Raíz cuadrada por distintos métodos

Los usos de la raíz cuadrada son presentados en la mayoría de los niveles y
contenidos educativos. También son variados los métodos por los que se puede obtener su resultado. En este trabajo se deja de lado el método aritmético común y
se presentan cuatro potenciales para su inserción en educación básica a superior
transitando por la geometría al uso de la Tecnología Educativa.

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RAÍZ CUADRADA POR DISTINTOS MÉTODOS
SQUARE ROOT BY VARIOUS METHODS

VÍCTOR ALFONSO LÓPEZ ALCARAZ
1

Resumen
Los usos de la raíz cuadrada son presentados en la mayoría de los niveles y
contenidos educativos. También son variados los métodos por los que se puede
obtener su resultado. En este trabajo se deja de lado el método aritmético común y
se presentan cuatro potenciales para su inserción en educación básica a superior
transitando por la geometría al uso de la Tecnología Educativa.
Palabras clave: Raíz cuadrada, Método, Geometría, Pitágoras, Euclides,
Tecnología.

Abstract
The uses of the square root are presented in most levels and educational content.
Are also various methods by which you can get your result. This paper ignores the
common arithmetic method and presents four potential for insertion in basic
education to higher geometry transiting the use of Educational Technology.
Keywords: square root, Method, Geometry, Pythagoras, Euclid, Technology.

El empleo de la raíz cuadrada a través de diversos métodos pretende que los
estudiantes se convenzan de la diversidad de caminos que llevan a una misma
solución, que la raíz cuadrada no es una operación compleja y que sus
interpretaciones pueden favorecer problemas enriquecedores de secuencias
didácticas.

1
Víctor Alfonso López Alcaraz es Profesor-Investigador y miembro académico de CASIO Education
México. Cuenta con estudios profesionales en Matemática Educativa y es Mtro. en Pedagogía.
Ciudad de México. [email protected] Para referenciar el documento: LOPEZ. V. (2012).
Raíz cuadrada por distintos métodos. México: CASIO Computer Co., LTD.

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La raíz cuadrada ha sido mostrada y calculada desde épocas antiguas como lo
demuestran tablillas (1800 a. C.) pertenecientes a la cultura mesopotámica en las
que se señala la instrucción del cálculo por estimación. La interpretación de la raíz
cuadrada es variada como multiforme desde entonces. Es así que es este artículo
se presentan métodos diversos para la obtención de la raíz cuadrada y se ofrecen
estrategias de inserción al aula de clases.
Para comenzar es necesario aclarar que lejos de que existan cuatro operaciones
básicas (del dominio popular), en realidad existen dos: la suma y la multiplicación.
Si se sabe sumar se sabe restar, si se sabe multiplicar se sabe dividir, si se sabe
que 4 + 3 = 7 se conocerá también que 7 – 3 = 4. A este proceso se denomina
operación inversa, pero si se sabe elevar al cuadro, ¿se sabrá calcular la raíz
cuadra como operación inversa? El proceso puede ser más complejo e
interpretativo.
El tema no ha quedado fuera de la educación en México, ya desde educación
primaria se esbozan las aproximaciones al cálculo de la raíz, pero es oficialmente
en secundaria cuando el tema es contemplado en los Planes y Programas de
manera Oficial, como se muestra a continuación:






El contenido mantiene su presencia durante la educación secundaria con
connotaciones geométricas, funcionales y estadísticas graduando su complejidad
en educación media y superior. Es necesario presentar el cálculo y métodos
asociados a la raíz cuadrada como amigable al estudiante con ello se evitará
infundados temores e ideas erradas que rayan en creer que no tiene utilidad
alguna. Para lograrlo presentaré (utilizando tecnología) diversos métodos y
algunas demostraciones, otras más son en sí mismas actividades propuestas.

