Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico - Berman Ccesa007.pdf

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1. G.N. Berman

Problemas
y ejercicios
de análisis

matemático

2. T. H. BEPMAH

CBOPHUR 3AJIAY TIO KYPCY MATEMATHYECKOTO
AHAJIMSA

MOHATENDOTBO ¢HAYEAs

3. G. N. BERMAN

Problemas
y ejercicios
de análisis
matemático

EDITORIAL MIR
MOSCÚ

4. “Traducido del sus por N. N. Serdiukova

Ha venanexom amare

© Traducción al español, Editorial MIR. 1977
Impreso on la URSS. 1977

5. Prefacio

El presento libro de «Problemas y ejercicios do análisis matemé-
tico» se destina a los alumnos de ingeniería que estudian el análisis
matemático, de acuerdo con los programas correspondientes, en es-
euelas técnicas superiores.

Contiene diversos ejorcicios que en su mayor parto tienen por
objeto controlar y profundizar el nivel de conocimientos que hayan
adquirido los alumnos en el análisis matemático. En el manual no
se dan explicaciones teóricas ni fórmulas. So estima que ol lector las
encontrará on cualquier manual de análisis matemático. Para un
conjunto de problemas y ejercicios análogos por su contenido se dan
indicaciones instructivas, comunes para ellos.

Los problemas y ejercicios para cuya solución es necesario cono-
cer las leyes de física van precedidos do la correspondiente informa-
ción. En los más difíciles (señalados por un astorisco {*]) se dan sugo-
rencias para su solución, que aparecen en la parte de «Respuestas a
los ejercicios».

Esta es la traducción al español de una de las últimas variantes
del manual escrito por los siguientes autores:

1. G. Aramanóvich, G. N. Berman, A. F. Bermant,
B. A. Kordemski, R. I. Pozoiski, M. G. Shestopa

B. A. Kordemski
41 de septiombre do 4978

6. Indice

PREFACIO

CAPÍTULO 1. Función . .. ....
Sik ei

AN PS RENE

oe eae

HER ee

eee sera Pic

ia

CAPÍTULO 1. Limite. Continuidad...

4. Definiciones, principales x

i agaist ae Gritrios 4 existncin ‘dal linie !
4. Operación della os limits. Compact" de las magnitudes des
infinitesimales we eee

CAPÍTULO 111. Derivada y diferencial, Cálculo diferencial... -
Velocidad do variación de la función

ent y Togartimica

jométricas Invarsas

CAPITULO WW. Análisis de las funciones y de sus gráficas
4. Comportamiento do la funcién . . : . ==
2. Aplicacién de la primera derivado" ! !
3. Aplicación do la segunda derivada > >
4: Tareas complementarias. Resolución de'ccuacionos”
Fórmula de Taylor y su aplicación
tura

$7, Problemen de
CAPÍTULO V. Integral definida .
$ 1. Integral desinida y sus propi
42: Propiedades fundamentales de la integral deinida
CAPÍTULO Vi. Integral iudelinido. Cálculo integral .
$ 1: Métodos més simples de integración - - -
2 Métodos principata do Integración .
3. Tipos principales de las Tunelones integrales
CAPITULO NA. Modos pra calla Integrale endo, in.
$ A. Métodos do integración exacta ©!!! :

llo”

iodados más clementoles ! : : :

S888 BBRBToe à

288 SI2588 5

7. 2 Métodos eproximados >

Ethan © HE
CAPITULO VIII. Aplicaciones de la integral. . . . .......
1, Algunos problemas do prometía y de etes! |
FR ARS wales Sie ee
CAPITULO 1X. sr...

E Seti female. DL.
& Serle de SR
3%: Alamos mplicaciones do ls rte de Täylar LU} ! !!
CAPITULO X. Funciones de varias variables, Cálculo. fern
1. Panclones de veria va
2: Propiedades más elementales de la iio
3 Borras y loans dol non e
À: Derivación de ls funciones
& Derivación Sucia
CAPÍTULO XI. Aplcaiones de cto direc! de ls fnciones
! 4. Fórmula do Taylor, Extremos de los funciones de varias variables

E Series numéricas.

2. Lineas “planas
3: Funeldn vectorial del arguments escalar. Linde slabeadas

E eee ae oe
$ 4. Congo escalar” du Derivada" respedtd à Ja Asrecoión:
CAPÍTULO XM. Iotegrales múltIpls € integración múltiple . . + .
4, Totegralos dobles y pen ss «ee eee eee Ñ

2. Integracion‘maluplo
À Tele no semis edd’ pi idea
Heaciones do iitegräle doblés y isiples” : ©! ©!!! ©!
FES ies ee pee ly os dal ns

CAPITULO XIII. Integrales curvilíneas e integrales de ts
fe tegrales curviliness de primer género

Totegrales curvilineas de segundo género *
CAPÍTULO XIV. Ecuaciones [diferénclales : . . . . . . . - . + à

Integrales da superflcio ss se >

4. Ecuaciones do primer orden . ieee ge EHS

imer orden (coûtinuaciôn) : ! A
3 Ecuaciones d Zend orden y de ndenes sipúriris” << © !
4: Ecuaciones li xs E

& Sistemas de ecuactones difarenciaies
6: Problomas de eáleulo .. + - + +: >

CAPÍTULO XV. Series trigonométricas

$f Eolnomios tcgmenitiee os en os ss: A
2. Serios de Fourier Mo Ne
$ 3. Método de Krilov. Análisis armónico SST 1!

CAPÍTULO XVI. Flementos de la teoría del campo... . . .
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS o 0000 0000000 x
SUPLEMENTO. Tablas de ciertas funciones olementales ... : : : -

2S SESRERE BINS BBE SER RE ENE

Ei

S88 8

8. Capitulo 1

Función

$ 1. Nociones elementales sobre
la función

Funclones y formas de su expresión:

1. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo
plano es función del número de sus lados. Expresar anal
esta función. ¿Qué valores puede tomar el argumento?
2. La función y de x está dada en la siguiente table:

Variable indepondiente = | o | 05 [1 [as]2 [a
Función y +... 15] e o jaz] 26] 0
Variable independiente = | 4 | 5 | 6 | 7 [8 [o {10
Punción yee 0 0 Las [zas] o | 14] 14| 40] 24

Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea «suave».
y determinando los valores de la función para
5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, hacer la tabla «más com-

5;
pleta».
3. La función viene expresada por la gráfica representada en la

fig. 1. Pasar el dibujo al papel milimetrado, elegir la escal

y unos

Y

met

9. 10 Cap. 1. Fanción

cuantos valores de la variable independiente, Dospués de ler en el
dibujo. los valores de la función, correspondientes a los valores ele-
gidos de la variable independiento, formar la tabla de dichos valores,
4. La función viene dada por la gráfica representada en la fig. 2.
Ateniéndose a la gráfica contestar a las siguientes preguntas

À

Modus

Fig. 2

) ¿Qué valores de la variable independiente hacen que la función
se anule?

b) ¿Cuáles deben ser los valores de Ja variable indepondiente para
«que In función sea positiva?

©) ¿Cuáles deben ser los valores de la variable independiente para
que la función sea nagativa?

5. La fórmula de Ja ley de Coulomb expresa la relación do depen-
dencia que existo entre la fuerza F de interacción de dos cargas eléc-
ricas e, Y £,, por una parte, y Ja distancia r que media entre ellas,
por otra:

Pee
Poniendo e, = e, = 1 y & = 1 formar la tabla de los valores de la
función dada pará r =1,2, 3, . . ., 40 y construir su gráfica uniendo
los puntos con una línea «suave».

6. Escribir la función que expreso la depondencia entre ol radio r
de un cilindro y su altura A siendo el volumen dado V = 4. Calcular
los valores de r, teniendo À los siguientes valores: 0,5; 1; 4,5; 2
2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Construir la gráfica de la función.

7. Expresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b como
función del ángulo a de baso a. Construir la gráfica de Ja función
para a=2 b=1,

8. Expresar la dependencia ontre a longitud b de un catoto de un
triángulo rectángulo y la longitud a de otro cateto, siendo la hipo-
tenusa constante e igual ac = 5. Construir la gráfica de esta función.

10. $ 4. Nociones: élomentalos sobre la función a

9%: Dadas las funciones!

Hi degli,

alla: (0): (05105 1-9: 1-2) a (2)|; eo:

(2); p(—2) PLA). ¿Existen (1), PC
‘amas LG) =u 4, hallar # (1); rr flat);

41. Dadas. las: fonciones PO mB x elo 200, haar
EAN CAS y Or el
va eN + F (A).
Dada la función y (1) = t-a', hallar » (0); + (1); BIN;
se 5 ph pia).
iS. q lO = 8 + 1, Mall
H A} = 2 De + ln que F(a) = ln
15. D(z) = = — 52. Domostrar que {D (—2) = — (2)
e PETER Demonstrar qué E)

17. { (2) = sen x — cos z. Demostrar que f (1) >
e w (2) = lg z. Demostrar que ta wie(e+

qe) y lo OF.

mi

19. F (2) = a”. 1) Demostrar que para cualquier valor de es
válida la siguiente relación

Par ()—-1

0
2) Demostrar que
F @)-F (y) =F (e+).
20. Dados la gráfica de la función y = (x) y los valores a y
b de la variable independiente = (véase la fig. 3), construir f (a)

Fig. S

y f(0) en el dibujo, ¿Cuál es la intorprotación guométrica de la rela-
sión

11. 2 ¿Ca lo Función

21. Mostrar que si cualquier cuerda de la gráfica de la función
lado sé por encima del arco que aquélla subtiendo, s verifica
la

desigualda
Yeti) > (ae)

para todas las 2, 7 24.
22. Dada la función / (2) = 2? — 22 + 3, hallar todas las raíces
de la ecuación a) f(x) = f (0); 5) f(z) =/(1).

23. Dada la función f (2) = 22° — Sat — 242, hallar todas las
raíces de la ecuación f (z) = f(—2).

24. Dada la función f (2), hallar por lo menos una raíz de la ecun-
ción } (a) == f (a) Di

25. Señalar dos raíces de la ecuación f (z) =f (4) y si es sabido

que la función f (2) está definida en el intervalo (—5, 5), Hallar
todas las raíces de la ecuación dada siendo f (2) = 2° — 122 + 3.
26. F (1) = 2° +6; p(2) = Sx. Hallar todas las raíces de la
ecuación F (x) = | @ (2) |.
2. f(@) = 2+ 4; (a ==—2. Resolver la ecuación

H@+e@l=if@i+ip@ b
28. Hallar los valores de a y b en la expresión de la función f (x) =
= az? + bz + 5 para los cuales sea válida idad f (2 + 1) —
— f(z) on 82 + 3.
29. Sea f (2) = a-ces (bx + c). ¿Cuálos dobon ser los valores de las
constantes a, 6 y € para que se cumpla la identidad / (x + 1) —
em sen 2?

Funciones compuestas
30. y— 2, 2=2+ 1. Expresar y como función de z.
31. y =Vz FT, z = tg* x, Expresar y como función de z.
32. y = 2,2 =Y/ 27 1, z = al. Expresar y como función det,
a y =1g y; u=VTF W. Expresar u como fun-
ción de =.
Bh y=1 +2 2 cosy; v= VIE, Expresar v como fun-
ción de =.
35, Presentor en forma de cadenas formadas a base de las prit
cipales funciones elementales las siguientes funciones compuestas:
Ny = sents; )y Tr) y le tea
4) y = son? (de 4 4); 5) y = SOHN?
% f (2) = 2 = 2; @ (x) = son 2. Hallar:
dile(E)]: devo 9910

12. $ 4 Nociones elementales sobre la función 13

a ite ei fk DAMM:

3 Domostrar que es válida la siguiente forma de construir la

‘fica de la función compuesta y = / (9 (2)1 = F (x), valiéndose
fe las gráficas conocidas. de las funciones componentes: y = f (2),
yq (2). Del punto À do la gräfica de la función q (+) (véase la
fig. 4), el cual corresponde al valor dado de la variable independiento

Fig. 4

2, se traza una recta paralela al eje Ox hasta que se corte en el punto B
‘con la bisectriz de los ángulos coordenados primero y tercero. Del
punto B so traza una recta paralela al eje Oy hasta que se corte con
la gráfica de la función f (2) en el punto C. Si del punto € se traza
una recta paralela al eje Oz, el punt D do su intersección con la
recta NN” será el de la gráfica de la función F (2) correspondiente al
valor tomado de x.

Funciones implicitas

38. Escri en forma explícita la función y dada en forma im-
plicita mediante la siguionte ecuació
ri

DET DER Ls

P+ yma 4) xy = 0; 5) 2 = 5

6) yet le +1) 7) 244 (2? — 2) =P + 7;

8) (À + 2) cos y — 2° = 0.

. Mostrar que par ny + lla

— |x | =0 determina la función cuya gráfica será la bisectriz del
primer ángulo coordenado, mientras que para x < O son las coor-
donadas de todos los puntos del tercer ángulo coordenado (incluidos
sus puntos frontera) las que satisfacen a la ecuación dada.

13. 4 ¿Cap E Función |

$ 2. Propiedades ‘mas elementales:
de las: funciones

Dominio de defidición de la función

40. Former la tabla do-Jos valoros' de la función' de argumento
entero y= + pard 1<2<8 À

41. El valor de la fünciôn de argumento entero u = q (n) es

igual a la cantidad de números primos no, mayores que r. Formar
In tabla do os valores do u pare 1 <n << 20.

42. El valor de la función de argumento entero u = f (x) es
igual al número de divisores cíteros del argumento distintos do 4
y de la misma n. Formar la tabla de los valores de u para 1<
<n<®.

43. La figura 5 presenta uni ‚bartar formada por tres segmentos
cuyas longitudes son iguales a4; 2; 4 unidad de longitud, y el peso

Fig. 5

igual a 2; 3; 1 uitidades de peso, réspectivamehte. El peso à
ento AM enya longitud es igual a 2, es fanción de z. <P
Sn de x está definida esta función? Presentar su form:
y construir su gráfica,

44. Una torre tiene la siguiente forma: Un tono cireul
truncado cuyos radios de base son 2R (inferior) y R (superior) y
cuya altura es A, sostiene un cilindro de radio A y de altura 2A.
Este último sostiene, a su vez, una semiesfera de radio A. Expresar
el área S' de la sccción transversal dela. torre como funciön.de la
distancia x que modia entro la sección y la base inferior del cono,
Construir la gráfica de la función S = f (2).

45. Una esfora de radio A lleva inscrito un cilindro. Hallar la
dependencia funcional entro el volumen V del cilindro y su altura +.
Indicar el dominio de. dofinición de esta función. ~

46. Una esfera de radio A lleva inscrito un cono recto. Hallar la
dopondoncia funcional entro el área de la superficie $. del

come y am guasa ::lndie ol dopado do definición do eta fun-
ción,
En los ejercicios 47—48 hallar los dominios de definición de la

funciones quo se. indican:

14. $2 Propisdades más olementales de las funciones 15

4. 1) ya t—lea; 2) yl +3); 3) y V 32
A
Due: 3) ver: d y Ta,

40) al 11) yaV Fir;
12) vr za 9 ur à
14) y =arcsen (&— 2); 45) y=arecos (1 —22);

16) y==arecos GE; 17) y=areson VIE;

18) v=VT=TET: 19) ve 20) ve
2 vay a(S):
22) y= lesen; 23) y—arecos pes
24) y= log, 2.
48.9) ver $V EPR 2) yoo V Fe + axesen TE ;

3) y= areson 2 Ig (a)
yy VE eee 3x
5) va TV 124 VE
yet
7) y= \gson (2-3) + VE
8) y-Van4+V 163;
9 y= Vater
10) VER

=. &
OVER VE:
1 VRR ei

wr 2 a
19) y= (24240075 14) y= le (V3=44-V8=2);
15) y=1g11— lg (12—524+16)1.

15. 10 Cap. I. Función

49. ¿Son idénticas las funciones
DCE RSC TIC y 0022

D f@)=2 y SV 4) 1()=1g2 y 9(1)=2lg2?

50. Ponsar un ejemplo de la funcién dada en forma analitica:
'inida sólo en el intervalo — 2 < x < 2;

2) definida sólo en el intervalo —2<x<2 y no definida
para z= 0;

2) sn para todos los valores reales de z, a excepción dex=
AA

51. Hallar los dominios de definición de las ramas unívocas de la
función y = q (2) dada mediante la ecuaciér

1) PF AL log, (2 — 1) =O; 2) tan.

Características del comportamiento de funciones

¡ón de la función

52. LES indicar ol dominio de dof

fe) y mostrar que dicha función e no negativa,
53, Hallar los intervalos de signos constantes y las raíces de la
función:

1) y = 32 — 6; 2) y — 524 6; 3) y = 24;

4) y= 2 — 32 + 2x; y= lz).

54. ¿Qué funciones de las que se dan a continuación son pares,
impares y qué fonciones no son pares ni impares?

ty =a — 2% 3) y =0082 4)

D yu 24 0) persons; 7) y=senz—cosa;

8) y=1—=2% 9) y=tgx; 10) year“;

19432; 12) 13%; 19) y

CEA

14) rd
faz

16) y="; 47) y= ngs.

55. Presentar cada una de las siguientes funciones como suma
de una fonción par y otra impar:

4) y= a 4 Be + 2; 2) pee À 29 — 28 — 2e;

8) y = sen 2r+ cos + tex.

56. Demostrar que.f (2) + f(—z) es una función par y que
1 (z) — f (—2) es una función impar.

57. Presentar las siguientes funciones como suma de una función
par y otra impar:

1) y =0 2) y == (1 + a)0% (véase el ejercicio 50).

16. $ 2. Propiedados ins olomontalos do las funciones a

58. Demostrar que el producto de dos funciones pares es una
función par, el de dos impares os una función par y el de una par y
otra impar es una impar.
59. ¿Qué funciones de las que só dan a continuación son periódicas?
4) = sentz; 2) y son; 3) y = 2-008 25
Sym senti 5) patties 6) y 5;
Ny =lal; 8) y= 2 — {rl
función [2] se define asf: sí x os un número onteto, entonces
[xl = z, Si x no es nämero entero, [x] es igual al número entero má-
ximo'menor que z. “Asi, so tiene [2] = 2; (3, 25] = 3; [4,37] =
= =2)
+60. Construir la gráfica do una función poriódica tal que su perio-
do sea 7 = 1 y que en su intervalo semiabierto (0, 1) sea dada me-
diante la formula: »
Dra),
61. Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los
intervalos en que las funciones son constantes
Nye teh Dy=lal=z
62. Indicar los valores maximo y mínimio de las funciones
1) y = sen? z; 2) y = cos 2%; 3) y = 1 — sen x; 4) y = 2%,
63. Mediante la adición de gráficas construir la gráfica de la
función y = f (2) + @ (2):
4) para las gráficas presentadas on la fig. 6;
2) para las gráficas presentadas en la fig. 7.

y
y

vr

Fig. 6 Fig. 7

64. Conociendo la gráfica de la función y = f (2) constraie la
gráfica de la función:

DEZ SION A y=ZUL@ 1+ 1k
Dy =fUsS@1—-fO.
ET

17. 18 Cap. 1. Función

$ 3. Funciones más simples
Función lineal

65. Sean la intensidad do corriento 7 = 0,8 A y Ja tensión E =
= 2,4 V. Aplicando la ley de Ohm, expresar analiticamente la de-
pendencia entro la intensidad de corriente y la tensión. Construir
la gráfica do la función hallada.

