Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules 1st Edition Konstantin V. Kazakov

Visit https://ebookultra.com to download the full version and
explore more ebooks
Quantum Theory of Anharmonic Effects in
Molecules 1st Edition Konstantin V. Kazakov
_____ Click the link below to download _____
https://ebookultra.com/download/quantum-theory-of-
anharmonic-effects-in-molecules-1st-edition-konstantin-
v-kazakov/
Explore and download more ebooks at ebookultra.com

Here are some suggested products you might be interested in.
Click the link to download
The quantum theory of atoms in molecules Chérif F. Matta
https://ebookultra.com/download/the-quantum-theory-of-atoms-in-
molecules-cherif-f-matta/
V A Fock Selected Works Quantum Mechanics and Quantum
Field Theory 1st Edition L.D. Faddeev
https://ebookultra.com/download/v-a-fock-selected-works-quantum-
mechanics-and-quantum-field-theory-1st-edition-l-d-faddeev/
Quantum Genetics 1st Edition V V Stcherbic
https://ebookultra.com/download/quantum-genetics-1st-edition-v-v-
stcherbic/
Peripheral Nerve Stimulation Progress in Neurological
Surgery 1st Edition Konstantin V. Slavin
https://ebookultra.com/download/peripheral-nerve-stimulation-progress-
in-neurological-surgery-1st-edition-konstantin-v-slavin/

Carbohydrates The Sweet Molecules of Life 1st Edition
Robert V. Stick
https://ebookultra.com/download/carbohydrates-the-sweet-molecules-of-
life-1st-edition-robert-v-stick/
Introduction to quantum effects in gravity DRAFT VERSION
1st Edition Viatcheslav Mukhanov
https://ebookultra.com/download/introduction-to-quantum-effects-in-
gravity-draft-version-1st-edition-viatcheslav-mukhanov/
Carbohydrates The Essential Molecules of Life Second
Edition Robert V. Stick
https://ebookultra.com/download/carbohydrates-the-essential-molecules-
of-life-second-edition-robert-v-stick/
Magnetism Molecules to Materials V 1st Edition Joel S.
Miller
https://ebookultra.com/download/magnetism-molecules-to-
materials-v-1st-edition-joel-s-miller/
Quantum Bio Informatics V Proceedings of the Quantum Bio
Informatics 2011 1st Edition Luigi Accardi
https://ebookultra.com/download/quantum-bio-informatics-v-proceedings-
of-the-quantum-bio-informatics-2011-1st-edition-luigi-accardi/

Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules 1st
Edition Konstantin V. Kazakov Digital Instant Download
Author(s): Konstantin V. Kazakov
ISBN(s): 9780123979124, 0123979129
Edition: 1
File Details: PDF, 3.35 MB
Year: 2012
Language: english

1
The Laws of Quantum Mechanics
Introduction
The statistical character of physical states and Hamilton’s formalism of classical
mechanics form a fundament of quantum theory. We begin our discussion from the
description of states with an example of the phenomenon of the polarization of
light. Let the light waves, together with separate photons of this light beam, possess
a particular polarization. We pass such a beam through a plate of tourmaline; on
passing this crystal through unpolarized light, on the back of the plate we discover
waves having the electric-field vector parallel to the optic axis of the crystal. If the
electric-field vector in our beam is perpendicular to the optic axis, then as a result
the entire absorption becomes observable. If the light is polarized at angleαto the
axis, only a fraction equal to cos
2
αfrom the initial beam passes through the crystal.
From the point of view of classical optics, these facts are trivial. The question
arises, however, in the case of separate photons, whether each photon is polarized
at angleαto the axis. The answer is simple: if we pass photons one by one from
our beam, we discover that one photon is entirely transmitted, whereas another is
entirely absorbed; the probability of observing a particular photon from the beam
is equal to cos
2
α, and the probability of its absorption is sin
2
α. As a principle of
quantum theory, one might thus apply the next device. Each photon can be repre-
sented in a state with polarization that is parallel to the axis or perpendicular
to the axis. A particular superposition of these states produces the necessary state
for the beam with polarization. In the result of an experiment, photons jump from
an uncertain state to a state with a concrete polarizationαthose that pass and those
that become absorbed.
The same condition occurs for the interference of photons. If an initial beam
becomes split into two components, each photon with a particular weight enters
partly into each component beam. As we have observed, however, that a particular
photon is entirely in one component, it is at once precluded from being in the other
component beam. A priori we may characterize a physical system with states of a
particular number that have a statistical character. Quantum mechanics requires
that each photon interferes only with itself during the interference of the two com-
ponents. An electromagnetic wave and a photon are two descriptions of light. The
same condition, as we see further, applies for physical particles with which one
Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules. DOI:http://dx.doi.org/10.1016/B978-0-12-397912-4.00001-5
©2012 Elsevier Inc. All rights reserved.

might also associate individual wave fields. In this sense, the individuality empha-
sizes the stability of all materialelectrons, protons and so on.
Let us generalize the facts above. What should we understand about the state of
the systema motion, a rest, an interaction? These concepts exist in classical
mechanics. Something similar holds in quantum mechanics, but it is less determi-
nate. What is the meaning therein? If the system is presumably in one state, we
must consider that it is partly in another state, so that its real state represents the
superposition of all possible states that have non-zero probabilities. As a classical
analogue of the expression of this principle, one might apply a wave packet, for
which a complicated wave motion is resolvable into Fourier components; through
this analogy, quantum mechanics is generally called wave mechanics. As a result,
this principal idea yields a new theorya theory of probabilities or amplitudes of
physical states.
For states in quantum mechanics, as far as practicable, we use Dirac’s notation.
In this case, to each state we ascribe a ket vectorj?i, inside of which might
appear letters, words, numbers and other symbols. Keep in mind that in classical
mechanics a vector is also applied to describe motion, but it is Euclidian there,
whereas here Hilbert’s type prevails. VectorsjA
1i,jA2i,...that belong to a Hilbert
space might be added together and might be multiplied by arbitrary complex num-
bersc
1,c
2,..., as a result of which we obtain another vector
jAi5c
1jA1i1c 2jA2i1?:
This vector, which is expressible in a form of linear combination of others, is line-
arly dependent on them. Like a Euclidean space, the systems of linearly indepen-
dent vectors are therefore of special interest. Each physical state of interest is
expressible as an expansion in terms of these system vectors. Conversely, any such
state might describe a concrete state of a physical system. It is important that a pro-
cedure of multiplying the vector by the number gives no new state; for instance,
jAiand2jAidescribe one and the same state. The principle of superposition in
quantum mechanics has an important significance; considering the concrete physi-
cal problems, we generally appeal to this postulate.
Let us now consider Hamilton’s formalism, which we will review briefly with
regard to methods of classical mechanics. It is remarkable that the equations of the
oldtheory can be borrowed with a somewhat altered meaning to construct thenew
mechanics. Lagrange’s function of a mechanical system represents a function of
generalized coordinatesq
i, their temporal derivatives_q
i(generalized velocities) and
timet:
=5=ðq
i;_q
i;tÞ:
By definition, the momentum isp
i5@==@_q
iand the force isF i5@=/@q i. The
energy of the system equals
H5
X
i
pi_q
i2=:
2 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

Lagrange’s function=is such that integral
Ð
t2
t1
=dthas a minimum; this condition
leads to the EulerLagrange equation
d
dt
@=
@_q
i

2
@=
@q
i
50
dpi
dt
2F
i50

if@=/@q
i50,p iis a constant of motion andq iis a cyclic coordinate.
There exists, however, an alternative method to describe a mechanical system
that employs the language of coordinates and momenta. To convert to variablesq
i
andp i, we apply a Legendre transformation:
dH5d
P
i
pi_q
i2=

52@=1
P
i
2
@=
@q
i
dqi2
@=
@_q
i
d_q
i1pid_q
i1_q
idpi
0
@
1
A
52@=2
P
i
_p
idqi1
P
i
_q
idpi:
Consequently,
@H
@p
i
5_q
i;
@H
@q
i
52
@=
@q
i
52F i52_p
i;
@H
@t
52
@=
@t
:
Here,His Hamilton’s function; this description is called a Hamiltonian formalism.
One sees that this method possesses great symmetry. Moreover, it is convenient
thatHrepresents the total energy of the system. For instance, for interacting parti-
cles, the energy comprises kinetic and potential contributions:
H5
X
i
p
2
i
2mi
1Vðq 1;q2;...Þ;
in whichm
iis the mass of particleiandVis the potential energy of interaction of
the particles. In this case, Lagrange’s function has a form
=5
X
i
mi_q
2
i
2
2Vðq
1;q2;...Þ:
In Hamilton’s formalism, physical quantityfis represented as a function of the
coordinates, momenta and time:f(q
i,p
i,t). Its total derivative with respect to time
has a form
df
dt
5
@f
@t
1
X
i
@f
@q
i
@qi
@t
1
X
i@f
@p
i
@pi
@t
5
@f
@t
1
X
i
@f
@q
i
@H
@p
i
2
X
i
@f
@p
i
@H
@q
i

@f
@t
1f;H

:
3The Laws of Quantum Mechanics

Here,
f;H

5
X
i
@f
@q
i
@H
@p
i
2
@f
@p
i
@H
@q
i

is a Poisson bracket. For instance,_p
i5fpi;Hgand_q
i5fqi;Hg:Poisson brackets
play an important role not only in classical mechanics but also in quantum theory;
they therefore deserve special attention.
As an example, we consider the Hamiltonian of a particle in an external electro-
magnetic field, which is determined by vector potentialAand scalar potentialU.
The energy of this particle with chargee
0
and velocityvin such a field is given
with this expression
e
0
U2
e
0
c
Av;
in whichcis the speed of light. For Lagrange’s function, we thus have
=5
mv
2
2
2e
0
U1e
0
c
Av:
The momentum is
p5
@=
@v
5mv1
e
0
c
A:
By definition, we write expression for HamiltonianH:
pv2=5mv
2
1
e
0
c
Av2=5
mv
2
2
1e
0
U:
However,v!(p2e
0
A/c)/m, so that finally
H5
1
2m
p2
e
0
c
A

2
1e
0
U:
One sees that, to proceed from the Hamiltonian of the freely moving particle to the
Hamiltonian describing the motion in the external field, one must perform a
replacementp!p2e
0
A/cand add a trivial static energye
0
U. Elsewhere in what
follows, classical mechanics in Hamilton’s form becomes the initial point of our
research and prompts the correct form of initial equations.
Observables and Variables
To describe states in quantum mechanics, we introduced the concept of a vector.
This definition is highly abstract; one must understand how to work with it. An
4 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

experiment produces numerical values of physical quantities, which are involved in
classical theory. This concept fails to be usable in quantum mechanics. We cannot
directly operate with conventional numbers, in brief,c-numbers, or emphasize their
triviality. The language of quantum mechanics involvesq-numbers. If the coordi-
nate and momentum arec-numbers in classical physics, in quantum physics they
becomeq-numbers. The new numbers represent a new set of dynamical variables,
namely those that we must treat. These variables are just determined in a space of
abstract vectorsαvectors of a Hilbert space. Through the action ofq-numbers,
such as some operation involving quantityOofq-type on some vectorjϕi,we
obtain another vectorjψi. One might state that, in the simplest case,q-numbers are
convenient operators, and questions of quantum mechanics consist of extracting
observablec-numbers from a theory of dynamical variables ofq-type.
Let us discuss the mathematical basis of quantum mechanics.
In a separable Hilbert space, vectorsjϕi,jψi,...form a countably infinite
sequence. For any pair ofjϕiandjψi, the sumjϕi1jψiis determined, which is
also a vector and possesses the properties commutativity and associativity:
jϕi1jψi5jψi1jϕiandjϕi1ðjψi1jχiÞ5ðjϕi
1jψiÞ1jχi:
The multiplication of vectorjϕiby complex numbercis defined; productcjϕi
represents the vector and has the property distributivity:
cðjϕi1jψiÞ5cjϕi1cjψi;ðc1dÞjϕi5cjϕi1djϕi:
Moreover,
1ψjϕi5jϕiand 0ψjϕi50:
Any two vectorsjϕiandjψipossess a scalar product
hϕjψi;
in whichhϕjis a so-called bra vector that is the complex conjugate ofjϕi.
Obviously,hϕ
jϕi$0, andhϕjϕi50 only in the case whenjϕi50. Ifjψirepre-
sents the sumjθi1jχi,
hϕjψi5hϕjθi1hϕjχi;
ifjψiequals vectorjχithat is multiplied by numberc,
hϕjψi5chϕjχi:
Finally,hϕjψi
χ
5hψjϕi:
For the vectors in a Hilbert space, these properties are general. As an example,
we consider a case in which as vectorsjϕi,jψi,...we have ordinary functions
5The Laws of Quantum Mechanics

ϕ(x),ψ(x),..., which are determined in manifoldG. It is generally convenient to
apply this representation to solve concrete problems of quantum mechanics. The
properties of vectors, in this case, are performed in such a manner:
ϕðxÞ1ψðx?sumϕðxÞandψðxÞinG;
cϕðx?multiplication by a number;
hϕjψi5
Ð
G
ϕ
β
ðxÞψðxÞdxΦscalar product:
For each vector, one might introduce the definition of length or norm that, in the
sense of a number, equalsjjϕjj5
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
hϕjϕi
p
:Ifjjϕjj51;vectorjϕiis normalized. If
the scalar product of two vectorsjϕiandjψiequals zero, i.e.hϕjψi50, these vec-
tors are orthogonal. The set of orthonormal vectors might represent a complete
basis. Considering the physical principle of superposition, we have already men-
tioned the necessity of the condition completeness for states. A sequence of vectors
jϕ
iiis mathematically complete if any vectorjΦiin a certain space is expressible
in a form of linear combination:
jΦi5
X
i
cijϕ
i
i:
Vectorsjϕ
iiare linearly independent only in the case in which there is no relation
of type
P
i
cijϕ
i
i50;eliminating the casec i50.
With the aid of a convenient operator, one might convert one vector into another.
For instance, square root
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
...
p
and differentiation dð...Þ=dxare simple operators.
Not all operators, however, represent a physical interest, and a mathematical opera-
tion should not be associated with a dynamical variable; only a few of them are
applicable in physics. We imply here linear operatorsOthat play an exceptional
role in quantum mechanics. QuantityOimplies some rule according to which a vec-
tor, e.g.jϕi, transforms intojψi. Linearity means that
Oðajϕi1bjψiÞ5aOjϕi1bOjψi;
in whichaandbarec-numbers. As simple examples of linear operations, one
might undertake multiplication by an arbitrary coordinate functionΦF(x)ϕ(x), or
differentiationΦd
n
ϕ(x)/dx
n
. Exponentiation of a vector to some power asϕ
n
(x) is,
however, not a linear operation.
Let us enumerate the general properties of linear operators. For any pair of
operatorsAandB, sumA1Bis defined:
ðA1BÞjϕi5Ajϕi1Bjϕi;
such a sum possesses properties commutativity and associativity:
ðA1BÞjϕi5ðB1AÞjϕiandAjϕi1ðB1CÞjϕi5ðA1BÞjϕi1Cjϕi:
6 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

The multiplication of operatorAby complex numbercis determined:
ðcψAÞjϕi5cðAjϕiÞ:
There is determined the product of operatorsAψBwith properties distributivity
AðB1CÞjϕi5ABjϕi1ACjϕi;
associativity
ðABÞjϕi5AðBjϕiÞ
and, generally, non-commutativity
ABjϕi6 ¼BAjϕi:
The principal role belongs to the commutator of two operators
½A;Bθ5AB2BA52½B;Aθ;
obviously, [A,A]50. For instance, if vectorjϕiis functionϕof variablex,
d
=dx;x
φρ
ϕðxÞ5
d
dx
ðxϕÞ2x
dϕ
dx
5ϕðxÞ;
where from
½d=dx;xθ51:
If equationAjϕi5jψiis solvable with regard tojϕi, such that there exists a rela-
tion of typejϕi5Bjψi, operatorB, which is equal, by definition, toA
21
, is called
reciprocal toA.So
ðA
21
AÞjϕi5A
21
ðAjϕiÞ5A
21
jψi5jϕi;
i.e.A
21
A51, and alsoAA
21
51, hence [A,A
21
]50.
The product of the same operators yields a concept of powernof an operator:
A
n
jϕi5AðAðA...ðAjϕiÞ...ÞÞ;
in particular, ifA5d/dx, thenA
n
5d
n
/dx
n
. With the aid of an exponentiation opera-
tion, one might determine functionfof an operator:
fðAÞ5
X
N
i50
f
ðiÞ
ð0Þ
i!
A
i
:
7The Laws of Quantum Mechanics

For instance, we consider function
e
αðd=dxÞ
5
X
N
n50
α
n
n!
d
n
dx
n
;
on acting onϕ(x), we have
e
αðd=dxÞ
ϕðxÞ5
X
N
n50
α
n
n!
d
n
ϕ
dx
n
5ϕðx1αÞ:
Operator e
α(d/dx)
thus shifts the argument of functionϕ(x) by quantityα.
Furthermore, if there exists an equation
Ajϕi5ajϕi;
in whichais ac-number, quantitiesarepresent eigenvalues of operatorAandjϕi
are its eigenfunctions. Let us draw an important conclusion. Suppose thatAandB
are commutative operators, then
BðAjϕiÞ5BðajϕiÞandAðBjϕiÞ5aðBjϕiÞ:
One sees that vectorBjϕiis an eigenvector of operatorA, and there must exist a
relation of type
Bjϕi5bjϕi;
in whichbis ac-number. Thus, if [A,B]50,AandBhave simultaneously a com-
plete system of eigenvectors (eigenfunctions).
Linear operatorAin some basis can be represented with a matrix. This condition
is easy to understand if we suggest that we have a complete system of vectorsjϕ
ii,
and arbitrary vectorjψiis expressible in a form of this expansion
jψi5
X
i
cijϕ
i
i;
in whichc
iare coefficients. On action by operatorAonjψi, we have
Ajψi5
X
i
ciAjϕ
i
i;
where from
hϕ
k
jAjψi5
X
i
cihϕ
k
jAjϕ
i
iϕ
X
i
ciAki:
8 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

