Razonamiento Logico Matematico para la Toma de Decisiones X5 Ccesa007.pdf

Razonamiento L?gico Matem?tico para la Toma de Decisiones
Primera edici?n: 2015
Fecha de la edici?n: 26 de febrero de 2015
Fecha de 1ª. reimpresi?n: 27 de abril de 2015
Segunda edici?n: 30 de marzo de 2017
D.R. © 2016 UNIVERSIDAD NACIONAL AUT?NOMA DE M?XICO
Ciudad Universitaria, Delegaci?n Coyoac?n, C.P. 04510, Ciudad de M?xico.
Facultad de Contaduría y Administraci?n
Publicaciones Empresariales UNAM. FCA Publishing
Circuito Exterior s/n, Ciudad Universitaria
Delegaci?n Coyoac?n, C.P. 04510, Ciudad de M?xico.
ISBN: 978-607-02-8285-0
ISBNe: 978-607-02-8286-7
“Prohibida la reproducci?n total o parcial de por cualquier medio sin la autorizaci?n
escrita del titular de los derechos patrimoniales”
“Reservados todos los derechos bajo las normas internacionales. Al pagar por este libro,
se le otorga el acceso no exclusivo y no transferible para leer el texto de esta edici?n electr?-
nica en la pantalla o en caso de ser libro impreso su lectura en papel. No tiene permitido re-
producir total o parcialmente por cualquier medio, transmitir, descargar, descompilar, aplicar
ingeniería de regresi?n, ni almacenarse o introducirse en sistemas de almacenamiento y recu-
peraci?n electr?nicos o mec?nicos existentes o que se inventen en el futuro sin la autorizaci?n
escrita del autor, casa editorial y/o titular de los derechos patrimoniales.”
Hecho en M?xico
Dr. Juan Alberto Adam Siade
Director
Mtro. Tom?s Humberto Rubio Pérez
Secretario General
Lic. Ma. del Carmen M?rquez Gonz?lez
Secretaria de Divulgaci?n y Fomento Editorial
Dr. Enrique Luis Graue Wiechers
Rector
Dr. Leonardo Lomelí Vanegas
Secretario General

Dedicado a:
Norma Paola Ángeles Peralta
A tres de mis mejores profesores:

Dr. Alberto Barajas Celis,
Mtro. Gonzalo Zubieta Russi,
Dr. Jos? Alfredo Amor Montaño

Agradecimientos:
A Dios
A las autoridades universitarias que me brindaron todo su apoyo
para que este libro de texto fuera una realidad.

5
Índice
Introducci?n ............................................................................................. 8
Parte I
CAPÍTULO I
ESTRUCTURA DE LOS EJERCICIOS. SOLUCI?N DE PROBLEMAS
Y SUFICIENCIA DE DATOS ............................................................................. 11
CAPÍTULO 2
L?GICA MATEMÁTICA .................................................................................. 17
Introducci?n ....................................................................................... 17
I. Conceptos preliminares .................................................................. 19
II. Demostraciones directas de una condicional ............................... 21
III. Demostraci?n directa de una proposici?n simple
o demostraci?n directa por casos ................................................ 24
Bibliografía ......................................................................................... 27
CAPÍTULO 3
ARITM?TICA ................................................................................................ 28
Introducci?n ....................................................................................... 28
I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos) ............................... 29
II. Diagramas de Venn ....................................................................... 31
III. Operaciones entre conjuntos ....................................................... 34