'66. Un vaso de forma cualquiera contiene un líquido, A la pro-
fundida h = 25,8 em la presión del líquido es p = 18,4 gf/em*.

a) Formar la función que exprese la dependencia entre la presión
y la profundidad;

») determinar la presión a la profundidad de h = 14,5 em;

e) in qué profundidad la prosión resultará igual a 28,5 gt/om??

67. Un cuerpo efectúa movimiento rectilineo bajo la acción de
la fuerza F.-Partiendo do la ley de Newton escribir la función que
expreso la dopondencia entro la fuerza F y la aceleración 10, si se
sabe que cuando el cuerpo so muevo exporimentando una acelera-
ción de 12 m/s*, on su trayocto 5 = 45 m so realiza un trabajoigual
a À = 82 jolios,

68. Determinar la función lineal y = ar + b valiéndose de
entes datos:

Daly 9 + ly EAT
04 2 143 2,5]7,2
alo -1,5)0 3,216,8

69. Ciorta cantidad de gas ocupó el volumen de 107 em? ala tom-
peratura 20° C; para una temperatura igual a 40° C el volumen llegó
a sor igual a 114 cm’.

a) Aplicando la ley de Gay-Lussac formar la función que exprese
la dependencia entre el volumen Y del gas y la temperatura £.

3) ¿Guál sein ol volumen a 0° C? fs

70.AL.comenzar un punto su movimiento uniforme à. lo Vargo
do una recta, al cabo de 12 5 aleañza un punto que dista +32,7 cm
de un cierto punto de dicha recta, mientras que al cabo de 20 s la
distancia llegó a ser igual a +43,4 cm. Expresar la distancia s como
función del tiempo t.

71. En un citéuito la tensión va disminuyendo uniformemente
(do acuerdo con Ja loy lineal). Al comienzo-del experimento la ten-
sión era igual a 12 V y al final del mismo experimento; que duró
8 s, Ja tensión descendió hasta 6,4 V. Expresar la tensión V como
función del tiempo £ y coñstruir la gráfica de esta función,

72, Hallar el incremento de la función lineal y = 2x —7 al
pasar la variable independiente z del valor +, = 3 al dez,

18. $ 3. Funciones mis simples 19

73. Hallar el incremento de la función lineal y = —3z +1,

correspondiente al incremento de la variable independiente Ar = 2!
74. La función y ==25z +4 tuvo el incremento Ay = 40.
el incremento, del argumento,

75. Dados la función y = == y el valor inicial de Ja variable
independiente z, = & — b, hallar el valor finito: z, do-la variablo
independiente z para el cual el argumento Ay = „I.

76. La función q (2) viene dada ast: q (2) =4 242 para—os <
LES @ (2) 5 — 2 para 2 < z< +00. Hollar, analítica
y eréficamento, las raíces de Ja ecuación @ (1) = 22 — 4.

77. Construir Ja gráfica de la función:

Du=le+tl+lo1Dyeledil—l21)

Dy= 1231212 44) 4212 2 +1

78%. ¿Para qué valores de z es válida la dosigualdod

16) +0()1<11(01+10(0 1
si (0) =2—3 y go =4—2?

79. ¿Para qué valores de + es válida la desigualdad

1f@—-e@I>l/@l-le@,
si f(z) = 2 y (2) = 2 — 2

80. La función / (2) está definida así: en cada uno de los inter
valos nEz<n +1, dondo n es un número entero positivo, 7 (2)
ia linealmento, siendo f (n) = —1, f(n+5) =0. Construir lo:
gráfica de esta función.

Función cuadrática

81. Construir la gráfica o indicar los intervalos do crecimiento y
decrecimiento de la función:

Di) ya let yt

y= tmz +4; 6) y=2-2% 7) y=l2 81

8) y= 2s 48,0 y = Be Où +6; 10) y= A

1) y = |— 38 +61 12) y= —2 he,

82. Escribir en forma analítica la función unívoca definida en
el intervalo (—oo, 6], si so subo que su gráfica consta de los puntos
del eje Oz cuyas abscisas son menores que —3, de los “puntos de la
parábola que es simétrica respecto al eje Oy y quo pasa por los
Puntos A (—3, 0), B (0, 5), y de los puntos del segmento CD cuyos
extremos son € (3, 0) y D (6, 2).

2

19. a

pF. Función

83. Hallac el-yalor méximo de la función:

ee Hat Due 3 +2

3) ym 5— 4) y = 20 ar — ot; 5) y = ats — Dat,

84. Hallar el ator tne e da sanción a,

1) y = at +4 22 y =2—1,52 4086 3) y=

ai 3r +62,

4) y = atx? +a; 5) y = (az +b) (ax — 2b).

85. Presentar el número a como suma de dos sumandos
su producto sea el mayor posible,

86. Prosontar el número a como suma de dos números tales que
Ja suma de sus cuadrados sea la menor posible.
levantar una valla de madera al lado do un muro de
piedra para cercar un terreno rectangular. La longitud total de dicha
valla es igual a 8 m. ¿Cuál debe ser la longitud de la parte de pared

1 muro para que la valla abarque la mayor área posible?

88. La suma de los lados de un ángulo dado de un triángulo es
igual a 100 em. ¿Cuánto deben medir los lados para que el área del
triángulo sea la mayor posible?

85. ¿Cuál de los cilindros cuyo perímetro dado de la sección axial
es igual a P = 100 em tiene la mayor área lateral?

.. ¿Cusl do los conos cuyo perímetro de la se
a P, tieno la mayor área lateral?

SL. Consideceraos un sólido cuya forma es la de un cilindro cireu-
lar recto y que tieno colocado encima do él un cono (de la misma
base). El ángalo del vértico del cono es igual a 60°. El perímetro de
la sección axial os igual a 100 em. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro
para que su superficie lateral sen la mayor posible

92. Un trißngulo isóscelos de base a y altura h leva inscrito un
rectángulo de la manera representada en la fig. 8. ¿Cuál debe ser la
‘itura del rectángulo para que su superficie sea la mayor posible?

s que

¡ón axial es igual

Fig. 8

93. Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que
os planos y los contros do las bases circulares del oilindro y del cono
coinciden. ¿Cuál debe ser la relación de los radios de las bases del
eilindro y del cono para que la superficie lateral del cilindro sea Ja
mayor posible?

20. $3. Punciones'més simples a

94, Soa dado un cono:tocto circular cuyo radio do base es igual
a R y su altura, A, Lleva inscrito un cilindro do manera que los
planos. y los centros de las bases circulares del cono y del cilindro
coinciden. ¿Cuál debo ser el radio del cilindro para que la superficie
total del mismo so la mayor posible? Considerar os casos Hf > 28
YA < DR. à

né {Gad dolo ne a cadlo de im cireuo par que ol sector cuyo
porimotro es igual à un númoro dado P tenga la mayor superficie
posible?

96. Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte
superior por un triángulo equilátero, El perímetro de la ventana es
igual a P. ¿Cuál debo ser la base a del rectángulo para quo la ventana
tenga la mayor superficie posible?

97. Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte +
superior por un semicírculo, ¿Cuál debo ser la baso del rectángulo
para quo la ventana tenga la mayor superficie siendo el perímetro
igual a 2 m?

98. De un cartón de forma rectangular de dimensiones 30 x
x 50 cm® se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja
a lo largo de las líneas punteadas (véasé la fig. 9) se obtenga

a

Fig. 9 Fig. 10

caja de superficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados
cortados.

99, Es necesario fabricar un modelo del paralelepipedo recto de
baso cuadrada con un alambre quo mide 120 ex. ¿Cuánto debe medir
la cara de la base para que la superficie total del paralelopfpedo sea
la mayor posible?

100. So debo cortar un slambro de longitud a en dos partes. Una
parte estará destinada para hacer un cuadrado, la otra, para un tri-
ángulo equilätero. ¿De qué manera debe ser cortado el alambre para
que la suma de las áreas de las figuras obtenidas sea la menor posible?

101. En la recta y = z hallar un punto tal que la suma de los
cuadrados de la distancia que media entre éste y los puntos (—a, 0),
{er Shy (0, D) on Ta menor posi

402. En la recta y = z +2 hallar-un punto tal que la suma de
los cuadrados de la distancia que media éntro éste y las rectas 3z —
—4y +8=0y%—=y=1=0 .

21. 2 Can. 1. Porción

103. La corriento eléctrica J se distribuye por dos ramas do resis.
tencias r, yr, (véase la fig. 10). Mostrar que las pérdidas menores de
Ja energía necosaria para calentar el conductor en Ja unidad de tiem-
po corresponden a una distribución do las cortientes inversamente
proporcional a las resistencias de Jas ramas: (Partir de la ley: la
cantidad do calor desprendida a, © = 0,24 JR)

104. Trazar la parábola y = 2* y, valiéndose de ella, resolver grä-
ficamento las siguientes ecuacion:

1) gt — 2 — 2,25 =0; 2) 2% — Br — 5 = 0; 3) Sta? —

= Maz +58 =0;

4) At = 132 +9 = 0; 5) 8e — 8 +7 = 0.

105. La función q (2) viene dada así: q (2) =-4-2—4-para —00<
<1<L; ol) =1 +2 pora << +00. Analítica y gré-
ficamento hallar todas las raíces reales do la ccuación Ip @)l? =
in de la función

y= lg (ar + be +0).

107. Hallar f (x +1), dada la función f (x — 1) = 2z* — 3x +1

108*, Mostrar que la función 1
valor real si O<e<1.

toma cualquier

Función homográfica

109. Aplicando la ley de Boile y Mariotte, hallar la función que
exprese la dependoncia entre el volumen del gas y la presión at =
= const si es sábido que a la presión 760 mm Hg el volumen del
gas es igual a 2,3 1, Dibujar la gráfica de esta función.

110. La variablo z es inversamente proporcional a y; y es inver-
samente proporcional a z; z, a su vez, es inversamente proporcional a
v. ¿Qué dependencia existe entre z y u?

111. La variable z es inversamente proporcional a y; y es.direc:
tamente proporcional a z, z es directamente proporcional a,
es a su vez inversamente proporcional a b. ¿Qué dependenci:
entre x y u?

112. Durante la eloctrélisis la cantidad do sustancia que se des-
prenda an al alectrado ot directameato,prnporciondl a I Infenidad

lo corriento; ésta os proporcional a la conductibilidad del electrólito,
esta última es proporcional a la concentración del electrólito. Dada
cierta cantidad do sustancia, la concontracién es inversamente pro-
porcional al volumen del solvente, ¿Qué dependencia existe entre la
cantidad do sustancia desprendida en el electrodo:y el volumen del
solvente?

22. $ 3. Fanciones más simples 2

413. Construir la gráfica de la función homográfica:

114. Siguiendo la gráfica hallar los valores máximo y mínimo
do la función homogréfica en el intervalo indicado:

120,5 2 123 (1,9
tos
3) y= FE.

115. Domostrar: 1) si las abseisas de los cuatro puntos M, (2,
an), Ma (as Y), My (zu Ya), Ma (za vo) de la gráfica de la funció

y= (vönse la fig. 11) so hallan en la proporción B=B, los tree

pectos rectilineos M,MN¿N, y M¿MNN, son equivalentes;
2) si los puntos M, y Ma pertenecen a la gráfica de la función

y= (la fig. 12), las áreas de las figuras AM M:43 y B,MM¿B,
son equivalentes entre sí.

116. Construir la gráfica de la función" y=*"E2 mediante la
adición gráfica.

23. 2 Cap. I, Función

$ 4. Función inversa.
Funciones potencial, exponencial
y logarítmica
Función inversa

117. Hallar la función inversa a la da:

18) VER

y=1+le(2+2); 11) y=logs
2 res E
12) yo Ei 13) ve pie +45 14) y eZ sen de;

45) y=1+2:0n 337; 16) y=400c/ 1.

118. Demostrar que la función inversa a la función homográfica
E (considerando que ad—be-#0) es también homográfica.

119, ¿Cuál debe ser la condición para que la función homográfica
del ejercicio 118 colneida con su inversa?

120. Mostrar que si f (2) = ÿ/a — 2%, 2 > 0, so tion f [/ (2)] =
= z. Hallar la función inversa a la f (2).

121. ¿Cuál es la característica de la gräfica de lo función idéntica
a su invorsa? 5

122. La función y de 2 vieno dada por la ecuación y*— 1 +
log, (2 — 1) = 0. Hallar el dominio de definición de la función
dada y escribir la función inversa a la dada.

123, La función y de z viene dada mediante la ecuación y* +
+son'z—y +2=0. Hallar la} función inversa a la dada.

Función potencial
124. Construir la gráfica de la función:
Duato) ym 1 03) yr tar

4) y= 82445) y=—0P4222 6) y= det
Fa

Dy=tz, 8) yas; 9) y=a 10) year;

11) ye px; 12) yeór?s, 13) y=i— VTT.

125. Hallar gréficamente los valores aproximados de las raíces
reales do la ecuación + 3-4 Y 2.

24. § 4. Funciónos potencial: exponencial y logarítmica ES

126*. Dibujar la porábola cúbica y = 2 y utilizarla para resol-
ver gráficamento las ecuaciones:

iP ta — 40; 2) 2 — Bet —2 43 =0;

8) D 2 Ge 492 — 4 = 0; À) 2 +30 +07 +4 =.

127: De acuerdo con la condición dada formar la ecuación y resol-
verla gráficamente:

4) ¿El cuadrado de qué número es igual al mismo número sumado
à su valor inverso?

2) Un globo de madera cuyo radio mide 10 em y cuya densidad
es igual a 0,8 glem, flota sobre la superficie del agua. Hallar la
altura del segmento hundido.

3) Un cubo y una pirámido do base cuadrada, ambos de madera,
posan juntos 0,3 kt. Do arista del cubo es igual al lado de la base
do la pirámide. La altura de la pirámido mido 45 om. Hallar la arista
del cubo. El poso específico de la madera es igual a 0,8 gflem®,

128. Soa dada la función y = 2”, z > 0. ¿Para qué valores de z
esta función, tiene valores mayores que los de la fonción inversa y
para qué valoros de z tiene valores menores?

a Funciones exponencial e hiperbólicas
129, Construir la gráfica de la función:

4) y= 2 2) y=2%% 8) yet
DIE 5) ym Fra

130. Valiéndose de la gráfica de la función y = 2* y sin recurrir.
a otros cálculos, construir la gráfica de 2 función:

4) y=; 2) y= À 8) ye 2 4.

131. La gráfica de la función y = a* es una línea. Mostrar que
la gráfica de la función y = k-a* (k> 0) es la misma línea pero
desplazada paralelamente al eje de coordenadas.
dk 132. Mediante la adición gráfica construir la gráfica de la fun-

nt

Dy sat $252) ya ee

133. Resolver gráficamente la ecuación 2* — 2z = 0.

134. Construir la figura limitada por las líneas y = 2%, y =
= yz = 3. Hallar por la gráfica y de manera aproximada las
coordenadas de los puntos de intersección de las líneas indicadas.

435. Hallar el mayor valor posible de n para el cual 2 > 2"
para todas las z > 100 (n es un entero).

136. Demostrar que y = sh z e y == th z son funciones impares,
ee y=chz es una función par. ¿Son estas funciones periö-

cas?

25. æ Cap. 1. Función.

437. Demostrar la validez de las siguientes igualdades:
4) a — ht = 1; 2) ez shiz = ch 2
3) 2sh ach z = sh 2x; 4) sh (a + $) = sha-ch B + sh Bch a;

5) ch(a+f)=cha-chB sha-sh $; 6) 1-thte= ahs

Di-altr= gr:

Función logartimica

138. Construir la gráfica. de la función:

4) yu —logaz; 2) y=lg 2; 3) y= [esl

4) yalglalı 5) y=1418 (242) 6) vabali-el;

7) yale"; 8) y= log, 2.

439. Valiéndose de la gráfica de la función y = lg z, construir la
gráfica de la función:

v1= Hato 2) ve (FF).

140. Sea dada la función y =z +lg+. Modiante la ädici
gráfica construir la gráfica de la función dada y por la gráfica hallar
el valor mínimo de dicha función en el semiintervalo (0, 2}.

141. Mostrar que la gráfica de la función y = loge (2 + Y a1)
es simétrica respecto al origen de coordenadas. Hallar la función
inversa.

142. Demostrar que la ordenada de la gráfica de la función

y = logs & es igual a su correspondiente de la gráfica de la función
y = log,» = multiplicada por n.

$ 5. Funciones trigonométricas
y funciones trigonométricas
inversas

Funciones trigonométricas

143. Indicar la amplitud y el poríodo de la armónica:
= 4sen a2;

26. $ 5. Funciones trigonométricas, 2

144. Indicar la: amplitud, ol: período, la frecuencia y la fase
inicial de la armónica:

zt

1) y= 2son (3z--5); 2) y= — cos;
3) y=Feen2x (o): 4) ye son td
145, Construir: la gráfica, de la funci
4) y= een; 2) ye=1—senz; 3) y (cosa;
4) y=sen2x; 5) sony; 6) y= —2s0n E;

7) y=0082x; 8) y=2sen (2—F);

9 y= 2eon (+); 10) y= fen az — 1,2);

41) y=2+2son (+3): 12) y=200 35
13) y=Isonaj; 14) y=|cosz|; 15) y=]tgx)
16) y=lcigzl; 17) y=scez; 18) y=cosecz.
cosz para —1a<z<0,
0<2<1
4 152

145. Los lados de un triángulo miden 4 em y 2 em, respectiva.
mento. Construir la gráfica del área del triángulo como función di
ángulo z comprendido entre dichos lados. Hallar el dominio d
definición de esta función, y el valor del argumento x para el cual
ol área del triángulo sea máxi

147. Un punto efectúa movimiento uniforme a lo largo de una
eircunfereneia de radio R, con velocidad lineal v em/s, teniendo por
centro el origen de coordena el sentido contrario al de las
agujas dol roloj. En el momento inicial la abseisa do dicho punto
era a. Formar la ecuación de la oscilación armónica de la abscisa del
punto.

148. Un punto efectúa movimiento, uniforme a lo largo do la
circunferencia 22 + y? = 1. En el momento £, su ordenada era yo,
en el momento #, yy. Hallar la dependencia entre la ordenada del
punto y el tiempo, hallar también ol periodo y la fase inicial de la
sei

19) y=

149, La fig. 13 muestra un mecanismo de manivela, El volante
ede radio Ra biela os delongisud e. El volante gira uniformemen-
to en el sentido de las agujas del reloj dando n. vueltas en un segundo.
En el momento £ = 0 en of que la biela y la manivela formaron
una misma recta (posición del punto muerto), la cruceta (A) ocupó

27. 28 Cap. 1. Ponción

el punto O. Hallar la dependencia entre el desplazamiento z de la
cruceta (A) y el tiempo t.