The complete set of matrix elementsA kiforms a matrix representing the linear
operator. To coefficientsc
ione might ascribe a physical meaning of amplitudes of
the states; thenjc
ij
2
is the probability of statejϕ
ii, and a sum of all probabilities
equals unity:
hψjψi5
X
i
jcij
2
51:
For instance, unit operatorIis defined with equationIjϕi5jϕiand might be repre-
sented with unit matrixδ
ki, in whichδ kk51 andδ ki50 fork6 ¼i.
We consider an expression for diagonal matrix element,
hψjAjψi5
X
ik
c
χ
i
ckhϕ
i
jAjϕ
k
i:
Ifjϕ
iianda iare eigenvectors and eigenvalues of operatorA,
hψjAjψi5
X
i
jcij
2
ai
that represents the mathematical expectation value of quantityA. In statejψi, the
expectation value of a dynamical variable (operator) is thus determined by the diag-
onal matrix element
hAi5hψjAjψi5ðin particularÞ
X
i
jcij
2
ai:
In quantum theory, the expectation values belong to a class of observable quantities.
According to a definition,
hϕjAjψi5hψjA
1
jϕi
χ
;
to every linear operatorAone might determine Hermitian conjugate operatorA
1
.
One sees that
ðA
1
Þ
1
5A;ðA1BÞ
1
5A
1
1B
1
andðABÞ
1
5B
1
A
1
:
IfA5A
1
,Ais called the self-adjoint or Hermitian operator; in this case,
hϕjAjψi5hψjAjϕi
χ
:
Hermitian operators play an important role in quantum mechanics. For instance, we
consider a dynamical variable that is described with operatorA. Suppose furthermore
that, in some statejϕi, our variable equals a certainc-numbera; thenAjϕi5ajϕi,
and, consequently,hϕjAjϕi5a. If operatorAis Hermitian,
hϕjAjϕi5hϕjA
1
jϕi
χ
5hϕjAjϕi
χ
;
9The Laws of Quantum Mechanics

thus,a5a
χ
, and the eigenvalues ofAare real numbers. In physics, the dynamical
variables in some arbitrary states must have only real values. The condition of hermi-
tivity is, therefore, generally necessary to ascribe some operator to a physical quantity.
Another important consequence deserves attention. Letaanda
0
be eigenvalues
of operatorAwith corresponding vectorsjϕiandjϕ
0
i. Then
Ajϕi5ajϕiandhϕ
0
jAjϕi5ahϕ
0
jϕi:
On the other side, ifAis a Hermitian operator,
hϕ
0
jA5a
0
hϕ
0
jandhϕ
0
jAjϕi5a
0
hϕ
0
jϕi:
We see that
ða2a
0
Þhϕ
0
jϕi50:
Thus, ifa6 ¼a
0
,hϕ
0
jϕi50; two eigenvectors of a Hermitian dynamical variable
belonging to various eigenvalues are orthogonal.
The Conditions of Quantum Theory
Comparing dynamical variables with linear operators, we understand that one might
scarcely succeed to preserve in their original form the equations of classical mechan-
ics. Those operators generally fail to conform to the commutative conditions. Because
of this obstacle, we cannot build quantum theory using only experimental relations for
physical quantities: we must invoke additional relations onq-numbersαthe quantum
conditions. These conditions are generally expressible through the commutators of the
particular variables. For every such pair, there exists a certain commutator. The deter-
mination of all necessary commutators is an indispensable condition a priori, without
which it might be impossible to find a solution. There is no way to write all conditions
in a unified manner; in some way, they are individual. One might, however, reveal
some similarities with classical theory. It turns out that the properties of commutators
closely resemble those of classical Poisson brackets.
We consider a Poisson bracket for variablesAandB, which are functions of
canonical coordinatesq
iand momentap
i,
A;Bfg5
X
i
@A
@q
i
@B
@p
i
2
@A
@p
i
@B
@q
i

:
If one variable is constant numberc,
fA;cg50:
If we exchange quantitiesAandBwithin the braces, the sign is automatically
reversed:
fA;Bg52fB;Ag:
10 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

IfA!A1A
0
orB!B1B
0
,
fA1A
0
;Bg5fA;Bg1fA
0
;BgandfA;B1B
0
g5fA;Bg1fA;B
0
g:
IfA!AA
0
orB!BB
0
,
fAA
0
;Bg5fA;BgA
0
1AfA
0
;BgandfA;BB
0
g5fA;BgB
0
1BfA;B
0
g:
These properties are simple and understandable, because in classical mechanics,
through commutativity, the order of various dynamical variables has no principal
significance. In quantum theory, commutativity generally has no place, and a
Poisson bracket must be redefined.
Let quantum bracket
fA;Bg
possess properties similar to those of a classical Poisson bracket, and the variables
generally fail to conform to the law of commutative multiplication. We calculate
{AA
0
,BB
0
}; on the one side,
fAA
0
;BB
0
g5AfA
0
;BB
0
g1fA;BB
0
gA
0
5ABfA
0
;B
0
g1AfA
0
;BgB
0
1fA;BgB
0
A
0
1BfA;B
0
gA
0
;
on the other,
fAA
0
;BB
0
g5BfAA
0
;B
0
g1fAA
0
;BgB
0
5BAfA
0
;B
0
g1BfA;B
0
gA
0
1AfA
0
;BgB
0
1fA;BgA
0
B
0
:
Consequently,
ðAB2BAÞfA
0
;B
0
g5fA;BgðA
0
B
0
2B
0
A
0
Þ:
Comparing the left and right sides of this obtained equality, we see that the com-
mutator equals the Poisson bracket that is accurate within a constant coefficient.
By definition, we have
AB2BA
commutator
5ih¯
constant
ψfA;Bg:
Poisson bracket
Constanth¯, introduced by Dirac, is related trivially to the universal Planck constant
hthrough relationh¯5h/2π.
In quantum theory, the condition of non-commutativity of the dynamical vari-
ables yields absolutely another definition of a Poisson bracket. An imaginary unit,
which is specially introduced, emphasizes that in the classical understanding of the
11The Laws of Quantum Mechanics

dynamical variables, for instance, coordinates and momenta, there are no condi-
tions of type
AB2BA5ih¯fA;Bg:
These conditions appear in quantum mechanics. Each condition is a result of a clas-
sical Poisson bracket on the one side and the commutator divided by ih¯on the other
side. Thus,
A;Bfg5
1
ih¯
A;B?θ;
which is entirely correct because the commutators are characterized by a set of
properties similar to those of the Poisson brackets, in particular
½A;cθ50;½A1A
0
;Bθ5½A;Bθ1½A
0
;Bθ
and½AA
0
;Bθ5½A;BθA
0
1A½A
0
;Bθ:
To proceed to quantum mechanics, we demand that principal relations between
canonical coordinatesq
iand momentap ipreserve their form. We have
fq
i;qjg50;fp i;pjg50 andfq i;pjg5δ ij;
hence
q
iqj2qjqi50;p ipj2pjpi50
and
q
ipj2pjqi5ih¯δ ij:
One might write the quantum conditions for other dynamical variables that repre-
sent the expansions in terms of conjugate coordinates and momenta. The quantum
conditions give us a boundary between classical and quantum theories. Ifh¯tends to
zero, quantityAB2BAalso becomes equal to zero. Neglecting small constanth¯,
we perform the limiting conversion from quantum mechanics to classical.
We consider the coordinate, or Schro¨dinger’s, representation. In this case, coordi-
natesq
irepresent the pertinent variables, vectors of the statesϕare functions of the
coordinates and momentap
iare some operators. Applying this quantum condition,
½q
i;piθ5ih¯;
we must determine a form ofp
i. We have
½q
i;piθϕðqÞ5ih¯ϕðqÞ;
12 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

in whichqimplies the complete set of quantitiesq i. Dividing both sides of this
equation by ih¯, one obtains
½q
i;pi=ih¯θϕðqÞ5ϕðqÞ:
The latter expression becomes satisfied if we assumep
i/ih¯52@/@q iand recall that
½@=@q
i;qiθ51:
Momentum is thus a differential operator,
p
i52ih¯
@
@q
i
:
Choosing, instead ofq
i, Cartesian coordinatesx,yandz, for instance, we have
p
x52ih¯
@
@x
;p
y52ih¯
@
@y
;p
z52ih¯
@
@z
;
ifr5(x,y,z) andp5(p
x,py,pz),
p52ih¯
@
@r
52ih¯r:
Quantitiesp
x,pyandp zare commutative and together withpcan thus be measured
in one state. Momentumpand some arbitrary functionf(r) are not simultaneously
measurable; in this case,
½fðrÞ;pθ5ih¯rfðrÞ6 ¼0:
In the momentum representation, the pertinent variables arep
i, vectorsϕdepend
functionally on momenta and coordinatesq
ibecome operators. Repeating actions
similar to those that we make in the coordinate representation above, we obtain an
expression for operatorq
i:
q
i5ih¯
@
@p
i
:
In quantum mechanics, one might thus maintain a proper symmetry between the
canonical conjugate variablesαcoordinates and momenta.
One might indirectly confirm the correctness of this choice, e.g. for the operator
of momentum, on considering the problem on eigenvalues of quantityp. For this
purpose, we must solve this equation:
2ih¯
@
@q
ϕðqÞ5p
0
ϕðqÞ;
13The Laws of Quantum Mechanics

in whichp
0
are the sought eigenvalues of the momentum. As a result,
ϕðqÞ5Ce
ikq
;
in whichk5p
0
/h¯andCis a constant of integration. We arrived at a conventional
de Broglie wave describing the state of a freely moving particle with a particular
momentum; as follows from the solution, the possible values ofp
0
run from2N
to1N. It is important to note that functionsϕ(q) are normalized not to unity,
but to Dirac’s delta function, i.e.
jCj
2
ð
1N
2N
e
iðk2k
0
Þq
dq5jCj
2
2πδðk2k
0
Þ5δðk2k
0
Þ:
Having assumedC51=
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2π
p
;we eventually obtain normalized eigenfunctions of
the operator of momentum in a formϕðqÞ5e
ikq
=
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2π
p
:
Analysing the above facts, we see that quantitiesqandpare not measurable in
one state. Let us consider this question in detail. Suppose that we have some state
jϕi; the expectation values ofqandpin this state are equal to
hqi5hϕjqjϕiandhpi5hϕjpjϕi;
and the corresponding dispersions are
ðΔqÞ
2
5hϕjðq2hqiÞ
2
jϕiandðΔpÞ
2
5hϕjðp2hpiÞ
2
jϕi:
We introduce an auxiliary dynamical variable
A5ðq2hqiÞ1iaðp2hpiÞ;
in whichais a real positive quantity, and consider matrix elementhϕjjAj
2
jϕi:
hϕjA
β
Ajϕi5ðΔqÞ
2
1a
2
ðΔpÞ
2
1iahϕj½q;pΩjϕi:
As [q,p]5ih¯,
hϕjA
β
Ajϕi5ðΔqÞ
2
1a
2
ðΔpÞ
2
2ah¯:
Taking into account thathϕjjAj
2
jϕi$0, we obtain
ðΔqÞ
2
1a
2
ðΔpÞ
2
2ah¯$0;
where from
a
21
ðΔqÞ
2
1aðΔpÞ
2
$h¯:
14 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

Each quantity, (Δq)
2
and (Δp)
2
, is obviously greater than zero; assumingaas
some parameter, we determine a minimum of function
a
21
ðΔqÞ
2
1aðΔpÞ
2
from the condition that its first derivative equals zero:
2a
22
ðΔqÞ
2
1ðΔpÞ
2
50:
We havea5Δq/Δpand
2ΔqΔp
is the sought minimum. Our inequality, in this case, leads to a form
ΔqΔp$
h¯
2
:
This result is the famous Heisenberg principle of indeterminacy demonstrating that
the uncertainty in momentum increases as the uncertainty in coordinate decreases,
and vice versa. There is thus no state for which all values either of coordinate at
a particular momentum or of momentum at a particular coordinate are equally
probable. A physical explanation is that, in the case of coordinate, there exists a
limitation on the size of the system and, in the case of momentum, there exists
a limitation on energy. One readily observes that the classical limit remains valid:
ash¯!0 we obtain the complete certainty of both momentum and coordinate.
Angular Momentum
In quantum mechanics, angular momentum that has a dimension the same as that of
a Planck constant plays an important role, just as in classical physics. Like the total
energy, angular momentumLof an isolated system is a constant of the motion.
Through the isotropy of space, this law is concerned with the symmetry with respect
to rotations of a coordinate system. For a particle moving in a field of central forces,
the angular momentum about the origin is conserved. For a particle in a field with
axial symmetry, the projection of quantityLalong the symmetry axis is invariant.
The law of conservation of angular momentum is generally not fulfilled.
Letr5(x,y,z) be the radius vector of a particle, andp5(p
x,py,pz) be its
momentum; with the aid of the vector product ofrandp, we introduceL5
(L
x,Ly,Lz):
L5r3p5
yp
z2zpy;
zp
x2xpz;
xp
y2ypx:
8
<
:
15The Laws of Quantum Mechanics

This definition is correct because variableycommutes withp z,zwithp y,xwithp z
and so on; there is thus no need to make concrete the order of various factors. As
quantitiesrandpfail generally to commute with each other,Lcommutes with
neitherrnorp. We demonstrate this fact through a direct calculation of the com-
mutation relations. We have
½L
x;x5½yp z2zpy;x50;
½L
x;y5½yp z2zpy;y52z½p y;y5ih¯z;
½L
x;z5½yp z2zpy;z5y½p z;z52ih¯y;
analogously
½L
x;px5½yp z2zpy;px50;
½L
x;py5½yp z2zpy;py5½y;p ypz5ih¯pz;
½L
x;pz5½yp z2zpy;pz52½z;p zpy52ih¯p y:
Other relations are obtainable through a cyclic permutation ofx,yandz; for instance,
½L
y;z5ih¯x!½L z;x5ih¯y!½L x;y5ih¯z:
The commutation relations forLandrare hence exactly analogous to those forL
andp.Ifa5(a
x,a
y,a
z)isrorp,
½L
x;ax50;½L x;ay5ih¯a z;½L x;az52ih¯a y;...:
Letb5(b
x,by,bz) also berorp, then
½L
x;ab5½L x;axbx1ayby1azbz
5a
y½Lx;by1½L x;ayby1az½Lx;bz1½L x;azbz50;
accordingly,
½L
y;ab50 and½L z;ab50:
Any scalar consisting ofaandbthus commutes withL:
½L
i;r
2
50;½L i;p
2
50;½L i;rp50;...;
in whichidenotesxoryorz.
We calculate the commutation relations for the components of angular momen-
tumL:
½L
x;Ly5½L x;zpx2xpz5½L x;zpx2x½L x;pz5ih¯ðxp y2ypxÞ5ih¯L z;
16 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

through cyclic permutations, we obtain other commutators
½L
y;Lz5ih¯L xand½L z;Lx5ih¯L y;
that are compactly expressible in a vector form
L3L5ih¯L:
This formula is not quite absurd; one should bear in mind that componentsL
x,L
y
andL
zfail to commute with each other.
Similar commutation relations are derivable for the case of the total angular
momentum of a system of several particles. LetL
sbe the angular momentum of
particles, then
L
s3Ls5ih¯L s
and
L
s3Lj1Lj3Ls50;s6 ¼j:
If the total angular momentum equalsL5
P
s
Ls;
L3L5
X
s;j
Ls3Lj5
X
s
Ls3Ls1
X
s,j
ðLs3Lj1Lj3LsÞ5ih¯
X
s
Ls5ih¯L;
for which the proof was required.
We consider the squared angular momentum
L
2
5L
2
x
1L
2
y
1L
2
z
and calculate commutator [L i,L
2
], in which indexidenotes valuesxoryorz.
We have
½L
x;L
2
x
50;
½L
x;L
2
y
5L y½Lx;Ly1½L x;LyLy5ih¯ðL yLz1LzLyÞ;
½L
x;L
2
z
5L z½Lx;Lz1½L x;LzLz52ih¯ðL zLy1LyLzÞ:
On summing these equalities, one finds
½L
x;L
2
50:
In an analogous manner,
½L
y;L
2
50 and½L z;L
2
50:
17The Laws of Quantum Mechanics

