Probabilitas ($P$) adalah cabang matemat

Probabilitas ($P$) adalah cabang matematika yang mengukur peluang kejadian ($E$) tertentu dalam ruang sampel ($S$) dari semua kemungkinan hasil ($\omega$). Konsep ini penting dalam analisis situasi acak atau tak tentu. Nilainya selalu antara nol (mustahil) dan satu (pasti).

1. Pengantar Proses StokastikPengantar Proses Stokastik
I G.A.M. SrinadiI G.A.M. Srinadi
1.1.Konsep Peluang Konsep Peluang /Probabilitas/Probabilitas
2.2.Konsep Proses StokastikKonsep Proses Stokastik
3.3.Konsep Rantai MarkovKonsep Rantai Markov
4.4.Proses PoissonProses Poisson
5.5.Birth Death Processes, Birth Death Processes, Teori Teori
Antrian/QueuingAntrian/Queuing
6.6.Renewal PhenomenaRenewal Phenomena
7.7.Model StokastikModel Stokastik

2. 2
I Konsep Peluang
(Probabilitas)
•Percobaan random : percobaan yang
kemungkinan hasilnya dapat diterka, tetapi
tidak dapat diketahui dengan pasti
kemungkinan mana yang muncul.
•Eksperimen merupakan percobaan yang
dapat diulang dengan kondisi yang sama,
sedangkan hasilnya belum tentu sama atau
Eksperimen adalah proses yang
menghasilkan outcome (output).

3. 3
Probabilitas
•Event (peristiwa/kejadian) : outcome
dari suatu eksperimen
•Outcome : hasil pengamatan pada
eksperimen
•Ruang sample : kumpulan semua outcome
yang mungkin dari suatu eksperimen
•Diagram Venn dan diagram pohon :
penggambaran ruang sampel

4. 4
Probabilitas
•P(A) = peluang (probabilitas) bahwa
kejadian(Event) A terjadi
•0P(A) 1
•P(A)=0 artinya A tidak mungkin terjadi
•P(A)=1 artinya A pasti terjadi
•Sifat Probabilitas:
1. 0P(E
i) 1
2. ∑ P(E
i) =1

5. 5
Penentuan nilai probabilitas
(Pendekatan Konseptual)
1.Probabilitas Klasik
Bila N = total banyak outcome yang mungkin
pada satu eksperimen
n(A)=banyak outcome dimana event A terjadi
2. Konsep Frekuensi Relatif
Jika eksperimen dilakukan n kali dan event A
teramati f kali, maka :
N
An
Ap
)(
)(
N
f
N
An
Ap 
)(
)(

6. 6
•Probabilitas Subjektif : hanya
didasarkan atas perasaan, intuisi atau
pengetahuan orang yang menentukan
probabilitas. Walau bukan merupakan
cara ilmiah, namun pendekatan ini dapat
saja menghasilkan probabilitas yang
cukup akurat.

7. 7
Struktur Probabilitas
(suatu contoh)
•Eksperimen
Mencatat kurs US$ terhadap rupiah setiap
hari Senin, pukul 9 hingga 12
•Event
mendapati kurs US$ terhadap rupiah kurang
dari 10000
•Elementry Event: event yang tidak dapat
dipecah lagi menjadi event lain.

8. 8
•Sebuah dadu seimbang dilempar sekali,
dilihat sisi dadu yang muncul. Ruang
sampelnya ={1,2,3,4,5,6}
•Union =“atau” = gabungan. Simbol : 
•Intersection = “dan” = irisan. Simbol : 
•Bila X={1,2,3,4,5} dan Y={3,5,7,9,11}
maka XY = {1,2,3,4,5,7,9,11}
dan XY = {3,5}

9. 9
•Mutually Exclusive Events adalah
kejadian –kejadian yang tidak
mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang
satu meniadakan kejadian yang lainnya;
kedua kejadian tidak dapat terjadi
secara simultan. Jadi :
P(XY)= 0
apabila X dan Y mutually exclusive.

10. 10
•Independent Event adalah kejadian-kejadian
satu sama lain tidak saling mempengaruhi.
Artinya terjadi atau tidak terjadinya suatu
kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau
tidak terjadinya kejadian yang lain. Jadi :
P(XY)=P(X)
P(YX)=P(Y)
apabila X dan Y adalah kejadian independen.
P(XY) artinya probabilitas bahwa X terjadi
apabila diketahui Y telah terjadi.