Fig. 18

150. Mediante la adición gr
ción:

1) y=senz-+cosz; 2) yes son 2nz-+sen Bn;

3) y= Pen 430 8; 4) ymetsens;

5) y=a—sena; 6) ym — 2° + cos x,

151. Resolver gráficamento la ecuación:

4) 7 = 2 sen x; 2) z= tg x; 3) 2—cosx = 0;

4) 4 sone = 4 — x; 5) 2e cosz.

152. Hallar el período do la armónica compuest

4) y =2 son 3z 43 sen 27; 2) y = sent +cos

3) y=sen son;

4) y =<sen (2ne+ 3) 42500 (37u+ Z) + 3.500 nt,

153, Presentar en forma do una armónica simp!

4) y="enx+cosz; 2) y=s0n2+
"200 (+5).

154. Comprobor el siguiente proce-
dimiento gráfico de la adición de las
oscilaciones armónicas. Sean, dadas
las: armónicas
A sen (02 + 9,)-¥ As sen (oz +).
Tracemos lós. vectores A, y À, cuyos
módulos son A, y Az, respectivamen-
tes formando 18s ängülos 1 y qe con
el’ ojo horizontal (véaso la fig. 14).

Fig. 14 Efectuando la. adición de los vocto-

res A; y A obtendremos el vector A

de médulo A inclinado hacia el ejo horizontal en un ángulo q. La Ay
serán la amplitud y la fase inicial de la suma, respectivamente

A, son (oz + @,) +A; sen (oz 4-93) =:4 sen (wr +9).

construir la gráfica de la fun-

28. $ 5. Punctones trigonométricas 2

155*. Indicar el poríodo de la función y construir su gráfica:

1) yolsenz|-+lenszl; 2) v= (HH):

456. Hallar el dominio de definición y explicar el aspecto do la
gráfica de la función:

4) u=lsona 2) ve VIRE 8) y= Y le eer

Fúnciones trigonométricas inversas

457. Construir-la gráfica de Ta función:

4) y=arcotgz; 2) y= 2arcsen Fj 3) y=1+arctg2s;

4) y=F—arocos 2x; 5) y=aresen =,

158, Un sector ciréular de ángulo central & se arrolla engendran-
do un cono. Hallar la dependencia entre el ángulo w en el vértice
de dicho cono y el ángulo a, y construir la gráfica,

159. Un cuadro de altura a cuelga do la pared de modo inclinado,
formándose un ángulo diedro y entre la pared y el cuadro, Un obser-
vador que o encuentra frnto a la pared, a la distancia, e el bordo
inferior del cuadro por encima de la altura de su vista (la diferenei
es igual a 5). Hallar la dopondoncia entre el ángulo y (formado entre
la vista del observador y el cuadro) y, el ángulo 9.

460. Indicar Ja dependencia, entre el ángulo 9 de la vuelta q
da la manivela (véase el ejercicio 149) y el desplazamiento x de la
erucot

161. Hallar el intervalo en que varía z para el cual son válida
la identidad:

1) orosenz-barocosz= E; 2) aresen V-HorecosVE—4;
3) arocos VT—2 = arcsen x; 4) arocos VT
5) arctgz=arectg +; 6) arctg 2 =arectg À;

7) arocos ATH m Qaretg; 8) arecos gar = —2aretg,

9) aretg 2 +-arctg = aretg PE;

10) arctg 2-+arctg i =a-+arctg Es.

162. Valiéndose de las identidades dol ejercicio 161, hallar el
dominio de definición y construir la gráfica de la función:

4) yo aregosV Toa 2) y= areson VIE arson VE;
1° 8) yas arccos F255 5 4) ymarctg2—arcetg À

29. 30 Cap, 1. Función

163*. Construir la gráfica de la función y = aresen (sen z).
Demostrar que la función indicada es periódica y hallar su período.
164. Construir la gráfica de la función y = arccos (cos 2).
165. Construir la gráfica de la función y = arctg (tg z).
166. Construir la gráfica de la función
— arctg (tg 2); 2) y = x — aresen (son 2);
aresen (sen x); 4) y = arccos (cos x) — arcsen (senz).

$ 6. Problemas de cálculo

167. Trazar la gráfica de la función y = 2? +22* — 4z +7 en
el intervalo cerrado [—4, 2] tomando los valores de z con intervalo
de 0,2. En el eje de ordenadas elegir la escala 20 veces menor que
Ja del eje de las abseisas. Hallar los yalores máximo y mínimo de la
función en el intervalo cerrado [—3, 2] de acuordo a la gráfica. ¿En
qué punto pasa la función del crecimiento al decrecimiento? Hallar
la raíz de la función en el intervalo cerrado [—4, 2]. La exactitud
del cälenlo debo ser 0,1.

168, Al estudiar las leyes de dispersión de la motralla (en la
teoría balística del tiro) os necesario construir la gráfica de la fun-
ción y =e4ea; e 22,748. Efectuar esta operación para À = 2,
dando a « los valores desde 0 hasta 90° con intervalo de 5°. El eéleu
lo debe ser efectuado con exactitud hasta 0,01.

169. Sean dados tres puntos: M, (1; 8;) M, (5; 6); Ma (9; 3).

Trazar la parábola y = az! + bz-+£ que atraviese estos tres pun-
tos. Hallar las rafces de la función az* + br +c. La exactitud del
cálculo debe ser 0,01.
170. Una lámina de hojalata de 30 X 30 cm? ha de servir para
fabricar una caja de 1600 cm? do capacidad, recortando de ella cua-
Grados iguales. ¿Cuánto debe medir el lado z de cada cuadrado corta-
do? La exactitud del cálculo debe ser 0,01.

174. Comprobar lo siguiente: sí en. la ecuación 24 + pat +
+ gz +5 =0 ponomos 2* = y, dicha ecuación será sustituida por
el sistema

Bay,

{ YP bea), *
mE y En
Valiéndose de este procedimiento, résolver gráficamente la ecua-

ción 24 — 32 —8x —29=0. La exactitud - del cálculo: debe

ser 04
172*. Utilizando el procedimiento del ejercicio 171 demostrar lo
siguiente: al ofectuar un cambio complementario de la variable

donde y=

30. $ 6. Problemas de cálculo EN

2 =1' a, las raíces reales de la ecuación de cuarto grado zt +
“az! + bs er +d = 0 pueden ser halladas gráficamente encon-
trando los puntos. de- intersección de una cierta circunferencia con
1a parábola y = 2°.
¡éndose de esto procedimiento resolver gráficamente la ecua-
ción 24 41,22" — 2213 — 302 +31 = 0. La exactitud del célou-
lo debe ser 0,

173, Hallar gräficamente las raíces do la ecuación e* son z = 1,
€ 222, 718, comprendidas entre O y 10. Indicar la fórmula generat
aproximada para los valores de las raíces restantes. La exactitud
del cálculo ha de ser 0,01.

174. Resolver gráficamente el ‘sistema:

E 4

La oxactitud del cálculo ha de ser 0,04.

175. Construir la gráfica de la función (en el sistema de coorde-

nadas polares) para los valores dol ángulo polar @ con el paso igust
a nit2*)

1) p = ay (espiral de Arquimedes); 2) p= le fspial hiperbé-
ica); 3) p = e% (e 2,748) (espiral logarítmica); 4) p = a sen dp
rosa de tres pétalos); 5) p =a cos 2g (rosa do dos pétalos);
8) p = a (1 — cosy) (cardioide).

Efectuar los cálculos con exactitud hasta 0,01. Conviene clegir
cualquier constante a > 0.

So admita aquí que si p (9) <0, on el correspondiente rayo no existe el,
NET «pondiente rayo

31. Capítulo II

Limite. Continuidad

§ 1. Definiciones principales

Punciones de argumento entero

176. La función de arguménto entero toma los valores

des = 0,9; uy = 0,99; uy = 0,999; ay ly = 0,999
TT

¿A qué es igual lim u,? ¿Qué valor debe tener r para que el valor

absoluto de la diferencia entre u, y su límite no sea mayor que 0,0001?
177. La función u, toma los valores

sé Mie ae

Hallar lim un. ¿Qué valor dobo toner n para quo la diferencia
‘entre un y Su límite sea menor que un número dado positivo e?
178. Demostrar que un = tiende a 4, al crocer n en forma
limitada. ¿A partir de qué valor de n el valor absoluto de la diferen-
‚cin entre Um y 4 no es mayor que 10-4?
). La función u, toma los valores
x aa ma
Pr. en, ace at
yee ee me

Hallar lim v,. ¿Cuál dobe ser el valor de n para que el valor abso-

“Into de la" diferencia entre u, y su límite no sea mayor quo 0,001?
¿Toma la función v, el valor de su propio límite?

180. El término general u, de la sucesión mw=$, w=,

E EM

FL, ee. tiene la forma sin es un número

impar, y 22 sin os un número par.

32. "5:1: Dafinieioies principales ES

Hallar lim un. ¿Cuál debe ser el valor de n para quo la diferencia

entre u, y el valor absoluto de su límite no sea mayor que 40-4; que
un número dado positivo e?

181. Demostrar quo la sucesión 1, = SES, al crecer in infie
niteniente, tiende al limite igual a $ crociendo do módo monótono.
2A partic de qué valor de ñ, la magnitud 4—u, no es mayor que
un número dado positivo 6?

182. Deihostrar que uy. = Ve ‘tierie por limite 1, al crecer n

infinitamento. ¿A partir de qué valor de # la magnitud |4—uy|

o es mayor que un número dado positivo e?

¿Qué carácter tiene la variable un? ¿Es creciente o decreciente?
183. La función u, toma los valores de cocficiontes binomiales:

aan
een, |,

y vm Belen

donde m es un entero positivo, Hallar lim v,.

484, Demostrar que la sucosión ti, = À + (—4)" no tiene límite
cuando croce infinitamente.

185. Demostrar que aL.crecer n infinitamente la sucesión u, =
= ZH no tiene limite, y la sucesión u, = 2
tiono. ¿A qué es igual ésto?

186, ¿Tiene limite la signiente sucesión:

re
Eu +

Dunes Due >

187. Demostrar ol teorema: si las sucesiones iy, lg, + «y Uns + + >
sas Y Oy Vay eo Ds. tiondon al mismo limite común a, la suce:
Sión U, Dy, Uy Yan cu Us Das « >. tiendo al mismo límite.

188. Demostrar el teorema: si la sucesión 14, lg «u Un, «
tiendo al a, cualquier subsucesión suya (por olemplo, u,
Us ls >.) tiendo al mismo limit

189. La sucesión ly. tyy + «y Un «+ tiono por limite a 340.
Demostrar que lim #41, ¿Qué se puedo decir sobre este limi-
te si a = 0? (Citar ejemplos.)
aan

mem,

nés #

s lo

33. Ed Cáp. 11. Limite. Continuidad

Funciones de argumento continuo

190. Sea y = 2% Cuando 32 y+ 4. ¿Cuál debe ser el valor
de 8, gare que Ie —2 [<8 dé por resultado |y-Al<e=

191. Sea y=
ser el valor
|y-3|<our

192, Sen y= [Epi > Para 23 tenemos: y +. ¿Cuál debe
ser el valor de para que [z—3]<6 dé por resultado |F— y | <0,042

193. Domostrar que son z tiendo a la unidad si 2/2. ¿Qué
condiciones debe satisfacer z on ol ontorno del punto = = x/2 para
que se verifique la desigualdad 1 — sen 2 < 0,01?

194. Si x crece infinitamente, la fonción Y =p Hondo a coro:
Yin ir. ¿Cuál dobo ser ol valor de N para que |z|>N dé
Por resultado ye?

195. Si 2 00, yr rg A, ¿Cuál dele sor ol valor do N
para quo |z|>N dé: por resultado |y—1}<e?

#1

Para 2-2, tenemos y. ¿Cuál debo
$ para que [z—2|<6 dé por resultado

$ 2. Magnitudes infinitas
Criterios de existencia del límite
Magnitudes infinitas
196. La función u, toma los valores
m=3 gS, My ST, o ty en +4,
Domostrar que u, es una mognitud infinitamente grande euandô"
norco. ¿A partir de qué valor de 1 la magnitud 4, se haco mayor
que N? =
497. Demostrar qué el término general u, de cualquier progresión
aritmética es una magnitud infinitamonte grande cuando n — oo.
(¿Cuándo es positiva? ¿Nogativa?) ¿Es válida este aserción en ol
caso de cualquier-progrosión geométrica?
198. Cuando z=>0 tenemos: y= Eco. ¿Qué condiciones
dobe satisfacer x para que se vorifique la desigualdad |y|> 10?

34. § 2 Magnitudes infinitas EJ

199, Domostrar que la función y= >= es infinitaménte grande
cuando 2-3. ¿Cuál debe ser el valor de = para que la magnitud
ly] sea mayor que 10002

200. Cuando z tiende a 4, la función y= — 4 crece infinita-
mento, ¿Cuál debe ser el valor de 8 para que |z=1/<8 dé por
1 10
resultado a > N =10

201. La función y=s zx 7 @s infinitamente grande para 2-0.
¿Qué desigualdades dobe satisfacer z para que |y| sea mayor
que 100? E

202. Para x—»co tenemos: y = lg zoo. ¿Cuál debe sor el va-
lor de M para que z>M dé Li resultado y >N = 100?

203. ¿Cuáles de Jas principales funciones elementales son acota-
das en todo el dominio de su definición?

2

204. Demostrar que la función y Fr es acot
eje numérico.

205. ¿Es acotada la función y en todo el oje numérico?
¿Sería acotada en el intervalo (0, co)?

206. ¿Es acotada la función y = lg sen x en todo el dominio de
su existencia?

La misma pregunta sobre la función y = lg cos z.

207. 4) Demostrar que las funciones y == x fen 2 0 y = £ cos.z no
son acotadas cuando 2 => co (indicar para cada una de ellas, por lo
monos, una sucesión #, para la cual y, => 00).

2) ¿Serán infinitamente grandes estas funciones?

3) Construir sus gráficas.

208. Construir las gráficas de lag funciones f(z) = 2° “=
y /(@) =2"****, Para cada una de estas funciones indicar dos
sucesiones za y x; do los valores de z tales, que lim / (m) == oo,
y Mim Fe) =0.

209. ¿Para qué valores de a la función y = «* sen z no es acotada
cuando 2 +00 (2->— co)?

240. ¿Será infinitamente grande la función no acotada:

en todo el

4) 1()=Fcos L para 20;
2) /()=2wretgz para 2-00;
3) f (2) = 2 arcsen (sen z) para 2=> +00;
4) f(z) =(2+senz) lgz para 2 +00;
5) (2) =(1-+s0n2) lez para 2> +00?

35. a Capı If. Limite, Continiidad

241. La función u, toma los valores

RER

Domostrar que u, os infinitesimal cuando n=» oo.
242. La función un toma los valores

fi
meme, ue, met

Demostrar que un es infinitesimal cuando n > oo.

213. Demostrar que y= 70 cuando 20, ¿Qué condi
oma a satisfacer z para so vorifique la desigualdad | y| <
Sito

214. Mostrar que la función y = Vz Ti —VZ tiendo a cero
pudo 2-00. ¿Cuál debe ser el valor de N para que y < e cuando
pe

215. Demostrar que si la fanción / (2) ti
2+ co, la función f (2).08 suscoptiblo do ser
do la suma f(z) =a +P (2), donde q (a)
2 >.

Presontar en forma de suma las siguientes funciones:

Der ra Ir

por límite a para
roventada en forma
infinitesimal para

Criterios de existencia del límite
246*, La función u, toma los valores
FRE s
A EE

Demostrar que u, tiendo a cierto límite cuando n— co.
217. La función ua toma los valores

et

Lid 1
seen hag E

Demostrat que un tiende a cierto límite cuando n -» oo.

218, Demostrar el teorema:

Si la diferencia entre dos funcionos es infinitesimal cuando la
variable independiente varía de manera exactamente igual, siendo
“una de estas funciones crecfonte y la otra decreciente, las dos tienden
a un 'mismo limite.

4 dd
wet, wett:

36. 5/3. Funaiones continuas, Eg

249. Sean dados dos números: up y Do (uo < »4). Los términos de
Jas sucesiones Un y Un son dados por las fórmulas:

w= ee, nette, ut, pt
ea general,

A | yy a Batt Brat

Partiendo del teorema expuesto en el ejercicio anterior, demos-
trar quo las dos sucesiones , yu, tienden aun mismo limite compren-
dido entre ue Y Un.

220. Dada la sucesión de números tty:

u=V5, =/8+,

$ 3. Funciones continuas

221. La función y está definida de la manera siguiente:

y=0 para <0;
yor para OS z<1;
V-—- 242-2 par 1 <2<3;
y=ó=2 pire 2>3.

&Ee esta función continua?

222. Los radios de las bases de tres cilindros superpuestos miden
3, 2 y 1 m, respectivamente, La altura de cada uno de los tres cilin-
dros es igual a 5 m. Expresar ol dren de la sección transversal del
cuerpo engendrado como función de la distancia que medi: ¡tro
la sección y la base inferior del cilindro que ocupa
cuerpo. ¿Será esta función continua? Construr su gráfica.

a

241, si 2<f;
al lan aes

¿Cómo debe sor olegido el número a para que la función f (2) sea
continua? (Construir su gráfica.)

—2senz, si ı<-z
Ka=j Asnz+B, si-f<ecti
+

cos 2, si 2>

37. se Cap. MH Limité. Contiwidad.

Elegir los múmeros À y B de tal modo que la función f (2) sea &onti-
mua, Construir su gráfica

225. ¿En qué puntos sufren discontinuidades las funciones y =
aly e y = Ep? Construir las gráficas do las dos. Expli-

cac In diferoncia en el comportamiento de estas funciones cerca de los
puntos de discontinuidad.
2

228. La función f(2) = =p noostá definida para x = 1. ¿Cuál

debe sor ol valor de /(1) para que la función completada con este
valor lleguo a sor continua para z = 1?

227. ¿Qué géneros do discontinuidad sufcen las funciones y =

SS 0 y = 22 para z=0? Mostrar el carácter de las gráficas
de estas funciones en el entorno dot punto z = 0.

228. Decir si es continua la función dada del modo siguiente:
y = pora z #40, y = 0 para x = 0. — Construir la gráfica de
esta función.

229. ¿Cuántos puntos de discontinuidad (y de qué género) tiene

la función y = ma? Construir su gráfica.

230, La función y=arctg no está dofinida en el punto x = 0.
¿Es posible completar la función f (2) en el punto z = 0 de tal modo
que logue a ser continua en este punto? Construir su gráfica,

231. Decir si es continua la función definida de la manera si-

guiento:
Hasen; pora 2240, f(0)=1.

Construir la gráfica de esta función.

282, Consteuir la gráfica do la función / (2) = zsen E. ¿Qué
valor debo tener la función / (0) para que la función f (x) sea conti;
mua por todas partes?

