Principio de Saint Venant y Carga axial.pdf
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Principio saint venant
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Resistencia de Materiales 1A
Profesor Herbert Yépez Castillo
2015-1
Profesor Herbert Yépez Castillo
2015-1
€ QIÓoo o
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Capítulo 4. Carga axial
e 4.1 Introducción
+ 4.2 Principio de Saint-Venant.
e 4.3 Deformación elástica de un miembro cargado
axialmente.
+ 4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados.
+ 4.5 Esfuerzo térmico.
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Capítulo 4. Carga axial
e 4.1 Introducción
+ 4.2 Principio de Saint-Venant.
e 4.3 Deformación elástica de un miembro cargado
axialmente.
+ 4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados.
+ 4.5 Esfuerzo térmico.
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
1.1 Introduccion
» El esfuerzo es un medio para medir la distribución de la fuerza
en dentro de un cuerpo.
+ Deformación unitaria es un medio para medir la deformación
42 de un cuerpo.
Principio de
aaa + La ley de Hooke es una relación matemática que relaciona el
43 esfuerzo y la deformación unitaria.
Deformación
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
1.1 Introduccion
» El esfuerzo es un medio para medir la distribución de la fuerza
en dentro de un cuerpo.
+ Deformación unitaria es un medio para medir la deformación
42 de un cuerpo.
Principio de
aaa + La ley de Hooke es una relación matemática que relaciona el
43 esfuerzo y la deformación unitaria.
Deformación
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
1.1 Introduccion
e Se requiere de una relación que vincule las cargas con el
en desplazamiento.
4.2
Principio de
Saint-Venant.
43 oO = p
Deformacion
elastica de un
a
Il
>| "©
miembro E=
cargado
axialmente
44
Estäticamente € => 6
indeterminado
27
ala
4.5 Esfuerzo e= L
térmico
1.1 Introduccion
e Se requiere de una relación que vincule las cargas con el
en desplazamiento.
4.2
Principio de
Saint-Venant.
43 oO = p
Deformacion
elastica de un
a
Il
>| "©
miembro E=
cargado
axialmente
44
Estäticamente € => 6
indeterminado
27
ala
4.5 Esfuerzo e= L
térmico
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P
Líneas
distorsionadas
— a
Ih .
c
Lineas rectas
Lineas
distorsionadas *
Una barra se deforma
elásticamente cuando es
sometida a una carga P a lo largo
de su eje centroidal.
La barra está fija en un extremo y
sometida a la carga P del otro
extremo.
La deformación de la barra se
manifiesta mediante la distorsión
de la rejilla.
Se exhibe deformación localizada
en los extremos, la cual decrece a
medida que se alejan de los
mismos,
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P
Líneas
distorsionadas
— a
Ih .
c
Lineas rectas
Lineas
distorsionadas *
Una barra se deforma
elásticamente cuando es
sometida a una carga P a lo largo
de su eje centroidal.
La barra está fija en un extremo y
sometida a la carga P del otro
extremo.
La deformación de la barra se
manifiesta mediante la distorsión
de la rejilla.
Se exhibe deformación localizada
en los extremos, la cual decrece a
medida que se alejan de los
mismos,
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
P
Líneas
distorsionadas
Líneas rectas
Líneas
distorsionadas
(a)
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P pP P
Sección a-a Sección b-b Gat.
A
Sección c-c
Sección c-c
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
P
Líneas
distorsionadas
Líneas rectas
Líneas
distorsionadas
(a)
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P pP P
Sección a-a Sección b-b Gat.
A
Sección c-c
Sección c-c
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
+ Como regla general, la
distancia minima desde el
extremo de la barra a partir
de la cual la deformacion
local se desvanece es
superior o igual a la
dimensión mayor de la
sección transversal.
+ El principio de Saint-Venant
postula que los efectos
locales se disipan en
aquellas regiones que esten
lo suficientemente alejadas
de los puntos de aplicación
de las cargas.
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P P P
Sección a-a Sección b-b gat
A
Sección c-c
P AP
2 2
P
g=—
A
Sección c-c
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
termico
+ Como regla general, la
distancia minima desde el
extremo de la barra a partir
de la cual la deformacion
local se desvanece es
superior o igual a la
dimensión mayor de la
sección transversal.