6
IV. Conjuntos num?ricos ................................................................... 36
V. Operaciones binarias de los conjuntos num?ricos ....................... 37
VI. Razones y proporciones ............................................................... 44
Bibliografía ......................................................................................... 48
CAPÍTULO 4
ÁLGEBRA ................................................................................................ 49
Introducci?n ....................................................................................... 49
I. Conceptos preliminares .................................................................. 51
II. Polinomios ..................................................................................... 52
III. Ecuaciones de primer grado ........................................................ 55
IV. Ecuaciones de segundo grado ...................................................... 69
Bibliografía ......................................................................................... 78
CAPÍTULO 5
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO ............................................................... 79
Introducci?n ....................................................................................... 79
I. Conceptos preliminares .................................................................. 80
II. Trigonometría ................................................................................ 85
III. Figuras planas .............................................................................. 89
IV. Perímetros y ?reas de polígonos .................................................. 91
V. Volúmenes de s?lidos .................................................................... 92
Bibliografía ......................................................................................... 97
CAPÍTULO 6
COMPENDIO DE EJERCICIOS DE SUFICIENCIA DE DATOS CON RESPUESTA.......... 98
Parte II
CAPÍTULO 7
INVESTIGACI?N DE OPERACIONES ................................................................. 105
Introducci?n ....................................................................................... 105
I. Conceptos preliminares .................................................................. 107
II. Programaci?n lineal ...................................................................... 108
III. Modelaci?n de problemas de programaci?n lineal .................... 110
IV. M?todo Gr?ﬁ co ............................................................................ 119

7
V. M?todo simplex simple ................................................................. 126
VI. Portafolios de inversi?n ............................................................... 132
VII. Uso de LINDO 6.1 .................................................................... 139
VIII. Administraci?n de proyectos .................................................... 143
Bibliografía ......................................................................................... 175
ANEXOS ................................................................................................ 176

8
Introducci?n
E
n el mundo, la mayoría de universidades de prestigio que ofrece pos-
grados en el ?rea de negocios utiliza como herramienta de selecci?n de
sus alumnos el Graduate Manegement Admission Test (GMAT), un examen
estandarizado que evalúa el razonamiento num?rico y verbal de los aspiran-
tes. Est? elaborado de manera tal que puede determinar las capacidades del
alumno, no sus conocimientos. Se presenta por completo en ingl?s.
El GMAT consta de tres grandes rubros: Redacci?n analítica, Secci?n
cuantitativa y Secci?n verbal. En la Secci?n cuantitativa, se maneja dos tipos
de problemas: Problem Solving (soluci?n de problemas), de opci?n múltiple
con la variante de que es m?s f?cil equivocarse si no se tiene el cuidado
adecuado, y los Data Sufﬁ ciency (suﬁ ciencia de datos), que presentan un
razonamiento totalmente nuevo para el estudiante.
En la Facultad de Contaduría y Administraci?n, dentro de sus planes de
estudio 2012, se consider? y aprob? la inclusi?n de una asignatura que per-
mitiera al alumno reforzar los conocimientos cuantitativos adquiridos hasta
su ingreso a la facultad e introducir el razonamiento l?gico matem?tico que
se requiere para presentar este examen de admisi?n, por si le interesa al alum-
no continuar sus estudios. Claro est? que tambi?n debe considerar el estudio
del idioma ingl?s.
Este libro tiene por objeto reforzar los conocimientos cuantitativos que
los alumnos han adquirido a la fecha; entrenar a los alumnos en un nuevo
tipo de razonamiento l?gico matem?tico, que les facilite la presentaci?n del
GMAT, o, incluso, un nuevo enfoque en la resoluci?n de problemas de tipo
cuantitativo; ﬁ nalmente, enseñar una pequeña proporci?n de la teoría y al-
goritmos matem?ticos fundamentales en la Toma de Decisiones.