233. Demostrar que la función „= tiene discontinuidad

142%
de primer género en el punto z = 0. Construir, de modo esquemático,
la grática de esta función en ol entorno del punto x = 0. .
234. Analizar el carácter de la discontinuidad de la función
a
=? en el punto z = 1. ¿Se puede definir y, cuando z = 1,
de tal modo que la función llegue a ser continua para z = 1?

38. $3: Punclones continuas E

235. Analizar ol caráctor de discontinuidad de la función y=

==! en el punto z=0,
+
236. La función f (x) está definida del modo siguionte: f (x) =

we =
= (e 41)2°GA*9) para z 720 y $ (0) = 0. Domostrar quo en ol
intervalo —2<2<2 la función f(z) toma todos los valores, sin
excopción, comprendidos entre 7(—2) y f(2), y, sin embargo, es
discontinua (zen qué punto procisamente?). Construir su gráfico.

297. Devir si os continua la función y gr. Esclarocer
el carácter de su gráfica.

238. La función está dofinida del modo siguiente: si x os un nú
mero racional, f (z) = 0; si z es un número irracional, f (2) = z.
¿Para qué valor de x os continua esta función?

239. Decir si es continua la función y construir su gráfica.

Dust A.

{La función {x] es igual al número entero máximo no mayor que 7
(véase el ejercicio 59).]

240. Valiéndose de las propiedades de las funciones continuas
comprobar que la ecuación 2% — 8x = 1 tiene, por lo menos, una
raíz comprendida entre 1 y 2.

‘itm. Mostrar que: a) el polinomio de grado impar tiene, por lo
‘menos, una raíz real; b) el polinomio de grado par tieno, por lo me-
nos, dos raíces reales, si toma, al menos, un
contrario dol quo tieno el coeficiente de su término de grado m.
elevado.

242. Mostrar que la ecuación 2-2" = 1 tione, por lo menos, una
raíz positiva no mayor que 4

243. Mostrar que la ecuación x = a sonz +0, donde 0 < a <
<4, b> 0 tiene, por lo monos, una raíz positiva siendo no mayor
que b ta.

244°, Mostrar quo la oouación] + + no

donde a, >0, a, >0, a,>0 y 2, <%< hy, tiene dos raíces reales
comprendidas en los intervalos (Ay, A) y (Aay As).

39. Cap. U. Limite. Continuidad

$ 4. Operación de hallar

los límites. — -

Comparación de las magnitudes
infinitesimales

Funciones de argumento entero

En los ejercicios 255267 hallar los limites.

25. lim SEE 246. lim in E

Hl nn ET
ar. leon A nue

1008-3 AR
A TOOT 290. Mn ITE

Quita al
A 22 lim GE
oer
FF

255. 1m E
VA
256. lim PVR. 257. lim

eV EV eT la =

iat 4 espro
ma Ve MU o a MERE

253. Mm

Ed fi
Hatte
2m. munter.
tt
201. lim (142434. de
262, lim (tite 2)

200. Jim (tt mai),

200 tn (tree

40. $ 4. Oporación de hallar los límites st

265. Jim

tau 1
Art taa)

pi
28 ARE

Función de argumento continuo

En los ejercicios 268304 hallar los límites.
245 7

268. lim Sty.

270, Am ="

272. im PER,

a a=
eV
274, im EA.

Phen?
276, lim SST

278, [hr Tr] ©
279. ME

wat

4

E I

280,
281.
283.

282. lin EE.

284, lim EE

e a. Im (Era)
287. AS Je

288. lim (EE MME Ea. ba 100)!" »
me E

289. lim E 2.290. lim VE
ste Vars VAR

291. lim VE |

41. “2 Cap. H, Limite. Continuidad

200, im CELE ES 208. 16m VERE

+ in VERTER VIeS-VES
303*, Si =r + 304, la. = .

305. ¿De qué manera varían las raíces de la ecuación cundrada
azi + bx 4-0 = 0 cuando b y c conservan sus valores constantes
( #0) y la magnitud a tiendo a cero?
En los ojeccicios 306—378 hallar los límitos.
306, lim VIFI-VD. 807. VFrF-VET.
308. E WVÁFI—2%. 309. lim=(VFF1—2).
Por)
310, ds > VEFIEFI-2.
3. Im VAT VE RTS.
VETA

313. lim A LES EX

312,

314, Jim ne, 315. lim “A,
=: =

316. li 317. lim
Bar A7 Lin E

318. lim (n y m son números enteros positives),
Ex

nls femplos en que so presenta 2 = ck a» doben sr constdrados
separadamente fos dos do's => Fe Yen

42. $ 4. Operación. do hallar los Hitos 43

2emarcsen

319. lines. 320. lim Bases
824. limi. 322.

li LE 4.
ci ©
825, lim EASES 826.

=
14

827, (qx) 8.

ales,
Pr
it in Re

343, lim Wlet2n—2sen(ethtune |

m
20

244, lim EW Alerts,

mo

365, Mm MESVTERS, 946, m ios E,

AA m ur
847, Im VER E
=o ez

43. “

Cap. 11. Limite, Continvidad

348.

349,

351.

353.

355.
357.
359.
361.

370.

372.

374.

376.

io E
Jim 2 :

at
lo LEE a
sn Vi Y Tag ”

. lim DEZ

u Ver

ml lit

lin (144) 354. lim (144).

st

dim (SER). 0. ln (SEE i”
358. tim (FE)
360. im (14-57)
362, (er)

Tim (1-+sen jr, 866, lim + Var.
=o =

Vim Us) 366. tim Bieta be,
=, + =)
fe lln (ea) In z}}.

369,
Beh
378. \

fin a 375.

ES
[ime (e¥—4). 377. lim (chx—shz), 378. lim thz.

meo in

44. § 4 Opétaci6n do hallar los Menitos s5

Diversos limites
En los ejercicios 379-401 hallar los límites.
(arte ‘
370. tim ER. Considerar separidamenio “los casos en que

‘nes: 4) un número entero pósitivo, 2) un número entero negativo,
8) cero. à

380. dim REV FFT 2 va.

381. Min E ©.
der OO
383. lin EZ.

im Etsenz
385. Mim er

387. lim RUEDO Oso e+ thomas Nena

mo

388. lim 192 Zeontz nd Vaentz F6 sn 242).
+

380. lim

=
390°. lim (cos cos + -

A cos (1 — cos 2)
ee.

+)

391. lim # (1-04).

308%, Um (ata EE

304, im a (eig LE arte Er).

se Tg are ete cn
396, Lim NM 306. aim (+2) (n>0.
397. Im (cos 2%, 398. lim Beets,

39. lin (23) =~, € lim (ost send)”,

491. lim (os -+a send) *

45. “ Cap. 11. Limite. Continuidad

Comparación de magnitudes infinitesimales
402. La magnitud infinitesimal u, toma los valores
Wat met, met, med.

y la magnitud infinitesimal u, respectivamente

4
vs Dam Ey eee

Compara uy yey, ¿Cuál do as doses de orden infinitesimal superior?
La" función un, toma los valores

ym, n= vs:

und, me, Weiss

y la función v,, respectivamente

5 10
me, ee ms

Comparar estas dos magnitudes infinitesimales.
404. La magnitud infinitesimal u, toma los valores

y A ere, BE ie
y la magnitud infinitesimal v,, respectivamente
s 1 det
n=, HHS. WEP, mt.

Comprobar que u, y , son infinitesimales del mismo orden, pero
no equivalentes.

405. Las funciones y= {=F ey=1—Yz son infinitesim
Jes cuando z =» 1. ¿Cuál do las dos es de orden infinitesimal superior?

406. Dada la función y = 2°, mostrar que Ay y Az cuando Ar— 0
y Az 240, son infinitesimales del mismo orden.

Comprobar que la magnitud Ay es infinitesimal de orden superior
que Az cuando z = 0.

Bars aué valor dez son equivalentes los incrementos Ay y A?

+407. Comprobar que las magnitudes infinitesimales 1— x
y 1— ¥Zeon del mismo orden infinitesimal cuando z-> 1.
¿Son equivalentes?

408. Sea z +0. Entonces Va +2 — Va (a > 0) es una magni-
tud infinitesimal. Determinar su orden respecto a 2.

409. Definir el orden, respecto a z, de la función infinitesimal
para 20:

9241008 YA VA 3 DE.

+

46. $ 4: Operación do hallar los límites a

410. Demostrár quo los incrementos de las funciones à = a V3
yu = ba" para z> 0 y para" el incremento general Az—>0 son del
‘mismo orden infinitesimal. ¿Para qué valor de x son equivalentes
(a y b son distintas de cero)?

441. Mostrar quo cuando +4 las magnitudes
42 2 ya (1— Y 2), donde a m0 y
son del mismo orden infinitesimal
lentes?

2. Demostrar que las funciones sec 2 —tg 2 y n — 2z son
infinitesimales del mismo orden cuando 3 >> x/2. ¿Son equivalentes?

413, Demostrar que las magnitudes infinitesimales e
y son 32.— sen z son equivalentes cuando x

‘M4. Definir el orden de la función infi
cuando 20:

tesimal rospecto a =

DT EM 2) VIF I VE 8) Vi;
4 004; 5) In(+Vzsns) 6) Vite tes;
7) coz; 8) et—wsz; 9) cosz—j/ cosa;

10) sen(VTFa—1); 4) In(i+24)—2/ =,
12) aresen (VF 2),

Algunos problemas de geometría

445, Consideremos un triángulo equilätero de lado a. Sus tres
alturas sirven para engendrar un nuevo triángulo equilétero y así
apcesivomonte n veces, Hallar ol Iimite de la suma do las árens de to-
dos los triángulos cuando 2» oo.

416. Un circulo do radio R lleva inscrito un cuadrado; éste, lleva
inscrito un círculo el cual, a su vez, tiene inscrito un cuadrado, y así
sucesivamente n veces. Hallar el límite de la suma de las áreas de
todos los círculos y el de la suma de las áreas de todos los cuadrados
cuando n=» co

AT. Un triéngalo itecolos rectángulo cuya base
en 2n partes iguales Jleva inscrita una figura escalona
fig. 15). Demostrar que la diferencia entre el área del triángulo y la
figura escalonada os infinitesimal cuando n creco infinitamente.

418, Un triángulo isösceles rectángulo cuyo catoto es igual a a,

iene dividida su hipotenusa en n partes iguales. De los puntos de
división están trazadas rectas paralelas a los catetos resultando una
línea quebrada, AKLMNOPQRTB (véase la fig. 16), cuya longitud
es igual a 2a pora cualquier n. De ahí que el limite do su longitud es
igual a 2a. Pero, por otra parte, la línea quobrada va aproximándose

47. 48 Cap, I. Límite. Continuidad

infinitamento á la hipotenusa del triángulo cuando n crece infini
tamente. Por consiguiente, la longitud de In hipotenusa es i

a la suma de las longitudos de los catotos. Esto razonamiento encie-
sa un error. Hallarlo,

2

ar

aK e
Pig. ds Fig. 16

419. El segmento AB cuya longitud os a, está dividido en partes
iguales por n puntos, desde los cuales so han trazado rayos en ángulos

—— Je

F (vénso la fig. 17). Hallar el limite de la longitud de dicha línea

quebrada cuando n éroce infinitamente. Comparar con el resultado
del ejercicio anterior.

420. El sogmento AB cuya longitud es a está dividido en n partes
iguales. Los poqueños sogmentos resultantes sirven de cuerdas y sub-
tienden arcos de circunferencia, cada uno de los cuales es igual a zn
radian (vónse la fig. 18). Hallar el límite de la longitud de la lines
resultante cuando n— co. ¿Cómo cambiaría el.resultado si las'cuer-
das subtendieson una semicircunferoncia?. |

421. Una circunferencia cuyo radio es R está dividida por » pun
tos My, May. : à My on partes iguales. Cada uno-de los referidos
puntos sirvo para trazar dosdo él un arco do-circunferencia (cuyo
radio es de r) hasta que so corte con otros ateos trazados desde los
puntos vocinos (véase la fig. 19). Hallar ol limite de la longitud: de la
línea cerrada resultante cuando n croco infinitamente.

422, Dos círculos de radios R y r respectivamente (R-> 7), to-
can el eje OY en ol origen de coordenadas y están colocados a la dere-

48. $ 4. Operación do hallar los limitos 49

cha del ojo (véaso Ja fig. 20). ¿Do qué orden, respecto a x, son el sog-
‘mento infinitesimal MM” y el ángulo infinitesimal « cuando +

Fig. 19 Fig. 20

423. El segmento lineal OP
con el-punto P, que se halla fu
tangento PT a la circunferen

e el centro de una circunferencia
de aquélla, De ésto trazamos una
Del punto 7 bajemos una perpendi-
cular, TN, sobre la recta OP. EI punto: de intersección de la rocta
OP con la: circunferencia es A. Domostrar quo los, segmontos AP
y AN son infinitesimiales. equivalentes cuando P +4.

424. En los puntos extremos y medio del arco AB de una circun-
ferencia se han trazado las tangentes y los puntos A y B so han unido
‚por una cuorda. Domostrar que la razón de Ins áreas do dos triángulos
resultantes. tiende: a 4, disminuyendo infinitamente el arco AB.

Problemas de cálculo

425. Partiendo de la equivalóncia de las funciones VT+2—1
yz cuando 2=»0, coleular aproximadamente: 4) Y 105

2) yM; 3) V2; 4) Y 1632, 5) VO; 6) YOO.

426. Mostrar que las funciones [TEE — 1 y 2/n son infinite-
simales equivalentes euando 20. Valerse de ello para calcular
aproximadamente las raíces: 1) 9/1047; 2) 8144; 3) / 1,1:
4) G/ 1080. Hallar:el valor de las referidas raíces en. ln tabla Joga-
ritmica, Comparar los resultados. 0 21

427. Valiéndose de la equivalencia do In (1 + x), y z cuando
x—+0, calcular aproximadamento los logaritmos naturales (neperia-
nos) de los siguientes números: 4,01; 4,02; 1,1; 1,2. Hallae los loga-
ritmos decinialos de los mismos números y comparárlos con los datos
presentados en la tabla.

A

49. Capítulo III

Derivada y diferencial.
Cálculo diferencial.

$ 1. Derivada. Velocidad
de variación de la función

Algunos problemas de física

428, Dada la ecuación del movimiento rectilíneo del punto:
#= 5 +6,

hallar la velocidad media del movimiento: a) en los primeros 6 se-
gundos, b) en el intervalo de tiempo transcurrido entro el final del
tercor segundo hasta el final del sexto segundo.

429, El punto M va alejándose del punto inmóvil A de modo que
la distancia AM aumenta siendo proporcional al cuadrado de tiem-
po. Al transcurrir 2 min desde que comenzó el movimiento, la dis-
tancia AM era igual a 12m. Hallar a velocidad media del movimien-
to: a) en los primeros 5 min; b) en el intervalo de tiempo desde
¿= 4 min hasta £ = 7 min; c) en el intervalo detiempo desde? = £,
hasta t = to

430. Dada la ecuación del movimiento rectilineo:

so,

hallar la velocidad medía del movimiento on el intervalo de tiempo
desde 1 = 4 hasta t = 4 + At, poniendo At =.2; 1; 0,1; 0,03.

431, Un cuerpo efectúa lá caída libre de acuerdo con la ley".
A, dondo (2 9,80 m/s?) 05 la aceleración de la gravedad: He-
Marla velocidad media del movimiento of el intervalo de tiempo desde
te= 5 s hasta (£ + At)s, poniendo At = 15;-0,1s; 0,05's; ‘0,0043;
hallar la velocidad del cuerpo en caída libre al final dol quinto y del
décimo segundos. Obtener la fórmula de la velocidad del cuerpo en
caída libre para cualquier momento de tiempo 1.

432, Consideremos una bárra delgada de estructura heterogénea
AB cuya longitud = 20 cm. La maëa do un segmento AM aumenta
proporcionalmente al cuadrado de la distancia entre el ‘punto 4

50. $ 4, Derivada, Velocidad de variación dé la función st

y el punto A, siendo Ja masa del segmento AM = 2 cm igual a 8 g.
Hallar: a) lu densidad modia linoal dol sogmento AM = 2 cm de Ja
barra; b) de toda la barra; c) la densidad de la barra en el punto M.

433, La masa (en g) de una barca delgada do estructura hetorogé-
nea AB, que mide 30 cm, está distribuida de acuordo con la ley m =
== 3 P +51, donde Les la longitud de un segmento de la barra modi-
da a partir del punto 4. Hellar: 1) la densidad media Jineal de la
barra; 2) la densidad lineal: a) en el punto que dista 1 == 5 em del pun-
to A; b) en el mismo punto: A; c):en el extremo de la barra;

434, La fórmula Q = £ +0,00002 +-0,0000003 £* establece
la cantidad de calor Q (en calorías) necesaria para que la tompe-
otura de 1:g de agua pase de O a-1*C. Calcular la capacidad ca-
lorifica del agua para = 30°, t= 100°.

435%. Le velocidad angular do la rotación uniforme es definida
como la razón dol ángulo de giro respecto al correspondiente interva-
lo de tiempo. Dar la definición do la velocidad angular de la rota
ción no uniforme.

496. Si la desintegración radiactiva so efoctuaso uniformemente,
doberíamos comprender hajo la velocidad de desintegración la canti-
dad de sustancia desintegrada en la unidad de tiempo. Sin embargo,
en roalidad dicho proceso se verifica de modo no uniforme. Dar la
definición de la velocidad de desintegración radíactiva,

437. La intensidad de la corriente continua es definida como la
cantidad de electricidad quo pasa por la sección transversal del con-
ductor en la unidad de tiempo. Dar la definición do la intonsidad de
la corriento alterna,

438. Se llama coeficiente térmico de dilatación lineal de una
barra al incremento de una, unidad de su longitud al aumentar la
temperatura en 1°C, suponiendo la expansión térmica uniforme.
Pero, en realidad, el proceso se efectúa do modo no uniform. Son
1 = (0, donde L'es la longitud de la barre, £, la temperatura. Dar
la definición del cooficiente de dilatación lineal.

439. Se llama coeficiente de tracción del muelle al incremento
de unidad de la longitud del muelle bajo la acción de una fuerza uni-
taria ejercida sobre cada centímetro cuadrado de la sección trans-
versal del mismo. La tricción se supone proporci
«jorcido (ley de Hook). Dar la definición del coef
ción para él uso de desviación de ta ley do. Hooke. (Sean lla long
tud del muelle, S, el área de la sección transversal, P, la fuerza de
tracción, y 1 = 9 (P).)

Función derivada

440. Hallar el incremento de la función y = # en el punto
= 2, poniendo el inoremento Az de la variable independionte
igual a: 1) 2; 2) 4; 3) 0,5; 4) 0,1.

“e

51. 2 Cap. HI Dorivada y Diferencial

441. Hallar la razón ¿2 para las siguientes funciones:
1) y=24-241 para rat; Az=0,4;
2) yat para 22; Ae =0,01;
3) y= VE para zh; Ar=0,4.

Mostrar que cuando Ar—-0, el Jímite de la referida razón en el
4

‘primer aso es igual a 4, en el segundo, —-f, en el tercero,

442, Dada la función y = 2%, hallar los valores aproximados de
Ja derivada en el punto z = 3, poniendo sucesivamente Az igual a:
a) 0,5; b) 0,4; e) 0,04; d) 0,001.