+ El principio de Saint-Venant
postula que los efectos
locales se disipan en
aquellas regiones que esten
lo suficientemente alejadas
de los puntos de aplicación
de las cargas.
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.2 Principio de Saint-Venant
P P P
Sección a-a Sección b-b gat
A
Sección c-c
P AP
2 2
P
g=—
A
Sección c-c
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
+ Utilizando la ley de Hooke, los conceptos de esfuerzo y
een deformación unitaria, se desarrolla una relación matemática
que vincula la carga aplicada con los desplazamientos.
4.2
Principio de _ P
Saint-Venant. o=—
A
43
Deformación
elástica de
un miembro
o «my p
cargado O
axialmente E=- 2?
4.4 €
Estaticamente
indeterminad
indeterminado € E) 6
4.5 Esfuerzo AL
termico e=z—
L
=|o
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
+ Utilizando la ley de Hooke, los conceptos de esfuerzo y
een deformación unitaria, se desarrolla una relación matemática
que vincula la carga aplicada con los desplazamientos.
4.2
Principio de _ P
Saint-Venant. o=—
A
43
Deformación
elástica de
un miembro
o «my p
cargado O
axialmente E=- 2?
4.4 €
Estaticamente
indeterminad
indeterminado € E) 6
4.5 Esfuerzo AL
termico e=z—
L
=|o
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
+ Se toma una barra de sección variable y carga distribuida
41 7 . . € : .
Were + Se define un diferencial de la barra con la finalidad de determinar el
desplazamiento relativo ö de un extremo respecto al otro.
4.2
Principio de H—.x — — dx
Saint-Venant.
43 Fi P;
Deformación
elástica de
un miembro L F1
ö
cargado (a)
axialmente A(x)
a um P(x)
Estaticamente < > B a=—
indeterminado PO | PO) A(x)
+ dé
ae _ dé
4.5 Esfuerzo (b) &= dx
térmico
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
+ Se toma una barra de sección variable y carga distribuida
41 7 . . € : .
Were + Se define un diferencial de la barra con la finalidad de determinar el
desplazamiento relativo ö de un extremo respecto al otro.
4.2
Principio de H—.x — — dx
Saint-Venant.
43 Fi P;
Deformación
elástica de
un miembro L F1
ö
cargado (a)
axialmente A(x)
a um P(x)
Estaticamente < > B a=—
indeterminado PO | PO) A(x)
+ dé
ae _ dé
4.5 Esfuerzo (b) &= dx
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
4.1
Introduccion
42 o=Ee
Principio de AG)
Saint-Venant. x
43 Lu ñ _P@) P@)_ ¿8
Deformaciön P(x) > Px) a= AG) A(x) dx
elastica de rhe da
un miembro +
cargado as F— ge dö ds = P(x) dx
axialmente (b) dx TE A(x)
44
Estaticamente L
indeterminad
ss $: Desplazamiento relativo de un punto de la barra = | Ada
L: Longitud original de la barra o EA(x)
45 Esf | 5 a
po A(x): Área de la sección transversal en función de x
E: Módulo de elasticidad del material
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
4.1
Introduccion
42 o=Ee
Principio de AG)
Saint-Venant. x
43 Lu ñ _P@) P@)_ ¿8
Deformaciön P(x) > Px) a= AG) A(x) dx
elastica de rhe da
un miembro +
cargado as F— ge dö ds = P(x) dx
axialmente (b) dx TE A(x)
44
Estaticamente L
indeterminad
ss $: Desplazamiento relativo de un punto de la barra = | Ada
L: Longitud original de la barra o EA(x)
45 Esf | 5 a
po A(x): Área de la sección transversal en función de x
E: Módulo de elasticidad del material
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
4.1
Introducción Fa P=> P
| 1. |
42 Ns
Principio de
Saint-Venant. 5 [ P(x) dx P Fa PL
43 o EA), EA
Deformaciön
elastica de
E A(x)
un miembro PL
cargado Ê=—
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
4.1
Introducción Fa P=> P
| 1. |
42 Ns
Principio de
Saint-Venant. 5 [ P(x) dx P Fa PL
43 o EA), EA
Deformaciön
elastica de
E A(x)
un miembro PL
cargado Ê=—
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
|
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Si la barra se somete a varias cargas diferentes, o el área de la sección
41 transversal o el modulo de elasticidad cambia de un segmento a otro,
Introduccion . a A
entonces el desplazamiento se determina de la suma de los desplazamientos
extremos de cada segmento.