The squared angular momentum, commuting with each component of vectorL,
might thus be simultaneously measured with one projectionL
xorLyorLz. The pro-
jections ofLfail to be commutative quantities with each other, and they are there-
fore not measurable in one state.
If projectionL
zis defined, instead of indeterminate quantitiesL xandL y,itis
convenient to choose another pair of operators
L
15Lx1iLyandL 25Lx2iLy:
One accordingly performs the next relations:
½L
1;L2θ52i½L x;Lyθ1i½L y;Lxθ52h¯L z;
½L
z;L1θ5½L z;Lxθ1i½L z;Lyθ5h¯L 1;
½L
z;L2θ5½L z;Lxθ2i½L z;Lyθ52h¯L 2;
L
2
5L2L11h¯Lz1L
2
z
5L1L22h¯Lz1L
2
z
;
plus the well-known expressions for differential operators of angular momentum in
spherical coordinatesr,θandφ:
L
65h¯e
6iφ
6
@
@θ
1ictgθ
@
@φ
0
@
1
A;L
z52ih¯
@
@φ
;
L
2
52h¯
2
1
sin
2
θ
@
2
@φ
2
1
1
sinθ
@
@θ
sinθ
@
@θ
0
@
1
A
2
4
3
5ϕ2h¯
2
r
2
θφ
;
in whichr
2
θφ
is an angular part of the Laplace operator.
We calculate eigenvalues of operatorsL
zandL
2
; in this representation,L xand
L
yhave indeterminate values. Letϕbe eigenvectors andL
0
z
be eigenvalues ofL z,
then
2ih¯
@
@φ
ϕðφÞ5L
0
z
ϕðφÞ:
This equation is readily integrated; as a result,
ϕðφÞ5
1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2π
pCðr;θÞe
iL
0
z
φ=h¯
:
Functionϕmust be periodic inφ; the eigenvalues of projectionL
zare consequently
integral multiples ofh¯:
L
0
z
5h¯k;k50;61;62;63;...:
18 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

Here,C(r,θ) is a constant of integration; factor 1=
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2π
p
appears through a normali-
zation condition
1
2π
ð
2π
0
e
iðk
0
2kÞφ
dφ5δ k
0
k:
If instead ofL
zwe choose, for instance,L x, we arrive at the same result, but just
for thex-component of the angular momentum; in this representation, projections
L
zandL ythen have no determinate value. An exception to this rule is the case
L
x5Ly5Lz50;
thenL
2
50 and all projections ofLare simultaneously measurable.
We proceed to calculate eigenvalues of the squared angular momentum. As
L
zL15L1Lz1h¯L1, we have
L
zL1jϕ
k
i5h¯ðk11ÞL 1jϕ
k
i;
in which we tookL
zjϕ
k
i5h¯kjϕ
k
iinto account. VectorL 1jϕkiis consequently the
eigenvector of projectionL
zbelonging to eigenvalueh¯(k11), that is accurate
within a constant coefficient. Assume
jϕ
k11
iBL 1jϕ
k
i:
In an analogous manner, applying commutator [L
z,L2]52h¯L 2, one might obtain
that
jϕ
k21
iBL 2jϕ
k
i:
Thus,L
1is the operator that increases the value ofkby unity andL 2is the opera-
tor that decreaseskby unity.
We apply the non-negativity of expression
L
2
2L
2
z
5L
2
x
1L
2
y
:
As
L
2
2L
2
z
possesses only positive eigenvalues, there must exist an upper limit forL
0
z
;we
denote it ash¯‘, in which‘is a positive integer. The states withk.‘, by definition,
do not exist; one must, therefore, satisfy the equationL
1jϕ
‘i50. On acting on this
equality with the lowering operator on the left, one obtains
L
2L1jϕ
‘
i5ðL
2
2L
2
z
2h¯LzÞjϕ
‘
i50:
19The Laws of Quantum Mechanics

Generallyjϕ ‘i6 ¼0; denoting the eigenvalue ofL
2
asΛ, we have hence
Λ2h¯
2
‘
2
2h¯
2
‘50;
where from
Λ5h¯
2
‘ð‘11Þ:
Moreover, one should note these useful relations
L
6j‘ki5h¯
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘7kÞð‘6k11Þ
p
j‘;k61i;
which we implicitly applied and which are worthy of proof. We act in turn by rais-
ing and lowering operators on vectorjϕ
ki, which is equal, by definition, toj‘ki;as
a result,
L
2ðL1j‘kiÞ5h¯
2
ð‘2kÞð‘1k11Þj‘ki5ðh¯
2
‘ð‘11Þ2h¯
2
k
2
2h¯
2
kÞj‘ki
5ðL
2
2L
2
z
2h¯LzÞj‘ki:
AsL
2L15L
2
2L
2
z
2h¯Lz;the above relations become proved.
Thus,
L
2
j‘ki5h¯
2
‘ð‘11Þj‘ki;‘50;1;2;...;
and
L
zj‘ki5h¯kj‘ki;k50;61;...;6‘:
Quantum number‘defines the squared angular momentum and might be equal to
some non-negative integer. Quantities of projectionLalong a selected direction are
integral multiples of constanth¯. For each‘, quantityL
0
z
=h¯runs over all negative
and positive integers from2‘to1‘. As a result, the state with a particular and
non-zero number‘becomes degenerate; the degeneracy numbers 2‘11; that many
functions hence belong to eigenvalueh¯
2
‘(‘11). Eigenfunctionsj‘kisatisfy the
Laplace equation
½r
2
θφ
1‘ð‘11?j‘ki50
and are represented as spherical harmonics,
Y
‘kðθ;φÞ5Nð‘;kÞP
jkj
‘
ðcosθÞe
ikφ
;
in whichP
jkj
‘
ðcosθÞare associated Legendre polynomials andN(‘,k) are normalized
coefficients. QuantitiesY
‘k(θ,φ) are orthonormal expansions in terms of sinθ, cosθ
and e
iφ
:
Y
005
1
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
4π
p;Y
105i
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ3
4π
r
cosθ;Y
1;6157i
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃ3
8π
r
e
6iφ
sinθ
and so on.
20 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

The Principal Equations
Up to this point, we consider the state vectors and dynamical variables with no regard
to their temporal evolution. How can we trace the temporal variation of the states and
the particular equations that the theory must involve? There exist historically two
methods or two pictures of non-relativistic quantum mechanics. The first picture,
enunciated by Schro¨dinger, concentrates attention on the state vectors, and the second,
formulated by Heisenberg, on the dynamical variables. For many problems, these
representations are equivalent; nevertheless, it is advisable to consider them sepa-
rately. The equations of quantum mechanics, like any other equations of physical the-
ory, must simply be postulated; they form an initial point of departure for problems of
a new type. Let us implement these historical statements with some arguments.
Suppose that we have some vectorϕ. Which physical operator determines the
variation ofϕ(t) with timet? That is,
dϕðtÞ
dt
5ð?ÞϕðtÞ:
We apply de Broglie’s plane wave,
ϕðtÞBe
iðpψr2EtÞ=h¯
;
in which appear momentump, radius vectorrand energyEof the particle, that
must be a solution of the sought equation. We have
d
dt
ϕðtÞ52
i
h¯
EϕðtÞ:
For a freely moving particle,E5p
2
/2m, in whichmis the mass of the particle,
hence
d
dt
ϕðtÞ52
i
2mh¯
p
2
ϕðtÞ
and
ð?ÞϕðtÞ52
i
2mh¯
p
2
ϕðtÞ:
We already know the answer to this question: the squared momentum operator has
a form
2h¯
2
@
2
@r
2
;
2h¯
2
@
2
@r
2
ϕðtÞ5p
2
ϕðtÞ;
21The Laws of Quantum Mechanics

and
ð?Þ5
1
ih¯
2
h¯
2
r
2
2m

:
We see that the kinetic energy of the particle,
2h¯
2
r
2
=2m;
determines the sought operator. One might, thus, hope that generally
ð?Þ5
1
ih¯
H;
i.e. the rate of variation ofϕ(t) is defined by HamiltonianH, which represents the
total energy operator of the system. As a result,
ih¯
dϕðtÞ
dt
5HϕðtÞ:
This equation, formulated by Schro¨dinger, is the principal equation of non-relativis-
tic quantum theory. It describes the temporal variation of the states of the system
that is characterized by HamiltonianH. An additional argument of this fundamental
approach is that, according to the theory of relativity, the relation between energy
and time must be similar to the relation between momentum and coordinate.
For Schro¨dinger’s equation, one generally uses the coordinate representation,
ih¯
@ϕ
@t
52
h¯
2
2
X
N
i511
m
i
r
2
i
ϕ1Vðt;r 1;r2;...;r NÞϕ;
ϕ5ϕðt;r
1;r2;...;r NÞ;
in whichVis the operator of potential energy of interacting particles,m
iandr iare
the mass and radius vector of particlei,i51, 2,...,N. Through the presence of
Laplacians, Schro¨dinger’s equation, in this case, is a differential equation of second
order. In Cartesian coordinates (x,y,z), Laplace’s operator has a form
r
2
5
@
2
@x
2
1
@
2
@y
2
1
@
2
@z
2
;
in spherical coordinates (r,θ,φ),
r
2
5
1
r
2
@
@r
r
2
@
@r

1
1
r
2
1
sinθ
@
@θ
sinθ
@
@θ

1
1
sin
2
θ
@
2
@φ
2

;
22 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

and in cylindrical coordinates (ρ,φ,z),
r
2
5
1
ρ
@
@ρ
ρ
@
@ρ

1
1
ρ
2
@
2
@φ
2
1
@
2
@z
2
:
In a case of stationary states,
ϕðtÞ5e
2iEt=h¯
jψi;
the energy of the systemEis invariant; Schro¨dinger’s equation becomes simplified to
Ee
2iEt=h¯
jψi5Hðe
2iEt=h¯
jψiÞ;
and, as the Hamiltonian is independent of time,
Hjψi5Ejψi:
The latter is an equation for eigenvaluesEand eigenfunctionsjψiof Hamiltonian
H. EigenvaluesEdefine possible energy levels either discrete or continuous. Using
classical mechanics, one might thus select a convenient Hamiltonian; for instance,
for a particle in a field with potentialV(r), it is given by the expression
H5
p
2
2m
1VðrÞ:
One might furthermore replace variables by operators, e.g. in the coordinate repre-
sentation,r!randp!2ih¯r; one then solves the equation for eigenvaluesEand
eigenfunctionsψ(r), e.g.
2
h¯
2
2m
r
2
ψðrÞ1VψðrÞ5EψðrÞ;
and, as a result, obtains the observable energy of the system,E. Afterwards one
might work with a prepared system of levels; for instance, one might determine
other state vectors characterizing the transitions of the system under the influence
of physical interactions from one stationary state to another. The set of stationary
states is complete, such that any other state can be represented in a form of super-
position of stationary states. Note that, in quantum mechanics, the coordinate and
momentum are not measurable in one state, whereas energy, being a function of
coordinates and momenta, might have determinate values.
Let us proceed to another picture of quantum mechanics. How did Heisenberg
reason? According to Bohr’s postulate, a system making a transition from statejii
with energyE
itojfiwithE
femits a quantum with frequencyω:
E
i2Ef5h¯ω:
23The Laws of Quantum Mechanics

We consider a commutator of some dynamical variableAand HamiltonianH, and
calculate its matrix element,
hfjðAH2HAÞjii:
AsE
iandE fare eigenvalues of the Hamiltonian:
Hjii5E
ijiiandHjfi5E fjfi;
then
hfjðAH2HAÞjii5hfjAðHjiiÞ2ðhfjHÞAjii5ðE
i2EfÞhfjAjii5h¯ωhfjAjii:
Heisenberg supposed that the matrix element of each variable depends harmoni-
cally on time, hence
hfjAjiiBe
2iωt
and
2iωhfjAjii5
d
dt
hfjAjii:
He supposed, moreover, that the vectors are independent of time, such that
fih¯
dA
dt

i
σγ
5hfjðAH2HAÞjii;
where from
ih¯
dA
dt
5A;H?:
This equation, which bears Heisenberg’s name, represents the equation of motion
for some dynamical variable. If Heisenberg assumed that dynamical variables do
not depend on time, but that the state vectors so depend, he would have arrived at
Schro¨dinger’s equation, in which specifically the state vectors depend on time, but
not the dynamical variables. This distinction is principal between these two pictures
of quantum mechanics.
To postulate Heisenberg’s equations, it suffices, however, to apply the method
of classical analogy. For an arbitrary dynamical variableA, the classical equation
of motion has a form
dA
dt
5A;Hfg;
24 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

in quantum mechanics, the commutator divided by ih¯corresponds to Poisson
bracket {A,H}; consequently,
ih¯
dA
dt
5A;H½:
IfAdepends explicitly on time, according to the classical analogy,
dA
dt
5
@A
@t
1A;Hfg;
for a general expression of Heisenberg’s equations, we obtain
ih¯
dA
dt
5ih¯
@A
@t
1A;H½:
Each picture is elegant in its own way. Schro¨dinger’s equation is useful to deter-
mine the stationary states. The equations of motion in Heisenberg’s form are appli-
cable when we consider the so-called constants of motion. As a constant of motion,
we understand some quantityAthat satisfies the condition dA/dt50, such thatAis
dynamically independent of time; in this case,
½A;H50:
Any constant of motion can thus be measured together with energy in one and the
same state. For instance, ifA5HandHis explicitly independent of time, [H,H]50
and the conservation law of energy is fulfilled. IfAis momentumpof a freely mov-
ing particle,
H5
p
2
2m
;
[p,H]50 and the momentum is invariant.
For particular cases, Heisenberg’s equations have a recognizable similarity with
the equations of motion in classical mechanics. For instance, we consider the
Hamiltonian of a particle in a fieldV
H5
p
2
2m
1VðrÞ;
and calculate dp/dt. We have
ih¯
dp
dt
5p;H½5p;VðrÞ½ 52ih¯
@V
@r
;
where from
dp
dt
52
@V
@r
:
25The Laws of Quantum Mechanics

This is Newton’s equation for a motion of the particle in a potential field, but
already in operator form.
Another example is a calculation of velocityv5dr/dt. In an analogous manner,
we have
ih¯
dr
dt
5r;H?5
1
2m
r;p
2
φρ
5ih¯
p
m
;
where from
dr
dt
5
p
m
:
Classical and quantum-mechanical definitions of the velocity thus coincide.
These coincidences, being purely formal, certainly confirm the correctness of
Heisenberg’s conclusions. In quantum mechanics, it is not the dynamical variables
that have physical meaning but their eigenvalues, which are determined from other
equations. If we seth¯equal to zero and assume that, in this case, all dynamical
variables become commutative quantities with each other, the equations for dynam-
ical variables (linear operators) and observables (eigenvalues) become coincident
in an absolute manner.
Dirac’s Theory
Despite all the successes of Schro¨dinger’s non-relativistic theory, it is physically
unsatisfactory: it fails to explain the spin of the electron, to yield the correct
expression for fine structure and to take into account the specification of quantum-
electrodynamic effects. According to Dirac, the principal problem of theoldtheory
involves how to choose a HamiltonianH. In a non-relativistic case,
H5
p
2
2m
1?;
in whichmis the mass of a particle andpis its momentum; in Schro¨dinger’s equa-
tion, there is therefore no symmetry between space coordinates and timet, between
quantity of energy
E!ih¯
@
@t
and components of momentump
x,pyandp z. To increase the attraction to quantum
theory, one should either combine Schro¨dinger’s equation with a relativistic
Hamiltonian or discover another Hamiltonian altogether.
We consider the former scheme. Momentumpand energyEof a particle are
related to each other, forming a four-vector
p
μ
5
E
c
;p
x;py;pz

;μ50;1;2;3;
26 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

such that
X
μ;ν
g
μν
pμpν5
X
μ;ν
gμνp
μ
p
ν
ϕpμp
μ
5
E
c

2
2p
2
5m
2
c
2
;
in whichcis the speed of light and
g
μν
5
1000
0210 0
00 210
00 0 21
0
B
B
@
1
C
C
A
is Minkowski’s metric tensor. In the classical expression,
ðE=cÞ
2
2p
2
5m
2
c
2
;
replacingE, according to Schro¨dinger’s equation, with operator ih¯@/@t, andpwith
operator2ih¯r, we obtain the equation,
h¯
2
@
2
@t
2
2h¯
2
c
2
r
2
1m
2
c
4

ψ50
or
ðp
μp
μ
2m
2
c
2
Þψ50;
in whichψis the wave function of the particle,p
μ
5ih¯@/@x μandx μ5(ct,2r);
x
μ
5
X
ν
g
μν
xν5ðct;rÞandp μ5
X
ν
gμνp
ν
5ðp0;2pÞ:
Quantity
p
05p
0
5ih¯
@
@x
0
5
ih¯
c
@
@t
!
E
c
represents a fourth temporal component of the momentum operator.
As we see, this first scheme to construct the relativistic quantum theory fails to
become sufficiently informative; it yields a solution with a negative value of energy,
E56
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
p
2
c
2
1m
2
c
4
p
:
Whether this situation is unsatisfactory or not becomes clear when, together with
particles, antiparticles come under consideration. The obtained equation, which
27The Laws of Quantum Mechanics

bears the names of Klein, Fock and Gordon, is relativistically invariant and applica-
ble to describe a particle with spin that equals zero. Schro¨dinger also obtained this
equation.
Following Dirac, we consider the second scheme to modify Schro¨dinger’s
equation, which amounts to a search for a Hamiltonian of a new type. Substituting
ih¯@/@tbycp
0, we have
p
0ψ5
H
c
ψΔ??Þψ:
Asp
0enters into the equation linearly, one expects other components of the four-
vector of momentum to appear in the equation in a linear manner. Hence,
ð?Þψ5ðα
1p11α2p21α3p31βÞψ;
such that
ðp
02α1p12α2p22α3p32βÞψ50;
in which quantitiesαandβare independent of neither coordinates nor momenta;
they describe the new degrees of freedom that are hidden from classical mechanics.
We multiply this equation by (p
01α1p11α2p21α3p31β) on the left,
p
2
0
2
X
r
α
2
r
p
2
r
2β
2
2
X
r6 ¼s
ðαrαs1αsαrÞprps2
X
r
ðαrβ1βα rÞpr
!
ψ50;
to bring the latter into coincidence with equationðp
2
0
2p
2
2m
2
c
2
Þψ50;one must put
α
2
r
51;β
2
5m
2
c
2
;
α
rαs1αsαr50atr6 ¼s;
α
rβ1βα r50:
These relations are the equivalent of the well-known rules for Pauli matrices,
σ
rσs1σsσr52δ rs;
in which
σ
15
01
10

