Quantum Decision Theory And Complexity Modelling In Economics And Public Policy Anirban Chakraborti

Quantum Decision Theory And Complexity Modelling
In Economics And Public Policy Anirban
Chakraborti download
https://ebookbell.com/product/quantum-decision-theory-and-
complexity-modelling-in-economics-and-public-policy-anirban-
chakraborti-52456054
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Decoherence Einselectionand The Quantum Origins Of The Classical
Wojciech Hubert Zurek
https://ebookbell.com/product/decoherence-einselectionand-the-quantum-
origins-of-the-classical-wojciech-hubert-zurek-907266
Free Will And Consciousness In The Multiverse Physics Philosophy And
Quantum Decision Making 1st Ed Christian D Schade
https://ebookbell.com/product/free-will-and-consciousness-in-the-
multiverse-physics-philosophy-and-quantum-decision-making-1st-ed-
christian-d-schade-9962154
Quantum Models Of Cognition And Decision Jerome R Busemeyer
https://ebookbell.com/product/quantum-models-of-cognition-and-
decision-jerome-r-busemeyer-4385942
Quantumlike Models For Information Retrieval And Decisionmaking 1st Ed
2019 Diederik Aerts
https://ebookbell.com/product/quantumlike-models-for-information-
retrieval-and-decisionmaking-1st-ed-2019-diederik-aerts-10798718

Chaotic Dynamics And Transport In Classical And Quantum Systems Pierre
Collet North Atlantic Treaty Organization Scientific Affairs Division
Et Al
https://ebookbell.com/product/chaotic-dynamics-and-transport-in-
classical-and-quantum-systems-pierre-collet-north-atlantic-treaty-
organization-scientific-affairs-division-et-al-2631194
Quantum Physics Of Semiconductor Materials And Devices Debdeep Jena
https://ebookbell.com/product/quantum-physics-of-semiconductor-
materials-and-devices-debdeep-jena-44870894
Quantum Computing For The Quantum Curious Ciaran Hughes Joshua
Isaacson
https://ebookbell.com/product/quantum-computing-for-the-quantum-
curious-ciaran-hughes-joshua-isaacson-44887736
Quantum International Relations A Human Science For World Politics
James Der Derian
https://ebookbell.com/product/quantum-international-relations-a-human-
science-for-world-politics-james-der-derian-44888204
Quantum Economics And Finance An Applied Mathematics Introduction 3rd
Edition David Orrell
https://ebookbell.com/product/quantum-economics-and-finance-an-
applied-mathematics-introduction-3rd-edition-david-orrell-44939108

New Economic Windows
Anirban Chakraborti
Emmanuel Haven
Sudip Patra
Naresh Singh Editors
Quantum
Decision Theory
and Complexity
Modelling in
Economics and
Public Policy

Quantum Decision Theory and Complexity
Modelling in Economics and Public Policy

New Economic Windows
Series Editors
Marisa Faggini, Department of Economics and Statistics/DISES, University of
Salerno, Fisciano (SA), Italy
Mauro Gallegati, DISES, Politecnica delle Marche University, Ancona, Italy
Alan P. Kirman, EHESS, Aix-Marseille University, Marseille, France
Thomas Lux, University of Kiel, Kiel, Germany
Editorial Board
Fortunato Tito Arecchi, Scientiﬁc Associate of Istituto Nazionale di Ottica (INO)
del CNR, Emeritus of Physics, University of Firenze, Firenze, Italy
Sergio Barile, Dipartimento di Management, University of Rome “La Sapienza”,
Rome, Italy
Bikas K. Chakrabarti, Saha Institute of Nuclear Physics, S. N. Bose National
Centre for Basic Sciences, Indian Statistical Institute, Kolkata, India
Arnab Chatterjee, TCS Innovation Labs, The Research and Innovation unit of Tata
Consultancy Services, Gurgaon, India
David Colander, Department of Economics, Middlebury College, Middlebury,
USA
Richard H. Day, Department of Economics, University of Southern California,
Los Angeles, USA
Steve Keen, School of Economics, History and Politics, Kingston University,
London, UK
Marji Lines, Università Luiss Guido Carli, Rome, Italy
Alfredo Medio, Groupe de Recherche en Droit, Économie, Gestion (GREDEG),
Institut Supérieur d’Économie et Management (ISEM), Université de Nice-Sophia
Antipolis, Nice, France
Paul Ormerod, Volterra Consulting, London, UK
J. Barkley Rosser, James Madison University, Harrisonburg, USA
Sorin Solomon, Racah Institute of Physics, The Hebrew University of Jerusalem,
Jerusalem, Israel
Kumaraswamy Velupillai, Department of Economics, The New School for Social
Research, New York, USA
Nicolas Vriend, School of Economics and Finance, Queen Mary University of
London, London, UK

Anirban Chakraborti
Sudip Patra
Editors
Quantum Decision Theory
and Complexity Modelling
in Economics and Public
Policy

Editors
Anirban Chakraborti
BML Munjal University
Gurugram, India
Sudip Patra
Jindal School of Government and Public Policy O.P. Jindal Global University Sonipat, India
Emmanuel Haven
Faculty of Business Administration Memorial University St. John’s, NL, Canada
Naresh Singh
Jindal School of Government and Public Policy O.P. Jindal Global University Sonipat, India
ISSN 2039-411X ISSN 2039-4128 (electronic)
New Economic Windows
ISBN 978-3-031-38832-3 ISBN 978-3-031-38833-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-031-38833-0
© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature
Switzerland AG 2023
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether
the whole or part of the material is concerned, speciﬁcally the rights of translation, reprinting, reuse
of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microﬁlms or in any other physical way, and
transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar
or dissimilar methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a speciﬁc statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book
are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or
the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any
errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional
claims in published maps and institutional afﬁliations.
This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Preface
This volume contains essays that were mostly presented in the International Confer-
ence on
and Public Policy
University. The conference served as a platform for sharing interdisciplinary knowl-
edge between the experts and young minds including Ph.D. scholars, post-doctoral
fellows and graduate students.
We must mention that a Centre for Complexity Economics, Applied Spirituality
and Public Policy (CEASP) was envisaged during the conference, which ﬁnally came into existence in September 2020 amidst the global lockdown due to the Covid-19 pandemic. The CEASP, Jindal School of Government and Public Policy (JSGP), then
went ahead and organized several panel discussions, as well as its ﬁrst International Conference on ‘Artiﬁcial Intelligence in Complex Socio-Economic Systems and Public Policy’ during 20–22 January, 2021 in online mode. The editors are pleased
that discussions at the February 2020 conference eventually led to so much activity in these interdisciplinary areas.
The current volume builds upon the emerging ﬁelds of Econophysics, Complexity
theory and Quantum like modelling in cognition and social sciences, and their plausible applications in economics and public policy. There can be deep linkages between the micro, meso and macro scales at which these paradigms operate. With
the availability of big data sets, researchers are now able to address questions of an empirical nature and frame evidence-based and evidence-informed policies. The essays appearing in this volume include the contributions of distinguished experts
and researchers and their co-authors from varied communities—economists, sociol- ogists, mathematicians, physicists, statisticians and others. We have received critical
thoughts from noted experts in the social and natural sciences to explore possible interconnections. The editors of this volume earnestly hope that the critical reviews presented in this volume would create further scholarly interests, but also interest
among policy practitioners to explore possibilities for creating a new paradigm for comprehending pressing issues of deep uncertainty and emergence in social dynamics.
v

vi
A few papers have been included that were not presented at the meeting since
the contributors could not attend due to unavoidable reasons. The contributions are
organized into two parts. The ﬁrst part comprises papers on ‘Quantum Modelling’.
The papers appearing in the second part include studies in ‘Complexity Theory’.
We are extremely grateful to all the local organizers and volunteers for their
invaluable roles in organizing the meeting, and all the participants for making the conference a success. We acknowledge all the experts for their contributions to this
volume. The editors are also grateful to Mauro Gallegati and the Editorial Board of the New Economic Windows series of the Springer-Verlag (Italy) for their continuing support in publishing the Proceedings in their esteemed series. The editors and orga-
nizers also acknowledge the administrative and ﬁnancial support from O.P. Jindal Global University, Sonepat, India.
Gurugram, India
St. John’s, Canada
Sonipat, India
Sonipat, India
June 2023
Anirban Chakraborti
Emmanuel Haven
Sudip Patra
Naresh Singh

Contents
Part I Quantum Decision Theory
1A Brief Overview of the Quantum-Like Formalism in Social
Science.......................................................3
Andrei Khrennikov and Emmanuel Haven
2Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness
from Theory of Open Quantum Systems.........................11
Andrei Khrennikov
3Hilbert Space Modelling with Applications in Classical
Optics, Human Cognition, and Game Theory....................25
Partha Ghose and Sudip Patra
4Remodeling Leadership: Quantum Modeling of Wise
Leadership...................................................43
David Rooney and Sudip Patra
5Quantum Financial Entanglement: The Case of Strategic
Default.......................................................85
David Orrell
6Quantum-Like Contextual Utility Framework Application
in Economic Theory and Wider Implications....................103
Sudip Patra and Sivani Yeddanapudi
Part II Complexity Modeling in Economics and Public Policy
7Complexity Economics: Why Does Economics Need This
Different Approach?...........................................129
W. Brian Arthur
8Policy and Program Design and Evaluation in Complex
Situations....................................................145
Naresh Singh
vii

viii
9Market State Dynamics in Correlation Matrix Space.............173
Hirdesh K. Pharasi, Suchetana Sadhukhan, Parisa Majari,
Anirban Chakraborti, and Thomas H. Seligman
10 Interstate Migration and Spread of Covid-19 in Indian States.....195
Debajit Jha, Suhaas Neel, Hrishidev, and Anirban Chakraborti
11 Trade Intervention Under the Belt and Road Initiative
with Asian Economies.........................................217
Sunetra Ghatak and Sayantan Roy
12 Innovation Diffusion with Intergroup Suppression:
A Complexity Perspective......................................231
Syed Shariq Husain, Joseph Whitmeyer, and Anirban Chakraborti
Epilogue: Nobel Prize in Physics for Complexity Studies and Weather Behavior—Implications for Social
Sciences and Public Policy
................................247
References........................................................251

Part I
Quantum Decision Theory

Chapter 1
A Brief Overview of the Quantum-Like
Formalism in Social Science
Andrei Khrennikov and Emmanuel Haven
Abstract
of applications where we believe the formalism from quantum mechanics has been
(and can be) fruitfully applied. Over the past decade, progress has been made on
using elements of this formalism in decision making models but also in data retrieval
approaches and even in areas such as ﬁnance.
Introduction
Over the past century, interactions between the social sciences and exact sciences
have increased in a manyfold way. Louis Bachelier (Bachelier 1900) in 1900 intro-
duced the beginnings of stochastic calculus in ﬁnance! During the twentieth century,
over the course of many years, economics and ﬁnance used ideas from physics.
As an example, the eminent physicist and mathematician, John von Neumann (von
Neumann and Morgenstern 2007), did not only make enormous contributions to
mathematics and physics but also to economics. We can give many other examples.
We have seen over the last decade, the development of a new movement which
this time, very speciﬁcally, focusses on using ideas from the formalism of quantum mechanics to the social sciences. This area of research considers applications in an
array of ﬁelds. For example, within the formalization of decision making in both psychology and economics, new strong results have appeared. For a most recent
and strong result, we refer the interested reader to the use of so called non-atomic quantum instruments (Ozawa and Khrennikov
2021).
A. Khrennikov
Department of Mathematics and International Center for Mathematical Modelling, Linnaeus
University, Växjö, Sweden
e-mail: [email protected]
E. Haven (B)
Faculty of Business Administration, Memorial University, St. John’s, Canada
e-mail: [email protected]
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 A. Chakraborti et al. (eds.), in Economics and Public Policy, New Economic Windows,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-38833-0_1
3

4 A. Khrennikov and E. Haven
Quantum Versus Quantum-Like
It is important to stress that in the sequel below, we do not speak about genuine
quantum systems. In particular, we are not interested in quantum physical processes
in the human brain.
The idea of ‘quantum-like’ refers ﬁrst and foremost to using the formalism of
quantum mechanics to areas outside of physics. The quantum-like approach does not claim that social science (or any other non-physics area of application) would be
intrinsically quantum mechanical.
Can we be more precise on what is meant with ‘quantum-like’? In the introduction
of an edited book on quantum-like applications (Haven and Khrennikov 2017,p.v),
we indicated that by using the quantum-like paradigm one “need not search for quantum physical processes which might lead to the appearance of quantum-like
features in behavior. The quantum formalism is treated as an operational formalism describing outputs of possible measurements, including the self-measurements.”
The number of ﬁelds where such deﬁnition is usable is vast. There is a plethora
of essentially non-classical data from domains ranging from political science and ﬁnance to psychology and biology.
Quantum Probabilistic Modelling of Decision Making: Is
This Exotic?
The sceptic observer may well ask the natural question: besides the intellectual
satisfaction of using a more advanced mathematical formalism to difﬁcult problems
in any of the cognate areas cited above, is there evidence that this ‘exotic’ approach
delivers new powerful results? We believe we can be afﬁrmative in our response
to this question, when considering the recent results obtained in the formalization
of decision making (see Ozawa and Khrennikov
2021 cited above). A well-known
paradox in normative decision making, such as the Ellsberg paradox can be tackled via the use of a generalized probability rule, i.e. the quantum probability rule. The
existence of this very paradox was already uncovered more than 40 years ago by Kahneman and Tversky (
1979) The quantum-like approach, in essence, provides for
a formal response to this paradox.

1 A Brief Overview of the Quantum-Like Formalism in Social Science 5
What is the Main Advantage of Quantum Information
Processing?
As we remarked in Haven and Khrennikov (2017, p. vi), collective social systems, are
characterized by a deeper uncertainty. This uncertainty is not representable via clas-
sical probability. We do write Haven and Khrennikov (2017, p. vi) “such a deep uncer-
tainty is represented by using two basic structures of the mathematical formalism of
quantum theory, superposition and entanglement of states. A core principle under-
lying this deeper uncertainty refers to incompatible observables which can be found
back in many real-world instances where decision making occurs.
Classical Versus Quantum Probability
Classical probability is rooted in the axiomatics developed by Kolmogorov (1933).
The logical underpinning underlying that probability structure is classical—or also
Boolean. The probability of two disjoint events is simply the sum of the probabil-
ities of each event. This is fundamentally different from the quantum probabilistic
structure. We note the following salient points:
.quantum probability works complex probability amplitudes
.the probability measure emerges via the use of the Born rule (one needs to square the absolute value of the complex amplitude)
.there is violation of additivity: there is an additional interference term. The pres- ence of the latter term can either increase or decrease probability in comparison to classical probability
.the law of total probability is violated.
Classical (Bayesian) Versus Quantum (Generally
non-Bayesian) Rationality and Social Lasing
In classical decision making, the rational behavior of agents is formalized with the
aid of the Savage sure-thing principle.
As an example, one imagines a decision maker who is unsure whether to acquire
a property before a major election. As per Savage (1954, p. 21) “seeing that he would
buy in either event, he decides that he should buy, even though he does not know
which event will obtain.”
As we have remarked in earlier work (see Khrennikov 2010; Haven and Khren-
nikov 2013a), the sure thing principle is a consequence of the law of total proba-
bility. Hence, violating that law will imply violating the sure thing principle. There are

6 A. Khrennikov and E. Haven
multiple instances of real-world decision-making which clearly steer away from satis-
fying that sure-thing principle. Another well-known example of the sure-thing prin-
ciple violation is the so called sequential gambling experiment, where, as remarked
by Busemeyer and Wang (
2007, p. 92) under a Markovian regime, “the probability of
gambling in the unknown case must be the average of the probabilities of gambling in the two known cases.” We note the unknown case indicates that a gambler is not informed of the outcome of the ﬁrst gamble; whilst in the two known cases,
one receives the information one has won or lost in the ﬁrst gamble. On the face of multiple real world experiments, this required average simply does not materialize. It is precisely such observation which then calls in for the construction of unknown
states being the superposition of lost and won states (see Busemeyer and Wang
2007).
The question we can now ask is this: if a decision-maker exhibits violating the law
of total probability but does conform to the quantum probability rule, what ‘type’ of
rationality does he or she exhibit?
As we remarked above, the incompatibility of observables is a source for the
deeper uncertainty we are attempting to formalize here in a non-physics context. The Kolmogorovian axiomatic framework requires a common event algebra. However,
within a quantum framework, such common event algebra need not at all exist. The information overload brough about by the existence of a plethora of internet
information sources leads quite naturally to the inability of a decision maker to
construct a joint algebra of all possible events. Within quantum rationality, there is
no need to edify a single Boolean algebra to capture—all the information.
We can extend the above thought. Let us denote the so called ‘information ﬁeld’
as generated by the various internet information sources. As one of us remarked in Khrennikov (
2020, p. 48): “For a social analogue of the physical laser the basic
social energy source is the information ﬁeld…” That information ﬁeld needs to be
modelled as a quantum ﬁeld and the two key ingredients for such a ﬁeld are the
so called annihilation and creation operators, which respectively absorb information
excitation and emit information excitation (Khrennikov 2020, p. 13]. For a more
detailed discussion of the quantum ﬁeld, within the setting of social lasing and stim-
ulated ampliﬁcation of social action (SASA) (see Khrennikova 2017 and Chap. 2
(pp. 23–) in Khrennikov 2020).
Agreeing to Disagree
A key theorem in economic theory is the so called Aumann theorem. One of us published a paper in the Journal of Mathematical Economics (Khrennikov
2015,
p. 90) where a central result was that “Aumann’s theorem for quantum(-like) agents
is violated, since states and observables are represented by operators which are in
general noncommutative.”
The quantum like version negates the Aumann theorem—i.e. quantum agents
can agree to disagree (even with common knowledge) and a central idea here is that in the quantum-like approach we can make the argument that, within decision

1 A Brief Overview of the Quantum-Like Formalism in Social Science 7
making, the processing of information happens via quantum logical rules. Rationality,
here relates, as we already mentioned above, to quantum probability (see further in
Khrennikov and Basieva 2014).
Classical Physics Formalism in Economics and Finance
The input of classical mechanics (but not quantum mechanics) to economics and ﬁnance is not at all new. In fact, option pricing theory was already being formulated
(albeit in an incorrect way) back in the beginning of the twentieth century by one of the doctoral students of the illustrious mathematician Henri Poincaré. His name was Louis Bachelier and he was the ﬁrst person in history to use Brownian motion in
social science. Later on, when Black and Scholes came to write their seminal paper on option pricing theory, they devised a PDE which was a backward Kolmogorov PDE. The forward version of that PDE physicists know well—it is the Fokker Planck PDE
which describes a time dependent evolution of a probability density function. There are other examples where classical mechanics has made important inroads to ﬁnance
and economics. See for instance Onella et al. (
2003). The area of econophysics has
provided for tools from physics to uncover hidden patterns in social science data.
Quantum-Like Formalism in Economics and Finance
As already mentioned above, the basic mathematical set up in classical (statistical) mechanics differs quite substantially from that used in quantum physics. In quantum
mechanics we use a vector space, often known under the name of Hilbert space. States and measurements are identically the same in classical physics. They are not the same in quantum mechanics. There are interesting avenues in both economics and
ﬁnance, which can be researched further using elements of the quantum formalism. Some ideas have been shown in the monographs by Khrennikov (
2010) and by Haven
and Khrennikov (2013a, 2017), Haven et al. (2017), and in a recent special issue of
the Journal of Mathematical Economics (Haven et al. 2018) and also in Khrennikova
and Patra (2019).
Here are some brief examples. There is a connection between the absence of
arbitrage and the use of so-called open systems (i.e. the system is not isolated). Open systems have also been used to explain voting behavior in US elections (see
Khrennikova
2014; Khrennikova et al. 2014). Another example consists in explicitly
using potential functions as ‘devices’ which capture types of information in ﬁnance. Next to the real potential function, which can capture an aspect of public information
there exists also another type of potential—the quantum potential. That potential is narrowly connected to so-called Fisher information. Groundwork on using this type of potential in ﬁnance was laid in the paper by Khrennikov (
1999) where
from the quantum potential, a pricing rule could be formed (see also Haven and

8 A. Khrennikov and E. Haven
Khrennikov 2013b). Finally, this approach has an ultimate goal: if time dependent
price paths can be formalized which are sensitive to changes in speciﬁc aspects of
public information, we will have found a major contributor to using successfully
the quantum formalism in ﬁnance.
Conclusion
The quantum mechanical formalism has shown to be of practical value in explaining
deviations from decision making which does not follow rationality axiomatics like
the sure-thing principle in the Savage expected utility model. The approach does
not at all imply there are quantum mechanical processes occurring at a macroscopic
level. Rather, the use of the formalism to social science problems in general, in effect,
does bring in the use of a different mathematical structure, i.e. the Hilbert space.
References
Bachelier, L.: Théorie de la spéculation. Annales de l’Ecole normale supérieure, 3rd series, 17,
pp. 21–86 (1900). Trans. by A.J. Boness in The Random Character of Stock Market Prices, ed.
P.H. Cootner. MIT Press, Cambridge, MA (1967)
Busemeyer, J., Wang, Z.: Quantum information processing: explanation for interactions between
inferences and decisions. In: Bruza, P.D., Lawless, W., van Rijsbergen, K., Sofge, D. (eds.) Quantum Interaction (Stanford University). Papers from the AAAI Spring Symposium. Technical Report SS-07-08, pp. 91–97 (2007)
Haven, E., Khrennikov, A.: Quantum Social Science. Cambridge University Press (2013a)
Haven, E., Khrennikov, A.: Quantum-like tunnelling and levels of arbitrage. Int. J. Theor. Phys.
4083–4099 (2013b)
Haven, E., Khrennikov, A.: The Palgrave Handbook of Quantum Models in Social Science. Palgrave-
McMillan Publishers (2017)
Haven, E., Khrennikov, A., Robinson, T.: Quantum Methods in Social Science: A First Course.
World Scientiﬁc Publishers (2017)
Haven, E., Khrennikov, A., Ma, C., Sozzo, S.: Quantum probability theory and its economic
applications. Special Issue. J. Math. Econ.
Kahneman, D., Tversky, A.: Prospect theory: an analysis of decision under risk. Econometrica
47
Khrennikov, A.: Classical and quantum mechanics on information spaces with applications to
cognitive, psychological, social and anomalous phenomena. Found. Phys.
Khrennikov, A.: Ubiquitous Quantum Structure: from Psychology to Finance. Springer (2010)
Khrennikov, A.: Quantum version of Aumann’s approach to common knowledge: sufﬁcient
conditions of impossibility to agree on disagree. J. Math. Econ.
Khrennikova, P.: Order effect in a study on US voter’s preferences: quantum framework
representation of the observables. Physica Scripta
Khrennikov, A.: Social Laser. J. Stanford Publishing (2020)
Khrennikov, A., Basieva, I.: Possibility to agree on disagree from quantum information and decision
making. J. Math. Psychol.
Khrennikova, P.: Modeling behavior of decision makers with the aid of algebra of qubit creation-
annihilation operators. J. Math. Psychol.