4.2
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
Öpya = Spjc + $c/g + ÔBja
un miembro
cargado
axialmente
an Oajp = Sap + Óg/c + Óc/D
Estaticamente
indeterminado
4 50in. + 75 in. —L— Win. —
2 kip | 1
6ki kip
4.5 Esfuerzo Sa Öpya = Sp/c + Scjp + O7
térmico A B2Kip c 3kip D
Ey Ez Bs
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Si la barra se somete a varias cargas diferentes, o el área de la sección
41 transversal o el modulo de elasticidad cambia de un segmento a otro,
Introduccion . a A
entonces el desplazamiento se determina de la suma de los desplazamientos
extremos de cada segmento.
4.2
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
Öpya = Spjc + $c/g + ÔBja
un miembro
cargado
axialmente
an Oajp = Sap + Óg/c + Óc/D
Estaticamente
indeterminado
4 50in. + 75 in. —L— Win. —
2 kip | 1
6ki kip
4.5 Esfuerzo Sa Öpya = Sp/c + Scjp + O7
térmico A B2Kip c 3kip D
Ey Ez Bs
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Por convención se determina que:
« La tensión y el alargamiento son positivas
» La compresión y la contracción son negativas
4.1
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
un miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Por convención se determina que:
« La tensión y el alargamiento son positivas
» La compresión y la contracción son negativas
4.1
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
un miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
P rob lema 0 1 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de D respecto aA
P rob lema 0 1 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de D respecto aA
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 02 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de A, si la sección transversal del segmento AB y BD son 1
y 2 in?, respectivamente. Considerar que la barra de acero tiene un módulo de elasticidad
igual a 29(10°)ksi.
15 kip
A
2ft
4 kip 4 kip
ay
1.5 ft
oy 8 kip
Y
1ft
D
Problema 02 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de A, si la sección transversal del segmento AB y BD son 1
y 2 in?, respectivamente. Considerar que la barra de acero tiene un módulo de elasticidad
igual a 29(10°)ksi.
15 kip
A
2ft
4 kip 4 kip
ay
1.5 ft
oy 8 kip
Y
1ft
D
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 03 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de C, si el tubo de aluminio AB tiene una sección de 400
mm? y un módulo de elasticidad de 70 GPa, y la barra de acero BC posee un diámetro de
10 mm y un módulo de Young igual a 200 GPa.
600 mm
Problema 03 Ref. Hibbeler R. Mecánica de Materiales
Determinar el desplazamiento de C, si el tubo de aluminio AB tiene una sección de 400
mm? y un módulo de elasticidad de 70 GPa, y la barra de acero BC posee un diámetro de
10 mm y un módulo de Young igual a 200 GPa.
600 mm
4.1
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
un miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
17
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Desplazamiento de nodos de sistemas de barras
articuladas.
» B
Deformación de la
barra
P na
5 = De: Hap
$ = Dg sind
B 8 Has
—
0D37B
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformación
elástica de
un miembro
cargado
axialmente
4.4
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
17
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Desplazamiento de nodos de sistemas de barras
articuladas.
» B
Deformación de la
barra
P na
5 = De: Hap
$ = Dg sind
B 8 Has
—
0D37B
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Desplazamiento de nodos de sistemas de barras
a articuladas.
Introduccion
42
TR A
Principio de e
Can Veran Barra P Deformacion de la
43 0 B barra
Deformación x >=
elastica de Cuerpo 5 = De: Hap
un miembro ae
cargado rígido 6 = Dg cos 8
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
4.3 Def. elástica de un miembro cargado axialmente
Desplazamiento de nodos de sistemas de barras
a articuladas.
