.

19. Intervalos Intervalo semi -abierto o semi -cerrado a b – ∞ +∞ Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b , incluyendo “ a ” pero no “ b ”. Gráficamente: I. [ a, b [ = { x Є IR / a ≤ x < b } Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b , no incluyendo “ a ”, pero sí “ b ”. Gráficamente: II. ] a, b ] = { x Є IR / a < x ≤ b } a b – ∞ +∞

20. Intervalos Intervalos indeterminados Incluye a todos los reales mayores o iguales que “ a ” I. [ a, + ∞ [ = { x Є IR / x ≥ a } a – ∞ + ∞ Incluye a todos los reales mayores que “ a ” II. ] a, +∞ [ = { x Є IR / x > a } a – ∞ + ∞

21. Intervalos Intervalos indeterminados Incluye a todos los reales menores o iguales que “ b ” III. ] – ∞ , b ] = { x Є IR / x ≤ b } b – ∞ + ∞ IV. ] – ∞ , b [ = { x Є IR / x < b } Incluye a todos los reales menores que “ b ” b – ∞ + ∞ V. ] – ∞ , + ∞ [ = IR +∞ – ∞ IR

22. Inecuaciones lineales Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad. Ejemplos: 1) 7 √5 – x La expresión representa un número real si: 5 – x > 0 5 > x x es un número real menor que 5, 5 -∞ +∞ o bien, x Є ] - ∞, 5 [ Gráficamente:

23. Inecuaciones lineales x 2 6x – 2 5 ≥ 1 – (Multiplicando por 10) 2) 2(6x – 2) ≥ 5x – 10 12x – 4 ≥ 5x – 10 (Simplificando) (Desarrollando) 12x – 5x ≥ 4 – 10 7x ≥ – 6 ≥ x 2 10 ∙ – 10 10 ∙ 6x – 2 5 7 x ≥ – 6 , +∞ o bien, x Є 7 – 6 -∞ +∞ 7 – 6 Gráficamente: Se cumple para todo x mayor o igual que , 7 – 6

24. Inecuaciones lineales 3) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4 7x – 8 ≥ 7x – 12 – 8 ≥ – 12 Gráficamente: +∞ – ∞ IR 4) 6x + 11 2 < 3x / ∙ 2 6x + 11 < 6x 11 < 0

25. Ejemplo PSU 13. Si 6 – 2x = 14, entonces es igual a – 20 – 10 – 30 10 30 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2010 . ALTERNATIVA CORRECTA A