448. f(z) =a%. Haller FO; Pd 1 (-4)-

MA. f(2)—= 2%, Hallor fd; FO: VD: (4).

445. } (2) = 2%. ¿En qué punto f (2) = f' (2)?

446. Comprobar la siguiente asereiön: para la función f (2) = 2*
és válido la relación /” (a+b) = f' (a) +1 0).

¿Es válida esta identidad para la función f (2) = =?

447. Hallar la derivada de la función y = sen x para x

448. Hallar la derivada de la función y = lg z para. x 4

449. Hallar la derivada de la función y = 10° para x
450. Es sabido que la función / (0)=0 y que existe el límite de

In esprosión LE para #0. Demostrar que este limite es igual
af ©) ” r

451. Demostrar el sigülepte teorema: si f(2)y @ (a) son iguales
4 deto, cuando x = 0 [f (0) = 0, @ (0) = 01 y tienen las deriyadas,
para = = 0, siendo, q (0) 74 0, se tiene

sin Le 2.0
Yim gar TO

-452 Domöstrar 10 siguiente: si f(z) tiené la derivada cuando
ce ca; he tiene > :
Kin la „af (a).

453, Demostrar que la derivada de una función par es una función
L

4 Ha ‘thientrds.que la derivada,de una función impar es, una “fun
‘eid par.

52. § 2. Diferenciación do las funciones ES

Interpretación: geométrica: de la derivada-

454. Hallar el coeficiente-angular dé la tangente a la parábola
y = 2: 1) en el origen de coordenadas; 2) en el punto (3; 9); 3) en
el punto (—2; 4),:4) en los puntos de intersección de la tangente con
la recta y = 32 —2.

455. ¿En qué puntos es igual a 3 el coeficiente angular do la tan-
gente a Ja parábola cúbica y = 2°?

456. ¿En qué punto la tangente a la parábola y = 2* 1) es pata-
lola al eje Ox; 2) forma un ángulo de 45° con el ejo Or?

457. Una tangente a la parábola cúbica y = 2? ¿puedo formar
un ángulo obtuso con el eje O2?

458. ¿Qué ángulos forman al cortarse la parábola y = 2° y la
recta Sz y —2 = 02

459. ¿Qué ángulos foro
ema

460. ¿Qué ángulo forman al cortarse la hipérbola y = 1/z y la
parábola y = Va

461. Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la curva
y = 2 en el punto cuya abscisa es 2. Hallar la subtangonte y la
subnormal,

462. ¿Para qué valor de la variable independiente son paralelas
los tangentes a las curvas y =2% 0 y = 2%

463. ¿En qué punto la tangente a la parábola y = 2? 1) es para-
lola a La secta y = Az — 5; 2) es pecpendicular a la recta 22 — by +
++ 5 = 0; 3) forma un ángulo de 45° con la recta Az —y +4 == 0?

464. Demostrar que la subtangente correspondiente a cualquier
punto de la parábola y = az? es igual a la mitad de la abscisa dol
punto de tangencia. Valiéndose de esta circunstancia, formular el
método para trazar la tangente u la parábola en el punto dado.

465. Demostrar que la normal a la parábola en cualquier punto
que pertenezca a ésta desempeña la función de bisectriz del ángulo
formado entre el radio focal del punto y la recta, paralela al ojo de
la parábola y que pasa por el punto dado.

m al cortarse las paribolas y = 2

$ 2. Diferenciación de las
funciones

Funciones exponenctales

En los ejercicios de este párrafo z, y, 2, 1, u, v, s son variables
independientes, a, b, €, d, m, n, p, q son constantes.
466. Derivar la Sanción:

53. El Cap. TI. Dorivada y Diferencial

Bert; 2) A 08404:
Dattbete 4) VIA VE, 5) 2/4 VS
Ae ados D 2424545;

mV . mötnip
Sr VE, ee,
10) 0,16 a td 11) (0,55% 12) VE@— VEN;

13) WHEN; 14) 05—3(0—2)%
19 ae: 10 (22).
467. f(a)=32—2V 7. Holler: F(t); FD; 1(0 10 Had;

Fa).

468. 1, = EFT. Halter: 1-05 1-0: rer (t)-
469. pon eel. Hallar: (4).
470. f (x) = 4 —52 + 22° — 25. Mostrar que

r@=f (a.
En los ejercicios 471489 derivar las funciones que se indican.
ATA, 1) yo (83243) (044221)
E]
3340 (771):
ou (5-5) (47/2428
8) ya(V E429) 14 VF
Ye
Di VD MA VD M4 V 3).

472. mi 478. va:
474. 8 = u 45. un Poe.
a. y= SE. Am. sept) (1-2).

478, wa Ey. 419. y= ZS.

54. $2: Diferenciación do las funcionos 55

480.
482.
484.

486.

488.

490. Y.
491.

492.
493.
496.
495.
496.
497.

En los ej

498.
4

va: 481: a
ie
>: va" 483. am
ah. re
Stent $
RN E E

Casal
vie 489. y=.
{@)=@+2+1)(2—2+1); hallar f' (0) y hn
Fe) rasan: ve FO); pany y FP)

Pot = 5 hallar P (0) y F'(—1).
= +E; hallar #0) y 90).
y()=(1+40) (5); hallar y (1) y v(0).
Po gs; hallar p (2) y 6° (0).

9@)= 455; hablar 90.

2()=(VP+1)s; hallar 2'(0).

os 498-518 derivar Ias funciones que se indican
1) (06-06-00 2 (0415 3 (2%
+29 5) (1 — 2M; 6) (Ga + at — 4); 7) (0 a);
9) en

ES

1) y=

12) y= OP A+ 62+ y

2

500, Ep.

55. Cap. IIL, Derivada y Diferencial

2
Sil. === um
ware ur

A s_#

ty
2
514. u (ve) = (0-042), hallar wu’ (1).

515. y()=Y/ EE; hallar y (2).

516. y(2)=Y/ => hallar y (0).
Functones trigonométricas

En los ejercicios 517—546 derivar las funciones que se indican.

517. y=sonz-+cosz-

518. ver 519, vo.

520, p= q sen p+ cos.

sat. ME. 522,

39. ver 524.

525. y=costz. 526.

527. yawsa—teosz. 528.

529, y=ligrigara 580. prets tps.
531. y= sec? x + cosec?x. 532. y sen Sz.

533. y=acos +. 34. y =3sen (8x +5).
535. y=t EE. 536. y=V/TF2WZ.
587, yosont. "0 538, yes sen (sena).
539, y=cosáz. AE
541. ya son IFE. 542. y=0ag YIrz.
543, y= (sont et. su. y=Y/1+16(2+2)-
5 yet LUE & 546. y=son? (cos 32).

56. $2. Diforenciación-de las funciones E]

547. Deducir Jas fórmulas:
Gen tx cos) = n sent! cos (n +1);
(son "x sen nr)" = n sen" z sen (n + 4) x;
(cos" xsen na)’ == n cogi x cos (n + 4) 25
(eos? z cos nz)! = —n cos"! z son (n+) 2.

Pureiones trigonométricas inversas
En los ejercicios 548—572 dorivar las funciones que so indican.

548. y=zarcsen a, 549. y= SRE
550. y= (aresen JA. 551. yozarcson + YET.
882. Ve 553. y=zsenrarctgr.

555. y=V Z-aretgz.

554. y=
556. y = (arceos.2—aresen 2)".
557. yæaresecz,

559.

561. y=aresen (23).

563. y—arelg 2. 364. y=arcsou À.
565. y= aresen (sen 2). 566. y= arctg?
E yssareson VIE.

569. y=4 f arcson VAE.

570. y==aresen

Taco sen *

E y= arte (VIF).

Funciones logaritmicas

En los ojervicios 573—597 derivar las funciones que se indican.
573. y = 2? log 574. y mln x.

575. y=xlgz. 576. y=V Ing.
578. y=zeenzinz.

57. Cap. 111, Derivada y Diforoneial

589,
5.
593.
595.

59. y= / Inson

y=intgs.
y=intsens.
y=(1+lnsen a)".
y=Inarctg VTT.

Eu
ES

580.

. y= VIF oes,
y= In(@—4z).

. y= logs (1).

). y= Inarecos 2x,

. y =orctg [In (az +b)].
y logs [logs (logs 2)].
. y =arcsent In (a? + 25)].

Funciones exponenciales

En Jos ejercicios 598833 derivar las funciones que se indican.

3598, y=2". 599. y=10" 600. yet.

SOL. y. BOR pm tO" 608. ym ze,

0. y= E. yet, 606. yme"cosz.

607. woe. 608, y EZ, 609. y=2Mx

610, yd. sl. ye VIE.

G12. y= (222243). 613. ya gts.

616 ye i. 615. y= pe.

616. yaze*(coszt-sonz). BIT. yme”.

618, y= tor, 619, ye Va,

620. 62. y= ans,

622. 623. Retener,

624. y=". 625. y= VITE,

626. y= sen (e+5%-2). O27. yas Unes

628, y VITRES, 629. y=Insen EE.
PS

630. y==ae- Pé, 631.

632. y = Ae-M* sen (oz + a). 633. y = az".

58. $ 2: Diforonciación de las funciones EJ

Funciones hiperbólicas »
En los ejercicios 634—649 derivar las funciones que se indican.
634. y=z. > 635. y=inchz.
636. y=arotg (th 2). By à
638. y=sh?z oh x. 639. y=ch (sh).
640, y=V cha. Bal. yet,
642. y=th (nz). 643, yuzsh2—chz,

646, y TE. 645.
640, yo VE.

EVE jy LV Ems
the in VERS

648. y= tch2z+VZsh2z. 849. y=ate cosecha,

1,2 Lies
cl ta elt D

Derivación logarítmica
En los ejercicios 650—666 derivar las funciones que se indican
aplicando la rogla de la derivación logarítmica,
650, y = 2", 651 y mo”.
652. y = (senx*). 653. y = (In 2).
654. y = (x + 1)**. 655. y = 2e sen 22.
BVL, 7 pose.

MEN»
(=

658. y 659. y-V 2mzY1=e.

660. y Y EEE. ta qa

+)
665. ym (a8 1%.

Funciones diversas
En los ejercicios 667—770 derivar las funciones que se indican.
667. y= (1472) 668. y=atg(Z+5).

669. y=Y TV pe 670. y=aretg (3242).

59. Cap. 11, Derivada y Diferoncial

en.
673.

675.

679.
681.

y=lg(e—cos2)
ved +

y=son E son 2x.

yap VFB
v= (VE+ 7)"

yn es (Baty

op

685, y= sent Zug o.

687. yon(24 VATE). 688.

689. y=VIFigerigs. 69.

691. y= Farcige + Faro Ez

692. y =aresen (n sen 2).

693. y= arcsen Y Senz. 694.
696.
698.
700.
702.

703, y= zaresen (In 2). 704.

cosz VT sen.
706, y= 0,4 (cos Et — —sen 0,82)",
707. y=z-10VE. 708.
1

709, yelnareig Ez 710.

Uy 142 V 243.0. 712.

73. 714.

fi
encore

672.
675.

676.

15

ex 3 cost x — 088 2.
1
y=

yor son eco

. yuer@inz.

zit
=

year +

yaa VE.
y=c eine.

y= logs (a — sen 2).

y-in n VER &
mE
wel te

ñ
q
vet:
y=2V14V2.

y=Porago.

60. $ 2: Diferenciación do las fanciónes 6

Insene

TS. ven: 716. -y=arcson #+-VI—2.
LUE ES 718, :

71. y= iz 720.

TEL. y=sont x-sen 2%. 722.

723.

725.
726.

727,
729.

sts , cata
Trage Fire

782, yin VE) ober

783, ysxe™(asenz—cosa). 734, yazel-ımz,

73. y=

735. y mr: 736. y=e* (sen 3z—3cos 3x).
a
“Y erg

739. y=2arcsen. vi —VIFRA.

740. e ON

. yttentgs —— —

744 E Me

743. y= e* son x cos? x. Tb. y= 9467 D.

745. ya ln (de HH VPP FI).

TAG. ye VET, 7. y=

a
748. y= In tg F cu ln (14 sen 2) — 2.

61. 2 Cap, JUL. Dorivada y Diferencial

749. y 2 in (22—-3V TER) — Garon dr.

750. y= St in TR +arcigs.

Tt. y= LG 2)V TWF +9 arcsen +

752. y=ln(zs0uzV 1228). 753. y= zViFeoonz.

754. ve ES, 755. y= (Ha.

amet fic

756. y=

Ve

140
757. nat tae ton = Fr
3

158. y= EEE, 159, yo =) eus

me Teens =

760. AS ate 4 (VERE)
764. y==(aresen aÿ— 224 2VT— 2 aresen z,

762, yx In cos arctg

763.
764.
DEV
766. ym in EET ae 42e TE.
766. y=(g22)""*. 767. Vi =

768, y=In Veit Hr dr oc Be 25).

769. y=arccos TT.
Ce VE

1, er

we
1A. Demostrar que la función en Ts satisiace la relación
ay ti=e’. 4 Gal: $

62. $2, Difereuciación de Jas funciones ss

772. Demostrar que la función
ca

satisface la relación 2y == + In y".
773. Demostrar que la función y= satitaco la rola
ción (1) y 2y=1.
774%. Caleillar las simas
a pps e a;
D24+2304 34 Tt n(n A

Funciones inversas

775. Supongamos que la regla para derivar Ja función potencial
fue establecida sólo para un exponente entero positivo. Deducir la
formula para derivar la raft, aplicando la regla para derivar la fun-
ción inversa.

776. = em; hallar la expresión para SE mediante y, median-
wz

777. t=2— 358%; expresar SE mediante s.

P Lin EE én du. de
778. u=4In FE2; comprobar la rolación 24.24

779. Teniendo en cuenta que las funciones arcsen Vz y son? z son
recíprocamente inversas y que (sen ? x)" = sen2z, hallar (arcsen V3).

780. Designemos la función, inversa a la función potencial expo-
nencial y = 2%, por el símbolo a (2), es decir, supongamos que de
la Fe dedo = = oy). Mollr la fórmula pora la deivndo de

función y = a (2).

781. Las funciones que son inversas a las funciones hipebólicas
son designadas por los símbolos Arsh x, Arch 2, Arth z. Haller las
derivadas de estas funciones.

782, ste; hallar Le.

783. y= 4Z5.. Expresar LE mediante 2, mediante y. Mostrar
VE a

que es válida la rel
784, ¿=pP—4y+1. Hallar 2,

¡ón A. 4
CAT

785. t=arcsen?". Hallar la expresión para + mediante s, mo-
dante La

63. a Cap. HT. Doriveda y Diferencial

786. Comprobor la validez de la relación 42-524, si ze y
se relacionan por medio de lo dependencia:

Dutra thy y= 2%

3) y = InG@? — 1).

Funciones dadas en forma implicita

787. Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los
dos miembros de la igualdad sen x == 1 — cos? z Son idénticamente
iguales entre sí.
783. Aplicando la derivación mostrar que los derivadas de los
dos miembros de la igualdad
ee
son idénticamento iguales entre sí.
789. ¿A qué es igual el coefieionte angular de la tangente a la
elipse +E = 1 en el punto (1, VD}
790. ¿A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la
hipórbola ay = a (a = 0) en ol punto (a, 1)?
TIL. ¿A qué os igual el coeficiente angulor de la tangente a la
circunferencia (2 — 1) + (y + 3)? = 47 en el punto (2, 1)?
En los ejercicios 792—812 hallar las derivadas de las funciones
y dadas en forma implícita.
m. riet. 708 ma
7%. 2 + y — 8 ay = 0. 795. y? cosr = af sen Bz,
Ty + 2az = 0, 797. Pay + D = 0.
Zus, 700, 2 + arty + bay + v= 0.
mn (cy) Ecos (zy) = tg (e + y). 801. 2° Y = 2,
802. 2y ln y =x, 803. 2 —y — areson 2 —aresen Y.
= Ye. 805, y = cos (2 + y).
202 2
806. cos(zy)=2. 807. gia
808. y= 1 + xe.
809. sen y — cos y + cos 2y = 0.
Ts
810. 4 = ees:
81. y son x —cos (2 —y)
BIZ y > ang y
813. Mostrar que la” función y° définida “por la ecuación
2y—ln y =A, satisface también la relación

vH.

64. _$ B Diforegélación do lás füncloües, ss

Aplicaciones de la, derivada

814. En la parábola y == 2*.se han marcado dos puntos cuyas
abscisas son z, = A, z, = 3. Por estos puntos pasa la secante. ¿En
qué punto de la parábola la tangente a ésta es paralela la secanto
trazada? sere

S815, Una cuerda ent trazada de manera que pasa poral foro de
la parábola y es perpendicular al eje de ésta. Por Jos puntos do inter-
sección, de la cuerda y-1a,parábola pasan: tangentes. Demostrar que
éstas: se:córtan en. ángulo recto.

816. Escribir la ecuación de la tangente y do la normal a la hi-
pérbola y = 1/z en el punto cuya absoisa es 2 = —1/2, Hallar la
subfangente y la subnormal,

817. Mostrar que el segmento de la tangente a la hipérbole y =
=2 comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos

partes iguales por el. punto de contacto,

818. Mostrar que respecto a la hipérbola zy = a el área del tri-
ángulo formado por cualquier. ana y los ejes de coordenadas es
igual al cuadrado del semieje de la hipérbola, .

$19. Un punto móvil se desplaza sobre una recta de modo que
su distancia s del punto inicial al cabo de ¢ es igual a =P
— 48 + te,

a) ¿En qué momentos se encontró en el punto inicial el punto
referido? b) ¿En qué momentos fue igual 'a cero su velocidad?

820. Un cuerpo cuya masa es de 3 kg efectúa movimiento rectilí-
neo de acuedro con la ley a

endtete,
s viene expresada en Centímotros, £, en segundos.. Detorminar la
enorgía cinética (2%): del cuerpo al cabo de 5: al iniciar el movie

El ángulo o do gto do una polea ón función del tiempo +
;xpresado por la función a = # + 34 —5, Hallar la veloci-
dad angular para £ = 5 3.
822. Una ruoda gita de modo quo el ángulo de giro es proporcio-
nal al cuadrado de tiempo. La primera vuelta ha.sido realizada en 83,
Hallar la velocidad angular @ al cabo de 325 al comanzar el movi:
miento. i 3
823. El ángulo 9, que se forma al dar,una vuelta una rueda, al
cabo de £ segundos, es igual a @ = a — Bt + e, donde a, b, ¢ son
constantes positivas.-Hallar la velocidad angplar w de la rotación
de In rueda. ¿En qué momento es igual a ero Ja velocidad angi
é 3

sone

65. ‚Cap: I. Dorivada y Diferencial

824. La cantidad de electricidad que pasa por un conductor a par-
‘tir del momento de tiempo t = 0, se calcula con la férmula siguiente

Q = 2 +32 +1 (culombios).

Hallar la intensidad de corriente al final del quinto segundo.

