Régimen transitorio en circuitos Electricos

Para el conocimiento del estudiante Universitario para el estudio de circuitos eléctricos , partes de la tarea de aprendizaje.

1. 1
Abstract— When a circuit is passed from one condition to
another, either by a change in the applied voltage or by a
modification of one of its elements, a transition period occurs,
during which the currents in the branches and falls The tension
of the elements varies from their initial values to new ones.
After this transition period, called the transitory regime, the
circuit goes to the state or permanent regime.


Key words- Alternating current



Resumen— Cuando se hace pasar a un circuito de una
condición a otra, sea por un cambio en la tensión aplicada o por una
modificación de uno de sus elementos, se produce un periodo de
transición, durante el cual, las corrientes en las ramas y las caídas
de tensión en los elementos varían desde sus valores iniciales hasta
otros nuevos. Transcurrido este periodo de transición, llamado
régimen transitorio, el circuito pasa al estado o régimen
permanente.

Palabras Claves— Corriente alterna,

I. INTRODUCCIÓN

plicando la segunda ley de Kirchhoff a un circuito que
contenga elementos que almacenen energía resulta
una ecuación diferente que se resuelve por los
métodos conocidos. La solución esta formada por dos partes:
la solución de la ecuación homogénea o función
complementaria y una solución particular de la ecuación
completa. En el sistema de ecuaciones de análisis de
circuitos, la función complementaria tiende a cero en un
tiempo relativamente corto es la parte transitoria de la
solución, la solución particular es la respuesta en el régimen
permanente, que hemos estudiado en los capítulos
anteriores. Los métodos aplicador por los cuales se obtienen
la solución particular son generalmente, largos y engorrosos
y nunca tan directos como los ya utilizados. Sin embargo, la
aplicación de dichos métodos permite profundizar en el
sentido físico de las respuestas en régimen permanente como
parte de la respuesta completa.
II. METODOLOGIA

El estudio que se realiza en esta investigación es de tipo
descriptivo-correlacional. La investigación es de tipo
descriptivo, ya que analiza el comportamiento que
experimenta el rendimiento académico de un grupo de
estudiantes como herramienta metodológica en el análisis de
circuitos eléctricos, tomando como indicador el promedio
del rendimiento académico de los estudiantes. Es importante
indicar que el promedio del rendimiento académico de los
estudiantes es analizado en dos grupos, antes. La
investigación es de tipo correlacional, ya que analiza la
incidencia que tiene la aplicación en el rendimiento
académico de los estudiantes del quinto semestre de la
carrera de Ingeniería Eléctrica, en el análisis de circuitos
eléctricos II.
III. DESARROLLO

1. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CORRIENTE
CONTINUA

a. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RL

El circuito serie RL de la fig. 1 al cerrar el interruptor se
le aplica una tensión constante V. la segunda ley de
Kirchhoff conduce a la ecuación diferencial.


Fig. 1 Circuito RL

??????
??????+??????
�??????
��
=??????
( 1)

Utilizando la notación del operador �=
�
�??????
y despejando
??????
??????
se tiene

(�+
??????
??????
)??????=
??????
??????

( 2)

La ecuación ( 2) es una ecuación diferencial lineal de
primer grado.
RÉGIMEN TRANSITORIO EN
CIRCUITO
Autor 1: TORRES PALOMINO JOE R.,
Universidad Técnica “Luis Varga Torres”- Facultad de Ingenierías (FACI)
Pertenecientes al 5to Ciclo en la carrera de Ingeniería Eléctrica - Paralelo B
[email protected]
A

2. 2
��
��
−��=?????? � �??????�� (�−�)�=??????
( 3)

Siendo �=
�
�??????
, a una constante y R una función de x,
pero no de y. la solución complementaria de ( 3) está
formada por la función complementaria y la solución
particular , y es.

�=�
�+�
??????=��
????????????
+��
????????????
∫�
−????????????
?????? ��
( 4)

En donde c es una constante arbitraria determinada por las
condiciones iniciales del problema. Según ( 4) la solución de
( 2) es.

??????=��
−(
??????
??????
)??????
+��
−(
??????
??????
)??????
∫�
(
??????
??????
)??????
(
??????
??????
)��= ��
−(
??????
??????
)??????
+
??????
??????