Introduccion
42
TR A
Principio de e
Can Veran Barra P Deformacion de la
43 0 B barra
Deformación x >=
elastica de Cuerpo 5 = De: Hap
un miembro ae
cargado rígido 6 = Dg cos 8
axialmente
44
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert e e
Problema 04
Determinar la fuerza de las barras, la deformación de las mismas y el desplazamiento del
punto de aplicación de la carga P, si E=2x108 kg/cm?, A=1cm? y a=1m
Barra |
a q = 1.75tn/m
Problema 04
Determinar la fuerza de las barras, la deformación de las mismas y el desplazamiento del
punto de aplicación de la carga P, si E=2x108 kg/cm?, A=1cm? y a=1m
Barra |
a q = 1.75tn/m
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
‘ i Quel + Una barra empotrada en un extremo y sometida a una carga axial, es un
introducción
problema donde la reacción se puede determinar por las ecuaciones de
equilibrio (Isostático).
a eh + La misma barra empotrada por sus dos extremos, es un problema donde
Can Veran las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las dos
43 reacciones. La barra esta estaticamente indeterminada (hiperestatico).
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44 = =
Estäticamente EF =0 ZE, =0
indeterminado Ra =P Ra t+ Rg =P
Isostático Hiperestático
4.5 Esfuerzo
térmico
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
‘ i Quel + Una barra empotrada en un extremo y sometida a una carga axial, es un
introducción
problema donde la reacción se puede determinar por las ecuaciones de
equilibrio (Isostático).
a eh + La misma barra empotrada por sus dos extremos, es un problema donde
Can Veran las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las dos
43 reacciones. La barra esta estaticamente indeterminada (hiperestatico).
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
44 = =
Estäticamente EF =0 ZE, =0
indeterminado Ra =P Ra t+ Rg =P
Isostático Hiperestático
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
a dueci + Con el objetivo de establecer una ecuación adicional necesaria para dar
diari una solución al problema, es preciso considerar la geometría de la
deformación.
E 2 a + Una ecuación que especifique las condiciones para el desplazamiento se
rincipio de ae . Las A
Saint Venant. llama ecuación cinemático o de compatibilidad.
43
Deformación
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
Es áticamente 25 =o Ecuación de
Ra + Rp =P cb
indeterminado a + Re equilibrio
Hiperestático
4.5 Esfuerzo
térmico
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
a dueci + Con el objetivo de establecer una ecuación adicional necesaria para dar
diari una solución al problema, es preciso considerar la geometría de la
deformación.
E 2 a + Una ecuación que especifique las condiciones para el desplazamiento se
rincipio de ae . Las A
Saint Venant. llama ecuación cinemático o de compatibilidad.
43
Deformación
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
Es áticamente 25 =o Ecuación de
Ra + Rp =P cb
indeterminado a + Re equilibrio
Hiperestático
4.5 Esfuerzo
térmico
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Saja =0 Ecuacion de
baja Obed Coa =O compatibilidad
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Saja =0 Ecuacion de
baja Obed Coa =O compatibilidad
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
indeterminados
e En este caso,
la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Öpya =0
Öpya = Spc + Ôcja = 0
Ra Ray Ra
A a ta
Rp
Rg
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
indeterminados
e En este caso,
la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Öpya =0
Öpya = Spc + Ôcja = 0
Ra Ray Ra
A a ta
Rp
Rg
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
indeterminados
e En este caso,
la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
5, - CRalen
B/C - EA
Ralac
Ra Ray Ra
A a ta
Rp
Rg
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
indeterminados
e En este caso,
la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
5, - CRalen
B/C - EA
Ralac
Ra Ray Ra
A a ta
Rp
Rg
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
5, = Roco
8/6 EA Ecuación
constitutivas
RaLac
deja En
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
5, = Roco
8/6 EA Ecuación
constitutivas
RaLac
deja En
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Ecuación de
la = nes
Ra + Ro =P } equilibrio
c Sn), =Se-+8-, <0 Ecuación de
ia la compatibilidad
P
5, = Rodca
B/C EA
= Ecuaciones
Ro | 5, = Rabac constitutivas
c/a EA
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Ecuación de
la = nes
Ra + Ro =P } equilibrio
c Sn), =Se-+8-, <0 Ecuación de
ia la compatibilidad
P
5, = Rodca
B/C EA
= Ecuaciones
Ro | 5, = Rabac constitutivas
c/a EA
41
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Ra +Rp =P
Öpya = Spyc + Öcya = 0
5. RodLen
B/C =a
Ralac
ca = EA
Introduccion
42
Principio de
Saint-Venant.
