Progressões Aritmética e Geométrica PA e PG

Progressões

1. Progressões aritméticas e geométricas Prof. Carlos Henrique

2. Quem levou vantagem? Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês.

3. Quem levou vantagem? Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior. Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior.

4. Quem levou vantagem? Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem? A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões.

5. Sucessão ou sequência

6. Sucessão ou sequência O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição 2007. Classificação Time 1 Primeiro lugar São Paulo (SP) 2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ) 3 Terceiro lugar Grêmio (GE) 4 Quarto lugar Palmeiras (PA) 5 Quinto lugar Fluminense (FL) 6 Sexto lugar Santos (SN) (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) (CZ, FL, GE, PA, SN, SP)

7. Sucessão ou sequência Veja os elementos da sucessão ou sequência. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) Cada time é um termo da sequência; O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto; Na representação de uma sucessão , os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas.

8. Sucessão ou sequência Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada um dos três trimestres de 2019. 1 2 3 Trimestre 1.ª 2.ª 3.ª N o . de alunos 18 15 11 Os números da última linha formam a sequência ou sucessão (18, 15, 11) O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo;

9. Definição Sucessão ou sequência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc. Numa sequência, duas coisas são importantes: Os termos que a compõem; A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido;

10. Sequências numéricas Vamos dar ênfase às sequências numéricas . São aquelas cujos termos são números reais. Uma sequência pode ser finita ou infinita. A sequência (18, 15, 11) é uma sequência numérica finita . Ela tem último termo (o terceiro). A sequência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares é uma sequência infinita . Não existe o maior número natural par.

11. Sequências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma sequência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. a 1 → primeiro termo a 2 → segundo termo a 3 → terceiro termo a 4 → quarto termo ........................................ a n → enésimo termo ou termo geral O índice indica a posição do elemento na sequência.

12. Sequências numéricas - representação De modo geral os termos consecutivos de uma sequência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n ) representa uma sequência finita (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ...a n , ...) representa uma sequência infinita

13. Exemplo Na sequência infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: a 1 = 1 a 3 = 5 a 6 = 11

14. Sequência definida pelo seu termo geral

15. Definição Uma sequência numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é O conjunto N*, se a sucessão é infinita ; O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é finita , com n termos. Assim, f(1) = a 1 , f(2) = a 2 , f(3) = a 3 , ..., f(n) = a n .

16. Exemplo Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a 1 = 1 n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a 2 = 3 n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a 3 = 5 n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a 4 = 7 n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a 5 = 9 .................................................. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , ..., a n , ...)

17. Termo geral Certas sequências numéricas são definidas pelo seu termo geral a n . No caso, o enésimo termo é expressão em função da variável natural n ≠ 0.

18. Exemplo O termo geral de uma sequência é a n = n 2 + 2n . Obter os termos a 2 e a 7 . Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em a n = n 2 + 2n , vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2 ⇒ a 2 = 2 2 + 2. 2 ⇒ a 2 = 4 + 4 = 8 n = 7 ⇒ a 2 = 7 2 + 2. 7 ⇒ a 2 = 49 + 14 = 63 Fazendo a n = 48 , n 2 + 2n = 48 ⇒ n 2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 ( F ) ⇒ n” = 6 ⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a 6 = 48 .

19. Sequência definida por uma lei de recorrência

20. Lei de recorrência Sequências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência . No caso, são dados. Um dos termos (em geral, o primeiro); Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados.