1 A Brief Overview of the Quantum-Like Formalism in Social Science 9
Khrennikova, P., Patra, S.: Asset trading under non-classical ambiguity and heterogeneous beliefs.
Physica A
Khrennikova, P., Haven, E., Khrennikov, A.: An application of the theory of open quantum systems
to model the dynamics of party governance in the US political system. Int. J. Theor. Phys. (4),
1346–1360 (2014)
Kolmogorov, A.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer (1933)
Onnela, J.P., Chakraborti, A., Kaski, K., Kertész, J., Kanto, A.: Dynamics of market correlations:
taxonomy and portfolio analysis. Phys. Rev. E
Ozawa, M., Khrennikov, A.: Modelling combination of question order effect, response replicability
effect, and QQ-equality with quantum instruments. J. Math. Psychol.
Savage, L.: The Foundation of Statistics. Wiley (1954)
von Neumann, J., Morgenstern, O.: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University
Press (2007)

Chapter 2
Cooperative Functioning of Unconscious
and Consciousness from Theory of Open
Quantum Systems
Andrei Khrennikov
Abstract
scious and consciousness. The model is based on the theory of open quantum systems.
Unconscious and consciousness are treated as bio-information systems. The latter
plays the role a measurement apparatus for the former. States of both systems are
represented in Hilbert spaces. Consciousness performs measurements on the states
which are generated in unconscious. This process of unconscious-conscious inter-
action is described by the scheme of indirect measurements. This scheme is widely
used in quantum information theory and it leads to the theory of quantum instru-
ments (Davis-Lewis-Ozawa). Our approach is known as quantum-like modeling. It
should be sharply distinguished from modeling of genuine quantum physical pro-
cesses in biosystems, in particular, in the brain. In the quantum-like framework, the
brain is a black box processing information in the accordance with the laws of quan-
tum theory. During the last 10–15 years this framework has been actively used in
cognition, psychology, decision making, social and political sciences. The quantum-
like scheme of unconscious-consciousness functioning has already been explored
for sensation-perception modeling.
Keywords ·Consciousness ·Quantum-like models ·Decision
making
·Indirect measurement scheme ·Open quantum systems ·Sensation ·
Perception
Introduction
The quantum information revolution (also known as the second quantum revolution) has big impact not only to technology, but also to quantum foundations. This revo-lution led to elaboration of few information interpretations of quantum mechanics
A. Khrennikov (B)
International Center for Mathematical Modeling in Physics and Cognitive Sciences, Linnaeus
University, Växjö 351 95, Sweden
e-mail:
[email protected]
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 A. Chakraborti et al. (eds.),
in Economics and Public Policy, New Economic Windows,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-38833-0_2
11

12 A. Khrennikov
(see, e.g., Fuchs (2002, 2011, 2012), Khrennikov (2002, 2005, 2009), Jaeger (2007),
Plotnitsk
y (2009), Chiribella et al. (2012a, b), D’Ariano (2019) and some papers in
proceedings’
volumes Khrennikov (2002a, 2004a, 2005), Adenier et al. (2006),
D’Ariano
et al. (2012)). By these interpretations, the physical properties of the carri-
ers
and processors of quantum information are not crucial. In particular, the role of the
physical space is diminished essentially; the quantum information scenarios is written
for the information space. Tremendous development of quantum information theory
endowed with experimental and technological applications stimulated its use outside
of physics, especially in cognition, psychology, decision making, social and political
science, economics and ﬁnance see pioneer works (Khrennikov1999,2003, 2004b),
monographs
(Khrennikov2004c, 2010; Busemeyer2012; Haven and Khrennikov
2013; Haven et al.2017; Asano2015a) and some papers (Haven2005; Khrennikov
2006, 2015, 2016; Busemeyer2006; Choustova2007, 2008, 2009; Pothos and Buse-
me
yer2009; Yukalov and Sornette2009, 2017, 2014; Asano et al.2011, 2012a, b,
2014, 2015b, 2017a, b; Dzhafarov and Kujala2012; Bagarello and Oliveri2013;
W
ang and Busemeyer2013; Wang et al.2014; Khrennikov and Basieva2014a, b;
Buseme
yer et al.2014; Khrennikov et al.2014, 2018; Boyer-Kassem et al.2015;
Dzhaf
arov et al.2015; Basieva and Khrennikov2015; Basieva et al.2017;Lawless
2019; Bagarello2020; Ozawa and Khrennikov2020; Yukalov2020; Khrennikova
2014, 2016, 2017). Such modeling is known as quantum-like.
Quantum-like systems (proteins, cells, body’s organs, including the brain, human
beings,
social, political, economic, and ﬁnancial systems) represent and process
information by operating with quantum information states. Such quantum-like, i.e.,
respecting the quantum laws, information processing has no direct connection with
the genuine quantum physical processes in a biological organism. A biosystem is
a black box performing quantum information processing. The ability to represent
information in the quantum-like way was developed in the process of evolution
of biosystems. It has no direct relation with system’s spatial and temporal scales,
temperature and other parameters of this sort (cf. Penrose1989; Umezawa1993
;
Hameroff1994; Vitiello1995, 2001). In article Asano et al. (2015b), it was pointed
out
that the quantum representation of information is the distinguishing feature of
all biosystems, from proteins, genomes, and cells to brains and ecological systems. One can speak about quantum information biology.
What is the main feature of the quantum-like representation and processing?
It is the possibility of processing unresolved uncertainties. Mathematically, they
are
encoded in states’ superpositions. What is the main advantage of such informa-
tion processing (operating with superpositions)? It saves computational resources:
biosystems working in the quantum-like regime need not resolve all uncertainties
and determine outcomes of variables and their probability distributions at each step
of state’s processing. The outcomes are determined in the process of measurement.
Measurements are performed by measurement apparatuses. The quantum formal-
ism is general calculus describing processing of superpositions and extraction of the
variables’ values–measurements. The most powerful quantum measurement formal-
ism is based on the theory of open quantum systems (Ingarden et al.1997; Benatti

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 13
and Floreanini2010): a system . Sinteracting with the surrounding environment . E.
In the particular application of this theory to the description of measurements, the
role
of environment is played by a measurement apparatus
.Mused to measure some
observ
able
. Aon.S.One of the basic mathematical frameworks for modeling of this
situation
is the scheme of indirect measurements (Ozawa1984). The outcomes of
. A
are represented as outcomes of apparatus’ pointer
. MA.
The process of measurement is described as interaction between the system
. Sand
the
apparatus
.M.This interaction generates the dynamics of the state of the compound
system
.S+M.The state’s evolution is unitary; for pure states, it is described by
the
Schrödinger equation (for mixed states given by density operators, by the von
Neumann equation). Finally, the probability distribution for pointer’s outcomes is
extracted from the compound state with the trace-operation.
For our model, it is important that in this measurement scheme the features of
the
system
. Sare not approachable directly, but only through apparatus’ pointer. We
shall
explore this in modeling of brain’s functioning.
In this paper we consider the quantum-like model in that unconscious
.UCand con-
sciousness
. Care represented as the system. Sand the apparatus.Min the above indirect
measurement
scheme. Features of unconscious
.UCare inapproachable directly. Con-
sciousness
. Cperforms measurements on the bio-information system.UC.The main
dif
ference from physics is that to make a decision
. Cshould “read its pointer” by
itself.
So,
.UCperforms self-measurements. However, the latter does not change the
formal
mathematical scheme.
This is the good place to remark that even in quantum physics the pointer-reading is
the
nontrivial step of the measurement process. However, typically it is ignored, even
in the foundational discussions. We just remark that Wigner claimed that conscious-
ness is really involved in quantum measurement’s ﬁnalization (Wigner’s viewpoint
was not accepted by the majority of physicists).
This paper is a concept paper. Our aim is to describe the very general scheme
of
cooperative functioning of unconscious
.UCand consciousness .C.The scheme
is
simple and easily understandable. Its concrete application to quantum-like mod-
eling of the sensation-perception process (von Helmholtz1866) was presented in
Khrennik
ov (2015). However, paper Khrennikov (2015) is mathematically compli-
cated,
it is based on the theory of quantum instruments (Davies1976;Ozawa 1984,
1997). The indirect measurements and quantum instruments are closely related, but
in
this paper we shall not discuss this issue (see Basieva et al. (2021), Ozawa and
Khrennik
ov (2021) where these quantum tools are jointly presented as simple as
possible—to
be used by psychologists and biologists).
A Few Words About Quantum Formalism
In quantum theory, it is postulated that every quantum system . Scorresponds to a
comple
x Hilbert space
.H;denote the scalar product of two vectors by the symbol
.<ψ1|ψ2>.Throughout the present paper, we assume .His ﬁnite dimensional. States

14 A. Khrennikov
of the quantum system. Sare represented by density operators acting in.H(positive
semi-deﬁnite
operators with unit trace). Denote this state space by the symbol
.S(H).
In quantum physics (especially quantum information theory), there are widely
used
notations invented by Dirac: a vector belonging to
.His symbolically denoted
as
.|ψ>;orthogonal projector on this vector is denoted as.|ψ><ψ|,it acts to the vector
.|ξ>as . <ψ|ξ>|ψ>.
Any density operator
. ρof rank one is of the form .ρ=|ψ><ψ|with a unit-norm
v
ector
.|ψ>.In this case,.|ψ>is called a pure state,so .
|ψ>∈H,Ψ|ψξΨ =
√
<ψ|ψ>=1.
Observables are represented by Hermitian operators in. H. These are just symbolic
e
xpressions of physical observables, say the position, momentum, or energy. Each
Hermitian operator
. Acan be represented as
.A=
∑
x
xE
A
(x), (2.1)
where
. xlabels the eigenvalues and.E
A
(x)is the spectral projection of the observable
. Acorresponding to the eigenvalue. x.
The operator
. Acan be considered as the compact mathematical representation for
probabilities
of outcomes of the physical observable. These probabilities are given
by the Born rule that states if an observable
.Ais measured in a state .ρ,then the
probability
distribution
.Pr{A=xΨρ}of the outcome of the measurement is given by
.Pr{A=xΨρ}=Tr[E
A
(x)ρ]=Tr[E
A
(x)ρE
A
(x)]. (2.2)
For a pure state
.|ψ>, this leads to the relation
.Pr{A=xΨ|ψξ} = ΨE
A
(x)|ψξΨ
2
, (2.3)
as
.Tr[E
A
(x)ρ]=ΨE
A
(x)|ψξΨ
2
.
Indirect Measurement Scheme: Apparatus with Meter
Interacting with a System
The scheme of indirect measurements represents the framework which was empha-
sized by Bohr, by him the outcomes of quantum measurements are created in the
complex process of the interaction of a system
. Swith a measurement apparatus. M.
The latter is combined of a complex physical device interacting with
. Sand a pointer
sho
wing the outcomes of measurements; for example, it can be the “spin up or spin
down” arrow. The system
. Sby itself is not approachable by the observer who can
see
only the pointer of
.M.Then the observer associates pointer’s outputs with the
v
alues of measured observable
. Afor the system.S.

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 15
Can the outputs of the pointer be associated with the “intrinsic properties” of. Sor
not? This is one of the main questions of disturbing the quantum foundations during
the last 100 years.
The indirect measurement scheme can be represented as the block of following
interrelated components:
• the states of the systems. Sand the apparatus.Mthey are represented in complex
Hilbert spaces.Hand.Krespectively;
• the unitary operator .Urepresenting the interaction-dynamics for the compound
system. S
• the meter observable.MAgiving outputs of the pointer of the apparatus. M
In quantum physics, the operator .Urepresenting the dynamics of interaction . S
and .Mis a linear unitary operator. All operations in quantum theory are linear and
dynamics of an isolated system is unitary, i.e., preserving the scalar product. In cog- nitive applications, we proceed with linear and unitary operators just for simplicity, just to borrow the well-deﬁned formalism and interpretation from physics. In prin-
ciple, there are no reason to assume neither linearity nor unitarity. We remark that even in physics there were attempts to develop nonlinear quantum theory.
In the indirect measurement scheme, it is assumed that the compound system
.S is isolated. The dynamics of pure states of the compound system is described
by the Schrödinger equation:
.i
d
dt
|
0,
(2.4)
where .His it Hamiltonian (generator of evolution) of .S . The state . |
evolves as
. | 0,
where.U is the unitary operator represented as
. U
−
.
Hamiltonian (evolution-generator) describing information interactions has the form
. H S⊗ M+ S,
where.HS: M: are Hamiltonians of. Sand.Mrespectively, and
.HS∈ is Hamiltonian of interaction between systems. Sand. M
The Schrödinger equation implies that evolution of the density operator.R of the
system.S is described by the von Neumann equation:
.
dR
dt
(
0.
(2.5)

16
However, the state .R is too complex to be handled consistently: the apparatus
includes many degrees of freedom.
Suppose that we want to measure an observable on the system . Swhich is rep-
resented by Hemitian operator .Aacting in system’s state space .HThe
measurement model .A-observable was introduced by Ozawa
in (1984) as a “(general) measuring process”; this is a quadruple
. ( A)
consisting of a Hilbert space.Ka density operator.σ a unitary operator. U
on the tensor product of the state spaces of. Sand.M .U and a
Hermitian operator.MAon. K.
Here.Krepresents the states of the apparatus. M,.Udescribes the time-evolution
of system .S , . σdescribes the initial state of the apparatus .Mbefore the start
of measurement, and the Hermitian operator .MAis the meter observable of the
apparatus.M(say the pointer of.MThis operator represents indirectly outcomes of
an observable. Afor the system. S
The probability distribution .Pr in the system state .ρ is given
by
.Pr
MA
(
★
] (2.6)
where .E
MA
(is the spectral projection of .MAfor the eigenvalue .xWe recall that
operator.MAis Hermitian. In the ﬁnite dimensional case, it can be represented in the
form:
.MA=
∑
k
xkE
MA
(k),
(2.7)
where.(k)is the set of its eigenvalues and.E
MA
(k)is the projector on the subspace
of eigenvectors corresponding to eigenvalue. xk.
The change of the state . ρof the system . Scaused by the measurement for the
outcome.A is represented with the aid of the map.IA(in the space of density
operators deﬁned as
.IA( K[
MA
(
★
] (2.8)
where.TrKis the partial trace over.KThe map.x A(is a quantum instrument.
We remark that conversely any quantum instrument can be represented via the indirect
measurement model (see Ozawa1984).
More Technical Details
Now, we consider some technicalities. For simplicity, they were not present in the
previous section.

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 17
The interaction between the system. Sand the apparatus .Mstarts at time.t0.The
interaction turns off at time.t 0+t The indirect measurement scheme is based
on the following natural assumptions:
• The system. Sand the measurement apparatus.Mdo not interact each other before
the instant of time. t0nor after. t 0+t
• The compound system.S is isolated in the time interval. (0,
The latter assumption is too strong. Of course, a macroscopic apparatus .Mcannot
be completely isolated, it interacts with surrounding material bodies and ﬁelds.
1
Therefore by speaking about isolation it is more natural to speak not about the whole
apparatus .Mbut just its part interacting with .SThis situation is formalized as
follows.
The .Pis deﬁned to be the minimal part of apparatus .Msuch that
the compound system.S is isolated in the time interval. (0,
The indirect measurement scheme presented in Sect. 2.3 is applied to the probe
system.Pinstead of the whole apparatus.MThe rest of the apparatus.Mperforms
the pointer measurement on the probe.PIn particular, the unitary evolution operator
.Udescribing the state-evolution of the system.S has the form. U
−tH
,
where .H S+ P+ SPis Hamiltonian of .S with the terms .HSand . HP
representing the internal dynamics in the subsystems . Sand .Pof the compound
system and.HSPdescribing the interaction between the subsystems.
Consideration of probe systems is especially useful in the following situation:
the total apparatus .Mis a macroscopic system that interacts (typically in parallel)
with a family of systems .Sj, Different probes of .Minteract with
the concrete systems, the probe .Pjwith the system .Sj.And the compound system
.Sj+ jcan be considered as an isolated system, even from interactions with.Siand
. Pi,
The indirect measurement scheme is a part of the theory of open quantum systems
(Ingarden et al.1997). Instead of a measurement apparatus.Mwe can consider the
surrounding environment . Eof the system . S(see Asano2015a; Asano et al.2011,
2012a, b,2015b,2017a, b; Khrennikov et al.2018for applications to psychology).
Indirect Measurements of Mental Observables: Unconscious
as a System and Consciousness as a Measurement Apparatus
The scheme of indirect measurements presented in the previous section was created
in quantum physics and applied successfully to a plenty of important problems. Our
aim is to adapt it to cognition. The main question is about cognitive analogues of
the system
. Sand the measurement apparatus .MWe suggest to use the framework
1
In advanced experimenting in quantum foundations, experimenters put tremendous efforts to
isolate their labs. For example, the crucial experiment on Bell’s inequality violation (Zeilinger’s
group (Giustina et al.2015)) was done in the basement of one of Vienna’s castles.