11. 11
•Collectively Exhaustive Events adalah
semua kejadian elementer (elementary
events) yang mungkin terjadi pada
sebuah eksperimen. Jadi sebuah ruang
sample selalu terdiri atas Collectively
Exhaustive Events.
•Komplemen dari suatu kejadian A
dinotasikan dengan A’ atau A
c
artinya
“bukan A” adalah semua kejadian
elementer pada suatu eksperimen yang
bukan A. Jadi P(A)+P(A
c)
=1

12. 12
Aturan Perhitungan
Outcome
•Untuk suatu operasi yang dapat
dilakukan dengan m cara dan operasi
kedua yang dilakukan dengan n cara,
maka kedua operasi dapat dilakukan
mn cara. Aturan ini dapat
dikembangkan untuk tiga atau lebih
operasi.

13. 13
Pengambilan Sample dari Suatu
Populasi
•Pengambilan sampel berukuran n dari populasi
berukuran N dengan pengembalian (with
replacement) akan menghasilkan :
N
n
kemungkinan
•Pengambilan sampel berukuran n dari populasi
berukuran N tanpa pengembalian (without
replacement) menghasilkan
N
C
n
kemungkinan,
)!(!
!
nNn
N
n
N
C
nN












14. 14
Kaidah Penggandaan
•Bila suatu operasi dapat dilakukan
dalam n
1 cara, dan bila untuk setiap
cara tersebut operasi kedua dapat
dilakukan dengan n
2 cara, maka kedua
operasi tersebut secara bersama-
sama dapat dilakukan dalam n
1.n
2 cara.

15. 15
•Contoh :
1. Bila dua buah dadu dilempar sekali, maka
banyak titik sampel dari ruang sampelnya
adalah …
Dadu pertama memiliki 6 titik sampel (cara),
dan untuk masing-masing dari keenam titik
sampel tersebut, dadu kedua juga memiliki 6
titik sampel, maka sepasang dadu tersebut
memiliki titik sampel sebanyak 6. 6 = 36 cara.
2. Dua keping uang logam dengan sisi A dan G
dilempar sekali, banyak titik sampelnya adalah
sebanyak 2.2 = 4 cara.

16. 16
Kaidah Penggandaan Umum
•Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n
1
cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi
kedua dapat dilakukan dengan n
2 cara, bila
untuk setiap pasangan dua cara pertama
operasi ketiga dapat dilakukan dengan n
3
cara, demikian seterusnya maka k operasi
dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam
n
1.n
2 .n
3 …n
k cara.

17. 17
•Contoh :
3.Banyak jalan dapat ditempuh dari
lantai 1 ke lantai 4 sebuah gedung bila
dari lantai 1 ke lantai 2 terdapat 3
tangga/jalan, dari lantai 2 ke lantai 3
terdapat 2 jalan dan dari lantai 3 ke
lantai 4 terdapat 2 jalan, akan ada
sebanyak :
3. 2. 2. = 12 cara

18. 18
Permutasi
•Permutasi adalah suatu susunan yang
dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari
sekumpulan data.
•Banyak permutasi dari n benda berbeda ada
sebanyak n! (n! = n.(n-1).(n-2)… 2.1
Contoh:
4. Banyak cara duduk berjejer dari 4 orang
adalah 4! = 4.3.2.1. = 24

19. 19
•Banyaknya permutasi akibat pengambilan r
benda dari n benda berbeda adalah :
Contoh:
•Berapa banyak susunan pengurus yang
terdiri dari ketua,sekretaris dan
bendahara dapat dibentuk dari 6 orang
calon?
Banyak susunan pengurus adalah:
)!(
!
),(Pr
rn
n
rnPn


120
!3
!3.4.5.6
!3
!6
)!36(
!6
)3,6( 

P

20. 20
•Banyak permutasi berbeda dari n benda
yang berbeda yang disusun dalam suatu
lingkaran adalah :
Contoh:
•Berapa banyak susunan bila 4 orang pemain
kartu bridge duduk secara melingkar?
•Dengan memandang 1 pemain dalam posisi
tetap,banyak susunan duduk adalah:
(4-1)! = 3! = 6
)!1(n

