propietats_mecàniques_reticula_discreta.pdf

Fisica del estat sòlid i superfícies GEMIF MODEL DISCRET (TEMA 2)

1. Física d’estat sòlid i superfícies
Grau d’Enginyeria Matemàtica i Física
Prof.: Francesc Díaz

2. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

3. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Dinàmicadexarxes
o Oscil·ladoraïllaten1D: ????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=
1
2
????????????
????????????????????????; ????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? =
1 2
????????????
????????????????????????
Pertant
????????????=
1
2
????????????????????????
2
=????????????
????????????�????????????⇒????????????=
2????????????
????????????????????????
????????????
o Oscil·ladoraïllaten3D:????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=
3
2
????????????
????????????????????????;????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? =
3 2
????????????
????????????????????????
????????????=
1 2
????????????????????????
2
=3????????????
????????????�????????????
Aquestmodelaplicattantaàtomscomoacel·lescristal·linesnoprediuel
comportamentdelsòliddelqueparticipen.

4. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Model1Denques’incorporaenllaç:presenciadeinteraccióproperaambenllaçelàstic
linealdetotàtomambelsdosméspròxims
Enunàtom????????????−????????????????????????????????????????????????,µ(constantelàsticad’enllaç)
Suposantcadenainfinita
Introduintalaequaciódiferencials’obté:
????????????−1 ???????????? ????????????+1
????????????
????????????−1
????????????
???????????? ????????????
????????????+1
????????????�̈????????????
????????????=−????????????????????????
????????????−????????????
????????????−1−????????????????????????
????????????−????????????
????????????+1
????????????�̈????????????
????????????=−????????????2????????????
????????????−????????????
????????????−1−????????????
????????????+1; ????????????
????????????????????????,?????????????????????????????
????????????=????????????�????????????
????????????=paràmetrexarxa
????????????
????????????=????????????????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????????????????
, provem!
????????????
????????????−1=????????????�????????????
????????????????????????????????????−1????????????−????????????????????????
????????????
????????????+1=????????????�????????????
????????????????????????????????????+1????????????−????????????????????????
̈????????????
????????????=−????????????
2
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????−????????????????????????
????????????=
ꞷ
????????????
−????????????????????????
2
=−????????????2−????????????
−????????????????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????
=−2????????????1−cos????????????????????????

5. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Pertant:
????????????=
2????????????
????????????
1−cos????????????????????????=
2????????????
????????????
�2�sin
????????????????????????
2
=2
????????????
????????????
�sin
????????????????????????
2
????????????=2
????????????
????????????
�sin
????????????????????????
2
; ????????????(????????????)
Apareix per primera vegada Funció de dispersió reticular
Pensem en ???????????? ! k es el nombre d’ones, en el cas 3D le diem vector d’ones
(recordem????????????=
2????????????
????????????
)
si ????????????→∞⇒????????????→0, ara bé, per l’altreextremla ????????????↛0, está acotada abansde zero:

6. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

7. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
????????????=2
????????????
????????????
�sin
????????????????????????
2
; ????????????(????????????)
Tornant a la funció de dispersió:
Donat el petit valor de apodem aproximar el sinus
al angle (aproximació lineal)
En k 0 (λ>>)
Pendent=a????????????/????????????= v
f= v
g
????????????
????????????????????????????????????=
????????????????????????
????????????
????????????
????????????=????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
A diferencia del sòlid continu aquí
tenim un límit de ????????????
????????????????????????????????????

8. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
I ens podem demanar si el valors de k entre 0 i
π/a son continus o discrets ?
Son discrets, però l’interval depèn de la grandària de la mostra 1D monoatòmica
en estudi

9. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Llavors podem parlar de densitat de modes:

10. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Model1Ddecristalldiatòmic(m
1,m
2),constantelàsticad’enllaçµiparàmetredecel·lab.

11. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

12. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

13. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
C µ
a b
M
1 m
1
M
2 m
2
BANDA OPTICA
BANDA PROHIBIDA
BANDA ACUSTICA
El numero de modes ara serà : Nnumero de cel·les x znumero d’àtoms per cel·la.
En aquest cas seria 2N : N en banda òptica i N en banda acústica, però realment
acústic (λ >> ) solament serà 1 .

14. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Si intentem generalitzar a cristalls 3D amb N cel·les i zàtoms per cel·la, el nombre
de modes serà:
3zN
De los que realment acústics solament tindrem 3.
Dels tres acústics dos son transversals i un longitudinal.
De la mateixa manera dels 3zN –3 òptics, 2/3 també son transversals: 2(zN- 1) i
solament (zN-1) seran longitudinals.

15. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Podem parlar de la densitat de modes del cristall

16. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies
Estudiquàntic.Fonons

17. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

18. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies

19. Prof. F. Díaz Grau d’EnginyeriaMatemàticai Física
Física d’estat sòlid i superfícies