Introducci?n
9
Se presenta como parte I, un capítulo de cada uno de los temas m?s rele-
vantes en GMAT: L?gica Matem?tica, Aritm?tica, Álgebra, Geometría Plana
y del Espacio. En cada secci?n, se presenta problemas prototipo del GMAT.
En la Parte II, se incluye una pequeña porci?n de la teoría y algoritmos ne-
cesarios en la Toma de Decisiones.
Importante
Los problemas presentados en este texto tienen la ﬁ nalidad de que el razo-
namiento de quien los resuelve se agilice y tome un rigor de inspecci?n en
la redacci?n del mismo. Las ﬁ guras NO son r?plica id?ntica de lo que se
quiere presentar, incluso, puede no estar de acuerdo con la redacci?n del
problema.
Para poder contestar los problemas en la categoría de opci?n múltiple,
se recomienda realizar las operaciones, dibujos y razonamientos en una hoja
aparte, antes de elegir su opci?n.
Los problemas de la categoría suﬁ ciencia de datos necesitan que usted
examine con detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones
que se le proporcionan en todos los capítulos de la primera parte de este
libro. Para resolver este tipo de problemas, ser? necesario que siempre tenga
a la mano la siguiente tabla:
Soluci?n
del problema
Justiﬁ caci?n
A
La declaraci?n (1) por sí sola es suﬁ ciente, pero la declaraci?n
(2) por sí sola no es suﬁ ciente.
B
La declaraci?n (2) por sí sola es suﬁ ciente, pero la declaraci?n
(1) por sí sola no es suﬁ ciente.
C
Ambas declaraciones juntas son suﬁ cientes, pero ninguna
declaraci?n por sí sola es suﬁ ciente.
D Cada declaraci?n por sí sola es suﬁ ciente.
E Ambas declaraciones no son suﬁ cientes.

PARTE I

11
Capítulo 1
Estructura de los ejercicios
Soluci?n de problemas y
Suﬁ ciencia de datos
Estructura de los ejercicios
Soluci?n de Problemas
D
eﬁ nitivamente en este nivel de estudios, el alumno cuenta con un
amplio manejo de los problemas de opci?n múltiple, sin embargo,
los denominados soluci?n de problemas se diferencian de los anteriores por
contener respuestas que consideran los posibles errores en el estudiante, de
esta manera no es tan sencillo determinar la respuesta correcta. A continua-
ci?n se muestra un sencillo ejemplo de los posibles razonamientos en un
problema de aritm?tica.
Ejemplo
En un grupo de 70 estudiantes de la FCA que cursan la asignatura de Estadís-
tica I, el 40% reprob? el primer examen parcial, el 20% reprob? el segundo
examen parcial y un 10% reprob? ambos ex?menes ¿cu?l es la probabilidad
de que un alumno de este grupo, elegido al azar haya reprobado el primer
examen parcial; pero no el segundo?

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
12
A. 4/7
B. 3/7
C. 2/5
D. 3/10
E. 1/10
Soluci?n
Primero se presentar? algunas formas de razonamiento ERR?NEO que se
presenta en los alumnos al tratar de resolver un problema como ?ste:
Caso 1. A primera vista, si no se tiene la m?s remota idea de c?mo deter-
minar la probabilidad, el alumno podría hacer un cociente inmediatamente
de 40/70 puesto que se menciona el 40% de 70 alumnos y, podría contestar
que la respuesta correcta es A.
Caso 2. A partir de un razonamiento completamente il?gico pero posi-
ble, podría ser que sumara el 10% con el 20% de los datos correspondientes
y los dividiera entre 70, entonces elegiría la opci?n B.
Caso 3. Si se tiene m?s nociones de probabilidad, seguramente, prime-
ro convertir? a número de alumnos el porcentaje de los que reprobaron el
primer examen y lo dividiría entre el total: 28/70, que al simpliﬁ carse queda
como 2/5 y corresponde a la respuesta C.
No obstante, el razonamiento correcto considera:
1. La probabilidad es un número entre 0 y 1.
2. Si trabaja con conjuntos, debe saber que el número de elementos en
la uni?n de dos conjuntos, no es la suma de los elementos de cada uno,
puesto que hay que restar una vez los elementos en la intersecci?n.
Por tanto, se puede iniciar por convertir a números de alumnos los por-
centajes dados como informaci?n en el problema:
(0.4)(70) = 28
(0.2)(70) = 14
(0.1)(70) = 7

Estructura de los ejercicios “Soluci?n de problemas” y “Suﬁ ciencia de datos”
13
Si el universo son los 70 alumnos, puede pensar en el siguiente diagrama
de Venn:

21 7 7
Reprobados del
2° examen
Reprobados del
1er examen
Aprobados
35
Recuerde que los alumnos que reprobaron ambos ex?menes fueron el 10%,
es decir, 7 alumnos; pero ?stos se deben restar de aquellos que reprobaron
el 1er examen y de los que reprobaron el 2° examen, por tanto, ya en el
diagrama: Es f?cil ver que son solamente 21 los alumnos que reprobaron el
primer examen pero no el segundo. De esta manera, son 21 de 70 alumnos
la probabilidad buscada y como:
21
—
70
3
—
10
=
La respuesta correcta es D.
Estructura de los ejercicios de
Suﬁ ciencia de Datos
Los problemas de la categoría suﬁ ciencia de datos se caracterizan por cons-
tar de un enunciado que presenta un problema que requiere mayor infor-
maci?n para poder resolverse y de dos enunciados adicionales enumerados
con los incisos (1) y (2). Es completamente necesario que se examine con
detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones que se le pro-
porcionan, pues s?lo de esta manera se podr? elegir la respuesta adecuada,
que consiste en elegir una de las siguientes opciones:

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
14
Soluci?n del
problema
Justiﬁ caci?n
A
La declaraci?n (1) por sí sola es suﬁ ciente, pero la declaraci?n
(2) por sí sola no es suﬁ ciente.
B
La declaraci?n (2) por sí sola es suﬁ ciente, pero la declaraci?n
(1) por sí sola no es suﬁ ciente.
C
Ambas declaraciones juntas son suﬁ cientes, pero ninguna de-
claraci?n por sí sola es suﬁ ciente.
D Cada declaraci?n por sí sola es suﬁ ciente
E Ambas declaraciones no son suﬁ cientes
Es justamente este tipo de problemas los que desconoce por completo el
alumno y, generalmente, le cuestan mucho m?s trabajo analizar y responder
correctamente.
Se recomienda al alumno imprimir esta tabla y tenerla siempre a la mano
para resolver los problemas de esta categoría.
Ejemplo:
En el tri?ngulo ABC, determine el valor del ?ngulo “x” en grados.
—
(1) AB
—
BC=
(2) y = 40
A
B C
x°
y° z°
Soluci?n:
1. Analice primero la informaci?n del enunciado (1) sin considerar la
informaci?n del enunciado (2):
—
BC=
—
AB

Estructura de los ejercicios “Soluci?n de problemas” y “Suﬁ ciencia de datos”
15
Con esta informaci?n, se sabe que el tri?ngulo es is?sceles, pero no
aporta m?s informaci?n, y existe una inﬁ nidad de medidas de ?ngu-
los para los tri?ngulos is?sceles; por tanto, no se puede solucionar el
problema s?lo con este enunciado.
2. Como siguiente paso, se analiza la oraci?n (2) sin considerar la infor-
maci?n del enunciado (1):
y = 40
Con esta informaci?n, se sabe la medida de uno de los ?ngulos del
tri?ngulo, pero se desconoce qu? tipo de tri?ngulo es: podría ser es-
caleno o is?sceles; por tanto, no se puede solucionar el problema
s?lo con este enunciado.
3. Ahora se analizar? si se puede resolver el problema conjuntando los
enunciados (1) y (2):
—
BC=
y = 40
—
AB
Conjuntando la informaci?n se sabe que la ﬁ gura es un tri?ngulo
is?sceles, y que el ?ngulo diferente tiene una medida de 40° y el
?ngulo “x” es igual al ?ngulo “z”; adem?s, si se recuerda que la suma
de los ?ngulos internos de cualquier tri?ngulo es de 180° se tiene:
40 + 2 x = 180
2 x = 180 – 40
140
x =
2
x = 70
La respuesta correcta a este problema es: C Ambas declaraciones juntas
son suﬁ cientes, pero ninguna declaraci?n por sí sola es suﬁ ciente.
Observaci?n 1: Este tema, en particular, se considera uno de los m?s di-
fíciles de manejar por presentar al estudiante una nueva manera de razona-
miento en las matem?ticas.
A continuaci?n, se presenta un esquema con un algoritmo que permitir?
al alumno obtener mejores resultados.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
16
Razonamiento para los problemas de suﬁ ciencia de datos