( 5)

La potencia instantánea en cualquier elemento del circuito
viene dada por el producto de la tensión y la corriente. Así,
la potencia disipada en la resistencia es:

??????
??????
=??????
????????????
=??????(1−�
−(
??????
??????
)??????
)
??????
??????
(1− �
−(
??????
??????
)??????
)
=
??????
2
??????
(1−2�
−(
??????
??????
)??????
+�
−2(
??????
??????
)??????
)
( 6)

Y en la bobina

??????
??????
=??????
????????????
=??????(�
−(
??????
??????
)??????
)
??????
??????
(1− �
−(
??????
??????
)??????
)
=
??????
2
??????
(�
−(
??????
??????
)??????
+�
−2(
??????
??????
)??????
)
( 7)

Por tanto, la potencia total es

??????
??????
=??????
??????
+ ??????
??????
=
??????
2
??????
(1−�
−(
??????
??????
)??????
)
( 8)

b. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RC

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito RC de
la Fig. 2 resulta la ecuación diferencial siguiente:


Fig. 2 Circuito RC
1
�
∫?????? ��+????????????=??????
( 9)

y derivando,

??????
�
+??????
�??????
��
=0 � �??????�� (�+
1
??????�
)??????=0
( 10)

La solución de esta ecuación homogénea solo contiene la
función complementaria ya que la solución particular es
cero. Por tanto,

??????=��
−
??????
????????????
( 11)

Para determinar la corriente, obsérvese que la ecuación
(9) para �=0 es ????????????
0=?????? o bien, ??????
0=
??????
??????
. Sustituyendo el
valor de ??????
0 en ( 11) se obtiene �=??????/?????? para �=0 entonces,

??????=
??????
??????
�
−??????/????????????

( 12)

La ecuación (11) tiene la forma de una caída exponencial,
las correspondientes tensiones transistores son.

??????
??????
=????????????=??????�
−
??????
???????????? � ??????
??????
=
1
�
∫??????��=??????(1−�
−
??????
????????????
( 13)

Se representan las ecuaciones en la fig. 3 (b). Obsérvese
que ??????
??????+??????�=0 satisface a la ley de Kirchhoff ya que no
hay ninguna tensión aplicada con el interruptor en la
posición 2. Las potencias transitorias;

3. 3

Fig. 3 Grafica Funcional

??????
??????
=??????
??????
??????=
??????
2
??????
�
−2??????/????????????
� ??????
??????
= ??????
??????
??????=−
??????
2
??????
�
−2??????/????????????

(14)


c. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS (RC)
REFERIDO A LA CARGA

En un circuito serie RC es conveniente, con frecuencia,
conocer la ecuación que representa la carga transitoria q,
Encantes, puesto que la intensidad de corriente y la carga
eléctrica están relacionadas por ??????=��/��; se puede obtener
dicha intensidad por simple derivación respecto del tiempo.


Fig. 4 circuito con una Carga Capacitiva
En la Fig. 4. Se ha cargado el condensador con la
polaridad que se indica ya que q tiene el mismo sentido que
i en la Fig. 4. La ecuación referida a la intensidad de
corriente es.

1
�
∫?????? ��+ ??????
??????
=??????
(15)

Y puede escribirse en la carga sustituyendo i por dq/dt.
Por tanto,

�
�
+??????
��
��
=?????? � �??????�� (�+
1
??????�
)�=
??????
??????

(16)

Utilizando el método seguido en la deducción de la
ecuación (5), la solución es

�=��
−??????/????????????
+�?????? (17)

Para t = 0, la carga inicial del condensador es �
0=0 y

�
0=0=�(1)+�?????? � �??????�� �=−�?????? (18)

Llevando a (17) este valor de c se obtiene

�=�??????(1−�
−
??????
????????????)
(18)

La carga en régimen transitorio es una exponencial
creciente hasta un valor final CV. Entonces, si se analiza un
circuito con cargas, tomando como base la carga, el
resultado es un decrecimiento de la carga desde el valor CV
como representa la ecuación.

�=�??????(�
−
??????
????????????)

(18)

d. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RLC

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito serie
RLC de la Fig. 5, se obtiene la siguiente ecuación integro
diferencial.


Fig. 5 circuito RLC
??????
??????+??????
�??????
��
+
1
�
∫??????��=??????

(19)
Derivando de obtiene

??????
�
2
??????
��
2
+??????
�??????
��
+
??????
�
=0 � �??????�� (�
2
+
??????
??????
�+
1
??????�
)??????=0

(20)
Que es una ecuación diferencial lineal de segundo grado
y homogénea cuya solución particular es cero.

La función complementaria puede ser de tres tipos según
los valores de R, L y C. los coeficientes de la ecuación
característica �
2
+(
??????
??????
)�+
1
????????????
=0 son constantes y las
raíces son.

�
1
=
−
??????
??????
+
√
(
??????
??????
)
2
−
4
??????�
2
� �
2
=
−
??????
??????
−
√
(
??????
??????
)
2
−
4
??????�
2


(21)
Haciendo �= −??????/2?????? y �=√(
??????
2??????
)2−
1
????????????

4. 4
�
1
=�+ � � �
2
= �− �

(22)
El sub radial �, puede ser positivo, cero o negativo y la
solución es, entonces, amortiguada, supercrítica, critica y subcrítica
(oscilatoria) respectivamente.




2. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CORRIEN T E
ALTERNA

a. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RC
CON ALIMENTACIÓN SENOIDAL

En el circuito serie RC de la Fig. 6, al cerrar el interruptor
se tiene aplicada una tensión senoidal. la segunda ley de
Kirchhoff conduce a la ecuación.


Fig. 6 circuito serie RC - CA.

??????
??????+
1
�
∫??????��=??????
?????????????????? ��� (??????�+??????)
(23)

La función complementaria es ??????
�
=��
−??????/????????????
, y la solución
particular, obtenida por integración o por coeficientes
independientes es.

??????
??????
=
??????
??????????????????
√
??????
2
+(
1
??????�
)
2
��� (??????�+??????+��� ���??????
1
??????�??????
)
(24)


Por tanto, la solución completa es,


??????
??????=��
−??????/????????????
??????
??????????????????
√??????
2
+(
1
??????�
)
2
��� (??????�+??????+��� ���??????
1
??????�??????
) (25)

Para determinar la constante c hagamos �=0 en la
ecuación (23); la corriente inicial es, entonces,
??????
0
=
??????
??????????????????
??????
��� ?????? , sustituyendo en (25) y haciendo �=0 resulta.

�=
??????
??????????????????
??????
��� ??????−
??????
���
√??????
2
+(
1
??????�
)
2
��� (??????�+??????+��� ���??????
1
??????�??????
) (26)


b. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RLC
CON ALIMENTACIÓN SENOIDAL

Al cerrar el interruptor en el circuito serie RLC de la Fig.
7. se aplica tensión senoidal. la ecuación resultante es


Fig. 7. circuito serie RLC - CA.

??????
??????+??????
�??????
��
+
1
�
∫??????��=??????
?????????????????? ��� (??????�+??????)
(27)

Derivando y teniendo en cuenta la notación operacional
resulta.

(�
2
+
??????
??????
� +
1
??????�
)??????=
????????????
??????????????????
??????
��� (??????�+??????)
(28)

La solución particular se obtiene por el método de los
coeficientes en la forma siguiente. Suponemos ??????
??????
=
�cos (??????�+??????)+� ��� (??????�+??????). Se calcula después ??????
??????
′
e ??????
??????
′′
y
se sustituyen en la ecuación (27). Los valores de A y B se
determinan entonces igualando los coeficientes de los términos
semejantes. Expresando el resultado como función de uno solo
seno, la solución particular es

??????
??????=
??????
??????????????????
√??????
2
+(
1
??????�
−????????????)
2
��� (??????�+??????+��� �??????
(
1
??????�
−????????????)
??????
)
(29)


c. RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE DOS
MALLAS

Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito de dos mallas de la
Fig. 8. Conduce al sistema de ecuaciones diferenciales;


Fig. 7. circuito serie RLC - CA.
??????
1??????
1+??????
1
�??????
1
��
+??????
1??????
2=??????

(30)

5. 5
??????
1??????
1+??????
2
�??????
2
��
+(??????
1+??????
2)??????
2=??????

Utilizando la notación operacional y agrupando términos
se tiene

(�+
??????
1
??????
1
)??????
1
+(
??????
1
??????
1
)??????
2
=
??????
??????
1


(
??????
1
??????
2
)??????
2+(�+
??????
1+??????
2
??????
2
)??????
2=
??????
??????
2
�

[


�+
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
2
�+
??????
1+??????
2
??????
2
]



[
??????
1
??????
2
]=
[



??????
??????
1
??????
??????
2
]




(31)

Con objeto de obtener una ecuación de ??????
1
independiente
de ??????
2
, resolvemos el sistema por la regla de Cramer.


[


�+
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
2
�+
??????
1+??????
2
??????
2
]



??????
1=
[



??????
??????
1
??????
1
??????
1
??????
??????
2
�+
??????
1+??????
2
??????
2
]




(32)


El determinante del primer miembro se desarrolla y
ordena según las potencias decrecientes de D. en el
desarrollo del determinante del segundo miembro aparece el
termino �(
??????
??????
1
); ahora bien, como �=
�
�??????
�
??????
??????
1
, es
constante, dicho termino es cero.


[�
2
+(
??????
1??????
1+??????
2??????
1+??????
1??????
2
??????
1??????
2
)�+
??????
1??????
2
??????
1??????
2
]??????
1=
????????????
2
??????
1??????
2

(33)

Aplicando ahora los mismos métodos a ??????
2 resulta:

[


�+
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
1
??????
2
�+
??????
1+??????
2
??????
2
]



??????
2=
[


�+
??????
1
??????
1
??????
??????
1
??????
1
??????
2
??????
??????
2
]




(34)

Después de desarrollar los dos determinantes se tiene

[�
2
+(
??????
1??????
1+??????
2??????
1+??????
1??????
2
??????
1??????
2
)�+
??????
1??????
2
??????
1??????
2
]??????
2=0
(35)

IV. REFERENCIAS

[1] Circuitos Electricos - Schaum, pg. 230, .