;σ 25
02i
i0

;σ 35
10
021

:
We must have, however, four matrices, not three; matrices 232 are therefore
insufficient for our purpose. Let us determine the minimum sizeNof the new
matrices. As, for instance,α
1α252α 2α1,
detα
1Λdetα 25detð2I?detα 2Λdetα 1;
28 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

where from
detð2IÞ5ð21Þ
N
51:
NumberNis thus even and equal to at least four. Moreover,α
252α
21
1
α2α1;
such that
Spðα
2Þ52Spðα
21
1
α2α1Þ52Spðα 2Þ50;
spurs Sp(α
1), Sp(α 3) and Sp(β) also equal zero.
To satisfy all these relations with regard toαandβ, we extend the system of
Pauli matrices in a diagonal manner
σ!
σ0
0σ

;
i.e.
σ
15
0100
1000
0001
0010
0
B
B
@
1
C
C
A
;σ 25
02i0 0
i000
000 2i
00i0
0
B
B
@
1
C
C
A
;σ 35
1000
0210 0
0010
000 21
0
B
B
@
1
C
C
A
:
We introduce three more matricesρ
1,ρ2andρ 3, having interchanged inσ rthe
second and third rows and columns:
ρ5
0I
I0

;i
02I
I0

;
I0
02I
τϑ
;
in whichIis a 232 unit matrix. As we see,ρhas the structure of Pauli matrices
with 232 elements; obviously
ρ
r
ρ
s
1ρ
s
ρ
r
52δ rsandρ
r
σs5σsρ
r
:
According to Dirac, we assume
α
r5ρ
1
σrandβ5mcρ
3
;
accordingly, with this definition,
α
2
r
5ρ
2
1
σ
2
r
51;
α
1α25ρ
2
1
σ1σ252ρ
2
1
σ2σ152α 2α1
and so on.
29The Laws of Quantum Mechanics

As a result,
ðp
02ρ
1
ðσρpÞ2mcρ
3
Þψ50:
This equation, first derived by Dirac, describes particles with spin equal to one
half. To rewrite the new equation in a covariant manner, we multiply it byρ
3,
ðρ
3
p02ρ
3
ρ
1
ðσρpÞ2mcÞψ50;
put, by definition,γ
0
5ρ
3andγ
r
5ρ
3ρ
1σ
r; consequently,
ðγ
μ
pμ2mcÞψ50;
Latin indices correspond to three-vector, and Greek indices to four-vector. Dirac’s
matrices have an explicit form
γ
0
5
I0
02I

andγ5
0σ
2σ0

:
In modern quantum theory, together with Schro¨dinger’s and Heisenberg’s
pictures, Dirac’s equation has a place similar to those of Lagrange’s equations in
mechanics and Maxwell’s equations in electrodynamics. In the new wave equation,
the relativistic structure and the rules of non-commutative algebra are naturally
combined; there is no problem concerned with the negativity of the density of states,
and the principal results are experimentally confirmed. The conformation to the the-
ory of relativity demands, however, additional elucidation. The new theory must
yield results that are independent of the choice of a Lorentz frame of reference.
We consider a linear transformation fromx
ν
tox
0μ
:
x
ν
5a
νμ
x
0
μ
;x
0μ
5a
μν
xν;a μνa
ντ
5δ
τ
μ
:
Suppose that Dirac’s equation written in the new coordinates retains its initial
form, i.e.
ih¯γ
μ
@
@x
0μ
2mc

ψ
0
50;
in whichψ
0
is a function of coordinatesx
0μ
. With the aid of this transformation,
ψ
0
5Sψ;
we return to the initial variables. We have
@
@x
0μ
5
@x
ν
@x
0μ
ρ
@
@x
ν
5a
ν
μ
ρ
@
@x
ν
;
30 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

such that
ih¯a
ν
μ
γ
μ
S
@
@x
ν
2Smc

ψ50:
Through an orthogonality of transformation,
S
21
S51;
multiplying the obtained equation byS
21
on the left side, we consequently find
ih¯ðS
21
a
ν
μ
γ
μ
SÞ
@
@x
ν
2mc

ψ50:
For this equation to coincide with Dirac’s equation written with primed coordi-
nates, one must enforce the equality
S
21
a
ν
μ
γ
μ
S5γ
ν
;
or
Sγ
ν
S
21
5a
ν
μ
γ
μ
:
To prove the Lorentz invariance, we must answer two questions. Does there exist a
transformationSthat preserves the form of the initial Dirac equation? Might matrix
Simply a Lorentz transformation matrix?
We initially reply to the first query. We consider a linear rotational transformation,
for instance, in planex
1x2. An expression for the rotation matrix is given in a form
a
ν
μ
5
10 00
0 cosφsinφ0
02sinφcosφ0
00 01
0
B
B
@
1
C
C
A
;
x
0
1
5x1cosφ1x 2sinφ;
x
0
2
52x 1sinφ1x 2cosφ:
τ
To show thatS5exp(φγ
1
γ
2
/2), we have
S511
φ
2
γ
1
γ
2
1
φ
2
2!ψ4
ðγ
1
γ
2
Þ
2
1φ
3
3!ψ8
ðγ
1
γ
2
Þ
3
1φ
4
4!ψ16
ðγ
1
γ
2
Þ
4
1?;
as
ðγ
1
γ
2
Þ
2
5γ
1
γ
2
γ
1
γ
2
52ðγ
1
Þ
2
ðγ
2
Þ
2
521;
ðγ
1
γ
2
Þ
3
5ðγ
1
γ
2
Þ
2
γ
1
γ
2
52γ
1
γ
2
;
ðγ
1
γ
2
Þ
4
511
31The Laws of Quantum Mechanics

and so on,
S512
φ
2
2!ψ4
1
φ
4
4!ψ16
2?

1γ
1
γ
2
φ
2
2
φ
3
3!ψ8
1?

5cos
φ
2
1γ
1
γ
2
sin
φ
2
:
One readily verifies thatS
21
S51if
S
21
5exp
2φγ
1
γ
2
2

5cos
φ
2
2γ
1
γ
2
sin
φ
2
:
Finally,
Sγ
ν
S
21
5γ
ν
cos
2

φ
2
ϕ
2γ
ν
γ
1
γ
2
cos
φ
2
ϕ
sin

φ
2
ϕ
1γ
1
γ
2
γ
ν
cos

φ
2
ϕ
sin

φ
2
ϕ
2γ
1
γ
2
γ
ν
γ
1
γ
2
sin
2
φ
2
ϕ
;
where from
Sγ
1
S
21
5γ
1
cosφ1γ
2
sinφ;
Sγ
2
S
21
52γ
1
sinφ1γ
2
cosφ;
Sγ
ν
S
21
5γ
ν
atν6 ¼1;2:
One sees thatSγ
ν
S
21
5a
ν
μ
γ
μ
;so that Dirac’s equation is indeed invariant with
regard to a rotational transformation.
There is then no major difficulty to answer the second question and to prove
Lorentz invariance. A Lorentz transformationαa conversation to the system mov-
ing with regard to an initial system with velocityv5constantαis well known to
represent a rotation in planex
1x0by an imaginary angle. Puttingφ5iϑand bearing
in mind the imaginary unit at the temporal coordinatex
0, we have
a
ν
μ
5
chϑ2shϑ00
2shϑchϑ00
0010
0001
0
B
B
@
1
C
C
A
;
x
0
0
5x0chϑ2x 1shϑ;thϑ5v=c;
x
0
1
52x 0shϑ1x 1chϑ;chϑ5ð12ðv=cÞ
2
Þ
21=2
:
τ
The sought transformation matrix acquires a form
S5exp
iϑγ
0
γ
1
2

5ch
ϑ
2

1iγ
0
γ
1
sh
ϑ
2

;
obviously,
S
21
5exp
2iϑγ
0
γ
1
2

5ch
ϑ
2

2iγ
0
γ
1
sh
ϑ
2

:
32 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

The wave equation of Dirac is thus relativistically invariant; it yields physical
results that are independent of the Lorentz frame of reference.
Spin and Magnetic Moment
The wave equation of Dirac is essential to explain the doubling of stationary levels
for an electron in an atom. According to Schro¨dinger’s picture, one might circum-
vent this difficulty through a phenomenological introduction of an electron spin
that equalsh¯/2 and a magnetic moment equal to the Bohr magnetonμ
B5eh¯/2mc.
Although Pauli, having heuristically applied this approach, succeeded in treating
the new phenomenon, the nature of the pertinent degrees of freedom remained
unclear. In this sense, Dirac’s theory elucidated all aspects in question. Apart from
an experimental confirmation, the spin and magnetic moment of the electron have
acquired a solid theoretical foundation.
We extrapolate Dirac’s equation to the case of the presence of an external elec-
tromagnetic field. As in classical physics, one should replace energyEwith
E1eA
0and momentumpwithp1eA/c, in whicheis the absolute value of an
electronic charge,cis the speed of light andA
0andAare corresponding scalar and
vector potentials of a field. IfA
μ
5(A
0
,A) is the four-vector of a field potential,
p
μ!pμ1
e
c
A
μ
This replacement possesses both gradient and Lorentz invariance. As a result, we
obtain
γ
μ
pμ1
e
c
A
μ
ελ
2mc
ελ
ψ50;
in whichmis the mass of the electron. We multiply the obtained equation by
γ
ν
(p
ν1eA
ν/c) on the left to yield
γ
ν
γ
μ
pν1
e
c
A
ν
ελ
p
μ1
e
c
A
μ
ελ
2m
2
c
2
ελ
ψ50:
One sees thatγ-matrices of Dirac satisfy the relation of Clifford algebra
γ
μγ
ν1γ
νγ
μ52g μν:
If this relation is combined with an antisymmetric tensor
σ
νμ
52σ
μν
5
i
2
ðγ
ν
γ
μ
2γ
μ
γ
ν
Þ;
one might directly express the productγ
ν
γ
μ
throughg
νμ
andσ
νμ
:
γ
ν
γ
μ
5g
νμ
2iσ
νμ
:
33The Laws of Quantum Mechanics

Consequently,
γ
ν
γ
μ

p
ν1
eAν
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
5

p
μ
1
eA
μ
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
2iσ
νμ

p
ν1
eAν
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
5

p
μ
1
eA
μ
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
2
i
2

σ
νμ
2σ
μν

p
ν1
eAν
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
5

p
μ
1
eA
μ
c

p
μ1eAμ
c
ϕ
2
i
2
σ
νμ

p
ν1
eAν
c
;p
μ1eAμ
c

:
Here, for the commutator, we have
p
ν1
eAν
c
;p
μ1eAμ
c

5p
ν;eAμ
c

2p
μ;eAν
c

5
ieh¯
c
@Aμ
@x
ν
2
@Aν
@x
μ

5
ieh¯
c
F
νμ;
in which
F
νμ5
@Aμ
@x
ν
2
@Aν
@x
μ
5
0 E
1 E2 E3
2E102B 3B2
2E2B3 02B 1
2E32B2B1 0
0
B
B
@
1
C
C
A
is the tensor of the electromagnetic field with a polar electric-field vectorE5
(E
1,E2,E3) and an axial magnetic-field vectorB5(B 1,B2,B3).
The quadratic Dirac’s equation in the external field acquires a form
p
μ
1
e
c
A
μ
ελ
p
μ1
e
c
A
μ
ελ
1
eh¯
2c
σ
νμ
Fνμ2m
2
c
2

ψ50:
To simplify it, we putγ
r5ρ
3ρ
1σ
r5iρ
2σ
randγ
05ρ
3. We have
σ
0r
5
1
2
σ
r
ðρ
2
ρ
3
2ρ
3
ρ
2
Þ5iρ
1
σ
r
5iα
r
;
σ
12
52
i
2
ðσ
1
σ
2
2σ
2
σ
1
Þ52iσ
1
σ
2
5σ
3
;σ
23
5σ
1
;σ
31
5σ
2
:
Consequently,
σ
νμ
Fνμ52σ
0r
Er12σ
rs
Frsj
r,s52iα
r
Er22σ
r
Br;
34 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

and the equation for an electron in an external field becomes
E1eA 0
c

2
2p1
eA
c

2
2 eh¯
c
ðσρBÞ1i
eh¯
c
ðαρEÞ2m
2
c
2
!
ψ50:
Here, we perceive two supplementary terms
2
eh¯
c
ðσρBÞand i
eh¯
c
ðαρEÞ:
The former shows the presence of the new degree of freedom for an electronα
spin and the magnetic moment concerned with spin,
μ52
eh¯σ
2mc
that interacts with an external magnetic fieldB. Spin emphasizes that an electron,
possessing an inner mechanical angular momentum, ‘rotates’ about its own axis.
The latter term turns out to be imaginary; its principal purpose is to ensure the rela-
tivistic invariance of Dirac’s theory.
According to a physical point of view, the purely imaginary term is of only
minor interest because it corresponds to the presence of an imaginary electric
moment for the electron. One might suppose that its appearance is necessary only
for that purpose, in a formal manner, to adapt the new theory to Schro¨dinger’s pic-
ture. The latter is essentially non-relativistic, and its role is therefore highly doubt-
ful. Omitting this imaginary term, we define this non-relativistic limit. One should
assume that
E5ε1mc
2
;eA0{mc
2
andε{mc
2
;
then
E1eA 0
c

2
2m
2
c
2
δ2mðε1eA 0Þ;
and
1
2m
p1
eA
c

2
2eA01 eh¯
2mc
ðσρBÞ
!
ψ5εψ;
which constitutes the famous Pauli equation.
Applying another consideration, one might arrive at a definition of spin. The
angular momentum in a central field of force, for whichA50 andA
05A0(r), is
invariant. In this case, Dirac’s Hamiltonian, additionally multiplied byc, has a form
H52eA
0ðrÞ1cρ
1
ðσρpÞ1ρ
3
mc
2
:
35The Laws of Quantum Mechanics

We calculate commutator [L,H], in whichL5(L 1,L2,L3) is the orbital angular
momentum of the electron. We have
½L
1;Hπ5cρ
1
σ?L 1;pπ5cρ
1
σρ?j½L 1;p2π1k½L 1;p3?
5ih¯cρ
1
ðσ2p32σ3p2Þ5ih¯cρ
1
ðσ3pÞ
1;
consequently, [L,H]5ih¯cρ
1(σ3p) and angular momentumLfails to be invariant.
We proceed to calculate [σ,H]:
½σ
1;Hπ5cρ
1
½σ1;σπρp5cρ
1
ðj½σ1;σ2π1k½σ 1;σ3π? ρp
52icρ
1
ðσ3p22σ2p3Þ522icρ
1
ðσ3pÞ
1;
thus, [h¯σ/2,H]52ih¯cρ
1(σ3p). One sees that
L1
h¯
2
σ;H

50;
such that vectorL1h¯σ/2 is a constant of the motion. The electron thus possesses
an inner angular momentumh¯σ/2, which is appropriately called spin. The eigenva-
lues of one projection of quantityσequal61, which conforms entirely to the
hypothesis of Goudsmit and Uhlenbeck; the observable values of spin momentum
are6h¯/2. Spin is an exceptional quantum quantity that tends to zero in a classical
limit ash¯!0.
The Pauli equation derived above is the result of a particular non-relativistic
limit for Dirac’s theory. Dirac’s equation admits, however, another cardinal non-
relativistic consideration that yields physically correct results with no additional
supposition, unlike what Pauli’s phenomenological theory includes. To investigate
this limiting case, we write Dirac’s equation in an external electric field with poten-
tialA
0:
p
01
eA0
c

2ρ
1
ðσρpÞ2ρ
3
mc

ψ50;
or in an explicit form after multiplying byc:
ðE1eA
0Þ
I0
0I

2cðσρpÞ
0I
I0

2mc
2I0
02I

ψ
A
ψ
B

50:
Here,
ψ
A5
ψ
a
ψ
a
0

andψ
B5
ψ
b
ψ
b
0

36 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

are two-component wave functions. This equation is equivalent to a system
cðσρpÞψ
B1mc
2
ψ
A5ðE1eA 0Þψ
A;
cðσρpÞψ
A2mc
2
ψ
B5ðE1eA 0Þψ
B:
We assumeε5E2mc
2
, isolateψ Bfrom the latter equation and substitute it into
the former to yield
ψ
B5cðε1eA 012mc
2
Þ
21
ðσρpÞψ
A
and
1
2m
ðσρpÞ11
ε1eA 0
2mc
2

21
ðσρpÞ2eA 0
!
ψ
A5εψ
A:
In the non-relativistic case,
p5mv;ε{mc
2
andeA 0{mc
2
;
such that
ψ
BB
v
c
jσjψ
A
and two components
ψ
B5
ψ
b
ψ
b
0

are appropriately called small. To define the large componentsψ
A, we use the
approximation
11
ε1eA 0
2mc
2