Grado 1

Aprendizajes esperados

• Resuelve problemas que impliquen el
cálculo de la raíz cuadrada y potencias de
números naturales y decimales.
Bloque V

Eje Sentido numérico
y pensamiento
algebraico (problemas
multiplicativos).

Resolución de problemas que impliquen el
cálculo de la raíz cuadrada (diferentes
métodos) y la potencia de exponente natural
de números naturales y decimales.

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1. Método de aproximación
Este método es atribuido a todo aquel que haya tenido la necesidad de obtener
una raíz cuadrada, se trata aproximar “tantear” tanto como sea posible un número
tal que al elevarlo al cuadrado sea el valor en cuestión. No obstante, uno de los
mejores tantos registrados es el atribuido a Herón de Alejandría (100 d. C.), el cual
se desarrolla como sigue:
Para obtener la raíz cuadra de n, considérese lo siguiente,
Notación matemática Explicación Ejemplo
Téngase

{ | √ }


La raíz cuadrada de n
se encuentre entre nos
números enteros
consecutivos


Sea n = 30

√







{ |



}



Obténgase un número p
racional positivo que se
encuentre entre los
números enteros
consecutivos











Obténgase un número q
que multiplicado con p
sea n.







(


)(


)

Entonces

√ ̅ { }

La raíz cuadrada de n
es aproximadamente la
media aritmética de p y
q.

√
(


) (


)







̅̅̅̅

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De acuerdo con el método, al iterar el proceso tendremos un resultado cada vez
más cercano al valor de la raíz cuadrad de 30. Veamos el resultado que ofrece la
calculadora.


Problemas propuestos: Obtenga la raíz cuadrada aproximada hasta cuatro
decimales de los números 101, 202 y 303.
2. Método geométrico
Para este método es conveniente partir de uno de los problemas clásicos de la
geometría griega, la duplicación del cubo que para fines del tema será la
duplicación de cuadrado, posteriormente se presenta el método geométrico
propuesto por Euclides, matemático griego, el cual denominó como la obtención
de la media proporcional.
a) Duplicación del área
Téngase el cuadrado ABCD





El cuadrado BDEF es el doble que
el cuadrado ABCD, el cuadrado
DFGH es cuatro veces el cuadro
ADBC.
En educación una manera natural de
introducir el concepto número irracional es a
través de la duplicación de un cuadrado.

Ejemplo:

Sea AB = 1 , entonces el área de ABCD es 1
u
2


¿Cuánto debe medir el lado del cuadro con
doble de área?

La respuesta natural es 2 (valor de DG), pero
2
2
= 4, es decir cuadriplica el área del
cuadrado original, es aquí donde comienza un
esfuerzo aproximativo entre un valor
comprendido entre el 1 y 2.

La intención final es reconocer a la diagonal
del cuadrado original como el valor exacto del
lado del cuadrado con doble de área.

BD = √ , ya que √ √ ) = 2.

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b) Media proporcional (raíz cuadrada geométrica).
En los Elementos de Euclides puede leerse el tema media proporcional, el cual es
un cálculo asociado a la raíz cuadrada, el proceso de obtención de la raíz por este
método es sencillo y de gran potencial para lograr que estudiantes de secundaria
comiencen en camino de la demostración.




Dados dos segmentos BD y DC,
AD es la raíz cuadrada del
producto de los segmentos.
̅̅̅̅ √ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

TRAZO
 BD y DC se colocan de
manera colineal
 Se obtiene E, punto medio
de BC y se traza la
circunferencia con radio
BE.
 Se traza la perpendicular
por D, sea A la intersección
con la circunferencia.
 El triángulo ABC es
rectángulo (propiedad
conocida).