18 A. Khrennikov
developed in paper Khrennikov (2015) for quantum-like modeling of the Helmholtz
sensation-per
ception theory (von Helmholtz1866). This scheme can be extended
to
a general scheme of unconscious-conscious interaction in the process of decision
making
The measured system
. Sis a sensation (or generally any state of the unconscious
mind).
Consciousness as the measurement apparatus to the unconscious interacts
with sensations to make the decisions (to generate outcomes of measurements).
Consciousness, of course, is not concerned just with a single probe. It is a large
environment with many probes interacting with the unconscious. There should be
a rule of transformation from a sensation to a conscious decision. This is unitary
transformation and measurement of the meter in the probe. The operational descrip-
tion neglects neuro-physiological and electrochemical structures of interaction. The
unconscious is a black box that is mathematically described by the state of sensation
space (= the unconscious state), so that the unconscious state probabilistically deter-
mines the decision (by interaction with consciousness), then the unconscious state is
changed according to the previous unconscious state and the decision made. Thus,
each probe is described by a quantum instrument. Instruments are probe dependent.
For the question-measurements, the question
.Ais transferred into the uncon-
scious,
where it plays the role of a sensation (cf. von Helmholtz1866), so to say
a
high mental level sensation. Then, interaction described by the unitary operator
.Ugenerates a new state of the compound system—the unconscious-conscious. And
consciousness
performs the ﬁnal “pointer reading”, the measurement of the meter
observable. Pointer reading can be treated as generation of a perception, a high mental
level perception.
Contextuality
The scheme of indirect measurements formalizes contextuality of conscious-
observations. For the ﬁxed state
.ρ,obseravtion’s context is determined by triple
.CA=(σ,U,M A),where, as in the above consideration, .σ∈S(K)is the state of
. Cand .Uis the unitary operator representing .ρ−σinteraction and .MArepresents
apparatus’ pointer. The same observable
. A(say question or task) can be realized in
v
arious contexts corresponding to variety of states of
. Cand.UC−Cinteractions. The
only
constraint determining the class of contexts generated by
. Cis the probability
distrib
ution of
.A,given by equality (2.6), i.e., two contexts for .A-observable, . CA
and.C
'
A
are coupled by the equality:
. Pr{A=xΨρ}=Tr[(I⊗E
MA
(x))U(ρ⊗σ)U
★
]=Tr[(I⊗E
M
'
A
(x))U
'
(ρ⊗σ)U
'★
]
(2.9)
We remark that the state space
.Kcan also vary and it can be considered as a vari-
able
determining context. However, we shall not separately emphasize the role of

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 19
variability of state space .Kand assume that this variable is associated with the
interaction-operator
.Uand state. σ.
Context determines the state transformation (2.8) that has to be denoted not sim-
ply
as
.IA(x),but as .ICA
(x).Depending on context .CA,. Ccan generate different
state
transformations in
.UCcaused by the measurement. State transformation can be
detected
with successive measurement of another observable
. B.
As was shown in Ozawa and Khrennikov (2020), Basieva et al. ( 2021), some psy-
chological
effects can provide at least partial information on the form of the quantum
instrument
.ICA
(x),in particular, to exclude von Neumann-Lüders instruments given
by
state trnasformations of the projection form.
Concluding Remarks
We understand that appealing to the unconscious-conscious description of cognitive
processes is not so common in the modern psychology. However, this description well
matches the indirect measurement scheme. We can appeal to the authority of James
James (1890) (appealing to Freud (1957) might generate a negative reaction), see
also
Jung and Pauli (2014). We also can mention the series of works on the use of the
unconscious-conscious
scheme in quantum-like modeling of cognition (Khrennikov
2002b, 1999, 2008).
2
In any event, the scheme of indirect measurements in quantum
theory matches well with unconscious-conscious structuring of human mind and
decision making as indirect observations on inapproachable bio-information system,
unconscious.
Acknowledgements The author would like to thank Irina Basieva and Masanao Ozawa for dis-
cussions.
References
Adenier, G., Khrennikov, A., Nieuwenhuizen, Th.M. (eds.): Quantum Theory: Reconsideration of
Foundations-3. AIP, Melville, NY (2006)
Asano, M., Basieva, I., Khrennikov, A„ Ohya, M., Tanaka, Y., Yamato, I.: Quantum-like model for
the
adaptive dynamics of the genetic regulation of E. coli’s metabolism of glucose-lactose. Syst.
Synth. Biol. 6, 1–7 (2012a)
Asano, M., Basieva, I., Khrennikov, A., Ohya, M., Tanaka, Y., Yamato, I.: Towards modeling of
epigenetic
evolution with the aid of theory of open quantum systems, vol. 1508, pp. 75–85. AIP,
Melville, NY (2012b). https://doi.org/10.1063/1.4773118
2
See also the series of papers (Khrennikov1997, 2004d, 2007; Iurato and Yu2015) on modeling of
cooperati
ve unconscious-conscious functioning by using the threelike geometry of
.p-adic numbers.
Although
this model is not quantum, the use of
.p-adic numbers gives the possibility to model
discreteness.

20
Asano, M., Khrennikov, A., Ohya, M., Tanaka, Y., & Yamato, I.: Violation of contextual gener-
alization of the Leggett-Garg inequality for recognition of ambiguous ﬁgures. Phys. Scr.
014006 (2014)
Asano, M., Ohya, M., Tanaka, Y., Basieva, I., Khrennikov, A.: Quantum-like model of brain’s
functioning: decision making from decoherence. J. Theor. Biol. (1), 56–64 (2011)
Asano, M., Khrennikov, A., Ohya, M., Tanaka, Y., Yamato, I.: Quantum Adaptivity in Biology:
From Genetics to Cognition. Springer, Heidelberg-Berlin-New York (2015a)
Asano, M., Basieva, I., Khrennikov, A., Ohya, M., Tanaka, Y., Yamato, I.: Quantum information
biology: from information interpretation of quantum mechanics to applications in molecular
biology and cognitive psychology. Found. Phys. , 1362–1378 (2015b)
Asano, M., Basieva, I., Khrennikov, A., Yamato, I.: A model of differentiation in quantum bioin-
formatics. Prog. Biophys. Mol. Biol. Part A , 88–98 (2017a)
Asano, M., Basieva, I., Khrennikov, A., Ohya, M., Tanaka, Y.: A quantum-like model of selection
behavior. J. Math. Psychol. , 2–12 (2017b)
Bagarello, F., Oliveri, F.: A phenomenological operator description of interactions between popula-
tions with applications to migration. Math. Models Methods Appl. Sci. (03), 471–492 (2013)
Bagarello, F., Gargano, F., Oliveri, F.: Spreading of competing information in a network. Entropy
22
Basieva, I., Khrennikov, A.: On the possibility to combine the order effect with sequential repro-
ducibility for quantum measurements. Found. Phys. (10), 1379–1393 (2015)
Basieva, I., Pothos, E., Trueblood, J., Khrennikov, A., Busemeyer, J.: Quantum probability updating
from zero prior (by-passing Cromwell’s rule). J. Math. Psychol. , 58–69 (2017)
Basieva, I., Khrennikov, A., Ozawa, M.: Quantum-like modeling in biology with open quantum
systems and instruments. Biosystems , 104328 (2021)
Benatti, F., Floreanini, R. (eds.): Irreversible Quantum Dynamics. Springer, Berlin-Heidelberg
(2010)
Boyer-Kassem, T., Duchene, S., Guerci, E.: Quantum-like models cannot account for the conjunc-
tion fallacy. Theor. Decis. , 1–32 (2015)
Busemeyer, J., Bruza, P.: Quantum Models of Cognition and Decision. Cambridge University Press,
Cambridge (2012)
Busemeyer, J.R., Wang, Z., Townsend, J.T.: Quantum dynamics of human decision making. J. Math.
Psychol. , 220–241 (2006)
Busemeyer, J.R., Wang, Z., Khrennikov, A., Basieva, I.: Applying quantum principles to psychology.
Phys. Scr.
Chiribella, G., D’Ariano, G.M., Perinotti, P.: Informational axioms for quantum theory. In: Foun-
dations of Probability and Physics-6, vol. 1424, pp. 270–279. AIP, Melville, NY (2012a)
Chiribella, G., D’Ariano, G.M., Perinotti, P.: Probabilistic theories with puriﬁcation. Phys. Rev. A
81, 062348 (2012b)
Choustova, O.: Quantum Bohmian model for ﬁnancial market. Phys. A Stat. Mech. Appl.
304–314 (2007)
Choustova, O.: Application of Bohmian mechanics to dynamics of prices of shares: stochastic model
of Bohm-Vigier from properties of price trajectories. Int. J. Theor. Phys.
Choustova, O.: Quantum probability and ﬁnancial market. Inf. Sci.
D’Ariano, G.M.: Quantum Theory from First Principles (An Informational Approach). Cambridge
University Press, Cambridge (2019)
D’Ariano, M., Shao-Ming, F., Haven, E., Hiesmayr, B.C., Khrennikov, A.Yu., Larsson, J.-A.: Foun-
dations of Probability and Physics-6. AIP, Melville, NY (2012)
Davies, E.B.: Quantum Theory of Open Systems. Academic Press, London (1976)
Dzhafarov, E.N., Kujala, J.V.: Selectivity in probabilistic causality: where psychology runs into
quantum physics. J. Math. Psychol. , 54–63 (2012)
Dzhafarov, E.N., Zhang, R., Kujala, J.V.: Is there contextuality in behavioral and social systems?
Philos. Trans. R. Soc. A , 20150099 (2015)

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 21
Freud, S.: The Standard Edition of Complete Psychological Works of Sigmund Freud, vol. I-XXIV.
In: Strachey, J. (Ed. and Trans.) The Hogarth Press, London (1957)
Fuchs, C.A.: QBism, The Perimeter of Quantum Bayesianism (2012). arXiv:1003.5209 [quant-ph]
Fuchs, C.A.: Quantum mechanics as quantum information (and only a little more). In: Khrennikov,
A. (ed.) Quantum Theory: Reconsideration of Foundations, pp. 463–543. Växjö University Press,
Växjö (2002)
Fuchs, C.A., Schack, R.: A quantum-Bayesian route to quantum-state space. Found. Phys. , 345
(2011)
Giustina, M., Versteegh, M.A., Wengerowsky, S.H., Steiner, J., Hochrainer, A., Phelan, K., Stein-
lechner, F., Koﬂer, J., Larsson, J.Å, Abellan, C. et al.: A signiﬁcant-loophole-free test of Bell’s theorem with entangled photons. Phys. Rev. Lett. , 250401 (2015)
Hameroff, S.: Quantum coherence in microtubules. A neural basis for emergent consciousness? J.
Conscious. Stud.
Haven, E.: Pilot-wave theory and ﬁnancial option pricing. Int. J. Theor. Phys.
(2005)
Haven, E., Khrennikov, A.: Quantum Social Science. Cambridge University Press, Cambridge
(2013)
Haven, E., Khrennikov, A., Robinson, T.R.: Quantum Methods in Social Science: A First Course.
WSP, Singapore (2017)
Ingarden, R.S., Kossakowski, A., Ohya, M.: Information Dynamics and Open Systems: Classical
and Quantum Approach. Kluwer, Dordrecht (1997)
Iurato, G., Khrennikov, A. Yu.: Hysteresis model of unconscious-conscious interconnection: explor-
ing dynamics on.m-adic trees..p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl.
Jaeger, G.: Quantum Information. An Overview. Springer, Heidelberg-Berlin-New York (2007)
James, W.: The Principles of Psychology. Henry Holt and Co., New York, Reprinted 1983. Harvard
University Press, Boston (1890)
Jung, C.G., Pauli, W.: Atom and Archetype: The Pauli/Jung Letters 1932–1958. Princeton University
Press, Princeton (2014)
Khrennikov, A. (ed.): Foundations of Probability and Physics-3, Ser. Conference Proceedings, vol.
750. American Institute of Physics, Melville, NY (2005)
Khrennikov, A., Basieva, I., Dzhafarov, E.N., Busemeyer, J.R.: Quantum models for psychological
measurements: an unsolved problem. PLOS One
Khrennikov, A.: Quantum-like model of unconscious-conscious dynamics. Front. Psychol.
N 997 (2015)
Khrennikov, A.: Reconstruction of quantum theory on the basis of the formula of total probability. In:
Foundations of Probability and Physics-3, AIP Conference Proceedings, vol. 750, pp. 187–218. American Institute of Physics, Melville, NY (2005)
Khrennikov, A.: Växjö interpretation of quantum mechanics. In: Quantum Theory: Reconsidera-
tion of Foundations, Ser. Math. Modelling, vol. 2, pp. 163–170. Växjö University Press (2002); Preprint:
arXiv:quant-ph/0202107
Khrennikov, A.: Human subconscious as a p-adic dynamical system. J. Theor. Biol. (2), 179–96
(1998)
Khrennikov, A.: Classical and quantum mechanics on information spaces with applications to
cognitive, psychological, social and anomalous phenomena. Found. Phys. , 1065–1098 (1999)
Khrennikov, A. (ed.): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations. Växjö University Press,
Växjö (2002a)
Khrennikov, A.Yu.: Classical and Quantum Mental Models and Freud’s Theory of Unconscious
Mind. Växjö University Press, Växjö, Sweden (2002b)
Khrennikov, A.: Quantum-like formalism for cognitive measurements. Biosystems , 211–233
(2003)
Khrennikov, A.Yu. (ed.): Quantum Theory: Reconsideration of Foundations-2. Växjö University
Press, Växjö (2004a)

22
Khrennikov, A.: On quantum-like probabilistic structure of mental information. Open Syst. Inf.
Dyn. (3), 267–275 (2004b)
Khrennikov, A.: Information Dynamics in Cognitive, Psychological, Social, and Anomalous Phe-
nomena, Ser. Fundamental Theories of Physics. Kluwer, Dordrecht (2004c)
Khrennikov, A.: Probabilistic pathway representation of cognitive information. J. Theor. Biol.
231(4), 597–613 (2004d)
Khrennikov, A.: Quantum-like brain: interference of minds. BioSystems , 225–241 (2006)
Khrennikov, A.Yu.: Toward an adequate mathematical model of mental space: con-
scious/unconscious dynamics on.m-adic trees. Biosystems
Khrennikov, A.: The quantum-like brain operating on subcognitive and cognitive time scales. J.
Conscious. Stud. (7), 39–77 (2008)
Khrennikov, A.: Contextual Approach to Quantum Formalism. Springer, Berlin-Heidelberg-New
York (2009)
Khrennikov, A.: Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology to Finances. Springer, Berlin-
Heidelberg-New York (2010)
Khrennikov, A.: Quantum Bayesianism as the basis of general theory of decision-making. Philos.
Trans. R. Soc. A , 20150245 (2016)
Khrennikov, A., Basieva, I.: Possibility to agree on disagree from quantum information and decision
making. J. Math. Psychol.
Khrennikov, A., Basieva, I.: Quantum model for psychological measurements: from the projection
postulate to interference of mental observables represented as positive operator valued measures.
NeuroQuantology , 324–336 (2014b)
Khrennikov, A., Basieva, I., Pothos, E.M., Yamato, I.: Quantum probability in decision making
from quantum information representation of neuronal states. Sci. Rep.
Khrennikova, P.: A quantum framework for ‘Sour Grapes’ in cognitive dissonance. In:
Atmanspacher, H., Haven, E., Kitto, K., Raine, D. (eds.) Quantum Interaction. QI 2013. Lec- ture Notes in Computer Science, vol. 8369. Springer, Berlin-Heidelberg (2014)
Khrennikova, P.: Quantum dynamical modeling of competition and cooperation between political
parties: the coalition and non-coalition equilibrium model. J. Math. Psychol. , 39–50 (2016)
Khrennikova, P.: Modeling behavior of decision makers with the aid of algebra of qubit creation-
annihilation operators. J. Math. Psychol. , 76–85 (2017)
Lawless, W.F.: The interdependence of autonomous human-machine teams: the entropy of teams,
but not individuals, advances science. Entropy (12), 1195 (2019)
Ozawa, M., Khrennikov, A.: Modeling combination of question order effect, response replicability
effect, and QQ-equality with quantum instruments. J. Math. Psychol. (2021)
Ozawa, M.: Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys. , 79–87
(1984)
Ozawa, M.: An operational approach to quantum state reduction. Ann. Phys. (N.Y.) , 121–137
(1997)
Ozawa, M., Khrennikov, A.: Application of theory of quantum instruments to psychology: combi-
nation of question order effect with response replicability effect. Entropy
Penrose, R.: The Emperor’s New Mind. Oxford University Press, New York (1989)
Plotnitsky, A.: Epistemology and Probability: Bohr, Heisenberg, Schrödinger and the Nature of
Quantum-Theoretical Thinking. Springer, Berlin-New York (2009)
Pothos, E., Busemeyer, J.R.: A quantum probability explanation for violations of ‘rational’ decision
theory. Proc. R. Soc. B , 2171–2178 (2009)
Umezawa, H.: Advanced Field Theory: Micro, Macro and Thermal Concepts. AIP, New York (1993)
Vitiello, G.: My Double Unveiled: The Dissipative Quantum Model of Brain, Advances in Con-
sciousness Research. John Benjamins Publ. Com (2001)
Vitiello, G.: Dissipation and memory capacity in the quantum brain model. Int. J. Mod. Phys. B
973 (1995)
von Helmholtz, H.: Treatise on Physiological Optics. Transl. Optical Society of America in English.
Optical Society of America, New York, NY (1866)

2 Cooperative Functioning of Unconscious and Consciousness from Theory … 23
Wang, Z., Busemeyer, J.R.: A quantum question order model supported by empirical tests of an a
priori and precise prediction. Topics Cognit. Sci.
Wang, Z., Solloway, T., Shiffrin, R.M., Busemeyer, J.R.: Context effects produced by question
orders reveal quantum nature of human judgments. PNAS , 9431–9436 (2014)
Yukalov, V.I., Sornette, D.: Conditions for quantum interference in cognitive sciences. Topics Cog-
nit. Sci.
Yukalov, V.I., Sornette, D.: Quantum probabilities as behavioral probabilities. Entropy , 112
(2017)
Yukalov, V.I.: Evolutionary processes in quantum decision theory. Entropy
Yukalov, V.I., Sornette, D.: Physics of risk and uncertainty in quantum decision making. Eur. Phys.
J. B , 533–548 (2009)

Chapter 3
Hilbert Space Modelling
with Applications in Classical Optics,
Human Cognition, and Game Theory
Partha Ghose and Sudip Patra
Abstract
modelling, and its applications outside typical quantum mechanics, for example
in classical optics, and human cognition. We then present brieﬂy our framework of
human cognition model, which we have called, COM: classical optical modelling.
Though our chapter is based on the background of and in the wake of quantum-like
modelling in cognition, game theory, and different social science areas, our approach
differs from the extant models since we follow the Hilbert space modelling in classical
optics, with novel features like classical entanglement which can also be exploited
in game theory. Hence, we aim to contribute in cognition as well as quantum-like
modelling in game theory.
Keywords ·Classical entanglement ·Nash equilibrium ·Quantum
mechanics
·Human cognition
Introduction
In a way Wigner (1990) echoed Galileo, or the Greek paradigm, that nature is written
in the language of Mathematics, when he famously observed there was an unknown efﬁcacy of Mathematics in the universe. We can observe though, that in recent decades
Physics has also informed Mathematics [Edward Witten being a Physicist to win the Fields Medal in Mathematics]. It might be claimed that there appears to be a
P. Ghose
Tagore Centre for Natural Sciences and Philosophy, New Town, Rabindra TirthaKolkata 700156,
India
The National Academy of Sciences (NASI), Allahabad, India
S. Patra (B)
CEASP, O.P. Jindal Global University, Sonipat, India
e-mail: [email protected]
The Laszlo Institute of New Paradigm Research, Trieste, Italy
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 A. Chakraborti et al. (eds.), in Economics and Public Policy, New Economic Windows,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-38833-0_3
25

26 P. Ghose and S. Patra
wonderful marriage between these great domains of knowledge, one getting reduced
to the other, which seems to us an important criterion to do Physics or Science in
general. Reductionism of any kind is a futile thought.
Given this background, when we turn to QM or QFT a speciﬁc language of Math-
ematics appears to be ‘natural’, which is the Hilbert space construction,
1
introduced
by Birkhoff and Neumann (1936) while the duo was working on the mathematical
foundations of QM. Though, as we will note later in this chapter, Neumann had a
different formulation in mind for QM, eventually Hilbert space became the ‘natural’
way of expressing a quantum mechanical description of quantum states with opera-
tors acting on them with a complete algebra and the crucial Eigen value-Eigen vector
link, the spectral decomposition theorem, and the crucial Entanglement description
and its measures. The list goes on.
Currently, Hilbert space formulations have been central to fast evolving areas like
quantum computation (Egger et al. 2020), quantum information theory (Timpson
2013) and quantum optics. Interestingly, Hilbert space formulation is also being
used regularly outside the ﬁeld of quantum physics, whether in classical optics and
electromagnetism (Patra and Ghose 2022a, b), where such a formulation is effective
in describing an important phenomenon called ‘classical entanglement’ (which will become an important tool for us in later chapters when we build on our framework),
or even in the emerging ﬁeld of ‘quantum cognition’ modelling which fundamentally
has no relation to QM (or so is the standard perception, if we do not include Penrose’s
view of a quantum like brain). Based on the rise of the so-called ‘quantum cognition
modelling’, Hilbert space formulation has also been used very recently in human
choice modelling (Haven et al.
2013). Mathematics is universal indeed.
In the following section we present a brief introduction to Hilbert space in general,
and then applications of it in QM and QFT, and more importantly for quantum cognition modeling.
By Hilbert space we mean a complex normed vector space with an inner product
deﬁned on it which is linear on the second slot, and also separable, with countably ﬁnite or inﬁnite dimensions (which is crucial since even for QFT we would like to have
countable inﬁnite no of degrees of freedom (Patra
2019)). Generally, such a space
describe operators bounded from below, for example Hamiltonians. All self-adjoint operators, or Hermitian operators representing observables in QM are deﬁned on a
Hilbert space with C* algebra or commutation relations between them. Compound systems can be described by tensor products of individual separable Hilbert spaces of each system, and on such compound systems one can describe operators and partial
traces to extract information from a subsystem of the compound system. Compound system states can either be factorized as tensor products of states of the subsystems,
the so called product states, or cannot be factorized, the so called ‘entangled states’.
2
1
One anecdotal story goes that David Hilbert, the great German Mathematician, on whose name
Neumann named this formulation, was rather oblivious of the fact. In one seminar where Neumann
lectured on the properties and applications of Hilbert space, in the end, up went a hand asking but
what is a ‘Hilbert’ space? The man was Hilbert himself.
2
In modern representations, in case of a product state, the amplitude of the total system is written
as a product of amplitudes (outer product to be speciﬁc) of its subsystems’ wave functions, but for