Sí
No Sí
Sí
No
No

No
Sí
1. Recabe toda la
informaci?n
disponible
en el problema
2. Olvídese de la
informaci?n del
enunciado (1)
¿Con el
enunciado (1)
puede resolver
el problema?
2. Olvídese de la
informaci?n del
enunciado (1)
¿Con el
enunciado (2)
puede resolver
el problema?
La
respuesta
es B
La
respuesta
es A
La
respuesta
es C
La
respuesta
es E
La
respuesta
es D
¿Con el
enunciado (2)
puede resolver
el problema?
¿Con los
enunciados (1) y
(2) puede resolver
el problema?
3. Conjuntar
(1) y (2)
Observaci?n 2: En este tipo de problemas, se debe resaltar que una propuesta
de clasiﬁ caci?n, con base en el tipo de respuesta que se solicita es la siguiente:
a) Cuando se requiere de un an?lisis algebraico: En este caso se pre-
senta una problem?tica que necesita de modelar algebraicamente el
problema y despejar una soluci?n. Para el alumno este tipo de pro-
blemas resultan ser m?s difíciles de resolver.
b) Cuando solo se debe determinar un número: En este caso, no se
requiere un modelo algebraico, puede resolverse con base en la ex-
periencia o con el uso de aritm?tica elemental y conceptos de geome-
tría tambi?n muy b?sicos.
c) Cuando la respuesta es cualitativa: En este caso, el problema requiere
saber si se puede determinar una soluci?n o no. No est? preguntando
la soluci?n de manera concreta, solo si ?sta puede obtenerse con la
informaci?n vertida en los enunciados (1) y (2).

17
Capítulo 2
L?gica Matem?tica
Introducci?n
L
a Real Academia Española deﬁ ne a la L?gica como: “Del lat. logĭca, y
este del gr. λογική. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del
conocimiento cientíﬁ co.”
Y a la L?gica formal o matem?tica como: “f. La que opera utilizando un
lenguaje simb?lico artiﬁ cial y haciendo abstracci?n de los contenidos.”
La L?gica Matem?tica es de vital importancia en el aprendizaje de las
matem?ticas, pues adentra al estudiante en el manejo del lenguaje formal y
es la base del razonamiento deductivo.
Arist?teles, nacido en el año 384 a.C., es el creador de la l?gica. Sus apor-
taciones, junto con las de los estoicos y los escol?sticos, constituyen pr?cti-
camente toda la l?gica hasta el siglo XIX. La l?gica aristot?lica se ocupa del
estudio de los conceptos, prestando especial atenci?n a los razonamientos
deductivos categ?ricos o silogismos. A diferencia de la l?gica formal, la l?gica
aristot?lica parte del supuesto de que las formas de pensamiento reproducen
lo que ocurre en la realidad.
Adicionalmente, se considera que la historia de la l?gica se divide en tres
periodos claves: el Cl?sico Antiguo (hasta el siglo VI d. C.), la Escol?stica
(siglos XI-XV) y la L?gica Matem?tica (desde el siglo XIX); durante esta última,
se construye una forma de ?lgebra abstracta. Kneale señal? que la diferencia
principal entre estos periodos radica en que los dos primeros fueron desa-
rrollados por ﬁ l?sofos y el tercero por matem?ticos