21. Exemplos Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência. a 1 = 3 a n+1 = 2a n + 1, para n ≥ 1 (3, 7, 15, 31, 63) n = 1 ⇒ a 2 = 2.a 1 + 1 ⇒ a 2 = 2. 3 + 1 ⇒ a 2 = 7 n = 2 ⇒ a 3 = 2.a 2 + 1 ⇒ a 3 = 2. 7 + 1 ⇒ a 3 = 15 n = 3 ⇒ a 4 = 2.a 3 + 1 ⇒ a 4 = 2. 15 + 1 ⇒ a 4 = 31 n = 4 ⇒ a 5 = 2.a 4 + 1 ⇒ a 5 = 2. 31 + 1 ⇒ a 5 = 63

22. Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sequência, e ache seus dois próximos termos. a) (2, 7, 12, 17, ...) b) (1, 8, 27, 64, ...) c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...) d) (3, 6, 12, 24, ...) e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) f) (0, 3, 8, 15, 24, ...) 22 e 27. 125 e 216. 1 e 162. 48 e 96. 21 e 34. 35 e 48.

23. Exemplos Descubra uma lógica de formação em cada sequência, e ache seus dois próximos termos. g) 1 4 2 9 3 16 4 25 , , , , ... h) 1 3 4 7 11 18 29 47 , , , , ... 5 36 6 49 , 76 123 199 322 ,

24. Progressões aritméticas

25. Progressão aritmética Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção. 15 19 23 27 31 35 ... +4 +4 +4 +4 +4 +4 (15, 19, 23, 27, 31, 35, ...) A constante 4 é a razão da seqüência.

26. Definição Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r , chamada razão da P.A. Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência a n = a n - 1 + r ⇒ a n – a n - 1 = r Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior. r = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 = ...

27. Exemplos (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita . Ela é crescente , porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente .

28. Exemplos (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita . Ela é decrescente , porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: r = 5,5 – 6 = –0,5 = 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente .

29. Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante , porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: r = 3 – 3 = 0 Em geral, se r = 0 a P.A. é constante .

30. Exemplos Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A. Na sucessão, a 1 = 2, a 2 = m + 1 e a 3 = 3m – 4 Se ela é uma P.A., deve ser: a 2 – a 1 = a 3 – a 2 ⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1) ⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4 Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8) , de razão 3 .

31. Observação Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a 1 , a 2 e a 3 , a 2 – a 1 = a 3 – a 2 ⇒ 2a 2 = a 1 + a 3 a 2 = a 1 + a 3 2

32. Termo geral de uma P.A. Prof. Jorge

33. Termo geral da P.A. Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão.

34. Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ... +r +r +r +r +r +r Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca somar a razão. De a 1 até a 2 temos 1 salto ⇒ a 2 = a 1 + r De a 1 até a 3 temos 2 saltos ⇒ a 3 = a 1 + 2r De a 1 até a 4 temos 3 saltos ⇒ a 4 = a 1 + 3r E assim por diante.

35. Termo geral da P.A. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ... +r +r +r +r +r +r De maneira geral, de a 1 até um termo genérico a n , são (n – 1) saltos. a n = a 1 + (n – 1)r a n é o enésimo termo n é a posição do termo

36. Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. –r –r –r –r –r –r a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... +r +r +r +r +r +r Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão.

37. Exemplos –r –r –r –r –r –r a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... +r +r +r +r +r +r De a 1 para a 15 são 15 – 1 = 14 saltos a 15 = a 1 + 14r ou a 1 = a 15 – 14r De a 8 para a 12 são 12 – 8 = 4 saltos a 12 = a 8 + 4r ou a 8 = a 12 – 4r

38. Exemplos –r –r –r –r –r –r a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... +r +r +r +r +r +r De a 10 para a 13 são 13 – 10 = 3 saltos a 13 = a 10 + 3r ou a 10 = a 13 – 3r De a 23 para a 37 são 37 – 23 = 14 saltos a 37 = a 23 + 14r ou a 23 = a 37 – 14r

39. Exemplos Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e o termo geral a n . Na sucessão, a 1 = –2 e r = 4 – 1 = 3 a 15 = a 1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a 15 = 40 a n = a 1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3 ⇒ a n = –2 + 3n – 3 ⇒ a n = –5 + 3n

40. Exemplos A sucessão infinita de termo geral a n = 7 – 5n é uma P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A. Em a n = 7 – 5n , vamos fazer n = 3 e n = 10. a 3 = 7 – 5. 3 = 7 – 15 ⇒ a 3 = –8 a 10 = 7 – 5. 10 = 7 – 50 ⇒ a 10 = –43 a 10 = a 3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43 ⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5

41. Exemplos Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos? O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99) Na sucessão, a 1 = 12, r = 3 e a n = 99 . a n = a 1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3 ⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n ⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30

42. Soma dos termos na P.A.

43. Soma dos termos na P.A. O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade. Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss.