43
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4
Estáticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estáticamente
indeterminados
e En este caso, la condición de compatibilidad requiere que el
desplazamiento de un extremo respecto al otro es igual a cero, pues
ambos están empotrados.
Raf à
Ra +Rp =P
Öpya = Spyc + Öcya = 0
5. RodLen
B/C =a
Ralac
ca = EA
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
+ En problemas estaticamente indeterminados puede ser más fácil plantear
la ecuación de compatibilidad usando la superposición de fuerzas.
ern ns + Se subdivide la carga en componentes que actúan separadamente,
Saint-Venant. sumando la contribuciones causadas por cada componente.
de . Rafa Ra, ts Ra, ta
Deformacion A
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
+ En problemas estaticamente indeterminados puede ser más fácil plantear
la ecuación de compatibilidad usando la superposición de fuerzas.
ern ns + Se subdivide la carga en componentes que actúan separadamente,
Saint-Venant. sumando la contribuciones causadas por cada componente.
de . Rafa Ra, ts Ra, ta
Deformacion A
elástica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
+ Se elige el apoyo B como “redundante” y se quita temporalmente.
Redundante por que no es necesario para mantener el equilibrio.
ern = + Labarra original es igual a la barra sometida solo a la carga P más la barra
Saint-Venant. sometida solo a la carga redundante en B.
de . Rafa Ra, ts Ra, ta
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
+ Se elige el apoyo B como “redundante” y se quita temporalmente.
Redundante por que no es necesario para mantener el equilibrio.
ern = + Labarra original es igual a la barra sometida solo a la carga P más la barra
Saint-Venant. sometida solo a la carga redundante en B.
de . Rafa Ra, ts Ra, ta
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
indeterminado
4.5 Esfuerzo
térmico
— Y
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
Ral a Ra, 1 A Re { A
42 |
Principio de Lac |
Saint-Venant. | |
inc = 2
13 } c + <
Deformaciön | P P
elastica de un Les |
miembro
cargado | |
axialmente - |
n Ar Sy, E ¿ol
Estáticamente Re
indeterminado Ra=P Rp Ra, =P Ra, = —Rp
4.5 Esfuerzo 2.32
termico Ba ER
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estaticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
Ral a Ra, 1 A Re { A
42 |
Principio de Lac |
Saint-Venant. | |
inc = 2
13 } c + <
Deformaciön | P P
elastica de un Les |
miembro
cargado | |
axialmente - |
n Ar Sy, E ¿ol
Estáticamente Re
indeterminado Ra=P Rp Ra, =P Ra, = —Rp
4.5 Esfuerzo 2.32
termico Ba ER
EE. |
q |
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estäticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
Ral a Ra, 1 A Re { A
42
Principio de Lac |
Saint-Venant. | |
+— llc = € C
43 L +
Deformacion P P
elastica de un Len |
miembro
cargado |
axialmente - 1
4.4
E
Estáticamente
indeterminado
Sp, — Sp, =0 | R, = PLBe
4.5 Esfuerzo =
termico EA EA
q |
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.4 Miembros cargados axialmente, estäticamente
indeterminados
44 Superposicion de fuerzas
Introduccion
Ral a Ra, 1 A Re { A
42
Principio de Lac |
Saint-Venant. | |
+— llc = € C
43 L +
Deformacion P P
elastica de un Len |
miembro
cargado |
axialmente - 1
4.4
E
Estáticamente
indeterminado
Sp, — Sp, =0 | R, = PLBe
4.5 Esfuerzo =
termico EA EA
2
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 05 ss nern noce ras
La barra tiene un diámetro de 5 mm ya antes de ser cargada existe un claro de 1 mm.
Determinar las reacciones en A y B' cuando la barra esta sometida a la carga P.
Considerar E=200 GPa.
P= 20kN Imm-\
B
E “|
AQ min 800 mm:
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 05 ss nern noce ras
La barra tiene un diámetro de 5 mm ya antes de ser cargada existe un claro de 1 mm.
Determinar las reacciones en A y B' cuando la barra esta sometida a la carga P.
Considerar E=200 GPa.