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 27
There are certain problematic features about Hilbert space modelling too. For
example, if Hilbert space modelling is used in ‘many body’ problems, then one
encounters exponentially growing dimensions. There is a growing body of literature
in this area known as tensor networks (Adhikari et al.
2021 for example). Another
critical point, which we would deal with later, is that authors have demonstrated that for a full exposition of the ‘bra-ket’ formulation of Dirac (
1981) one requires a rigged
Hilbert space.
A Brief Mathematical Detour
Complex Euclidian Space
Since Hilbert space is a complex normed linear vector space with an inner product
deﬁned on it, we ﬁrst start with some basic properties of complex linear vector spaces,
which in a way is a general extension of standard Euclidian space.
An alphabet is a ﬁnite non empty set whose elements can be taken as symbols.
Generally, an
E
for example, and its elements
by small case letters like a, b, c etc. Examples of
n-th Cartesian product {0,1}
n
.
For any
E
we can deﬁne C(
E
) to be a set of all functions from
E
to
complex numbers C such that the set forms a linear vector space of dimension |
E
|
with addition and scalar multiplication deﬁned by:
1. if u, v are elements of the vector space, then (u space, with an equation (u
E
.
2. If u belongs to C(
E
) and a scalar
to C(
E
) satisfying the equation (
E
.
A vector space thus deﬁned is a complex Euclidian space. The value u(a) is denoted
as the entry of u indexed by a. A vector whose entries are all zero is denoted simply as 0. The term Hilbert space is closely related the concept of complex Euclidian set,
with more generalization, for example possibility of inﬁnite index sets.
Inner Products and Norms of Vectors
For vectors u, v
E
) the inner product <u, v> is deﬁned as
E
u(a)* v(a) where the
sum is deﬁned over a’s where a
E
. The inner product has the following properties:
entangled states, one needs to sum over the proper number of indices to have the amplitude for the
total system. A low entanglement state is one where the number of indices to sum over is minimum.
For example, if the number is one, then we are dealing with a product state. The number of indices
which one has to sum over is often called as bond or auxiliary dimension.

28 P. Ghose and S. Patra
1. Linearity in the second argument: <u,
u, v, w
E
), and
2. Conjugate symmetry: <u, v>
3. Positive deﬁnitiveness: <u, v> ≥ with equality holding only for u
The Euclidian norm of a vector u
E
) is deﬁned as ||u||
1/2
=
(
E
|u(a)|
2
)
1/2
, where the sum is over a s
E
. The norm so deﬁned has three main
properties: positive deﬁnitiveness, positive scalability and triangle inequality where
triangle inequality means
|| ||u||+||v||. The Cauchy–Schwarz inequality is
given by | |u||||v|| where the equality holds when u and v are linearly
dependent.
In general, the p form Euclidian norm is given by ||u||p =
E
|u(a)|
p
)
1/p
, given that
p< ∞, ||u||∞ =
E
}.
Two vectors u and v are said to be orthogonal if <u, v>
of C (
E
). Again, a collection {u
a s.t a
E
), where
an alphabet, is said to be an orthogonal set if <u
a,ub> a,u be
and b are distinct. An orthogonal set of unit vectors is called an orthonormal set, and
when such a set forms a basis it is termed an orthonormal basis. An orthonormal set
as described above can form an orthonormal basis in C(
E
) if and only if |U
E
|.
The standard basis on C (
E
)isgiven by {e a:a
E
}, s.t. ea (b)
otherwise for all a, b
E
.
Direct Sums and Direct Products
Generally the direct sum (
E 1)
E 2)
C(
E
n) is also a complex Euclidian space C(
E 1 U
E 2 U….
E n) where U stands for
disjoint unions of the individual alphabets/
E
where
E
1 U
E 2 U….
E n =
a): a
E
k} where k
Now for vectors uie
E i) the direct sum can be considered as a column vector
of dimension |
E
1|+|
E 2|+
E n|.
Such vectors follow the following rules:
(i) If ui and vi are
E i) then u1 ⊕ 2 ⊕ n ⊕ 1 ⊕ n = 1 + 1)
⊕
n + n)
(ii) Scalar multiplication rule: 1 ⊕ 2 ⊕ n) 1) 2)
(
n). (iii) Inner product rule: <u1 ⊕ 2 ⊕ n,v1 ⊕ n> 1,v1> 2,
v
2> n,vn>.
The tensor product between C(
E
)s is also a complex Euclidian space C(
E 1x
E2
x….
E n) where x denotes the Cartesian product. If there are individual vectors ui s
e
E
i) s, a tensor product between them is given by u1 ⊗ 2 ⊗ n, which is
an element of C(
E
1x
E2 ….
E n). For such a vector u1 ⊗ 2 ⊗ n (a1,a2….,
a
n) 1(a1)u2(a2)…..un(an).

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 29
Such vectors are also termed as elementary tensors. They span the space C (
E 1x
E
2 ….
E n), but not every element in such a space is an elementary tensor.
An important identity which elementary tensors satisfy is:
If ui,vie
E i) then: <u1 ⊗ 2 ⊗ n,v1 ⊗ 2 ⊗ n> 1,v1>
<u
2,v2>….<un,vn>
Tensor products of complex Euclidian spaces or of the vectors deﬁned on them
are not associative in so far as the Cartesian products are not associative.
Linear Operator Space
For two complex Euclidian spaces X and Y, L (X, Y) denotes a collection of linear
maps from X to Y. Such linear maps are called linear operators. Au can be denoted
as the application of a linear operator A
The L (X, Y) forms a complex vector space with the following properties:
1. Addition: with A and B
=
2. Scalar multiplication: with A
The operator
For two complex Euclidian spaces X
E
), and Y
V
) where
E
and
V
are two alphabets and a
V
and b
E
the operator E a,be
Ea,b u a where u
the space L (X, Y) with Dim (L) across operators deﬁned on such spaces which are entry wise conjugate, transpose or adjoint with their own linearity properties.
The kernel of an operator A
=
The image of A is the subspace of Y such that Image (A)
important relation is
Dim
.
Examples of Hilbert Spaces
a. C [a, b], the space of complex valued continuous functions in the interval [a, b] is
endowed with an inner product ( f ) =
{
f g(x) dx where f, g are continuous
functions, but this space is not complete, and hence not a Hilbert space. To make
it complete one needs to deﬁne the norm ||f|| (
{
b
a
| (x)|
2
dx
1/2
. Such a space is

30 P. Ghose and S. Patra
then denoted by L
2
([a, b]), or more generally for p form norms as L
p
(.), but they
are Banach spaces and not Hilbert spaces when p .
b. The Hilbert space of bi-ﬁnite complex sequences, i.e. l
2
(Z) is deﬁned as l
2
(Z)
{
E
+∞
−∞
|
2
<
}. The space of l
2
(Z) is a complex linear space endowed with
standard rules of addition and multiplication by scalars. The scalar product is
similarly deﬁned.
c. C
k
([a, b]) is a space of functions with kth continuous derivatives deﬁned over the
range [a, b] where the inner product on the space is ( f ) =
E
k
0
{
b
a
f (x)dx,
but again to complete this space one needs to deﬁne the norm
|| f || =
E
k
0
{
b
a
|
2
dx
1/2
. Such a space endowed with the inner product is
complete and termed a Sobolov space, denoted by H
k
([a, b]).
Operations on Hilbert Spaces
Similar to complex Euclidian spaces, for Hilbert spaces too, given two or more Hilbert
spaces one can generate bigger spaces by taking direct sums or tensor products
between them.
Orthonormal bases can be introduced for ﬁnite dimensional Hilbert spaces, but
for inﬁnite dimensional cases one generally refers to the Hamel basis. Using Zorn’s lemma, one can show that every Hilbert space has an orthonormal basis. Two
orthonormal bases of the same space have the same cardinality.
Hilbert spaces are called separable if and only they have countable orthonormal
bases. In physics we mostly use separable Hilbert spaces, and all inﬁnite dimensional
separable Hilbert spaces are isomorphic to each other.
If
x>, for all x in H. This is known as the reﬂexivity of a Hilbert space.
Bounded and Un-Bounded Operators in Hilbert Space
Continuous linear operators on Hilbert spaces which map bounded sets to bounded sets are called Bounded operators. The norm of such an operator A is deﬁned as ||A||
= with addition and composition operations, the norm and the adjoint operations form a C* algebra. An element U of this set is called unitary if its inverse exists and is
given by U*, such that <Ux, Uy>
A linear operator which is deﬁned all over a Hilbert space is necessarily bounded.
However, if one deﬁnes linear operations which are linear maps only over a proper
subspace of H, then one can have Un-Bounded Linear operators. Bounded self-adjoint
operators are of great importance as observables in QM, examples being hermitian
differential operators and simple multiplication by the position operator x.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 31
Hilbert Space in QM
QM can be described on Hilbert spaces
3
which are complete and separable. Separable
means having countable bases, and complete means every Cauchy sequence has a
limit within the space. Hilbert spaces used in QM are l
2
spaces which are square
integrable such that integrals of type
{
ψ
that is necessary to interpret
symbolic representation of the quantum state of a system, its wave function. In its
normalized form it is a unit vector in the Hilbert space H.
its eigen basis, which means the system can be represented as a superposition,
E
c
i ϕi of its complete set of eigenstates i. According to Born’s rule |ci|
2
is the
probabilities of observing the state in a speciﬁc eigenstate
i.
One of the simplest quantum mechanical systems is a particle in a box, like a
single electron constrained to move in a straight line between parallel walls. The state of the particle is described by a wave function
2
([0.
L]). This description is in sharp contrast to Newtonian mechanics where only two
numbers are required for specifying the particle state, its position in the range [0, L]
and its velocity v
the range [a, b] which is a subinterval of [0, L], then the famous Born rule is invoked:
P r [the particle is in [a, b] at the time t]
{
b
a
|
2
dx
{
L
0
|
2
dx
Many thorny questions have already crept into this brief discussion. For example,
what is the status of to compute probabilities? In other words, is
quantum foundations is centrally occupied with this question, which we would also explore over the later chapters. Another equally central issue is the description of the dynamics and measurement of
the ‘deterministic’ Schrödinger equation (in the equivalent Heisenberg picture the state remains ﬁxed but the operators evolve unitarily over time), whereas a ‘measure- ment’ (at least in the standard QM version) is a non-unitary and abrupt suspension of
the Schrödinger evolution by a mysterious intervention which projects eigen subspaces randomly, generating the most enigmatic and unresolved ‘measure- ment’ problem. One can also raise the question of lack of consistency in the descrip-
tion, where both a deterministic and a probabilistic process are accommodated (for example Roger Penrose in Road to Reality
2005).
Famous
Broglie-Bohm theory, collapse theories, protective measurements etc. whereas noted ψ recently developed QBism (Fuchs et al.
2014 for example).
3
Here we may think of ‘the Hilbert space’ as an abstract representation, and ‘Hilbert spaces, H’ as
concrete Hilbert spaces which are constructed for speciﬁc models.

32 P. Ghose and S. Patra
Born’s Rule: A Small Note
Born’s rule of probability computation is the central tenet of any interpretation of
QM, it can be seen as a natural consequence of Hilbert space representation of QM,
where product of wave function and its complex conjugate can naturally be seen as
to be related to probability of a speciﬁc measure, since only the wave function, being
a complex vector on H, can not serve the purpose, since for probability we need a
non-negative real number. Its interesting to observe that Born in very early attempts
himself got confused with the proper expression.
Later Gleason (as in Busch 2003) proved that Born’s rule is the unique expression
where probability of a speciﬁc measure is completely determined by the wavefunction
alone. However, overtime there have been different alternative interpretations of QM,
one such interpretation, which is gaining attention now, is QBism, which holds that
any kind of probability is fundamentally subjective, personal and single user guide to
form better expectations of future ‘experiences’. We would turn to QBism later, but
here we observe that for QBism Born’s rule is central, but an empirical rule, rather
than a theoretical derivation.
Application of Hilbert Space in Probability Theory
Generally a random experiment is modelled by a space which is the space of all possible events A, where A is a measurable subset of
represents the outcomes of an experiment, such that
on the sample space, say P such that P(A)y
A random variable X is a function X:
outcome =
{
X (ω)dP(ω).
A random variable variable is of second order if E|x|
2
<
order random variables form a Hilbert space, with respect to the inner product <X,Y> =
random variables can be identiﬁed with the L
2
(
functions on (
<
{
X .
Hence the Hilbert space of a set of second order random variables will consists of
random variables of ﬁnite means and ﬁnite variances, and two random variables X,
Y are uncorrelated if E[X Y]
will have zero means and zero correlations between them.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 33
Applications of Hilbert Space Representation Outside QM
Hilbert Space Representation of Classical Optics
There has been a good amount of attention devoted to the Hilbert space structure
of classical electrodynamics (Rajagopal and Ghose 2016). The main observation
in such important studies have been the ‘classical entanglement’ or ‘inseparability’
as observed in classical optical beams, which are however of a different category
than pure quantum entanglement, which can be further demonstrated in the case of
spin–orbit entanglement. There have been demonstrations of Bell inequality viola-
tions or violations of CHSH types, implying interesting analogies with genuine
quantum systems. However, as authors point out that since there is no presence
of non-commuting operators in classical formulation, where as the central tenet of
quantum formulation is based on non-commuting operators, there need to be serious
study on the differences between KvN type and QM Hilbert space formulations.
Sudarshan (Misra and Sudarshan
1977 for example) developed a classic work of
Hilbert space representation of classical mechanics entirely based on commuting operators. Hence, we will use the abbreviation KvNS from now on.
The basic feature of KvNS formulation is that position and momentum operators
do commute, where as there are extra ‘unobservables’ or extra canonically conjugate operators, say
q and p such that the following commutator bracket relations hold:
[q, q] p], and all other operators commute. Its has been shown that
KvNS formulation has a deeper correspondence with QM, since if the original commuting set of operators are transformed appropriately then QM wave function
can be conceived as a probability density at a point in the phase space of classical mechanics. However, is this a mathematical correspondence? Or can KvNS indicate how classical mechanics emerges out of QM, is still an open area of inquiry.
Sudarshan developed a ‘hidden variable’ quantum theory for classical mechanics
based on the only relevant variable
1/2
. According this formulation a super
selection rule make various transitions of QM wavefunction with all its phases are unobserved, with classical mechanics emerging out of it. In this regard Sudarshan’s approach was different from KvN. For example if we have
1/2
exp (iS), where
S is the phase factor, and plug this expression into and its conjugate expression, we get the following independent equations:
i
√
ρ /∂
√
ρ, and: i /∂ .
Such independent evolutions are possible due to a super selection rule.
In KvN formalism, we have a complete orthonormal set {p, q} of commuting
operators spanning the Hilbert space. However, we can also show
q =
i , and p
= i , two Hermitian operators, representing two more canonical variables, which
commutes with each other but not with q and p respectively. Hence the Hilbert space can be represented by any one of the following four pair of commuting operators: (q, p) or (q,
p), or (p, q), or ( q, p). The most interesting fact is that when the Hilbert
space is represented by say, (q,
p) instead of (q, p) the KvN wave function also do

34 P. Ghose and S. Patra
have phase, and the phase and amplitude evolutions are no longer independent as
earlier. We can refer to Rajagopal and Ghose (2016) for a fuller treatment.
Here however, we mention that if we like to make the phase of the wavefunction
unobservable, then we need a super selection rule which would demand that only
1/2
is physically relevant observable. This is related to the fact that in classical mechanics
both absolute phase and relative phase can not be measured, hence superposition and
interference measures are absent. Hence in QM and classical mechanics all states
which have same absolute phase are identical to each other.
However, in case of classical optics like in QM relative phases are observable.
Hence, in both cases all states which have relative phases are identical to each other.
Hence Bloch sphere in QM and Poincare sphere in classical optics are used to describe
such relative phases.
As mentioned above Rajagopal and Ghose (2016), have constructed the KvNS
version of classical electromagnetism, which preserves the phase features. Again, since Hilbert space representation also assures the entanglement description (in the sense of non-separability) via Schmidt theorem
4
[], so called classical entanglement
in optics can also be described. Bondar et al. [] further demonstrated that KvNS wave function can be thought as to be probability amplitude of a quantum particle at
a particular point in classical phase space, however to show this we need to make a transform from the {q, p} variables to {q,
p}.
Bell violations, one needs KvNS formulation, which is a phase space theory on
Hilbert space. Wave functions in KvNS theory is square integrable functions as in QM, the main difference being need for a super selection rule which make the phase features unobservable in case of classical mechanics, but no such need for classical
electrodynamics.
4
Any vector H 1 ⊗ 2 such that | 1 and H2 respectively,
can be expressed as
j |j >| j > , where c s are positive non negative. Again if we have two
observables A and B elements of H
1 and H2 respectively, then < 1)and
<
2), where 1 and 2 operates on respective Hilbert spaces, and |
and |
1,say {pj}
will be given by c
j =
√
p j in the current example we have two subspaces of same dimensions, but
the decomposition formulation holds for any partitions. For example if we have a 5 Qbit space over
all, and we partition the space into sub space A of 2 Qbit, such that A is spanned by 4 basis vectors,
and sub space B of 3 Qbit space, such that B is spanned by 2
3
or 8 basis vectors, we will still have
the above decomposition formula for
basis states for the lower dimensional subspace.
Another important concept is of Schimdt number. For example we start with a pure state such
as density matrix of one of the subsystems, then the no of non-zero coefﬁcients in the density matrix representation of that subsystem:
E
p
j |j >< j|, will be a measure of degree of entanglement
in In general we know that from a higher dimensional Hilbert space pure state we can arrive at a
lower dimensional mixed state via partial tracing, the converse of this is termed as puriﬁcation.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 35
Classical and Quantum Entanglements
It is generally claimed in the relevant literature (Khrennikov 2020) that classical
entanglement is non separability between multiple degrees of freedom of the same
system, i.e. intra system entanglement, where as quantum entanglement can be both
intra system and inter system, i.e. entanglement between multiple non interacting
subsystems. Hence true ‘non-local’ correlations can be observed in genuine quantum
scenario only.
In a widely cited review of entanglement literature Horodecki et al. (2009) refers
to the Hilbert space structure of a compound system, i.e. which can be described as tensor product of individual separable and complete Hilbert spaces of subsystems,
where the general state of the compound system can be described as a superposition state. Now it is a hard problem to always show whether such a superposition state
can be factorized, or shown as a product state. Non-separability problem is still the most difﬁcult in entanglement literature.
However, we should emphasize here that entanglement between two non-
interacting subsystems does never mean superluminal communication between them, for example as in the EPR scenario. Hence no signaling condition is always maintained.
Authors (Kauffman and Patra 2022 for example) have shown that in case of QM
there is an upper limit for violation of CHSH inequality, the Tsirelson limit. However, there are speculations whether there can be other types of theories in which such an
upper limit is crossed keeping the non-signaling condition intact.
Authors (Rjagopal and Ghose, op cit) have shown that a complete description of
a general sate in classical electrodynamics involves a direct product of Hilbert space
H
path of square integrable functions with another 2D Hilbert space for polarization
states H
pole. Here the state of unit intensity can be written as 1/
√
||A
2
|| |A > |
A (r, t) are solutions of scalar wave equation, and
pol is the vector described as:
Hence polarization-path entanglement in classical optics is a direct consequence of
the Hilbert space structure of it. Where entanglement here means non-factorizability or non-separability between two spaces of special and polarization degrees of
freedom.
Human Cognition and Decision Modelling
Perhaps the most recent application of Hilbert space formulation has been in the
area of human cognition modelling. For quite a few decades at least, it was taken for
granted that human cognition or decision making can be faithfully represented by
using Boolean logic structure, and Kolmogorovian measure theory. Such a theoretical
framework (later modiﬁed by Bayesian probabilistic framework) was thought as
to be the faithful description of rational human decision making. Here rationality
means in accordance with certain basic axioms of set theory set up, for example