825. En la linea y = 2* (z — 2} hallar los puntos en los cuales
las tangentes sean paralelas al eje de abscisas.

826. Mostrar que la linea ÿ-= 2° + Gr — 12 en todos sus puntos
está inclinada hacia el eje Oz, formändose entre ellos un ángulo agudo

827. ¿En qué puntos de la línea y = 2°+ 2 —2 la tangente
ac olla es paralola a la recta: y = áz —4?

828. Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y = x —
en los puntos de su intersección con el oje de abscisas.

829. Formar la ecuación de la tangente a la línea y = 2° + 32* —
—5, perpendicular a la recta 2x —6y + 1 = 0.

En los ejercicios 830-833 formar las ecuaciones de la tangente:
y de la normal a las líneas que se indican.

830. y =senzen el punto M (ry, yx).

831. y=Inzen el punto M (to. Yo).

832. da en el punto cuya abscisa es t=

833, jag; (cisoide) en el punto M (zo Yo)»

834. Mostrar que la subtangente a una parábola de n-ésimo orden:
y ==" es igual a 4 parte de la abscisa del punto de contacto.

Indicar el modo de construir la tangente a la línea y = a".

835. Hallar las subtangentes y las subnormales a la línea y = 2°,
y? = 2, cyt = 1. Indicar el modo de construir las tangentes a las
líneas indicadas.

836. Formar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la
parábola 2° = 4 ay en su punto (zo, Yo). Mostrar que la tangente en
el punto cuya, abscisa es zy =, 2am llene la sigujente ecuacién 2 =
shame. 3 =

837. La cuerda de la parábola y = 2* — 22.4 5 une los püntos
cuyas abscisas son z, = 1, z, = 3, Formar la ecuación de Ja tangente,
a la parábola paralela a la cuerda. i

838, Formar la ecuación de la normal a la lines y= +?
en ol punto cuya absción es 2=3. ,

839,. Formar la ecuaciôn de lx normal ata línea y= —Vz +2.
en el punto de su intersección, con la, Bíscctriz. del primer ángulo,
coordenado.

66. $ 2: Difeféticiacién de las'fúnciones a

840. Format la’ ect

¡ón de la normal a la parábola y «= 2* —
—62 + 6 perpendicular a

recta: que une el. origen de coordentdas,
con el vértico de la: parábol

? 841. Mostrar que las normales a la línea y = 2* — 244, traza-
das on los puntos cuyas abscisas son 2, = 0, 2, = —1, za = 5/2 se
cortan en un solo punto.

842. En los puntos de intersección de la recta x —y + 1 = 0
y le parábola y = 2! — 47 +5 están trazados los normales a la

rébola.
Planet éron dal teikigälo engendrado por las normales y la
cuerda que subtiende los rel feridos puntos de intersecciôn.

843. Mostrar que las tangentes a la hipérbola y = 2=4 en los
puntos de su intersección con los ejes de coordenadas son paralelas
entre si. te .

844. Trazar la tangente a la hipórbola y = Ef de modo que
atraviese el origen de coordenadas.

845. En la línea y= psy hallar el punto enel cual la tangente

sea paralela al eje de abscisas.
846. Hallar la ecuación de la tangente a la línea

2 (+0) = dt (en)
en el origen de coordenadas.

847. Demostrar que lus tangentes a la línea y = EE trazadas
en los puntos en los cuales y = 1, se cortan en el origen de coordena-
das.

848. Trazar la normal'a la línea y = ln z que see paralela a la:
recta 21 —24+3=0, ae >

849. Hallar la distancia quo media entre el origen de coordenadas
y la normal a la linea y ==e* + 2°, trazada en el punto z == 0,

850. Construir la gráfica de la función y =sen (2z—z/3) y hallar
el punto de intersección de las tangontes a la gráfica, trazadas en
los puntos cuyas abseisas son xy = 0 y 2 = 5/12.

1. Mostrar que la subtangente a la línea y = ae (donde
ay b son-constantes) tiene longitud constante en todos los puntos,

852. Mostrar que la subnormal a la línea y = z In (cz) (donde c es
cualquier constante) en cualquier punto de la linea referida es la cuar-
ta proporcional a la abscisu, a la ordenada y a la suma de laabscisn,
y de la ordenada del punto referido, si

853. Mostrar que cualquier tangente a la línea »

ee

67. 8 Cup. III. Derivada y Diferoncial

so éortaôn el ejo do ordenadas en un punto equidistante entro ol
punto jd0jeontacto y el origen de, coordenadas.

854. Mostrar que la tangente a la elipss + ¿=1 on el
punto Mio ya) ti

ol sigaionte ecuación HE HM.
“7 855." Mostrar quo la tangente a la bipérbola F—L=1 on ol
punto. Ms, yo) tiene le siguiente ecuación Fi.

856. Demostrar que la norsial a la elipse en cualquier punto quo
le pertenezcafdivide en dos el ángulo entre los radios focales de este

nd

Lu

Fig. 4

punto (véase la fig. 21). Deducir el procedimiento para construir la
tangente y la normal a Ja elipse.

857. Forinär las éouaciones de las tangentes a Ja hipérbola & —
—# = 1 que sean perpendiculares à Ja recta 2 + 4y —3 = 0.

858. Una recta pasa por ol origen de coordenadas y es. paralela
a la tangente trazada a una curva en un punto cualquiera M de la
misma. Hallar el lugar geométrico P de los puntos de intersección:
de la recta reforida con una recta que sca paralela al eje de ordenadas
3 que paso por el punto M.

Hallar alas logares geométricos para a) la parábola y? = 29%
by la logarítmica y = logo, c) la circunferencia-2! + y* = a,
4) la tractriz

VTA EE,

68. $2 Diferaóciación do las tuncionos Cy
En los ejercicios. 859—864-hallar los ángulos quese forinan al
cortarse las líneas que se indican,
859, 1) u eye,
= (22) 6 yor ate.
860, 1) 2%-4y2=8 0 F=22,
2) + pret y + +20.
te.
862. += tos e Pape.
868. 28 day oy mas.
864. y=sns e y = cos2(0<z <n).
865. Formar la ecuación de la tangento y
HH

on el punto cuya abscisa es a.
866. Demostrar que la suma de los sente toemsdos en los

normal a Ja línea

de de orlonedys por la tangente a la curva a + ‘i “a es igual
dos, sus puntos. $ a

867. Mostrar'ie el segmento de la tangente a la sstroide ay

ty = di limitado por los ejes de coordinadas tiene longitud
constanté & igual a a.
868. Demostrar que el segmento de la tangente a la trectriz

E var

fee
limitado por los ejes do ordenadas y el punto de contacto, tiene

Jongitud- constante. : 6
‚SD. Mostrar que para cualquier punto M (cy y) de la hipäibls
equilétora & ue =a" ol segmento do la normal ‘desde el punto M
asta of punto da intersección con ole de abcias es igual al radio
polar del punto

870. Mostrar que el segmento cortado en el eje de abscisas por la
tangente en un punto cualquiera de la curva Eh = 4, es propor

cional al cubo de Ja abscisa del punto de contacto.”
„871. Demostrar que la ordenada de cualquier punto, de-la lnea
‘224? — zi = € (donde e es una constante).es una media Proporcional

69. qe (Cip. II Dorivada y Diferencial

‚entre la abscisa y la diferencia entre la abscisa y la subnormal ttaza-
da a la línea en el mismo punto. 5

872, Dadas las olipses 7 + = 1 cuyo eje 2a.es común; mien

tras que los ejes 2 son diferentes (véase la fig. 22), demostrar que las
Y
7] +

Rig. 22
tangentes trazadas en los puntos cuyas abscisas son las mismas, se
“cortan en un mismo punto que pertenece al eje de abseisas. Valiéndo-
se de ollo, señalar un procedimiento sencillo para construir la
tangento a la elipse
873. Mostrar que la línea y
sen mz toca cada una de las lí
y= 2%, y = —e* on todos los pun-
tos que son comunes para ellas.
874. Para construir la tangente a
la catenaria y =ach-] se procede
de la manera siguiente: en la ordena-
da MN del punto M, que sirve de
diámetro, se traza una semicirounfo-
rrencia (véase la fig. 23) y se marca la
cuerda: NP = a; la recta MP será la
Fig. B tangento buséada.. Demostrarlo.

Derivación. gráfica

875. Al pasar la corrionto eléétrica por el devanadó del electro-
imán de un motor ha sido medida la ‘temperatura, lo cual ha dado
‘los siguientes resultados: .

70. $ 8. Diferoncial..Diforenciabilidad de la función it

Tiempo (ou mia). un.
| Temperatura 6 °C

Tiempo + (on min)... + +
Temperaturt 8°C u... à

.. Coïstruir una gráfica aproximada de la dependencia continua
"de la temperatura en función del tiempo. Después de haber efectuado
la derivación gráfica, construir la gráfica que inuestro a qué veloci-
dad varía la temperatura en función del tiempo.

902004 ang Je qus
T
# 5
|

Fig. A

24 presenta la curva de la subida que efectún la väl-
vula de admisión del cilindro de una máquina de vapor (de baja
presión). Construir la curva de velocidad aplicando la derivación
gráfica.

$ 3. Diferencial.
Diferenciabilidad de la función
Diferencial

877. Hallar el incremento de la función y = x* correspondiente
incremento Az do la variable indepondiente. Calcular Ay, st z = 1
‘Az = 0,4; 0,01; ¿Cuál sorá el error (absoluto y relativo) del valor
‘Ay, si se limita al término que contieno sólo el primer grado de Az?
878. Hallar el incremento Av del volumen v de una esfera al
aumentar el radio R =2en AR. Calcular Av, si AR = 0,5; 0,4; 0,04.
¿Cuál será el error en el valor de Av, sise limita al término que contie-
ho sólo el primer grado de AR?
879. Dada la función y = 2° + 2x, hallar el valor del incremen-
principal que corresponden a la variación de

24.

71. 2 Cap. I. Bevivada y Dire

880, ¿Qué incresiento recibe" la función ÿe 38 —z al pasar el
| valor de la variable independiente de z,= 1 az = 1,02? ¿Cuál es bl
{valor de Ja parte línea) principal correspondiente? Halle la razón
entre los valores, segundo y primer

881, Dados la finción y = 7 (2 y ol incremento Az = 012 da
jun punto z, hällar lu derivadaen el punto z, tomando en considers
¡ción que la parto principal correspondiente del incrémento de la fun-
ción resultó. iguala 0,8... !

882. Son dada la func jad, a molido que cn eu punto
al incremonto de la variable independiente Az = Be a
la principal del inéremento de là función “df (2) = — 0,8.

are valor iicial de la variable independiente. 4

883. Hallar el incromonto y la diferencial de la función y = 2°
—z para z==10 y Az=0,1. Calcular los errores absoluto y relativo
que se obtienen al sustituir el incremento por la diferencial. Trazar
la gráfica.

884. Hallar el incremento y la diferencial de la función y = Vz
para 2 = 4 y Az = 0,41. Calcular los errores absoluto y relative.
Trazar la gráfica.

885. y = 2° — 2. Para z = 2 caloular Ay y dy, dando a Az los
valores Az = 1; 8% = 0,1; Az 0,01. Hallar los valores correspon-
diontes del error relativo

886. Para la función” y = 2°, cuando z = 2 y Az = 0,4, hallar
ticamente (trazando la gráfica en papel milimetrado a gran ésta-
incremento y la diferencial y calcular los errores absoluto
y relativo al sustituir el incrémento-por 1a diferencia).
887. El lado de un cuadrado tide 8 cu. ¿En cuánto aumentará
su área si cada lado só prolonga on: ).1.om; b). 0,5 cı
Hallar la parte lineal principal dol incremento del área
y valorar el error
mento por su parte principal.
888. Es sabido que al aumelitar-cdda’ lado de. un cuadiado en
0,3 cm'la parte lineal principal del incremento: del 'área constituye,
2,4 om®. Hallar la parte lineal principal del inéremiento del Area que
poterie al predio del Wan: AE N) 0,75 em;
©) 12 cm.
889. Hallar la difereñcial de du función:

1) 0.257% 26: Due 9 des
E Ye

72. § 8. Diféroncial' Diferonciobilida de“la función B

1) (VD 19 SAL; tata;
14) (Laa) 15) tg22; 46) Slots; mes,
48) inte (FF); 10 255 20) Vaz + reign,

21) Badkesan'2— Saietg 2+ 4 arctos2—F arctg ás!

1
29 3% +32 yz
890. Calculer el velor de la diferencial de la función:
y= gm rg Al varlaria variable indepondiente .desde a+

Vitlaf q desde 60° hasta 60°30’;
3) y=sen 2g al variar y dei hasta SF; 4) yæsen3p st
variar 9 desde À hasta DE; 5) y=sen al yariar 8 desdo E

hasta 20; 2) y=cost@

el valor aproximado del incremento de, la función
UE el variar 2 desde} hasta St:

894. p=4Vc052p, hallar do,

805. PL Calcular dy para z=1 y dz=0,2.
896. Calcular aproximadamente sen 60%, sen 60°48". Comparar
los resultados obtonidos con los datos tabulares.

897. Comprobar que la función vie satisface la rele
ción 227 dy es (ad +1) dz.

898. Comprobar que la función y definida por la eouación arctg 4
=InV FF, satisface la relación x (dy — de) = y (dy + da).

Bo. / @)'= ASt. Calo jopnedanint 11,05).
900. Calcular arctg 4,02; aretg 0,974

$01, Calcular aproximadameñte / SE E

902. Calcular aproximadamente arcson 0,498:
908. Si la longitud dojuñ hilo. pesado: (cable, cadéna)'(véase lo
fig. 25) es igual a 2s, el me tramo es 1, y la flecha és igual a /,

73. a Cap. HI. Derivada y Diferencial

#0 tieno la igualdad aproximada
sat (1428).

a) Calcular qué cambio sufro la longitud del hilo al variar su

flecha on la magnitud dj

D) Tomando on consideración la variación ds que sufro la longi-

tud dol hilo (por ejemplo, al altorarse la temperatura o la carga),
decir qué cambio so opera en la flecha debido a ello.

a,

ES
Fig. 25

904. Cuando se calcula un ángulo por su tangente y por su seno
con ayuda de tablas logaritmicas, so cometen errores. Hacer un
Paralelo entre éstos, es decir, comparar la exactitud de los resultados
Obtenidos para el ángulo z con las fórmulas lg sen z = y y lg gx ==
‘si y y £ son dadas con errores iguales.

‘905. Al efectuar cálculos técnicos se recurre, muy a menudo, a la
reducción de a y Vote es la aceleración de la gravedad) en el caso
‚en que uno de estos números está en el numerador y el otro, en el
denominador. ¿Cuál es el orror relativo que se comete?

906. Expresar la diferencial de la función compuesta por medio
de la variable independiente y su diferencial:

1) y= YFP; 2=P4U+b 2 s=008%, c=

A
3) 2=arctgo, vege 4) 03%, z=lntgs

Dear, enfin ¡m0 td;

6) y=Intg Zi u=areseny, . v=cos2s.

Diferenciabilidad” de las funciones

907. La fúnción y = [z | en continua pété euälguiar 2. Come
probar que no es derivable cuando = = 0.

908. Electuando un análisis, decir si la función y =|2*] para
2 =0 es continua y derivable...

909. La función / (2) está. definida «do la manera siguiente:
Ha) 1 + z para 2 < 0; (2) = x para 0<2< 1; f (9=2 +2

74. $ 4 La derivada tomo volócidad do variación 5

pira << 2 y / (a) = Be 2 para 2 >2. Averiguar si la
E eset (z) ‘ss continua y aclarar la existencia y la continuidad
lefa):

910: La función y =:|sen,z |'es continua para cualquier 2.
Mostrar que no es derivable cuando x = 0. ¿Existen otros valores de
la Variable independiente para los cuales la función no sea derivable?

911. Avoriguar si la función y = e-P es continua y derivable
«para 20. El

912, f(2)—24son À para 2540, 1(0)=0. ¿Es deriváblo la fun-
ción f(z) cuando z 20?

913, 12 VE para 2760, 1(0)=0. ¿Es derivable y
Q

éontinan la función Y (2) cuando ane’

914, Dada le función f (@) = (EI, mostrar que la

ste inoal principal del incremento de la función no es susceptible
o ser despejada cuando z = 1 y, por lo tanto, Ja función / (2) no
tiene derivada para 2 = 1. Dar la intepretación geométrica del re-
saltado.

915. f (2) = = arotg para 2540, (0) = 0. ¿Es continua la
unción / (2) cuando z= 0? ¿Es variable? Dar la interpretación geo-
métrica del resultado.

916. f(z) =—

para 230 y f(0)=0. ¿Es continua la

tae
función f(x) cuando 2 =0? ¿Es derivable?

$ 4. La derivada como velocidad
de variación (otros ejemplos)
Velocidad relativa

917. Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes p = ag.
Hallar la velocidad de la variación del radio polar p respecto Al
ángulo polar tp.

‘918. Un punto se mueve sobre la espiral logarítmica p = €.
Hallar la velocidad de la variación del radio polar si se sabe que
gira con velocidad angular @.

+ "919. Un pünto se muove sobre la cicunferencia p =2 cose.
Hallar la velocidad de la variación de la abscisa y la ordenada del
punto si el radio polar gira con velocidad angular o. En este caso
ol ejo polar dessmpeña la función del de las abseisns, y ol polo ha de
ser considerado como el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

75. ©

920. ‚Un cfrculo de radio R rueda, sin deslizarse, sobre una recta.
El centro del círculo, se mueve con velocidad constante v. Hallar la
velocidad de la variación de la abscisa z y la ordenada y pora un
punto que pertenece al: Iimite del círculo.

921. La! prosión Batomótrica p Sufre alteraciones al variar Ta

altura À de acuerdo con la función In 2-==ch, donde py es la presión

normal y e es una constante. A la altura de 5540 m la pı alcanza
la mitad de la normal, Hallar la velocidad de la variación de la
presión barométrica en función de la altura. -

922. Entre y y z existe la relación y* = 122. El argumento =
creco uniformemente a una velocidad de 2 unidades por segundo.
¿A qué velocidad aumenta y cuando x =-3?

$23, La ordenada del punto que describe la circunferencia,

a + y} = 25 decreco con una velocidad de 1,5 cm/s. ¿A qué veloci-
dad a la abseisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual
4 em!

924. ¿En qué punto de la elipse 162* + 9y* = 400 la C3
decrece con la misma velocidad con que crece la abscisa?

925. El lado de un cuadrado aumenta con velocidad v. ¿Cuál
es la velocidad de la variación del perímetro y del área del mismo en
el momento en que su lado llega a ser igual a a?

926. El radio in círculo cambia con velocidad v. ¿Cuál es la
Jelosidad do ln variación de Ja longitud do su eirgunfersiein y del
Grea en el momento en que su radio llega a ser ani.

927. El radio de una esfera cambia con velocidad v. ¿Con qué
velocidad varía su volumen y su superficie?

928. ¿Para qué valor del ángulo su seno varía dos veces más lento
que el argumento?

929..¿Para qué valor del ángulo son iguales las velocida
Ja variación de su seho' y de su tangente?