P= 20kN Imm-\
B
E “|
AQ min 800 mm:
Problema 05 ss nern noce ras
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
La barra tiene un diámetro de 5 mm ya antes de ser cargada existe un claro de 1 mm.
Determinar las reacciones en A y B' cuando la barra esta sometida a la carga P.
Considerar E=200 GPa.
1 mma,
|
B
E |
Am 800 mm:
à
Posición — 5
inicial d
= -=|
= Final
+ Bposition
| ‘a
! de = < Fz
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
La barra tiene un diámetro de 5 mm ya antes de ser cargada existe un claro de 1 mm.
Determinar las reacciones en A y B' cuando la barra esta sometida a la carga P.
Considerar E=200 GPa.
1 mma,
|
B
E |
Am 800 mm:
à
Posición — 5
inicial d
= -=|
= Final
+ Bposition
| ‘a
! de = < Fz
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 06 ss se noce ras
Un cilindro de aluminio y su nucleo de bronce son sometidos a una carga axial P.
Determinar el esfuerzo normal de cada uno de ellos, si E,jynipjo=10x10° ksi y
Bbronco=15X10* ksi.
P=9kip
Problema 06 ss se noce ras
Un cilindro de aluminio y su nucleo de bronce son sometidos a una carga axial P.
Determinar el esfuerzo normal de cada uno de ellos, si E,jynipjo=10x10° ksi y
Bbronco=15X10* ksi.
P=9kip
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 07 se: seu wecinca is
Tres barras de acero estan unidas a un
cuerpo rigido. Determinar la fuerza sobre
cada barra, si AB y EF poseen cada una un
área en su sección transversal de 25 mm?.
y CD, un área de 15 mm?. Considerar
Escero=200 GPa.
0.2 m (5) 0.2 m
15 kN
Problema 07 se: seu wecinca is
Tres barras de acero estan unidas a un
cuerpo rigido. Determinar la fuerza sobre
cada barra, si AB y EF poseen cada una un
área en su sección transversal de 25 mm?.
y CD, un área de 15 mm?. Considerar
Escero=200 GPa.
0.2 m (5) 0.2 m
15 kN
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 08 vs ecc varies
Un perno de una aleación de aluminio y un cilindro de una aleación de magnesio
inicialmente son apretadas a mano. Luego, mediante una llave la tuerca es apretada una
media vuelta. Si el tornillo tiene 16 hilos por pulgada, determinar el esfuerzo al que se
encuentra sometido. Considerar Ey yminio=10X10° ksi Y Emagnesio=0.9X103 ksi.
Problema 08 vs ecc varies
Un perno de una aleación de aluminio y un cilindro de una aleación de magnesio
inicialmente son apretadas a mano. Luego, mediante una llave la tuerca es apretada una
media vuelta. Si el tornillo tiene 16 hilos por pulgada, determinar el esfuerzo al que se
encuentra sometido. Considerar Ey yminio=10X10° ksi Y Emagnesio=0.9X103 ksi.
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
e El cambio de temperatura ocasiona cambios dimensiones en
algunos materiales
+ Incremento de la temperatura produce que el material se dilate.
42 e Decrecimiento de la temperatura ocasiona que el material se
Principio de contraiga.
Saint-Venant. . . a m an: al
ne » Si el material es homogéneo e isotröpico se establece la siguiente
Deformación relación:
elástica de un
miembro Or =auTL
cargado
axialmente
44 57: Cambio de longitud
Estaticamente
meee cc: Coeficiente de expansión térmica [1/°C], [1/K], [1/°F]
AT: Cambio de temperatura
45 L: Longitud inicial
Esfuerzo
térmico
41
Introduccion
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
e El cambio de temperatura ocasiona cambios dimensiones en
algunos materiales
+ Incremento de la temperatura produce que el material se dilate.
42 e Decrecimiento de la temperatura ocasiona que el material se
Principio de contraiga.
Saint-Venant. . . a m an: al
ne » Si el material es homogéneo e isotröpico se establece la siguiente
Deformación relación:
elástica de un
miembro Or =auTL
cargado
axialmente
44 57: Cambio de longitud
Estaticamente
meee cc: Coeficiente de expansión térmica [1/°C], [1/K], [1/°F]
AT: Cambio de temperatura
45 L: Longitud inicial
Esfuerzo
térmico
41
Introduccion
A
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
e En casos isostáticos, el cambio de longitud producto del cambio de
temperatura puede ser calculado mediante la expresión mencionada.