21. 21
•Banyak permutasi berbeda dari n benda
yang n
1diantaranya berjenis pertama, n
2
berjenis kedua, …, n
k berjenis ke-k adalah :
Contoh:
•Berapa banyak susunan berbeda rangkaian
lampu hias dari 2 lampu merah, 2 kuning
dan 3 biru?
!!!
!
2121 kk nnn
n
nnn
n










!3!2!2
!7
322
7










22. 22
Kombinasi
•Kombinasi adalah suatu pengambilan r
benda dari n benda tanpa
memperhatikan urutannya.
•Banyak kombinasi r benda dari n
benda berbeda adalah:
)!(!
!
rnr
n
r
n
C
rn












23. 23
•Banyaknya susunan pengurus yang terdiri
dari 3 orang dapat disusun dari 6 orang
calon :
20
1.2.3!3
!3.4.5.6
!3!3
!6
)!36(!3
!6
3
6
36











C

24. 24
Contoh soal latihan
1.Seorang mahasiswa tingkat I harus
mengambil masing-masing satu mata
kuliah sains, informatika dan humaniora.
Bila tersedia 6 kuliah sains, 4 kuliah
informatika dan 4 matematika, ada
berapa cara ia dapat menyusun rencana
studinya?
2. Ada berapa banyak cara menjawab 5 buah
soal i. Soal B-S
ii Soal objektif dengan 5
pilihan jawaban

25. 25
3. Ada berapa susunan huruf yang dapat
disusun dari huruf pada
“COLUMNS’
4. Berapa banyak antrian yang dapat
dibentuk dari 5 orang :
i. Tanpa syarat
ii Bila tiga orang tertentu bersikeras
harus saling berdekatan
iii Bila dua orang tertentu tidak mau
saling berdekatan

26. 26
5. Bilangan yang terdiri dari tiga digit
disusun dari angka 1,2,3,4,5,6. Ada
berapa banyak bilangan yang dapat
disusun agar terbentuk :
i. Bilangan genap
ii. Bilangan ganjil
iii Bilangan < 400
iv 300 < Bilangan < 600

27. 27
Penyelesaian
1.Tersedia 6 kuliah sains, 4 kuliah
informatika dan 4 matematika.
Susunan rencana studi bila masing-
masing bidang dipilih satu adalah:
96446
1
4
1
4
1
6


























28. 28
2. Cara menjawab 5 buah soal:
i. Soal B-S
ii Soal objektif dengan 5 pilihan
jawaban
322
5

31255
5


29. 29
3. Susunan huruf yang dapat disusun
dari huruf pada “COLUMNS:
7! = 7.6.5.4.3.2.1 =5040
4. Antrian yang dapat dibentuk dari 5
orang
i. Tanpa syarat : 5! = 120
ii. Tiga orang tertentu harus saling
berdekatan:
3666!3!3 

30. 30
iii.Dua orang tertentu tidak mau
berdekatan:
5. Bilangan yang terdiri dari tiga digit
disusun dari angka 1,2,3,4,5,6. Banyak
bilangan dengan angka berbeda yang
dapat disusun agar terbentuk:
499248 5040
)224(5040)!2!4(!5



31. 31
i. Bilangan genap
Banyaknya = 5.4.3 = 60
ii. Bilangan ganjil
Banyaknya = 5.4.3 = 60
iii Bilangan < 400
Banyaknya = 3.5.4 = 60
iv 300 < Bilangan < 600
Banyaknya = 4.5.4 = 80

32. 32
TEST 1
1.Sebuah dadu setimbang dilemparkan
dua kali. A adalah kejadian jumlah
mata dadu yang muncul bernilai 4, dan
B adalah kejadian muncul mata dadu 3
minimal sekali. Tentukan:
a. Banyak anggota ruang sampel (n(S))
b. n(A) dan n(B)
c. n(A B)

33. 33
2. Empat integer (bilangan bulat) berbeda
dipilih secara acak dari 10 bilangan
bulat positif pertama. A : jumlah
keempat bilangan merupakan bilangan
ganjil. B : hasil kali keempat bilangan
merupakan bilangan ganjil. Tentukan :
a. n(S)
b. n(A)
c. n(B)
d. n(A B)