36 P. Ghose and S. Patra
commutative and distributive axioms, which again was adapted later in economics
(whether neoclassical economics modelling or standard game theory set up, as ﬁrst
envisioned by Neumann and Morgenstern (revised edition 2007), and later largely
developed by Nash (1950 for example)) via the constrained utility maximization
framework.
However, from the early 1960s at least, cognitive scientists (Segal 1987 for
example), have observed that there are many special features of decision making
(casually called as ‘anomalies’, but we would like to study such features deeply)
for example, contextuality, order effects, failure of sure thing principle, conjunction
and disjunction fallacies, guppy effect, entanglement like features in cognition and
visual perceptions, to name a few, which can not be well described by standard set up.
Certainly, there has been attempts by the so-called behavioral camp (Thaler
2016)
to describe such features in a wide spectrum of models, for example prospect theory
to inequity aversion theory to behavioral game theory, however no comprehensive
or coherent framework do exist to accommodate most of such features along with
standard results.
Since late 1990s various authors (Haven et al. 2013 as a seminal work) have devel-
oped some Hilbert space formulation for cognition. Roughly we can accommodate
such models in the following categories:
a. Cognitive scientists have modelled mental states or belief states as rays in a
Hilbert space, mostly a ﬁnite Dimensional Hilbert space. Hence a mental state
can be though as a superposition of basis states spanning the very Hilbert space,
such a description can also be thought as the basic uncertainty state of the agent or
the decision maker in the question. Then mental state updating can follow Luder
rule of updating (where pure states are updated as pure states or superposed
states), and a measurement corresponding to answering a question posed to the
agent can be described by projecting the mental state to one of its basis states,
where probability of such a result can be described by Born’s rule.
However, simple one-dimensional projection measures may not capture
complex decision-making process always, since there might be noise in the cogni-
tive process, hence more general class of measures, or POVMs have been used in
describing cognitive models. One recurrent feature in Hilbert space modelling of
cognition is certainly the presence of ‘interference’ terms, while measuring the
total probability of any relevant event, such constructive or destructive inter-
ference terms (which naturally arises in the set up due to square of ampli-
tude representation of probabilities) produces deviations from classical measure
theory-based probabilities.
One of the central features of Hilbert space modelling in cognition is the
formula or law for total probability (LTP), which provides additional ‘inter-
ference’ terms. Such interference terms have been empirically measured, and
might be thought as to be an important describer of deviations from classical
measure theory-based predictions. Effects like conjunction and disjunctions are
often described using the modiﬁed formula for total probability.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 37
Hilbert space representation of states has been successfully utilized in classical
optics, where we work with optical beams obeying Maxwell’s equations of electro-
magnetism. Speciﬁcally, Hilbert space modelling is effective in describing ‘classical
entanglement’, which is entanglement between multiple degrees of freedom of the
same optical system, for example path-polarization entanglement.
Applications in decision theory, human cognition and other social science areas:
The outburst of ‘quantum like modelling’ in social science (Khrennikova and Patra
2019 for example) or ‘quantum cognition’ modelling (Busemeyer et al. 2006)oruse
of quantum like modelling in economics and ﬁnance (Patra and Ghose 2020) can all
be perceived as the extension of Hilbert space representation.
For example in human cognition, to resolve age old ‘anomalies’, which are non-
trivial if not impossible, to resolve via use of Boolean logic or Kolmogorovian
measure theory based description of choice making, Hilbert space(H) representa-
tion has proved to be effective. In such a representation a cognitive state can be
thought as to be a unit vector, properly normalized, on a ﬁnite or countably inﬁnite
dimension Hilbert space. Again observables, which are here cognitive observables
(can be thought of as responses or answers to speciﬁc questions like ‘are you happy’?
‘are you a feminist’? referring to the famous ‘Linda the bank teller’ scenario) can be
represented as Hermitian operators on the Hilbert space deﬁned. Then with standard
rules on H, for example superposition of vectors description, or at times entanglement
description, one can describe various really observed phenomenon, e.g., Failure of
Sure thing principle (which is rather a central tenet of Neoclassical decision theory/
economics), Order effect, Disjunction and Conjunction effects etc.
Most importantly, use of Hilbert space modelling, allows for a modiﬁed formula
for total probability [FTP] to emerge, which is very common in standard QM. Such a modiﬁed FTP holds the key to describe deviations from the predictions of standard decision models based on classical probability theory [CPT]. There are different
versions of modiﬁed FTP though, for example a standard version [going back to standard textbook versions of Double slit experiment, or what is termed as Vaxjo
(Khrennikov
2002) version] has the CPT based FTP plus additive perturbative terms
with a signiﬁcant phase factor. One advantage of such a FTP is that it can reduce to classical FTP whenever the observables commute with each other.
5
However, there
are other type of modelling too, speciﬁcally, QBism, as mentioned earlier, which has entirely a different formulation of FTP, QBism is a very promising candidate for decision theory in general, but the jury is still out.
Hilbert space modelling is also very widely used now in ﬁnancial market
modelling. Use of Hilbert space set up and operator algebra deﬁned on it can make the basic trade models simple and more elegant, however one difﬁcult issue to tackle in
such models is the presence of Non-Hermitian operators, speciﬁcally Non-Hermitian
5
Here we mention that the commutation relations between cognitive variables are not as ‘naturally’
perceived as in standard QM, there is no general theory of commutative relations between cognitive
variables, and contextuality may play a deeper role here.

38 P. Ghose and S. Patra
Hamiltonians. It is interesting to mention here that authors have found ‘no arbitrage’
or ‘Martingale’ properties of an efﬁcient ﬁnancial market leads to the formulation of
Non-Hermitian Hamiltonian.
COM Approach (Patra and Ghose)
Finally, we brieﬂy discuss here Hilbert Space modelling-based cognition framework developed by the current authors. For a fuller reading of the COM framework and its
applications in game theory for example, please refer to the above referred papers.
Heisenberg held the view that there is always an uncontrollable and inherently
probabilistic disturbance caused by interaction between a system to be observed and
a probe, which is a central feature of QM. However, Bohr’s interpretation was subtle
and different, in the sense that the state of the measuring device and the state of the
object cannot be separated from each other during a measurement but they form a
dynamical whole or an unanalyzable whole. Hence QM becomes in this picture is
inherently contextual.
Hence QM, where as described earlier in this chapter, a state (more speciﬁcally
a pure state) is described as a normalized vector in a ﬁnite or inﬁnite dimensional Hilbert space, exhibits three most important phenomenon: contextuality, interference
and entanglement.
Later contextuality has been shown to be a central feature of human cognition too
(Dzhafarov and Kujala 2016 for example), there have been studies claiming inter-
ference patterns and entanglement present in human cognition or decision-making processes. However, for us the question was do we really need to do pure quantum mathematical modelling for human cognition? Here another central classical physics
theory comes to help, classical optics or classical electromagnetism. All the three central features mentioned above is also observed in this ﬁeld, certainly with obser- vations on the differences between genuine quantum superposition and entanglement
with classical superposition and entanglement. In classical optics too states are fully described by vector representation in Hilbert space, and such Hilbert space modelling of classical electromagnetism is rather a strong growing study.
Hence in our approach of modelling cognition we rather adopt the suitable ‘clas-
sical Hilbert space’ mathematical formulation. We have shown in our works (Patra and Ghose, op cit) that such a mathematical description is suitable enough to describe
features of human cognition which we have mentioned in the earlier sections.
Since we have already described Hilbert space modelling in brief, in the ﬁnal
section we discuss how our approach; COM (classical optical modelling); can be applied to another emerging ﬁeld of quantum-like modelling in game theory, or quantum games.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 39
Discussion: Application of COM in Game Theory
Recently good amount of attention has been directed toward studying classical entan-
glement phenomenon, exhibited by classical optics or even by classical mechanical
systems. The critical difference lies in the fact that true quantum entanglement or
non-local correlations (without violating relativistic causality for sure) can be exhib-
ited either by space-like separated subsystems or entanglement or coupling between
degrees of freedom of the same system (for example path-spin entanglement for elec-
trons, etc.), whereas classical entanglement is only for multiple degrees of freedom
for a single classical system.
Hence based on the above discussed literature of designing superior strategies or
games relative to standard classical games, the question arises whether the shared physical system among the players might have ‘classical entanglement’ and still
generate superior strategies which results into superior NE (Nash Equilibrium).
Earlier literature have suggested that quantum entanglement guarantees better
NE generation, but now we have demonstrated even much simpler shared physical
systems might generate similar NE, for example for PD game. For the fuller mathe-
matical treatment, we refer to our recent work. Here we brieﬂy mention the salient
features of our framework.
To re-design the PD game such that superior strategy proﬁles emerge, we closely
follow the refs of Patra and Ghose as above with (a) sources of two polarized classical light beams each for one player (b) a set of optical instruments which help each player
to manipulate each light beam in a strategic manner (c) a measurement device (in this case polarization analyzer) which generates payoffs for every player (generally, classicality of the shared physical system between the players has some degree of
correspondence to factorizability of joint probabilities, however non-factorizability of those joint probabilities may not always mean violations of Bell inequalities, hence non-factorizability is a sufﬁcient but not necessary condition for ‘quantumness’ of
the shared physical system) based on the polarization sates of each optical beam. Again the game set up is a common knowledge to all players, say to Alice and Bob
in case of a 2
Here then, we assign two vectors |C > and |D > to two possible classical strategies
C and D (co-operate and defect namely) which spans the 2 D Hilbert space H of a
polarized beam. Hence state of the game at every instant is provided by a vector in
the tensor product space HA
|DB >, |DA >
is assigned as |1 >, two standard basis vectors on the Poincare sphere,
6
representing
horizontal and vertical polarization respectively, then, the ‘optical’ states with Alice and Bob will be:
6
Poincare sphere is a widely used tool for describing states, like polarization states in Optics as
well as in information theory in general. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Poincar%C3%A9_
sphere.

40 P. Ghose and S. Patra
|
iϕ
isin
the range [
Based on this representation we can then deﬁne, ‘strategy space’ of the players
using Unit Matrices
7
U (2), where U is the unit matrix symbol, with the property
that U*U
transposition, and I is the identity matrix. Hence, we can deﬁne U(0,0) which is
the identity matrix or operator in operator representation, and the other matrices in
form of Puli Matrices. Again based on the algebra followed by the Pauli matrices,
which forms a closed set of non-trivial operators, one can associate at most three
independent strategies. Another important advantage of this modelling is since the
results are based on general Non-Abelian algebra, there is no presence of Plank’s
constant in our equations, which has always been a worry in quantum-like modelling,
due to lack of proper interpretation.
Hence, we ﬁnd three independent strategies emerging out, C which corresponds to
σ
3, D which corresponds to i 2 and L (say, which means abstain) which corresponds
to
1. Hence, we already see extended strategy proﬁles for players, it may also
be noted that a linear combination of C and L would produce H, the well-known Hadamard Gate. We would request the readers to refer to our detailed framework (also in a forth-
coming book, interdisciplinary approach to cognitive modelling by Ghose and Patra) for the full mathematical model. Here we just mention that based on the extended
strategy proﬁle, if classical entanglement feature is introduced in the system of optical beams, then D,D no longer remains the dominant NE, rather we get a Pareto improved NE. over all there are certain advantages of this framework as we list below.
1. We have distinguished our frame work of designing strategic decision making
in form of a prisoners dilemma game (PD), which is based on novel features
of classical optics; mainly classical entanglement which is robust; from pure
‘quantum like’ description of similar games, which are often called as ‘quantum
prisoners dilemma’ (QPD).
2. We have been able to demonstrate the main point of departure from neoclassical game theory, that is, providing a mechanism to bypass the stubbornly dominant
‘defection’ Nash equilibrium in a PD.
3. We have demonstrated that based on classical optical modelling (COM, a frame work of cognition model which we have developed recently) or designing of PD
we can achieve, or demonstrate Pareto superior equilibrium outcomes even in non-repetitive PD.
4. Our design of PD is thus an alternative to extant models which try utilize
pure quantum entanglement (which is very fragile due to noise in the environ-
ment, in this case information environment), and hence our design is practi-
cable while using simple optical tools, namely polarization. We have provided
a detailed description of our design in the paper with simple geometric repre-
sentations of decision moves by players via rotations of Poincare sphere. Such
7
https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix.

3 Hilbert Space Modelling with Applications in Classical Optics, Human … 41
correspondence between decision making and rotation operations on Poincare
sphere is an elegant way to capture new strategy proﬁles of players, and Pareto
improved equilibrium points. We also refer to here our forthcoming book which
elaborates our mathematical and philosophical framework (Ghose and Patra
2023-forthcoming).
References
Adhikary, S., Srinivasan, S., Miller, J., Rabusseau, G., Boots, B.: Quantum tensor networks,
stochastic processes, and weighted automata. In: International Conference on Artiﬁcial
Intelligence and Statistics, pp. 2080–2088. PMLR (2021)
Birkhoff, G., Von Neumann, J.: The logic of quantum mechanics. Ann. Math. 823–843 (1936)
Busch, P.: Quantum states and generalized observables: a simple proof of Gleason’s theorem. Phys.
Rev. Lett. (12), 120403 (2003)
Busemeyer, J.R., Wang, Z., Townsend, J.T.: Quantum dynamics of human decision-making. J. Math.
Psychol.
Dirac, P.A.M.: The Principles of Quantum Mechanics (No. 27). Oxford University Press (1981)
Dzhafarov, E.N., Kujala, J.V.: Context–content systems of random variables: The contextuality-by-
default theory. J. Math. Psychol.
Egger, D.J., Gambella, C., Marecek, J., McFaddin, S., Mevissen, M., Raymond, R., Simonetto, A.,
Woerner, S., Yndurain, E.: Quantum computing for ﬁnance: State-of-the-art and future prospects. IEEE Trans. Quant. Eng.
Fuchs, C.A., Mermin, N.D., Schack, R.: An introduction to QBism with an application to the locality
of quantum mechanics. Am. J. Phys.
Ghose, P., Patra, S.: An Interdisciplinary Approach to Cognitive Modelling: A Framework Based
on Philosophy and Modern Science, 1st edn. Routledge (2023-forthcoming). https://doi.org/10.
4324/9781003429913
Haven, E., Khrennikov, A., Khrennikov, A.I.: Quantum Social Science. Cambridge University Press
(2013)
Horodecki, R., Horodecki, P., Horodecki, M., Horodecki, K.: Quantum entanglement. Rev. Mod.
Phys. (2), 865 (2009)
Kauffman, S., Patra, S.: Human cognition surpasses the nonlocality tsirelson bound: Is mind outside
of spacetime? (2022). https://osf.io/zacsh/
Khrennikov, A.: Quantum versus classical entanglement: eliminating the issue of quantum
nonlocality. Found. Phys.
Khrennikov, A.: Växjö Interpretation of Quantum Mechanics. Växjö University Publication (2002)
Khrennikova, P., Patra, S.: Asset trading under non-classical ambiguity and heterogeneous beliefs.
Physica A
Misra, B., Sudarshan, E.G.: The Zeno’s paradox in quantum theory. J. Math. Phys.
(1977)
Nash, J.F.: The bargaining problem. Econometrica: J. Econ. Soc. 155–162 (1950)
Patra, S., Ghose, P.: Classical optical modelling of the ‘prisoner’s dilemma’ game. In: Sriboonchitta,
S., Kreinovich, V., Yamaka, W. (eds.) Credible Asset Allocation, Optimal Transport Methods, and Related Topics. TES 2022a. Studies in Systems, Decision and Control, vol. 429. Springer, Cham (2022a)
Patra, S., Ghose, P.: Classical optical modelling of social sciences in a Bohr-Kantian framework.
In: Credible Asset Allocation, Optimal Transport Methods, and Related Topics, pp. 221–244. Springer International Publishing, Cham (2022b)

42 P. Ghose and S. Patra
Patra, S., Ghose, P.: Quantum-like modelling in game theory: Quo Vadis? A brief review. Asian J.
Econ. Bank.
Patra, S.: A Quantum Framework for Economic Science: New Directions (No. 2019–20). Economics
Discussion Papers (2019)
Penrose, R.: The road to reality. Random House (2005)
Rajagopal, A.K., Ghose, P.: Hilbert space theory of classical electrodynamics. Pramana
1172 (2016)
Segal, U.: The Ellsberg paradox and risk aversion: An anticipated utility approach. Int. Econ. Rev.
175–202 (1987)
Thaler, R.H.: Behavioral economics: Past, present, and future. Am. Econ. Rev.
(2016)
Timpson, C.G.: Quantum Information Theory and the Foundations of Quantum Mechanics. OUP
Oxford (2013)
Von Neumann, J., Morgenstern, O.: Theory of games and economic behavior. In: Theory of Games
and Economic Behavior. Princeton University Press (2007)
Wigner, E.P.: The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Math. Sci.
291–306 (1990)

Chapter 4
Remodeling Leadership: Quantum
Modeling of Wise Leadership
David Rooney and Sudip Patra
Abstract
implications for leadership research. Due to the limitations of standard decision
theory (based on Kolmogorovian/Bayesian decision theory) scholars began to build
a new theory based on the ontological and epistemological foundations of quantum
mechanics. The last decade has witnessed a surge in quantum−like modeling in the
social sciences beyond decisionmaking with notable success. Many anomalies in
human behavior, viz, order effects, failure of the sure thing principle, and conjunc−
tion and disjunction effects are now more thoroughly explained through quantum
modeling. The focus of this paper is, therefore, to link leadership with quantum
modeling and theory. We believe a new paradigm can emerge through this wedding
of ideas which would facilitate better understandings of leadership. This article intro−
duces readers to the mathematical analytical processes that quantum research has
developed that can create new insights in the social scientiﬁc study of leadership.
Introduction
We begin with three observations. First, quantum theory is argued to lend itself to developing new empirical insight into complex, indeed, indeterminate human
behavior. Second, there is reason for the research community to take stock of how we approach leadership research so that we might develop wiser leaders who make more
positive impacts on the world. Third, at its most fundamental level, wise leadership is an indeterminate social practice that is amenable to quantum social scientiﬁc investigation. By indeterminate, we mean that it is uncertain exactly what the best
and wisest thing to do is as a leader as each leadership challenge unfolds. This is partly
D. Rooney
Macquarie University, Macquarie Park, Australia
S. Patra (B)
OP Jindal Global, Jindal school of Government and public policy, OP Jindal Global University,
Sonipat, India
e−mail: [email protected]
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 A. Chakraborti et al. (eds.), in Economics and Public Policy, New Economic Windows,
https://doi.org/10.1007/978−3−031−38833−0_4
43

44 D. Rooney and S. Patra
to do with the complexity of the human mind and behavior, and also the complexity
and ambiguity of the context in which leaders act. Dealing excellently with this
leadership indeterminacy, we argue, requires wisdom. Leadership and wisdom are
both deeply situated practices that are necessarily shaped by context. This article
shows that researching indeterminate social practices can beneﬁt from the ontological
and epistemological tools developed to understand quantum mechanics. Speciﬁcally,
we show how quantum−like modeling can address researching wise leadership and
introduce the mathematical procedures that leadership research can employ.
The ontological assumptions in quantum theory are relevant to the indetermi−
nacy of social behavior and, in particular, the impacts of social, cultural, economic,
political and other contextual factors on behavior that create ambiguity, uncertainty,
bounded rationality, imperfect knowledge, and so on. For reasons of economy, we will
henceforth refer to the totality of these contextual factors as context. We suggest that
better understandings of the way leaders practice leadership require researchers to
examine any inadequate ontological assumptions in research designs and to consider
the methodological implications that ﬂow from a revised ontology, particularly in
relation to indeterminacy and context. Thus, we will show that the ontology and epis−
temology inherent in quantum mechanics and quantum physics research (including
quantum mathematical analysis) are useful for the indeterminate ontology of leader−
ship.
1
Indeed, McDaniel and Walls (1997), Lord et al. (2015), Dyck and Greidanus
(2017), Hahn and Knight (in press) argue that quantum theory is a useful new lens with
which to understand ambiguity, paradox, diversity, relationships, social interaction, time and change in organizations.
Importantly, quantum mechanics begins with “an undeﬁned state, and offers
an innovative approach for understanding the unfolding of complex organizational phenomena” (Lord et al.
2015: 264). Arguably, the most important message about
the value of quantum theory to management and leadership research is, according to
Dyck and Greidanus (2017), that it offers us an alternative to entrenched ontological
assumptions that no longer serve us as well as we would like. This article extends
the early work of McDaniel and Walls (1997), Lord et al. (2015), Dyck and Grei−
danus (2017), and Hahn and Knight (in press) by, ﬁrstly, linking it speciﬁcally to
leadership and wisdom research through the mathematics and logic of quantum−like modeling (QM) as well as discussing examples of its use in behavioral economics,
decisionmaking and cognitive science research where quantum modeling is already used. Secondly, by taking this body of research beyond making ontological and epis− temological arguments we show how empirical research can operationalize quantum
theory and quantum mathematical formalism. In this second respect, we introduce
1
However, we should caution readers that we would like to adapt the mathematical and logical
framework of quantum theory only, rather than the physics of it. The emerging quantum like
modelling in social sciences aims at that, for example, see Haven and Khrennikov (2013).

