Razão e Proporção.ppttransformaçõestransformações

razao

1. Razões e Proporções
Amintas Paiva Afonso

2. 1-Razão
Emnossavidadiária,estamossemprefazendocomparações,equando
fazemoscomparações,estamosrelacionandodoisnúmeros.
Nalinguagemmatemática,todasessascomparaçõessãoexpressaspor
umquocientechamadorazão.Apalavrarazãovemdolatim“ratio”,e
significadivisão.Temos,então: 51
20 4
 1
2 21
10 5

Decada10alunos,2gostamde
Matemática
Umdiadesol,paracadadoisde
chuva
Decada20habitantes,5são
analfabetos
RazãoComparação
Uma razão é uma divisão entre dois números.
São exemplos de razões:3
ou 3:5
5 4,5
ou 4,5:2
2

3. 1-Razão
Usa-seumarazãoquandoqueremoscomparar
unidades,entresi.
Porexemplo:
Parafazerumabebidausaram-se3litrosde
sumodelaranjae2litrosdeágua.
Osumodelaranjaestáparaaáguanarazãode
3:2ounarazão3/2.

4. 1-Razão
AMariaeoJoãodividiramumapizzaentre
si.AMariaficoucom4fatiasdapizzaeo
Joãoficoucom5fatias.
Qualéarazãoentreonúmerofatiasda
MariaeonúmerodefatiasdoJoão?
Resposta:Arazãoéde4:5(lê-se4para5).

5. 1-Razão
Numarazão,ostermos(números)têmumnome
próprio,tendoemcontaosítioondeseescrevem.
Porexemplo:
Narazão3/5ou3:5onúmero3chama-se
antecedenteeonúmero5chama-seconsequente.

6. 1-Razão
Nummapa,aescalaéarazão
entreadistâncianomapaea
distânciarealcorrespondente.
Nomapadafigura,adistânciaentreCascaise
Estoriléde1,6cm.Adistânciarealentreasduas
localidadeséde3,2km.
Qualéaescaladomapa?

7. 1-Razão
Naescaladeummapaoantecedentedarazãocostuma
ser1easunidadesutilizadassãoasmesmas,nosdois
termosdarazão.
1,6cm(distâncianomapaentreCascaiseEstoril)
3,2km=320000cm(distânciarealentreCascaiseEstoril)
Arazãoé1,6:320000.Mascomooantecedentedeveser1,
temosdedividirostermosdarazãopor1,6.
(1,6 : 1,6 = 1e 320000 : 1,6 = 200000)
Aescaladomapaé1:200000.

8. 1-Razão
Seasgrandezassãodamesmaespécie(comprimentoe
largura,ouáreaeárea),suasmedidasdevemser
expressasnamesmaunidadeenessecaso,arazãoé
umnúmeropuro.
Ex:Setemosquedeterminararazãoentreasáreasdas
superfíciesdasquadrasdevôleiebasquete,sabendo
queaquadradevôleipossuiumaáreade180m
2
eade
basquetepossuiumaáreade240m
2
,vamosescrever:
Razãoentreasáreasdaquadradevôleiedebasquete:2
2
180 3
240 4
m
m


9. 1-Razão
Seasgrandezasnãosãodamesmaespécie(quilômetros
percorridoseotempotranscorrido),arazãoéumnúmero
cujaunidadedependedasunidadesdasgrandezasa
partirdasquaissedeterminaarazão.Parairmosdeuma
cidadeAparaumacidadeB,percorremos240km.Se
fazemosestepercursoem3horas,arazãoentrea
distânciapercorridaeotempogastoempercorrê-laé
igualàdivisãoentreasmedidasdasduasgrandezas.
Nãopodemosesqueceraunidaderesultantedesta
divisão:240
80 /
3
km
km h
h


10. Exercícios
2)Noiníciodeumapartidadefutebol,aalturamédiados11jogadoresde
umdostimeserade1,72m.Aindanoprimeirotempo,umdesses
jogadores,com1,77mdealturafoisubstituído.Emseulugar,entrouum
outroquemedia1,68mdealtura.Nosegundotempo,outrojogador,com
1,73mdealturafoiexpulso.Aoterminarapartidaqualeraamédiade
alturadosjogadoresdessetime?
1)Alarguraeocomprimentodeumterrenoretangularestãonarazãode4
para7.Admitindo-sequeoperímetrodesseterrenoseja66m,determine
alargura(emmetros).
3)Umgrupode12amigosdeveriadividirigualmenteovalordacontaem
umbar.Nahoradepagar,trêspessoasnãotinhamdinheiroe,porisso,
cadaumadasoutrastevequepagarR$5,00amaisdoqueoprevisto.
Qualfoiovalordaconta?