34. 34
Marjinal,union,joint,dan Conditional
Probabilitas
•Marginal Probability:P(A) = probabilitas
bahwa A terjadi
•Union Probability:P(AB) = probabilitas
bahwa A atau B terjadi
•Joint Probability:P(AB)=probabilitas
bahwa A dan B terjadi
•Conditional Probability:P(A|
B)=probabilitas bahwa A terjadi apabila
diketahui B telah terjadi

35. 35
Aturan Penjumlahan &
Perkalian
•Aturan umum penjumlahan:
P(XY)=P(X)+P(Y) – P(XY)
•Aturan khusus penjumlahan:Bila X dan Y saling
lepas/asing (mutually exclusive), maka
P(XY)=P(X)+P(Y)
•Aturan umum perkalian:
P(XY)=P(X) P(Y|X)=P(Y) P(X|Y)
•Aturan khusus perkalian:Bila X dan Y kejadian
yang independen, maka
P(XY)=P(X)*P(Y)

36. 36
Aturan untuk Probabilitas
Bersyarat (Conditional
Probability)
•Probabilitas bahwa X terjadi apabila diketahui
Y telah terjadi:
)(
)|()(
)(
)(
)|(
YP
XYPXP
YP
YXP
YXP 



37. 37
Contoh1
•Di sebuah kota, diketahui bahwa :
41% penduduk punya sepeda motor
19% punya sepeda motor dan mobil
22% punya mobil
Berdasarkan data di atas, tentukan:
1.Apakah kepemilikan sepeda motor dan mobil
tersebut independen?
2.Bila seorang penduduk kota tersebut diambil
secara acak, berapa probabilitas bahwa ia
punya sepeda motor dan tidak punya mobil?

38. 38
3. Bila seorang penduduk di kota tersebut
diambil secara acak dan diketahui ia
memiliki mobil, berapa probabilitas
bahwa ia tidak memiliki sepeda motor?
4. Bila seorang penduduk di kota tersebut
diambil secara acak, berapakah
probabilitas bahwa ia tidak memiliki
sepeda motor dan tidak memiliki mobil?

39. 39
Penyelesaian
Bila S=punya sepeda motor, M=punya mobil
P(S)=0,41; P(SM)=0,19 dan P(M)=0,22
1.S dan M independen jika dan hanya jika
P(S)P(M)=P(SM)
P(S)P(M)=(0,22)(0,41)=0,0902P(SM)
Berarti kepemilikan sepeda motor dan
kepemilikan mobil di kota tersebut
TIDAK independen
2. P(SM
c
)=P(S) – P(SM)=0,41 – 0,19=0,22

40. 40
3. P(S
c
|M)=
=
4. P(S
c
M
c
)= 1 – P(S) – P(MS
c)


=1 – 0,41- 0,03
= 0,56
)(
)()(
)(
)(
MP
SMPMP
MP
MSP
c



1364,0
22,0
19,022,0



41. 41
Contoh2
•Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi
ketua. Probabilitas Ali terpilih 0,3; probabilitas
Badu terpilih 0,5; sedang probabilitas Cokro
terpilih 0,2. Jika Ali terpilih, maka peluang
kenaikan iuran koperasi 0,8; jika Badu terpilih,
peluang kenaikan iuran 0,1 dan jika Cokro
terpilih, peluang kenaikan iuran aalah 0,4. Bila
seseorang merencanakan masuk menjadi
anggota koperasi, tetapi menundanya beberapa
minggu dan kemudian beberapa minggu dan
mengetahui bahwa iuran telah naik. Tentukan
peluang bahwa Cokro terpilih jadi ketua?

42. 42
Penyelesaian
•Dalam persoalan ini, misalkan :
A1: Ali yang terpilih
A2: Badu yang terpilih
A3: Cokro yang terpilih
B : orang yang menaikkan iuran
Maka :
 
