Raciocinio logico

RACIOCÍNIO LÓGICO
Muitas pessoas gostam de f alar ou julgar que poss uem e sabem usar o raciocínio lógico, porém ,
quando questionadas direta ou indiretamente, perdem , esta linha de rac iocínio, pois este depende de
inúmeros fatores para com pletá-lo, tais com o:
§ calm a,
§ conhecim ento,
§ vivência,
§ versatilidade,
§ experiência,
§ criatividade,
§ ponderação,
§ responsabilidade, entre outros.
Ao noss o ver, para se usar a lógica é necessário ter dom ínio sobre o pensamento, bem com o, s aber
pensar, ou seja, pos suir a "Arte de Pensar". Alguns dizem que é a seqüência coerente, regular e
necessária de ac ontecim entos, de coisas ou fatos , ou até m esm o, que é a m aneira de raciocínio
partic ular que cabe a um indivíduo ou a um grupo. Existem outras def inições que expressam o verdadeiro
raciocínio lógico aos profissionais de processam ento de dados, tais com o: um esquem a sistem ático que
define as interações de sinais no equipamento autom ático do processam ento de dados, ou o com putador
científico c om o critério e princípios form ais de raciocínio e pensam ento.
Para concluir todas estas definições, podem os dizer que lógica é a ciência que estuda as leis e critérios
de validade que regem o pensam ento e a dem onstração, ou sej a, ciência dos princípios form ais do
raciocínio.
Usar a lógica é um f ator a ser considerado por todos, principalm ente pelos profissionais de inform ática
(program adores, analistas de sistem as e suporte), têm como responsabilidade dentro das organizações,
solucionar problem as e atingir os objetivos apresentados por seus usuários com eficiência e eficácia,
utilizando recursos c om putacionais e/ou autom atizados. Saber lidar com problem as de ordem
adm inistrativa, de controle, de planejam ento e de raciocínio. Porém , devem os lem brá-los que não
ensinam os ninguém a pensar, pois todas as pessoas, norm ais possuem es te "Dom ", onde o noss o
interesse é m ostrar com o desenvolver e aperf eiçoar m elhor esta técnica, lembrando que para isto, voc ê
deverá ser persistente e praticá-la constantemente, chegando à exaustão sem pre que julgar necessário.

Ao procurarm os a solução de um problem a quando dispom os de dados com o um ponto de partida e
tem os um objetivo a estimularm os, m as não sabem os com o chegar a esse objetivo tem os um problem a.
Se soubéssem os não haveria problem a.
É necessário, portanto, que com ece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar
atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conform em à natureza do problem a,
rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.
Mesm o assim, é im pos sível ter certeza de que escolheu o m elhor cam inho. O pensam ento tende a ir e vir
quando se trata de res olver problem as dif íc eis.
Mas se depois de exam inarm os os dados chegam os a um a conclusão que aceitam os com o c erta
concluímos que es tivem os rac iocinando.
Se a conclusão dec orre dos dados, o raciocínio é dito lógico.
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Importante!
A prova deverá auferir do candidato, se o m esm o entende a estrutura lógica de relações arbitrárias entre
pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.
Entende-se por estruturas lógicas as que são form adas pela presença de propos iç ões ou sentenças
lógicas (são aquelas frases que apresentam sentido com pleto, com o por exem plo: M adalena é culpada).
Observe que a estrutura lógica vai ligar relações arbitrárias e, neste caso, nada deverá ser levado para a
prova a não ser os conhecim entos de Lógica propriam ente dita, os concursandos m uitas vezes caem em
erros com o:
Se Luiza foi à praia então Rui foi pescar, ora eu sou m uito am igo de um a Luiza e de um Rui e am bos
detes tam ir à praia ou m esm o pesc ar, auto induzindo respostas absurdas.
Dessa forma, as relações são arbitrárias, ou seja, não importa se você conhece Luiza, Madalena ou Rui.
Não im porta o seu conhec im ento sobre as proposições que form am a frase, na realidade pouco
im portam se as proposições são verdadeiras ou falsas. Quero dizer que o seu conhecim ento s obre a
frase deverá ser arbitrário, vam os ver através de outro exem plo:
T odo cavalo é um animal azul
T odo animal azul é árvore
Logo T odo cav alo é árvore
Observe que podemos dizer que tem -se acim a um argum ento lógico, form ado por três proposições
categóricas (estas têm a presença das palavras T odo, Algum e Nenhum), as duas prim eiras serão
denom inadas prem issas e a terceira é a conclusão.
Observe que as três proposições são totalm ente f alsas, mas é pos sível c om provar que a conc lusão é
um a cons eqüência lógica das prem issas, ou sej a, que se considerar as prem issas com o verdadeiras, a
conclusão será, por conseqüência, verdadeira, e este argum ento será considerado válido logicam ente.
A arbitrariedade é tanta que na hora da prova pode ser interessante substituir as proposições por letras,
veja:
T odo A é B
T odo B é C
Logo T odo A é C
A arbitrariedade ainda se relaciona a pess oas, lugares, coisas, ou eventos fictícios.
Cobra-se nesse tipo de prova o ato de deduzir novas inform ações das relaç ões fornecidas, ou seja, o
aspecto da Deduç ão Lógica poderá ser cobrado de form a a resolver as ques tões.
Sucesso e bons estudos.
Apostilas Cds Objetiva
Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou
eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e
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avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas
relações.
INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓG ICO
Lógic a é a ciênc ia que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argum entação. Seu estudo trata das
form as do pensam ento em geral e das operações intelectuais que visam à determ inação do que é
verdadeiro ou não, ou seja, um encadeam ento coerente de algum a coisa que obedec e a certas
convenções ou regras. Assim , o estudo da lógica é um esforço no sentido de determ inar as condições
que perm item tirar de determ inadas proposições (ponto ou idéia de que se parte para estruturar um
raciocínio), tam bém cham adas de prem issas, um a conclusão delas derivada.
Conceitos Básicos sobre as Estruturas Lógicas
PROPOSIÇÕES
Cham arem os de propos iç ão ou sentença, a todo conjunto de palavras ou sím bolos que exprim em um
pensam ento de sentido com pleto.
Sendo assim, vejamos os exemplos:
a) O Instituto do Coração fica em São Paulo.
b) O Brasil é um País da Am érica do Sul.
c) A Polícia Federal pertence ao poder judiciário.
Evidente que você j á percebeu que as proposições podem ass um ir os valores falsos ou v erdadeiros,
pois elas expressam a descrição de um a realidade, e tam bém observam os que um a proposição
representa um a inform ação enunciada por um a oraç ão, e, portanto, pode ser expres sa por distintas
orações, tais com o:
“Pedro é maior que Carlos” , ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro” .
T emos vários tipos de sentenças:
· Declarativas
· Interrogativas
· Exclam ativas
· Im perativas
Leis do Pensamento
Vejam os algum as leis do pensam ento para que possam os desenvolver corretam ente o nosso pensar.
· Princípio da Identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.
· Princípio de Não-Contradição. Um a proposição não pode ser ao m esm o tem po verdadeira e falsa .
· Princípio do T erceiro Excluído. Um a proposição s ó pode ser verdadeira ou falsa , não havendo
outra alternativa.
· Sentenças Abertas. Quando substituím os numa propos iç ão alguns com ponentes por variáveis ,
teremos um a sentença aberta.
VALORES LÓGICOS DAS PROPO SIÇÕES
Valor lógico é a classificação da proposição em verdadeiro (V) ou falso (F), pelos princípios da
não-c ontradição e do terceiro excluído. Sendo assim , a class if icaç ão é únic a, ou seja, a proposição só
pode ser verdadeira ou falsa.
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Exem plos de valores lógicos:
r: O número 2 é prim o. (Verdadeiro)
s: Marte é o planeta vermelho. (Verdadeiro)
t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso)
u: T oda ave voa. (Falso)
v: O número 3 é par. (Falso)
x: O número 7 é prim o. (Verdadeiro)
z: O número 7 é ím par. (Verdadeiro)
Som ente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre
quando a sentença é, respectivamente, conf irm ada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de
verdadeiro ou falso às dem ais form as de sentenç as com o as interrogativas, as exclamativas e outras,
em bora elas tam bém ex pressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas:
O número 6 é par.
O número 15 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns c anários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e francês.
Marlene quer um sapatinho novo ou uma boneca.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Um a proposição é dita proposição simples ou proposição atôm ica quando não contém qualquer outra
proposição com o s ua com ponente. Isso s ignifica que não é possível enc ontrar como parte de um a
proposição sim ples algum a outra proposição diferente dela. Não se pode s ubdividi-la em partes m enores
tais que alguma delas sej a um a nova proposição.
Exemplo:
A sentença “ Carla é irmã de Marcelo ” é um a proposição simples, pois não é possível identificar com o
parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarm os separá-la em duas ou m ais partes menores
nenhum a delas será uma propos iç ão nova.
Proposição Composta
Um a proposição que contenha qualquer outra com o sua parte com ponente é dita proposição com posta
ou proposição molecular. Isso quer dizer que um a proposição é c om posta quando se pode ex trair com o
parte dela, um a nova propos iç ão.
SENTENÇAS ABERTAS
Sentenças m atemáticas abertas ou sim plesm ente s entenças abertas são expressões que não podem os
identificar com o verdadeiras ou falsas.
Por exemplo: x + 2 = 9
Essa expres são pode s er verdadeira ou falsa, dependendo do valor da letra x .
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Se x for igual a 7, a sentença é verdadeira, pois 7+2=9
Se x for igual a 3, a sentença é falsa, pois 3 + 2 não é igual a 9 (3 + 2 ≠ 9)
Em sentenças abertas sem pre tem os algum valor desconhec ido, que é repres entado por um a letra do
alfabeto. Pode-s e colocar qualquer letra, m as as m ais usadas pelos matem áticos s ão: x , y e z .
Veja outros exem plos de sentenças abertas:
x + 3 ≠ 6
2y -1 < - 7
Pode-s e, tam bém , ter uma sentenç a aberta com o proposição, porém nesse c aso não é possível atribuir
um valor lógico.
x é um y brasileiro.
Nessa proposição b , o valor lógico só pode ser encontrado se souberm os quem é x e y (variáveis livres).
No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, a proposição será verdadeira.
Já no c aso de x igual a Frank Sinatra e y igual a cantor, a proposição será falsa.
Portanto, é m uito com um na resolução de problem as m atem áticos, trocar-se alguns nom es por variáveis.
Estude os valores lógicos da s entença aberta: "Se 10x - 3 = 27 então x
2
+ 10x = 39"
Resolução:
Equação do prim eiro grau: As equações do prim eiro grau possuem um a única solução:
10x - 3 = 27
10x = 27 + 3
10x = 30
x = 30
10
x = 3
CONECTIVOS LÓGICOS
Cham a-se conectivo a algum as palavras ou frases que em lógica são usadas para form arem proposições
com pos tas.
Veja alguns conectivos:
· A negação não cujo sím bolo é ~ .
· A disjunção ou cujo símbolo é v .
· A conjunç ão e cujo sím bolo é ^
· O condicional se,....., então, cujo símbolo é -- > .
· O bicondicional se, e somente se, cujo sím bolo é < - > .
Exemplo:
A sentença “ Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y ” é um a proposição
com pos ta na qual se pode observar alguns c onectivos lógicos (“não”, “ se ... então” e “ou”) que estão
agindo sobre as proposições sim ples “ x é maior que y ”, “ x é igual a y ” e “ x é menor que y ”.
Um a propriedade fundam ental das propos iç ões com postas que usam conectivos lógicos é que o seu
valor lógico (verdadeiro ou falso) f ic a com pletam ente determ inado pelo valor lógico de cada proposição
com ponente e pela forma com o estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.
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As proposições com pos tas podem receber denom inações especiais, conform e o conectivo lógico usado
para ligar as proposições com ponentes.
Conjunção: A e B
Denominam os conj unção a proposição com posta formada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas pelo conectivo “ e ”.
A conjunção A e B pode ser representada sim bolicamente como: A ^ B
Exemplo:
Dadas as proposições sim ples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
Se as proposições A e B forem representadas com o conjuntos através de um diagrama, a conjunç ão ”A
^ B” corres ponderá à interseç ão do conj unto A com o conjunto B. A ∩ B.
Um a conj unção é verdadeira som ente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras,
Ou seja, a conjunção
”A ^B” é verdadeira som ente quando A é verdadeira e B é verdadeira tam bém . Por isso dizem os que a
conjunção exige a s im ultaneidade de condições .
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podem os observar os resultados da conjunção “A e B” para
cada um dos valores que A e B podem assum ir.

Disjunção: A ou B
Denominam os disj unção a proposição composta form ada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas pelo conectivo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada sim bolicam ente como: A v B
Exemplo:
Dadas as proposições sim ples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
A disjunção “ A ou B ” pode ser es crita com o:
A v B : Alberto fala espanhol ou é universitário.
Se as proposições A e B forem representadas com o conjuntos através de um diagrama, a disjunção “ A v
B ” corres ponderá à união do conjunto A com o conjunto B .
Um a disj unção é falsa s om ente quando as duas proposições que a com põem forem f alsas. Ou seja, a
disjunção “ A ou B ” é f alsa som ente quando A é falsa e B é falsa também . Mas se A for verdadeira ou se
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B for verdadeira ou m esmo se am bas, A e B , forem verdadeiras, então a disjunç ão será verdadeira. Por
isso dizem os que, ao contrário da conj unção, a disj unção não necessita da sim ultaneidade de condiç ões
para ser verdadeira, bastando que pelo m enos um a de suas proposições com ponentes seja verdadeira.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podem os observar os resultados da disj unção “A ou B” para
cada um dos valores que A e B podem assum ir.

Condicional: Se A então B
Denominam os condicional a propos iç ão com posta form ada por duas proposições quaisquer que estej am
ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por um a de s uas form as equivalentes.
A proposição condicional “Se A , então B ” pode ser representada sim bolicam ente com o:
Exemplo:
Dadas as proposições sim ples:
A: José é alagoano.
B: José é brasileiro.
A condic ional “Se A , então B ” pode ser escrita com o:
A → B: Se Jos é é alagoano, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A , então B ” a proposição A , que é anunciada pelo uso da conjunção “ se ”,
é denom inada condição ou antecedente enquanto a proposição B , apontada pelo advérbio “então” é
denom inada conclusão ou conseqüente.
As seguintes expressões podem ser em pregadas com o equivalentes de “Se A , então B ”:
Se A, B.
B, se A.
Todo A é B.
A implica B.
A somente se B.
A é suficiente para B.
B é necessário para A.
Se as proposições A e B forem representadas com o conjuntos, por meio de um diagram a, a proposição
condicional "Se A então B " corresponderá à inclusão do conjunto A no conjunto B ( A está contido em
B ):
Um a condicional “Se A então B ” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B é
falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que num a proposição condicional, a
única s ituação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira im plicar um a c onclusão falsa.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “ Se
A então B” para cada um dos valores que A e B podem as sum ir.
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Bicondicional: A se e somente se B
Denominam os bicondicional a proposição com posta form ada por duas propos iç ões quaisquer que
estejam ligadas pelo conectivo “se e som ente se”.
A proposição bicondicional “ A se e som ente se B ” pode ser representada sim bolic am ente
com o:
Exemplo:
Dadas as proposições sim ples:
A: Adalberto é meu tio.
B: Adalberto é irm ão de um de m eus pais.
A proposição bicondicional “ A se e som ente se B ” pode ser escrita com o:
A ↔ B: Adalberto é meu tio se e som ente se Adalberto é irm ão de um de meus pais.
Com o o próprio nom e e sím bolo sugerem , um a proposição bic ondicional “ A se e som ente se B ” equivale
à proposição composta “se A então B ”.
Podem-se em pregar também com o equivalentes de “ A se e som ente se B ” as s eguintes expressões:
A se e só se B.
Todo A é B e todo B é A.
Todo A é B e reciprocamente.
Se A então B e reciprocamente.
A somente se B e B somente se A.
A é necessário e suficiente para B.
A é suficiente para B e B é suficiente para A.
B é necessário para A e A é necessário para B.
Se as proposições A e B forem representadas com o conjuntos através de um diagrama, a proposição
bicondicional “ A se e som ente se B ” corres ponderá à igualdade dos conjuntos A e B .
A proposição bicondicional “ A se e som ente se B ” é verdadeira som ente quando A e B têm o m esmo
valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo f alsa quando A e B têm valores
lógicos c ontrários.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podem os observar os resultados da proposição bicondicional
“A se e s om ente se B” para cada um dos valores que A e B podem ass um ir.

Negação: Não A
Dada um a proposição qualquer A denom inam os negação de A à proposição com posta que se obtém a
partir da proposição A acres cida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente.
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A negação “não A ” pode s er representada simbolicam ente com o: ~A
Podem-se em pregar, também , como equivalentes de “não A ” as seguintes expressões:
Não é verdade que A.
É falso que A.
Se a proposição A f or representada como conjunto através de um diagram a, a negação “não A ”
corresponderá ao conjunto com plem entar de A .
Um a proposição A e sua negação “não A ” terão s em pre valores lógicos opostos.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podem os observar os resultados da negação “não A ” para
cada um dos valores que A pode as sum ir.

A TABELA-VERDADE
Da mesm a forma que as proposições sim ples podem ser verdadeiras ou fals as, as proposições
com pos tas podem tam bém ser verdadeiras ou falsas. O valor-verdade de um a expressão que representa
um a propos iç ão com posta depende dos valores-verdade das subex pressões que a com põem e tam bém
a form a pela qual elas foram com pos tas.
As tabelas -verdade explicitam a relação entre os valores-verdade de um a ex pressão com posta em
term os dos valores-verdade das subexpressões e variáveis que a compõem .
Na tabela abaixo, encontra-se todos os valores lógicos possíveis de um a proposição com posta
correspondente das proposições sim ples abaixo:
p: Claudio é estudioso.
q: Ele passará no concurso.
TEOREMA DO NÚMERO DE LINHA DA TABELA-VERDADE
A tabela-verdade lista todas as poss íveis com binações de valores-verdade V e F para as variáveis
envolvidas na expressão cuj o valor lógico deseja-s e deduzir. A tabela-verdade de uma proposição
com pos ta com n proposições simples com ponentes contém linhas. Ou seja, cada propos iç ão sim ples
tem dois valores V ou F , que se excluem . Para n proposição sim ples (atôm icas ) distintas, há tantas
possibilidades quantos são os arranjos com repetição de (V e F) elementos n a n . Segue-se que o
núm ero de linhas da tabela-verdade é . Assim para duas proposições são 4 linhas ; para três proposições
são 8; etc.
Então, para se c onstruir uma tabela-verdade procede-se da seguinte maneira:
1) Determ ina-se o núm ero de linhas da tabela-verdade que se quer construir;
2} Observa-se a procedência entre os conectivos, isto é, determ ina-s e a form a das propos iç ões que
ocorrem no problem a.
3) Aplicam -se as def inições das proposições lógicas que o problem a exigir.
OPERAÇÕES SOBRE AS PRO POSIÇÕES E SUA TABELA-VERDADE
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Um a série de operações é realizada quando so analisam as proposições e seus respectivos c onectivos.
a) Negação ( ~)
A negação de um a proposição p , indicada por ~ p ( Iê--se: "não p) é, por definição, a propos iç ão que é
verdadeira ou falsa conforme p é falsa ou verdadeira, de m aneira que s e p é verdade então ~p é falso,
e vice-versa. Os poss íveis valores lógicos para a negação são dados pela tabela-verdade abaixo:
p: Antonio é estudioso.
~p: Antonio não é estudioso.
b) Conjunção ( ^ )
A conjunção de duas proposições p e q , indicada por p /\ q (lê-se: " p e q ") é, por definição, a proposição
que é verdadeira só quando o forem as proposições com ponentes. A tabela-verdade para a conjunção de
duas proposições é dada a seguir:
c) Disjunção ( v )
A disjunção de duas proposições p e q , indicada por p v q (lê-se: " p ou q "), é, por definição, a proposição
que é verdadeira sempre que pelo m enos um a das proposições com ponentes o for.
A tabela-verdade para a disjunção de duas proposições é dada a seguir:
p v q : Antonio é es tudioso ou ele pas sará no conc urso.
d) Disjunção exclusiv a ( v )
A disjunção de duas proposições p e q , indicada por p v q (lê-se: "ou p ou q ", mas não ambos ), é, por
definição, a proposição que é verdadeira s em pre que a outra for falsa.
A tabela verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições é dada a s eguir.
p v q ; ou Antonio é estudioso ou ele passará no concurso (mas não ambos).
e) Condicional ( → )
A proposição condicional, indicada por p → q (lê-se: "Se p então q ") é, por def inição, a proposição que é
falsa quando p é verdadeira e q falsa, m as ela é verdadeira nos demais casos. A tabela-verdade para a
proposição condic ional é dada a seguir:
p → q: Se Antonio é estudioso, então ele passará no c oncurso.
f) Bicondicional (p ↔ q )
A proposição bicondicional, indicada por p ↔ q (lê-se: " p s e e somente se q ") é, por def inição, a
proposição que é verdadeira somente quando p e q têm o m esm o valor lógico. A tabela-verdade para a
proposição bicondicional é dada a seguir:
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p ↔ q: Antonio é estudioso se e somente se ele passar no concurso.
Ou seja, p é condição necessária e suficiente para q .
TAUTOLOGIA
A palavra T autologia é f orm ada por 2 radicais gregos: taut (o) – o que significa “o m esm o” e -logia que
significa “o que diz a m esm a coisa já dita”. Para a lógica, a T autologia é um a proposição analítica que
permanece sem pre verdadeira, um a vez que o atributo é um a repetição do sujeito, ou seja, o uso de
palavras diferentes para expressar uma m esm a idéia; redundânc ia, pleonasm o.
Exemplo: O sal é salgado
Um a proposição com posta formada pelas proposições A, B, C, ... é um a tautologia se ela for s em pre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a com põem .
Exemplo:
A proposição “ Se ( A e B ) então ( A ou B ) ” é um a tautologia, pois é sem pre verdadeira,
independentem ente dos valores lógicos de A e de B , com o se pode observar na tabela-verdade abaixo:

CONTRADIÇÃO
A contradição é uma relaç ão de incom patibilidade entre duas proposições que não podem ser
sim ultaneam ente verdadeiras nem sim ultaneamente falsas, por apresentarem o m es mo sujeito e o
m esm o predicado, m as diferirem ao m esm o tempo em quantidade e qualidade.
Exemplo: T odos os hom ens são mortais e alguns hom ens não são m ortais.
Há uma relação de incompatibilidade entre dois term os em que a afirmação de um im plic a a negação do
outro e reciprocam ente.
Um a proposição com posta P (p, q, r, ...) é um a contradição se P (p, q, r, ... ) tem valor lógico F quaisquer
que os valores lógicos das proposições com ponentes p, q, r, ..., , ou seja, um a c ontradição conterá
apenas F na últim a coluna da sua tabela-verdade.
Exemplo: A propos iç ão " p e não p ", isto é, p ^ (~p) é um a contradição. De fato, a tabela-verdade de p ^
(~p) é:
O exem plo acim a m ostra que um a proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser
sim ultaneam ente verdadeiros ou sim ultaneam ente falsos.
Com o um a tautologia é sem pre verdadeira e uma contradição sem pre falsa, tem-se que:
a negação de uma tautologia é sempre uma contradição
enquanto
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a negação de uma contradição é sempre uma tautologia
CONTING ÊNCIA
Cham a-se Contingência toda a proposição composta em c uj a últim a c oluna de sua tabela-verdade
figuram as letras V e F cada um a pelo m enos vez. Em outros term os , contingência é toda proposição
com pos ta que não é tautologia nem contradição.
As Contingências são tam bém denom inadas proposições indeterminadas.
A proposição "se p então ~p ", isto é, p → ( ~p) é um a contingência. De fato, a tabela-verdade de p →
( ~p) é:
Resumidamente temos:
· T autologia contendo apenas V na últim a coluna da sua tabela-verdade;
· Contradição contendo apenas F na últim a coluna da sua tabela-verdade;
· Contingência contendo apenas V e F na últim a coluna da sua tabela-verdade.
Proposições Logicamente Equivalentes
Dizem os que duas proposições são logicam ente equivalentes ou simplesm ente equivalentes quando são
com pos tas pelas m esm as proposições sim ples e suas tabelas-verdade são idênticas. Um a conseqüência
prátic a da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja
equivalente, estam os apenas m udando a m aneira de dizê-la.
Da def inição de equivalência lógic a pode-se dem onstrar as seguintes equivalências:
Leis associativas:

Leis distributivas:

Lei da dupla negação:

Equivalências da Condicional

Negação de Proposições Compostas
Um problem a de grande im portância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à
negação de um a proposição dada. Negar um a proposição sim ples é um a tarefa que não of erece grandes
obstáculos. Entretanto, podem surgir algum as dificuldades quando procuramos identif icar a negação de
um a proposição com posta.
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Com o vim os anteriorm ente, a negação de um a proposição deve ter s em pre valor lógic o oposto ao da
proposição dada. Deste m odo, sem pre que um a proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve
ser falsa e sem pre que A for falsa, não A deve ser verdadeira.
Em outras palavras, a negação de um a proposição deve ser contraditória com a proposição dada.
A tabela abaix o m ostra as equivalências m ais com uns para as negaç ões de algum as proposições
com pos tas:
Proposição Negação Direta Equivalente da Negação

Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio
verbal; raciocínio seqüencial; orientação espacial e temporal; formação de
conceitos; discriminação de elementos.
As funç ões intelectuais são c onstituídas por alguns raciocínios como: verbal, num éric o, abs trato e
espacial. Essas relações contribuem para a com preensão e elabora ção do processo lógico de um a
situação, através da form ação de conceitos e discriminação de elem entos.
Raciocínio Verbal
Definição: T rata-se da capacidade que possuímos para expressar as idéias utilizando sím bolos verbais
para organizar o pens am ento e estabelecer relações abstratas entre conceitos verbais.
As questões relativas ao raciocínio verbal são apresentadas sob a form a de analogias. Após a percepção
da relação entre um prim eiro par de palavras, deve-se encontrar um a quarta palavra que m antenha
relação com um a terceira palavra apresentada.
Exemplos:
1) Quarto está para Casa, como Capítulo está para:
a) Dicionário b ) Leitura c) Livro d) Jornal e) Revis ta
Resposta é a C: Livro.
2) Homem está para M enino, como M ulher está para :
a) Senhora
b) Menina
c) Jovem
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A respos ta é M enina.
Os hom ens na infância são chamados de m eninos e as m ulheres de m eninas.
3) Presidente está para o país assim como o Papa está para:
a) Igreja
b) T emplo
c) Mundo
d) Missa
e) Europa
A respos ta é Igreja.
O presidente é o representante do país assim com o o Papa é o representante da Igreja.
4) Pelé está para o futebol assim como M ichael Jordan está para:
a) Handball
b) Vôlei
c) Gol
d) Basquete
e) Autom obilismo
A respos ta é Basquete.
Pe! é foi o m aior j ogador de futebol de tod os os tempos e assim c om o Michael J ordan foi o de basquete.
Raciocínio Numérico (Matemático e Sequencial)
Definição: É a capacidade de com preender proble m as que utilizam operações que envolvam núm eros,
bem c om o o dom ínio das operações aritm éticas básicas.
As questões relativas a raciocínio num érico são apresentadas sob a, form a de sequência de núm eros.
Deve-s e, encontrar a lei de form ação da sequência para dar continuidade a m esm a.

Exemplos:
1) Escreva o próximo termo da seqüência:
1 2 3 4 5 6 ?
A respos ta é 7 . Essa é a seqüência dos núm eros naturais.
2) Escreva o próximo termo da seqüência:
2 4 6 8 10 12 14 ?
A respos ta é 16. Es sa é a seqüência dos núm eros pares.
3) Escreva o próximo termo da seqüência:
1 2 4 8 16 32 ?
A resposta é 64 . A lei de form ação da seqüência é dada pelo dobro do núm ero anterior, perceba que o
segundo núm ero é o dobro do prim eiro e o terceiro o dobro do segundo e as sim por diante, então o
próximo núm ero será o dobro de 32, ou seja, 64.
4) Escreva o próximo termo da seqüência:
0 1 4 9 25 36 ?
A respos ta é 49 . A lei de f orm ação dess a sequência é a m ultiplicação do núm ero por ele m esm o,
perceba:
0 x 0 = 0
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
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3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
Pode-s e dizer tam bém que a lei de form ação é elevar o número ao quadrado, alias elevar o núm ero ao
quadrado é o m esm o que m ultiplica ele por ele m esm o.
Raciocínio Abstrato
Definição: É a capacidade de com preender e es tabelecer relações entre objetos e sim ilares, com parando
sím bolos, idéias e conceitos.
As questões relativas a raciocínio abstrato exigem a anális e de certa relação de figuras, objetos, etc.
Exemplos:
1) Qual das cinco representa a melhor comparação ?

e s tá p ar a a ss i m c om o e stá par a:
a) b) c ) d) e)

A respos ta é C .
Inicialm ente temos um círculo dividido em duas partes, então o quadrado também deve ser dividido em
duas partes.
2) Qual das cinco se parece menos com as outras quatro?
a) b) c) d) e)

A respos ta é D . T odas as figuras são com postas por segm entos retos, exc eto o círculo.
Raciocínio Espacial
Definição: É a aptidão para vis ualizar relações de espaço, de dim ensão, de posição e de direção, bem
com o julgar visualm ente form as geométricas.
Exemplos:
1) Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.

I I I II I I V V
Em qual deles a região som breada tem a m aior área?
a) I b) II c) III d) IV e) V
A respos ta é E .
Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de m odo que a área da região
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som breada é a m etade da área do quadrado, Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois
triângulos iguais, e outra vez a área da região som breada é m etade da área do quadrado. Na opção III o
triângulo som breado tem área m enor do que o triângulo som breado da Opção II, ou seja, m enor que
m etade da área do quadrado. Na opção IV, observa m os na figura ao lado que a perpendic ular MN ao
segm ento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue m ais uma
vez que a área da região som breada é m etade da área do quadrado. Finalmente, a área do triângulo
som breado na opção V é maior do que a área do triângulo som breado da opção II, ou seja, é m aior do
que m etade da área do quadrado.
Comentário: observam os que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto m édio do lado CD. De fato,
o argum ento usado acima para analisar ess a opção não depende da posição de N ao longo de CD.
.
2) Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre uma mesa, conforme mostra a figura.
Em que ordem os discos foram colocados na mesa?

a) V,R,S,U,T
b) U,R,V,S,T
c) R,S,U,V,T
d) T ,U,R,V,S
e) V,R,U,S,T
A respos ta é a A .
Na figura vê-se que V está abaixo de R, que es tá abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaix o de
T . Logo a ordem em que os discos foram colocados s obre a mesa é V, R, S, U, T .
Formação de Conceitos
O conceito, é um a idéia (só existe no plano m ental) que identifica um a classe de obj etos singulares. T al
identificação se dá através da criação do “obj eto generalizado” da res pectiva classe, o qual é definido
pelo conjunto dos atributos essenciais dess a classe e corresponde a cada um dos objetos s ingulares nela
incluídos, não se identif ic ando, contudo, com qualquer um deles es pecificam ente. O objeto generalizado
preserva, apenas, os atributos essenciais para a inclusão dos objetos singulares no conceito.
Em m uitos casos, os conc eitos são associados a palavras ou expressões especiais que os designam .
Exemplo
Palavras e expressões ass ociadas a conceitos: “caderno”; “livro”; “escola”; “céu”; “amor”; “felicidade”;
“política”; “família”; “linha poligonal”; “equação”; “equaç ão do terceiro grau” ...
Notemos que em alguns conceitos são mais evidentes as m ediações de f atores alheios aos m esm os que
alteram seus signif ic ados originais, interf erindo mesm o em sua essência. Assim, “am or” e “polític a”, por
exem plo, em bora sejam valores sociais de grande relevância adquiriram s entidos bem diferentes dos
originais, sofrendo, de certa form a, um a “desvalorização” ao longo de um processo de deterioração
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m arcado pela s ua vulgarização ou pela sua prostituiç ão.
Notemos, tam bém , que as expressões que designam os conceitos referem -s e ao respectivo objeto
generalizado. Quando alguém diz: “vou com prar um caderno”, não está se referindo a um objeto s ingular,
isto é, a um caderno específ ic o, m as ao objeto generalizado. Na verdade, o objeto singular – o caderno
que efetivam ente será com prado – ainda será escolhido. Da m esm a form a, quando alguém diz “vou à
praia”, tanto pode ir à praia de Copac abana, com o à de Ipanema ou da Barra da T ij uca, que são, esses
sim , obj etos singulares.
Exemplo
Outras palavras e expressões que designam conceitos:
1) lápis
2) relógio
3) cadeira
4) avião
5) livro
6) funç ão quadrática
7) figura geométrica
8) integral
Notemos que os três últim os não fazem parte do cotidiano da m aioria das pessoas, sendo construídos
através do processo científico que ocorre, em geral, na es colaridade form al. Os dem ais estão
assim ilados pela c ultura geral e sua com preensão se dá a nível s ocial e através do conhecim ento
espontâneo.
O conceito apresenta em sua estrutura o “volum e” e o “conteúdo”, estando associado a um a expressão
gestual, gráfica ou idiom ática que o designa.
O volum e do conceito é o conjunto de todos os objetos singulares nele incluídos e o conteúdo do
conceito é sua expressão no plano m aterial e se apresenta num a linguagem idiom ática, gráfica ou
gestual, articulando de m odo conj ugado todos os atributos essenciais do respectivo objeto generalizado.
O conteúdo do c onceito se apresenta na form a de um a expressão que articula de m odo conjugado todos
os atributos essenciais da respectiva classe; manifesta seu volum e e seu conteúdo e identifica o
respectivo objeto generalizado.
Exemplo
a) O volume do conceito “caderno” é o conjunto de todos os cadernos
b) O volume do conceito “tigre” é o conjunto de todos os tigres
Exemplo
a) A ex pressão “substância cuja molécula é constituída por um átomo de oxigênio e dois átomos de
hidrogênio” corresponde ao conteúdo de um conceito comumente des ignado pela palavra “água”.
b) A ex pressão “número real inteiro não negativo” é o conteúdo de um conceito muito us ado na aritmética
e conhecido por “número natural”.
c) A express ão: “Homem que “forneceu” o espermatozóide que fecundou o óvulo que deu origem ao
jovem José Pedro Guimarães” é o conteúdo do conceito “pai do jovem José Pedro Guimarães .

Exemplo
São ex emplos de objetos singulares:
a) Caneta que meu pai utilizou para assinar o contrato de seu primeiro casamento
b) Sapato que estou calçando agora no pé esquerdo
c) Número inteiro maior do que 5 e menor do que 7
Um conceito pode ser form ado em distintos graus de generalização, desde o c onceito singular que
corresponde a um objeto específico - concreto ou abstrato - até o conceito generalizado (no grau de
m áxim a generalização), passando por graus interm ediários de generalização, correspondentes a
subclasses do respectivo gênero, nas quais se incluem alguns e se excluem outros obj etos. Os atributos
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essenciais s ão definidos para cada grau de generalização e o volum e de um conceito está contido no
volum e de outro conceito de m aior grau de generalização.
Exemplo
Conceito singular: “o cachorro do Jorge que mordeu o vizinho ontem”
Conceito generalizado: “Alberto não gosta de cachorro”.
Conceito com grau intermediário de generalização: “ Pedro gosta de cachorro marrom”
No caso do conceito singular apresentado, os atributos presentes (relativos ao conceito ‘cachorro’) são:
1) ser do Jorge; 2) ter mordido o v izinho ontem. Ambos os atributos são qualidades, pois não fazem
parte dp cachorro (objeto singular).
A presença do atributo “ter mordido o vizinho ontem”, indica que:
a) Jorge tem mais de um cachorro;
b) Algum outro cac horro de Jorge mordeu o vizinho em algum dia distinto de ‘ontem’;
c) Somente um cachorro de Jorge mordeu o v izinho ‘ontem’.
Exemplo
Classificação (isto é, a separação em subclasses) do conceito “ser vivo”:
Notemos que em cada grau de generalizaç ão as subclasses correspondem a conceitos contraditórios em
relação à c lasse anterior e que no sétim o grau de generalização ainda não se chegou ao conceito
singular.
Notemos, tam bém , que na passagem de um grau de generalização para outro m enor é escolhido um
critério e dentro dele um atributo. Na passagem do segundo para o terceiro grau de generalizaç ão, o
critério f oi a “natureza do intelecto” e o atributo escolhido foi “ser racional”. Poderia ter sido escolhido o
critério “natureza do corpo do anim al” e o atributo poderia ter sido “ser vertebrado”.
Nesse exemplo, os critérios e os atributos correspondentes, foram:
(1) a palavra “ser” é substantivo e não verbo
(2) a palavra “ser” é verbo e não substantivo
Quando tratam os de um conceito singular, consideram os todos os atributos que identificam o objeto bem
determ inado e que o separam de todos os dem ais da classe a que pertence. Quando se trata de conceito
generalizado em grau interm ediário – correspondente a um a subclass e do gênero - são descartados os
atributos peculiares dos objetos individualizados e aqueles específ ic os a qualquer outra subclasse, sendo
considerados apenas os atributos essenciais à identificação da class e respectiva. Quando se trata de
conceito generalizado em grau m áximo, são pres ervados apenas os atributos essenciais a todos os
objetos que se incluem no conc eito, abstraindo os atributos específicos a qualquer subclasse e aqueles
que identif ic am um único objeto ou um grupo de obj etos singulares, isto é, permanecem apenas as
propriedades do objeto generalizado.
Exemplo
Apresentam os abaixo um a s eqüência de conceitos em ordem decrescente de graus de generalizaç ão:
a) caderno
b) caderno vertical
c) caderno vertic al com pauta
d) caderno vertical com es piral com pauta
e) caderno vertical com es piral com pauta e c apa dura
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Notemos que “caderno horizontal“ é um conc eito com m esm o grau de generalização do que “caderno
vertic al”, o m esm o acontecendo com os conceitos “caderno vertical com pauta” e “caderno vertical sem
pauta”.
Notemos, ainda, que a relação entre o grau de generalização e o núm ero de atributos essenciais do
conceito é inversa, isto é, quanto m ais atributos essenciais , m enor é o grau de generalização.
O conteúdo de um conc eito, exceto para aquele de grau de generalização m áximo, é expresso a partir do
conceito de grau de generalização im ediatam ente superior.
Existe um a estreita relação entre a elaboração teórica (no plano m ental) de uma idéia e sua expressão
concreta (no plano m aterial), a qual se dá através de um a linguagem apropriada (esc rita, falada, gestual
ou gráfica), de tal m odo que um a cois a não se concretiza plenamente sem a outra. Em conseqüência
disso, o conhecim ento som ente está construído quando elaborado no plano m ental e expresso
adequadam ente no plano material.
No caso do conhecim ento científico, isto é, aquele construído através do processo científico, se usa
com umente a linguagem idiom ática conj ugada com um a linguagem específica ao contexto: (linguagem
jurídica, linguagem policial. Linguagem m atem ática), havendo, também , o uso da linguagem gráfica
(desenho, esboço, gráf ico, tabela). Com o existe uma correspondência intrínseca entre a idéia (plano
m ental) e a linguagem (sua expressão no plano m aterial), esta deve ser adequada àquela, sob pena de
com prom eter o conhecim ento construído.
Exemplo
a) A mala do Alberto está tão pesada que parece que vai estourar
b) Todo dia v iajo com a “mala” do Alberto.
A formação do conceito generalizado
Em geral, a construção de um conceito – Isto é, a aprendizagem – começa no plano m aterial com a
observação de objetos singulares incluídos no conceito, os quais são conhec idos através de seus
atributos sens orialm ente percebidos. Em seguida, tal conhecim ento passa ao plano m ental sob a
m ediação de um signo, que pode ser uma palavra, um a express ão ou algum outro elem ento m aterial que
assum e a função de “nome” do objeto e depois se confunde com o próprio. O conhec im ento de um
núm ero adequado de objetos singulares incluídos num m esm o conceito pos sibilita que a separação dos
atributos comuns e depois dos essenciais, o que ocorre no plano m ental e, m uitas vezes, de m odo
inconsciente. Esse processo possibilita a construção do conceito num prim eiro grau de generalização e o
signo que antes correspondia particularmente a um dos objetos singulares observados, passa a
identificar qualquer um deles e, num a fase seguinte, passa a corres ponder ao conjunto de tais objetos,
isto é, designa o objeto generalizado corres pondente ao tal conjunto.
Quando o núm ero de objetos da “fam ília” conhecidos é suficientemente grande para a identificação de
todos os atributos essenciais , torna-se possível alcançar o maior grau de generalização, descartando-se
os atributos não essenc iais. Nesse ponto, a “fam ília” pass a a ser o “gênero” e o signo que a identif ic a
passa a corresponder ao objeto generalizado, abstrato, que só existe no plano m ental e não mais
corresponde a qualquer um dos objetos s ingulares , ainda que tal signo continue a ser utilizado como
referência a cada um deles em particular.
O conceito não apenas identif ic a o objeto generalizado ao qual se refere mas se identif ica c om ele e
corresponde à internalizaç ão m ental do conjunto dos objetos singulares ao qual se ref ere. Os objetos
singulares que inicialm ente são conhec idos sensorialm ente e depois através da m ediação sim bólica,
pouco a pouco vão se fundindo num únic o objeto abstrato, generalizado, que se transform a numa
im agem m ental que substitui sua f orm a m aterial ou m aterializada.
Relações entre conceitos

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As relações existentes entre os obj etos singulares se apresentam igualm ente entre os conceitos que os
incluem , variando desde m uito remotas a m uito próxim as. Es sas relações podem existir em função de
circunstâncias (f ac tuais, tem porais, espaciais, funcionais, etc...) e podem existir em função de nexos
lógicos entre os objetos. No prim eiro cas o es tão: lápis e caderno; autom óvel e rua; ar e avião. No
segundo caso estão: retângulo e quadrado; hom em e mulher; cachorro e gato. As relações
circunstanciais sempre podem existir, quaisquer que sejam os obj etos, enquanto que as relaç ões lógicas
só existem, em geral, entre objetos que se incluem em algum conceito com um a am bos .
Exemplo
Relações não lógicas (circunstanc iais, factuais, tem porais, etc.)
1) Estar na m esma sala (um azulejo e um livro)
2) Apresentar a letra x (a palavra “xícara” e a expres são “ax+b”
3) Ser usado para alcanç ar um obj eto no alto (um a pedra e um a escada)
4) T erem sido comprados no m esm o dia (um martelo e um revolver)
5) Apresentar o num eral 2 (a equação “2x+3=0” e a quantia “R$27,00”)
Exemplo
Relações lógicas
1) Ser “ser humano” (duas pessoas distintas)
2) Ser talher (garfo e faca)
3) Ser equação do primeiro grau (2x + 3 = 0 e 5x – 7 = 0)
4) Ser grandeza vetorial (velocidade e f orça)
Conceitos comparáveis e incomparáveis
Em função dos nexos lógicos entre os objetos que incluem , os conceitos podem ser classificados com o
com paráveis ou incom paráveis, conform e existam ou não existam tais nex os, respectivam ente. Devido à
natureza relativa, quanto à intensidade, dos nexos lógicos eventualm ente existentes entre os objetos
incluídos em conceitos distintos, a classificação dos conceitos com o com paráveis ou incomparáveis não
pode s er considerada de m odo absoluto. Assim, pode-se cons iderar que quanto mais f ortes forem tais
nexos, mais os conceitos são com paráveis e quanto m ais fracos o forem , m ais eles são incomparáveis.
Regra geral, os conceitos com paráveis identificam s ubclasses de um a classe identificada por um
conceito de m aior grau de generalização, o que não ocorre com os conceitos incom paráveis.
Exemplo
“Homem” e “mulher”, são conceitos comparáveis: apresentam nexos lógicos fortes revelados pelo fato de
que identificam subclasses da classe identificada pelo conc eito “ser humano”. Da mesma forma, “ouro” e
“ferro” são conceitos comparáveis : correspondem a subclasses do conceito “metal”.
Exemplo
“Planta” e “raiva” são conceitos não comparáveis: não existem nexos lógicos entre eles, o que se
expressa pelo fato de não corresponderem a subclasses de um mesmo conc eito.
Observação:
a) As sentenç as “os conceitos A e B identificam subclasses de uma mesm a c lasse identificada pelo
conceito X”, “os conceitos A e B são subordinados ao conceito X” e “os volum es dos conceitos A e B
estão c ontidos no volum e do conceito X”, são equivalentes.
b) Na linguagem corrente, o conceito é “confundido” com a classe que ele identifica. Isso é aceitável,
sendo a distinção assegurada pelo c ontexto ou explicitada no texto.

Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de
hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
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PROCESSO LÓGICO - HIPÓT ESES E CONCLUSÃO
Lógica e Argumentação
Na estrutura do raciocínio lógico se distingue com o elemento central o argum ento, que c onsiste na
articulação do conjunto de prem issas de m odo a justificar a conclusão.
As proposições som ente podem ser designadas com o premiss a ou com o conclusão no c ontexto de um
argum ento e as designações em um argum ento podem ser diferentes em outro. Assim, um a proposição
pode ser conclusão num argum ento e premiss a em outro.
Sabe-s e que o objetivo da lógica c onsiste no estudo das f orm as de argum entação válidas, pois ela
estuda e sistem atiza a validade ou invalidade da argum entação.
Dessa m aneira, o objeto de estudo da lógica é determ inar s e a conclusão de um argum ento é ou não
um a conseqüência lógica das proposições. Lem bre-s e que um a proposição (declaração/af irm ação) é
um a s entença que pode ser verdadeira ou falsa.
Argumento
Denomina-se argum ento a relação que as soc ia um conjunto de proposições P
1
, P
2
, ... P
n
,
cham adas prem is sas do argum ento, a um a proposição C a qual cham am os de conclusão do argumento.
No lugar dos term os premiss a e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese,
respectivam ente.
Os argum entos que têm somente duas prem issas são denominados silogism os.
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:
I - P
1
: T odos os artis tas são apaixonados.
P
2
: T odos os apaixonados gostam de f lores.
C: T odos os artistas gostam de flores .
II - P
1
: T odos os apaixonados gostam de f lores.
P
2
: Miriam gosta de flores.
C: Miriam é um a apaixonada.
Outro exemplo de um argumento (forma típica):
Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.
Roberto nasceu no Brasil e seus pais são bras ileiros.
Roberto tem nacionalidade brasileira.
Ex em plos de diferentes m aneiras de expressar o m esmo argum ento (na cor verde, indicadores
de premissa ou de conclusão):
Roberto tem nacionalidade brasileira , pois Roberto nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros,
e quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira.
Quem nas ce no Brasil e tem pais bras ileiros pos sui nacionalidade brasileira. Portanto, Roberto
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tem nacionalidade brasileira, uma vez que Roberto nas ceu no Brasil e seus pais s ão brasileiros.
Roberto nasc eu no Brasil e seus pais são brasileiros. Ora, quem nasce no Brasil e tem pais
brasileiros possui nacionalidade brasileira . Logo, Roberto tem nacionalidade brasileira.
Roberto é brasileiro, porque nasceu no Brasil e seus pais são brasileiros.
[Pressupostos:
(a) Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira;
(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira".]
Quem nasce no Brasil e tem pais brasileiros possui nacionalidade brasileira. Por isso, Roberto é
brasileiro. [Pressupostos:
(a) Roberto nasceu no Brasil e s eus pais são brasileiros ;
(b) "brasileiro" significa "ter nacionalidade brasileira". ]
Não são argumentos (embora possam parecer):
Condicionais , isto é, hipóteses. Ness e caso, o que s e está propriam ente afirm ando é apenas o
condicional com o um todo - a proposição com posta que estabelec e o nexo entre duas proposições
com ponentes, o antecedente e o conseqüente. Quando digo que se fizer sol neste fim de semana, eu irei
à praia, não estou fazendo previsão do tem po, afirmando que fará s ol neste fim de sem ana, nem estou
pura e simplesm ente me com prom etendo a ir à praia. A única coisa que es tou fazendo é afirmar a
conexão entre duas proposições, dizendo que a eventual verdade da prim eira ac arreta a verdade da
segunda. Sendo assim , apenas um a proposição é afirm ada; logo, não tem os um argum ento.
Ligações não-proposicionais, isto é, conexões de fras es em que pelo m enos um a delas não é um a
proposição. Se pelo m enos um a das f rases ligadas não for um a proposição (for, por exem plo, um
im perativo ou um pedido), não caberá a afirm ação da verdade de algo com base na verdade de outra
coisa. Não se terá, conseqüentem ente, um argum ento.
PROPOSIÇÕES E FRASES
Um argum ento é um conj unto de proposições. Quer as prem issas quer a conclusão de um argum ento
são proposições. Mas o que é mesm o um a proposição?
Um a proposição é o pensam ento que um a f rase declarativa exprim e literalm ente.
Não conf unda proposições com f rases. Um a frase é um a entidade lingüística, é a unidade gram atical
m ínima de sentido. Por exem plo, o conjunto de palavras "O Brasil é um " não é um a frase. Mas o conjunto
de palavras "O Bras il é um país" é um a fras e, pois já se apresenta com sentido gram atical. Há vários
tipos de frases: declarativas, interrogativas, im perativas e exclam ativas. Mas só as frases declarativas
exprimem proposições. Um a fras e só exprim e um a proposição quando o que ela afirm a tem valor de
verdade.
Por exem plo, as seguintes frases não exprim em proposições, porque não têm valor de verdade, isto é,
não s ão verdadeiras nem falsas:.
1) Que horas são?
2) T raz a apostila.
3) Prom eto ir ao shopping.
4) Quem m e dera gostar de Matemática.
Mas as frases seguintes exprim em proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou
falsas, ainda que, acerca de algum as , não saibam os, neste m om ento, se são verdadeiras ou falsas:
1) O Brasil fica na América do Norte.
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2) Brasília é a c apital do Brasil.
3) A neve é branca.
4) Há seres extra-terrestres inteligentes.
A f rase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4?
Bem , não sabem os qual é o s eu valor de verdade, não s abem os se é verdadeira ou falsa, m as
sabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. Por isso, tam bém exprim e um a proposição.
Um a proposição é um a entidade abstrata, é o pensam ento que um a f rase declarativa ex prim e
literalm ente. Ora, um m esm o pensam ento pode ser express o por dif erentes frases . Por isso, a m esm a
proposição pode ser expres sa por diferentes frases. Por exem plo, as frases "O governo dem itiu o
presidente da T AP" e "O presidente da T AP foi dem itido pelo governo" exprim em a m esm a proposição.
As frases seguintes tam bém exprimem a m esm a proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".
Argumento Válido
Dizem os que um argum ento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando a sua
conclusão é um a c onseqüênc ia obrigatória do seu conjunto de prem issas. Posto de outra f orm a: quando
um argum ento é válido, a verdade das prem issas deve garantir a verdade da conclus ão do argum ento.
Isto significa que jamais poderem os chegar a um a conclusão falsa quando as prem is sas f orem
verdadeiras e o argumento for válido.
É im portante observar que ao discutir a validade de um argum ento é irrelevante o valor de verdade de
cada um a das prem issas. Em Lógica, o estudo dos argum entos não leva em c onta a verdade ou
falsidade das proposições que com põem os argumentos, m as tão-som ente a validade destes.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
está perfeitam ente bem c onstruído (veja o diagram a abaixo), sendo, portanto, um argumento válido,
m uito em bora a verdade das prem issas seja questionável.

Op = Conjunto dos que gostam de óperas
X = Conj unto dos que adoram jogar xadrez
P = Conj unto dos pardais
Pelo diagram a pode-se perceber que nenhum elem ento do conjunto P (pardais) pode pertencer ao
conjunto Op (os que gostam de óperas).
V alidade Lógica (Exemplos)
Argumento (I):
Todas as aranhas são seres que têm seis patas
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Todos os s eres que têm seis patas são seres que têm asas
:. T odas as aranhas são seres que têm asas
Argumento (II):
Todas as baleias são mamíferos
Todos os mamíferos são pulmonares
:. T odas as baleias são pulmonares
A estrutura com um (válida) dos argum entos (I) e (II) é:
Todo A é B
Todo B é C
:. Todo A é C
Argumento (III):
Alguns mamíferos são cetáceos
Alguns cetáceos são dentados
:. Alguns mamíferos são dentados
Argumento (IV):
Alguns presentes nesta sala são moradores de Porto Alegre
Alguns moradores de Porto Alegre são oc tagenários
:. Alguns presentes nesta sala são octagenários
A estrutura com um (inválida) dos argum entos (III) e (IV) é:
Alguns A são B
Alguns B são C
:. Alguns A são C
Argumento Inválido
Dizem os que um argum ento é inválido, tam bém denom inado ilegítim o, mal construído ou falac ioso,
quando a verdade das prem isssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os alunos do curso passaram.
Maria não é aluna do curso.
Portanto, Maria não pass ou.”
é um argum ento inválido, falac ioso, m al construído, pois as prem issas não garantem (não obrigam ) a
verdade da c onclusão (veja o diagram a abaixo). Maria pode T er passado mesm o sem ser aluna do
curso, pois a primeira prem issa não af irm ou que som ente os alunos do curso haviam passado.
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P = Conj unto das pessoas que passaram .
C = Conj unto dos alunos do c urso.
Na tabela abaixo, podem os ver um resum o das situações possíveis para um argum ento:

P remissas
Argumentos dedutivos sempre requerem um certo núm ero de "assunções-base". São as cham adas
premissas ; é a partir delas que os argum entos são construídos; ou, dizendo de outro m odo, são as
razões para se ac eitar o argum ento. Entretanto, algo que é um a prem issa no contexto de um argum ento
em particular, pode ser a conclusão de outro, por exem plo.
As prem issas do argum ento sem pre devem ser explicitadas, ess e é o princípio do audiatur et altera
pars *. A om issão das prem issas é com um ente encarada com o algo suspeito, e provavelm ente reduzirá
as chanc es de aceitação do argum ento .
A apresentação das premissas de um argumento geralm ente é precedida pelas palavras "Admitindo
que...", "Já que..." , "Obviamente se..." e "Porque..." . É im prescindível que s eu oponente concorde
com suas prem issas antes de proceder com a argumentação.
Usar a palavra "obviamente" pode gerar desconfiança. Ela oc asionalm ente faz algum as pessoas
aceitarem afirm ações falsas em vez de adm itir que não entendem por que algo é "óbvio". Não hesite em
questionar afirmações supostam ente "óbv ias".
Ex pressão latina que s ignifica "a parte contrária deve ser ouvida".
Inferência
Um as vez que haja concordância sobre as prem issas, o argum ento procede passo a passo através do
processo c ham ado inferência .
Na inf erência, parte-se de um a ou m ais proposições aceitas (prem issas) para chegar a outras novas . Se
a inferênc ia for válida, a nova proposição tam bém deve ser aceita. Posteriorm ente essa proposição
poderá ser empregada em novas inferências.
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Assim , inicialm ente, apenas podem os inferir algo a partir das prem issas do argumento; ao longo da
argum entação, entretanto, o núm ero de afirm ações que podem ser utilizadas aum enta.
Há vários tipos de inferência válidos, m as tam bém alguns inválidos, os quais serão analisados neste
documento. O processo de inferência é com umente identificado pelas frases "conseqüentemente..." ou
"isso implica que...".
Conclusão
Finalm ente se chegará a um a proposição que c onsiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando
provar. Ela é o resultado f inal do processo de inferência, e só pode ser classificada com o conclus ão no
contexto de um argum ento em particular.
A conclusão se respalda nas prem issas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que m erece
explicação m ais aprofundada.
Tabela Verdade para Implicação