(Kneale, 1980, 349). En

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
18
la actualidad, es la L?gica Matem?tica la que fundamenta todo razonamiento
matem?tico.
Es Leibniz a quien se le considera el precursor de la moderna l?gica ma-
tem?tica, a pesar de que sus escritos l?gicos fundamentales salieron a la luz
hasta que L. Couturat los public? en 1901. Begriffsschrift de G. Frege, publi-
cada en 1879, es el momento de madurez de la moderna l?gica, pese a que su
impacto real ocurri? hasta que Russell lo descubri? (Martín, 1997, 479).
El último periodo es el contempor?neo. Aparecen nuevos sistemas l?gi-
cos como el de Lewis (1918), las l?gicas polivalentes de Post y Lukasiewiez
(1920-21) y la l?gica institucionista de Heyting. Los trabajos de Gödel, Ram-
sey, Tarski o Carnap hablan de la complejidad alcanzada por la nueva ciencia
totalmente constituida (Martín, 1997, 481).
Es Gödel quien demuestra que en una teoría consistente, no todo teo-
rema es demostrable. Esta importante aportaci?n justiﬁ ca el trabajo trascen-
dente de todo matem?tico y es digno de señalarse en esta breve historia de
la l?gica.
Finalmente, en el siglo XX surge la l?gica matem?tica, donde todo puede
decirse con la precisi?n que se desee, y donde todo se puede demostrar
con el rigor que se quiera. S?lo hace falta, a ﬁ n de difundir estos recursos
entre un público no matem?tico, disponer de ejemplos cotidianos que ten-
gan un valor ilustrativo equivalente al de los ejemplos matem?ticos (Zubieta,
1992, xiii).

L?gica Matem?tica
19
I. Conceptos preliminares
El razonamiento ordenado en las matem?ticas es fundamental para su apli-
caci?n. Se requiere tener claridad en el pensamiento y saber fundamentar
solamente en argumentos, resultados y algoritmos previamente demostrados
para llegar a la soluci?n de un problema.
Tomando completamente como base el libro de texto del Mtro. Gonzalo
Zubieta, Taller de Lógica Matemática, se presenta a continuaci?n un extracto
de ?l.
Deﬁ niciones:
1. Una proposici?n es una frase que aﬁ rma o niega algo. Una propo-
sici?n condicional es aquella que tiene la forma Si H entonces T,
donde a H se le conoce como hip?tesis y a la T como tesis.
2. Deﬁ nici?n implícita de un t?rmino es una lista convencional de pro-
posiciones, llamadas axiomas, que contienen al t?rmino en sí.
Las deﬁ niciones implícitas son como las adivinanzas: no dicen lo que
el objeto es, sino qu? propiedades tiene. Toda deﬁ nici?n implícita obliga a
interpretar los t?rminos de manera que valgan los axiomas, por eso se dice
que los axiomas son v?lidos por deﬁ nici?n.
3. La deﬁ nici?n implícita de veraz, mit?mano y normal, se conforma
de los siguientes axiomas:
I. Si x es veraz, y x dice que P, entonces P
II. Si x es mit?mano, y x dice que P, entonces no P
III. Si x es veraz entonces x no es mit?mano
Si x es mit?mano entonces x no es normal
Si x es normal entonces x no es veraz
IV. x es veraz o x es mit?mano o x es normal
De acuerdo con esta deﬁ nici?n, veraz es el que siempre dice la verdad, el
que es mit?mano es el que siempre miente y normal es quien a veces dice la
verdad y a veces dice mentiras. De igual manera, cualquier ser humano, s?lo
puede pertenecer a una y s?lo una categoría.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
20
Tambi?n se considera como parte de esta deﬁ nici?n implícita a los res-
pectivos giros de cada axioma
1
, a saber:
I*. Si no P, y x dice que P, entonces x es no veraz
II*. Si P, y x dice que P, entonces x es no mit?mano
III*. Si x es mit?mano entonces x no es veraz
Si x es normal, entonces x no es mit?mano
Si x es veraz entonces x no es normal
IV*. Si x no es veraz y x no es mit?mano entonces x es normal
Si x no es veraz y x no es normal entonces x es mit?mano
Si x no es normal y x no es mit?mano entonces x es veraz
Note usted que si x dice una mentira, no se puede garantizar que x sea
mit?mano, pero sí que no es veraz. Si x dice una verdad, no se puede garan-
tizar que sea veraz, pero sí que no es mit?mano. De igual manera, cualquier
ser humano, s?lo puede pertenecer a una y s?lo una categoría.
Como ejercicio, se sugiere al lector que busque en un diccionario la deﬁ ni-
ci?n de veraz y mit?mano para que tenga mayor claridad de estos conceptos.
1
Ll?mese giro de una proposici?n a cualquier otra, cuya negaci?n coincide con la original.