11. 2-Proporção
Emumapesquisacurta,foiobtidooseguinteresultado:de30alunos
entrevistadosnaFaculdadePitágoras,10gostamdeMatemática,portanto
tambémpoderíamossuporque,seforementrevistados120alunosda
mesmafaculdade,40deverãogostardeMatemática.Naverdade,aofalar
de40alunosdos120alunosestamosafirmandoque10estão
representandoem30omesmoque40em120.
Escrevemos:10 40
30 120

Umapropriedadefundamentaldasproporçõeséaseguinte:emtoda
proporção,oprodutodosmeioséigualaoprodutodosextremos.
2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 3629
4 18


12. 2-Proporção
Consideraarazão.
Semultiplicaresambosostermosdarazãopelomesmo
número,porexemplo,por3,obtemosumanovarazão:
Quandoescrevemosaigualdade temosumaproporção.
UmaPROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões.2
7 3
3
26
7 21


 26
7 21


13. 2-Proporção
Aproporção develer-se:
“2estápara7assimcomo6estápara21”.
Numaproporção,osnúmeros(termos)queláaparecemtêm
umdeterminadonomedeacordocomosítioondese
encontramescritos.
Osnúmeros2e21sãochamadososextremos.
Osnúmeros7e6sãochamadososmeios.2
71
6
2


14. 2-Proporção
Multiplicaosextremosdaproporção
Produtodosextremos:2x21=42
Multiplicaosmeiosdaproporção
Produtodosmeios:7x6=42
O produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.
Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE
FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES .2
71
6
2
 2
71
6
2


15. 2-Proporção
Exercício
Numaescola,arazãodonúmerodeprofessoresparao
númerodeauxiliareséde16:2.
Queconclusãopodemostirardainformaçãodada?
RESPOSTA
Comoarazãoentreonúmerodeprofessoreseonúmero
deauxiliareséde16:2,podemosconcluirqueparacada16
professoresexistem2auxiliares.

16. 2-Proporção
•Seonúmerototaldeprofessoreseauxiliaresforiguala
108,quantosprofessoresequantosauxiliarestêma
escola?18 108 16 108 1728
96
16 18 18
x x x
x

      
RESPOSTA:
Porcada18trabalhadoresexistem16professores.Então,
para108trabalhadoreshaveráxprofessores.
Aescolatem96professorese
108–96=12auxiliares.

17. 2-Proporção
Umapropriedadefundamentalparasériederazõesiguais(ou
proporçãomúltipla)éaseguinte:emumasériederazõesiguais,a
somadosnumeradoresestáparaasomadosdenominadoresassim
comoqualquernumeradorestáparaoseurespectivodenominador.6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8
3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4

      
  
Divisão Proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividirumnúmeroempartesdiretamenteproporcionaisaoutros
númerosdadossignificaencontrarparcelasdessenúmeroquesão
diretamenteproporcionaisaosnúmerosdadoseque,somadas,
reproduzamessenúmero.

18. Divisão Proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividirumnúmeroempartesdiretamenteproporcionaisaoutrosnúmeros
dadossignificaencontrarparcelasdessenúmeroquesãodiretamente
proporcionaisaosnúmerosdadoseque,somadas,reproduzamesse
número.
1)JoãoePedroresolveramtrabalharjuntospararesolveremumproblema
hidráulicoemumprédio,serviçopeloqualreceberãoR$990,00.ComoJoão
trabalhoudurante6horasePedrodurante5horas,comoelesdeverãodividir
comjustiçaosR$990,00queserãopagosporessatarefa?
2)TrêssóciosA,BeCresolvemabrirumapizzaria.Oprimeiroinvestiu30
milreais,osegundo40milreaiseoterceiro50milreais.Após1anode
funcionamento,apizzariadeuumlucrode24milreais.Seesselucrofor
distribuídoaossóciosdeformaqueaquantiarecebidasejadiretamente
proporcionalaovalorinvestido,determinequantocadaumrecebeu.