• Se as prem issas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa. (Linhas 1
e 2.)
• Se as prem issas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida. (Linha 3.)
• Se as prem issas são verdadeiras e a inferência é válida, a conclusão deve ser verdadeira. (Linha 4.)
Então o fato que um argum ento é válido não necessariam ente significa que sua conclusão suporta - pode
ter começado de prem issas falsas .
Se um argum ento é válido, e além disso c om eçou de prem issas verdadeiras, então é cham ado de um
argum ento sensato. Um argum ento sensato deve chegar à uma conclusão verdadeira.
E xemplo de argumento
A seguir exem plificam os um argumento válido, m as que pode ou não ser "consistente".
1 - Prem issa: T odo evento tem um a causa.
2 - Prem issa: O Universo teve um com eço.
3 - Prem issa: Com eçar envolve um evento.
4 - Inferência: Isso im plica que o com eço do Universo envolveu um evento.
5 - Inferência: Logo, o com eço do Universo teve um a causa.
6 - Conclusão: O Universo teve um a causa.
A proposição da linha 4 f oi inferida das linhas 2 e 3.
A linha 1, então, é usada em conj unto com proposição 4, para inferir um a nova proposição (linha 5).
O resultado dessa inferência é reafirm ado (num a f orm a levem ente simplificada) com o sendo a
conclusão .
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Reconhecendo Argumentos
O reconhec im ento de argum entos é m ais difícil que das prem issas ou conclusão. Muitas pess oas
abarrotam tex tos de asserções sem sequer produzir algo que possa ser cham ado argum ento.
Algumas vezes os argum entos não seguem os padrões descritos acim a. Por exemplo, alguém pode dizer
quais s ão suas conclus ões e depois justificá-las. Isso é válido, m as pode ser um pouco confuso.
Para piorar a situação, algum as af irm ações parecem argumentos, m as não são. Por exem plo: " Se a
Bíblia é verdadeira, Jesus ou foi um louco, um mentiroso, ou o Filho de Deus ".
Isso não é um argum ento; é um a afirm ação c ondicional. Não explicita as prem issas necessárias para
em basar as conclusões, sem m encionar que possui outras falhas.
Um argumento não equivale a um a explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein
acreditava em Deus, dis sés sem os: " Einstein afirmou que 'Deus não joga dados' porque cria em
Deus ".
Isso pode parecer um argum ento relevante, m as não é; trata-se de um a explicaç ão da afirm ação de
Einstein. Para perc eber isso, lembre-se que um a afirmação da forma "X porque Y" pode ser reescrita na
form a "Y logo X". O que resultaria em : " Einstein cria em Deus, por isso afirmou que 'Deus não joga
dados' ".
Agora fica claro que a afirm ação, que parecia um argum ento, está admitindo a conclusão que deveria
estar provando .
Adem ais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos hum anos .
Falácias
Há um certo núm ero de "armadilhas" a serem evitadas quando se está construindo um argumento
dedutivo; elas são conhecidas com o falácias . Na linguagem do dia-a-dia, nós denominam os m uitas
crenças equivocadas com o falácias, m as, na lógic a, o term o possui significado m ais específico: falácia é
um a f alha técnica que torna o argum ento inconsistente ou inválido.
(Além da consistência do argum ento, tam bém se podem criticar as intenções por detrás da
argum entação.)
Argumentos contentores de falácias são denom inados falaciosos . Freqüentem ente parecem válidos e
convincentes; às vezes, apenas um a análise porm enorizada é capaz de revelar a falha lógica.
A seguir está um a lista de algum as das falácias m ais com uns e determ inadas técnicas retóricas bastante
utilizadas em debates. A intenção não foi criar um a lista exaustivamente grande, mas apenas ajudá-lo a
reconhecer algum as das falác ias m ais com uns, evitando, assim , s er enganado por elas.
Acentuação / Ênfase
A Acentuação funciona através de uma m udança no s ignificado. Neste caso, o significado é alterado
enfatizando diferentes partes da afirmação.
Por exemplo:
"Não devemos falar mal de nossos am igos"
"Não devemos falar m al de nossos amigos "
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Ad Hoc
Com o m enc ionado acim a, argum entar e explicar são coisas diferentes . Se estiverm os interessados em
dem onstrar A, e B é oferecido com o evidência, a afirm ação " A porque B " é um argum ento. Se estivermos
tentando dem onstrar a veracidade de B , então " A porque B " não é um argum ento, m as uma explicação.
A f alácia Ad Hoc é ex plicar um f ato após ter ocorrido, m as sem que essa explicaç ão sej a aplicável a
outras situaç ões. Freqüentem ente a falácia Ad Hoc vem m ascarada de argum ento. Por exemplo , se
adm itirm os que Deus trata as pessoas igualm ente, então esta seria um a explicação Ad Hoc:
"Eu f ui curado de câncer"
"Agradeça a Deus, pois ele lhe curou"
"Então ele vai curar todas pessoas que têm câncer?"
"Hmm ... talvez... os des ígnios de Deus são m isteriosos."
Afirmação do Conseqüente
Essa falác ia é um argum ento na f orm a "A implica B, B é verdade, logo A é verdade". Para entender por
que iss o é um a f alácia, examine a tabela (acima) com as Regras de Im plicação.
Aqui está um exemplo:
" Se o universo tivesse sido criado por um ser sobrenatural, haveria ordem e organização em todo lugar. E
nós vemos ordem, e não esporadicidade; então é óbvio que o universo teve um criador ."
Esse argum ento é o contrario da Negação do Antecedente .
Anfibolia
A Anf ibolia ocorre quando as prem issas usadas num argum ento são am bíguas devido a negligência ou
im precisão gramatical.
Por exemplo:
"Prem issa: A c rença em Deus preenc he um vazio m uito necessário."
Evidência Anedótica
Um a das falácias m ais s im ples é dar crédito a um a Evidência Anedótica .
Por exemplo:
" Há abundantes prov as da existência de Deus; ele ainda faz milagres . Semana passada eu li sobre uma
garota que estava morrendo de câncer, então sua família inteira foi para uma igreja e rezou, e ela foi
curada ."
É bastante válido usar experiências pessoais c om o ilustraç ão; contudo, essas anedotas não provam
nada a ninguém . Um am igo seu pode dizer que encontrou Elvis Presley no superm ercado, m as aqueles
que não tiveram a m esm a experiência exigirão m ais do que o testem unho de seu am igo para serem
convencid os.
Evidências Anedóticas podem parecer m uito convincentes, especialm ente queremos acreditar nelas.
Argumentum ad Antiquitatem
Essa é a falácia de afirm ar que algo é verdadeiro ou bom só porque é antigo ou "sem pre foi assim ". A
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falácia oposta é a Argumentum ad Novitatem .
" Cristãos acreditam em Jesus há milhares de anos. Se o Cristianismo não fosse verdadeiro, não teria
perdurado tanto tempo "
Argumentum ad Baculum / Apelo à Força
Acontece quando alguém recorre à forç a (ou à am eaça) para tentar induzir outros a ac eitarem uma
conclusão. Essa falácia é f reqüentem ente utilizada por políticos, e pode ser sum arizada na expressão " o
poder define os direitos ". A am eaç a não precisa vir diretam ente da pess oa que argum enta.
Por exemplo: :
"...assim, há amplas provas da veracidade da Bíblia, e todos que não aceitarem essa verdade queimarão
no Inferno."
"...em todo caso, sei seu telefone e endereço; já mencionei que possuo licença para portar armas?"
Argumentum ad Crumenam
É a falác ia de acreditar que dinheiro é o critério da verdade; que indivíduos ricos têm mais chances de
estarem certos. T rata-se do oposto ao Argumentum ad Lazarum .
Exemplo :
"A Microsoft é indubitavelmente s uperior; por que outro motiv o Bill Gates seria tão rico?"
Argumentum ad Hominen
Argumentum ad Hominem literalm ente s ignifica "argum ento direcionado ao hom em"; há duas
variedades.
A primeira é a f alácia Argumentum ad Hominemabusiva : consiste em rejeitar uma afirm ação e justificar
a recus a criticando a pessoa que fez a af irm ação.
Por exemplo:
" Você diz que os ateus podem ser morais, mas descobri que você abandonou sua mulher e filhos."
Isso é um a falácia porque a veracidade de um a asserç ão não depende das virtudes da pessoa que a
propugna. Uma versão m ais sutil do Argumentum ad Hominen é rejeitar um a proposição baseando-se
no fato de ela tam bém ser defendida por pessoas de caráter m uito questionável.
Por exemplo:
"Por isso nós deveríamos fechar a igreja? Hitler e Stálin concordariam com você."
A segunda form a é tentar persuadir alguém a aceitar um a af irm ação utilizando como ref erência as
circunstâncias particulares da pessoa.
Por exemplo:
"É perfeitamente aceitável matar animais para usar c omo alimento. Esperto que você não contrarie o que
eu diss e, pois parece bastante feliz em v estir seus sapatos de couro."
Esta falácia é conhec ida c omo Argumenutm ad Hominem circunstancial e também pode ser usada
como uma desculpa para rejeitar uma conclus ão.
Por exemplo:
"É claro que a seu v er discriminação racial é absurda. Você é negro"
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Essa form a em particular do Argumenutm ad Hominem , no qual você alega que alguém está
defendendo um a conclusão por m otivos egoístas, tam bém é conhecida com o "envenenar o poç o".
Não é sem pre inválido referir-se às circunstâncias de quem que faz uma afirm ação. Um indivíduo
certamente perde c redibilidade com o testem unha se tiver f am a de m entiroso ou traidor; entretanto, isso
não prova a falsidade de seu testem unho, nem altera a consistência de quaisquer de seus argum entos
lógicos .
Argumentum ad Ignorantiam
Argumentum ad Ignorantiam significa "argum ento da ignorância". A falácia consiste em afirmar que
algo é verdade sim plesm ente porque não provaram o contrário; ou, de m odo equivalente, quando for dito
que algo é fals o porque não provaram s ua veracidade .
(Nota: admitir que algo é falso até provarem o contrário não é a m es ma coisa que afirmar . Nas leis, por
exem plo, os indivíduos são considerados inocentes até que se prove o contrário.)
Abaixo estão dois exemplos:
"Obviamente a Bíblia é verdadeira. Ninguém pode provar o contrário."
"Certamente a telepatia e os outros fenômenos psíquicos não existem. Ninguém jamais foi capaz de
prová-los."
Na investigação científica, sabe-se que um evento pode produzir certas evidências de s ua ocorrência, e
que a ausênc ia dessas evidências pode ser validam ente utilizada para inf erir que o evento não ocorreu.
No entanto, não prova com certeza.
Por exemplo:
"Para que ocorresse um dilúvio como o descrito pela Bíblia seria necessário um enorme v olume de água.
A Terra não possui nem um décimo da quantidade necessária, mesmo levando em conta a que está
congelada nos pólos. Logo, o dilúvio não ocorreu."
Certamente é possível que algum processo desc onhecido tenha rem ovido a água. A ciência, entretanto,
exigiria teorias plausíveis e passíveis de experimentação para aceitar que o fato tenha ocorrido.
Infelizmente, a história da ciência é cheia de predições lógicas que se m ostraram equivocadas. Em 1893,
a Real Ac adem ia de Ciências da Inglaterra foi persuadida por Sir Robert Ball de que a com unicação com
o planeta Marte era fisicam ente impossível, pois necessitaria de uma antena do tam anho da Irlanda, e
seria im possível fazê-la funcionar.
Argumentum ad Lazarum
É a falácia de assum ir que alguém pobre é m ais íntegro ou virtuoso que alguém rico. Es sa falácia é
apõe-se à Argumentum ad Crumenam.
Por exemplo:
"É mais prov ável que os monges descubram o s ignificado da vida, pois abdicaram das distrações que o
dinheiro possibilita."
Argumentum ad Logicam
Essa é um a "falácia da falácia". Consiste em argum entar que um a proposição é f alsa porque foi
apres entada com o a conclusão de um argumento f alacioso. Lem bre-s e que um argum ento falacioso
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pode chegar a conclusões verdadeiras.
"Pegue a fração 16/64. Agora, cancelando-se o seis de cim a e o seis debaixo, chegam os a 1/4."
"Espere um segundo! Voc ê não pode cancelar o seis! "
"Ah, então você quer dizer que 16/64 não é 1/4?"
Argumentum ad Misericordiam
É o apelo à piedade, tam bém conhecida com o Súplica Especial . A falácia é com etida quando alguém
apela à com paixão a fim de que aceitem sua conclusão.
Por exemplo:
"Eu não assassinei meus pais com um machado! Por favor, não me acuse; você não vê que já estou
sofrendo o bas tante por ter me tornado um órfão?"
Argumentum ad Nauseam
Consistem em crer, equivocadam ente, que algo é tanto m ais verdade, ou tem m ais chances de ser,
quanto mais for repetido. Um Argumentum ad Nauseamé aquele que afirm a algo repetitivam ente até a
exaustão.
Argumentum ad Novitatem
Esse é o oposto do Argumentum ad Antiquitatem ; é a f alácia de afirm ar que algo é m elhor ou m ais
verdadeiro simplesm ente porque é novo ou m ais recente que algum a outra coisa.
"BeOS é, de longe, um sistem a operacional superior ao OpenStep , pois possui um design m uito m ais
atual."
Argumentum ad Numerum
Falác ia relacionada ao Argumentum ad Populum . Consiste em afirm ar que quanto m ais pes soas
concordam ou ac reditam num a certa proposição, m ais provavelmente ela estará correta.
Por exemplo:
"A grande maioria dos habitantes des te país acredita que a punição capital é bas tante eficiente na
diminuiç ão dos delitos. Negar isso em face de tantas evidências é ridículo."
"Milhares de pessoas acreditam nos poderes das pirâmides; ela dev e ter algo de especial."
Argumentum ad Populum
T am bém conhecida com o apelo ao povo. Com ete-se essa falác ia ao tentar conquistar a aceitaç ão de
um a propos iç ão apelando a um grande número de pessoas . Esse tipo de falácia é com umente
caracterizado por um a linguagem em otiva.
Por exemplo:
"A pornografia deve ser banida. É uma violência contra as mulheres."
"Por milhares de anos pessoas têm acreditado na Bíblia e Jesus, e es sa crença teve um enorme impacto
sobre suas vida. De que outra evidênc ia você precisa para se conv encer de que J esus é o filho de Deus?
Você está dizendo que todas elas são apenas estúpidas pessoas enganadas?"
Argumentum ad Verecundiam
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O Apelo à Autoridade usa a adm iraç ão a um a pessoa f am osa para tentar sustentar um a afirm ação. Por
exem plo:
" Isaac Newton foi um gênio e acreditava em Deus."
Esse tipo de argumento não é sem pre inválido; por exem plo, pode ser relevante fazer referência a um
indivíduo fam oso de um cam po específico. Por exemplo, podem os distinguir facilmente entre:
"Hawk ing concluiu que os buracos negros geram radiação."
"Penrose conclui que é im possível c onstruir um com putador inteligente."
Hawk ing é um físico, então é razoável admitir que suas opiniões sobre os buracos negros são
fundamentadas . Penrose é um m atem ático, então sua qualificação para falar sobre o ass unto é bastante
questionável.
Audiatur et Altera Pars
Freqüentem ente pessoas argum entam partir de assunções om itidas. O princípio do Audiatur et Altera
Pars diz que todas prem issas de um argum ento devem ser explicitadas. Estritamente, a om issão das
premiss as não é um a falácia; entretanto, é comum ente vista com o algo suspeito.
Bifurcação
" Preto e Branco " é outro nom e dado a essa falácia. A Bifurcação ocorre se alguém apresenta um a
situação com apenas duas alternativas, quando na verdade existem ou podem existir outras .
Por exemplo:
" Ou o homem foi c riado, como diz a Bíblia, ou evoluiu casualmente de substâncias químicas
inanimadas, como os cientistas dizem. Já que a segunda hipótese é incrivelmente improvável, então..."
Circulus in Demonstrando
Consiste em adotar com o premissa uma conclusão à qual você está tentando c hegar. Não raro, a
proposição é reescrita para fazer com que tenha a aparência de um argum ento válido.
Por exemplo:
" Homos sex uais não devem exercer cargos públicos. Ou seja, qualquer funcionário público que se
revele um homossexual deve ser despedido. Por isso, eles farão qualquer coisa para esconder seu
segredo, e assim ficarão totalmente sujeitos a chantagens. Cons eqüentemente, não se deve permitir
homossexuais em cargos públicos ."
Esse é um argum ento com pletamente circular; a prem issa e a conclusão são a m es ma coisa. Um
argum ento com o o ac im a foi realm ente utilizado com o um m otivo para que todos os empregados
hom oss exuais do Serviço Secreto Britânico f os sem despedidos .
Infelizmente, argum entos circulares são surpreendentem ente comuns. Após chegarm os a um a
conclusão, é fácil que, acidentalm ente, façam os asserções ao tentarm os explicar o racioc ínio a alguém .
Q uestão Complexa / Falácia de Interrogação / Falácia da Pressuposição
É a forma interrogativa de pressupor um a resposta. Um exem plo cláss ic o é a pergunta capciosa:
"Voc ê parou de bater em sua espos a?"
A questão pressupõe um a resposta definida a outra questão que não chegou a ser feita. Esse truque é
bastante usado por advogados durante o interrogatório, quando fazem perguntas do tipo:
"Onde você esc ondeu o dinheiro que roubou?"
Sim ilarm ente, políticos tam bém usam perguntas c apciosas com o:
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"Até quando será perm itida a introm is são dos EUA em nossos assuntos ?"
"O Chanceller planeja continuar ess a privatização ruinosa por dois anos ou m ais?"
Outra f orm a dessa falácia é pedir a explicação de algo falso ou que ainda não foi discutido.
Falácias de Composição
A Falácia de Composição é concluir que um a propriedade com partilhada por um número de elementos
em particular, tam bém é com partilhada por um conjunto desses elementos; ou que as propriedades de
um a parte do objeto devem ser as m esm as nele inteiro.
Exemplos:
"Essa bicicleta é feita inteiramente de componentes de baixa densidade, logo é muito leve."
"Um carro utiliza menos petroquímic os e causa menos poluição que um ônibus. Logo, os carros
causam menos dano ambiental que os ônibus."
Acidente Invertido / Generalização Grosseira
Essa é o inverso da Falácia do Acidente . Ela ocorre quando se cria um a regra geral exam inando
apenas poucos casos específicos que não representam todos os poss íveis casos.
Por exemplo:
"Jim Bakker foi um Cristão pérfido; logo, todos os cristãos também são."
Convertendo um a Condicional
A falácia é um argum ento na form a "Se A então B, logo se B então A".
"Se os padrões educac ionais forem abaixados, a qualidade dos argumentos vistos na internet
diminui. Então, se vermos o nível dos debates na internet piorar, saberemos que os padrões
educac ionais estão caindo."
Essa falácia é sim ilar à Afirmação do Conseqüente , m as escrita como um a af irm ação condicional.
Cum Hoc Ergo Propter Hoc
Essa f alácia é s im ilar à Post Hoc Ergo Propter Hoc. Consiste em afirm ar que devido a dois eventos terem
ocorrido concom itantem ente, eles possuem um a relação de causalidade. Isso é um a f alácia porque
ignora outro(s) fator(es) que pode(m ) ser a(s ) causa(s) do(s ) evento(s).
"Os índices de analfabetismo têm aumentado constantemente desde o advento da televisão.
Obviamente ela compromete o aprendizado"
Es sa f alácia é um caso especial da Non Causa Pro Causa .
Negação do Antecedente
T rata-se de um argum ento na f orm a "A implica B, A é falso, logo B é falso". A tabela com as Regras de
Im plic ação explica por que isso é um a f alácia.
(Nota: A Non Causa Pro Causa é diferente dessa falácia. A Negação do Antecedente poss ui a
form a "A im plica B, A é falso, logo B é f also", onde A não im plica B em absoluto. O problem a não é que
a im plicação seja inválida, m as que a falsidade de A não nos permite deduzir qualquer coisa sobre B.)
"Se o Deus bíblico aparecesse para mim pessoalmente, isso certamente provaria que o
cristianis mo é verdade. Mas ele não o fez, ou seja, a Bíblia não pas sa de ficção."
Esse é oposto da falácia Afirmação do Conseqüente .
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Falácia do Acidente / Generalização Absoluta / Dicto Simpliciter
Um a Generalização Absoluta ocorre quando um a regra geral é aplicada a um a s ituação em particular,
m as as características da situação tornam regra inaplicável. O erro oc orre quando se vai do geral do
específico.
Por exemplo:
" Cris tãos não gostam de ateus. Você é um Cristão, logo não gosta de ateus."
Essa falácia é m uito com um entre pessoas que tentam decidir ques tões legais e m orais aplicando regras
gerais m ecanicamente.
Falácia da Divisão
Oposta à Falácia de Composição , consiste em assum ir que a propriedade de um elem ento deve
aplicar-se às suas partes; ou que um a propriedade de um conjunto de elem entos é com partilhada por
todos .
"Voc ê estuda num colégio rico. Logo, você é rico."
"Form igas podem destruir um a árvore. Logo, essa form iga tam bém pode."
Equivocação / Falácia de Q uatro Termos
A Equivocação ocorre quando um a palavra-chave é utilizada com dois um ou m ais significados no
m esm o argum ento.
Por exemplo:
"João é destro jogando futebol. Logo, também deve ser destro em outros es portes, apesar de ser
canhoto."
Um a form a de evitar ess a falác ia é escolher c uidadosamente a term inologia antes de form ular o
argum ento, isso evita que palavras c om o "destro" poss am ter vários significados (com o "que usa
preferencialm ente a m ão direita" ou "hábil, rápido").
Analogia Estendida
A falácia da Analogia Estendida ocorre, geralm ente, quando algum a regra geral está sendo disc utida.
Um caso típic o é assum ir que a m enção de duas situações dif erentes, num argum ento sobre uma regra
geral, significa que tais afirmações são análogas.
A seguir está um exemplo retirado de um debate sobre a legislação anticriptográfica.
"Eu acredito que é errado opor-se à lei violando-a."
"Essa posição é ex ecrável: implica que você não apoiaria Martin Luther King."
"Voc ê está dizendo que a legislação sobre c riptografia é tão importante quando a luta pela
igualdade dos hom ens ? Com o ousa! "
Ignorantio Elenchi / Conclusão Irrelevante
A Ignorantio Elenchi consiste em afirm ar que um argumento suporta um a conclusão em particular,
quando na verdade não pos suem qualquer relação lógic a.
Por exemplo:
Um Cristão pode começar alegando que os ensinamentos do Cris tianism o são indubitavelm ente
verdadeiros. Se após is so ele tentar justificar suas afirm ações dizendo que tais ensinam entos são muito
benéf ic os às pessoas que os seguem , não importa quão eloqüente ou coerente seja sua argum entação,
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ela nunca vai provar a veracidade desses esc ritos.
Lam entavelmente, esse tipo de argum entação é quas e sempre bem -sucedido, pois faz as pessoas
enxergarem a s uposta conclusão num a perspectiva m ais benevolente.
Falácia da Lei Natural / Apelo à Natureza
O Apelo à Natureza é um a falácia com um em argum entos políticos. Um a versão consiste em
estabelecer um a analogia entre um a conclusão em particular e algum aspecto do m undo natural, e então
afirm ar que tal conclusão é inevitável porque o m undo natural é similar:
"O mundo natural é caracterizado pela competição; animais lutam uns contra os outros pela
posse de recursos naturais limitados. O capitalismo - luta pela pos se de capital - é simplesmente um
aspecto inevitável da natureza humana. É como o mundo funciona."
Outra form a de Apelo à Natureza é argum entar que devido ao hom em ser produto da natureza, deve se
com portar com o s e ainda estivesse nela, pois do contrário estaria indo contra sua própria essênc ia.
"Claro que o homoss exualismo é inatural. Qual foi a última vez em que você viu animais do
mesmo sexo copulando?"
Falácia "Nenhum Escocês de Verdade..."
Suponha que eu afirme "Nenhum escocês coloca açúcar em seu mingau". Você contra-argum enta
dizendo que seu am igo Angus gosta de açúcar no m ingau. Então eu digo "Ah, sim, mas nenhum
escocês de verdade coloca".
Esse é o exem plo de um a mudança Ad Hoc sendo feita para defender um a afirm ação, com binada com
um a tentativa de m udar o significado original das palavras; essa pode ser cham ada um a com binação de
falácias.
Non Causa Pro Causa
A falácia Non Causa Pro Causa ocorre quando algo é tom ado como causa de um evento, m as sem que
a relação causal s ej a dem ons trada.
Por exemplo:
"Eu tomei uma aspirina e rezei para que Deus a fizes se funcionar; então minha dor de cabeça
desapareceu. Certamente Deus foi quem a curou."
Essa é conhecida como a falácia da Causalidade Fictícia . Duas variações da Non Causa Pro Causa
são as falácias Cum Hoc Ergo Propter Hoc e Post Hoc Ergo Propter Hoc.
Non Sequitur
Non Sequitur é um argumento onde a conc lusão deriva das prem issas sem qualquer c onexão lógica.
Por exemplo:
"Já que os egípcios fizeram muitas es cav ações durante a construção das pirâmides, então
certamente eram peritos em paleontologia ."
Pretitio Principii / Implorando a Pergunta
Ocorre quando as prem issas são pelo menos tão questionáveis quanto as conclusões atingidas.
Por exemplo:
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"A Bíblia é a palavra de Deus. A palavra de Deus não pode s er ques tionada; a Bíblia diz que ela
mesma é verdadeira. Logo, sua veracidade é uma certeza absoluta."
Pretitio Principii é sim ilar ao Circulus in Demonstrando , onde a conc lusão é a própria prem issa.
Plurium Interrogationum / Muitas Questões
Essa falácia ocorre quando alguém exige um a resposta sim plista a uma questão com plexa.
" Altos impostos impedem os negócios ou não? Sim ou não?"
Post Hoc Ergo Proter Hoc
A falácia Post Hoc Ergo Propter Hoc ocorre quando algo é admitido c om o causa de um evento
m eram ente porque o antecedeu.
Por exemplo:
"A União Soviética entrou em colapso após a instituição do ateísmo estatal; logo, o ateísmo deve
ser evitado."
Essa é outra versão da Falácia da Causalidade Fictícia .
Falácia "Olha o Avião"
Com ete-se essa falácia quando alguém introduz m aterial irrelevante à questão sendo dis cutida, fugindo
do as sunto e comprom etendo a objetividade da conc lusão.
"Voc ê pode até dizer que a pena de morte é ineficiente no combate à criminalidade, mas e as
vítimas? Como v ocê acha que os pais se sentirão quando virem o assassino de seu filho vivendo às
custas dos impostos que eles pagam? É justo que paguem pela comida do assassino de seu filho?"
Reificação
A Reificação oc orre quando um c onceito abstrato é tratado com o algo concreto.
"Voc ê descreveu aquela pessoa como 'maldos a'. Mas onde fica essa 'maldade'? Dentro do
cérebro? Cadê? Você não pode nem demonstrar o que diz, suas afirmações são infundadas."
M udando o Ônus da Prova
O ônus da prova sem pre cabe à pessoa que afirm a. Análoga ao Argumentum ad Ignorantiam , é a falácia
de colocar o ônus da prova no indivíduo que nega ou questiona um a afirmação. O erro, obviam ente,
consiste em adm itir que algo é verdade até que provem o contrário.
"Dizer que os alienígenas não estão controlando o mundo é fácil... eu quero que você prove."
Declive Escorregadio
Consiste em dizer que a ocorrência de um evento acarretará conseqüências daninhas, m as sem
apres entar provas para sustentar tal afirm ação.
Por exemplo:
"Se legalizarmos a maconha, então mais pessoas começarão a usar crack e heroína, e teríamos
de legalizá-las também. Não levará muito tempo até que este país se transforme numa nação de
viciados. Logo, não se deve legalizar a maconha."
Espantalho
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A falácia do Espantalho consiste em distorcer a posição de alguém para que possa ser atacada mais
facilmente. O erro está no fato dela não lidar com os verdadeiros argum entos.
"Para ser ateu v ocê precisa crer piamente na inexistência de Deus. Para convencer-se disso, é
preciso vasculhar todo o Universo e todos os lugares onde Deus poderia estar. Já que obviamente você
não fez isso, sua posição é indefensável."
Tu Quoque
Essa é a fam osa falácia "você também". Ocorre quando se argum enta que um a ação é aceitável
apenas porque seu oponente a fez.
Por exemplo:
"Voc ê está sendo agressivo em suas af irm ações."
"E daí? Você tam bém ."
Iss o é um ataque pessoal, sendo um a variante do caso Argumentum ad Hominem .
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Conteúdo

Sucessões: Progressão Aritmética (PA) e Geométrica (PG)
Máximo Divisor Comum (M DC) e Mínimo Múltiplo Comum (M M C)
Teoria dos Conjuntos
Análise Combinatória