L?gica Matem?tica
21
II. Demostraciones directas de una condicional
A continuaci?n, se presenta la forma en que se puede hacer una demostra-
ci?n formal, con un razonamiento ordenado, mediante la deﬁ nici?n implíci-
ta de veraz, mit?mano y normal de la secci?n anterior.
Deﬁ niciones:
1. Una deducci?n de la proposici?n P a partir de la proposici?n H es
una cadena de proposiciones P
1
, P
2
, …, P
n
, n ≥ 2, llamadas pasos,
tales que P
n
es P y cada paso es un resultado conocido, o es H o se
inﬁ ere de pasos anteriores mediante un resultado conocido. Tambi?n
se le puede deﬁ nir como demostraci?n directa de la condicional si H
entonces P.
2. Resultado conocido es toda proposici?n cuya validez se ha demos-
trado antes, o es un axioma o una tautología (proposici?n v?lida por
su forma, no por su contenido).
Ejemplo 1
Mediante el uso de un conjunto de datos, se demostrar? una proposici?n
condicional.
A dice que B es mit?mano
B dice que C es normal
C dice que A no es normal
Si A es veraz entonces C es veraz:
1 A es veraz Hip?tesis
2A dice que B es mit?mano Dato
3B es mit?mano (1)(2) Axioma I
4B dice que C es normal Dato
5C no es normal (3)(4) Axioma II
6C dice que A no es normal Dato
7A no es normal (1) Axioma III*
8C no es mit?mano (6)(7) Axioma II*
9 C es veraz (8)(5) Axioma IV*

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
22
Explicaci?n
En una demostraci?n directa de una condicional, el paso inicial es tomar a la
hip?tesis como proposici?n v?lida. Como se parte de una aﬁ rmaci?n acerca
de la variable A, se revisa en los datos que dice A; posteriormente, se utiliza
el Axioma I para poder inferir en el paso 3. Observe que este proceso se
repite hasta llegar al paso 5, donde hay una negaci?n; por tanto, siempre se
proceder? a revisar en los datos, qui?n habla de la hip?tesis. En este caso, es
la variable C. En ese momento, se utilizan los giros de los primeros axiomas
para realizar inferencias. La demostraci?n termina cuando el último paso
coincide con la tesis, a trav?s del axioma IV*.
Se recomienda al lector reproducir este ejemplo, justiﬁ cando cada paso
en voz alta.
Ejemplo 2
A dice que B es normal
B dice que C es normal
C dice que A no es veraz
Si B es mit?mano entonces C es veraz:
1 B es mit?mano Hip?tesis
2B dice que C es normal Dato
3C no es normal (1)(2) Axioma II
4A dice que B es normal Dato
5B no es normal (1) Axioma III
6A no es veraz (3)(4) Axioma I*
7C dice que A no es veraz Dato
8C no es mit?mano (6)(7) Axioma II*
9 C es veraz (3)(8) Axioma IV*