+ En problemas hiperestaticos, los desplazamientos térmicos pueden
ne ser impedidos por soportes y apoyos ocasionando esfuerzos
Principio de térmicos.
Saint-Venant.
43
A A
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente L AT L AT
44
Estaticamente Isostático Hiperestático
indeterminado |
WE
u Ro + B
41
Introduccion
45 PE:
B
Esfuerzo
termico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
e En casos isostáticos, el cambio de longitud producto del cambio de
temperatura puede ser calculado mediante la expresión mencionada.
+ En problemas hiperestaticos, los desplazamientos térmicos pueden
ne ser impedidos por soportes y apoyos ocasionando esfuerzos
Principio de térmicos.
Saint-Venant.
43
A A
Deformacion
elastica de un
miembro
cargado
axialmente L AT L AT
44
Estaticamente Isostático Hiperestático
indeterminado |
WE
u Ro + B
41
Introduccion
45 PE:
B
Esfuerzo
termico
||
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
+ En casos isostaticos, el cambio de longitud producto del cambio de
temperatura puede ser calculado mediante la expresión mencionada.
+ En problemas hiperestaticos, los desplazamientos térmicos pueden
ne ser impedidos por soportes y apoyos ocasionando esfuerzos
Principio de térmicos.
Saint-Venant.
de a Ra 1 A A Ra
Deformación
elástica de un |
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
41
Introduccion
A
indeterminado
4.5
+
DE t
Esfuerzo Ka 5p. 5p, r-
B
termico
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
4.5 Esfuerzo térmico
+ En casos isostaticos, el cambio de longitud producto del cambio de
temperatura puede ser calculado mediante la expresión mencionada.
+ En problemas hiperestaticos, los desplazamientos térmicos pueden
ne ser impedidos por soportes y apoyos ocasionando esfuerzos
Principio de térmicos.
Saint-Venant.
de a Ra 1 A A Ra
Deformación
elástica de un |
miembro
cargado
axialmente
4.4 L
Estaticamente
41
Introduccion
A
indeterminado
4.5
+
DE t
Esfuerzo Ka 5p. 5p, r-
B
termico
2
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 09 vs x vecnca ce veis
Determinar el esfuerzo térmico de la barra cuando la temperatura es de 48.89 °C, si ésta
encaja de forma justa a una temperatura de 15.56 °C. Tomar en cuenta que modulo de
elasticidad es igual a 200 GPa y el coeficiente de expansión térmica igual a 11.7x10% /°C.
12.7 mm
4
1 Tr mm
0.6m
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 09 vs x vecnca ce veis
Determinar el esfuerzo térmico de la barra cuando la temperatura es de 48.89 °C, si ésta
encaja de forma justa a una temperatura de 15.56 °C. Tomar en cuenta que modulo de
elasticidad es igual a 200 GPa y el coeficiente de expansión térmica igual a 11.7x10% /°C.
12.7 mm
4
1 Tr mm
0.6m
|
Resistencia de Materiales 1A - Prof. Herbert Yépez C.
Problema 10 vs ecc users
La viga rígida está fija a los tres postes cilindricos y cuando la carga no está aplicada la
temperatura es de 20 °C. Determinar la fuerza sobre cada poste cuando la carga actúa
sobre la viga y la temperatura se eleva a 80°C. Considerar:
E acero=200 GPa
Maceo" 12X10 /°C
E auminio=/0 GPa.
& auminio=23X 10 /°C
300 mm-=--300 mm 50 KN /m
Steel Aluminum Steel
Problema 10 vs ecc users
La viga rígida está fija a los tres postes cilindricos y cuando la carga no está aplicada la
temperatura es de 20 °C. Determinar la fuerza sobre cada poste cuando la carga actúa
sobre la viga y la temperatura se eleva a 80°C. Considerar:
E acero=200 GPa
Maceo" 12X10 /°C
E auminio=/0 GPa.
& auminio=23X 10 /°C
300 mm-=--300 mm 50 KN /m
Steel Aluminum Steel
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