Noções de Estatística
Noções de Probabilidade
SEQÜÊNCIAS NUM ÉRICAS
Cham a-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer c onjunto ordenado de
núm eros reais ou com plexos . Ass im , por ex em plo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9,
11, ... , 35) é um a seqüência cujo prim eiro term o é 3 , o segundo termo é 5 , o terceiro
term o é 7 e ass im sucessivam ente.
Um a seqüência pode ser finita ou infinita.
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O exem plo dado acim a é de um a seqüência finita .
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita .
Um a seqüência num érica pode ser representada genericam ente na form a:
(a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
k
, ... , a
n
, ...) onde a
1
é o prim eiro term o, a
2
é o segundo term o, ... , a
k
é
o k -és im o term o, ... , a
n
é o n-ésim o termo.
(Neste cas o, k < n ).
Por exem plo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a
3
= 18,
a
5
= 162 , etc.
São de particular interess e, as seqüências cujos term os obedecem a um a lei de
form ação, ou seja é possível es crever um a relação m atem ática entre eles.
Assim , na seqüência Y acim a, podem os observar que cada term o a partir do segundo é
igual ao anterior m ultiplicado por 3 .
A lei de form ação ou seja a expressão m atem ática que relac iona entre si os termos da
seqüência, é denom inada term o geral.
Considere por exem plo a seqüência S cujo term o geral seja dado por a
n
= 3n + 5 , onde n
é um núm ero natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n , obterem os o termo a
n
(n - ésimo termo)
correspondente.
Assim por exem plo, para n = 20, terem os a
n
= 3.20 + 5 = 65 , e portanto o vigésim o termo
dessa seqüência (a
20
) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o term o geral de um a seqüência, é sem pre fácil determ iná-la.
Seja por exem plo a seqüência de term o geral a
n
= n
2
+ 4n + 10 , para n inteiro e positivo .
Nestas condições, podem os concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70,
... ).
Por exemplo:
a
6
= 70 porque a
6
= 6
2
+ 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo,
são iguais ao anterior somado com um valor c onstante denominado razão.
Observe as seqüências num éricas abaixo:
I. (2, 4, 6, 8, ...)
II. (11, 31, 51, 71, ...)
III. (9, 6, 3, 0, ...)
IV. (3, 3, 3, 3, ...)
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V. (4, , 5, , ...)
2
9
2
11
Note que de um núm ero para outro está sendo somada uma constante, podendo ser:
Um número positivo Þ Seqüências I e II
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
ou
11 + 20 = 31
31 + 20 = 51
Um número negativo Þ Seqüência III
9 + (-3) = 6
6 + (-3) = 3
O número Zero (elemento neutro da adição)
Þ Seqüência IV
3 + 0 = 3
3 + 0 = 3
Uma fração Þ Seqüência V

As cinco seqüências num éricas são exem plos de Progressões Aritm éticas (P.A.) e a cons tante
que em cada cas o foi adicionada a um term o, é cham ada de razão (r) da progress ão.
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de um a P.A. podem os class if icá-la da seguinte forma:
a) se r > 0 (razão positiva) Þ P.A. crescente
Casos: I, II e V
b) se r < 0 (razão negativa) Þ P.A. decrescente
Caso: III
c) se r = 0 (razão nula) Þ P.A. constante
Casos: IV
TERMO GERAL
Seja a P.A. representada na form a m atem ática:
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P . A.: (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, .. ., a
n
)

Encontrarem os uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A. conhecendo-se
apenas, o primeiro term o (a
1
) e a razão (r).
Da P.A. acim a de razão "r" tem os :

a
2
= a
1
+ r
a
3
= a
2
+ r Þ a
3
= a
1
+ 2r
a
4
= a
3
+ r Þ a
4
= a
1
+ 3r
a
5
= a
4
+ r Þ a
5
= a
1
+ 4r
. .
. .
. .
a
n
= a
n - 1
+ r Þ a
n
= a
1
+ (n - 1) ´ r

PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.A.:

TERMOS EQÜIDISTANTES
A som a dos term os eqüidistantes de um a P.A. é sem pre constante:

TERM OS CONSECUTIVOS
Um term o é sem pre obtido pela m édia aritm étic a dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.

Exercícios Resolvidos
1) Encontre o 21º term o da P.A. (22, 27, 32, ...).
Resolução:
Sabemos que a
1
= 22 e r = 27 - 22 = 5
Utilizando a relação do term o geral escrevem os:
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a
21
= a
1
+ (21 - 1) r Þ a
21
= 22 + 20 . 5
a
21
= 122
2) Numa P.A. de razão 4, o quinto term o é 97. Qual a ordem do term o que é igual a 141?
Resolução:
Sabemos que a
5
= 97 e r = 4
a
5
= a
1
+ (5 - 1)r Þ 97 = a
1
+ 4 . 4 Û a
1
= 81 Þ
a
n
= a
1
+ (n - 1)r Þ 141 = 81 + (n - 1) . 4
n = 16
3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é um a P.A. Encontre a sua razão e o prim eiro term o dessa
progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três term os consecutivos obtem os a seguinte relação:

y + 1 =
2
53 +y
Þ 2 ( y + 1 ) = 3 y + 5

Resolvendo a equação do prim eiro grau obtem os
y = -3
Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)
e portanto a
1
= -9 e r = -2 - (-9) = 7
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Im agine se quiséssem os som ar os cem primeiros números naturais, ou sej a, obteríam os a seguinte
som a:
S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 10
Seria a som a dos 100 prim eiros term os da seguinte P.A.:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 95, 96, 97, 98, 99, 100)
e portanto se s om arm os seus term os eqüidistantes obterem os som as cons tantes, fazendo uso desta
propriedade poderem os escrever a som a dos 100 prim eiros term os da seguinte forma:
S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
S=100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
2S= 101 +101 +101 +101 +.... 101 + 101

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Observando que para som ar todos esses term os foi necessário som ar o prim eiro term o com o
último, m ultiplicar pelo núm ero de termos e dividir por dois. Chegam os, portanto na relação da som a dos
"n" prim eiros term os de progressão aritmética:

Exercícios Resolvidos
1) Determ ine a som a dos 20 prim eiros term os da progressão aritm ética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
T em os a
1
= 2 e r = 3
precisamos obter o a
20
Þ a
20
= a
1
+ (20 - 1) . r
a
20
= 2 + 19 . 3 Þ a
20
= 59
Portanto

S
20
=
2
20).592( +
Þ S
20
= 61 . 10
S
20
= 610

2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª sem ana, há dois j ogos; na 2ª sem ana,
cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, ao todo, são disputados nesse torneio?
Resolução:
Observando a seqüência de j ogos disputados durante as nove s em anas enc ontram os a s eguinte P.A. de
nove term os:
(2, 5, 8, ..., a
9
)
e portanto para saberm os quantos jogos serão realizados, no total, devem os som ar todos os term os, ou
seja, todos os jogos dis putados em cada semana:

a
9
= a
1
+ 8 .r Þ a
9
= 2 + 8 . 3 Þ a
9
= 2 6
S
9
=
( )
2
9.
91
aa +
Þ S
9
=
( )
2
9.262 +
Þ S
9
= 1 4 . 9
S
9
= 1 2 6

Contudo serão realizados 126 jogos , nestas nove sem anas de jogo.
EXERCÍCIOS - P.A.
1) O trigésim o prim eiro term o de um a P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:
a) 63
b) 65
c) 92
d) 95
e) 102
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2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do prim eiro term o é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3
3) Interpolando-se 7 term os aritm éticos entre os números 10 e 98, obtém -se um a progres são aritm ética
cujo quinto termo vale:
a) 45
b) 52
c) 54
d) 55
e)57
4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a m etade do m aior, então o
m aior m ede:
a) 60º
b) 80º
c) 70º
d) 50º
e) 40º
5) Um a m ontadora de autom óveis produz um a quantidade fixa de 5000 carros ao m ês e outra, no m esm o
tem po, produz 600, para atender ao m ercado interno. Em janeiro de 1995 am bas as m ontadoras farão
um contrato de exportação. Mensalm ente, a prim eira e a segunda m ontadoras deverão aum entar ,
respectivam ente, em 100 e 200 unidades. O núm ero de m eses necessários para que as m ontadoras
produzam a mesm a quantidade de carros é:
a) 44
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é um a P.A., então o décim o term o da P.A. (5 - 3x, x
+ 7, ...) é:
a) 2
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
7) A soma dos vinte prim eiros term os da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:
a) 400
b) 480
c) 880
d) 800
e) 580
8) O oitavo term o de um a P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determ ine a som a:
a) de seus oito prim eiros term os;
b) de seus quinze primeiros termos.
9) Um c inem a poss ui 20 poltronas na prim eira fila, 24 poltronas na segunda fila, 28 na terc eira fila, 32 na
quarta fila e as dem ais se com põem na m esm a s eqüência. Quantas filas s ão necessárias para a c asa ter
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800 lugares?
10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da s eguinte m aneira: no 1º dia, são colhidas dez
dúzias ; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele colherá ao f inal dos
doze dias?
11) Verificou-se que o número de pessoas que c om parecia a determ inado evento aum entava,
diariam ente, segundo um a P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º dia c om pareceram 56 pessoas e que o
espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas . Durante quantos dias o espetáculo ficou em cartas?
(Dado: = 307.)
94249
12) Um estacionam ento adota a seguinte regra de pagam ento:
1ª hora: R$ 4,00
2ª hora: R$ 3,50
A partir daí, o preço das horas varia segundo um a P.A. de razão igual a -R$ 0,30
a) Qual o valor a ser c obrado na 8ª hora de perm anência de um carro nes te estacionam ento?
b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?
13) A s om a dos múltiplos de 3 com preendidos entre 100 e 200 é:
a) 5000
b) 3950
c) 4000
d) 4950
e) 4500

GABARITO - P.A.

1) C
2) E
3) C
4) B
5) A
6) D
7) C
8) a) 404 b) 1335
9) 16 filas
10) 6192 laranjas
11) 7 dias
12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15
13) D
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(P.G.)
Observe as seqüências num éricas abaixo:
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I . ( 2 , 4 , 8 , 1 6 , . . . )
I I . ( 1 1 , 3 3 , 9 9 , 2 9 7 , . . . )
I I I . ( 9 , 3 , 1 ,
3
1
, . . . )
I V . ( 3 , 3 , 3 , 3 , . . . )
V . ( 4 , - 8 , 1 6 , - 3 2 , . . . )

Note que de um número para outro está sendo m ultiplicada um a c onstante, podendo ser:
Um núm ero positivo Þ Seqüências I e II
2 ´ 2 = 4
4 ´ 2 = 8
ou
11 ´ 3 = 33
33 ´ 3 = 99
U m a fração Þ Seqüência III
O número 1 (elem ento neutro da m ultiplicação) Þ Seqüência IV
3 x 1 = 3
3 x 1 = 3
Um núm ero negativo Þ Seqüência V
4 x (-2) = - 8
(-8) x (-2) = 16
As cinco seqüências num éricas são exem plos de Progressões Geom étricas (P.G.) e a constante que em
cada cas o foi m ultiplicada a um term o, é cham ada de razão (q) da progressão.
Definição: "Progressão Geom étrica (P.G.) é um a seqüência num érica em que cada term o, a partir do
segundo, é igual ao anterior m ultiplicado por um núm ero fixo, cham ado razão da progressão. "
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de um a P.A. podem os class if ica-la da seguinte forma:
a) se a
1

> 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) Þ P.G. crescente
Casos: I e II
b) se a
1
> 0 e 0 < q < 1 (prim eiro term o positivo e razão entre 0 e 1) Þ P.G. decres cente
Caso: III
c) se q = 1 (razão igual a 1) Þ P.G. c onstante
Casos: IV
d) se a
1

¹ 0 e q < 0 Þ P.G. alternante
Caso: V
TERMO GERAL
Seja a P.G. representada na form a m atem ática:
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P . G . : ( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, . . . , a
n
)

Encontrarem os uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G. conhecendo-se
apenas, o primeiro term o (a
1
) e a razão (q).
Da P.G. acim a de razão "q" tem os:

a
2
= a
1
´ q
a
3
= a
2
´ q Þ a
3
= a
1
´ q
2
a
4
= a
3
´ q Þ a
4
= a
1
´ q
3
a
5
= a
4
´ q Þ a
5
= a
1
´ q
4

. .
. .
. .
a
n
= a
n - 1
´ q Þ a
n
= a
1
´ q
( n - 1 )

PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.G.:

( 1 , 3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 2 4 3 , 7 2 9 )

TERMOS EQÜIDISTANTES
A produto dos term os eqüidistantes de um a P.G. é sem pre constante:

1 ´ 7 2 9 = 3 ´ 2 4 3 = 9 ´ 8 1 = 2 7 ´ 2 7 = 2 7
2

TERMOS CONSECUTIVOS
Um term o é sem pre obtido pela m édia geom étrica dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.

3
2
= 1 ´ 9 ; 2 7
2
= 9 ´ 8 1 ; 9
2
= 3 ´ 2 7

Exercícios Resolvidos
1) Calc ule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).
Resolução:
Sabemos que a
1
= 2 e q = 6 ¸ 2 = 3
Utilizando a relação do term o geral escrevem os:
Página: 46 de 196

a
5
= a
1
´ q
(5 - 1)
Þ a
5
= 2 ´ 3
4
a
5
= 162
2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão e o prim eiro term o
dessa progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três term os consecutivos obtem os a seguinte relação:
(y + 2)
2
= 3 . (5y - 2)
y
2
+ 4y + 4 = 15y - 6
y
2
- 11y + 10 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtem os:

y = 1 0
P . G . : ( 3 , 1 2 , 4 8 , . . . )
î
í
ì
=
=
4q
3a
1

o u

y = 1
P . G . : ( 3 , 3 , 3 , . . . )
î
í
ì
=
=
1q
3a
1

SOM A DOS TERM OS DE UM A P.G.
Para o cálculo da som a dos n prim eiros term os de um a progressão geom étrica, usa-se a f órm ula abaixo:

S
n
=
q1
)q(1a
n
1
-
-×
o u S
n
=
1-q
1)-(qa
n
1
×

Exercícios Resolvidos
1) Determ ine a som a dos 8 prim eiros term os da progressão geométrica (1, 3, 9, ...).
Resolução:
T em os a
1
= 1 e q = 3
Portanto

S
8
=
)13(
)13(1
8
-
-×
Þ S
8
=
2
16561 -

S
8
= 3 2 8 0

2) Determ ine a som a dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)
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Resolução:
Da P.G. acim a tem os: a
1
= -1 e q = 2 ¸ (-1) = -2
Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem prim eiros term os da P.G.:

S
8
=
( )
)12(
]12[1
8
--
--×-
Þ S
8
=
3
255
-
-

S
8
= 85

EXERCÍCIOS - P.G.
1) Qual é o quinto term o da P.G. ( , , 8, ...)?
9
2
3
4
2) O 4º. term o de um a P.G. é e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessa P.G.?
250
1
3) O 9º. term o de um a P.G. é e a sua razão é . Determ ine:
8
2
2
2
a) O prim eiro term o;
b) o quarto term o.
4) Qual é o décim o termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?
5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte m aneira: no 1º. dia, 5 pessoas ficam
sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no 10º.
dia?
6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em um a noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio é
R$2000,00. Cas o os valores dos prêmios aum entem segundo uma P.G., qual é o valor do prêm io na
última rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?
7) Calc ule o valor de x , de m odo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja um a P.G.
8) Calc ule a som a dos sete prim eiros term os da P.G. (4, -12, 36, ...).
9) Numa P.G. de term os pos itivos, o 1º. term o é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule a som a dos dez prim eiros
term os dessa P.G.

10) Um indivíduo contraiu um a dívida e precisou pagá-la em oito prestações as sim determinadas: 1º.
R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da dívida?
11) Num a cidade, 3100 j ovens alistaram -se para o serviço m ilitar. A junta m ilitar da c idade convocou,
para exam e m édico, 3 jovens no prim eiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por diante. Quantos j ovens
ainda devem ser convoc ados para o exam e após o 10º. dia de convocações?

GABARITO - P.G.
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1) 288
2) q =
10
1
3) a) b) 1
22
4)
128
5
5) 98 415
6) R$ 76 886,72
7) 8
8) 2 188
9) 5 115
10) R$ 2 956,00, aproxim adamente
11) 31
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se m áxim o divisor com um entre dois ou m ais núm eros naturais não nulos, ao m aior
núm ero natural que divide a todos sim ultaneamente.
Exem plo: O m áx im o divisor com um entre 6, 18 e 30 é o núm ero 6, pois este divide ao m es mo tem po o 6,
o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos núm eros dados.
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATO RES PRIMO S
Decom põe-se os núm eros em f atores prim o e em s eguida escolhe-se os fatores prim os com uns
com os menores ex poentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exem plo:
1-) Enc ontrar o MDC entre os núm eros 60 e 280

Escolhemos agora os fatores prim os com uns aos dois núm eros que dec om pom os, com os m enores
expoentes. Os fatores c om uns aos dois núm eros são 2 e 5, e estes f atores com seus m enores
expoentes são :
2
2
´ 5 = 4 ´ 5 = 20

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Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
MDC (60, 280) = 20

2-) Determ inar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator prim o com um entre 480 e 188 é 2, e com o deve ser escolhido aquele que tiver o menor
expoente, então tem os 2
2
= 4
m dc (480, 188) = 4
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
(M ÉT ODO DE EUCLIDES)
Vam os encontrar o m áxim o divisor comum entre 60 e 280.
1
o
. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o m aior núm ero na prim eira lacuna (do m eio) e o m enor
na segunda lacuna (do m eio):

2
o
. Passo: Divida 280 por 60 c olocando o quociente na lacuna de c im a do 60 e o resto na lacuna abaixo
do 280:

3
o
. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do m eio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2
e 3 até encontrarm os res to zero.

4
o
. Passo: O últim o divisor encontrado será o m dc.
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m dc (60, 280) = 20
Nota:
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais núm eros são considerados prim os entre si se e som ente o Máximo Divisor Comum entre
esses números for igual a 1.
Exemplo:
21 e 16, pois m dc (21, 16) = 1
Exercícios Resolvidos
1) Determ inar os dois m enores núm eros pelos quais devem os dividir 144 e 160, a fim de obterm os
quocientes iguais.
Resolução:
Determinam os o M.D.C. entre 144 e 160

mdc (144, 160) = 2
4
= 16

Então:
144 ¸ 16 = 9
O m aior divisor de 144 é 16 e o m enor quociente 9,
Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é tam bém o m aior divisor de 160 e 10 o m enor quociente. Logo os
núm eros procurados são 9 e 10
pois 144 ¸ 9 = 16 e 160 ¸ 10 = 16.
2) Um terreno de form a retangular tem as s eguintes dim ensões, 24 m etros de frente e 56 m etros de
fundo. Qual deve ser o comprim ento de um cordel que sirva para m edir exatam ente as duas dim ens ões?
Resolução:

Então:
mdc ( 56, 24) = 8

Resposta:
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O com prim ento do maior cordel que pode ser utilizado para m edir as dim ensões do terreno deve ser de 8
m etros de com prim ento, pois, 8 é o m aior dos divisores com uns entre 56 e 24.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos,
não nulo, comum a esses números."
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos m últiplos de 6 e outro cons tituído pelos m últiplos de
9.
v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}
Observando-se os dois conjuntos de m últiplos de 6 e 9, verificam os que existem núm eros que
aparecem em am bos, isto é, são com uns aos dois c onjuntos, como os núm eros 18 e 36, isto é:
M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...}
Isto significa que 18 e 36 são m últiplos com uns de 6 e 9, isto é, estes núm eros s ão divisíveis ao
m esm o tem po por 6 e por 9.
Logo terem os c om o Mínim o Múltiplo Com um entre 6 e 9 o núm ero 18, isto é:
mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATO RES PRIMO S
O m ínim o m últiplo com um de dois ou m ais núm eros, obtém -se decom pondo sim ultaneam ente
este núm eros e efetuando-se o produto dos f atores primos com uns e não com uns escolhidos c om seus
m aiores expoentes.
Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos núm eros 70, 140, 180.
Fatorando os núm eros:

70 2 140 2 180 2
35 5 70 2 90 2
7 7 35 5 45 3
1 7 7 15 3
1 5 5
1
Então temos:
70 = 2 x 5 x 7
140 = 2
2
x 5 x 7
180 = 2
2
x 3
2
x 5
Os fatores prim os com uns, is to é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O núm ero 7 não é
fator prim o com um porque só aparec e na fatoração dos núm eros 70 e 140. O número 3 tam bém não é
fator prim o com um porque só aparece na fatoração do núm ero 180. Logo:
Página: 52 de 196

v fatores prim os com uns escolhidos com os m aiores expoentes: 2
2
e 5.
v Fatores prim os não com uns esc olhidos com os m aiores expoentes: 3
2
e 7.
mmc (70, 140,180) = 2
2
x 5 x 3
2
x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Então:
mmc (70, 140, 180) = 2
2
x 3
2
x 5 x 7 = 1260
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois núm eros dados é igual ao produto do M.D.C. desses núm eros.
m m c (a, b) ´ m dc (a , b) = a x b
Exemplo:
Sejam os núm eros 18 e 80
T em os pela regra que: 18 x 80 = m m c (18, 80) ´ m dc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440.
Vam os agora determ inar o M.M.C. desses dois núm eros.