930. La velocidad del crecimiento. del seno aumentó en n veces.
¿Cuántas veces aumentó la velocidad ‘del ' inecafänto de la tangente?
“i Supon mos que el volumen del tronco de un árbol es pro-
persiana! nl cate doen diámetro y que'ésté crece de año en año uni-
jormemente, Mostrar quo la velocidad dol crecimionto del volumen,
siendo el diámetro igual a 90 em,-es 25 veces mayor que la del creci-
miento para el caso del diámetro igual a 18 cm.

s de

Funciones: dadas en forma: paramétriea

932. Probar-si un punto dado, por. las coordenadas cartösianas

está en la línea cuya: ecuación se da, en forma paramétrica: 4) ¿Está

el punto (5,1) sobre la circunferencia. => 2 + 5 cos t, y = — 3+

+5 son feb) ¿Está el punto (2, /3)- sobre la: eircunferencia 7.2
= 2 cost y = 2 sen 0?

76. $ 4 La: derivada como velocidad de variación n

933. Construir las gráficas de las funciones dadas en forma para-
métrica:

2) 2 = 8 cos +, y = À sen bb) em — 2, ym e+ 26

Demeost,yæ=t+2 enh drat, y = oie +t).

984. De las ecuaciones que dan la función en forma paramötrica
eliminar el parámetro: - >

zäh y me 6b 2, 2) am cost, Yomo 2 >

Yard, y 4 c= 9 —sen q, y = 1008,

Dem tet, y sen 242 cos À.

935. Hallar el valor dol parámetro que corresponde
donadas dadas del punto sobre la línea cuya ecuación se
paramétrice:

4.2 = 3 (2008 t —cos 21), y = 3 (2 sen t sen 24); (~9, 0);

Dr=e4 2, =P (8 2)

las coor-
en forma

Drm tet, y=2 sent + son 2; (2, 2);
gr=*-4, y=" —£ (0, 0).
En los ojorcicios 996-045 hallar las derivadas de y respecto a x.
936. z= acosg, y=bsen p.
937. z=acos q, y bsent q.
938, = a(p—sen ç), y=0 (1 cos ph
989, zei, y=t-f.
9. eq ttt, eS
941. 2=in(148), y=t—artgt.
942. z=q(i— sen q), Y=P00S Pa
aus. shit, =
944. ze sont, y=e cost.

der 3
945, er ae

En los ejercicios 946 —949 hallar los coeficientes angulares de las
tangentes a las líneas que se indican. A

946. 2 = 3 cos t, y = 4 gen Lan el punto (8/20, 2/3.

947. z —t, y=f —P en el punto (0,0).

98. rae +1, y=£+0+1 en el punto (Li).

949. z »= 2 cos t, y = sen ton el punto 2).

+960. Para Ja línea dada paramétricamente mostrar’ la. relación
entre ol parámetro £ y el énuglo & que forma la tangente à la Jínea
con el eje de abscisas.

77. 18 Capi HI: Derivada y Diferencial

zustimmen,
4) a
JA

Dz=a cost, y=a sent;

3) z=acos tV eos, ymasent V2cos 2.
951. Comprobar que la función dada en forma paramétrica median-
te las ecuaciones z = 2 + 36, y = £ + 2£ satisfaco la relación

y=y*+2y” (la prima denota la derivación con respecto a 2,
esto es, y=).

952. Comprobar que la función dada en forma paramétrica
mediante las ecuaciones 2= 30, yet? satistaco la rela
ción 2y*=1-+y' (y=).

953. Comprobar que Ja función dada en forma paramétrica median-
8 ecuaciones z=ch 2, y=sh 2 satisface la relación

954. Comprobar que la función dada en forma paramätrica me
dianto Jas ecuaciones

satisfaco la relación qa MU my es

955. Comprobar que la función dada en forma paramétrica
_mediante las ecuaciones z= it, y 257102 satistace larelo-
einer (We).

956. Hallar los ángulos que se formen al cortarse las Tíñeas:

5
ee z=ac

1) yaat 2

Er fdas i jaa

957. Mostrar que cualquiera quo soa la posición del círenlo: ge-
nerador de una cicloide, la tangente y la normal en el punto.corres-
pond jente de Ja cicloide pasan por su punto superior e inferior, res»
pectivamente,

78. $ 4, La derivada: como véloéidäd do variación »

.. 958; Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan-
gente y la subnormal a la cardioi

= a (2 cost —cos2l), y= a (2 sen t —sén 2)

en quí. punto” eunkiuiete de dat.
959, Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan-
gente, la subnormal a la astroide

z=asent, y=acst

en tiispunto cualquiera de ésta.
960, Demostrar que la tengente & la circunferencia 2° + y* = a?
es, al mismo tiempo, la normal a la evolvente de la circunferencia

zwalost +isond, y= a (gent ton).

961. Hallar las longitudes de la tangente, la normal, la subtan-
gente yla subnormal a la evol rcunfetencia (véanse las
ecuaciones de ésta en el ejercicio anterior).

962. Demostrar que el segmento de la normal a la curva

2 = 2a sent + a sen tcos*t, —acos* t,
limitado por los ejes de coordenadas, es igual a 2

En los ejercicios 963—966 formar las ecuaciones de la tangente
y la normal a las líneas que se indican en los puntos citados.

963. 2=2ef; para £=0.
964. z= sont, para t= 2/6
965. 2=2 Inclg1+4, para t=a/4,

966. Dl vita para 1=2;
z=t(tcost—2 sent),

Almarza pt

3) amsent, yma! para t=0,

967. Mostrar que en dos puntos de la cardioide (yénso el ejercicio
958), los cuales corresponden a Jos valores del parámetro £ que se

di

mcian en Fa, las tangentes son paralelas.

968. Demostrar que si las líneas OT. y ON son las perpendicula-
rés bajadas desde el origen de coordenadas hasta la tangente y la

normal a la astroide en cualquiera de sus puntos (véase el ejercicio
859), so tiene +

4.07% + ON? = at.

79. © Cap. 111, Derivada y Diferencial

y 00, Hallo la Jongitud de la perpendicular bojeda desde el
origen de coordenadas hasta la tangents a la línea

2 = a (3,cos £ + cos.31), 2y = a (3 sen £ + sen 31),
Mostrar que 4p* = 3p*+-4a, donde p es el radio polar del punto
dado y p.es,la longitud de dicha perpendicular.

Velocidad de la variación del radio' polar

970. Dada la circunferencia p = 2 r sen q, hallar el angulo 0
formado por el radio polar y la tangente, y el ángulo a que forman
entre sí el ojo polar y la tangente.

971. Demostrar que para la parábola p = a sec" la suma de los

los formados por la tangente con el radio polar y el eje polar,
8 igual a dos ángulos rectos. Valiéndoso de esta propiedad construit
la tangente a la parábol

972. Dada la línea p =a son’ F (concoide), mostrar que a = 48
{las designaciones son las que se dan en el ejercicio 970).
973. Mostrar que dos parábolas p

se cortan formarido un ángulo recto.
974. Hallar el valor de la tangente del ángulo formado entre el
eje polar y.la tangente a la línea p = a sec *p en los puntos en que

sect $ y pmb comet Y

975. Hallar la tangente del ángulo formado entre el eje polar

ls Mina tanganté an el origen de coordenadas: 1) ala linea p = sent
) a la línea p = sen Sp.

976. Mostrar que, dos cardioides p =a (L-+00s 9) y p=
=a (1 — cos y) se cortan formando un ángulo recto.

977. La ecuación: de la línea en las coordenadas polares es dada
en forma paramétrica: p = fı (9), q = /; (0). Expresar la tangonto del
ángulo 9 formado entre la línea tangente y el radio polar, como
función de t.

978. Una línea viene dada mediante las ecuaciones p = af,
+ = 51. Hallar el ángulo entée el radio polar'y la tangente.

979. ‚Dada la elipse x = 4 cos't; y =.b son ?, expresar elvradio
polar p y el ángulo polar q como función del parámotro £. Valiéndoso
de la forma así obtenida para dar la elipse, calcular el ángulo formar
do entre la tangente y el radio pôlar.

So llama subtangente polar-a. la. proyección del ‚segmento de la
tangente desde ol punto do contacto hasta su intersección con la per-
endicular levantada al radio polaron el polo, sobre dicha porpon:

salar. De anéloga manera se define la subnormal polar. Tomando
esto'en consideración, resolver los problemas de los ejercicios 980—

80. _$ 4. La derivada'como velocidad de variación El

960. Deducir la fórmula: para la sübtargente polar y la éubnor-
mal polar de la línea p = 7 (9).

961. Mostrar que la longitud de
hiperbölica p = y es constante:

982, Mostrar que la longitud do la subnormal polar de la espiral
de- Arquímedes p = ag es constante.

983. Hallar la longitud de la subnormal polar de la espiral loga-
rítmica p = 09. bj

984. Hallar la longitud de la subnormal polar de la espiral lo-
garítmica p = a®.

Velocidad de la variación de la longitud

En los ojorcicios 985999 s designa la longitud del arco de la
línea correspondiente.

985. La recta y=024b; de?
966. La circunforencia 2° y*

LES
L

BF Rice
987. La elipse Pati Ha?

988. La parábola y* = 2pz; de =?

989. La parábola semicúbica y* az; $=
990. La sinusoide y = sen x; de =?

991. La catenaria y= S$ (ymch 2); Ze?

902, La crcunlrencia swrcoet, parson ttm?
993. La cicloide z=a(t-sond), y=a(1—cost); Sa?

994. La astroide z = a cost, y =ason't; de = ?
995. La espiral de Arquimedes z = at sen 4, y = at cos 4; ds =?

2 a (2008108 2),
996. La cardioide {

y=0(2sent—son 2); # =?
997. La tracteiz

z=a(cost+intgz), yoasent; de=?
988. La evolvente de la cireunferencia
z=a(ost+isont),yma(sent—tcost; =?

999. La hipérbola z = a ch ty =a sh t; de =?
borre

81. Cap. IIL. Derivada y Diferenc

8 Cap. Hi Derivado y Diferencial

Velocidad del movimiento

1000. Una escala, que mide 10 m de longitud, tiene apoyado su
extremo superior contra una pared vertical. Su extremo inferior se
halla apoyado en el suelo y se desliza apartándose de la pared a 2 m
por minuto. ¿A qué velocidad va descendiendo el extremo superior
de la escala cuando el inferior dista 6 m de la pared? ¿Cuál es la di
rección del vector de la velocidad?

1001. Un tren y un globo oerostático parten de un mismo punto
simultáneamente. El tren so traslada a una velocidad uniforme de
50 km por hora. El globo sube (también uniformemente) a 10 km por
hora. ¿A qué velocidad se aparta el uno del otro? ¿Cuál es la direc-
ción del vector de la velocidad?

1002. Un hombre de 1,7 m de estatura se aleja, a 6,34 km por hora,
do una fuente luminosa que se encuentra a 3'm de altura, ¿A qué
velocidad se traslada la sombra que proyecta su cabeza?

4003. Un caballo corre a 20 km por hora a lo largo de una cireun-
feroncia en cuyo centro se halla un farol. En el punto inicial de la
carrera del caballo está situada una cerca que sigue la dirección de la
tangente a la circunferencia referida. ¿A qué velocidad so desplaza
la sombra del caballo a lo largo de la cerca en el momento en que
ésto hia recorrido 1/8 de la circunferencia?

OE ==

Fig 26

1004. La fig. 26 muestra, de manera esquemática, el mecanismo
de manivola de una máquina de vapor: A es la cruceta, BB" son las
correderas de la cruceta, AP es la biela, P es el gorrón de manivela,

82. $5. Derivación sucesiva E

Q es ol volante. El volante, de radio A, gira uniformemente con
velocidad angular (o. La longitud de la biela es igual a 2. ¿Cuál es la
velocidad que tiene la cruceta al desplazarse, en el momento en que
el volants ha girado un. Siglo ai

1005. Un volante que había dado 80 vueltas por mínuto quedó
roto. El radio del mismo mide 0,9 m. Su centro se halla levantado

r sobre el suelo, la distancia entre ambos, en línea vertical, mide

m. ¿Cuál es la velocidad a que efectuará su caída hacia"el suelo
el pedazo roto (designado por la lotra A en la fig. 27)?

$ 5. Derivación sucesiva

Funciones dadas en forma explícita

1008. J (2) = e

1009. 7(2) = 2% Ar +4; PV (1) ?

1010. y =(* + 1)% y=? AOÛ. y = cos? a; y = ?
1012. f (2) = 6-5 f (0) =? 1018. (a) = arctg 2; f* (1) =?

1014. f(z) Lo; (=?

1013, y=2 loz; ge? — 1018. Koi
1017. pa son 25 Gm? 1018. ym tHE; y=?

En los ejercicios 1019 —1028 hallar Ins segundas derivadas de I
fonciones

1019. y = 20", 1020. tr

1021. y= (142°) arctg. 1022, y-VR=R.
1023, y= In (2+ TF 2) 1024. "rr

1025, y=eV3, 1026. y=V T=2Barosenz.
1027. y =arcson (a sen 2). 1028. y = =.

En los ejorcicios 1029-4040 hallar las expresiones comunes para
los derivadas de n-ésimo orden de las funciones:

1029, ye”, 1030, y= e*.
1031. y=son ax + cos be 1032. y= sont,
1033, y= ze", 1034, y=elnz,

83. # Cap: IH. Dorivada y Diferencial

1085. > 1036. y= In (az+-b).
1037. y= logs 2 1038. y.
1039. > 1040. y = sent x +costz.

1041. Demostrar que la función y = (2 —1)" satisface la
rolación

(2 = A)yt + 2a (a + Ay” = 0.

1042. Demostrar que la función y = e* sen z satisface la relación
y" —2y' + 2y =00, mientras la función y = e* son z satisface la
relación y” +2y’ + 2y = 0.

1043. Demostrar quo la función y= EF satisface la relación
Yy=y-1) y.

1044, Demostrar que la función y = V 22 —# sat
ción yy" + 1 = 0.

1045. Demostrar que la fuación y = e + 2e”* satisface la rela-
ción y” —18y —12y = 0.

1046. Demostrar que la función y = eV? + e~V* satisface la
relación ay" + hy —Fy = 0

1047. Demostrar que la función y == cose" + sen e” satisface la
relación y”—y' + ye = 0

1048. Demostrar que la función

y = À sen (ot + 09) + B cos (ot + 0)

@ la rela-

(A, B, ©, w, son constantes) satisface la rolación
Shs oty=0.
1049. Demostrar que la fuacién —
ae hago" + ascos mz + a, sen nz

(aj, Gy, 05, 4,, n son constantes) satisface la relación ZA = ny.
+ 1050, Demostrar que la función y' == sen'(n arcsen 2) satisface la
relación A) Y = zy + ng = 0e,

1051. Demostrar que la función em satisface la relación
(Aa y" —ay" — ay = 0. y

1052, Demostrar ‘que la función y=(24-Y/ FF)" satisface la
rolación (Fady hey Fy 0.
"à

84. 8.5. Derivación sucesiva 85

1053." Demostrar que la expresión Sl £)” no, varía

si sustituimos y por +; esto es, si ponemos vo se tiene 4

-4(#)*=s
1054, Sea dado y=/ (2). re SE mediante Ly EM

Mostrar que Ja fórmula PA es susceptible de ser redu-
cida a la forma

re D:
a
1055. Sea dado P (2) = j (2) -p (2) siendo f’ ()p' (x)
a

= C. Demos-

Fa FAL.
Funciones dados en forma implícito
1056. Beta? at; SY =?
1057, ste Sha? 1058, ye A?

1059, mitte; Fem? 1060. PH Baye y=?
. yasın (ey); y? 1062, may; y=?

Deducir la fórmula para la segunda derivada de la función
la dada y (2).

1064. e* + 2y = e; hallar y” (z) para x = 0.

et
1065. ¿*=2px5 hallar In oxpresión b= et.

1066. Comprobar que de y#+2*= R? se deduce k= +, donde
el,
Vie
1067. Domostrar que si
ast Lay + oy + Dee + Dy + = 0,

so tiene
CA ad A
Lo Sp
donde A es una constante que no depende de x € y.

85. Cap: IN. Dorivada y Diforencial

1068. Diémosteat que al (a + be)e? =x, 00 tiene

(21).

Funciones dadas en forma paramätrica
ES

1069, za, y= bP; =?

1070. z=acost, y=asont; Shu?
1074. z=acost, y=bsont Shem?

1072. 2m (pa), ymolt—eosehs She?

1073. 1) za-acos*t, ymasr =?

2) z=acost, y=asentt;
1074, 1)z=int, yar-i;
2) z=arcsent, y=in(i—#);

1075. 2=atcost, y=atsent;

1076. Demostrar que la función y = f(z) dada mediante las

gucken
ción y” (x
1077.

amétricas y = el cos 1, z = ef sen £, satisface la rela
D = le — 0) 5
jostrar que la función y = f(z) dada paramótrica-

mente mediante las ecuaciones y = 3t—P, x = 8f satisface la

relación

Sy (y —V 32) =2+3.

1078. Domostrar que la función dada paramétricamente mediante
las ecuaciones

2 = sent, y =senkt,

satisface la relación,

UL + 180.

1079. Demostrar que si

se tiene

2 = f (Joost —f (0 sent, y =f (9 sent + f(t) cost
de de ae (0 +1 OP de. :

86. $ 5..Dotivación sücasiva a

Aceleración del. movimiento

1080. Un punto ofectúa movimiento rectilineo, siendo s=$P=
— t+5. Hallarla aceloracióna al finalizar el 2° segundo (s está expre-
‘sada en metros; t, en segundos).

1081. Un movimiento roctilineo se efectúa de acuerdo con la
fórmula sé = 4t + 4.

Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento.

1082. Un punto efcctúa movi

iento rectilíneo, siendo sux

xsen E+ 5p. Hallar la aceloraciön al finalizar el primer sogundo
ds está expresada en cm, £, en s). E

1083. Un punto efectúa el movimiento rectilíaco, siendo s = V4.
Demostrar que el movimiento dol punto es retardado y que la acele-
ración a es proporcional al cubo de la velocidad v. — yz

1084. Una viga pesada, que mide 13m, se
hace descender hacia el suelo de la manera siguien-
te (véaso la fig. 28): su extremo inferior está
sujeto a una vagoneta, mientras que el superior
se mantiene fijo con wn cable devanado en un
cabrestante. El cable va desonrolländose a 2 m
por minuto. ¿Qué aceleración experimenta la
vagoneta cuando se aparta rodando, en el mo-
mento en que dista 5 m del punto 0?

1085. La cubierta de una barcaza so encuentra
4 m más abajo de ln altura del muelle. Tirando
de la barcaza, la hacen acercarse para que so
ponga al lado del muelle, mediante un cable el
cual va dovanándoso on un cabrestante a 2 m por
segundo. ¿Qué aceleración experimenta la barcaza
al moverse, en el momento on que dista 8 m Fig. 28
del muelle (on línea horizontal)?