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

4. LUKU.
Pelastettu vanki.
Oli otettava lukuun useita seikkoja kanoottien sijoittamisessa —
sillä Gershomin kanootti oli niinikään kätkettävä. Melkein kaikissa
Michiganin matalissa vesissä kasvaa korkeata villiriissiksi nimitettyä
heinää, ja niinpä tässäkin jokivarressa. Meloen omaa kanoottiansa ja
hinaten toista tunkeutui mehiläispyytäjä tällaiseen tiheikköön, valiten
jonkun luonnonoikun muodostaman kanavan, joka polvitteli
heinikossa sellaiseen tapaan, että se piankin peitti näkyvistä kaiken
keskemmällä olevan. Tällaisia tavattoman mutkaisia kanavia oli
useita, ja heti kun erämies oli toimittanut kanootit kiinteään rantaan
ja kytkenyt ne, nousi hän likeiseen puuhun ja tutki noiden soukkien
solien kaarroksia, kunnes hänellä oli ylimalkainen käsitys niiden
suunnista ja laadusta. Tämän varokeinon jälkeen hän riensi takaisin
majaan.
"No, Gershom, oletko päättänyt menettelytavasta?" olivat hänen
ensimäiset sanansa.
"Emme ole vielä selvillä", vastasi toinen. "Sisko pyytelee meitä
muuttamaan syrjemmälle, koska intiaanien täytyy kohtsiltään olla

täällä; mutta vaimoni tuntuu ajattelevan, että hän on varmassa
turvassa, kun kerran minä olen taas kotona."
"Silloin on vaimo väärässä ja sisar oikeassa. Jos noudatat
neuvoani, niin kätket kaiken irtaimesi metsään ja poistut majasta niin
väleen kuin mahdollista. Intiaanit ehdottomasti havaitsevat tämän
asumuksen ja varmastikin tuhoavat kaikki mitä eivät voi mukanaan
viedä. Sitäpaitsi ohjaa pieninkin valkoihoiselle kuuluva esine heidät
jäljillemme, nyt kun päänahat alkavat olla hyvässä hinnassa
Montrealissa. Puolessa tunnissa voidaan täältä kantaa kaikki
tiheikköön, joka on onneksi likellä, ja huolellisesti sammuttamalla
tulen ja käyttämällä asianmukaista varovaisuutta saatamme antaa
paikalle niin hyljätyn näön, että villit eivät epäile mitään."
"Jos ne pistäytyvät virtaan, Bourdon, niin ne eivät leiriydy ulkosalle
wigwamin ollessa niin lähellä, ja jos ne tulevat tänne, niin mikä estää
niitä näkemästä jalanjälkiä, joita me jätämme taaksemme?"
"Yö, ainoastaan yö. Ennen aamua ovat heidän omat jälkensä niin
runsaita, että meidän olomme haipuu. Onneksi käytämme me kaikki
mokkasineja; siitä on nyt suurta etua. Mutta jokainen hetki on kallis,
ja meidän tulisi hyöriä. Ottakoot naiset vuoteet ja makuuvaatteet,
sinun ja minun siepatessamme tämän kirstun. Ylös se nousee, ja
tässä menee!"
Gershom oli siinä määrin joutunut kumppaninsa vaikutettavaksi,
että hän mukautui, vaikka hänen mielessään liikkui monia
vastaväitteitä, joita hän huomautteli tästä toimintatavasta heidän
puuhatessaan muuttoa. Whisky-Keskuksen tavarat olivat kolmen
viime vuoden kuluessa vähitellen vähentyneet sekä määrältään että
arvoltaan, joten hänellä ei nyt ollut paljoakaan irtainta. Seurueelta
meni vain parikymmentä minuuttia tuvan tyhjentämiseen kaikista

esineistä, joista intiaani olisi saattanut johtua aavistelemaan
valkoihoisen läsnäoloa. Tavarat kannettiin riittävän matkan päähän,
ollakseen turvassa muulta paitsi vasituiselta etsinnältä, ja
mahdollisimman huolellisesti varottiin tallaamasta tolaa, joka olisi
voinut johtaa villit väliaikaiseen aittaan. Tämä oli pelkkä sankka
viidakko, johon johti kapea aukko suojaisimmalta puolelta.
Hommasta suoriuduttuaan läksivät kaikki neljä tähystämään,
miten pitkälle kanootit olivat päässeet. Ne olivat enää vajaan
penikulman päässä, ajautuen navakan tuulen ja myötälaineitten
mukana sekä niin monen melan lykkiminä kuin niissä oli elollisia
olentoja. Kymmenessä minuutissa saattoi olettaa tulijain ehtivän
matalikolle ja siitä viidessä minuutissa itse virtaan. Tuli nyt
kysymykseksi, missä seurueen piti piileksiä villien vierailun aikana.
Dolly, kuten kenties oli emännälle luonnollistakin, halusi jäädä
maallisen omaisuutensa ääreen, ja sievä Margery tunsi voimakasta
naisellista taipumusta tekemään samaten. Mutta miehistä ei
kumpainenkaan hyväksynyt sitä aietta. Se oli liikanaista
vaarantamista yhteen kohti, ja voitolle pääsi esitys, jonka
mehiläispyytäjä nopeasti keksi.
Olihan Le Bourdon vienyt kanootit vesiheinikköön ja sijottanut ne
niin turvallisesti suojatuiksi kuin suinkin saattoi. Nämä kanootit
tarjosivat monessakin suhteessa paremman tilapäisen lymypaikan
kaikissa oloissa kuin mikään rannalta löytyvä kätkö. Ne olivat
kuivillaan, ja levittämällä taljoja, joita Bodenilla oli useita, oli
tehtävissä mukavat vuoteet naisille, samalla kun heitä oli helppo
varjella yökylmältä ja kasteelta laiteitten yli heitetyllä karvapeitolla.
Toisekseen oli kummassakin kanootissa monia tarvikkeita, jotka
luultavasti joutuisivat tähdellisiksi; varsinkin oli mehiläispyytäjän
venheestä saatavissa yltäkyllin ruokavaroja ja muuta, mitä heidän

asemassaan kaipasi. Mutta Le Bourdonin mielestä oli kanoottien
suurimpana etuna kuitenkin se, että niillä oli helppo paeta. Hän
rohkeni tuskin toivoa intiaanien terävänäköisyyden siinä määrin
pettävän, että heidän hyörinästään jääneet monet jalanjäljet
välttäisivät huomiota, joten hän arveli päivän valjetessa saattavan
käydä pakolliseksi pyrkiä turvaan salavihkaa poistumalla paikalta.
Tämän hän uskoi käyvän laatuun riissin suojassa, jos kyllin
huolellisesti kartettiin osumasta näkyviin. Nämä syyt selitti Le
Bourdon nyt kiireesti kumppaneilleen, ja kanoottien luo seurue riensi
niin joutuin kuin jaksoivat kävellä.
Mehiläispyytäjä oli osottanut hyvää harkintaa villiriissin
valitsemisessa suojapaikaksi. Siihen vuodenaikaan se oli kyllin
rehevää peittääkseen täydellisesti näkyvistä kaikki, mikä ei ollut
miestä korkeampaa tai millekään läheiselle ylänteelle paljastuvaa.
Virran suulla oli maa enimmäkseen laakeata, ja harvat poikkeukset
oli otettu lukuun kanoottien sijottamisessa heinikkoon. Mutta juuri
kun Gershom oli astumaisillaan omaan kanoottiinsa, järjestääkseen
sitä vaimonsa vastaanotoksi, vetäysi hän takaisin ja huudahti kuin
mitä tärkeimmän ajatuksen äkkiä valtaamana:
"Hyväinen aika! Minä olen ihan unohtanut ne tynnyrit! Ne joutuvat
villien käsiin, ja kamalan metelin ne siitä nostavat! Anna minun
mennä, Dolly — minun pitää paikalla pitää huolta tynnyreistä."
Vaimon hiljaisesti pidättäessä innokasta miestänsä kysyi
mehiläispyytäjä levollisesti, mistä tynnyreistä oli puhe.
"Whiskytynnyreistä", oli vastaus. "Niitä on kaksi vajassa majan
takana, ja nestettä on niissä riittämään asti riivaamaan kokonaisen
heimon pyörälle päästänsä. Kumma, kuinka minulta whisky unehtui!"

"Se on suuren parannuksen merkki, Waring-veikkonen, eikä
aiheuta mitään hankalia seurauksia", huomautti Le Bourdon
rauhallisesti. "Minä oivalsin vaaran ja vieritin astiat alas mäkeä
sirpaleiksi jokeen, joka on jo aikaa kuljettanut nesteen grogina
järveen."
Waring näytti ällistyneeltä, mutta hän ei ollenkaan osannut
aavistaa asian todellista laitaa. Väkijuoman toivoton hukkaantuminen
oli kyllä ikävää, mutta sekin oli parempi kuin tietää villien saavan
siitä ilmaisen saaliin. Häviötänsä surkeillen ryhtyi hän kuitenkin
muiden mukana muutamiin lisävarustuksiin, joita Le Bourdon piti
kaiken varalle suotavina, jollei välttämättöminä.
Mehiläispyytäjän mieleen oli johtunut oman lastinsa jakaminen
molempiin kanootteihin, ja siinä työssä nyt koko seurue puuhasi.
Siten tahtoi hän keventää omaa kanoottiansa paon varalta ja
tavaransa kahteen erään jakamalla suoda kaikille parhaan
mahdollisuuden olojensa huojentamiseen. Niin pian kuin tästä
järjestelystä oli päästy, juoksi Le Bourdon puun luo, joka tuntui
siihen soveliaalta, ja sen oksille kohoten ehti hän piankin kyllin
korkealle, nähdäkseen matalikon ja jokisuun. Päivän hiipuvassa
valossa erotti hän selvästi neljä kanoottia tulossa ylös virtaa eli yhtä
enemmän kuin Margery oli ilmottanut nähneensä kulkevan ohitse.
Tunnin verran heijasti maan päälle kirkas kuu auringon valoa
tämän taivaankappaleen painuttua näköpiirin alle. Sen avulla
mehiläispyytäjä yhä puussaan pysyen sai tarkatuksi
intiaanikanoottien liikkeitä, vaikka henkilöiden hahmot pian kävivät
niin epäselviksi, että saattoi vain havaita lukumäärän. Kolmessa
kanootissa laski hän olevan viisi kussakin ja neljännessä kuusi.
Yksikolmatta oli liian suuri ylivoima vastarinnan ajattelemiseksi siinä

tapauksessa, että tulijat olivat vihamielisiä; pakolaisten oli siis
toimittava varovaisesti ja valppaasti.
Intiaanit astuivat maihin juuri majan alapuolella, tarkalleen
samassa paikassa, missä Whisky-Keskuksella oli tapana pitää
kanoottiaan, kunnes Bourdon oli sen siitä vastikään siirtänyt pois.
Villit olivat nähtävästi valinneet sen maallenousuunsa siitä syystä,
että ranta oli siinä vapaata vesiheiniköstä ja että läheinen ylänne
näytti sopivalta tähystys- ja leiripaikalta. Useita heistä pistäysi
ylemmäksi ikäänkuin mukavaa nuotiosijaa hakien, ja muuan keksi
pian majan. Soturi julisti menestyksensä huikkauksella, ja tuossa
tuokiossa keräysi tupaan ja sen lähistölle kymmenkunta
punanahkaista. Viisaasti olivat siis pakolaiset menetelleet.
Kukka seisoi puun juurella, ja mehiläispyytäjä kertoili hänelle
huomioitaan; tyttö vuorostaan teki niistä selvää veljelleen ja
kälylleen, jotka olivat ihan lähellä kanootissaan.
"Tuntuvatko ne aavistelevan asukkaiden läheisyyttä?" kysyi
Margery kuultuaan mehiläispyytäjältä, millä tavoin villit olivat
ottaneet haltuunsa hänen äskeisen asuntonsa.
"Ei voi sanoa. Villit ovat aina epäluuloisia ja varovaisia sotapolulla,
ja nämä näyttävät nuuskivan ympäristöä kuin koirat ollessaan jälkiä
vainuamassa. Ne keräävät nyt kalikoita nuotiokseen, ja se on
parempi kuin majan polttaminen."
"Sitä ne varmaankaan eivät tee niin kauvan kuin tarvitsevat
suojaa. Sano minulle, Bourdon, lähestyykö kukaan heistä viidakkoa,
johon kätkimme tavaramme."

"Ei vielä — vaikka nyt näkyy niiden joukossa äkillistä liikettä ja
kuuluu ulvahduksia!"
"Suokoon taivas, että ne eivät ole keksineet mitään
unohtamaamme. Hukkaantuneen vesikauhankin tai pikarin
näkeminen osuttaisi nuo verikoirat polullemme niin varmasti kuin me
olemme valkoihoisia ja he villejä!"
"Niin totta kuin elän, ne haistavat whiskyn! Rynnätään vajaa kohti
ja hälistään siellä ja ympärillä — niin, varmasti ne ovat vainunneet
whiskyn. Sitä on läikkynyt mäkeen, ja niillä on liian tarkka nenä
jättämään niin ihanaa tuoksua silleen. No, haistelkoot minkä mielivät
— intiaanikaan ei päihdy nenänsä kautta."
"Mutta eikö se haju ole meille mitä onnettomin, koska he eivät voi
luulla whiskyn kasvaneen itsellään metsässä niinkuin nurmi rehottaa
majan ympärillä?"
"Huomautuksesi osuu kyllä paikalleen; sitä ne eivät tosiaankaan
voi luulla, vaikka paikka onkin nimeltään Whisky-Keskus!"
"On kyllin kovaa tietää, että perhe on ansainnut sellaisen nimen,
tulematta siitä muistutetuksi henkilön taholta, joka sanoo itseänsä
ystäväksemme", virkkoi tyttö terävästi, oltuaan vaiti lähes minuutin;
mutta hänen äänensä sointu ilmaisi pikemmin surua kuin
suuttumusta.
Tuossa tuokiossa seisoi mehiläispyytäjä sievän Margeryn sivulla,
solmien rauhaa innokkailla anteeksipyynnöillä ja vilpittömillä
kunnioituksen ja mielipahan vakuutuksilla. Loukkaantunut tyttö
tyyntyi pian, ja kotvan neuvoteltuansa keskenään he läksivät
kanoottiin ilmottamaan viime havainnosta.

"Whisky luullakseni lopultakin koituu pahimmaksi
viholliseksemme", sanoi mehiläispyytäjä lähemmäksi tullessaan.
"Tynnyreistä näkyy läikkyneen nestettä, josta nyt villien hajuaisti on
saanut vihiä."
"Pitäkööt hyvänään", murisi Gershom. "Niiden takia olen
menettänyt koko varaston, ja rangaistuksekseen kaivatkoot sitä nyt
pisaraakaan saamatta. Olisin korjannut kelpo rahat, kun vain olisin
saanut molemmat tynnyrit Fort Dearborniin ennen varusväen
poislähtöä."
"Tynnyrit olisi tosiaan ollut saatavissa sinne", vastasi Le Bourdon,
jota niin suuresti ärsytti miehen pahottelu tuhoaineesta, joka jo oli
ollut vähällä syöstä hänet perheineen suoranaiseen puutteeseen ja
häviöön, että hän hetkeksi unohti äskeisen kohtauksensa sievän
Margeryn kanssa; "mutta olisiko niissä ollut mitään sisältöä, se on
toinen asia. Puolillaan oli jo toinen niistä, jotka kieritin vierun
partaalle."
"Gershomia kiusaa niin kovasti vilutauti, jollei hän ota vahviketta
täällä saloseudulla", tokaisi hänen vaimonsa siihen puolustelevaan
tapaan, jolla nainen pyrkii peittelemään rakastamansa heikkouksia.
"Mitä whiskyyn tulee, niin en ole sen menosta ollenkaan pahoillani,
sillä huono keino rikastumiseen on myyskennellä sitä sotamiehille,
jotka tarvitsevat kaiken järkensä vireänä. Mutta Gershom kaipaa
lämmikettä, eikä jokaista hänen maistamaansa pisaraa saisi viskata
hänen silmilleen."
Le Bourdon tajusi jälleen erehdyksensä ja selvittäysi pulasta
parhaansa mukaan, itsekseen päättäen olla enää asettumatta
kahden tulen väliin millään uusilla kompastuksilla tässä
arkaluontoisessa asiassa. Hän huomasi nyt, että oli aivan toista

laskea leikkiä itse Whisky-Keskuksen kanssa hänen suuresta viastaan
kuin virkkaa etäisintäkään viittausta siihen niiden kuullen, jotka
säälittelivät puolison ja veljen alennusta. Hän siis vain terotti uusien
ystäviensä mieliin valppauden välttämättömyyttä nyt, kun intiaanit
väkijuoman vereksestä lemusta varmaankin päättelivät ihmisolentoja
vastikään olleen majassa.
"Minä palaan puuhun ja silmään taas niiden liikkeitä", lopetti Le
Bourdon. "Tähän mennessä täytyy niillä jo olla tuli sytytettynä, ja
tähystimelläni on saatavissa parempi käsitys niiden aikeista ja
tunteista."
Mehiläispyytäjä läksi vartiopaikalleen, ja häntä seurasi vitkastellen
Margery. Tyttöä pidätteli neitseellinen ujous, mutta huolestus ja halu
saada mahdollisimman pian tieto asiain käänteestä voittivat sen.
"Ne ovat virittäneet loimuavan takkavalkean, joka valaisee
kirkkaasti koko talon sisäpuolta", kertoi Le Bourdon, päästyään
varovasti puun latvuksen kätköön. "Punaisia paholaisia hyörii ovesta
sisään ja ulos, ja niillä näkyy olevan sekä kalaa että metsänriistaa
kypsennettävänä. Kas, yhä vain lisää kuivia risuja kasataan tuleen
näyttämön valaisemiseksi; siellä on kuin ilmi päivä. Totisesti, niilläpä
on vanki matkassaan!"
"Vankiko!" huudahti Margery naisellisen surkuttelevasta "Eihän toki
valkoihoinen?"
"Ei — hän on punanahkainen niinkuin ne kaikki — mutta, maltas
kun saan tähystimeni paremmin paikalleen — niin, oikeassa olin ensi
näkemällä!"
"Mitä näet, Bourdon?"