19. Divisão Proporcional
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividirumnúmeroempartesinversamenteproporcionaisa
outrosnúmerosdadoséencontrarparcelasdessenúmero
quesejamdiretamenteproporcionaisaosinversosdesses
númerosdados.
Exercício:
JoãoePedrovãotrabalharporummesmoperíododetempo
parafabricarevenderporR$1.600,00umcertoartigo.Se
Joãochegouatrasadopor3diasePedro5dias,como
efetuaressadivisãocomjustiça?

20. Grandezas Proporcionais
Aproporcionalidadeentregrandezaspodeserdiretaou
inversa.Esquematicamente,seduasgrandezassão
diretamenteproporcionaispodemosrepresentá-lascomo:x y ou x y   
Duasgrandezasvariáveissãodiretamenteproporcionais
quando,aumentandooudiminuindoumadelasnuma
determinadarazão,aoutraaumentaoudiminuinessa
mesmarazão.

21. Grandezas Diretamente Proporcionais
•Quandovaisaobarcomprarumsumo,porexemplo,
verificasoseguinte:
1embalagemcusta0,5euros;
2embalagenscustam1euro;
3embalagenscustam1,5euros;
4embalagenscustam2euros;
5embalagenscustam2,5euros;
6embalagenscustam3euros;
...

22. Grandezas Diretamente Proporcionais
•Asduasgrandezas(custoenúmerode
embalagens)variamsemprenamesma
razão:
Seumadasgrandezasduplicaaoutratambém
duplica
Seumadasgrandezastriplicaaoutratambém
triplica
...
•Quandoistoacontecedizemosqueas
grandezassãodiretamenteproporcionais.

23. Grandezas Diretamente Proporcionais
Número de embalagens (x) 1 2 3 4 5 6
Custo em euros (y) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Podesescreverosdadosanterioresnumatabela.
Comoovalordasgrandezasvaria,podesusarumaletra
(variável)pararepresentarcadaumadelas.
Nestecaso,aletraxrepresentaonúmerodeembalagensea
letrayrepresentaocusto.
Dividecada um dos valores de ypelo correspondente valor de x.
O que observas?

24. Grandezas Diretamente Proporcionais
Dividindoosvalorescorrespondentesdeyex,temoso
seguinte:
Onúmeroqueobténsnãovaria.Ésempreiguale,
porisso,chama-seconstante.Nestecasooseu
valoré0,5.
Comoasgrandezassão directamente
proporcionaisdiz-sequeessaconstante(neste
caso, 0,5) é a constante de0,5 0,5 0,5 0
0,5 1
,5
1,5 2 2,5 3
; ; ; ; 0,;
12
50
5
5
36
,
4
     

25. Grandezas Diretamente Proporcionais
•RESUMO
DadasduasgrandezasXeY,Yé
diretamenteproporcionalaXse:
ParaX=0tambémY=0;
ParaX≠0eY≠0,oquociente entredois
quaisquervalorescorrespondenteséumnúmero
constante(k).
Onúmerokéaconstantedeproporcionalidade
direta.Y
X

26. Grandezas Diretamente Proporcionais
Numpapelaria,umclientepagoupor7cadernosiguaisa
quantiade8,75euros.
Quantoteriapagosetivessecomprado9daqueles
cadernos?
RESOLUÇÃO:
Podemosusarumaproporção.Sabemosque7cadernos
estãopara8,75euros,peloque9cadernosestarãoparax
euros.Assim:
Resposta:Por9cadernosoclienteteriapago11,25euros.7 9 8,75 9 78,75
11,25
8,75 7 7
x x x
x

      

27. Grandezas Diretamente Proporcionais
Parafazerumdeterminadobolo,arazãoentreopeso(em
grama)doaçucareopesodafarinhaéde5:2.
Seusares160gdeaçucar,quantosgramasdefarinha
devesusar?
RESOLUÇÃO:
Podemosusarumaproporção.Sabemosque5gdeaçucar
estãopara2gdefarinha,peloque160gdeaçucarestarão
paraxgdefarinha.Assim:
Resposta:Deveremosusar64gdefarinha.5 160 2 160 320
64
2 5 5
x x x
x