)(
)|(
3
3
BP
BAP
BAP



43. 43
=
=
=
=
 




3
1
3
)(
j
jBAP
BAP
)().|()().|()().|(
)().|(
332211
33
APABPAPABPAPABP
APABP

)2,0)(4,0()5,0)(1,0()3,0)(8,0(
)2,0)(4,0(

37
8
37,0
08,0
08,005,024,0
08,0



44. 44
Fungsi Kepadatan Probabilitas
•Fungsi kepadatan probabilitas (probability
density function – pdf) menyatakan nilai
probabilitas dari setiap kejadian x dan
dituliskan dengan p(X)
•Karena p(X) menyatakan probabilitas, maka
0p(X)1
•Untuk semua kejadian, jumlah probabilitasnya
adalah 1,
 
n
n
xXp 1)(

45. 45
Ciri-ciri Fungsi Kepadatan
Peluang
•X={x
1, x
2, x
3,…,x
n} menyatakan semua
kejadian yang mungkin
•0p(X)1
•Nilai probabilitas untuk semua kejadian :
 
n
n
xXp 1)(

46. 46
Variabel Random (Peubah Acak)
DEFINISI
•Diberikan ruang probabilitas (,F, P). Variabel
random X adalah suatu fungsi dengan domain
 dan kodomain bilangan real.
Contoh :
•Perhatikan percobaan melemparkan sebuah
tetrahedral (dadu bersisi empat) sebanyak
dua kali. Diasumsikan setiap nomor yang akan
muncul mempunyai kemungkinan yang sama.
Misalkan kita tertarik pada kejadian skor
maksimum dalam pelemparan tersebut.

47. 47
Maka ruang sampel dari contoh di atas:
 ={(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),
(4,2), (4,3),(4,4)}
•Jadi X(w) = max(i, j), w = (i, j), i, j = 1,
2, 3, 4 merupakan suatu variabel
random.
•Maka w = {1, 2, 3, 4}

48. 48
Misalkan X variabel random yang didefinisikan
pada ruang probabilitas (, F, P) dengan P
menyatakan ukuran probabilitas. Fungsi
distribusi X ditulis dengan lambang F(x)
didefinisikan sebagai :
Dengan f(x) merupakan fungsi probabilitas X.
(Probabilitas diskret dan kontinu akan diuraikan
tersendiri)












x
x
x
j
xf
xXP
xXPxF
j
Kontinu x ; dx )(
Diskret x ; )(
)()(

49. 49
•Jika x kontinu, maka berlaku hubungan
Pada contoh pelemparan tetrahedral, diperoleh
fungsi probabilitas dan distribusi X sebagai
berikut :
•Tabel Fungsi Probabilitas X
)(')()( xFxF
dx
d
xf 
X1234
f(x)
16
1
16
3
16
7
16
5

50. 50
•Fungsi Distribusi X – F(x)
•Konsep-konsep dasar variabel random lain
dalam probabilitas terapan yaitu
Ekspektasi (nilai harapan), Variansi-
kovariansi, dan keindependenan.



















4 x ; 1
4x3 ;
16
9
3x 2 ;
16
4
2x 1 ;
16
1
1 x ; 0
)x(F

51. 51
Ekspektasi (Nilai
Harapan)
•Definisi
Misalkan X variabel random dengan fungsi
probabilitas f(x). Ekspektasi dari X
didefinisikan sebagai :
Ekspektasi X sering diberi simbol  atau 
x










kontinu X ; )(
diskrit X ; )(
)(
dxxfx
xPx
XE
jj

52. 52
Dari contoh tetrahedral di atas,
diperoleh:
8
1
3
8
25
16
50

16
7
.4
16
5
.3
16
3
.2
16
1
.1)()(
4
1


x
xxfXE

53. 53
Sifat-sifat Ekspektasi
•Jika g dan h fungsi-fungsi dari variabel
random X, maka :
a. E( c ) = c, untuk c konstanta
b. E(c g(x)) = c E(g(x))
c. E(c g(x)+d h(x)) = c E(g(x))+d E(h(x))
d. E(c g(x)+d) = c E(g(x))+d
e. Jika g(x)  h(x) maka E(g(x)) 
E(h(x))

54. 54
Variansi
Definisi
•Variansi (ragam) variabel random X diberikan
oleh :
Var(X)=E(X - E(X))
2

= E(X - 
x
)
2
= E(X
2
) - 
x
2

Variansi dinotasikan dengan simbol 
2
atau 
2
x
Sifat-sifat variansi :
a. Var( c ) = 0, untuk c konstanta
b. Var(cX) = c
2
Var(X)
c. Var(cX+d) = c
2
Var(X)

55. 55
Dari contoh tetrahedral di atas,
diperoleh:
E(X
2
)=
8
85
16
170
16
11245121