"Muistanet, Kukka, että veljesi ja minä puhuimme kahdesta
intiaanista, jotka vierailivat luonani tammistoahoilla. Toinen oli
pottawattamie ja toinen chippewa. Edellisen tapasimme kuolleena ja
päänahkansa menettäneenä hänen erittyänsä meistä, ja jälkimäinen
on nyt tuolla majassa, sidottuna ja vankina. Hän on poikennut
järvelle, matkallaan Fort Dearborniin, ja kaikesta oveluudestaan ja
päättäväisyydestään huolimatta on hän joutunut vihollistensa käsiin.
Hyvä on hänelle, jos hänen kiinniottajansa eivät saa tietoonsa, miten
kävi soturin, joka surmattiin majani lähellä ja jätettiin puuta vasten
istumaan!"
"Luuletko noiden villien aikovan kostaa kumppaninsa kuoleman
tälle onnettomalle?"
"Tiedän hänen olevan detroitilaisen kenraalimme palveluksessa,
kun taasen pottawattamiet ovat englantilaisten palkkaamia. Jo tämä
tekisi heidät keskenään vihollisiksi ja on epäilemättä ollutkin hänen
kiinniottamisensa syynä; mutta minun on vaikea käsittää, miten
intiaanit täällä järvellä voisivat tietää, mitä on tapahtunut
viitisenkymmenen penikulman päässä tammistoahoilla."
"Kenties kanooteissa tulleet villit kuuluvat samaan joukkueeseen
kuin Hirvenjalaksi nimittämäsi soturi, ja ehkä heillä on ollut keinoja
kuullakseen hänen kuolemansa ja surmaajansa."
Mehiläispyytäjää kummastutti tytön nopea älykkyys. Se tapa, millä
tiedot kiitävät saloseutujen halki, oli usein ihmetyttänyt häntä, ja
tosiaankin oli mahdollista, että hänen edessään oleva joukkue oli
kuullut päällikkönsä kohtalon näin lyhyessäkin ajassa. Tätä
päätelmää vastusti kuitenkin se seikka, että kanootit olivat tulleet
pohjoisesta päin, ja tovin mietittyään huomautti Le Bourdon
kumppanilleen tästä.

"Onko varmaa, että näin juuri samojen kanoottien kulkevan ohi
ehtoopäivällä?" sanoi siihen Margery. "Niistä meni kaksi edellä, ja
kolmas tuli takanapäin, mutta nyt on tullut maihin neljä."
"Niinpä kyllä, saattaahan järvellä olla muitakin kanootteja kuin ne,
joiden näit sivuuttavan majan. Mutta olkoot villit keitä hyvänsä,
meidän on varovaisuuden vuoksi pysyteltävä niistä erossa, jos
voimme, varsinkin kun nyt huomaan niiden kohtelevan vihollisenaan
Kyyhkynsiipeä, jonka tiedän olevan amerikalaisten puolella."
"Mitä ne nyt hommaavat, Bourdon? Valmistautuvatko aterioimaan
vai kiduttavatko vankiansa?"
"Jälkimäiseen eivät ne nyt illalla ryhdy. Niissä ilmenee
levottomuutta, niinkuin vieläkin haistelisivat whiskyä; mutta toiset
ovat keittohommissa tulen ääressä. Antaisin kaiken hunajani, sievä
Margery, jos kykenisin pelastamaan Kyyhkynsiiven! Hän on hyvä
mies villiksi ja kaikesta sydämestään meidän puolellamme tässä
uudessa sodassa, jonka hän kertoo alkaneen meidän ja
englantilaisten välillä!"
"Ethän toki panisi omaa henkeäsi alttiiksi villin tähden, joka tappaa
ja ottaa päänahkoja umpimähkään niinkuin se mies on tehnyt?"
"Siinä hän on vain seurannut rotunsa tapoja. Kaiketi me intiaanien
käsityskannan mukaan teemme yhtä moitittavia tekosia. Ja minä
uskon, Margery, että jos tuo mies näkisi minut pottawattamie-
heimon käsissä kuten minä nyt hänet, yrittäisi hän jotakin
auttamisekseni."
"Mutta mitä voit sinä, yksinäinen mies, tehdä kahtakymmentä
vastaan?" kysyi Margery hieman moittivasti, ja hänen sävynsä ilmaisi

hänen välittävän nuoren erämiehen turvallisuudesta enemmän kuin
hänen teki mieli osottaa avoimesti.
"Kukaan ei voi pystymisestänsä sanoa ennen kuin yrittää. Minua ei
miellytä se tapa, millä ne kohtelevat chippewaa, sillä ne näkyvät
olevan tuimalla tuulella. Hänelle ei anneta ruokaa eikä hänen sallita
olla isäntiensä seurassa; mies-parka on käsistä ja jaloista sidottuna
kytketty puuhun oven lähelle. Hänen ei edes anneta
huojennuksekseen istuutua."
Margeryn hellää sydäntä liikutti tämä kuvaus vangin kovasta
asemasta. Kallista aikaa hukkaamatta meni mehiläispyytäjä heti
kanoottien luo ja ilmotti aikeensa Waringille. Kuu oli nyt laskenut, ja
yö oli suotuisa Le Bourdonin suunnitelmalle. Ensi silmäyksellä olisi
saattanut näyttää viisaimmalta odottaa, kunnes villit olivat joutuneet
unen valtaan, mutta Boden järkeili toisin. Yleinen äänettömyys
syntyisi villien laskeutuessa levolle, ja silloin olisi hänen paljoa
työläämpi välttää liikkeittensä kuulumista kuin hetkenä, jolloin
illastettiin tai hyörittiin innokkaassa aterian ja yösijan valmistelussa,
vilkkaan puhelun ollessa kaiken aikaa käynnissä. Huomio oli nyt
kääntynyt pois tukevasti kiinnitetystä vangista; väsyneiden ja
nälkäisten matkalaisten mieli oli jännittyneesti kohdistunut omiin
askareihin, mutta mahdoton oli uskoa, että pottawattamiet eivät
yöksi järjestäisi vartiota.
Muutamin sanoin selitettyään suunnitelmansa ja pyydettyään
Waringia olemaan siinä apuna Le Bourdon lausui juhlalliset hyvästit
seurueelle ja läksi heti majaa kohti. Tupa sijaitsi matalalla ja hiukan
jyrkällä ylänteellä, jota kaikilta puolin ympäröitsi niin alava maa, että
tämä oli monin paikoin vesiperäistä ja suoksi muodostunutta.
Kummulla oli melkoisen runsaasti puita, ja rämeikössä kasvoi siellä

täällä lepikköjä ja pensastoja, mutta yleensä oli alue metsätöntä.
Kunnaan kaksi kuvetta oli jyrkkiä, se nimittäin, jolta Boden oli
kierittänyt tynnyrit jokeen, ja vastapäinen sivu, joka oli lähinnä
hänen äskeistä tähystyspuutansa. Majan ja tämän puun väliä oli
vajaa penikulma. Välitaival oli alavaa ja enimmäkseen rämettä,
vaikka tämän poikki pääsi erityistä tolaa myöten. Latu oli silmin
nähtävissä päivänvalolla, ja sitä pitkin olivat pakolaiset tulleet
majasta poistuessaan; onneksi saattoi sen yölläkin hämärästi erottaa
seutuun tutustunut erityisten puiden ja pensaiden avulla, jotka
soveltuivat tienviitoiksi. Ainoastaan tätä tolaa käyttäen sai vältetyksi
kolmen tai neljän penikulman kierroksen, mutta kun Le Bourdon oli
jo kulkenut siitä ja tarkkaillut sitä huolellisesti puustansa, arveli hän
kykenevänsä pysymään sillä pimeässäkin noiden merkkien
opastelemana.
Matkallaan majaa kohti oli mehiläispyytäjä ehtinyt rämeen reunalle
asti, kun hän hetkiseksi rihlapyssynsä sankkiruutia tarkastamaan
pysähtyessään luuli kuulevansa keveän askeleen takaapäin. Hän
käännähti nopeana kuin ajatus ja näki sievän Margeryn pujahtaneen
saattajaksensa. Kiireissäänkään ei hän hentonut eritä tytöstä
osottamatta, että hän piti arvossa harrastusta, jota neitonen tunsi
häntä kohtaan. Tarttuen siis hänen käteensä lausui mehiläispyytäjä
yksinkertaisen suoraluontoisesti, mutta ikäänkuin katsoen Margeryn
tulleen mukaansa enemmän veljensä ja kälynsä puolesta
huolestuneena kuin uuden tuttavansa tähden, vaikka hän
sykähtelevässä sydämessään toivoikin olevansa osallinen tytön
myötätunnosta:
"Älä ole huolissasi Gershomin ja hänen vaimonsa tähden, sievä
Margery. En minä unohda, mitä olen jättänyt taakseni ja missä
määrin sinun ja muiden turvallisuus riippuu varovaisuudestani."

Margery oli hyvillään ja hämillään. Tällaiset viittaukset olivat
hänelle uutta, mutta luonto sai hänen sydämensä tajuamaan ne
hyvin.
"Eikö vaara ole liian suuri, Bourdon?" kysyi hän. "Oletko varma
siitä, että pysyt tolalla suossa näin tavattoman pimeänä yönä?
Kenties niin pitkällinen tuijotus majan kirkkaaseen tuleen sokaisee
minua, mutta minusta todella näyttää siltä kuin en olisi koskaan
nähnyt mustempaa yötä!"
"Pimeys lisääntyy, sillä tähtivalo on mennyttä; mutta näen sentään
eteeni, ja niin kauvan ei ole suurtakaan pelkoa eksymisestä.
Mielelläni en pane sinua alttiiksi vaaraan, mutta —"
"Älä minusta välitä, Bourdon — anna tehtäväkseni mitä hyvänsä,
missä luulet minusta voivan olla hyötyä!" huudahti tyttö innokkaasti.
"No niin, Margery, sinä voit tulla mukanani ison puun luo keskelle
rämettä, ja minä uskon sinulle toimen, joka saattaa pelastaa
henkeni. Perillä kerron aikeeni."
Margery seurasi kepein, maltittomin askelin, ja pian seisoivat he
vastamainitun puun juurella. Se oli vankka jalava, joka täydellisesti
varjosti melkoista kiinteän kamaran alaa. Sieltä avautui esteetön ja
jokseenkin likeinen näköala majalle, jota roihuava takkavalkea
sisäpuolelta yhä valaisi. Tovin seisoivat molemmat äänettöminä
tähystäen outoa näyttämöä, sitte Le Bourdon selitti kumppanilleen,
miten tämä kykeni auttamaan häntä.
Jalavan luona päättyi vaikein taival tuvalta päin tullessa. Kun
nevan keskikohdalla kasvoi hajallaan useita jalavia, pelkäsi
mehiläispyytäjä, että hän ei kenties osaisikaan heti oikealle puulle,

vaan joutuisi peräytymään kiivaasti takaa-ajettunakin. Hänellä oli
tavallisesti mukanaan pieni salalyhty, jonka hän oli aikonut ripustaa
tämän jalavan alilehvistöön johtotähdeksi, mutta hän epäröitsi
ajatellessaan, että valo saattaisi opastaa vihollisia yhtä hyvin kuin
häntä itseänsäkin. Jos Margery ottaisi hoitoonsa lyhdyn, niin hän
varmaankin saisi hyväkseen sen suoman edun, valon pilkottamatta
puusta liian pitkää aikaa. Margery käsitti saamansa ohjeet ja lupasi
noudattaa niitä tarkoin.
"No, Jumalan haltuun, Margery", lisäsi mehiläispyytäjä.
"Kaitselmus on toimittanut minut ja veljesi perheen yhteen tukalina
aikoina; jos eheänä selviän tästä seikkailusta, niin katson
velvollisuudekseni tehdä kaikkeni, auttaakseni Gershomia
asettamaan vaimonsa ja sisarensa vaaran ulottumattomiin."
"Auttakoon Herra, Bourdon", puolittain kuiskasi kiihtynyt tyttö.
"Tiedän ihmishengen pelastamisen ansaitsevan alttiutta, vaikka on
kysymyksessä vain intiaanikin, enkä tahdo houkutella sinua
luopumaan tästä yrityksestä; mutta älä puutu enempään kuin on
välttämätöntä ja luota siihen, että käytän lyhtyä aivan niinkuin sinä
olet neuvonut."
Nämä kaksi nuorta eivät olleet tunteneet toisiansa vielä kokonaista
päivääkään, mutta tunsivat kuitenkin sitä tuttavallista keskinäistä
luottamusta, jota maailman hyörinässä vain vuodet kykenevät
tavallisesti luomaan ihmismielessä. Luontomme salaperäisiin ilmiöihin
kuuluu tämä äkillinen ja voimakas myötätuntoisuus, joka kahden
samaan sukupuoleen kuuluvan kesken virittää ehdottoman
ystävyyden ja eri sukupuolta olevien välillä saa syttymään kiihkeän
kiintymyksen.

Kun Le Bourdon erkani kumppanistaan, joka oli nyt peräti
jännittynyt hänen menestyksestään, hapuillakseen esiin tolansa
pimeässä suon lopputaipaleen poikki, vetäytyi Margery puun taakse
ja tarkisti ensi työkseen, oliko lyhty täydessä kunnossa, jotta sitä
voitaisiin silmänräpäyksessä käyttää tärkeään palvelukseensa. Tästä
varmistuttuaan hän huolestuneesti suuntasi katseensa majaan päin.
Mehiläispyytäjä oli jo kadonnut jäljettömiin, sillä edessä kohoava
kunnas oli liian tummana taustana, päästääkseen hänen varjoansa
näkyviin. Mutta villejä hääräsi vielä illallisvalmistuksissaan pirtissä,
vaikka useat olivat jo tyydyttäneet ruokahalunsa ja etsineet itselleen
leposijan yöksi. Hyvillä mielin näki Margery, että jälkimäiset olivat
sijottuneet tulen lähettyville, niin lämmin kuin yö olikin. Luultavasti
tahtoivat he siten välttää moskiitojen puremia, niitä kun yleensä on
kiusanhenkinä jokivarsilla.
Margery erotti selvästi chippewan suoran vartalon puunrunkoon
köytettynä. Häneen hän enimmäkseen pitikin katseensa
kohdistettuna, odottaen hänen lähellään ensiksi jälleen
havaitsevansa mehiläispyytäjän. Tämän oli sillävälin hieman vaikea
löytää tietänsä rämeen poikki, mutta kompuroiden esteitten yli ja
yleensä säilyttäen pääsuunnan hän pääsi kiinteälle pohjalle siinä
ajassa kuin oli olettanutkin. Hänen oli noudatettava mitä suurinta
varovaisuutta. Intiaaneilla oli tapansa mukaan koiria; kaksi oli ollut
näkyvissä, loikoen noin puolitiessä majan oven ja vangin välillä. Hän
tiesi hyvin, mitä palveluksia punanahat odottivat näiltä elukoilta, joita
he pitävät enemmän etuvartijoiksi kuin suureksikaan avuksi
metsästysmatkoilleen. Nousten mäen kuvetta ylös hiukan syrjässä
valovirrasta, joka yhäti tulvi majan avoimesta ovesta, hän kyllin
korkealle päästyään tähysti asiain tilaa majan ympäristössä.

Runsaasti puolet villejä oli vielä jalkeilla, vaikka keitto- ja
syöntihommat olivat jo melkein päättyneet. Tavattoman varovasti
edeten saapui Le Bourdon valojuovan reunalle, jolloin hän oli
kymmenen kyynärän päässä vangista. Siinä asetti hän luikkunsa
pientä puunrunkoa vasten ja veti esille puukkonsa, ollakseen valmis
katkomaan vangin siteet. Kolmena eri kertana, mehiläispyytäjän
täten varustautuessa, kohottivat molemmat koirat päätänsä ja
nuuskivat ilmaa; vanhempi niistä päästi kerran kumean ja
pahaenteisen murinan. Mutta tämä hälytyksen vihje tuotti suurta
hyötyä Le Bourdonille ja chippewalle, kumma kyllä. Jälkimäinen kuuli
murinan ja näki koirien rauhattomuuden, päätellen siitä, että hänen
takanaan oli joku olento tai vaara vaanimassa. Tästä hän
luonnollisesti johtui omistamaan jännittynyttä huomaavaisuutta sille
suunnalle, käyttäen kuuloaistia ainoana tarkkaamiskeinonaan, kun ei
kyennyt kääntämään ruhoansa, raajojansa taikka päätänsä.
Siten heristäessään korviansa oli Kyyhkynsiipi kuulevinaan oman
nimensä sellaisena kuiskauksena, jollaisella puhuttelija tahtoo kutsua
lyhyen matkan päästä mahdollisuutta myöten säästäen ääntänsä.
"Kyyhkynsiipi"- ja "chippewa"-sanoja seurasi pian "mehiläispyytäjä"
ja "Bourdon". Tämä riitti; nopeaälyinen soturi äännähti hiljaa
ikäänkuin puolittain tukahtuneesti ähkäisten kivusta, ja sen ymmärsi
puhuttelija hyvin tarkkaavaisuuden merkiksi. Kuiske taukosi sitte
tyyten, ja vanki odotti tuloksia järkkymättömän kärsivällisenä kuten
amerikalainen intiaani ainakin. Minuuttia myöhemmin tunsi chippewa
nahkapunoksen heltiävän kyynäspäistänsä. Sitte kietousi käsivarsi
hänen uumilleen ja katkaisi ranteitten siteen. Samassa kuiskasi ääni
hänen korvaansa: "Ole rohkeana, chippewa — ystäväsi Bourdon on
tässä. Pystytkö seisomaan?"
"Ei seisoa", vastasi intiaani hiljaa kuiskaten; "liian paljon sidettä".

Seuraavassa tuokiossa vapautuivat chippewan sääret ja polvet.
Kaikista kiinnikkeistä oli nyt jäljellä ainoastaan se, jolla vanki oli
kytketty puunrunkoon. Jättäessään sen katkaisematta osotti erämies
kylmäveristä harkintakykyään, sillä jos vankka niinivitsas olisi leikattu
poikki, olisi intiaani kaatunut pitkälleen kuin pölkky, koska tiukat
siteet olivat ehkäisseet verenkierron ja aiheuttaneet tavallisen
tilapäisen herpaannuksen. Kyyhkynsiipi sai hierotuksi käsiänsä ja
ranteitansa yhteen, ja mehiläispyytäjä hankasi hänen jalkojaan puun
tyven taakse ojentautuneena. On helppo arvata Margeryn tuskallinen
jännitys, kun hän näki Le Bourdonin saapuneen puulle eikä voinut
käsittää, miksi vielä viivyteltiin.
Kaiken aikaa olivat koirat levottomia, mutta niiden isännät olivat
tottuneet siihen, että elukat hiljakseen murisivat makuusijoillaan
susien tai kettujen hiiviskellessä yöllä ympäristössä. Ystävänsä sääriä
hieroessaan ei mehiläispyytäjä nyt suuriakaan välittänyt koirista,
mutta uusi huolestuksen syy esiintyi chippewan vasta hädin kyetessä
kannattamaan omaa painoansa ja vielä ollenkaan kunnollisesti
pystymättä käyttämään raajojansa. Villien keräytymisestä majaan ja
heidän päällikkönsä eleistä ilmeni hyvinkin selvästi, että oltiin
asettamassa vartiota yöksi. Lähentäen suunsa niin likelle
Kyyhkynsiiven korvaa kuin kävi laatuun siirtämättä päätänsä valoon
ryhtyi Le Bourdon seuraavaan keskusteluun vangin kanssa.
"Näetkö, chippewa", alotti mehiläispyytäjä, "että päällikkö määrää
erään nuoren miehen tulemaan vartijaksi lähellesi?"
"Hyvin hänen näen. Tekee liikaa monta merkkiä, ettei näe."
"Mitäs arvelet — odotammeko kunnes soturit nukkuvat vai
yritämmekö livistää ennen kuin vartija saapuu?"

"Paras odottaa, jos sopii. Onko sinulla pyssy — tomahawk —
veitsi, hä?"
"On kaikkikin, vaikka pyssyni on vähän matkan päässä takanani
rinteellä."
"Se paha — aina pyssy pitää olla sotapolulla. No, sinä hänelle
tomahawkista — minä otan päänahan — se kelpaa."
"Minä en tapa ketään, chippewa, jollei se käy pakolliseksi. Ellei ole
mitään muuta keinoa vapauttamiseksesi, niin katkaisen tämän
viimeisen pidäkkeen ja jätän sinut pitämään huolta itsestäsi."
Samassa laskeusivat päällikkö ja hänen muutamat valveille jääneet
kumppaninsa levolle, ja vartijaksi määrätty nuori soturi läksi majasta,
hitaasti lähestyen vankia. Olosuhteet eivät sallineet
silmänräpäyksenkään siekailua; Le Bourdon painoi puukkonsa
terävän terän vitsakseen, jolla intiaani oli sidottu puuhun,
varotettuaan häntä ensin pysymään pystyssä. Sen tehtyään
mehiläispyytäjä painui maahan ja ryömi pimeyteen, saaden mäen
reunan heti suojakseen. Seuraavassa tuokiossa oli hän siepannut
luikkunsa ja laskeusi nopeasti suolle päin.
Päästyään rämeen yli johtavan tolansa alkupäähän kyyristyi Le
Bourdon katsomaan taaksensa. Hän oli nyt kyllin etäällä matalalta
rinteeltä, nähdäkseen kummun laelle. Hiipuvan tulen hohteessa
erotti hän chippewan seisomassa suorana puunrunkoa vasten kuin
vieläkin visusti kytkettynä, etuvartijan verkalleen astellessa
lähemmäksi. Koirat olivat kavahtaneet jalkeille ja haukahtivat pariin
kertaan äkäisesti, saaden viisi tai kuusi villiä nostamaan päänsä
leposijaltaan. Muuan nousi ylöskin ja viskasi kahmalollisen risuja
tuleen, joka leimahti kirkkaasti valaisemaan majan koko lähistöä.