      

28. Grandezas Diretamente Proporcionais
Umatorneiradeitauniformemente,paraumtanquequede
inicioestavavazio,4litrosdeáguaporminuto.
Aofimdemeiahoraquantoslitrosdeáguadeitoua
torneira?
RESOLUÇÃO:
Podemostambémusarumaproporção.Sabemosque4
litrosdeáguaestãopara1minuto,peloquexlitrosde
águaestarãopara30minutos(meiahora).Assim:
Resposta:Aofimdemeiahoraatorneiradeitou120litrosdeágua.4 4 30 120
120
1 30 1 1
x
x x x

      

29. Grandezas Diretamente Proporcionais
AmãedaTeresacomprou1232dólaresamericanospor
1000euros.
Àmesmataxadecâmbio,quantosdólaresamericanos
poderiacomprarcom50euros?
RESOLUÇÃO:
Podemostambémusarumaproporção.Sabemosque1232
dólaresamericanosestãopara1000euros,peloquex
dólaresamericanosestarãopara50euros.Assim:
Resposta:Com50euros,amãedaTeresapoderiater
comprado61,6dólaresamericanos.1232 1232 50 61600
61,6
1000 50 1000 1000
x
x x x

      

30. Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P)5001 0001 5002 0003 000
Duas grandezas são diretamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra também
aumenta na mesma proporção.
x 2
X 3
x 4x 6
x 2
X 3
x 4
x6

31. Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P)5001 0001 5002 0003 000
500
3 000
2 500
1 000
1 500
2 000
1 65432
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se
ao representa-las graficamente obtemos uma linha
reta que passa pela origem.

32. Grandezas Diretamente Proporcionais
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P)5001 0001 5002 0003 000
P
N
=
500
1
=
1 000
2
=
1 500
3
=
2 000
4
=
3 000
6
=500=k
P
N
=k P = k N
Duas grandezas são diretamente
proporcionais, se estão ligadas por um
quociente constante.

33. Proporção Inversa ou Grandezas
Inversamente Proporcionais
Seduasgrandezasforeminversamenteproporcionais
podemosrepresentá-lascomo:x y ou x y   
Duasgrandezassãoinversamenteproporcionaisquando,
aumentando(oudiminuindo)umadelasnumadeterminada
razão,aoutradiminui(ouaumenta)namesmarazão.

34. 3-Regra de Três
Exercícios2
Doisciclistassedeslocamcomvelocidadesconstantesde30km/he
27km/h,respectivamente,percorrendoumamesmadistância.Seum
gasta18minutosamaisqueooutro,determineotempogastopelo
ciclistamaislento.
Regradetrêssimples
Exercícios1
Separatomarumbanhode12minutosumapessoagasta0,45kWh,
quantoconsumiráseaumentarotempodeseubanhopara20minutos?
W = P.T, onde:
W-energia consumida;
P-potência do eletrodoméstico considerado;
T-tempo de utilização do eletrodoméstico.
V = E/T, onde:
V-velocidade;
E-espaço;
T-tempo.

35. 3-Regra de Três
Exercícios2
Se45máquinasrealizamumaobraem16dias,funcionando7
horaspordia,quantasmáquinasseriamnecessáriaspara
realizarestaobraem12dias,funcionando10horaspordia?
Regradetrêscomposta
Exercícios1
Trêsoperários,trabalhandodurante6dias,produzem400
peças.Quantaspeçasdessemesmotipoproduzirão7
operários,trabalhando9dias?

36. Grandezas Inversamente Proporcionais
12060 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra diminui na
mesma proporção, e vice-versa.
÷2
÷3
÷4÷6
x 2
X 3
x 4
x6
X = 120 km

37. Grandezas Inversamente Proporcionais
20
120
100
40
60
80
1 65432
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
se ao representar-as graficamente obtemos uma
curva chamada hipérbola.
12060 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6

38. Grandezas Inversamente Proporcionais
= k
k
t
=VV · t = k
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
se estiverem ligadas por um produto constante.
12060 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
V · t= (120)(1)= (60)(2)= (40)(3)= (30)(4)= (20)(6)= 120