Demostración

Tesis ̅̅̅̅ √ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Hipótesis

1. Del ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅


2. Del ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅


3. Del ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅


Sustituyendo 1 y 2 en 3

̅̅̅̅

[ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

] [ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

]

4. ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅


Por otra parte
5. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
6. ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

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Igualando 4 y 6
̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅



̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅



̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

√ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
LQQD
Conocido también como teorema de la altura
EJEMPLO
Obtener la raíz cuadrada de 24

a) Descomponer al 24 en par de factores

36 = (2)(18), (4)(9), (12)(3), (36)(1),
(6)(6)
b) Elijase una pareja, para el ejemplo
(4)(9)
c) Sea AC = 4 y CB = 9
d) D es punto medio de AB
e) Trazar la circunferencia con centro en D
y radio AB
f) Trazar la perpendicular por C y sea E la
intercesión con la circunferencia
g) EC es raíz cuadrada de 36


3. Raíz mediante extracción de factores
La radicación es la operación inversa de la potenciación, tal que a
n
= b entonces la
operación inversa por la que se obtiene a solo conocido b y n es

f : a
n
=b f
--1
: a = √


Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-
ésima es igual a b, Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real

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Obténgase la raíz cuadrada de 50
√ Explicación






Factorizar la base

50 = (5
2
)(2)

50
25 2
5 5
1 5

√ √


Sustitución
(√

) (√ )

Por propiedad de radicales
5 √ Por extracción de factores

4. Método funcional
El cuarto método a presentar es el funcional en el que se entiende a la raíz como
solución de una ecuación. Si se cuenta con graficadores como la ClassPad de
CASIO, el proceso es aún más evidente para los estudiantes.
Obténgase la raíz cuadrad de 20.
1. Transformar la expresión en la forma f(x) = x
2
- 20
2. Siga las siguientes ventanas.

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Problemas propuestos: Obténgase la raíz cuadrada de 8, -10 y 60.

Un dato curioso
√ =
(


)

√ =
(


)



Problemas propuestos: Obténgase la raíz cuadrada de ½ y 2.5

CONCLUSIONES

Tanto profesores como especialistas en matemática educativa buscan temas que
despierten el interés y descubrimiento de la ciencia, es así que tratar un tema
sencillo como la raíz cuadrada a través de distintos métodos ofrece un pequeño
alto en la indagatoria. Queda aún la necesidad de analizar las interpretaciones que
los alumnos dan a la raíz cuadrada, entender la existencia de dos resultados para
cada raíz y trasladar este cálculo a una forma más de las operaciones básicas ya
que sí la utilizamos en variedad de contextos.
Los métodos de tanteo, geométricos, radicales y funcionales aquí presentados son
motivo para que profesores de educación primaria, secundaria, media superior y

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superior los incluyan al interior de sus secuencias didácticas de manera que los
alumnos participen en la heurística de este cálculo, comiencen el proceso de
argumentación formal y con seguridad asuman la tarea de descubrir y documentar
nuevos métodos de cálculo.
Esta necesidad de que los alumnos se deshagan de algoritmos y busquen
estrategias propias o demostradas para el aprendizaje de las matemáticas es ya
un tema oficial, dentro de las reformas de educación básica y media superior se
plantea como competencia matemática el manejo eficiente de técnicas el cual es
propiamente la línea de trabajo aquí presentada y su vínculo con el uso didáctico
de las TIC´s.
Finalmente queda al lector aplicar los métodos propuestos a otros casos y
ejemplos que nutran el conocimiento sobre el tema y sea fuente potencial para el
planteamiento y resolución de problemas.


Referentes


BOYER, C. (1992). Historia de la matemática. Madrid: Editorial Cast.

COLÍN, P. y MARTÍNEZ, G. (2007). De la aritmética al cálculo: un estudio
transversal de la raíz cuadrada. México: UAG.
RICO, D. (2005). Reactivos para la investigación, el desarrollo y la evaluación del
seminario de temas selectos de la Historia de las Matemáticas. MÉXICO: ENSM.
RICO, D. (2010). Apuntes para la asignatura los números y sus relaciones.
MÉXICO: ENSM.
SEP (2011). Programas de estudio 2011, Guía para el Maestro: Matemáticas.
México: Autor.