16
7
.16
16
5
.9
16
3
.4
16
1
.1






4
1
2
)(
x
xfx

56. 56
Dan Var(X) = E(X
2
) – (E(X))
2

= E(X
2
) - 
x
2
64
55
64
625
64
680

64
625
8
85
8
25
8
85
)(
2







XVar

57. 57
Kovariansi
Definisi
•Misalkan X dan Y dua variabel random yang
didefinisikan pada ruang probabilitas yang
sama. Covariansi antara X dan Y didefinisikan
sebagai :
Cov(X,Y)=E[(X - 
x
)(Y - 
y
)]
•Koefisien Korelasi antara X dan Y
didefinisikan sebagai:
y
xy YX



Y)Cov(X,
],[
x


58. 58
•Kovariansi dan korelasi variabel
random X dan Y mengukur suatu
hubungan linear dari X dan Y,
artinya Cov(X, Y) akan positif jika
(X-
x) dan (Y-
y) menuju ke tanda
yang sama, sebaliknya Cov(X, Y)
akan negatif jika (X-
x) dan (Y-
y)
menuju ke tanda yang berlawanan.

59. 59
Sifat-sifat covariansi dan variansi :
(i) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) ; a dan b
konstanta
(ii) Cov(a+X, b+Y) = Cov(X, Y)
(iii)Cov(X, aX+b) = a Var(X)
(iv)Cov(X, Y) = E(XY) - 
x
y
Cov(X, Y) = 0 jika X dan Y independen
(v) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)+2 Cov(X, Y)

60. 60
•Secara umum :
•Jika X
1, X
2,…,X
n independen, maka :
),(Cov2)Var( Var
1
2
1
YXXaXa
ji
n
i
ii
n
i
ii 















n
i
ii
n
i
ii
XaXa
1
2
1
)Var( Var

 









n
i
ji
m
j
ji
n
i
m
j
jjii YXbaYaXaov
111 1
),Cov( , C

61. 61
Distribusi Bersyarat
Definisi
•Distribusi probabilitas bersyarat
variabel random X
1 dan X
2 dengan fungsi
probabilitas bersama f(x
1
,x
2
)
didefinisikan sebagai :
)(
),(
)|(
1
21
12
xf
xxf
xxf 

62. 62
Distribusi bersyarat
•Fungsi f(x
2
|x
1
) sering disebut sebagai
distribusi probabilitas dari X
2 apabila
diberikan X
1=x
1
•Pada kasus kontinu, probabilitas bersyarat
kejadian berbentuk (ax
2b) apabila
diberikan X
1=x
1 adalah:
P[a  x
2
 b | X
1
= x
1
]

63. 63
•Maka :
P[a  x
2  b | X
1= x
1] =

b
a
dxxxf
212)|(


b
a
dx
xf
xxf
2
1
21
)(
),(





121
221
),(
),(
dxxxf
dxxxf
b
a

64. 64
Distribusi bersyarat f(x
2
|x
1
)
Memenuhi fungsi distribusi probabilitas:
0
)(
),(
)|( )(
1
21
12

xf
xxf
xxfi






2
1
21
212
)(
),(
)|( )( dx
xf
xxf
dxxxfii




221
1
),(
)(
1
dxxxf
xf
1)(
)(
1
1
1
 xf
xf

65. 1. Dua kelereng diambil dari sebuah
keranjang yang berisi 2 kelereng hitam, 2
kelereng kuning, dan 3 kelereng merah.
Misalkan X menyatakan banyaknya
kelereng hitam yang terambil dan Y
menyatakan banyaknya kelereng merah
yang terambil.
Tentukan :
a. Nilai peluang bersama terambilnya 1
kelereng hitam dan 1 kelereng merah
65

66. b. Peluang marginal terambilnya 1
kelereng merah
c. Peluang bersyarat P(X=1|Y=1)
d. Nilai harapan terambilnya kelereng
berwana merah
e. Nilai peluang terambilnya 2 kelereng
hitam atau tidak ada kelereng merah
terambil
66

67. 2.Dari peristiwa-peristiwa berikut,
definisikan dua buah variable random
yang merupakan proses stokastik,
tentukan sifat-sifat dari state space
dan parameter spacenya!
a.Pertandingan sepak bola pada antara
Bali United dan Madura United
b.Seminar Nasional “Nuklir” pada 25
Agustus 2017
67