21
δ12
ε1eA 0
2mc
2
;
take into account that
pA
05A0p2ih¯
@A0
@r
;
and note equalities
ðσρpÞ
2
5p
2
37The Laws of Quantum Mechanics

and
σρ
@A0
@r

ðσρpÞ5
@A0
@r
ρp1iσ
@A0
@r
3p

;
which follow from the well-known relation
ðσρaÞðσρbÞ5aρb1iσρ?a3bÞ;
which is satisfied for arbitrary vectorsaandbas a pair. Consequently,
ðσρpÞA
0ðσρpÞ5A 0p
2
2ih¯
@A0
@r
p1iσ
@A0
@r
3p

:
Supposing spherical symmetry for potentialA
0, we have@A0
@r
5A
0
0
r
r
:
Thus,
p
2
2m
2
ε1eA 0
2mc
2

p
2
2m
2eA
01ieh¯
4m
2
c
2
A
0
0
rρp
r
1iA
0
0
σρ
r3p
r

ψ
A5εψ
A:
Noting that
ε1eA 0
2mc
2
δ
1
2mc
2
ρ
p
2
2m
;
we eventually obtain
p
2
2m
2
p
4
8m
3
c
2
2eA01
ieh¯A
0
0
4m
2
c
2
rρp
r
2
eA
0
0
2m
2
c
2
r
sρL

ψ
A5εψ
A;
in whichs5h¯σ/2 is spin andL5r3pis the orbital angular momentum of the
electron. This scenario to proceed to the non-relativistic limit was outlined by
Dirac.
According to an interpretation of the obtained equation, the first two terms fol-
low from a classical expansion
ε5
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
m
2
c
4
1c
2
p
2
p
2mc
2
5
p
2
2m
2
p
4
8m
3
c
2
1?
38 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

that represents the kinetic energy of the electron. The third term2eA 0is the poten-
tial energy of interaction with an external electric field. Quantity
ieh¯
4m
2
c
2
A
0
0
rρp
r
5
eh¯
2
4m
2
c
2
A
0
0
@
@r
has no classical analogue. The latter term
2
eA
0
0
2m
2
c
2
r
sρL
describes a spinαorbital interaction important for physics; factor 1/2 appears here
in a natural manner, not artificially as the theory of Pauli and Darwin yields.
According to a phenomenological consideration, in the non-relativistic theory one
might also introduce this spinαorbital coupling; for agreement with experiment,
one must include by hand the so-called Thomas factor 1/2. After taking this factor
into account, the theory of Pauli and Darwin allows one to obtain the correct equa-
tion, which is in agreement with experiment.
Phenomenological Description
In the experiment of Stern and Gerlach, atoms of silver in a narrow beam passed
through a region of strong and inhomogeneous magnetic field. Each atom acquired
additional energyW52μρB, in whichμis the magnetic moment of the atom and
Bis the magnetic-field vector. As a result of the experiment, on a screen, Stern and
Gerlach might have obtained some diffuse image corresponding to a mutual orien-
tationμandB. This result was not observed, however; instead, the atomic beam
became split such that, on the screen, there were discovered only two images sym-
metrically disposed with respect to the initial beam. Atomic rays of alkali metals
also had two images; for beams containing atoms of vanadium or manganese or
iron, the number of images became more than two.
A beam of hydrogen atoms, which are in an S-state, attracts special interest. In
this case, the orbital quantum number‘of the electron equals zero; consequently,
for the electron, the mechanical angular momentum and the magnetic moment,
associated with this angular momentum, are completely lacking. As a result of an
experiment, the atomic beam again became split into two components under the
influence of the magnetic field; this fact bears witness to two possible orientations
for the magnetic moment of the electron. Uhlenbeck and Goudsmit supposed
a posteriori that the electron possesses an intrinsic angular momentumαspin,
and the projection of that spin in a selected direction, has only two observable
values,6h¯/2. The corresponding projection of the magnetic moment likewise has
only two values.
For an electron, the existence of spin theoretically follows from the relativistic
equation of Dirac, but one might consider spin outside special methods of relativis-
tic quantum theory. According to Pauli, spin is an angular momentum, so that it
39The Laws of Quantum Mechanics

possesses all properties of angular momentum. The eigenvalues of the squared spin
angular momentum
s
2
5s
2
x
1s
2
y
1s
2
z
are thush¯
2
s(s11);s x,syands zare the projections of spin vectors, andsis the
spin quantum number. For each elementary particle, the value ofsmight be defined
only from an experiment. For example,s51/2 for an electron, proton, neutron and
μ-meson,s50 for aπ-meson ands51 for a photon. In the selected representation,
one might determine also one projection of spin, for instance,s
z. The possible
values for the spin projection number 2s11 in total. For a particle with spin one
half, we have two values; these are eigenvalues of variables
zthat equal6h¯/2. The
classical limith¯!0 yields zero for spin. Classical mechanics fails to explain the
presence of the intrinsic angular momentum for these particles; all models involv-
ing a spinning top become absurd and yield nothing useful.
To introduce spin into the non-relativistic theory, one must consider the wave
equation for the electron in an external magnetic field, with a condition that the
electron initially has an intrinsic magnetic moment
μ52
e
mc
s;
in whichcis the speed of light,eis the absolute charge of the electron andmis its
mass. We begin from Schro¨dinger’s equation,
ih¯
@
@t
jϕi5Hjϕi
for statesϕ;tdenotes time. For operatorH, we choose the classical expression for
a Hamiltonian describing the electron in an external field with vector potentialA
and scalar potentialU, i.e.
H5
1
2m
p1
e
c
A
ελ
2
2eU:
Adding to this expression the energy of interaction between the electron magnetic
moment and the magnetic field, which is characterized by vectorB,
W52μΛB;
we obtain
H5
1
2m
p1
e
c
A
ελ
2
2eU2μΛB:
40 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

Thus,
ih¯
@
@t
jϕi5
1
2m
p1
e
c
A
ελ
2
2eU1 e
mc
sρB

jϕi:
Pauli obtained this equation, which describes a motion of the electron in an exter-
nal electromagnetic field. Pauli’s equation is readily generalized for the case of
another elementary particle that possesses non-zero spin.
We consider in detail the cases51/2. Withs, it is here convenient to introduce
a new quantity,σ(σ
x,σy,σz):
s5
h¯
2
σ;
forσ, we haveσ3σ52iσ.Ass
zhas eigenvalues6h¯/2, componentσ zpossesses
values61 andσ
2
z
has only one value,11. Thus,
σ
2
x
5σ
2
y
5σ
2
z
51:
Using this equality, we find
½σ
2
y
;σzπ5½1;σ zπ50:
Also,
½σ
2
y
;σzπ5σ y½σy;σzπ1½σ y;σzπσy;
but [σ
y,σ
z]52iσ
x, such that
σ
yσx1σxσy50orσ yσx52σ xσy:
Hence,σ
xandσ
ycommute with an opposite sign, i.e. they anticommute. The same
conclusions occur for other variables:
σ
xσy52σ yσx5iσz;
σ
zσx52σ xσz5iσy;
σ
yσz52σ zσy5iσx:
To determine an explicit formσ, we recall the formulae obtained earlier for the
non-zero matrix elements of raising operatorL
1and lowering operatorL 2of angu-
lar momentumL(L
x,Ly,Lz):
h‘;k61jL
6j‘ki5h¯
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘7kÞð‘6k11Þ
p
:
41The Laws of Quantum Mechanics

Here,‘is a quantum number that characterizes squared angular momentumL
2
andk
correspondingly for projectionL
z.AsL x5(L11L2)/2 andL y5(L12L2)/2i, then
h‘;k11jL
xj‘ki5
1
2
h‘;k11jL
1j‘ki5
h¯
2
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘2kÞð‘1k11Þ
p
and
h‘;k11jL
yj‘ki5
1
2i
h‘;k11jL
1j‘ki52
ih¯
2
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘2kÞð‘1k11Þ
p
;
in whichh‘,k11jL
2j‘ki50. In an analogous manner,
h‘kjL
xj‘;k11i5
1
2
h‘kjL
2j‘;k11i5
h¯
2
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘2kÞð‘1k11Þ
p
and
h‘kjL
yj‘;k11i52
1
2i
h‘kjL
2j‘;k11i5
ih¯
2
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ð‘2kÞð‘1k11Þ
p
:
We apply these formulae to spin one half. Assume thatL5h¯σ/2,‘5s, and let
quantitykretain the preceding meaning of the quantum number of thez-component
of angular momentum. We have
hs;k11jσ
xjski5hskjσ xjs;k11i5
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðs2kÞðs1k11Þ
p
and
hs;k11jσ
yjski52hskjσ yjs;k11i52i
ﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðs2kÞðs1k11Þ
p
;
moreover,
hskjs
zjski5h¯kandhskjσ zjski52k;
s51/2, whereask561/2; one might consequently represent the components of
quantityσin a form of 232 Pauli matrices,
σ
x5
01
10

;σ y5
02i
i0

;σ z5
10
021

;
σ
2
x
5σ
2
y
5σ
2
z
5
10
01

:
42 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

The spin variables separately commute with coordinatesx,yandz, and also
with the components of momentum. For a particle with spin half, the commuting
variables (for instance, in the coordinate representation) in a complete set become
therefore
x;y;zandσ
z:
Asσ
zhas only two values,61, instead of one-component wave function
hxyzσ
zjϕi, it is convenient to apply a two-component vector,
hxyz;11jϕi
hxyz;21jϕi

;
which is called a spinor. A spinor is hence a function of three, not four, variables.
We proceed to consider the operator of total angular momentum
J5L1s;
J
x5Lx1sx;Jy5Ly1sy;Jz5Lz1sz:
As orbital angular momentumLacts on space coordinates, andson spin variables,
one might satisfy commutative relations
½L
i;sfθ50;½J
2
;L
2
θ50 and½J
2
;s
2
θ50;
in whichiandfcan equalxoryorz. QuantityJretains the general properties that
exist for angular momentum, hence
J3J5ih¯J
and
½J
x;J
2
θ5½J y;J
2
θ5½J z;J
2
θ50:
The eigenvalues ofJ
z, by definition, equalh¯k j, and ofJ
2
equalh¯
2
j(j11). Number
jis expressible through orbital and spin quantum numbers‘ands:
j5j‘2sj;j‘2sj11;...;‘1s21;‘1s:
For instance, ifs51/2, thenj51/2, 3/2, 5/2,...andk
j561/2,63/2,...,6j.
The values for thez-projection ofJare obtainable directly through the addition
ofL
zands z, such that
k
j5k‘1ks;
43The Laws of Quantum Mechanics

in which quantum numberk ‘corresponds to the orbital angular momentum with
2‘11 values andk
sto the spin with 2s11 values. For given values of‘ands,
there must be in total
ð2‘11Þð2s11Þ
various states. The maximally possible value ofk
jequals‘1s; only one state cor-
responds to this value. The maximum ofjis hence also equal to‘1s. Decreasing
k
jby unity, we obtaink j5‘1s21 and two states
k
‘5‘;k s5s21 andk ‘5‘21;k s5s
that correspond to this value. Numberjhas two values,j5‘1sandj5‘1s21
atk
j5‘1s21. Continuing this scenario with a condition thats#‘, we arrive at
the value
k
j5‘2s
with states of total number 2s11. The minimum ofjis thus equal to‘2s.
According to a classical point of view, in this case, the vectorsLandsare antipar-
allel to each other, whereas the maximum value‘1scorresponds to a parallel ori-
entation of angular momentaLands. Note that if we continued to decreasek
jby
unity, we could not obtain new states; as before, their total number at given‘ands
equals
X
‘1s
j5‘2s
ð2j11Þ5ð2‘11Þð2s11Þ:
Semiclassical Theory of Radiation
The transitions of a quantum system induced between particular stationary states
attract physical interest. The case of an interaction with an external electromagnetic
field is especially important; through this interaction, a system emitting or absorb-
ing a quantum of radiation transfers from one stationary state to another. Not all
transitions are, however, allowable; some are weakly probable. The problem of
determining the possible transitions and elucidating the corresponding features of
the intensity distribution thus arises. According to a semiclassical method, we
consider a system to be quantum but a field of radiation to remain classical.
Fermi’s Golden Rule
Let a perturbation convey a system from one stationary state to another under a
condition that the states remain unaltered; the problem then becomes non-stationary.
44 Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules

To define the probability of such a transition for a quantum system, our point of
departure is Schro¨dinger’s equation,
ih¯
@
@t
jϕi5ðH
0
1λWÞjϕi
for statesϕ, in whichH
0
is the Hamiltonian of zero order with eigenvaluesE
nand
eigenfunctions
e
2iEnt=h¯
jni;
λis a small parameter characterizing the order of perturbationWandtdenotes
time. Having expandedjϕiin vectors of the unperturbed Hamiltonian,
jϕi5
X
n
anðtÞe
2iEnt=h¯
jni;
in whicha
nare the amplitudes of states, we proceed to the equation
ih¯
@am
@t
5λ
X
n
ane
iωmnt
hmjWjni;ω mn5
Em2En
h¯
:
Here, we take into account thatH
0
jni5E njniandhmjni5δ mn.
We representa
nin a form of an expansion in the small parameter,
a
n5a
0
n
1λa
1
n
1?;
substitute this expansion into the equation for amplitudesa
nand restrict our consid-
eration to the first order inλ, then
ih¯
@a
1
m
@t
5
X
n
a
0
n
e
iωmnt
hmjWjni:
Taking into account that an initial state, for instance,
e
2iEkt=h¯
jki
is determined, i.e.a
0
n
5δnk;we definea
1
m
:We have
a
1
m
5
1
ih¯
ð
t
0
hmjWjkie
iωmkt
dt:
45The Laws of Quantum Mechanics

Another Random Scribd Document
with Unrelated Content

Innokkaaseen pyyntöön, että hän jäisi perheensä luo, hän vastasi:
"Minä en aijo elämääni heittää luotani. Minä viivyn niin kauan kuin
Jumala tahtoo, mutta jos hetkeni on tullut, niin olen valmis".
Eräs tätä seuraava lausunto osoittaa miten selvä hänen
ajatuskykynsä oli. Hän huomautti:
"Meillä on tänään 22 päivä joulukuuta vai kuinka? Viisi kuukautta
sitten kuoli Irene… juuri tässä huoneessa!"
Todellisuudessa oli siitä vain neljä kuukautta (22 p. elok.), mutta
muuten oli kaikki juuri niinkuin hän lausui.
Yht'äkkiä näytti hänen vallanneen uusi ajatus, jolloin hän
epäilemättä tunsi olennossaan sen uudistetun voiman, joka usein
juuri on lopun enteenä; hän huusi:
"Minusta tuntuu melkein kuin Jumala tahtoisi tehdä ihmeen ja
nostaa minut pystyyn Minä nousen ja istuudun tuoliin. Jos Jumala
tahtoo ihmeen kautta tehdä minut terveeksi, niin on hyvä, muussa
tapauksessa voin kohdata kuoleman tuolissani niinhyvin kuin
tässäkin".
Kääntyen jonkun puoleen, joka juuri asetteli lämpimiä kääreitä,
hän lausui:
"Ei, ota pois nuo! Jos Jumala aikoo tehdä ihmeen, mm me emme
niitä tarvitse, ja ensimmäinen, minkä siinä tapauksessa tekisimme
olisi kaiketi se, että lähettäisimme Teidät, herra tohtori, tiehenne".
Hän ei sitä kuitenkaan vaatinut, mutta nousemasta ylös häntä ei
voitu estää. Hän käveli poikki lattian erään lepotuolin luo, johon hän

hetkeksi istahti. Uusi horrostila, joka kesti vain muutamia
silmänräpäyksiä, uuvutti hänet kokonaan; hän palasi mielellään
sänkyynsä ja makasi siinä yli tunnin loppua odotellen. Hän vaipui
vieläkin ennen loppua lyhyeen horrostilaan.
Viimeiseen asti osoitti hän huolenpitoa ympäristöstään. Hetkisen
ennen lähtöään kääntyi hän vaimonsa puoleen, lausuen:
"Tämä on sinulle kauheata; se tulee niin äkkiä. Olen pahoillani,
kun vaivaan sinua täten. Tällaisessa jännityksessä on vaikea olla".
Muutamia minuutteja ennen kahtatoista oli hän silminnähtävästi
vieläkin kerran tajuntansa menettämäisillään, ja kun lääkäri tuli
hänen vuoteensa luo uudelleen ruiskuttaakseen häneen kiihoittavaa
ainetta, katsoi Mr. Moody häneen kysyväisesti ja ikäänkuin
epäröivänä ja lausui aivan luonnollisella äänellä:
"Tohtori, en tiedä teemmekö tätä. Luuletteko, että se on minulle
parasta?"
Tohtori sanoi että hän luuli sen olevan hänelle hyödyllistä.
"Mutta", virkkoi Mr. Moody, "se käy perheelleni niin pitkäksi!"
Tohtori kääntyi poispäin nähdessään, ettei potilaan henkeä voitu
pelastaa, ja vähän hetken perästä vaipui Mr. Moody jälleen
horrostilaan, josta hän heräsi Hänen luonaan, jota hän oli rakastanut
ja niin kauan uskollisesti palvellut. Se ei muistuttanut kuolemaa, sillä
hän nukkui tyynesti ja rauhallisesti, ja helposti saattoi mielessään
kuvitella hänen vastaanottoaan toisessa maailmassa monien
rakkaiden keskellä, jotka hänen tuloaan odottivat.

