Presentación números complejos imaginarios.pdf

La presentación aborda la diferencia entre círculo y circunferencia: mientras la circunferencia es el contorno o línea curva cerrada, el círculo es la superficie que queda dentro de ella. Se explican sus elementos principales y se incluyen ejercicios prácticos, como calcular el perímetro, el área o resolver problemas con diámetros y radios. Gracias a los ejemplos y actividades, se facilita la comprensión y se refuerza el aprendizaje de estos conceptos geométricos.

1. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Temas
Numeros complejosC
Axiomas de campo paraC
Plano complejo y modulo
Solucion de ecuaciones lineales y cuadraticas
enC
2

2. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Denicion de Numero Complejo
Un numero complejo es una expresion de la forma:
a+bi
dondea; b2Rei
2
=1. a: Parte Real,b: Parte Imaginaria. C=

a+bi:a; b2R; i
2
=1

: NZQRC
3

3. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Raz cuadrada principal de1
Para cualquier numero realr >0 se dene la raz cuadrada principal
dercomo el numero complejo
p
riy se denota por
p
r:
p
r=
p
ri
Ejemplos
p
4 =
p
4i= 2iy
p
7 =
p
7i
Alerta
Parax; y2R
armar que
p
x
p
y=
p
xyconx; y <0 es falso.
4

4. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Suma y multiplicacion de numeros complejos
En los numeros complejos se denen dos operaciones binarias: la
adicion (+) y la multiplicacion o producto (,)
Suma
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Multiplicacion
(a+bi)(c+di) = (acbd) + (ad+bc)i
Ejemplo
(2 + 3i) + (75i) = (2 + 7) + (35)i= 92i
(2 + 3i)(75i) = [273(5)] + [2(5) + 37]i= 29 + 11i
5

5. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Axiomas de Campo
Igual que los reales, los complejos tambien son un campo.
Los numeros complejos son cerrados respecto a la operacion
adicion(+)
1
A cada par de numeros complejoszywle corresponde un unico
numero complejoz+w.
Los numeros complejos son cerrados respecto a la operacion
multiplicacion ()
1
A cada par de numeros complejoszywle corresponde un unico
numero complejozw.
Ejemplo:
1
(3+2i)+(74i) = 102i2C
2
(3+2i)(74i) = 29+2i2C
6

6. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Propiedades de los numeros complejos
Propiedades de la suma o adicion
1
La adicion es conmutativa:z+w=w+z
2
La adicion es asociativa:z+ (v+w) = (z+v) +w
3
0es el neutro aditivo:z+0=z
4
zes el inverso aditivoo negativodez:z+ (z) =0
En la propiedad tres,0= 0 + 0i= 02R
En la propiedad cuatro, siz=a+bi, entoncesz=abi
Ejemplo:
1
(1 + 2i) + (0 + 0i) = (1 + 0) + (2 + 0)i= 1 + 2i
2
(1 + 2i) + (12i) = (11) + (22)i= 0 + 0i=0
7

7. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Propiedades de los numeros complejos
Propiedades de la multiplicacion
1
La multiplicacion es conmutativa:zw=wz
2
La multiplicacion es asociativa:v(wz) = (vw)z
3
1es el neutro multiplicativo:z1=a
4
1
z
=z
1
es el inverso multiplicativo(recproco) dez:
z

1
z

=1, siz6= 0,
En la propiedad tres,1= 1 + 0i= 12R
En la propiedad cuatro, siz=a+bi, entonces quien esz
1
=?
(en su forma estandar).
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8. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Relacion entre adicion y multiplicacion
1
La multiplicacion es distributivasobre la adicion:
v(w+z) =vw+vzy (v+w)z=vz+wzLas once propiedades anteriores: cinco para la suma, cinco para el
producto y una que relaciona la suma con el producto son los axiomas
de campo que cumplen los numeros complejos, por esto se dice queC
es un campo o se habla del campo de los numeros complejos.
Ejemplo:
1
(1 + 0i)(2 + 3i) = (1203) + (13 + 02)i= 2 + 3i
2
(1 + 2i)

1
5

2
5
i

=

1
5
+
4
5

+


2
5
+
2
5

i= 1 + 0i=1
9

9. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Conjugado de un Numero Complejo
El conjugado de un numero complejoz=a+bidenotado z, es el
numero complejoabi:Es decir: z=abi
Propiedades del conjugado
Siz=a+bi, entonces:
z+ z= 2a2R; zz= 2bi2C; zz=a
2
+b
2
2R
Ejemplo
Siz=23i, entonces: z=2 + 3i,
(23i) + (2 + 3i) =4;(23i)(2 + 3i) =6i
y
(23i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13
10

10. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Inverso Multiplicativo
La ultima propiedad del conjugado permite encontrar el inverso
multimplicativo del numero complejoz=a+bicuandoz6= 0.
Comoz6= 0 yzz=a
2
+b
2
6= 0, entonces
z
1
=
1
z
=
z
a
2
+b
2
Es decir que la forma estandar dez
1
es:
z
1
=
a
a
2
+b
2

b
a
2
+b
2
i
Ejemplo
Siz=23i, entonces:z
1
=
2
13
+
3
13
i
11

11. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Potenciacion: Exponentes en los complejos
En particular, cuando se multiplica un numero complejozpor s
mismo varias veces se esta realizando un proceso de potenciacion,
para lo cual es necesario denir exponentes en los complejos
Seann2Z
+
yz2C. Denimos
z
n
=zzz z
|{z}
n veces
Siz6= 0 entonces
z
0
= 1 y z
n
=
1
z
n
12

12. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Ejemplo
(32i)
2
= (32i)(32i) = 512i
(5 + 2i)
0
= 1 y

1
2 + 3i

0
= 1
Ejemplo
(32i)
2
=
1
(32i)
2
=
1
512i
=
5
169
+
12
169
i

1
32i

2
= (32i)
2
= 512i
13

13. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Leyes de los exponentes
Para todoz;w2Cym;n2Z:
1
z
m
z
n
=z
m+n 2
(z
m
)
n
=z
mn 3
(zw)
n
=z
n
w
n 4

z
w

n
=
z
n
w
n
; w6= 0
5

z
w

n
=

w
z

n
paraz; w6= 0
6
z
m
z
n
=z
mn
=
1
z
nm
,
paraz6= 0
14

14. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Ejemplos
1
(1 +i)
3
(1 +i)
2
= (1 +i)
5 2
(1 +i)
5
= (1 +i)(1 +i)
2
(1 +i)
2
= (1 +i)(2i)(2i) =44i
3
(32i)
4
= [(32i)
2
]
2
= (512i)
2
=119120i
4
[(2i)(3 +i)]
2
= (2i)
2
(3 +i)
2
= (34i)(8 + 6i) = 4814i
5

1 +i
1 +i

4
=
(1 +i)
4
(1 +i)
4
=
4
4
= 1
6
(1i)
10
(1i)
6
= (1i)
106
= (1i)
4
=4
15

15. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
El plano complejo
Todo numero complejoz=a+bipuede ser representado en al plano
complejo, en el cual el ejexdel plano se denominaeje realy el ejey
se denominaeje imaginario.
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16. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
El plano complejo
Los numeros complejos 2 + 3iy32ipueden ser representado en el
plano coordenado por los puntos (2;3) y (3;2) respectivamente
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17. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Modulo
Modulo
Siz=a+bies un numero complejo yP(a; b) su par ordenado
asociado, entonces la distancia dePhasta el orgen esta dada por
p
a
2
+b
2
. Esta distancia se denominamoduloomagnituddezy
se denota conjzj. As
jzj=
p
a
2
+b
2
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18. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Propiedades del modulo
Paraz; w2C:
jzj 0
jzj= 0,z= 0
zz=jzj
2
jz+wj jzj+jwj
jzwj=jzj jwj



z
w


=
jzj
jwj
paraw6= 0
19

19. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Ejemplos
1
j2 +ij=
p
4 + 1 =
p
52Ry es mayor que cero.
2
j(2 +i) + (32i)j=j1ij=
p
2 y de otro lado se tiene que
j 2 +ij+j32ij=
p
5 +
p
13.
3
j(2 +i)(32i)j=j 4 + 7ij=
p
65 y de otro lado se tiene
quej 2 +ijj32ij=
p
5
p
13 =
p
65.
4
(2 +i)(2i) = 5 yj 2 +ij
2
= (
p
5)
2
= 5
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20. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Igualdad de numeros complejos
Dos numeros complejos son iguales si son iguales en su parte real y en
su parte imaginaria. Es decir que
a+bi=c+di;si y solo si,a=cyb=d:
Para que los numeros complejos 3yiy 2x+ 5isean iguales es
necesario que
3 = 2xyy= 5;
es decir
x=
3
2
yy=5
21

21. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Ecuacion Cuadratica
Discriminante
Si la ecuacion cuadratica:ax
2
+bx+c, cona; b; c2Rya6= 0 tiene
discriminante =b
2
4ac <0;entonces la ecuacion tiene dos
soluciones complejas conjugadas.
Ejemplo
La ecuacion: 2x
2
3x+ 2 = 0 tiene por discriminante
=b
2
4ac= 94(2)(2) =7<0
Por tanto tiene dos soluciones complejas que son:
x1=
3 +
p
7i
4
yx2=
3
p
7i
4
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22. ultima actualizacion: 27 de julio de 2018
Referencias
Sullivan, M.

Algebra y Trigonometra, 7
a
Edicion. Editorial Pearson
Prentice Hall, 2006.
Swokowski, E.W. Cole, J.A.

Algebra y Trigonometra con Geometra
Analtica13
a
Edicion. Editorial Cengage Learning, 2011
Zill, D. G. Dewar, J. M.

Algebra, Trigonometra y Geometra
Analtica, 3
a
Edicion. Editorial McGraw-Hill, 2012.
23