44. Soma dos termos na P.A. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100? 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 S = 101 . 50 = 5 050 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma P.A. (Nela a 1 = 1, a 100 = 100 e r = 1) .

45. Soma dos termos na P.A. Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos, a 1 + a n = a 2 + a n–1 = a 3 + a n–2 = a 4 + a n–3 = ... (a 1 a 2 a 3 a 4 ... a n-3 a n-2 a n-1 a n ) S n = (a 1 + a n ). n 2 n termos S n = a 1 + a n 2 .n

46. Exemplos Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um. Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...) a 30 = a 1 + 29r ⇒ a 30 = 1 + 29.2 ⇒ a 30 = 59 S 30 = a 1 + a 30 2 .n = 1 + 59 2 . 30 ⇒ S 30 = 900

47. Exemplos Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que as parcelas formam uma P.A. Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. a n = a 1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3 S 21 = a 1 + a 21 2 .n = 2 + 62 2 . 21 ⇒ S 21 = 672 ⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21

48. Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). a n = a 1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1 ⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2

49. Exemplos Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). S n = a 1 + a n 2 .n ⇒ 3 + x 2 . n = 150 ⇒ 3 + n + 2 2 . n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17

50. Progressões geométricas PG

51. Progressão aritmética Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias, em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a quantidade delas dobrava. 05 10 20 40 80 160 ... .2 .2 .2 .2 .2 .2 (5, 10, 20, 40, 80, 160, ...) A constante 2 é a razão da seqüência.

52. Definição Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica de termos não-nulos em que cada termo (a partir do segundo) é produto do seu antecessor com uma constante q , chamada razão da P.G. Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência a n = a n - 1 . q ⇒ a n /a n - 1 = q Portanto, a razão q é o quociente entre um termo qualquer e o anterior. q = a 2 /a 1 = a 3 /a 2 = a 4 /a 3 = ...

53. Exemplos (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente , porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3 Em geral, se a 1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente . Em geral, se a 1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente .

54. Exemplos (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente , porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: q = 20/40 = 0,5 = 10/20 = 5/10 Em geral, se a 1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é decrescente . Em geral, se a 1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente .

55. Exemplos (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante , porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: q = 3/3 = 1 Em geral, se q = 1 a P.G. é constante .

56. Exemplos (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante , porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua razão é: q = –6/3 = Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante . 12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2

57. Exemplos Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x. Na sucessão, a 1 = x, a 2 = x + 3 e a 3 = 2x + 14 Se ela é uma P.G., deve ser: a 2 /a 1 = a 3 /a 2 x + 3 x = 2x + 14 x + 3 ⇒ (x + 3) 2 = x(2x + 14) ⇒ x 2 + 6x + 9 = 2x 2 + 14x ⇒ x 2 + 8x – 9 = 0 ⇒ x’ = –9 ou x” = 1 (1, 4, 16) q = 4 (–9, –6, –4) q = 2/3

58. Observação Da definição de P.G. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media geométrica dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a 1 , a 2 e a 3 , ⇒ (a 2 ) 2 = a 1 . a 3 a 2 a 1 = a 3 a 2

59. Termo geral de uma P.G.

60. Termo geral da P.G. Numa progressão geométrica o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeiro termo e da razão.

61. Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ... .q .q .q .q .q .q Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa multiplicar pela razão. De a 1 até a 2 temos 1 salto ⇒ a 2 = a 1 .q De a 1 até a 3 temos 2 saltos ⇒ a 3 = a 1 .q 2 De a 1 até a 4 temos 3 saltos ⇒ a 4 = a 1 .q 3 E assim por diante.

62. Termo geral da P.G. Observe a seqüência de termos abaixo. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ... .q .q .q .q .q .q De maneira geral, de a 1 até um termo genérico a n , são (n – 1) saltos. a n = a 1 .q n–1 a n é o enésimo termo n é a posição do termo

63. Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. :q :q :q :q :q :q a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... .q .q .q .q .q .q Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão; saltar para o termo anterior é dividir pela razão.

64. Exemplos :q :q :q :q :q :q a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... .q .q .q .q .q .q De a 1 para a 18 são 18 – 1 = 17 saltos a 18 = a 1 .q 17 ou a 1 = a 18 :q 17 De a 5 para a 11 são 11 – 5 = 6 saltos a 11 = a 5 .q 6 ou a 5 = a 11 :q 6

65. Exemplos :q :q :q :q :q :q a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 ... .q .q .q .q .q .q De a 13 para a 16 são 16 – 13 = 3 saltos a 16 = a 13 .q 3 ou a 13 = a 16 :q 3 De a 11 para a 37 são 37 – 11 = 26 saltos a 37 = a 11 .q 26 ou a 11 = a 37 :q 26

66. Exemplos Na P.G. (3, 6, 12, ...) achar o oitavo termo e o termo geral a n . Na sucessão, a 1 = 3 e q = 6/3 = 2 a 8 = a 1 . q 7 = 3.2 7 = 3 . 128 ⇒ a 8 = 384 a n = a 1 .q n–1 ⇒ a n = 3.2 n–1

67. Exemplos Obter a razão q e o termo a 12 da P.G. crescente na qual a 6 = 12 e a 10 = 48. De a 6 até a 10 são 10 – 6 = 4 saltos. ⇒ a 10 = a 6 .q 4 ⇒ 48 = 12.q 4 ⇒ q 4 = 4 ⇒ q = ± √2 para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2 ⇒ a 12 = a 10 .q 2 = 48.(√2 ) 2 ⇒ a 12 = 96

68. Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios? Veja o que ocorre, por exemplo, até março. 320 240 80 3. Março 80 60 20 2. Fevereiro 20 – 20 1. Janeiro Total novos antigos mês a 1 a 2 a 3

69. Exemplos Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920 sócios? Os totais de sócios mês a mês formam a P.G. (20, 80, 240, ...) , de razão q = 4 . a n = a 1 .q n–1 ⇒ 81 920 = 20.4 n–1 ⇒ 4 n–1 = 4 096 ⇒ 4 n–1 = 4 6 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7 O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7).

70. Exemplos Numa P.G. oscilante, a 4 + a 6 = 40 e a 2 + a 4 = 10. Calcular o primeiro termo e a razão. Vamos escrever cada termo em função do primeiro termo a 1 e da razão q . a 4 + a 6 = a 1 .q 3 + a 1 .q 5 = 40 ⇒ a 1 .q 3 (1 + q 2 ) = 40 a 2 + a 4 = a 1 .q + a 1 .q 3 = 10 ⇒ a 1 .q(1 + q 2 ) = 10 a 1 .q(1 + q 2 ) = 10 a 1 .q 3 (1 + q 2 ) = 40 ⇒ q 2 = 4 ⇒ q = ± 2 P.G. oscilante q = –2, então a 1 = –1.

71. Soma dos termos na P.G.

72. Soma finita dos termos de uma P.G. Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos para isso, conhecer os valores de todos os seus termos a serem somados.