Muuan kaukaisessa kaupungissa oleva ystävä sähköitti: "Mr.
Moodyn rakkaus musiikkiin oli vihdoinkin tänä jouluaamuna tullut
tyydytetyksi".

KOLMASKOLMATTA LUKU.
Hautajaisjuhlallisuudet.
"Hän on mennyt korkeammalle — siinä kaikki; mennyt vanhasta
majasta huoneesen, joka on kuolematon, ruumiisen, johon ei
kuolema voi koskea, jota ei synti voi tahrata, ruumiisen, joka on
Hänen oman ylösnousemusruumiinsa kaltainen".
Tämä hänen kuolinvuoteensa ääreltä lausuttu todistus voi selvittää
sen harvinaisen hautajaisjuhlan luonnetta, mikä pidettiin tiistaina
joulukuun 26 päivänä iltapuolella. Se oli todellakin kristillinen
hautajaisjumalanpalvelus. Oikeaan kieleen kosketettiin, kun T:ri C. J.
Scofield, kongregationalistikirkon pastori Northfield'issä,
jumalanpalveluksen alussa lausui: "Me emme ole täällä tappiota
suremassa vaan voittojuhlaa viettämässä".
Mr. Moody eli ja kuoli voittajana. Hän haudattiin niinkuin hän
kuolikin — voittajana. Tosin ei siellä nähty mitään sotilasmusiikkia tai
komeata paraatia töyhdöillä varustettujen ruumisvaunujen jälessä.
Itse teossa ei löytynyt ruumisvaunuja eikä surumusiikkia, ei soitettu
kirkonkelloja eikä nähty suruharsoja, kyyneltyneitä kasvoja
peittämässä. Kyyneleet nähtiin jokaisen silmissä tuossa suuressa,

läsnäolevassa seurakunnassa. Mutta mitään itkua ei kuultu, ja
tyyneimmät kasvot koko kirkossa olivat niiden, jotka kuuluivat
lähimpään perhepiiriin. Rouva Moodyn osoittama tyyneys soveltui
sille, jonka puoliso oli siirtynyt sanomattomaan iloon, joka häntä
itseäänkin odottaa ja jota hän on puolisonsa kera jakava.
"Toivon, ettei kukaan ole kutsuva minua isättömäksi", lausui tytär
aamulla eräälle ystävälle. Vanhimman pojan vaimon kuultiin
kirkkaalla äänellään ottavan lauluun osaa, osoittaen siten mitä
ihmeteltävintä mielenmalttia: siinä ei piillyt vähintäkään merkkiä
kahden lapsen kadottamisesta, hänen oman isänsä vaarallisesta
sairaudesta ja rakastetun appensa kuolemasta, kaikki samana
vuonna. Pojat olivat yhtä innokkaita kuin jos olisivat olleet jossakin
isänsä johtamassa kokouksessa. Koko perhe oli ihmeteltävän tyyni.
Hautajaispäivä oli ihana — "yksi Herran omia päiviä", kuten
läsnäolijat sitä nimittivät. Kirkkaana nousi aurinko vuoren takaa,
jonka juurella Northfield sijaitsee. Etäällä, Green Mountain'in rinteillä
näkyi paikottain lunta. Aamu oli kalsea, mutta iltapäivällä ystävien
kokoontuessa jumalanpalvelukseen, oli ilma käynyt koko lailla
lämpimämmäksi. Bostonista, New-Yorkista ja muista kaupungeista
saapui heti päivällisen jälestä joukottain ihmisiä. Brattletown'ista Vt.
saapui ylimääräisellä junalla useita ystäviä. Monta tunnettua pappia
ja maallikkoa oli saapunut paitsi niitä, jotka olivat
jumalanpalveluksessa osallisina. Ira D. Sankey, Mr. Moodyn
kumppani kolmenkymmenen vuoden aikana, vaimonsa seurassa
sekä kolme muuta Mr. Moodyn laulajaa — Georg C. Stebbins, D. R.
Fowner ja F. H. Jacobs — olivat läsnä.
Muukalainen, joka aamupuolella olisi käynyt Mr. Moodyn oven ohi,
ei olisi voinut huomata, että kuolema hiljan oli tässä kodissa

vieraillut. Ei surunmerkkiäkään näkynyt. Ei mitään suruharsoja
ovella; ei verhoja ikkunoissa. Kansaa tulvaili taloon kuin
pitotilaisuudessa. Jumalanpalveluksen loputtua istuttiin kirjastossa ja
vierashuoneessa iloisesti puhellen. Puhe koski etupäässä Mr.
Moodya; muistettiin tapahtumia hänen vaiherikkaasta elämästään,
kehoittavia sanoja, joita hän oli lausunut ja rakkaudentöitä, joita hän
oli tehnyt. Kello 10 pidettiin jumalanpalvelus, jonka toimittivat t:ri
Scofield ja t:ri R. A. Torrey, Chicago Avenue-kirkon pastori ja
Chicagon raamattuopiston superintendentti, jossa tilaisuudessa
luettiin kappaleita raamatusta ja rukoiltiin. Sitten vietiin ruumis
kilometrin päässä sieltä sijaitsevaan kirkkoon, paareilla, jota kantoi
kolmekymmentäkaksi Mount Hermon koulun oppilasta. Kello 2,30 j.
pp. alkoi yleinen jumalanpalvelus.
Kirkon parvet olivat viheriänkeltasella koristetut; arkun päällä ja
ympärillä oli kukkasseppeleitä opettajilta ja oppilailta Northfieldin ja
Chicagon eri laitoksista. Pään puolessa oli patja, johon aistikkaasti oli
laitettu valkea ruunu purppuranpunaisella nauhalla, jolle Mr. Moodyn
sanat: "Jumala kutsuu minua", olivat painetut. Avattu raamattu,
johon vasemmalle puolen oli kirjoitettu: "Voitto. 1 Kor. 15: 55-57", ja
oikealle: "2 Tim. 4: 7, 8" oli jalkain puolessa. Palmuja, sanajalkoja,
laakeripuita, orvokkeja ja muita kukkia oli asetettu saarnalavan
koristeeksi. Kun kansi siirrettiin arkun päältä pois, näkyivät kasvot ja
kädet kaikkialle kirkossa. Kun aurinko laski, tunkeutui yksi yksinäinen
säde uutimien välitse jääden arkun päälle. Aurinko nousi vähitellen,
kunnes säde saavutti tuon monelle niin rakkaan kasvot. Tämän
ihanan kohtauksen huomasi heti tuo suuri seurakunta. Kun nyt ilta
lähestyi ja varjot täyttivät huoneen, tuntui tämä yksinäinen eksynyt
auringonsäde valkeudelta, lähetetty kultaporttien tuolta puolen.

T:ri Scofield oli saanut tehtäväkseen johtaa jumalanpalvelusta,
joka aloitettiin laulamalla: "Vähäinen hetki", Majuri Whittlen ja James
Mr. Grahananin säveltämän laulun.
Laulun loputtua rukoili T:ri Scofield, T:ri Arthur T. Pierson luki
päivän tekstin, jonka perästä T:ri George C. Needham rukoili.
"Immanuelin maa" laulettiin sitte. Puheessaan lausui T:ri Scofield:
"Tämä ei ole oikea paikka Dwight L. Moodyn elämän ja luonteen
kuvailemiseen, enkä minä ole oikea mies sitä tekemään. Sellainen
kertomus ilmestyy myöhemmin. Mutta muutamia asianhaaroja täytyy
ainakin heti mainita. Muutamat seikat ovat siksi silminnähtäviä, ettei
aika eikä tarkempi mietintö niitä voi järkyttää. Kenkään ei ole sitä
milloinkaan epäilevä, että tänään laskemme maan rakkaaseen
poveen suuren miehen kuolevaisen ruumiin".
"Joko me mittaamme hänen suuruuttaan luonnollisten
ominaisuuksien perusteella, sielunkykyjen tai aikaansaadun
vaikutuksen pohjalla, niin täytyy meidän tunnustaa, että Dwight L.
Moody oli suuri mies. Hänen luonteensa peruspiirteet olivat
rehellisyys ja läpikotainen kunnollisuus. Hänellä oli luontainen
vastenmielisyys kaikkea kavaluutta, epätodellisuutta ja teeskentelyä
vastaan. Kaikkein enimmän hän vihasi hengellistä ulkokullaisuutta,
tekopyhyyttä. Tässä suhteessa olivat hänen mielipiteensä vaativat ja
ankarat. Mutta hän ei niitä myöskään missään niin armottomassa
toteuttanut kuin omassa elämässään. Hän ei suinkaan ollut
sairaloiseen itsensäkoettelemiseen taipuvainen, mutta hän tutki
perusvaikuttimiaan tältä kannalta. Sopusoinnussa tämän piirteen
kanssa, joka muodosti hänen luonteensa pohjan, oli hänen
rakkautensa kaikkeen oikeaan".

"Ensimmäinen kysymys minkä hän aina johonkin uuteen
yritykseen nähden asetti, oli seuraava: 'Onko tämä oikein?' Mutta
molemmat nämä ominaisuudet, jotka aina ovat jokaisen jalon
luonteen pohjana, olivat hänessä jumalallisen armon läpitunkemia ja
kirkastamia. Mr. Moody oli vanhurskauteen nähden vaativaisempi
kuin useimmat muut, mutta hän ei milloinkaan epäillyt Jumalan
armon voimaa mitä puutteellisimman luonteen muuttamisessa: ja jos
hän löysi ihmisessä heikonkin halun tähän suuntaan, niin oli hänen
kärsivällisyytensä loppumaton. Sitäpaitsi oli Mr. Moody erinomaisen
rohkea, jalo ja itsensä kieltävä. Me emme ole kokoontuneet tänne
korottamaan Mr. Moodya lihan jälkeen. Epäilemättä teki Jumalan
armo tämän oppimattoman maalaispojan Uudesta Englannista siksi
mikä hän oli. Mutta laki leivisköiden jaossa on selvä: 'Kullekin hänen
kykynsä mukaan'."
"Dwight L. Moodyn voiman salaisuus oli viidenlainen. Ensinkin
riippui se hänen elävästä kokemuksestaan Kristuksen pelastavasta
armosta. Uusi syntyminen oli hänelle persoonallinen varmuus. Henki
todisti hänen henkensä kanssa, että hän oli Jumalan poika. Se
vapautti hänet maallisten kappalten himosta, kaiken ajallisen
suuruuden turhasta kunnioituksesta. Hän oli mitä nöyrin kristitty,
mutta hän ei tiennyt mitään jumalallista lapsioikeutta korkeampaa.
Toiseksi uskoi Mr. Moody pyhän raamatun jumalalliseen
auktoriteettiin. Raamattu oli hänelle Jumalan ääni, ja sellaisena antoi
hän sen kaikua ihmisten omiintuntoihin. Kolmanneksi oli hän Pyhällä
Hengellä kastettu ja tiesi sitä olevansa. Tämä kokemus oli hänelle
yhtä varma kuin hänen kääntymisensäkin, ja saarnatessaan hän
odotti, että Henki nuhtelisi kuulijoita heidän synneistään ja kääntäisi
heidät".

"Neljänneksi hän oli rukouksen, mies. Hän uskoi elävään ja
toimintavapaaseen Jumalaan. Hänen ei koskaan tullut mieleen luulla,
että Jumala olisi luonnonlaeilla sitonut kätensä. Hän piti uskon
ylenluonnollisiin luvallisena. Vuoret hänen ympärillään olivat hevosia
ja tulisia vaunuja täynnä. Ja viidenneksi luotti Mr. Moody työhön,
väsymättömään ahkeroimiseen, toimelijaaseen huolenpitoon ja
järjestetyn työskentelyn ja julkisuuden voimaan. Hän odotti että
ylenluonnollinen vaikuttaisi, mutta luonnollisen tietä. Hän valjasti
tähteen vaununsa, mutta piti pyörät aina maan päällä ja akselit hyvin
voideltuina".
H. G. Weston, Crozier Teological Seminaryn presidentti, esiintyi T:ri
Scofieldin jälestä. Hän lopetti kauniin muistopuheensa ystävälleen
sillä vakaalla väitteellä, että, jos Jeesus Kristus olisi syntynyt tänä
vuosisatana Mr. Moodyn mielellä ja ruumiilla, niin hän luuli, että hän
olisi menetellyt aivan niinkuin Mr. Moody menetteli. T:ri Weston
lausui m.m.:
"Yhtenä elämäni suurimmista siunauksista pidän minä
tuttavuuttani Mr. Moodyn kanssa, sitä vaikutusta, mikä hänellä
minuun nähden on ollut, ja etua saada hänen elämässään ja
työssään tutkia Jumalan teitä. Ne menestykset, joita kaikki ne
voittavat, joilla on erinomainen kyky kiinnittää toisia itseensä ja
vaikuttaa heihin, luemme me vaistomaisesti erinomaisen luonnollisen
lahjakkaisuuden, kasvatuksen ja kehityksen tai erinomaisen
viehättävän persoonallisuuden ansioksi. Mr. Moody ei omannut
mitään tästä kaikesta, ja sittenkään ei kukaan ole voittanut häntä
kyvyssä voittaa puoleensa ja vaikuttaa suureen enemmistöön ja
yksityisiin henkilöihin, varustetut lujalla luonteella, suurella
toimeenpanevalla kyvyllä ja laajoilla mahdollisuuksilla, jotka ihmiset
hän liitti itseensä rautakahleilla ja teki heidät ei ainoastaan

ystävikseen elinajaksi vaan myöskin pysyväisiksi auttajiksi
toiminnassaan kaiken hyvän palveluksessa. Tämä ihmeellinen voima,
jonka hän vähentymättömänä niin monen vuoden ajan aina
kuolemaansa saakka omasi, ei siis johtunut mistään Mr. Moodyn
erinomaisesta luonnollisesta lahjakkaisuudesta, koska hänellä sitä ei
ollut".
"Mitä hänellä oli? Hänellä oli elämä. Minä en tarkoita elämisen
ominaisuutta, vaan sitä, mitä raamattu tällä sanalla tarkoittaa — sitä,
mitä Kristus tarkoitti, kun hän selitti lihaan tulemisensa syyn, 'minä
tulin, että heillä elämä olisi ja yltäkyllä olisi'. Jumala vuodatti häneen
elämän, teki hänet jumalallisesta luonnosta osalliseksi; ja siitä
hetkestä, kun hän sen sai, tuli tämän elämän kehitys, kasvaminen ja
toisille ilmoittaminen hänen olemassaolonsa ainoaksi päämääräksi.
Sille pyhitti hän kaikki voimansa, ja tämä alttius herätti mitä
innokkaimpaan toimintaan kaiken hänen luontaisen tarmonsa ja teki
hänestä sen kaikinpuolin kokosydämmisen miehen, mitä hän oli, soi
hänelle hänen vaistomaisen arvostelukykynsä ja
tarkkatuntoisuutensa, hänen ihmeellisen valtansa toisten yli".
"Sitä lähinnä ravitsi ja vahvisti hän tätä elämää Jumalan sanan
harrastuksen kautta. Hän kunnioitti sitä aarteena, jonka kautta
hänen elämänsä voi rikastua. Hän käsitti täydessä merkityksessä
Kristuksen sanat: 'Ihminen ei elä ainoastaan leivästä, vaan jokaisesta
sanasta, joka Jumalan suusta lähtee'. Tämän sanan kätki hän
sydämmeensä, niinkuin jyvä kätketään maahan, jotta se itäisi ja
kasvaisi. Hän kätki sen sinne, käytettäväksi kaikissa tilaisuuksissa,
kun sitä vaan tarvittiin. Se oli hänelle suloisempi kuin hunaja. Hänen
mielensä ja sydämmensä löysivät iloa Jumalan sanan tutkimisesta".