Mehiläispyytäjää ihmetytti Kyyhkynsiiven horjumaton tyyneys,
tämän seistessä etuvartijaa odottamassa. Pian oli tämä hänen
vieressään. Ensimältä ei pottawattamie havainnut, että vanki oli
vapautunut siteistään, sillä hänen oma varjonsa oli haittana. Boden
oli liian kaukana paikalta, erottaakseen miesten jokaista liikahdusta,
mutta kotvasen kuluttua oli ilmeisesti rynnistely käynnissä.
Pottawattamien tarkastaessa vankia ilmaisi hänen huudahduksensa
sen äkillisen havainnon, että chippewa oli siteetön. Samassa tarttui
Kyyhkynsiipi etuvartijan puukkoon, mutta hän ei saanut sitä
siepatuksi, ja molemmat kaatuivat painien. Seuraavassa
silmänräpäyksessä he kierivät alas rinnettä pimeyteen. Karatessaan
sylityksin käsiksi chippewaan oli pottawattamie hihkaissut
ulvahduksen, joka tuossa tuokiossa kimmautti joukkueen joka
miehen jalkeille. Villit yhtyivät kaikin etuvartijan huikkauksiin, ja
koirat alkoivat hurjasti haukkua, joten hälinä oli tavaton.

5. LUKU.
Onnistunut pako.
Ensimältä ei Le Bourdon tiennyt miten toimia. Hän pelkäsi pahasti
koiria eikä voinut olla ajattelematta Margerya ja arvattavia
seurauksia, jos nuo älykkäät elukat seuraisivat häntä rämeen poikki.
Mutta hänen ei tehnyt mieli hyljätä Kyyhkynsiipeä, kun yksi ainoa
hänen kätensä isku tai jalkansa potkaisu saattoi auttaa ahdistetun
turvaan. Hänen aprikoidessaan kiusallisen epätietoisuuden vallassa
taukosi rynnistyksen häly, ja hän näki etuvartijan jälleen nousevan
valoon, ontuen niinkuin langetessaan loukkaantunut. Samassa kuuli
hän askeleen lähellään, ja hänen kutsuttuaan matalalla äänellä
saapui Kyyhkynsiipi hetimiten hänen viereensä. Ennen kuin
mehiläispyytäjä oivalsi hänen aikomustaan tempasi chippewa hänen
rihlapyssynsä, tähtäsi etuvartijaan, joka vielä seisoi kunnaan reunalla
selvästi kuvastuen liekkien valaisemaa taustaa vasten, ja laukaisi.
Kiljahdus, hyppäys ilmaan ja raskas putous osottivat ampujan
tarkkuuden. Maahan jysähtäessään suistui haavottunut jyrkän vierun
kaltaalta alas ja kuului kieriskelevän kummun juurelle asti.

Le Bourdon tunsi, miten tärkeä nyt oli käyttää kalliita hetkiä
hyväkseen, ja kehotti kumppaniansa tulemaan mukana, mutta
jälkimäinen samassa ojensi kätensä hänen uumilleen toiselta sivulta,
sivalsi vyössä riippuvasta tupesta puukon, pudotti pyssyn ystävänsä
käsiin ja vilisti pimeyteen, kaatuneen vihollisensa suunnalle. Tästä
kaikesta ei voinut erehtyä; oman erikoisen kunniantuntonsa
kannustamana pani chippewa kaikki alttiiksi, saadakseen
tavanmukaisen voitonmerkin. Tällöin seisoi mäen reunalla jo
kymmenkunta villiä, näköjään ymmällä, miten taistokumppanusten
oli käynyt. Tämän havaitessaan mehiläispyytäjä käytti viivytystä
pyssynsä panostamiseen. Kun kaikki tapahtui melkein yhtä nopeasti
kuin sähkökipinä lentää, kului vain hetkinen pottawattamien
kaatumisesta voittajan suoriutumiseen verisestä tehtävästään. Juuri
kun Le Bourdon heitti luikun kainaloonsa, yhtyi häneen
punanahkainen toverinsa, kantaen vyössään etuvartijan hurmeista
päänahkaa; onneksi ei mehiläispyytäjä hämärässä nähnyt sitä,
muutoin ei hän kenties olisi ollut niin aulis edelleenkin toimimaan
tuiman liittolaisensa kanssa.
Enempi viivyttely ei tullut kysymykseen, sillä intiaanit olivat nyt
joukolla keräytyneet kummun reunalle, missä päällikkö rivakasti
antoi määräyksiään. Kiireimmiten hajaantui parvi; joka mies säntäsi
pimeään ikäänkuin oivaltaen, miten vaarallista oli jäädä takkatulen
kirkkaan valojuovan piiriin. Sitte nostivat koirat sellaisen metelin, että
mehiläispyytäjä käsitti niiden vainunneen ja tavanneen ammutun
miehen ruumiin. Hurja huuto kajahti samalta paikalta osotukseksi
siitä, että jotkut villitkin jo olivat keksineet kovaonnisen
kumppaninsa, ja Le Bourdon käski chippewan seurata, samotessaan
suolle niin joutuin kuin kykeni selviämään tolan vastuksista.

Neva oli paikotellen jokseenkin kiinteätä kamaraa, mutta tämä
taival levisi hyvin säännöttömästi; yleensä olivat kasvavat puut sen
tunnuksina. Le Bourdon oli hyvin huolellisesti painanut mieleensä
maamerkkejä, arvaten nopean peräytymisen hyvin todennäköiseksi,
ja hänen ei ollut aluksi vaikea pysyä oikealla suunnalla. Mutta koirat
poistuivat pian ruumiin luota ja tulivat loikkien rämeelle mistään
esteistä välittämättä, vaikka niiden loiskahdukset ja vinkaukset pian
ilmaisivat, etteivät nekään tavanneet kannattavaa pohjaa. Villit
painuivat parvena alas rinnettä, ottaen koirat oppaikseen, ja
varmoina näitä saattoi pitääkin vainun puolesta, vaikka ne eivät
malttaneet olla pyrkimättä oikosuuntaan pakolaisten mutkittelevilta
jäljiltä.
Vihdoin Le Bourdon pysähtyi, saaden kumppaninsa tekemään
samaten. Kiireissään oli edellinen menettänyt maamerkkinsä ja
joutunut pienien puiden tai isojen pensaiden muodostamaan
näreikköön, joka ei ollut hänen etsimänsä. Kaikki yritykset päästä
pois tästä tiheiköstä muuta tietä kuin he olivat tulleet osottausivat
turhiksi, ja koirat eivät kaukanakaan haukkuneet takanapäin. Elukat
eivät kyllä enää lähestyneet, sillä ne rypivät liejussa ja vesilätäköissä,
mutta niiden melu johti vainoojia eteenpäin, kuten kävi selville
näiden hiljaisista huhuiluista toisilleen.
Arveluttava käänne vaati sekä varovaisuutta että päättäväisyyttä,
ja saloseudun elämään harjaantuneena ei mehiläispyytäjä ollut niissä
ominaisuuksissa puutteellinen. Hän etsi polun, jota myöten he olivat
tulleet onnettomaan vesaikkoon, ja alkoi palata samaa tolaa pitkin.
Lujia hermoja kysyi peräytyminen melkein suoraan kohti koiria ja
niiden isäntiä, mutta karaistuneita olivat he kumpainenkin, edeten
kuin vanhat soturit, jotka odottavat tervehdystä piilotetusta, mutta

hyvin varustetusta patterista. Tovin kuluttua seisahtui Le Bourdon ja
tutki maaperää jalkainsa juuresta.
"Tästä meidän pitää kääntyä, chippewa", supatti hän. "Tältä
kohdalta minä kaiketi poikkesin väärään."
"Hyvä paikka kääntyä", vastasi intiaani, "koira liikaa likellä".
"Meidän täytyy ampua koirat, jos ne alkavat ahdistaa pahasti",
tuumi mehiläispyytäjä, joutuisasti johtaen pakoa ja ollen nyt varma
oikeasta suunnasta. "Ne tuntuvat juuri nyt olevan pulassa, mutta
sellaiset elukat kyllä väleen löytävät tolansa tämän rämeen poikki."
"Parempi ampua pottawattamie", arveli Kyyhkynsiipi
kylmäverisesti.
"Pottawattamiella hyvä päänahka — koiran korvat ei mitään kelpaa."
"Tuolla luullakseni onkin puu, jota haen!" huudahti Le Bourdon.
"Jos sen tavotamme, niin suoriudumme ajosta jokseenkin varmasti."
He pääsivät puun luo, ja erämies alkoi varmistautua siitä lähtien
noudatettavasta suunnasta. Ottaen massistaan pienen kokkareen
kostutettua ruutia, jonka oli valmistanut pelastushankkeeseen
ryhtyessään, hän painoi sen matalalla olevaan puun oksaan, joka
hänen päänsä kohdalta pistäysi sille taholle, minne hän oli jättänyt
Margeryn. Sen tehtyään hän käski kumppaninsa astua syrjään, viritti
taulanmurun tuluksillaan ja sytytti ruudin. Tämä pikku valmiste
luonnollisesti paloi kuin pojan ilotulitus, mutta antoi kuitenkin
riittävästi valoa näkymään pimeänä yönä hyvinkin penikulman
päähän. Kostean seoksen sihistessä ja kipinöidessä tuijotti
mehiläispyytäjä tiukasti rämeen sankkaan mustuuteen. Kirkas valo
pilkahti ja katosi. Siinä oli kylliksi, erämies löi alas oman

merkkivalkeansa ja polkaisi sen sammuksiin; sopimuksen mukaan ei
Margeryn lyhty nyt enää näyttäytynytkään. Asemastaan ja tolastaan
vakuutettuna käski Le Bourdon kumppaninsa pysyä kintereillään ja
läksi jälleen taivaltamaan nevan poikki. Ennen pitkää tuli näkyviin
puu, ja sitä kohti riensivät pakolaiset. Seuraavassa tuokiossa ei
mehiläispyytäjä mielihyvässään kyennyt pidättymään suutelemasta
Margerya.
"Koirat ulisevat kamalasti", sanoi Margery, tuollaisena hetkenä
panematta pahakseen toisen ottamaa vapautta, "ja kokonainen
heimo tuntuu olevan tulossa niiden takana. Taivaan tähden,
Bourdon, kiirehtikäämme kanooteille; siellä varmaan luullaan meidän
joutuneen tuhoon!"
Tilanne oli täpärä, ja mehiläispyytäjä pujotti Margeryn käsivarren
kainaloonsa; hänen päättäväinen ja suojeleva sävynsä sai tytön
sydämen sykkimään tunteiden vallassa, joihin ei vähääkään yhtynyt
pelkoa, vaan mielihyvää noin vaarallisenakin hetkenä. Välimatka ei
ollut pitkä, joten kolmikko pian ehti rantaan lähelle kanootteja. Siellä
he kohtasivat Dorothyn yksinään kävelemässä edes takaisin kuin
suuren hädän ahdistamana. Hän oli nähtävästi kuullut metelin ja
oivaltanut villien olevan tavottamassa heidän seuruettansa. Margery
näki kälynsä ilmeestä, että jotain muutakin oli tapahtunut, ja
pahojen aavistustensa kiihtymyksessä ei hän arkaillut tekemästä tälle
kysymyksiä.
"Mihin on veljeni joutunut? Miten on Gershomin laita?" tiedusti
herkkämielinen tyttö heti.
Vastaus annettiin matalalla äänellä ja siihen tapaan, jolla nainen
yrittää viimeiseen asti salata rakastamansa horjahduksia.

"Gershom ei juuri nyt ole ihan oma itsensä", supatti vaimo; "hän
on taas sattunut hiukan vanhoihin tapoihinsa".
"Vanhoihin tapoihinsa?" kertasi sisar hitaasti, alentaen oman
äänensä yhtä matalaksi kuin oli ikävän viestin ilmottajankin. "Miten
se on mahdollista, kun kaikki whisky kaadettiin pois?"
"Bourdonilla näkyy olleen konjakkiruukku varastossaan, ja
Gershom keksi sen. En moiti ketään, sillä Bourdonilla, joka ei
koskaan käytä Kaitselmuksen anteja väärin, oli oikeus pitää huolta
vahvikkeistaan; mutta sääli on sentään, että kanooteissa oli mitään
sellaista tavaraa!"
Mehiläispyytäjää huolestutti suuresti tämä tieto, sillä hän oivalsi
sen merkityksen paremminkin kuin naiset. Tällaisessa käänteessä
saattoi seurueen jäsenen joutuminen pelkäksi rasitukseksi tuottaa
suurta vaaraa muillekin. Onneksi oli heillä intiaani mukanaan, ja
tämä kykeni ottamaan hoidettavakseen toisen kanootin. Koirien
haukunta ja villien huudot ilmaisivat selvästi, että viholliset olivat
tavalla tai toisella pääsemässä rämeen yli. Hän joudutti senvuoksi
seurueen lähtöä kanootteihin, itse ensimäisenä käyden tarkastamaan
Whisky-Keskusta.
Tämä nukkui päihtyneen tajutonta unta. Dolly oli pistänyt ruukun
piiloon niin pian kuin hänen miehensä tila salli sen tapahtua
humalaisen rupeamatta väkivaltaiseksi. Muutoin olisi mies-parka
saattanut tuottaa tuhon itselleen ylenmäärin nauttimalla nestettä,
joka oli peräti paljoa maukkaampaa kuin se mitä hän oli tottunut
käyttämään, etenkin näin pitkällisen pakollisen pidättymisen jälkeen.
Nyt tyhjensi Le Bourdon ruukun heti virtaan naisten suureksi iloksi,
chippewan pontevasta vastalauseesta piittaamatta. Heidän
siirtyessään virralle täytyi takaa-ajon ainakin toistaiseksi keskeytyä,

koska intiaanien oli palattava rämeen poikki, päästäkseen omiin
veneisiinsä.
Salaisen myötätunnon johdosta tai kenties vain sattumalta joutui
chippewa Le Bourdonin veneeseen, tämän vuorostaan asettuessa
Gershomin kanoottiin. Päihtynyt virui keveän ruuhensa pohjalla kuin
pölkky, ainoastaan hellän vaimonsa huoltamana, joka oli toimittanut
pieluksen hänen päänsä alle; mutta onneksi ei sortuneesta ollut
hänen ystäviensä liikkeille siis nyt suoranaista vastusta, jos ei
apuakaan. Miesten asetuttua paikoilleen ja kanoottien kelluessa irti
pohjasta erotti jo äänten perusteella, että sekä koirat että useat
niiden isännistäkin olivat rämpineet selville suosta ja nousseet
kiinteälle kamaralle sen itäpuolelle. Mehiläispyytäjä käski chippewan
seurata ja lykki kanootin ulohtaalle, valiten yhden niistä kolmesta
luonnon kanavasta, jotka yhtyivät tässä kohti.
Melu yltyi nyt huomattavasti, ja vainoojain lähestyminen oli paljoa
rivakampaa kuin äsken, heidän saatuansa tukevan pohjan jalkainsa
alle. Noin viidenkymmenen kyynärän päässä rannasta teki
riissiheinikön läpi johtava kuja pikku mutkan pohjoiseen päin; juuri
kertomamme tapaukset sattuivatkin virran pohjoisella rannalla.
Tuosta polvekkeesta päästyään olisivat kanootit olleet
näkymättömissä rannalta katsoen ilmi päivälläkin, saati pimeän yön
hämyssä. Sen huomatessaan, ja peljäten melojen loiskeen kuuluvan,
Le Bourdon herkesi kiskomasta ja käski chippewankin antaa
veneensä solua itsellään. Tämän varokeinon johdosta olivat
pakolaiset vielä ihan lähellä rantaa, kun ensin koirat ja sitten useat
villit ryntäsivät samalle paikalle, mistä veneet olivat lähteneet tuskin
kahta minuuttia aikaisemmin. Le Bourdon oli toimittanut molemmat
kanootit yhteen, ja hänen pyynnöstään tulkitsi nyt chippewa sellaisia
vihollistensa huomautuksia, mitä piti huomion arvoisina.

"Sanoo nyt, ei kukaan täällä", alotti intiaani levollisesti. "Ajattelee,
ei kaukana — aikoo hakea — arvelee, koira levoton — ihmettelee,
minkätähden koira niin levoton."
"Nuo nelijalkaiset hylyt varmaankin vainuavat meidät täältä
kanooteista, kun olemme niin likellä", kuiskasi Le Bourdon.
"Jos niin, ei pääse kiinni", vastasi chippewa tyynesti. "Ja ampuu
sen, jos ei pidä varaa — paha koiran ajaa soturia liikaa paljon."
"Nyt puhuu joku, jolla tuntuu olevan käskyvaltaa."
"Niin — hän päällikkö — kuullut hänen usein — hän Kyyhkynsiiven
kiduttaa aikoo. No, ottakoon ensin — nopea lintu sen tekee, hä?"
"Mutta mitä hän sanoo? Saattaa olla tärkeä kuulla päällikön
mielipide juuri nyt."
"Mitä väliä, mitä hän sanoo — ei voi tehdä mitään — jos
Kyyhkynsiivelle tulee tilaisuus, ottaa myös hänen päänahan."
"Sen kyllä uskon — mutta hän puhuu totisena ja matalalla äänellä;
kuuntele ja ilmota meille, mitä hänellä on mielessä. Minä en oikein
käsitä heimon murretta tältä matkalta."
Chippewa vaikeni tarkkaavaiseksi, kunnes päällikkö lakkasi
haastamasta. Sitte hän parhaansa mukaan selitti kuulemansa,
pannen joukkoon omia luonnollisia huomautuksiaan.
"Päällikkö puhuu nuorille miehille — kaikki päälliköt puhuu nuorille
miehille — sanoo heille, Kyyhkynsiipi varmaan mennyt kanootilla —
ei näe kanoottia — mutta täytynyt olla kanootti, muutoin hän uinut.
Luulee, useampi kuin yksi intiaani täällä — ei tiedä sentään —

kenties on, kenties ei — ei voi sanoa, kunnes jäljet näkee, aamulla
—"
"No niin, mutta mitä käskee hän nuorten miestensä tehdä?" tokaisi
mehiläispyytäjä maltittomasta.
"Älä ole squaw, Bourdon — sanon kaikki vähässä ajassa. Sanoo
nuorille miehille, jos hänellä kanootti, hän voi saada meidän kanootit
ja viedä pois — jos taas uinut, se chippewa lurjus ui alas virtaa ja
ottaa meidän kanootit sillä lailla — parempi mennä takaisin,
muutamien teidän, ja pitää huolta meidän kanooteista — sitä hän
nuorille miehille enimmän sanoo!"
"Sepä oivallinen aatos!" huudahti Le Bourdon. "Melokaamme heti
alas ja siepatkaamme heidän kaikki kanoottinsa ennen kuin he
ehtivät sinne. Virran kaarroksen takia ei matka vesitse ole
puoltakaan maataipaleesta, ja räme hidastuttaa heidän kulkuansa
kaksin verroin."
"Se hyvä neuvo!" myönsi Kyyhkynsiipi. "Sinä menet — minä
perässä."
Sanottu ja tehty. Kanootit pantiin jälleen liikkeeseen; majan tuli oli
majakkana, joka vaivattomasti johti Le Bourdonin perille.
Maallenousupaikkaan päästessään kuuli hän koirien vieläkin
haukkuvan suolla ja niiden mukana olevien intiaanien äänekkäästi
huhuilevan kahdelle villille, jotka olivat jääneet majalle jonkunlaiseksi
leirivartioksi.
"Mitä ne kiljuvat?" virkkoi Le Bourdon chippewalle. "Jotakin ne
tuntuvat tahtovan saada noiden majan ovella seisovien kuuluviin.
Saatko sinä selvää siitä?"

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Quantum Decision Theory And Complexity Modelling In Economics And Public Policy Anirban Chakraborti

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Quantum Decision Theory And Complexity Modelling In Economics And Public Policy Anirban Chakraborti

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78