73. Soma finita na P.G. constante (q = 1) Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a soma dos n primeiros termos. Prof. Jorge Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a soma dos 8 primeiros termos é S 8 = 8.3 = 24 A soma dos 20 primeiros termos é S 20 = 20.3 = 60

74. Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 2 1 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 + 2 10 . A expressão (2 1 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 + 2 10 ) representa a soma dos dez termos de uma P.G. , onde a 1 = 2 e q = 2 . S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 + 2 10 (A) 2. S = 2. 2 1 + 2.2 2 + 2.2 3 + ... + 2.2 9 + 2.2 10 (B) 2. S = 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 10 + 2 11

75. Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das potências de 2, com expoentes naturais de um até dez: 2 1 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 + 2 10 . Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A). 2.S – S = 2 11 – 2 1 ⇒ S = 2 11 – 2 1 ⇒ S = 2048 – 2 = 2046

76. Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1) De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n–1 + a n q. S n = a 1 .q + a 2 .q + a 3 .q + ... + a n–1 .q + a n .q (1) q.S n = a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n + a n + 1 (2) q.S n – S n = a n+1 – a 1 ⇒ S n .(q – 1) = a 1 .q n – a 1 S n = q – 1 a 1 .(q n – 1) (q ≠ 1)

77. Exemplos Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um. Na P.G., temos a 1 = 2 e q = 3. queremos S 8 . S 8 = q – 1 a 1 .(q 8 – 1) = 3 – 1 2.(3 8 – 1) = 3 8 – 1 = 6 560

78. Exemplos Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades de um certo produto. Nos meses seguintes, a produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada de janeiro a abril? A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a 1 = 20 000 . S 4 = q – 1 a 1 .(q 4 – 1) = 1,1 – 1 20 000.(1,1 4 – 1) = 0,1 20 000.(1,4641 – 1) = 92 820

79. Somas convergentes numa P.G. infinita

80. Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8 m cada um e colocou-os lado a lado. 8 m 8 m Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado. 8 m 4 m 4 m

81. Somas convergentes na P.G. infinita Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira. Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado a lado. 8 m 4 m 2 m 2 m Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao meio.

82. Somas convergentes na P.G. infinita Continuando infinitamente esse processo, observa-mos: O total de pedaços obtidos é infinito; O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a metade do anterior). A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos termos de uma P.G. infinita : 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... a 1 = 8 e a q = 0,5 . Quanto mais parcelas são somadas, cada vez mais a soma se aproxima de 16.

83. Somas convergentes na P.G. infinita Uma P.G. é convergente , se a soma dos seus infinitos termos tender para um determinado número. Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim S n . 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... Lim S n = 16 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é convergente ⇔ 0 < | q | < 1.

84. Exemplos A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1 . A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1 . A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a razão da P.G. q = 3, q > 1 .

85. Somas convergentes na P.G. infinita De maneira Geral. O limite da soma dos termos de uma P. G. infinita é dado por S n = q – 1 a 1 .(q n – 1) q n → n → ∞ .... ... 0,5 5 = 0,03125 5 0,5 4 = 0,0625 4 0,5 3 = 0,125 3 0,5 2 = 0,25 2 0,5 1 = 0,5 1 q n n ⇒ S n = q – 1 a 1 .(0 – 1) ⇒ Lim S n = 1 – q a 1

86. Exemplos Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e calcular seu valor. Na P.G. a razão q = –2/3 . 0 < | q | < 1. A soma é convergente Lim S n = 1 – q a 1 = 1 + 2/3 18 = 5/3 18 = 18 . 5 3 = 10,8

87. Exemplos Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração geratriz da dízima periódica 2,533333... A dízima é igual à seguinte soma infinita: 2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ... P.G. infinita: a 1 = 0,03 e q = 0,1. Lim S n = 1 – q a 1 = 1 – 0,1 0,03 = 0,9 0,03 = 1/30 2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15

88. Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser?

89. Exemplos Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente à anterior. Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito, para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas eu quiser? As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...) convergente de a 1 = 90 e q = 0,85 . Lim S n = 1 – q a 1 = 1 – 0,85 90 = 0,15 90 = 600 cm