"Mutta hänen elämänsä oli kuten Kristuksenkin elämä, elämää
toisten eteen. Hän ei tutkinut raamattua tietojaan kartuttaakseen,
vaan pelastaakseen ihmisiä synnistä. Hänen lähin päämääränsä,
hänen elämänsä väkevin vaikutin oli se, että jokainen omistaisi sen
elämän, josta hän itse oli tullut osalliseksi, sitä hänen saarnansa
tarkoittivat; hän piti kaikki raiskana, ellei hän tätä päämaalia
saavuttanut, ja sitä lähinnä tavoitti hän keinoja tämän elämän
kehittämiseksi ja hedelmälliseksi tekemiseksi".
"Nähdessään köyhiä poikia ja tyttöjä, joilta puuttui varoja
kasvatuksen hankkimiseen, hän ei suonut itselleen lepoa, ennenkuin
oli miettinyt jonkun keinon, jolla heidän elämänsä voitiin rikastuttaa
ja tehdä enemmän Jumalan tarkoitusperien kanssa sopusointuisaksi.
Hän täytti tämän kauniin tasangon rakennuksilla, jotta nuoret miehet
ja naiset saisivat tilaisuuden elämänsä kehittämiseen, ollakseen siten
kanssa-ihmisilleen hyödyksi. Hänen toimintansa oli Kristuksen
ihmetöiden kanssa sopusoinnussa, jotka eivät milloinkaan esinettään
maallisilla omaisuuksilla, rahoilla tai muilla tarpeilla rikastuttaneet,
vaan aina tuottivat voimaa elämään senkautta, että Hän teki
kuolleen silmän eläväksi, kosketti kuollutta kieltä, kuollutta korvaa,
kuolleita jäseniä, ja kaikkein korkeimmissa ihmetöissään tuotti
sanallaan kuolleille elämää".
"Tämä yhdenkaltaisuus Kristuksen kanssa, tämä hänen
ylösnousemisvoimansa tunteminen ja hänen kuolemansa kaltaisuus
oli syynä siihen, että, hänen puhuessaan, kaikki ihmiset luottivat
hänen täydelliseen rehellisyyteensä. Se oli syynä siihen, että ihmiset
kuuntelivat häntä ja uskoivat häntä sekä olivat hänen
vaikutusvaltansa alaisina, sekä suureen yleisöön että yksilöön
nähden. He eivät nähneet miestä, vaan totuuden, jota hän esitti.
Hänessä oli tuo omituinen itsekkäisyys, että hän alituisesti taisi

puhua itsestään kuitenkaan huomiota itseensä kääntämättä.
Kaikessa mitä hän teki, näkivät ihmiset totuuden sellaisena kuin se
Jeesuksessa ilmeni. Minä luulen, että jos Jeesus olisi syntynyt tänä
vuosisatana ja tässä kaupungissa, Mr. Moodyn ruumiilla ja mielellä,
niin olisi hän elänyt ja toiminut jotenkin niinkuin Mr. Moody teki".
"Ja senvuoksi, koska Mr. Moody omasta puolestaan taisi itseensä
sovittaa Kristuksen sanat: 'Minä tulin, että heillä elämä olisi ja
yltäkyllä olisi', koska nämä sanat ilmaisevat koko hänen olentonsa,
rakastin, kunnioitin ja pidin häntä arvossa, ja sen perusteella mitä
hän oli, ja siis myös mitä hän teki, sanon minä tänään, että olisin
mieluummin Mr. Moody ja makaisin kuolleena tuossa arkussa kuin
mikä muu elävä ihminen tahansa maan päällä".
T:ri Torrey piti vakavan puheen, kehoittaen läsnäolevia sekä Mr.
Moodyn ystäviä kaikkialla maailmassa "menemään eteenpäin". Hän
lausui:
"Useimmiten on pastorin tehtävä puhua lohdutuksen sanoja niille,
joiden sydämmet kaipauksesta kirvelevät ja ovat suuren surunsa
taakan alla pakahtumaisillaan, mutta sitä ei tänään lainkaan tarvita.
Kaiken lohdutuksen Jumala on jo runsaasti lohduttanut heitä sillä
lohdutuksella, jolla he tulevina päivinä voivat toisia lohduttaa. Minä
olen viime päivinä viettänyt useita tuntia yhdessä niiden kanssa,
jotka ovat kuollutta ystäväämme lähinnä, ja ne sanat, joita olen
kuullut heidän lausuvan, ovat olleet lepoa Jumalassa ja voittoa
todistavia sanoja. Eräs heistä on sanonut: 'Jumala varmaankin
vastaa niihin rukouksiin, joita puolestamme kautta maailman Hänen
puoleensa kohoo; me tunnemme ihmeellistä ylläpitävää voimaa'.
Eräs toinen on sanonut: 'Hänen neljä viimeistä ihanaa tuntiaan maan

päällä ovat kokonaan poisottaneet kuoleman odan'. Vieläkin kolmas:
'Katsokaa, että joka sana, mikä tänään lausutaan, on voiton sana'".
"Jumala on tätä hetkeä varten pannut kaksi ajatusta
sydämmelleni. Ensimmäinen löytyy Paavalin sanoissa 1 Kor. 15: 10:
'Jumalan armosta minä olen se, mikä minä olen'. Jumala on D. L.
Moodyssa ihmeellisesti kirkastanut armonsa ja rakkautensa. Hänen
syntymisensä kirkasti Jumalaa. Se poikanen, joka
kuusikymmentäkaksi vuotta sitten tuolla kunnaalla syntyi kaikkine
häneen kätkettyine mahdollisuuksineen, oli Jumalan lahja
maailmalle. Miten paljo tämä lahja sisälsikään! Kuinka paljon
siunausta ja kuinka paljon hyötyä maailma tämän lahjan kautta on
saanut, emme koskaan ennen Jeesuksen tuloa saa tietää. Jumalan
armo ilmestyi hänen kääntymisessään. Hän syntyi synnissä niinkuin
mekin, mutta Jumala teki hänestä kaitsemuksensa, sanansa ja Pyhän
Henkensä lunastavan voiman kautta sen voimallisen Jumalan
miehen, miksi hän tuli".
"Miten paljon tämä Boston-pojan kääntyminen neljäkymmentä
kolme vuotta sitten maailmalle merkitsi, ei kenkään ihminen voi
arvata; se oli kokonaan Jumalan armon työ. Jumalan rakkaus ja
armo kirkastui taasen sen luonteen kehityksessä, joka on tehnyt
hänet niin rakastetuksi ja kunnioitetuksi kaikissa maissa. Hänen
luonteessaan oli voima ja ihanuus, jonka vertaa vaan aniharvalla
ihmislapsella tavataan, mutta kaikki on Jumalalta. Jumalalle yksin
tulee kunnia siitä, että hän oli muista ihmisistä erinkaltainen".
"Toinen ajatus löytyy Joosuan kirj. 1: 2: 'Mooses, minun palvelijani
on kuollut; niin valmistaudu nyt menemään Jordanin poikki, sinä ja
kaikki kansa, siihen maahan, jonka minä olen heille antanut'. Mr.
Moodyn kuolema on meille kutsumus menemään eteenpäin.

Kutsumus hänen lapsilleen, hänen apulaisilleen, sananpalvelijoille
kautta maailman, koko uskovaisten seurakunnalle, 'Johtajamme on
kaatunut, jättäkäämme työskentely', lausuisivat muutamat. Ei
suinkaan! Kuule, mitä Jumala sanoo: 'Teidän johtajanne on kuollut,
menkää eteenpäin! Mooses, minun palvelijani, on kuollut;
valmistaudu nyt, mene ja ota maa haltuusi. Ole luja, äläkä pelkää!
Niinkuin minä olen ollut D. L. Moodyn kanssa, niin olen minä
sinunkin kanssas oleva. Minä en ole jättävä sinua, enkä koskaan
sinua hylkäävä'. Nämä ovat ne kehoitukset, joita meidän tänään
tulisi kuulla".
Piispa Willard F. Mallalieu, joka kuuluu metodisti-
episkopaalikirkkoon ja joka vuodesta 1875 oli tuntenut Mr. Moodyn,
lausui että hänessä yksi vuosisadan totisimmista, puhtaimmista,
rohkeimmista ja vaikuttavimmista miehistä on mennyt lepoon
palkkaansa niittämään. Piispa lausui:
"Lontoossa, kesällä 1875 tapasin minä ensi kerran ja tutustuin
siihen mieheen, jonka kuolemaa me nyt suremme. Siitä päivästä,
kun hän pani maailman pääkaupungin kansajoukot liikkeelle, aina
siihen hetkeen kun hän totteli Jumalan kutsua tulemaan
korkeammalle, olen minä tuntenut, kunnioittanut ja rakastanut
häntä. Aivan varmaan on maailma todeksi vakuuttava väitteemme,
että hänen kuolemansa kautta yksi vuosisatamme totisimpia,
puhtaimpia, rohkeimpia ja vaikuttavimpia miehiä on siirtynyt lepoon.
Sanomattoman kaipauksen ja tappion tunteilla kokoonnumme sen
arkun ympäri, joka kätkee kaiken sen, mikä Dwight L. Moodyssa oli
kuolevaa. Ja kuitenkin pitäisi meidän tuntea itsemme mahtavasti
kohotetuiksi ja elähytetyiksi, kun ajattelemme hänen luonnettaan ja
hänen vaikutustaan, sillä hän oli mies, joka aina katsoi eteenpäin

eikä koskaan taaksepäin, joka ei koskaan kadottanut rohkeuttaan
eikä koskaan epäillyt totuuden lopullista voittoa".
"Luita ja ytimiä myöden oli hän uus-englantilaisen perikuva; hän
polveutui oivallisimmasta Uuden Englannin suvusta; hän syntyi
uusenglantilaisesta äidistä, ja varhaisimmasta lapsuudesta oli hän
hengittänyt vapaata ilmaa kotiseutunsa kunnailla ja kasvatettu
Jumalan, arvossa pidettyjen esi-isäinmuistojen ja kunniakkaan
menneisyyden historian tuntemisessa. Voitiin odottaa, että hänestä
tulisi etevä kristitty, sillä hän pyhitti itsensä kokonaan ja
peruuttamattomasti Jumalan ja ihmiskunnan palvelukseen. Ei
yhdenkään Jeesuksen opetuslapsen sydän ole milloinkaan sykkinyt
todellisemmasta, osaaottavammasta ja itsensäkieltävämmästä
rakkaudesta, kuin poismenneen ystävämme suuri, jalo ja
rakastavainen sydän".
"Koska hän riippui raamatun ehdottomassa totuudessa, ja koska
hänellä oli sydämmellinen ja järkähtämätön usko siihen, että tämä
kirja sisälsi Jumalan virheettömän sanan, koska hän pikemmin
saarnasi evankeliumia kuin puhui evankeliumista, koska hän käytti
äidinkieltään, tuota kirkasta, selvää, sointuvaa ja suoraa
anglosaksilaista murretta; koska hänellä oli sydämmellinen osanotto
ja veljellisyys kaikkia köyhiä ja yhteiskunnan hylkyjä kohtaan, koska
hän oli niin todellisesti hellä ja kärsiväinen heikkoja ja synnillisiä
kohtaan; koska hän vihasi pahaa yhtä syvästi kuin hän hyvää rakasti,
koska hän tiesi, kuinka katuvia sieluja oli johdettava Vapahtajan luo;
koska hänellä oli tuo mainio kyky herättää kristittyjä heidän
velvollisuuksiensa tuntoon ja koska hän osasi kiihoittaa heitä
velvollisuuksiensa täytäntöön; koska hänellä omassa sielussaan oli
itsetietoinen, iloinen kokemus persoonallisesta pelastuksesta, —
kaikista näistä syistä kokoontui ihmisiä joukottain hänen

kokouksiinsa, kuunneltiin häntä mielellään, käännyttiin Kristuksen
puoleen hänen kauttaan, ja hän tuli kaikkien uskontokuntien
kunnioittamaksi, niin että koko protestanttinen maailma tänään
tunnustaa, että hän oli Jumalan palvelija, Kristuksen lähettiläs ja
totuudessa valittu ase kantamaan Jeesuksen nimeä kansojen
keskelle".
"Me emme enää saa nähdä tuota miehekästä, reipasta olentoa,
kuulla hänen valtavaa ääntänsä, emme saa tulla liikutetuiksi hänen
pyhitetystä olemuksestaan; mutta jos olemme Herraa kohtaan
uskolliset, niin saamme nähdä hänet kunniassa, sillä hän vaeltaa jo
taivaan kaupungin kaduilla, hänen äänensä yhtyy valkopukuisten
pyhien lukemattoman joukon kiitoslauluihin, hän näkee Kuninkaan
ihanuudessaan ja odottaa meidän tuloamme. Suokoon Jumala, että
kun aikamme on tullut, saisimme siellä ylhäällä hänet kohdata".
Näillä sanoilla päätti piispa Mallalieu sydämmellisen muistopuheensa
monivuotiselle ystävälleen.
Tri Pierson, Mr. Moodyn monivuotinen ystävä, viittasi neljään
merkilliseen kuolemantapaukseen muutamien viimeisten vuosien
kuluessa — C. H. Spurgeon Lontoossa, Adoniram J. Gordon
Bostonissa, Catherine Booth, pelastusarmeijan äiti sekä George
Müller Bristolissa; hän lisäsi, että Mr. Moodyn kuolema tuotti
tuntuvamman tappion kuin yhdenkään edellämainitun neljän
henkilön poislähtö. Mr. Moody oli suuri mies, sanoi hän, hänellä oli
hyvyyden suuruus. Kaikki, mitä hän otti tehdäkseen, onnistui. Puhuja
arvioitsi niiden luvun, joille Mr. Moody julkisen vaikutuksensa ajalla
oli puhunut, sadaksi miljoonaksi henkilöksi. Hänen kirjansa ovat
sitäpaitsi levinneet kautta maailman; hän on rakennuttanut pari
kymmenkunta rakennusta Europassa ja Amerikassa ja sitäpaitsi
kahdenkymmenen vuoden ajan johtanut suuria sivistyslaitoksiaan.

"Minulla on kolme lasta, ja elämäni hartain toivo on, että he
kääntyisivät", sanoi Mr. Moody eräässä saarnassaan 'taivaasta', "jotta
minä tietäisin, että heidän nimensä ovat elämän kirjassa. Kenties
tulen aikasin heiltä otetuksi pois; kenties täytyy minun jättää heidät
tänne vaihtelevaan maailmaan ilman isän huolenpitoa, mutta minä
tahtoisin, että minun lapseni kuoltuani sanoisivat minusta, tai jos he
kuolevat ennen minua, että veisivät sen sanoman Mestarille
mukanaan — että niin varhaisesta ajasta asti, kuin he muistavat,
olen minä koettanut johdattaa heitä Mestarin luo, paljon
mieluummin, kuin että he pystyttäisivät minulle pilviä tavoittelevan
hautapatsaan".
William Revell Moody nousi ja pyysi luvan saada lausua muutamia
sanoja. Se oli kuuliaisen pojan kiitollisuuden osotus rakkaan isän
muistolle. — Hän lausui:
"Poikana haluan minä lausua hänestä muutamia sanoja isänä. Me
olemme kuulleet hänestä hänen pastoreiltaan, työkumppaneiltaan ja
ystäviltään, ja hän oli yhtä uskollinen isänä, kuin hän oli suhteessaan
heihin. Minä en luule, että hän milloinkaan esiintyi todellisemmassa
valossa, kuin silloin kun hän, meidän vielä lapsina ollessamme,
lausuttuaan helposti kuohahtavalla luonteellaan muutamia jotenkin
ankaria sanoja, tuli luoksemme lausuen: 'Lapseni, poikani, tyttäreni,
minä pikastuin, minä tein väärin; anna minulle anteeksi'. Sellainen oli
D. L. Moody isänä".
"Hän ei tavotellut itselleen kuolemaa; hän rakasti työtään. Elämällä
oli häneen nähden suuri vetovoima; näyttää siltä kuin hänen tuona
varhaisena aamuhetkenä, jolloin hän seisoi toinen jalka kynnyksellä,
meidän tähtemme olisi suotu katsahtaa sinne, jotta hän voisi meille
lausua lohdutuksen sanan. Hän sanoi: 'Tämä on autuutta, tämä on

kuin hengellinen huumaustila. Jos tämä on kuolema, niin se on
ihana'. Hänen kasvonsa säteilivät mainitessaan niiden nimet, joita
hän näki. Me emme voineet kutsua häntä takaisin, me koetimme
hetken, mutta me emme voineet. Me kiitämme Jumalaa hänen
rehellisestä elämästään, hänen totisesta elämästään ja me kiitämme
Jumalaa siitä, että hän oli meidän isämme ja että hän johdatti
jokaisen lapsistaan Jeesuksen Kristuksen tuntemiseen. Isämme on
päässyt satamaan; Jumalalle kiitos, että hänen matkansa päämaalina
oli koti, ja että hän laski sinne täysillä purjeilla".
John Wanamaker Philadelphiasta lisäsi hänkin muutamia sanoja
todistukseksi hänestä, joka monta vuotta oli ollut hänen uskollinen
ystävänsä, ja sitten lauloi Mount Hermon kvartetti, jonka laulu
tavallisesti tuotti Mr. Moodylle niin suurta huvia, "The Hope of the
Coming of the Lord", uuden, Majuri Whittlen sepittämän laulun,
johon Mrs. Moody, hänen tyttärensä, oli pannut säveleen.
Julkisen jumalanpalveluksen loputtua kantoivat Mount Hermonin
oppilaat arkun "Round Top" nimiselle paikalle, Northfieldin
öljymäelle, sen pienen kunnaan harjalle, jossa monet parhaimmista
kokouksista vuosittain oli pidetty. Mr. Moody arveli, että Herra kenties
vielä hänen eläissään tulisi takaisin, ja hänen oli kuultu lausuvan,
ettei löytynyt mitään paikkaa maan päällä, jossa hän tuona tärkeänä
hetkenä niin mielellään olisi, kuin Round Top. Hänen kuoltuaan
muistettiin tämä lausunto, ja mikään muu paikka ei tullut
kysymykseenkään. Haudalla lauloivat läsnäolijat "Jeesus Lover of my
Soul", T:ri Torrey rukoili, ja T:ri Scofield luki siunauksen.
Kun ystävät olivat väistyneet, kokoontui perhe arkun ympäri.
Kantta kohotettiin, ja viimeinen silmäys luotiin puolison ja isän
kasvoihin. Kansi pantiin jälleen sijalleen, ja arkku kalliine sisältöineen