80, 18 2
40 , 9 2
20 , 9 2
10, 9 2
5, 9 3
5 , 3 3
5, 1 5
1, 1

m m c (80, 18) = 2
4
x 3
2
x 5 = 720
Logo:
m dc(80, 18) = 1440 ¸ mm c(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarm os se um problem a deve ser resolvido através do M.M.C. tem os algum as
indicaç ões im portantes.
I - Diante de um problem a, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são m últiplos;
II - Os ac ontecim entos deverão ser sim ultâneos, is to é, com uns;
III - Ao buscarm os a prim eira coincidência, estam os buscando o M.M.C.
Exemplo:
T rês viaj antes passam por determ inado local respectivam ente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que
hoje os três se encontram , quando ac ontecerá o novo encontro?
Resolução:
v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-s e que hoj e os três se encontraram , quando ocorrerá o novo
encontro?"
Þ Múltiplo
v "Encontrar-s e-ão num determinado dia"
Þ Comum
v "Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto

15, 20 , 2 5 2
15, 10 , 2 5 2
15, 5, 2 5 3
5 , 5, 2 5 5
1, 1, 5 5
1, 1 1

300
Resposta:
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
Exercícios para resolver
01) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 1545, 125 e 825.
a) 25
b) 15
c) 10
d) 5
e) 1
02) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 21 e 49.
a) 21
b) 49
c) 147
d) 7
e) 14
03) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 31 e 153.
Página: 54 de 196

a) 1
b) 13
c) 3
d) 4
e) 51
04) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 13 e 49.
a) 13
b) 39
c) 26
d) 7
e) 1
05) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 250 e 450.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
06) Obter o M áximo Divisor Comum entre os números 1250 e 4568.
a) 12
b) 10
c) 5
d) 2
e) 3
07) Obter o M ínimo M últiplo Comum entre os números 1250 e 4568.
a) 2.855.000
b) 1.250.000
c) 5
d) 2
e) 3
08) Obter o M ínimo M últiplo Comum entre os números 250 e 450.
a) 2.000
b) 2.150
c) 2.250
d) 2.500
e) 4.500
09) Obter o M ínimo M últiplo Comum entre os números 13 e 49.
a) 637
b) 497
c) 351
d) 139
e) 491
10) Obter o M ínimo M últiplo Comum entre os números 21 e 49.
a) 21
b) 49
c) 147
d) 7
e) 14
Gabarito
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01) D 02) D 03) A 04) E 05) E 06) D 07) A 08) C 09) A 10) C
Noções Básicas da Teoria dos Conjuntos
Introdução
Com o em qualquer assunto a ser es tudado, a Matem átic a tam bém exige uma linguagem adequada para
o seu desenvolvim ento.
A teoria dos Conjuntos representa instrum ento de grande utilidade nos diversos desenvolvim entos da
Matem ática, bem c om o em outros ramos das ciências f ísicas e hum anas.
Devemos aceitar, inicialm ente, a ex is tência de alguns conc eitos prim itivos (noções que adotam os sem
definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.
Adotarem os a ex is tência de três conceitos prim itivos: elemento, conjunto e pertinência . Assim é
preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de m oradores desta c idade, ou
m elhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesm o que
não tenham os definido o que é conjunto, o que é elem ento e o que é pertinência.
Notação e Representação
A notação dos conj untos é feita m ediante a utilização de um a letra m aiúscula do nosso alfabeto e a
representação de um conj unto pode ser feita de divers as m aneiras, com o verem os a seguir.

1) Listagem dos Elemen tos
Apresentam os um conjunto por m eio da listagem de seus elem entos quando relacionam os todos os
elementos que pertenc em ao conj unto considerado e envolvem os essa lista por um par de chaves. Os
elementos de um conjunto, quando apresentados na form a de listagem , devem s er separados por vírgula
ou por ponto-e-vírgula, caso tenham os a presença de núm eros decim ais .
Exemplos
1
o
) Sej a A o conjunto das cores da bandeira bras ileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branc o}
2
o
) Sej a B o conjunto das vogais do noss o alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
3
o
) Sej a C o conjunto dos algarism os do s is tem a decimal de num eração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2) Uma Propried ade de Seus Elementos

A apresentação de um conj unto por m eio da listagem de seus elem entos traz o inconveniente de não ser
um a notação prática para os casos em que o conjunto apresenta um a infinidade de elem entos. Para
estas situações, podem os fazer a apresentação do conjunto por m eio de um a propriedade que sirva a
todos os elem entos do conj unto e somente a estes elem entos.
Página: 56 de 196

A = { x / x possui um a determ inada propriedade P }
Exemplos
1
o
) Sej a B o conjunto das vogais do noss o alfabeto, então:
B = { x / x é vogal do nosso alf abeto}
2
o
) Sej a C o conjunto dos algarism os do s is tem a decimal de num eração, então:
C = { x / x é algarism o do sistem a decim al de num eração}

3) Diagrama de E uler - V enn

A apresentação de um conj unto por m eio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, m uito prática.
Os elementos são representados por pontos interiores a um a linha fechada não entrelaçada. Dessa
form a, os pontos exteriores à linha representam elem entos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo

Relação de Pertinência
Quando querem os indicar que um determinado elem ento x f az parte de um conj unto A , dizem os que o
elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que o sím bolo é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda m atem ática c om o
sím bolo indicativo de pertinência. Para indicarm os que um elem ento x não pertence ao conjunto A ,
indicam os:

Exemplo
Considerem os o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarism o 2 pertence ao conjunto A :

O algarism o 7 não pertence ao conjunto A :

Relação de Inclusão S ubconjuntos
Dizem os que o conj unto A está contido no conjunto B se todo elem ento que pertencer a A , pertencer
tam bém a B . Indicam os que o conjunto A está contido em B por m eio da seguinte sím bologia:
Página: 57 de 196

Obs. – Podem os encontrar em algumas publicações um a outra notação para a relação de inclus ão:

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elem ento de A que não pertence a B .
Indicam os que o conjunto A não está c ontido em B desta maneira:

Se o conjunto A está contido no conjunto B , dizem os que A é um subconjunto de B . Como todo
elemento do conjunto A pertence ao conjunto A , dizem os que A é subconjunto de A e, por extensão, todo
conjunto é subconjunto dele m esm o.
Importante – A relação de pertinência relaciona um elem ento a um conjunto e a relação de inclusão
refere-s e, sem pre, a dois conj untos.

Podemos notar que existe um a diferença entre 2 e {2}. O prim eiro é o elem ento 2, e o segundo é o
conjunto form ado pelo elem ento 2. Um par de sapatos e um a caixa com um par de sapatos são coisas
diferentes e com o tal devem ser tratadas.
Podemos notar, tam bém, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado com o um de
seus elem entos. Vej am os o exemplo a seguir:
Página: 58 de 196

{1, 2} é um conj unto, porém no conjunto
A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elem ento, ou sej a, {1, 2} A .
Um a cidade é um conjunto de pessoas que representam os m oradores da cidade, porém um a cidade é
um elem ento do conjunto de cidades que form am um Es tado.
Conjuntos Especiais
Em bora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elem entos, podemos considerar com o conj unto
agrupam entos f orm ados por um só elem ento ou agrupam entos sem elem ento algum .
Cham am os de conjunto unitário aquele f orm ado por um só elem ento.
Exe mp los
1
o
) Conjunto dos núm eros prim os, pares e positivos:
{2}
2
o
) Conjunto dos satélites naturais da T erra:
{Lua}
3
o
) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11:
{6}
Cham am os de conjunto vazio aquele form ado por nenhum elem ento. Obtem os um conjunto vazio
considerando um conjunto f orm ado por elem entos que adm item um a propriedade im pos sível.
Exemplos
1
o
) Conjunto das raízes reais da equação:
x
2
+ 1 = 0
2
o
) Conjunto:
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas form as:
Ø ou { } Ø ( é um a letra de origem norueguesa).
Não podem os conf undir as duas notações representando o conjunto vazio por { Ø }, pois estaríam os
apres entando um conjunto unitário cujo elemento é o Ø.
O conjunto vazio está contido em qualquer conj unto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer
conjunto, inclusive dele m esm o.
Demonstração
Vam os adm itir que o conjunto vazio não estej a contido num dado conjunto A . Neste caso, existe um
elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A , o que é um absurdo , pois
o conjunto vazio não tem elem ento algum . Conclusão : o c onjunto vazio está contido no conjunto A ,
qualquer que seja A .
Conjunto Universo
Página: 59 de 196

Quando desenvolvem os um determ inado assunto dentro da m atem ática, precisamos adm itir um conjunto
ao qual pertencem os elem entos que desej am os utilizar. Este conjunto é cham ado de conjunto universo
e é representado pela letra maiúscula U .
Um a determ inada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que
for estabelecido.
Exemplos
1
o
) A equação 2 x
3
– 5 x
2
– 4 x + 3 = 0 apresenta:

2
o
) O c onjunto dos pontos eqüidistantes de um ponto dado pode ser form ado:
– por apenas dois pontos, se o conjunto universo for um a reta que passa pelo ponto dado;

– pelos infinitos pontos de um a circunf erência, se o conjunto universo for um plano que passa pelo ponto
dado;

– pelos infinitos pontos de um a superfície esférica, se o conjunto universo f or o espaço a que o ponto
dado pertenc e.

Para iniciarm os qualquer procedimento m atem ático, é im portante saberm os em qual conjunto universo
vam os atuar.
Conjunto de Partes
Dado um conjunto A , dizem os que o seu conjunto de partes, representado por P ( A ), é o conjunto
Página: 60 de 196

form ado por todos os subconj untos do conj unto A .

1) Determinação do Con junto de Partes

Vam os observar, c om o exemplo a seguir, o procedim ento que se deve adotar para a determ inação do
conjunto de partes de um dado conj unto A . Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obterm os o conjunto de
partes do conjunto A , basta escreverm os todos os seus s ubconjuntos:
1
o
) Subconjunto vazio:
Ø , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2
o
) Subconjuntos com um elem ento: {2}, {3}, {5}.
3
o
) Subconjuntos com dois elem entos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4
o
) Subconjuntos com três elem entos: A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesm o.
Ass im , o c onjunto das p artes do con junto A pode ser ap resentado da seguin te form a: P ( A ) = { Ø,
{2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3 , 5}, {2, 3, 5}}

2) Número de Ele mentos do Con junto de Partes
Podemos determinar o núm ero de elem entos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o
núm ero de subconjuntos do referido conjunto, sem que haj a necessidade de escreverm os todos os
elementos do conjunto P ( A ). Para isso, bas ta partirm os da idéia de que cada elem ento do conj unto A
tem duas opções na formação dos s ubconjuntos: ou o elem ento pertence ao subconjunto ou ele não
pertence ao s ubconjunto e, pelo uso do princípio m ultiplicativo das regras de contagem , se cada
elemento apresenta duas opções, terem os:

Observem os o exem plo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se
supor, pelo uso da relaç ão apresentada, que n [ P ( A )] = 2
3
= 8, o que de fato ocorreu.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os m esm os elem entos, em qualquer ordem
e independentem ente do núm ero de vezes que cada elem ento s e apresenta. Vejam os os exem plos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B ( A B ) e B está contido em A ( B A ), podem os afirm ar que A = B .
Resumo
a) Conceito de c onjunto: “reunião” de elementos que constituem um conjunto e a ele pertencem.
b) Notação e representação: por meio da listagem dos elem entos; por meio de um a propriedade com um
a seus elem entos; graficam ente, pelo uso do diagram a de Euler-Venn.
Página: 61 de 196

c) Pertinência: indica quando um elem ento ( pertence) ou (não pertence) a um determ inado
conjunto.
d) Inc lusão: indica quando um conj unto está (contido) ou (não contido) em outro conjunto. Um
conjunto estará contido em outro se todos os elem entos do 1
o
conj unto pertencerem tam bém ao 2
o
conjunto. O prim eiro será cham ado de subconjunto do segundo.
e) Conj untos especiais: unitário – um único elem ento; vazio – nenhum elem ento. O conjunto vazio é
representado, geralm ente, pela letra norueguesa Ø.
f) Conjunto de partes de A : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A . Não podem os nos
esquec er do conjunto vazio e do próprio conj unto A .

g) Igualdade de conjuntos:

Exercícios Resolvidos
01. Dado o conj unto M = {1, 3, 5, 7}, pede-se:
a) Quantos elementos pos sui P ( M )?
b) Escreva os elementos de P ( M ).
Res olução
a) M = {1, 3, 5, 7}, então n(M) = 4, portanto n(M) = 2
4
= 16.
b) P(M)= { {1}, {3}, {5}, {7}, {1,3}, {1,5}, {1,7}, {3,5}, {3,7}, {5,7}, {1,3,5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5,
7} , Ø }
02. Se o conjunto P ( R ) tem 1 024 elem entos, quantos são os elementos de R ?
Res olução
Decompondo 1 024 em fatores primos, obteremos:
1 024 = 2
10
, então n(R) = 10
03. Considerando U = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} com o conjunto universo, determ inar o conjunto solução de:

Res olução
Página: 62 de 196

04. Os elem entos dos conjuntos abaixo são núm eros naturais . Esc reva esses conj untos por meio de um a
propriedade que os caracterize:
a) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
b) A = {0, 3, 6, 9 ...60}
Resolução
a)

é número ímpar}
b)

é múltiplo de 3, maior ou igual a zero e menor ou igual a 60}
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Contagem - Arranjo - Permutação - Combinação
Nesta parte da m atemática estudarem os as diversas possibilidades da ocorrência de um evento, com o
por exem plo, de quantas m aneiras distintas pode um a pessoa subir até o últim o andar de um prédio
havendo três portas de entrada e mais quatro elevadores? Ou m es mo, quantos núm eros de três
algarism os distintos há em nosso sistem a de num eração dec im al?
Para responder a essas duas perguntas estudarem os o prim eiro assunto da Análise Com binatória:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAG EM
Vam os descobrir de quantas m aneiras distintas pode um hom em (H), subir até o apartam ento de sua
m ulher (M) que m ora no último andar de um prédio. Sabe-se este prédio possui três portas de entrada e
após, quatro elevadores para subir até o andar desejado.
Observe todas as possibilidades relacionadas:
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H
Porta
1

Porta
2

Porta
3

M
Elevador
1
Elevador
2

Elevador
3

Elevador
4

Observam os que para cada porta de entrada há quatro elevadores de acesso ao andar destinado, e
portanto se tem os três portas de entrada obterem os então 4 + 4 + 4 = 12 formas distintas de s ubir até M ,
o que seria m ais fácil efetuar 3 x 4 = 12 possibilidades.
O Princípio Fundam ental da Contagem nos diz exatamente isso:
Se um acontecim ento pode ocorrer por várias etapas s ucessivas e independentes, de tal m odo que:
p
1
é o núm ero de poss ibilidades da 1ª etapa
p
2
é o núm ero de poss ibilidades da 2ª etapa
p
3
é o núm ero de poss ibilidades da 3ª etapa
...
p
k
é o núm ero de possibilidades da k -ésima etapa, então: p
1
.p
2
.p
3
... .p
k
é o núm ero de possibilidades
de o acontecim ento ocorrer.
No nosso cas o tínham os duas etapas, a entrada por um a das portas e a subida por um dos quatro
elevadores e, portanto 12 maneiras distintas de H chegar até M.
Exercícios Resolvidos
1 ) Quatro carros (c
1
, c
2
, c
3
e c
4
) disputam um a corrida. Quantas são as pos sibilidades de chegada para
os três primeiros lugares?
Resolução:
Para separarm os as etapas possíveis utilizarem os os três retângulos abaixo:

1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar
O prim eiro retângulo para o primeiro lugar, o s egundo para o segundo lugar e o terceiro para o terceiro
lugar. T em os, portanto, 4 possibilidades para o prim eiro lugar, 3 possibilidades para o segundo lugar e 2
possibilidades para o terceiro lugar, logo o número de possibilidades de chegada para os três prim eiros
lugares é 4 x 3 x 2 = 24.
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2) Calc ule quantos núm eros de quatro algarism os distintos podem os form ar usando os algarism os:
a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6
b) 0, 1, 2, 3, 4 e 5
Resolução:
a) Aplicando o princípio fundamental da contagem tem os o esquem a abaixo e, portanto podem os form ar
360 núm eros.

6 5 4 3 = 360
b) T em os o mesm o esquem a, com a ressalva de que para o algarism o da unidade de milhar tem os 5
possibilidades e não 6, com o no item anterior, um a vez que o zero no início não é contado com o
algarism o, para a centena tem os 5 possibilidades também , pois o zero poderá oc upar esta "casa".

5 5 4 3 = 300
3 ) Calcule quantos núm eros ím pares de três algarism os distintos podem os form ar usando os algarism os
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Resolução:
Para saberm os se um núm ero é ím par ou não, devem os olhar para o último algarism o onde devem os ter
um algarism o ím par, então constatam os que há 5 term inações possíveis (1, 3, 5, 7 e 9):

8 7 5 = 280

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Logo, podemos form ar 280 núm eros ím pares.
4) Para pintarm os um a bandeira com 5 listras verticais dispom os de 4 cores diferentes de tinta. De
quantas form as distintas podemos pintar a bandeira de modo que duas listras vizinhas nunca sejam
pintadas com a m esm a cor?
Resolução:
Observe o desenho da bandeira com 5 listras verticais e aplicando o P.F.C., obtem os :

4 3 3 3 3 =
972

Exercícios Característicos de Contagem

Ocupação de Lugares Definidos

De quantos m odos 3 pessoas podem sentar-se em um banco de cinco lugares?
1
a
Resolução
· Considerem os com o etapas suc ess ivas e independentes as escolhas dos lugares que as três
pessoas vão ocupar.

T otal = 5 · 4 · 3 = 60
2
a
Resolução
· Considerem os com o etapas suc ess ivas e independentes as escolhas das pessoas por quem os
cinco lugares serão ocupados, considerando, porém , dois f antasm as para sim bolizar os lugares
vagos.
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T otal = = 60

Note que o total foi dividido por 2! para desprezar a m udança de ordem dos fantasmas.

Resposta: Podem sentar-se de 60 m odos dif erentes.
Distribuição em Grupos

Oito es coteiros devem ser dis tribuídos em duas patrulhas que terão m issões diferentes. De quantos
m odos isto pode acontecer?
Resolução
· Im aginem os a distribuição sendo feita colocando-se os escoteiros em fila e considerem os os
quatro prim eiros da fila em um a patrulha e os quatro últimos na outra.

T otal = = 70

Resposta : Pode acontecer de 70 m odos.

Figuras Geométricas

Considere 8 pontos distintos em um a circunferência. Quantos s ão os triângulos que podem ser form ados
com vértices nesses pontos?
Resolução
· Considerem os as etapas sucessivas das escolhas dos vértices dos triângulos:
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· T otal = = 56

Resposta: Podem ser form ados 56 triângulos .

Exercícios Resolv idos
Ocupação de Lugares Definidos

01. De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modo
que nunca haja nem dois rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra?

a) 5 040 d) 576
b) 40 320 e) 1 152
c) 2 880
Resolução

Podemos ter:

Logo: 576 + 576 = 1 152

Resposta: E
Distribuição em Grupos

02. Oito livros devem ser distribuídos em dois grupos de quatro livros cada um. De quantos
modos isto pode ser feito?
Resolução
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Total = = 35
Resposta: Pode acontecer de 35 modos.