4086. Un punto electúa movimiento rectilineo do manera
que su velocidad varía proporcionalmente a la rafz cuadrada del
trayoeto recorrido. Mostrar que ol movimiento so efectúa al actuar
una fuerza constante sobre el punto indicado.

1087. So tiono un punto material sobre ol cual actúa una fuerza
inversamente proporcional a la velocidad del movimiento del punto.
Demostrar que la energía cinótica del punto es la función lineal del
tiempo.

Fórmula de Leibniz

1088, Aplicar la fórmula de Leibniz para calcular la derivada:
De + 1) son 210;
2) (e sen ay; 3) (2? sen az).

87. 8 Cap. IH. Derivada y Diferencial

1089. Mostrar que si y = (1 — 2)-%e-2, so tione
(1-9) L may.
Aplicando la formula de Leibniz mostrar que
(YD (na) m nal.

1090. La fonción y extreme x satisfaco la rolación (1—29)/—
—2y —aty=0 (véase el ejorcicio 1051). Aplicando la fórmula de
Leibniz y derivando esta igualdad n veces, mostrar que

O (+a) f=.
1091. Mostrar quo
CE cos bz) = re cos (bz-+ng), donde ra FTE, team.

¡ya Aplicando la fórmula de Leibuir, logar «las siguientes frau.
las:

rn u.
sen ag Clan CIC —
i
q z
1092, Domostrar que (Ste (—1)" Ex.

1093, Mostrar que la función y = areson z satisface la relación
(1 — zu" = xy. Aplicando a ambos miembros de esta ecuación
la fórmula de Leibniz, hallar y" (0) (n > 2).

1094. Aplicando la fórmula de Leibniz n veces, mostrar que la
función y = cos (m arcsen x) satisface la rol:

E + m? — nt) x = 0.
1095. Si y = (aresen 2)*, 8e tiene
ae — Qn — 4) ay — (a yo =
Hallar y (0), y" (0), 1... we (0).

Diferenciales de ordenes superiores

1096. y=/ 3; dy=? 1097. y=2"; dy
1088, yi=(e+ 121) dy?
1099, y = 47; d'y =?

2

88. $5 Derivación ms
1100, parte (Liga); @y=? 1101. y VIRE ey =?
1102: y = senta; dy =? 1103. p* cos%p —a? senip = 0; dp =?

2 2 2 x

1104. Stylo; eye?
1105, yalolTH; zeigt; expresar Ey modiante; 1)2yde,

2)t y at.
1106. y = sen 5; 2 = 0%; x= oxpresar d'y mediante: 1) z
y ds, 2) xy de; 8) t'y at.

89. Capitulo IV

Análisis de las funciones
y de sus gráficas

$ 1. Comportamiento de la función
1107. Mostrar que el punto z = 0 es el punto del mínimo de la

función
ym Bot Ar + 12044,

1108. Partiendo dela definición de la función creciente y decrecien=
to y de los puntos del máximo y del mínimo, mostrar que la fun-
sión y = 1932-42 crece on ol punto z, == 2, decrece en el punto
2, = 0, alcanza su máximo en el punto z, = —1 y su mínimo en
al punto zu

4109. Igual que en el ejercicio 1108, mostrar que la función
y = cos 2x creco on el punto =, decrece on el punto 2,=3,
alcanza su máximo en el punto z3==Ú0 y su mínimo en el punto
ah

1110. Sin recurrir al concepto de la derivada, analiz
tamiento de la función dada en el punto z == 0:

dust Dyno Y

D yet 25 6) y=|tgel D v=lin(e+ Dh

8) y=ec D ys VP #

4141. Mostiar que la función y = In (2% + 2x — 3) orece en el
punto x, = 2, deerece en el punto z, = — 4 y no tiene puntos esta-
<ionarios.

1112. Escla:ecer el comportamiento de la función y = sen z +
+ cos £ en los puntos z, =0, z=4, #3 Fra=2

1113. Esclarecer el comportamiento de la función y =z —la z
‘en los puntos 2, = 4/2, 2, = 2, 25 = € y zu = À y mostrar que si la

r el compor-

90. _$ 2: Aplicación de la primera derivada ot

función dada erece on el punto =
punto t/a.
1114. Esclarecer el comportamiento de la función

y= caretgz
en los puntos 2 = 1, 25 = —1, 2, = 0.
4115. Esclarecer ol comportamiento de la función
yal EE m0,
1- para 20

a > 0, en cambio, decrece en el

en los puntos 2, = 4/2, 2, = 1/2 y 23 =0.

$ 2. Aplicación de la primera
derivada
Teoremas de Rolle y Lagrange
4116. Verificar la validez del teorema do Rolle para la función .
y=2 +4 —72 —10 en el intervalo (—4, 2].

1117. Verificar la validez dol teorema de Rolle para la función

y = in son zen el intervolo (2, À].

1118. Verificar la validez del toorema de Rolle para la función

= 499" en ol intervalo 10, al.

1119. Verificar la validez del teorema de Rolle para la función
veYy Er? en el intervalo I, 2.

1120. La función y => toma valores iguales en los extre-
mos del intervalo[—1, 11. Mostrar que la derivada de dicha función
no se reduce a cero en parte alguna del intervalo [-1, 4), y explicar
esta desviación dol teorema de Rolle.

1121. La función y = | x | toma valores iguales on los extremos
del intervalo [—a, al. Mostrar que la derivada de dicha fonción no
se reduce a cero on parte alguna del intervalo —a, al, y explicar
esta desviación dol teorema de Rolle.

1422. Demostrar el siguiente teorema: si la ocuación

APA O
tiene la rafz positiva x = 2, la ecuacién
nage Nat 0

también la tiene, siendo esta raíz menor que Zo.

91. 2 Cap. IV; Análisis de las funciones y de sus gráficas

1123. Son dada la función f(x) =1 +2" (2 —1)", donde
m y n son números enteros positivos. Sin calcular la derivada, mos-
trar que la ecuación ÿ (2) = 0 tiene, por lo menos, una raíz on el
intervalo (0, 1).

1124. Mostrar que la ecuación 2° — 3e + = 0 no puedo tener
dos raíces distintas en el intervalo (0, 1).

1125. Sin calcular la derivada de la función

Ha) = (e —1) (a —2) (2 —3) (2 4),

esclarecer cuántas ruîces reales tiene la ecuación f’ (x) = 0 e indicar
en qué intervalos están.

1126. Mostrar que la función / (2) = "++ pz + g no puede te-
ner más de dos raíces reales siendo n par, y más de tres siendo x impar.

1127. Escribir la fórmula de Lagrange para la función y =
=sen 3r en el intervalo lz, rl. ‘

1128. Escribir la fórmula de Lagrange para la función y=zx
x (1 —In 2) en el intervalo la, bi.

1129. Escribir la fórmula de Lagrange para la función y =
= arcson 2z en el intervalo zu, za + Az,

1130. Verificar la validez del teorema de Lagrange para la fun-
ción y = "en el intervalo (0, al; n > 0, a> 0.

4131. Verificar la validez del teorema de Lagrange para la fun-
ción y = Inz en el intervalo [1, el.
aus 12. Mediant la fórmula de Lagrange demostrar ls desigualda-
les

ob

p<,

siendo 0<b <a.
ca 18%. Mediante la fórmula de Lagrange demostrar las desigual-
lados

E swa-ub< EE sind 0<P <<

1134. Pará.a > b demostrar mediante la fórmula de Lagrange la
validez de las desigualdades

ab) <ar na (ab),

desigualdades opuestas, si n< 1.

mos la función *

4
jey= agen > para za,
0. para z= 0,

4135. Anali

92. $2, Aplicación do la primara derivada — " ®
Es derivable para cualquier valor de z. Escribamos para ella la
fórmula de Lagrange on el intervalo [0, 2):
13-10) =>% (E) O<i<d.
Obtendremos:

sont (2sen

ñ
a)

do donde cos 4-2 sent—rsent. Mncamos ahora que 2 tienda
A cero, en este caso E también tenderá a cero, y de este modo

ol +=0.
Nogaios a: lim cos ¢ =0.

Explicar este rosultado paradójico.
1136. Aplicando la fórmula

Heu) 1 (aa) (a+) Ar,

a la función f (=) = arotg x en el intervalo (1; 4,11, hallar el valor
aproximado de arctg 1,1.
En los ejercicios 11371144 aplicando la fórmula

fot ds) =f (0) +1' (29 +) az,

calcular los valoras aproximados do las expresiones que se indican.
1137. arcsen 0,54
4138. lg 11. Comparar con los datos tabulares.
1139, In (e+V TH) para z=0,
1140. Ig 7, sabiendo que lg 2 = 0,8010 y Ig 3 = 0,4771. Com-
parar el resultado con los datos tabulares.
1141. Ig 61. Comparar el resultado con los datos tabulares,
1142. Confirmar que aplicando la fórmula

10=10+06-0f
para calcular el logaritmo de N + 0,01 N, es decir, poniendo

+22)

Ig (Y 40,040) = IgV + N = lg N + SERS
vn M

cometemos un error menor que 0,00004, es decir, obtenemos cinco
cifras exactas después de la coma si os que Ig N viene dado con cinco
cifras exactas.

93. a Cap: 1Y. Anális

de las funciones y de: sus gráficas

Comportamiento de las funciones en el intervalo

1143. Mostrar que la función y = 25% + 3e*—42z + 1 decrece
en el intervalo (—2, 1).

1144. Mostrar que la función y = VEZ —2 crece en el interva-
100,1) y dense on lateral (1, 2): Costu la gráfica de esta
función.

1145. Mostrar que la función y = 2° + x crece por todas partes.

4446. Mostrar que la función y retg x —2 decrece por todas
partes.

1147. Mostrar que la función y= + crece en cualquier inter-
valo que no tenga el punto z=0.

1148. Mostrar que la función y= 22253 varía de manera
monótona on cualquier intervalo que no encierre puntos de discon-
tinvidad de la función.

1149°. Demostrar la desigialdad (222 > siendo

I<a<a<z

4450. Hallar los intervalos de monotonia de la función y =
=» — 8 — Oz + 14 y construir la gráfica en el intervalo (3, 4)
siguiendo sus puntos.

ash Hallar los intervalos de monotonía de la función y= 2t—
En Tos ejercicios 142-1164 hallar los intervalos de monotonía
de las funciones.

1452. y= (a 2) (et

1453. y) Tra P (a>0).

1154 lt. MS p= aE
1156. var“. 1157, yates,
1158, y= 4159, y= 2x*—In x,

1160, y=z—2eonz, (OS 2< 22).

1161. y=2senz-Ho0s2z (0<z<2a).

1162, y==-+cosz. 1163. yaln(e+ IHR).

1164, y==V 222 (a>0),

En los ejercicios 1465 —1184 hallar los valores extremos de las
funciones,

1165. y= 22? — 30%, 1106. y=22?—63?—18e47. +

94. SZ Aplicación de la primera derivado 95

1167. ve 1168, yo BS
1169. Srs: 1170, y= VAT.
1171. y= bat NT we:
1173. y=: fe . 174. y
1175. y=2— In (142). 1476. y=2—In (142).

177. y= (25) EFT

1178. y=(2-22) Inz— 4 224-42,

1179, har,

1180. yz (25) oresone+ PV TER za.

1481. yazunstss- In (—F<r<4).

1182. y=(4—2) cosr+sns= 2 — (og2<$).

1183. y= *=Feosx(e-+3)+esen(z+3) (0<2<4).

MBA. y al + be,

En los ejercicios 1185 —1197 hallar los valores máximos y mini-
mos de las funciones dadas en los intervalos que se indican.

1185. y == — 2 + 5; (2, 2).

1186. y == + 2Y 3 10,

1187. y ==? Bet + a +

EL 2.

1188. — ast + 67 2 (1, A
1189. y= V10—2 (-6<2<8).

OPEN

1191.

(<z<4).
1192, y= 24, (0<x<1) (@>0,5>0).
1193, y= sen 22—2(—F<zr<$).

1194, ym? tga ur (<<).

1195. yz" (0,1 <= <o).

1196. y=/ (EE (<<).

1197, y=aretg}== (O<2<1),

95. % Cap. IV. Análisis de

Desigualdades

En los ejercicios 1198-4207 demostrar la validez de Ins desigual-
dades.

1198. 2/3>3-L (e>4).
119. >i+z (20).
1200. 2>In(t-+-2) (2>0)
4201, Joz> EE (>)
1202. 2eacctgr>In (1 rat).

1203. 1+ In (e+ VIFZ)>VIFR.
1204. In +) > EZ (@>0).

Is funciones y do sus gráficas

1205. senz<z
1206.

HZ 6%
senttige>2 (0<2<F).

1207. che>14 (#0.

Ejercicios para hallar los valores mázimos y mínimos
de las funciones

1208, Dividir el número 8 on dos sumandos tales que la suma de
sus cubos sea la menor posible.

£200. ¿Qué número positivo sumado a su i
suma minima?

4210. Dividir el número 36 en dos factores tales que la suma de
‘sus cuadrados ‘sea la menor posible.

1211. Se debe hacer una caja con tapa, cuyo volumen sea de
72 cm. Los lados de la base han de estar en relación 1 : 2. ¿Cuáles
deben ser las medidas de todos los lados para que la superficie total
sea la menor posi

1212. De una hoja de cartón, de 18 x 18.om*, deben ser.tecorta-
dos cundrados iguales de modo que doblando la hoja, siguiendo las

verso da lugar a la

96. $ 2. Aplicación de la primera derivada 9

ica pünteadas (véase’la-fig.’ 29), resulte una caja que tenga la
mayor capacidad posible: ¿Cuánto debe medir cada lado del cuadrado?

1213. Resolver el problema anterior para el caso do La hoja rectan-
gular, de 8 x 5 cm.

1244. Al volumen de un prisma triangular regular es i
¿Cuánto debo medir el lado de la base para que su supo
sea la: menor, posible? - .

4215. Una tina abiérta-tiene Ja forma de cilindro. Siendo su volu-
men igual a v, ¿cuál debe ser el.radio do la base y la altura para que
su superficie ‘total sen la menor: posible?

1216. Hallar la relación entre el radio R y la altura H de un ilin-
dro que tiene Ja menor superficie total posible, conociendo su volu-

men.
1217. Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz
igual a 90 em. ¿Cuál debe sot la altura del embudo para que su volu-
men sea el mayor posible?
4218. Un sector de ángulo central a está recortado de un círculo,
“Al envollarse el sector, ha sido engendrada una superficie cónica.
¿Cuál debo ser la abertura del ángulo a: para que.el volumen del cono
obtenido sea el mayor posible?
1219. El perimotro de un triángulo isöscoles as 2p. ¿Cuánto deben
medir sus lados para que el volumen del cuerpo engendrado por la
rotación del triángulo en torno a su base sea el mayor posible?
1220. Al perfinotro de un triángulo isósceles es 2p. ¿Cuánto deben
medir sus lados para que ol völumen del cono engendrado. por Ja
rotación del triángalo en torno a su altura bajada sobre la base sea el
‘mayor posible?
4221. Hallar la altura del cilindro que tenga el volumen,máximo
posible y que sea suscoptible de ser inscrito en una esfera de radio A.
1222. Hallar le altura del cono de máximo: volumen que sea
suscoptible de ser inserito en una esfera de radio Rea.
1223. Al actuar la fuerza de gravedad sobre una gota de lluvia
cuya masa inicial es fgual a m, la hace caer. La gota va eyaporändose
uniformemente de modo que la'párdida de la masa és proporcional
al tiempo (el coeficiente do proporcionalidad es #). ¿Al cabo de cuän-
os sogundos al :comonzar lá caída será máxima la energía cinética
de la gota y cuál será su valor? (Se prescinde de la resistencia del
aire.) 4
1224. Una palanca de segundo género tiene A por su punto de
apoyo: Dol punto B (AB = a) está suspendida la carga P. El peso de
Ja unidad de Ja longitud de la palanca os igual a k. ¿Cuál debería ser
la longitud de a planos pora, que la caga 7 quedo en equilibrio
con la fuerza mínima? (El momento de la fuerza compensadora debe
‘equivaler a la suma. do los momentos de la carga P y dela palanca.)
1225. La suma que se gasta en ol corbustiblo para ol hogar de la
caldera de un barco es proporcional al cubo de la velocidad. Es

97. ® Cap. 1V. Anélisi

Jas foictonos y do: sus gráficas

sabido que'si el barco marcha'a 40 kom por hora, se:gástan 30 rublós
(por hora) en el combustible. Los demás gastos, que no dependen. de
la volocidad son de 480 rublos pot hora: ;A qué velocidad del barco
serían mínimos los gastos totales por un km? ¿Cuál sería la Suma: to-
tal de los gastos por hora? ni >

1226. Tres puntos A, B y C se hallan situados de modo que
Z ABC = 60°. Un automóvil sale del punto À y enel mismo mómen-
%6 del punto B parte un tren. l'auto avanza hacia ol punto 2-2 80 km
por hora, el tren se dirigolíacia el punto © a-60 Kn por hora. Tenien-
do en cuenta quo la distancia AB“= 200 km, ¿en qué momento, al
comenzar el movimiento, Será mínima la distancia entre el auto- -
móvil y el tren? “

4227. Dado un cierto punto À en una circunferencia, trazor-una
¿uerda BC paralela a la tangente en el punto À de modo que el úroa
del triángulo ABC ‘soa la mayor posible: A

1228, Hallar los lados del rectángulo de máximo. perímetro
e inscrito en una semicifcunferencia de radio R.

1229. Insoribie elrectángulo de mayor área posible en ‘un segmen-
to dado del cfrenlo. ©: ‘

1230. Circunseribir on torno a un cilindro dado el cono que tenga
el menor volumen posible: (los, planos de as bases circulares: del
cilindro y del 'cono deben coincidir).

1281. Hallar la altura del cono recto circular, de menor volumen
posible, circunscrito en. tomo a una esfera de radio A.

1232. Hallar el ángulo en el vórtico de la sección axial de un cono
ye tiene la monor superficie lateral posible y que está circunscrito
en torno a una esfera dada, p

4283, ¿Cuál ha de ser la abertusa del ángulo en el vértice de un
triángulo Ísósceles, de área dada; para que el radio: de un círculo ins-
erito en dicho triángulo son el mayor posible?

1234. Hallar la altura de un cono que tiene el menor volumen
sible y que está circunscrito en:torno a una semiesfera de radio A
(61 contro de la baso dol. cono coincide con:el de Ja esfera).

1235. ¿Cuál ha do ser la altura de uncono inscrito en una esfera
de radio R para que sulsuperficie Jatoral sea la: mayor posible?

1236. Demostrar que la cantidad de tela necesaria para hacer
una tienda de campaña do forma cónica y de capacidad dada, xorá
la menor posible en el caso de que su altura sea V2 veces mayor que
el radio de: la base. ; Et hi

1237, Trazar una recta de modo que pase: por un punto dado“?
(4; 3) y que la suma de las longitudes de los segmentüs positivos
cortados pur dicha sera en Josie de corlenados, a locos
posiblo. z UNS a 3

1238: Hallar: los 1ados del vectängulo; de"mayot área" posible;

iüserito en la elipge EE = 1. =