laskettiin koteloonsa yksinkertaisessa kiviholvissa. Tästä lepopaikasta
näkyy hänen synnyinkotinsa, vähän runsaammin kuin kivenheiton
päässä etelään; hänen oma kotinsa, jossa hän kaksikymmentäviisi
viimeistä vuotta oli asunut, näkyy lähes saman matkan päässä
länteen, muutamat seminaarirakennuksista minuutin matkan päässä
pohjoseen, kaksi viimeksi Mount Hermonin luona valmistunutta
rakennusta, kappeli ja Overton Hall, neljä penikulmaa sieltä,
esiintyvät tuon luonnonihanan Connecticutvirran laakson toisella
puolen. Pohjosessa, Brattleboron ympäristössä olevien kukkulain
välitse näkyy selvästi New Hampshiressa sijaitsevan Hinsdalen
piirteet esiinpistävästi kuvastuvan etäisyydessä.
Kokouksessa, minkä Mr. Moodyn ystävät illalla hautauksen
loputtua pitivät, päätettiin julaista tilastollinen tiedonanto niistä
laitoksista, joita hän oli perustanut. Nämä ovat: Northfield Seminary
ja Northfield Training School nuoria naisia varten, Mount Hermon
School nuoria miehiä varten sekä Raamattuopisto Chicagossa sekä
miehiä että naisia varten. Northfieldin laitokset käsittävät 1200
acresta maata ja kolmekymmentä rakennusta. Nykyisten rahastojen
kanssa lasketaan niiden arvo 1,250,000 dollariksi ja ne ovat
kokonaan velasta vapaat. Chicagossa nousee rakennusten, tonttien
ja rahastojen arvo enemmän kuin 250,000 dollariin. Northfieldin
kouluissa on yhteensä noin 900 oppilasta, jotka täysihoidosta ja
opetuksesta maksavat sata dollaria vuodessa; heidän vuotuinen
ylläpitonsa nousee todellisuudessa 200 dollariin. Chicagossa nousee
tarvittava summa lähes 150 dollariin jokaista kohti siellä olevista 300
oppilaasta.
Toisin sanoen, tarvitaan 125,000 dollaria sen vaikutuksen
ylläpitoon, jonka Mr. Moody aloitti tarkoituksella valmistaa
vähävaraisille nuorille miehille ja naisille mahdollisuus saada

kasvatus, mikä perusteellisesti varustaa heitä elämää varten
Kristuksen palveluksessa. Tämä summa hankittiin suureksi osaksi Mr.
Moodyn persoonallisten ponnistusten kautta. Tehtiin ehdotus, että
aloitettaisiin keräys "Moody Memorial Endowment"-rahaston
aikaansaamiseksi 3,000,000 dollarin pääomalla, mikä takaisi
vaikutuksen jatkon.
Seuraavat muistosanat lainaamme "The Ram's Horn" nimisestä
uskonnollisesta lehdestä:
"Jättiläistammi on kaatunut. Mutta vaikka Dwight L. Moodyn
kuolema kohtasi äkkinäisenä iskuna kumpaakin pallonpuoliskoa, niin
ei sitä sittenkään voi kutsua oudoksi tapahtumaksi. Ei mikään salama
Jumalan vihan purkauksena väärin käytetyn elämän johdosta
silponut tätä suurta puuta. Ei mato jäytänyt sen ydintä saattaen sille
ennenaikaisen tai odottamattoman lopun. Mr. Moodyn sairaus oli
lyhyt ja hänen kuolemansa kunnollinen. Se oli arvokas loppu
elämälle, täynnä ihmeellistä toimelijaisuutta ja ääretöntä merkitystä
hyvän menestykselle. Hänen eläissään koettivat muutamat ihmiset ja
jotkut sanomalehdet pilkata hänen oppimatonta puhettaan,
kömpelöä olentoaan ja yksinkertaista uskoaan, mutta nyt hänen
kuoltuaan, huomaamme hämmästyksellä, miten koko ihmiskunta
rientää 'kumartamaan' häntä. Ei ainoakaan hallitsija, valtiomies,
oppinut tai ihmisystävä, joka milloinkaan on elänyt, ole saanut
useampia ylistyspuheita haudallaan".
"Jos Mr. Moodya olisi maailman ihmettely miellyttänyt, niin olisi
niiden ylistysten, jotka hänen kuoltuansa lausuttiin, pitänyt
ilahuttaman häntä, kun hän meni kunniaan. Mutta me emme
milloinkaan ole kuulleet puhuttavan yhdestäkään yleisesti tunnetusta
henkilöstä, joka niin vähän kuin hän on välittänyt ihmisten

ylistyksestä tai moitteesta. Hän koetti vaan olla nuhteeton työntekijä
Jumalan silmissä, ja mennessään kunniaan, hän ei pysähtynyt
ihmisten ihmettelyhuutoja kuuntelemaan, vaan hän tarkkasi varmaan
mieluummin kuullakseen Mestarin 'hyvin tehty'".
"Mr. Moodyssa Jumala vielä kerran näytti, kuinka hän voi valita
maailmassa heikon ja ylenkatsotun saattaakseen väkevät häpeään.
Jos satamiehinen, etevimmistä kristillisistä johtajista kokoonpantu
komitea neljäkymmentä vuotta sitten olisi asetettu, jotta se etsisi läpi
maailman valitakseen nuoren miehen, jolla olisi parhaimmat
edellytykset suureksi evankelistaksi tulemiseen, niin luulemme, että
Dwight L. Moody melkein olisi ollut viimeinen poika, jonka he olisivat
valinneet. Ollen kömpelö, saamaton, oppimaton ja tunteeton, puuttui
häneltä mielikuvitus ja muut lahjat paitsi yhtä, jotka voisivat tehdä
hänestä suuren miehen, ja erittäinkin suuren evankelistan. Mutta
tämä ainoa lahja oli äärettömän arvoinen, kun se käytettiin Jumalan
palveluksessa".
"Hänellä oli kiivautta. Mutta hänen kiivautensa ei ollut sitä lajia,
joka vaahtoavan virran tavoin kuluttaa itsensä turhissa ja
mielettömissä yrityksissä. Sellainen on 'kiivautta, mutta ei taidon
jälkeen'. Hänen voimaansa voidaan paremmin verrata vesivirtaan,
jota käytetään vedenvoimaisessa louhimisessa. Kaukana yläpuolella
penikulmien päässä siitä paikasta, jossa vesi puristetaan kallioseinää
vastaan, ovat säiliöt sijoitettuina. Näiden väkevä paino on se, mikä
antaa virralle voimaa. Se mies, mikä johtaa putkea, on tärkeä
vaikutin, sillä hän taidolla ja kokeneesti suuntaa sen voiman, jonka
tieltä kaihot ja maa särkyy kuin lentohiekka. Mr. Moody asettui
Jumalan sanomattoman rakkausvaraston yhteyteen. Hän käsitti että
rakkaus sisältää enemmän särkemisvoimaa kuin kokonainen maailma
vettä, ja Jumala käytti hyväkseen hänen oikein ohjattua kiivauttaan

rakkautensa sanoman levittämiseen, sen kautta murtaakseen
ylpeyden, pintapuolisuuden ja tuon kylmän tekopyhyyden sekä
hävittääkseen raaemman pahuuden maailmassa
kokonaisuudessaan".
"Hän ohjasi evankeliumin rakkauden henkivirran ensin tätä
kaupunkia kohti. Kaupan muurit murtuivat, ja sen raunioille kohosi
yksinkertainen tabernakli, jonka täytti suuremmat ihmispaljoudet,
kuin mitä kokonaisena elinkautena Jerusalemin templiin tulvaili. Hän
suuntasi rakkauden virran Britannian graniittikallioita kohti, jossa
pappisvallalla vuosisatoja oli ollut luja ankkuripaikka. Muurit horjuivat
ja kaatuivat, ja niiden raunioista nousi Drummond, Stalker, Meyer ja
tuhansia muita, jotka uudestaan rakensivat uskonlinnoitukset ja
asettivat ne pyhitetyn sivistyksen vapaammalle pohjalle".
"Mr. Moody suuntasi senjälkeen rakkauden virran omaa
Natsaretiansa kohtaan, jossa olisi luullut profeetan omalla maallaan
tulevan ylenkatsotuksi. Tuota valistunutta Uutta Englantia kohti,
jossa on yliopistoja tuon tuostakin, mutta joka ei nuorelle Moodylle
ollut suonut edes yhtä kurssia kieliopissa, suuntasi tuo oppimaton
evankelista sen jälkeen kiivautensa".
"Minä olen kerran kuullut hänen puhuvan tuhannelle ylioppilaalle,
jotka Uuden Englannin kaikista osista olivat kokoontuneet Howardin
kokoussaliin. Hänen puheensa oli vielä oppimatonta. Ei mitään
hunajamakeita fraaseja, joihin nämä klassilliset kuulijat olivat
tottuneet, virtaillut hänen huuliltaan. Hänen sanojaan olisi kenties
ollut vaikea selvittää tai purkaa hänen lauseitaan, mutta me
tiesimme kaikki, mitä hän tarkoitti. Koko seurakunnassa ei huomattu
minkäänlaisia pidätettyjä naurunpurskauksia, mutta sen sijaan
nähtiin moni kyynel. Uudessa Englannissa hän osoitti kunnioitustaan

sivistystä kohtaan sillä, että hän Northfieldiin perusti kaksi koulua —
yhden naisia ja yhden miehiä varten, ja vastapalkaksi osoittaa Uusi
Englanti samoin kuin koko maailma, joka on tullut hänen
vaikutuksensa alaiseksi, kunnioitustaan häntä kohtaan elämällä
korkeampaa hengellistä ja itsensäkieltävää elämää. Hänen kulkunsa
on suuremmoinen todistus Jumalan olemassa olon todellisuudesta,
siitä että Kristuksen risti on mahtavin tuki maailmassa ihmiskunnan
nostamiseen ja helvetin kumoamiseen. Mitä Jumala Dwight L.
Moodyn kautta teki, sen tahtoo hän mielellään jokaisen kautta tehdä,
joka hänen tavallaan pyytää Jumalan voimaa ja osaa käyttää sitä".
Rev. J. Scofield, Mr. Moodyn pastori Northfieldissa, lausui hänestä:
"Syvä ja yleinen on se kaipauksen tunne, minkä Mr. Moodyn
kuolema maailmassa on herättänyt, mutta täällä Northfieldissa häntä
sittenkin enimmin kaivataan, syvimmin surraan. Ei vain senvuoksi,
että hän oli niiden jalojen laitoksien perustaja, jotka hän arvokkaana
muistomerkkinä on jättänyt jälkeensä ja jotka ovat kaupunkimme
merkillisyyksinä, ei myöskään senvuoksi, että juuri hänen tarmonsa
oli niiden suurten kesäkokousten alkuunpanija, jotka tekivät
Northfieldin niin laajalti tunnetuksi, vaan pikemmin sentähden, että
meidän Northfield-elämämme oli hänen voimakkaan
persoonallisuutensa täyttämää ja läpitunkemaa. Ei missään paikassa
ole Mr. Moodya niin ymmärretty kuin Northfieldissa. Vanhempi osa
asukkaistamme ovat hänen kasvukumppaniaan, ovat käyneet hänen
kanssaan koulua, leikkineet ja tehneet työtä yhdessä hänen
kanssaan. Niillä on joukottain muistoja hänen lapsuudestaan, ja
lukuisia todistuksia on siitä, että hän aikaisemmasta nuoruudestaan
oli sama väkevä henki, jonka maailma sittemmin oppi uudemman
ajan suurimpana kansanjohtajana tuntemaan. 'Hän on aina ollut

johtavana', sanoi Deacon Edward Barber, hänen entinen
leikkikumppaninsa ja persoonallinen ystävänsä koko elämän ajan".
"Mr. Moody oli läpeensä Uuden Englannin vuoristolaisen tyyppi.
Minne ikänä hän menikin, ja kuinka maailman suurten ympäröimänä
tahansa, hän ei koskaan kadottanut tätä oman arvonsa tietoisuutta
ja sitä selvää arvostelukykyä, mikä näille vanhoille vuoristolaisille on
omituista. Hän ei koskaan nähnyt maisemaa niin kaunista, että sitä
hänen mielestään voitiin Northfieldiin verrata".
"Oli hauska nähdä Mr. Moodya hänen niin kutsuttuina
lepoaikoinaan. Kuukausia kestäneen rasittavan työn jälestä suurten
kokousten johtamisessa, palasi hän tavallisesti Northfieldiin
'lepäämään'. Se tapahtui täten: kun hän oleskeli kodissaan, nousi
hän aina kello viisi, meni keittiöön saamaan kupin kahvia ja pyysi
sitten ajopelejään. Kuuden aikaan tapasi hänet useimmiten
maitotyttöjen joukosta Mount Hermonissa tai keittiöstä, jossa
opiskelevien aamiaista parhaillaan valmistettiin. Jos jokin erityinen
työ oli tekeillä, ei hän laiminlyönyt tarkastella sitä, syventyä sen
erikoiskohtiin, ja jaella sattuvia käytännöllisiä neuvoja. Kello
kahdeksan oli hän jälleen Northfieldissa ja söi perheensä seurassa
aamiaista. Kokonaisia viikkoja jälekkäin tapasi hän puhua nuorille
tytöille seminaarissa kello yhdeksän, sitten tarkastella laajan postinsa
ja päättää aamupäivä ajamalla uudelleen Mount Hermoniin ja
puhumalla siellä pojille kello yksitoista".
"Millaista hänen työnsä suurten kokousten aikana oli, kuinka
terävä, tarkka ja vaikuttava hän oli, on jokaiselle tuttua. Me
tiesimme, että hän liiaksi rasitti itseään, mutta hän hymyili leppeästi
meidän varoituksillemme ja jatkoi entiseen tapaansa. Epäilemättä oli
Dwight L. Moody yksi noita omituisia ja alkuperäisiä ihmisiä, jotka

ovat niin suuren mallin jälkeen luodut, että koko maailma heidät
oikeudella omistaa, mutta me Northfieldiläiset tunsimme hänet niin,
kuin ei ikänä maailma ole häntä tuntenut, ja suremme häntä niin,
kuin ei ikänä maailma voi häntä surra".

NELJÄSKOLMATTA LUKU.
Muistojumalanpalveluksia Mr. Moodylle.
Eräässä suuressa kokouksessa, mikä pidettiin Philadelphian
Templissä, jossa pastori Russell H. Conwell toimii johtajana, avasi
piispa Cyrus D. Foss kokouksen ja piti lyhyen rukouksen jälestä näin
kuuluvan puheen:
"Me emme ole kokoontuneet tänne tänä iltana sankarin kiitosta
korottamaan tai hänen mainettaan pasunoimaan. Jumala ja enkelit
pitävät siitä seikasta huolta, sillä jos taivaassa on ilo yhdestä
syntisestä, joka tekee parannuksen, minkälaisen tervehdyksen sitte
rakas ystävämme saikaan, hän joka epäilemättä on saarnannut
evankeliumia monelle miljoonalle ihmiselle ja ollut Jumalan aseena
saattamaan monia tuhansia ristin juurelle! Mikä enkelein ja pyhäin
laulu, mikä kultaharppujen yhteissoitto mahtoikaan taivaassa kaikua,
kun hän tuli sinne! Me olemme itse tähtemme täällä; me emme ole
täällä hänen tähtensä, vaan noutaaksemme uutta voimaa
ajatellessamme, mitä hän Jumalan armon ja niiden lahjain kautta,
joita Jumala hänelle luonnosta oli suonut, oli ja on. Epäilemättä on
hyvä, että kristityltä eri tunnuskunnista kirkollisiin käsityksiinsä

katsomatta on tänne kokoontunut puhumaan tästä rakastetusta
ystävästä, tästä ihmeellisestä miehestä, joka kuului kaikille kirkoille
— vieläpä, joka oli kristikunnan Atlantin kummallakin puolen
yhteinen omaisuus".
"Mitä hän oli? Toiset tulevat tänä iltana lausumaan muutamia
sanoja tämän kysymyksen vastaukseksi; minun täytyy puhua
lyhyesti, kun minä täten aloitan kokouksen. Minä toivon voivani
neljässä minuutissa lausua neljä seikkaa, jotka ovat sydämmelläni.
Ensinkin, hän oli suuri ihmisen esikuva. Kun Jumalalla on jokin suuri
työ tehtävänä, herättää hän siihen erityiset välikappaleet. Ja
toisinaan on näissä malli-ihmisissä, jotka saavat enimmän aikaan,
vikoja — minä otaksun että kaikissa ihmisissä on vikoja — mutta
näiden ihmisten viat tulevat silmiinpistävämmiksi heidän suuruutensa
tähden, Lutherilla oli vikansa, Wilhelm hiljaisella ja Cromwellilla
omansa. Meidän ystävällä oli mahdollisesti myös vikansa — minä en
niitä tunne — mutta Jumala loi hänet suuren mallin mukaan, soi
hänelle suuren luonteen, ja minun täytyy otaksua, että hän, joka
epäilemättä on saarnannut evankeliumia useammalle ihmiselle kuin
yksikään toinen minä aikana tahansa elänyt mies, (minä pyydän teitä
kiinnittämään huomionne tähän väitteesen, sillä minä luulen sen
olevan oikean) että hän olisi voinut suorittaa minkä muun tahansa
kahdestakymmenestä muusta suuresta tehtävästä. Jos hänen
osakseen olisi tullut, ja hänen kehityksensä olisi häntä siihen
valmistanut, olisi hän voinut tulla suureksi kenraaliksi kuten
Wellington tai Grant; hän olisi voinut olla suuri puhuja
edustajahuoneessa. Hänen olisi ollut mahdollinen suorittaa mikä
tahansa kahdestakymmenestä suuresta tehtävästä, jos Jumalan
neuvopäätös olisi sen hänen eteensä asettanut".

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookultra.com

Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules 1st Edition Konstantin V. Kazakov

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Quantum Theory of Anharmonic Effects in Molecules 1st Edition Konstantin V. Kazakov

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78