Figuras Geométricas

03. Sejam 15 pontos distintos, pertencentes a uma circunferência. O número de retas distintas
determinadas por esses pontos é:

a) 14 d) 210
b) 91 e) 225
c) 105
Resolução

15 pontos distintos de uma c ircunferênc ia nunca serão alinhados 3 a 3 e sabemos que = ;
portanto:

Total = = 105

Resposta: C

04. Nas condições do problema anterior, qual o número de semi-retas determinadas pelos 15
pontos?
Resolução

Sabemos que ; portanto:
Total = 15 · 14 = 210

Resposta: 210 semi-retas
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ARRANJOS SIMPLES
T odo problema de contagem pode, pelo m enos s er resolvido pelo Princípio Fundam ental da Contagem e,
no entanto podem os ainda utilizar a técnica dos agrupam entos para a resolução dos m esmos.
Obs.: Consideramos os agrupam entos (arranjos, permutações e combinações) simples, isto é, f orm ados
apenas por elem entos distintos.
FÓRMULA:
p)!(n
n!
A
pn,
-
=
Exercícios Resolvidos
1) Obtenha o valor de A
5,2
( Arranjo de 5 elem entos tom ados 2 a 2 ).
Resolução:

2)!(5
5!
A
5,2
-
= =
3!
5!
=
3!
3!45 ××
= 2 0

2) Quantos núm eros com 2 algarism os distintos podemos form ar utilizando os elem entos do conjunto {1,
2 ,3 , 4, 5}?
Resolução:
Utilizando o P.F.C. obtemos:

5 4 = 2 0
Podemos ainda utilizar o Arranjo para a resolução deste problem a:

2)!(5
5!
A
5,2
-
= =
3!
5!
=
3!
3!45 ××
= 20

3) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas escolhidas de um alfabeto com
26 letras , seguidas de um a seqüência de três algarismos distintos . Quantas senhas poderiam ser
confeccionadas, nestas c ondições?
Resolução:
Por Arranjo:
Escolhendo duas letras de um total de 26 letras e com o im porta a ordem dos elem entos da escolha
farem os A
26, 2
. Analogam ente para a escolha dos três algarism os tem os A
10,3
:
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A
26,2
A
10,3
´
= 468 000
Pelo P.F.C.:

26 25 10 9 = 468 000 8
Letras
Distintas
Algarismos
Distintos

PERMUTAÇÃO
Permutar significa m udar, toda vez que você se deparar com um exercício onde apenas trocando (ou
m udando) os elem entos de posição sem m esm o acrescentar ou retirá-los, você obterá novas respostas
então você poderá usar a permutação para a resolução do exercício em questão.
Exemplo: Quantos números de quatro algarism os distintos podemos form ar utilizando os elem entos do
conjunto {2, 5, 6, 9}?
Um núm ero que podemos form ar seria o 2569 (dois mil quinhentos e sessenta e nove), trocando o 5
(cinco) com o 6 (seis), obteremos o 2659 (dois m il seisc entos e cinqüenta e nove), são dois núm eros
diferentes e utilizam os para a form ação dos m es mos todos os algarism os do conjunto, não tendo que
acrescentar, retirar ou m es mo repetir.
Vam os, então, descobrir quantos núm eros de quatro algarism os distintos podem os form ar utilizando os
elementos do c onjunto, e para tanto farem os uso do princípio fundam ental da contagem :

4 3 2 1 = 24
Observe que "4 . 3 . 2 . 1" é o mesm o que 4!, e, portanto para chegarm os na resposta, bastava c ontar a
quantidade de elementos e utilizar a perm utação sim ples, que no cas o seria a P
4
= 4!
Definição: " Seja A um conj unto com n elem entos. Os arranjos sim ples dos n tom ados n a n dos
elementos de A, são cham ados permutações simples de n elem entos."
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P
n
= n!
Exercícios Resolvidos
1) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL?
Resolução:
Um possível anagram a da palavra BRASIL seria BRLSIA , onde trocam os as pos iç ões da letra L e letra
A. Portanto nos deparam os com um problem a de troca de elem entos, ou seja, um problema de
Perm utação.
Observe que não há repetições de letras e tem os 6 letras para serem perm utadas, logo:
P
6
= 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
T em os portanto, 720 anagram as da palavra BRASIL.
2 ) Quantos são os anagram as da palavra BRASIL que com eçam com a letra B?
Resolução:
Com o devemos descobrir quantos anagram as com eçam com a letra B, fixaremos a letra B no início e
permutarem os o restante das letras, logo:

B ___ ___ ___ ___ ___
P
5
= 5! = 120
3) Cinco pessoas , entre elas Fred e Fabiano , vão posar para um a fotograf ia. De quantas m aneiras elas
podem ser dispostas se Fred e Fabiano recusam-se a ficar lado a lado?
Resolução:
Sem levar em c onta a restrição, o núm ero total de possibilidades é P
5
= 5! = 120.
Determinarem os agora, o núm ero de pos sibilidades que Fred e Fabiano aparecem juntos, considerando
que os dois sejam um a só pes soa que irá perm utar com as três restantes, num total de P
4
= 4! = 24.
Porém, em cada um a das possibilidades ac im a Fred e Fabiano podem trocar de lugar entre si, num total
de P
2
= 2 m aneiras.
Dessa form a , 2 ´ 24 = 48 é o núm ero de m aneiras que eles aparec em juntos.
Logo, a dif erença 120 - 48 = 72 nos dá o núm ero de situações em que Fred e Fabiano não aparecem
lado a lado.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES

Exemplo: Qual o núm ero de anagram as da palavra PANT ERA?
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Resolução:
Um pos sível anagram a da palavra PANT ERA é PANT ERA...
Com o tem os dois "A(s)" ao permutarm os os dois tem os um m esm o anagram a, portanto devem os levar
isso em c onsideração.
Cálculo da Perm utação com Elem entos Repetidos :

...c!b!a!
n!
c,...b,a,
n
P
×××
=
onde:
a, b, c, ... Þ são os núm eros de repetições dos elem entos.
n Þ a quantidade de elem entos que serão perm utados .
No caso da palavra PANT ERA terem os:

!2
!7
P
2
7
=
=
2!
2!7.6.5.4.3.
= 2 5 2 0

Exercício Resolvido
Qual o núm ero de anagram as da palavra M AT EM ÁT ICA?
Resolução:
A palavra M AT EM ÁT ICA pos sui dois "M (s)", dois "T (s)" e três "A(s)", então:

!3!2!2
!10
P
3,2,2
10
××
=
=
3!22
3!45678910
××
×××××××
= 15 1 20 0

COMBINAÇÃO SIMPLES

Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , com os elem entos desse conjunto podemos form as núm eros
de três algarismos distintos ou m esm o s ubconjuntos de três elem entos.
Exemplos:
Números Subconjuntos
123 456 {1,2,3} {4,5,6}
321 654 {3,2,1} {6,5,4}
213 546 {2,1,3} {5,4,6}
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Observe que tem os 6 números formados de três algarismos distintos , e no entanto, não teremos 6
subconjuntos formados e sim, apenas 2 subconjuntos , um a vez que a ordem dos elem entos de um
conjunto não importará, assim :
{1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {2, 1, 3}
por outro lado terem os
123 ¹ 321 ¹ 213
Portanto,
Para enc ontrarm os a quantidade de núm eros form ados de três algarism os distintos com os elem entos
do c onjunto A, basta aplicarm os o P.F.C. Þ 6 ´ 5 ´ 4 = 120 números.
Por outro lado, para encontrarmos a quantidade de subconjuntos form ados com três elem entos
utilizarem os a Com binaç ão Sim ples , um a vez que nes te caso a ordem dos elem entos não im portará.
FÓRMULA

p)!(np!
n!
C
pn,
-×
=
"Combinação de n elem entos tom ados p a p"
No exemplo acim a terem os :

)!36(!3
!6
C
3,6
-×
= =
!3!3
!6
×
=
!3123
!3456
×××
×××
= 2 0

serão, portanto, 20 subconjuntos form ados.
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
T odos os elem entos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula:
C,(m,p) = C (m+p-1,p)
Cálculo para o exem plo:
C,( 4,2) =C ( 4+2-1 ,2) = C(5,2) = 5!/[2!3!]=10
Exem plo:
Seja C={A,B,C,D}, m =4 e p=2. As com binações com repetição des ses 4 elem entos tom ados 2 a 2 são 10
grupos que têm todas as repetições possíveis de elem entos em grupos de 2 elem entos não podendo
aparecer o mesm o grupo com a ordem troc ada. De um m odo geral nes te caso, todos os agrupam entos
com 2 elem entos form am um conjunto c om 16 elem entos:
C,= {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
m as para obter as com binações com repetição, deveremos excluir des te conjunto os 6 grupos que já
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as c om binações
com repetição dos elem entos de C tom ados 2 a 2, são:
Cr ={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
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Exercícios Resolvidos
1) Num a classe há 40 alunos . Desejamos form ar comissões de 3 alunos.
a) De quantas form as distintas podem os eleger um a com issão?
b) De quantas form as distintas podem os eleger um a com issão sendo que ela deve ter 3 cargos
diferenciados: um presidente, um secretário e um tesoureiro?
Resolução:
a) Com o não há cargos diferenciados para c ada mem bro da com issão, a ordem dos elem entos não irá
im portar, ou seja, um a comissão com Gregório, Leandro e Alexandre é a m esm a que um a outra form ada
por Leandro, Alexandre e Gregório. T rata-s e, portanto, do cálculo de C
40,3
:

)!340(!3
!40
C
3,40
-×
= =
!37123
!37383940
×××
×××
= 9 8 8 0

Logo, esta com is são pode s er form ada de 9 880 form as distintas.
b) Neste caso, há cargos diferenciados e a ordem dos elem entos im portará, uma vez que se Gregório for
o presidente, Alexandre o sec retário e Leandro o tesoureiro, será diferente se troc ado Gregório e
Leandro, por exem plo.
T rata-se, então, do cálculo de A
40,3
, ou m esm o, da aplicação do P.F.C.:

4 0 3 9 3 8 = 5 9 2 8 0
P r e s . S e c r . T e s .
Logo, podemos form ar 59280 comiss ões distintas .
2) Num a classe de 3 0 alunos , 18 são moças e 12 são rapazes. Quantas com issões de 5 alunos
podem os form ar s abendo que na c om issão deve haver 3 moças e 2 rapazes ?
Resolução:
Para form ar a ala fem inina: C
18,3
= 816
Para form ar a ala m asculina: C
12,2
= 66
Aplicando o P.F.C., o número total de com issões será: 816 ´ 66 = 53 856.
EXERCÍCIOS
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1) Sabendo que núm eros de telefone não começ am com 0 e nem com 1, calcule quantos diferentes
núm eros de telefone podem ser formados com 7 algarismos?
2) Para ir ao clube, Neuci deseja usar uma camiseta , uma saia e um par de tênis . Sabendo que ela
dispõe de seis camisetas, quatro saias e três pares de tênis, de quantas m aneiras distintas poderá
vestir-s e?
3) Uma agência de turism o oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo - Miam i através de duas
com panhias: Varig ou Vasp. O passageiro pode escolher tam bém entre primeira class e , classe executiva
e classe econômica . De quantas maneiras um passageiro pode f azer tal es colha?
4) Um jantar constará de três partes : entrada , prato principal e sobremesa . De quantas m aneiras
distintas ele poderá ser com posto, se há c omo opções oito entradas , cinco pratos principais e quatro
sobremesas ?
5) Com os algarism os 1, 2, 4, 6, 8 e 9:
a) quantos núm eros de quatro algarism os podem os formar?
b) quantos núm eros de quatro algarism os distintos podem os f orm ar?
6) Com os algarism os 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) quantos núm eros de quatro algarism os distintos com eçam por 3?
b) quantos núm eros pares de quatro algarism os distintos podemos form ar?
7) Com os algarism os 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos núm eros ím pares de quatro algarismos podem os
form ar?
8) Calc ule: a) A
9, 3
b) A
8, 4
9) Resolva a equação A
x, 2
= 20.
10) Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos núm eros de dois algarism os dis tintos é possível
form ar c om os elementos do conjunto A, de m odo que:
a) a s om a dos algarism os seja ím par?
b) a s om a dos algarism os seja par?
11) Determ ine n sabendo que P
n
= 120.
12) Considere os anagram as form ados com as letras C, A, S, T , E, L, O:
a) Quantos são?
b) Quantos com eçam por C?
c) Quantos com eçam por CAS?
d) Quantos com eçam e terminam por vogal?
e) Quantos com eçam por vogal e term inam por consoante?
13) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de Álgebra , três de Geometria e dois de
Trigonometria . De quantos m odos podem os arrum ar es ses livros na estante, se desejamos que os livros
de um m esm o ass unto perm aneçam j untos?
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14) Um a classe de 10 alunos, entre eles Mariana e Gabriel , será s ubm etida a um a prova oral em que
todos os alunos serão avaliados . De quantas m aneiras o prof ess or pode escolher a seqüência dos
alunos:
a) se Mariana deve ser sem pre a prim eira a s er cham ada e Gabriel sem pre o últim o a ser chamado?
b) se Mariana deve ser, no m áxim o, a 2ª pes soa a ser cham ada? (Há dois casos a serem considerados.)
15) Quantos são os anagram as da palavra MACACA?
16) Quantos são, ao todo, os anagram as da palavra M AT EM ÁT ICA que começam com vogal? (Não levar
em consideração o acento).
17) Um torneio de futebol será disputados em duas sedes a serem escolhidas entre seis c idades. De
quantas m aneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades?
18) Quinze alunos de um a classe participam de um a prova class if icatória parta a Olim píada de
Matem ática. Se há três vagas para a Olim píada, de quantas form as o professor poderá escolher os
alunos?
19) De um baralho de 52 c artas , sorteam os sucessivam ente, e sem repos iç ão, cinc o cartas . O s orteio
sucessivo e sem reposição garante que as cartas sorteadas sejam distintas.
a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?
b) De quantas form as essas cartas podem ser sorteadas de modo que o ás de copas possa ser sem pre
incluído?
20) Um a j unta m édica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros . De quantas maneiras
ela poderá ser form ada s e estão dis poníveis dez médicos e seis enfermeiros ?
21) Um a classe tem 10 meninos e 12 meninas . De quantas m aneiras poderá s er escolhida um a
com issão de três meninos e quatro meninas , incluindo, obrigatoriam ente, o m elhor aluno e a m elhor
aluna?
22) Considere duas retas paralelas. Marque 7 pontos distintos num a delas e 4 pontos distintos na outra.
Determine, em seguida, o núm ero total de:
a) Retas determinadas por estes pontos.
b) T riângulos com vértices nestes pontos .
c) Quadriláteros com vértices nestes pontos.
23) Um a em presa é form ada por 6 sócios brasileiros e 4 japones es . De quantos modos podem os form ar
um a diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses ?
GABARIT O
1) 8 000 000
2) 72
3) 6
4) 160
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5) a) 1296 b) 360
5) a) 60 b) 180
7) 882
8) a) 504 b) 1 680
9) S = {5}
10) a) 12 b) 8
11) 5
12) a) 5 040 b) 720 c) 24 d) 720 e) 1 440
13) 8 640
14) a) 8! = 40320 b) 2 . 9! = 725760
15) 60
16) 75 600
17) 15
18) 455
19) a) C
52, 5
b) C
51, 4
20) 3 150
21) 5 940
22) a) 30 b) 126 c) 126
23) 120

ESTATÍSTICA
INT RODUÇÃO
Em anos de eleições é inevitável nos depararm os com pesquisas eleitorais, com o por exem plo, quem
está em prim eiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, m as será que todos os eleitores foram
consultados? Com c erteza não, pois há m étodos m ais convenientes, c om o por exem plo, c onsidera-se
um a am ostra dos eleitores e a partir desta am ostra se c onclui para o restante dos eleitores.
Em m arço de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte pressão do povo
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brasileiro, apresentou um a proposta de em enda à Constituiç ão, que pretendia restabelecer as eleições
diretas para a Presidência da República. A expectativa em torno dessa votaç ão deu origem à m aior
m anif es tação popular já conhecida nes te país, que ficou conhecida com o "Diretas já".
Em abril de 1984, cerca de 500 m il pessoas estavam na Praça da Candelária, no Rio de Janeiro e m ais
1 m ilhão no Vale do Anhangabaú em São Paulo. A relação desse acontecim ento com a Matem ática, é a
form a com o foram contadas as pessoas nestes lugares. Conta-se a quantidade de pessoas em um certo
local, e divide-se pela área ocupada por essas pessoas, em seguida, m ultiplica-se pela área total
ocupada, obtendo assim o valor estim ado que é bem próximo do total.
ROL
As notas de 20 alunos de um a turma de oitava série estão abaixo relac ionadas:
* 5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6 - 1,3
Para encontrarmos o Rol desta distribuição de valores basta coloc arm os os valores em ordem crescente
ou decrescente:
* 1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 - 8,7 - 9,6
* 9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 - 2,1 - 1,3
CLASSES
Qualquer intervalo real que contenha um rol é cham ado de classe. Considerando a relação de notas
especificadas acim a podem os estabelecer as seguintes c lasses de intervalos:
v o intervalo [1, 2[ contém a nota 1,3
v o intervalo [2, 1[ contém a nota 2,1
v o intervalo [2, 3[ contém as notas 3,2; 3,4; 3,7
E assim sucessivamente.
O bservação:
A amplitude é a diferença entre o maior e o m enor elem ento de um a distribuiç ão, intervalo ou classe.
Exemplos:
v 9,6 - 1,3 = 8,5 é am plitude da distribuição das notas.
v A am plitude da classe [7, 8[ é 7,7 - 7,1 = 0,6.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (f
i
)
É a quantidade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe a tabela
abaix o, referente à distribuição das notas:
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CLASSES Freqüência Absoluta
(f
i
)
[1, 2[ 1
[2, 3[ 1
[3, 4[ 3
[4, 5[ 1
[5, 6[ 3
[6, 7[ 1
[7, 8[ 7
[8, 9[ 2
[9, 10[ 1
TOTAL 20
Da tabela podem os concluir que, por exem plo, 7 alunos tiraram notas entre 7,0 e 8,0.
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (f
a
)
A distribuição de f reqüências absolutas pode ser com pletada com m ais um a coluna, cham ada
freqüências absolutas acumuladas (f
a
), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüência
absoluta os valores das freqüências anteriores.
CLASSES Freqüência Abso luta (f
i
) Freqüência Absoluta Acumulada (f
a
)
[1, 2[ 1 1
[2, 3[ 1 2
[3, 4[ 3 5
[4, 5[ 1 6
[5, 6[ 3 9
[6, 7[ 1 10
[7, 8[ 7 17
[8, 9[ 2 19
[9, 10[ 1 20
TOTAL(n) 20
ÀÀÀÀÀ ÀÀÀÀÀÀ ÀÀ
FRE QÜÊNCIA RELATIVA (f
%
)
FREQÜÊNCIA RELAT IVA ACUM ULADA (f
a%
)
A freqüência relativa é obtida através do quociente:
onde f
i
representa a freqüência absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a s om a de todos as
freqüências absolutas.
A freqüência relativa acumulada é obtida de m odo análogo à freqüência abs oluta acumulada, m as agora
utilizando a freqüência relativa.
Acrescentando m ais duas colunas na tabela:
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CLASSES F.A. (f
i
) F.A.Al. (f
a
) F. R. (f
%
) F. R. A. (f
a%
)
[1, 2[ 1 1 5% 5%
[2, 3[ 1 2 5% 10%
[3, 4[ 3 5 15% 25%
[4, 5[ 1 6 5% 30%
[5, 6[ 3 9 15% 45%
[6, 7[ 1 10 5% 50%
[7, 8[ 7 17 35% 85%
[8, 9[ 2 19 10% 95%
[9, 10[ 1 20 5% 100%
TOTAL(n )
20
À ÀÀÀÀ
100%
ÀÀÀÀ À

· F.A. (f
i
) = Freqüência Abs oluta
· F.A.A. (f
a
)= Freqüência Absoluta Acumula da
· F. R. (f
%
) = Freqüência Relativa
· F. R. A. (f
a%
) = Freqüê ncia RelativaAcum ulada
Nota:
Esta tabela é cham ada de Tabela de Distribuição de Freqüência .
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A tabela de distribuição de freqüência do ex em plo anterior pode ser representada graficamente:
GRÁFICO DE LINHA
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[ 1, 2 ] [ 2 , 3 ] [ 3 ,4 ] [ 4 , 5 ] [ 5 , 6 ] [ 6 , 7 ] [ 7 , 8 ] [ 8 ,9 ] [ 9 , 10 ]

CLASSES

NOTAS

FREQ ÜÊNCIA
Núm ero de
Alunos
Para a construção deste gráf ico, m arcam -se os pontos determ inados pelas classes e as
correspondentes f reqüências, ligando-os, a seguir, por seguim entos de reta.
GRÁFICO DE BARRAS
Vam os agora cons truir um diagram a de barras verticais , e paratanto, basta dispor as freqüências num
eixo vertical:

FREQ ÜÊNCIA
Núm ero de
Alunos
[ 1,2 ] [ 2 , 3 ] [ 3 , 4 ] [ 4 , 5 ] [ 5 , 6 ] [ 6 , 7 ] [ 7 , 8 ] [ 8 , 9 ] [ 9 , 10 ]

CLASSES

NOTAS
Página: 82 de 196

GRÁFICO DE SETORES
Para a construção deste gráf ico vam os dividir um círculo em s etores com ângulos proporcionais
às freqüências. No nosso caso já temos a freqüência relativa:
[1, 2[ Þ 5% de 360
o
= 0,05 ´ 360
o
= 18
o

[2, 3[ Þ 5% de 360
o
= 0,05 ´ 360
o
= 18
o
[3, 4[ Þ 15% de 360
o
= 0,15 ´ 360
o
= 54
o
[4, 5[ Þ 5% de 360
o
= 0,05 ´ 360
o
= 18
o
[5, 6[ Þ 15% de 360
o
= 0,15 ´ 360
o
= 54
o
[6, 7[ Þ 5% de 360
o
= 0,05 ´ 360
o
= 18
o
[7, 8[ Þ 35% de 360
o
= 0,35 ´ 360
o
= 126
o
[8, 9[ Þ 10% de 360
o
= 0,10 ´ 360
o
= 36
o
[9, 10[ Þ 5% de 360
o
= 0,05 ´ 360
o
= 18
o

