Ppt Fungsi Dan Limit_20250831_145111_0000.pdf

Fungsi dan limit kalkulus 1

1. FUNGSI DAN
LIMIT
Kelompok 2

2. Fungsi adalah aturan yang memasangkan
setiap elemen dari himpunan X (domain)
dengan tepat satu elemen dari himpunan Y
(kodomain).
Domain (daerah asal): himpunan semua nilai
input yang boleh dipakai.
Kodomain (daerah kawan): himpunan semua
kemungkinan keluaran yang sudah
ditentukan.
Range (daerah hasil): himpunan semua nilai
yang benar-benar muncul dari pemetaan
fungsi.
Pengertian Fungsi
Notasi Umum : f: X → Y , y = f (x)

3. 1. Fungsi Linear : berbentuk f(x) = ax + b grafiknya garis lurus.
2. Fungsi Kuadrat : berbentuk f(x) ax² + bx + c grafiknya parabola
3. Fungsi Polinomial : Kombinasi pangkat x lebih tinggi, contoh f(x) = x³- 2x + 1
4. Fungsi Rasional : pecahan polinomial f(x) = P(x) / Q(x) . P(x) dan Q(x) adalah dua fungsi polinimal,
dengan syarat Q(x) ≠0 (penyebut tidak boleh sama dengan nol).
5. Fungsi Trigonometri : melibatkan sin, cos, tan.
6. Fungsi Eksponensial :
Eksponen, (Bilangan berpangkat) Bentuk aⁿ, di mana a adalah bilangan pokok (basis) dan n
adalah eksponen (pangkat). Contoh: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
JENIS FUNGSI
Contoh Soal Fungsi :
1. f(x) = 2x + 3 , tentukan f(4) .
Penyelesaian :
f(4) = 2(4) + 3
= 8 + 3
= 11

4. Pengertian LimitLimit digunakan untuk mengetahui perilaku
fungsi saat x mendekati suatu nilai tertentu. Notasi :
limx → a f(x) = L Misalnya, apa yang terjadi pada f(x)
ketika x mendekati angka 2?

5. Contoh :
1. Hitung limit berikut menggunakan teorema dasar limit!
lim x →3 (2x+3)
Jawab :
lim x →3 (2x+3) = lim x →3 2x + lim x→3
= 2 lim x →3 x + 3
= 2 . 3 + 3
= 9
Teorema
Limit Dasar
Teorema A
Jika n bilangan bulat positif, k konstan, f dan g fungsi yang
mempunyai limit di c, maka berlaku
1. lim x→c k f(x) = k lim x→c f(x)
2. lim x→c [ f(x)+g(x) ] = lim x →c f(x) + lim x →c g(x)
3. lim x →c [ f(x) -g(x) ] =lim x →c f(x) - lim x →c g(x)
4. lim x →c f(x)/g(x) = lim x →c f(x)/ lim x →c g(x), dengan
limx →c g(x) ≠ 0

6. Teorema B : Teorema Subsitusi
Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional dan f terdefinisi di c, maka
lim x →c f(x) = f(c) Contoh :
1. Jika f(x) = x³ - 3x, tentukan lim x →2 f(x)
Jawab :
Perhatikan bahwa f(x) adalah fungsi polinom dan kita tahu bahwa fungsi polinom
terdefinisi untuk setiap x bilangan real. Jadi, f(x) terdefinisi di 2, akibatnya
lim x →2 (x³ - 3x) = 2³ - 3(2) = 2

7. Teorema C : Jika f(x) = g(x) ketika x ≠ c, maka
lim x →c f(x) = lim x →c g(x)
Asalkan limitnya ada.
Contoh :
Hitung lim x →2 (x-2) (x+3) / x - 2
Jawab : Karena (x-2) (x+3) / x - 2 = x+3, ketika x ≠ 2, akibatnya
lim x→2 (x-2) (x+3) / x - 2 = lim x →2 (x+3)
= 2 + 3
= 5
Teorema D : Teorema Apit
Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di dekat
a, kecuali mungkin di a.
lim x →c f(x) = lim x →c h(x) = L → lim x →c g(x) = L

8. Kadang substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0.
Contoh :
lim x →2 x²-4 / x-2
Penyelesaian :
Substitusikan langsung → 0/0 ( tak tentu )
Faktorkan : x-2 (x+2) / x-2
Sederhanakan → sisanya x+2
Substitusi x = 2 : hasil = 4
Limit Bentuk Tak Tentu
Limit tak tentu adalah bentuk hasil perhitungan limit suatu fungsi yang
tidak dapat langsung ditentukan nilainya karena memberikan hasil yang
ambigu, seperti 0/0 atau ∞/∞, sehingga perlu diubah bentuknya
menggunakan metode seperti Aturan L'Hôpital atau faktorisasi untuk
menemukan nilai limitnya yang sebenarnya.

9. Fungsi trigonometri adalah fungsi yang melibatkan sudut (dalam
radian/derajat) dan menghasilkan nilai rasio sisi dalam segitiga
siku-siku. Fungsi Trigonometri Ada beberapa rumus yang penting dan sering dipakai :
1. lim x →0 sin x / x = 1
2. lim x →0 tan x / x = 1
3. lim x → 0 1-cos x / x = 0 Rumus-rumus ini sering dijadikan dasar untuk menyelesaikan
soal limit trigonometri.

10. Kesimpulan Fungsi: aturan yang menghubungkan input →
output.
Limit: cara mengetahui nilai fungsi saat variabel
mendekati titik tertentu.
Teorema limit memudahkan perhitungan
(jumlah, kali, bagi).
Limit trigonometri penting dalam kalkulus dan
aplikasi teknik.

11. TERIMA KASIH