5% 5%
5%
5%
5%
10%
15 %
15 %
35 %
HISTOGRAM A
Página: 83 de 196

Freqüência
( Número de alunos)
Classes
Notas
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTICA ( )
x
Para encontrar a m édia aritm étic a entre valores, basta som ar todos eles e dividir pela quantidade
que aparecem. Matem aticam ente:
ou usando símbolos:
M ODA (M o)
Considere a distribuição abaixo referente às idades de 11 pessoas integrantes de um m ovim ento popular:
16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14
Repare que a idade de m aior f reqüência é 18 anos, portanto dizemos que a moda desta am ostra é 14
anos .
Mo = 14 anos
Exemplos:
v 3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 Þ Mo = 4
v 5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 Þ M o = 8
Mo' = 5
Esta amostra é cons iderada bimodal por apresentar duas m odas.
v 1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 Þ Esta am ostra não apresenta m oda, repare que todos os elem entos
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apres entam a m esm a freqüência.
M EDIANA (M d)
Considerando ainda, o m esm o exem plo anterior e dispondo as idades em rol tem os:
14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20
O termo central desse rol é chamado mediana da amostra:
M d = 16 anos
Exemplo :
v Dispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colégio tem os:
1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74
Agora tem os dois term os centrais, pois é um a dis tribuição com um núm ero par de elem entos, toda vez
que iss o ocorrer, a m ediana será a m édia aritm ética dos dois term os:
Md = 1,71m
Observação:
O rol pode ser disposto na sua form a crescente ou decrescente, pois o(s) term o(s ) central(is) s erá(ão)
o(s) m esm o(s) nos dois casos.
M EDIDAS DE DISPERSÃO
Observe as notas de três turm as de um curso de espanhol e suas respec tivas m édias:
v T urm a A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 Þ
A
= 5
x
v T urm a B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 Þ
B
= 5
x
v T urma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 Þ
C
= 5
x
Se fôssem os nos basear apenas nas m édias aritméticas de todas as turm as, diríam os que todas
apres entam desem penho igual, no entanto observam os pelas notas dos integrantes que is so não é
verdade, daí vem a nec ess idade de s e definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade da
turm a, de tal f orm a que a análise dos dados não fique com prom etida.
DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (Dam)
Nas notas acim a podem os encontrar qual o desvio de cada turm a, paratanto basta efetuar a diferença
entre uma nota e a média, nessa ordem . O módulo des sa diferença é cham ado desvio absoluto .
Logo, a média aritmética desses desvios absolutos é cham ada Desvio Absoluto M édio:
O desvio absoluto m édio m ede o afastam ento m édio de cada turm a com relação a m édia. Ass im , tem os
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que a turm a C apresenta um a variação muito grande da m édia, a turm a B um afastam ento m oderado e A
não apresenta afastam ento. Matem aticam ente:
VARIÂNCIA (S
2
)
A variância também pode apresentar esse grau de variabilidade entre os elementos de uma
distribuição. Def ine-se essa medida como a m édia aritmética entre os quadrados dos desvios
dos elementos da am ostra:
Em sím bolos:
DESVIO PADRÃO (S)
Muitas vezes as am ostras estão relacionadas com unidades de medidas que ao serem
interpretadas , poderá causar algum as dificuldades, com o por exemplo se os elem entos da am ostra
representam as estaturas em m etros, a variância repres entará um valor em m
2
(unidade de área); e
portanto com o a unidade não tem a ver com as medidas dos elem entos da amostra, não será
conveniente utilizar a variância. Por dificuldades com o essa é que f oi definido o desvio padrão que nada
m ais é que a r aiz quadrada da variância.
A Þ s = = 0
0
B Þ s = @ 0,89
0,8
C Þ s = @ 3,16
10
Observação:
Apresentam os três f orm as distintas de se analisar as dispersões entre as am ostras, em cada caso
analisarem os da form a que m ais convir.
EXERCÍCIOS
1) São dados os c onjuntos A = { 2,4,6,8,10} e B = { 3,5,7,9,11}. Para cada c onjunto, calc ule:
a) a am plitude
b) a m édia aritm ética
c) o desvio m édio
d) a variância
e) o desvio padrão
2) T rês conjuntos A, B e C têm os seguintes elem entos:
A = { 8,8,9,7,10, 9,12},
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B = {13, 10, 11, 9, 10, 13}
C = {8, 6, 7,8, 6, 7, 7}.
a) Determ ine a m édia aritm ética e o desvio padrão de cada um deles.
b) Qual desses conjuntos tem a m aior dis persão? Justif ique.
3) Um a fábric a de iogurtes opera com duas m áquinas e está coloc ando o produto dentro de em balagens,
cujo peso nominal é de 100 ml. No entanto, um teste estatístic o da produção apontou os seguintes
núm eros:
Máquina 1: m édia por em balagem = 100,34 m l
desvio padrão = 0,4 m l
Máquina 2: m édia por em balagem = 100,41m l
desvio padrão = 0,7 m l
Qual das duas máquinas está trabalhando m elhor? Justifique.
4) Numa prova de Matemática, duas classes obtiveram as seguintes m édias e des vios:
T urm a A: m édia = 5,5 des vio = 2,5
T urm a B: m édia = 5,5 desvio = 3,0
Se for sorteado um aluno de cada classe, em qual delas é m ais provável s air um aluno com nota entre
4,5 e 6,0? Justif ique.
5) Num a amostra de soldados do ex ército foram constadas as seguintes estaturas , em metros: 1,80;
1,78; 1,69; 1,92; 1,93; 1,81; 1,90; 1,76; 1,74; 1,83; 1,88; 1,79; 1,85; 1,92; 1,86; 1,74. Construa um a tabela
de distribuição de freqüência e de f reqüência relativa dessa am ostra, com quatro classes.
6) A tabela s eguinte corresponde à dis tribuição de freqüência das cam isas vendidas por um a confecção
no mês de m aio, segundo a numeração (1, 2, 3, 4 e 5) das cam isas.
Clas se (numeração) Freqüência (número de unidades vendidas )
1 50
2 150
3 250
4 450
5 100
Construa os seguintes gráficos dess a distribuiç ão: de linha, barras verticais e de setores.
7) Um a pes quisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de
televisão, entre 20h e 21h, durante um a determ inada noite. Os resultados obtidos es tão representados no
gráfico de barras a seguir:

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I -) O núm ero de residências atingidas nessa pesquisa foi, aproxim adam ente, de:
a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220
II-) A percentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à T vB é aproxim adam ente igual a:
a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30%
8) O gráfico de setores representado abaix o m ostra a distribuição de um a amostra de alunos e suas
respectivas notas na prova de português.

NOTA 8
8%
NOTA 2
8%
NOTA 3
12 %
NOTA 4
13 %
NOTA 5
34 %
NOTA 6
25 %

Sabendo que a am ostra é com pos ta de sessenta alunos , responda:
a) Quantos alunos tiveram nota 3?
b) Quantos alunos tiveram nota 5?
c) Qual a freqüênc ia relativa da classe "nota 6"?
9 ) O gráfico m ostra a distribuição de um a am os tra de garrafas de refrigerantes e seus respec tivos
volum es em m ililitros:

a) Quantas garrafas com põem essa am ostra?
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b) Qual a freqüência relativa da c lasse "300m l"?
10) O núm ero de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico abaixo:

Em 1980, a população era aproxim adam ente igual à de:
a) 1950 b) 1953 c) 1957 d) 1960 e) 1963
11) Para convencer a população local da inef ic iência da Companhia T elefônica Vilatel na expansão da
oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, a s eguir representado. A Com panhia
Vilatel respondeu publicando dias depois o gráf ic o II, onde pretende justificar um grande aum ento na
oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas , ef etivam ente, 200 novas linhas
telefônicas.

Analisando os gráficos podemos concluir que:
a) o gráfico II representa um crescim ento real maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescim ento real, sendo o II incorreto.
c) o gráfico II apresenta o cresc im ento real, sendo o I incorreto.
d) a aparente diferença de crescim ento nos dois gráficos decorre da es colha das dif erentes escalas.
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e) os dois gráficos são incom paráveis, pois usam escalas diferentes.
12) As idades dos j ogadores de um time de basquetebol são 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a m édia de
idade desses jogadores?
13) Entre sessenta núm eros , vinte são iguais a 5, dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são
iguais a 12, e cindo são iguais a 16. Determine a média aritm ética dess es núm eros .
14) O gráfico, em f orm a de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32.000 candidatos
presentes à primeira fase de um a prova de vestibular. Ele m os tra, por exem plo, que 32% dess es
candidatos tiveram nota 2 nessa questão.
Pergunta-se:
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
b) É possível afirm ar que a nota m édia, nes sa questão, f oi m enor ou igual a 2? Jus tif ique sua resposta.

15) Observando o gráfico do exercício anterior, responda:
a) Qual é a m oda do conjunto das notas de todos os alunos?
b) Qual é a m ediana do conjunto das notas de todos os alunos?
16) A m édia aritm ética das idades de um grupo de 120 pes soas é 40 anos. Se a média aritm ética das
idades das m ulheres é 35 anos e a dos homens é 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no
grupo?
17
) O gráfico abaixo m ostra a distribuiç ão de freqüência das notas obtidas pelos alunos da segunda série
do ensino m édio num a prova de educaç ão física.
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Determinar:
a) a nota média desses alunos;
b) a mediana dessa distribuição;
c) a moda dessa distribuição.
18
) Às vésperas de um jogo decisivo, o técnico de um a equipe de basquetebol deve optar pela escalação
de um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas seguintes m ostram o desem penho de cada jogador
nos últim os cinco jogos dos quais participou:

Jogador A
Jogo Número de pontos
1 20
2 22
3 18
4 20
5 20

Jogador B
Jogo Núm ero de pontos
1 30
2 14
3 20
4 12
5 24
a) Calc ular a m édia de c ada um por jogo.
b) Calc ular o desvio padrão de cada um nesses cinco jogos.
c) Você, com o técnico desse tim e, se tivesse que escalar um desses jogadores, num jogo onde a sim ples
vitória lhe daria o título de c am peão, qual deles escalaria?
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19) Sej am os números, 7,8,3, 5, 9 e 5 seis núm eros de um a lista de nove núm eros inteiros. O m aior
valor possível para a mediana dos nove núm eros da lista e:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
GABARITO - ESTATÍSTICA
1)
Conjunto A - a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox .
Conjunto B - a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox .
2)
a) Conj unto A X = 9 DP » 1,51
Conj unto B X = 11 DP » 1,53
Conj unto C X = 7 DP » 0,75
b) O Conjunto B tem a m aior dispersão porque tem o m aior desvio padrão
3) M áquina 1, pois tem a melhor média e o menor desvio
4) T urma A. Desvio m enor significa que, de m odo geral, as notas es tão m ais próxim as da m édia.
5) Um a distribuiç ão possível é:
Classe (m) f
i
f%
[1,69; 1,76[ 3 18,75%
[1,76; 1,83[ 5 31,25%
[1,83; 1,92[ 5 31,25%
[1,92; 1,93[ 3 18,75%
6)Gráfico de Barras Verticais

450

250
150
100
50
Fre q üê nc ia
N um e ra ç ã o 1 2 3 4 5
Gráfico de Linha
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450

250
150
100
50
Fre q üê nc ia
N um e ra ç ã o 1 2 3 4 5
Gráfico de Setores

1
5%
2
15%
3
25%
4
45%
5
10%
7) I-) D II-) A
8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%
9) a) 700 garrafas b) aproxim adam ente 57,14%
10) C
11) D
12) 20,2 anos
13) 8
14) a) 1 520 candidatos
b) não, pois a nota m édia, nessa questão, é:
= 2,30 e portanto, > 2.
x x
15) a) Mo = 2 b) Md = 2
16) 180 m ulheres e 40 hom ens .
17) a) = 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7
x
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18) a) Jogador A: =20, jogador B: = 20;
A
x
B
x
b) jogador A: s
A
= 1,2, jogador B : s
B
= 6,5
c) Voc ê decide! Observe, porém , que, apesar de os jogadores possuírem a m esm a m édia de
pontos por jogo, o desvio-padrão do j ogador A é m enor do que o do jogador B. Isso quer dizer que, em
m uito mais jogos, o jogador A esteve m ais próxim o da m édia do que o j ogador B, isto é, A f oi mais
regular do que B.
19) D
PROBABILIDADE
Em um jogo, dois dados são lançados sim ultaneam ente, som ando-se, em seguida, os pontos obtidos na
face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a s om a desses pontos.

Antes de apostar, vam os analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada s om a.
Indicando os núm eros da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o núm ero do
prim eiro dado e b o núm ero do segundo, tem os as seguintes situações possíveis:
a + b = 2, no c aso (1, 1);
a + b = 3, nos cas os (1, 2) e (2, 1);
a + b = 4, nos cas os (1, 3), (2, 2) e (3,1);
a + b = 5, nos cas os (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)
a + b = 6, nos cas os (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);
a + b = 7, nos cas os (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);
a + b = 8, nos cas os (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);
a + b = 9, nos cas os (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);
a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);
a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);
a + b = 12, no caso (6, 6).
É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podem os prever o resultado " soma dos
pontos obtidos "; porém , nossa chance de vencer será m aior se apostarm os em a + b = 7 , pois essa
som a pode ocorre de seis maneiras diferentes.
Situações com o essa, onde podem os estim ar as chances de ocorrer um determ inado evento,
são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria, criada a partir dos " jogos de azar ", é hoj e um
instrumento m uito valioso e utilizado por profissionais de diversas áreas, tais com o econom istas,
adm inistradores e biólogos.
ESPAÇO AMOSTRAL

Um experim ento que pode apres entar resultados diferentes, quando repetido nas m esm as condições, é
cham ado experimento aleatório .
Chamam os Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experim ento aleatório.
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Dizem os que um espaço am ostral é equiprovável quando seus elem entos têm a mesm a chance de
ocorrer.
No exem plo acima tem os, com o espaço am ostral 36 possibilidades, para a ocorrência de quaisquer
eventos.
No exemplo de um a m oeda lançando-se para cim a, a leitura da face superior pode apresentar o
resultado " cara " (K) ou " coroa " (C). T rata-se de um experim ento aleatório, tendo cada resultado a
m esm a chance de ocorrer.
Neste cas o, indicando o espaço am ostral por S
1
e por n(S
1
) o núm ero de seus elem entos, tem os:
S
1
= {K, C} e n(S
1
) = 2
Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríam os os s eguintes resultados: (K, K), (K, C), (C, K), (C, C).
Neste caso, indicando o espaç o am ostral por S
2
e por n(S
2
) o núm ero de seus elem entos, tem os:
S
2
= {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S
2
) = 4
EVENTOS
Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerando o lançamento de um
dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaço amostral:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
Um exemplo que podemos elucidar de evento é " ocorrência de número par ". Indicando esse evento por
A, temos:
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exem plo acima, " ocorrência de número par ", no lançamento de
um dado, terem os:

2
1
6
3
)S(n
)A(n
)A(P ===
Concluí-se que a probabilidade de o evento " ocorrência de número par " ocorrer é 50% ou ½ . Isto quer
dizer que ao lançarmos um dado ao acaso terem os 50% de chanc e de obter um núm ero par, na face do
dado.
Voltando ao noss o prim eiro exem plo, onde num jogo, ganha quem conseguir a som a das faces. Vimos
que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, pois tínham os diversas maneiras de ocorrer.
Cham arem os o evento " ocorrência da soma 7" entre os dois dados, de E :
n(E) = 6;
n(S) = 36.
Página: 95 de 196

p o r t a n t o :
6
1
36
6
)S(n
)E(n
)E(P === , t e m o s e n t ã o q u e 1 6 , 7 % é a p r o b a b i l i d a d e d o e v e n t o o c o r re r .
Exercícios Resolvidos
1) Qual a probabilidade do núm ero da placa de um carro ser um núm ero par ?
Resolução:
Para o núm ero da plac a de um a carro ser um núm ero par , devem os ter um número par no algarism o das
unidades, logo o espaço am ostral ( S ) e o evento ( E ) s erão:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ n(S) = 10
E = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(E) = 5
Portanto a Probabilidade de oc orrer o ref erido evento será:

2
1
10
5
)S(n
)E(n
)E(P ===
Resposta : 50% ou ½
2) O núm ero da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarism o das unidades ser zero é:

a )
10
1
b )
2
1
c )
9
4
d )
9
5
e )
5
1

Resolução:
Se a placa de um carro é um núm ero par , então, independente do num ero de algarism os que tenha a
placa o algaris mo das unidades será, necessariam ente, um núm ero par .
O espaço am ostral, neste caso:
S = {2, 4, 6, 8, 0} Þ n(S) = 5
O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o últim o algarism o o núm ero zero:
E = {0} Þ n(E) = 1

5
1
)S(n
)E(n
)E(P ==

R e s p o s t a : 2 0 % o u
5
1

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Considerem os dois eventos A e B de um m esm o es paço am ostral S.
Da teoria dos conj untos tem os:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
Dividindo os dois m em bros dessa igualdade por n(S), tem os:
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P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses eventos,
menos a probabilidade da inters ecç ão de A com B ."
Observação : se A e B f orem disj untos, isto é:
se A Ç B = Æ, então P(A È B) = P(A) + P(B).
Neste caso, ainda, os eventos são ditos Ev entos Independentes .
Exercício Resolvido
No lançam ento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o núm ero 3 ou um núm ero ím par?
Resolução:
Espaço am ostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
evento " número 3" é: A = {3}e n(A) = 1
evento " número ímpar " é: B = {1,3,5} e n(B) = 3
A Ç B = {3} Ç {1,3,5} = {3}, então n(A Ç B) = 1
Logo :
P(A È B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½
Resposta: 50% ou ½
Observação:
A som a da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a
1 :
p(A) + p( ) = 1
A

Assi m , se a probabi li dade de ocorrer um ev ento A f or 0,25 (
4
1
), a probabil i dade de não ocorrer o
ev ento A é 0,75 (
4
3
).

EXERCÍCIOS
01) J oga-se um dado "honesto" de s eis faces, num eradas de 1 a 6, lê-se o número da face voltada para
cim a. Calcular a probabilidade de se obter:
a) o núm ero 2 b) o núm ero 6
c) um núm ero par d) um núm ero ím par
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e) um núm ero prim o
02) Cons idere todos os núm eros de cinco algarism os distintos obtidos através dos algarism os 4, 5, 6, 7 e
8. Escolhendo-se um desses núm eros, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser um núm ero ím par?
03) Qual a probabilidade de um a bola branca aparecer ao retirar-se um a única bola de uma urna
contendo 4 bolas brancas , 3 verm elhas e 5 azuis?
04) Considere todos os anagram as da palavra LONDRINA que com eçam e term inam pela letra N . Qual a
probabilidade de se esc olher ao acaso um desses anagram as e ele ter as vogais juntas ?
05) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançam ento de duas moedas é:

a )
4
1
b )
4
3
c ) 1 d ) 2 e )
2
1

06) Em um a indústria com 4.000 operários , 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 são espec ializados e 800
têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriam ente, a
probabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é:

a )
10
1
b )
5
2
c )
8
3
d )
85
27
e )
18
7

07) Um prêm io vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em um a sala. Se 40% delas usam óculos,
12 mulheres não usam óculos e 12 hom ens os usam , a probabilidade de ser prem iado um homem que
não usa óculos é:

a )
25
4
b )
25
6
c )
25
8
d )
25
9
e )
5
2

08) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles c om binam que, se a soma dos números dos
dados f or 5, A ganha, e se essa som a for 8, B é quem ganha. Os dados s ão lançados. Sabe-se que A
não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

a )
36
10
b )
32
4
c )
36
5
d )
35
5

e) não se pode calcular sem saber os núm eros sorteados.
09) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duas brasileiras e três argentinas ,
qual será a probabilidade de:
a) serem prem iadas as duas brasileiras?
b) ser prem iada pelo menos um a argentina?
c) serem prem iadas duas argentinas ?
10) Num a caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel . Retirando-se suces sivam ente e sem
repos iç ão duas dessas balas, qual a probabilidade de que as duas sejam de hortelã?
11) Em um lote de 500 lanternas para autom óvel, existem 20 peças com defeito. Se retirarm os um a
lanterna, qual a probabilidade de estar defeituosa ?
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12) Em um a urna, tem 1o bolas brancas, 5 pretas e 5 azuis. Se retirar um a bola, pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de que a bola seja azul?
b) Qual a probabilidade de que a bola seja branca?
c) Qual a probabilidade de que a bola seja preta?
d) Qual a probabilidade de que a bola seja am arela?
e) Qual a probabilidade de que a bola seja azul ou am arela?
f) Qual a probabilidade de que a bola seja azul, am arela ou branc a?
13) No lançam ento de um dado, qual será a probabilidade de se obter face s uperior com núm ero par?
14) Em um lote de 500 peças para automóveis, existem 15 peç as com defeito. Se retirarm os um a peça,
qual a probabilidade de a peça não T er defeito?
15) Num conjunto num éric o de 1 a 100, um núm ero é escolhido ao acas o. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ess e núm ero ser 3 ?
b) Qual a probabilidade de ess e núm ero ser m últiplo de 10 ?
c) Qual a probabilidade de esse núm ero ser ím par ?
d) Qual a probabilidade de ess e núm ero ser 15 ou 30?
16) Num lançamento de um dado qual a probabilidade de se obter um núm ero múltiplo de 5?
17) Um a m oeda é lanç ada duas vezes. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de se obter Cara e Coroa?
b) Qual a probabilidade de se obter Coroa e Coroa?
18) Num a loja, existem , para a venda, dez televisores e dois videocassetes. Se retirarmos um aparelho
ao ac aso, pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser um televisor?
b) Qual a probabilidade de ser um videocassete?
c) Qual a probabilidade de ser um televisor ou um videocas sete?
19 ) Um com prador foi a um a loja e c om prou um automóvel. Sabendo-se que existiam quinze veículos e
apenas um com defeito, pergunta-se, qual a probabilidade de o comprador T er levado o autom óvel
defeituoso?
GABARITO
01) a) 1/6 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/2 e) 1/2
02) 2/5
03) 1/3
04) 1/5
05) E
06) A
07) D
08) B
09) a) 1/10 b) 9/10 c) 3/10
10) 9/16
11) 1/25
12) a) 1/4 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 1/4 f) 3/4
13) 1/2
14) 97/100
15) a) 3/100 b) 1/10 c) 1/2 d) 1/50
16) 1/6
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17) a) 1/4 b) 1/4
18) a) 5/6 b) 1/6 c) 1
19) 1/15
EXERCÍCIOS
Coletânea I
Bateria 1
01. A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo que
cada símbolo representa um número inteiro.Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são
indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delas
representadas pelas letras X, Y e Z.

Nas condições dadas . X+ Y + Z é igual a:
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20
(E) 21
02. A figura mostra a localização dos apartamentos de um edifício de três pavimentos que tem
apenas alguns deles ocupados:
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