L?gica Matem?tica
23
Explicaci?n
Nuevamente, como es una demostraci?n directa de una condicional, el paso
inicial es tomar a la hip?tesis como proposici?n v?lida. Como se parte de
una aﬁ rmaci?n acerca de la variable B, se revisa en los datos que dice B. Pos-
teriormente, se utiliza el Axioma II para poder inferir en el paso 3. Observe
que ahora se tiene una primera negaci?n, por eso se proceder? a revisar en
los datos qui?n habla de la hip?tesis. En este caso es la variable B.
NOTE que en la hip?tesis se habla de mit?mano y en el dato de normali-
dad, por lo tanto se debe utilizar el axioma 3 para que despu?s, en el paso 6,
se pueda realizar una inferencia a trav?s del Axioma I*, que es un giro del
axioma I. Como nuevamente se inﬁ ere, una negaci?n debe considerar el dato
de qui?n habla de esta última variable A; por tanto, C es quien habla de A
y se utiliza el axioma II* para inferir. La demostraci?n termina cuando el
último paso coincide con la tesis, utilizando el axioma IV*.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
24
III. Demostraci?n directa de una proposici?n simple
o demostraci?n directa por casos
La forma en que se puede hacer una demostraci?n formal de una proposi-
ci?n simple es revisar los datos para saber qui?n habla de la variable en la
proposici?n simple y construir dos proposiciones condicionales: Una con
la aﬁ rmaci?n de la característica de quien habla y otra con la negaci?n de la
hip?tesis de la primera (una de ellas se puede demostrar muy f?cilmente).
Ejemplo 1. Mediante un conjunto de datos, se demostrar? una proposi-
ci?n simple.
A dice que B es mit?mano
B dice que C no es normal
C dice que A es veraz
C no es veraz
Caso 1 Si B es mit?mano entonces C no es veraz:
1 B es mit?mano Hip?tesis
2 B dice que C no es normal Dato
3 C es normal (1)(2) Axioma II
4 C no es veraz (3) Axioma III
Caso 2 Si B no es mit?mano entonces C no es veraz:
1 B no es mit?mano Hip?tesis
2 A dice que B es mit?mano Dato
3 A no es veraz (1)(2) Axioma I*
4 C dice que A es veraz Dato
5 C no es veraz (3)(4) Axioma I*
Explicaci?n
En una demostraci?n directa de una proposici?n simple, “C no es veraz”;
se analiza primero qui?n habla de C, en este caso es B; como B dice que C
no es normal, entonces si B fuera veraz se inferiría que C no es normal por lo
tanto podría ser veraz o mit?mano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por

L?gica Matem?tica
25
esta raz?n, se elige que B sea mit?mano para la construcci?n de la primera
condicional. La segunda condicional es m?s sencilla de construir, basta con
negar la hip?tesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demos-
trar de manera directa, la proposici?n simple queda demostrada.
Ejemplo 2. A partir de un conjunto de datos, se demostrar? una propo-
sici?n simple.
A dice que B es normal
B dice que C no es veraz
C dice que A es veraz
B no es mit?mano
Caso 1 Si A es veraz entonces B no es mit?mano:
1 A es veraz Hip?tesis
2 A dice que B es normal Dato
3 B es normal (1)(2) Axioma I
4 B no es mit?mano (3) Axioma III*
Caso 2 Si A no es veraz entonces B no es mit?mano:
1 A no es veraz Hip?tesis
2 C dice que A es veraz Dato
3 C no es veraz (1)(2) Axioma I*
4 B dice que C no es veraz Dato
5 B no es mit?mano (3)(4) Axioma II*
Explicaci?n
En una demostraci?n directa de una proposici?n simple, “C no es veraz”.
Se analiza primero qui?n habla de C; en este caso es B. Como B dice que C
no es normal, entonces si B fuera veraz, se inferiría que C no es normal,
por lo tanto podría ser veraz o mit?mano y lo que se quiere es que no sea
veraz. Por esta raz?n, se elige que B sea mit?mano para la construcci?n de
la primera condicional. La segunda condicional es m?s sencilla de construir,
basta con negar la hip?tesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden
demostrar de manera directa, la proposici?n simple queda demostrada.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
26
Problemas
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro Taller de lógica mate-
mática. Realice las demostraciones directas de las proposiciones a, b, c y d
considerando los datos que se le proporcionan, tal como se muestra en el
capítulo.
1. A dice que B es mit?mano
B dice que C es mit?mano
C dice que A no es veraz
a) B no es veraz
b) C no es mit?mano
c) Si A es mit?mano entonces B es normal
d) Si A es veraz entonces C es normal
2. A dice que B es veraz
B dice que C es veraz
C dice que A no es veraz
a) A no es veraz
b) C no es mit?mano
c) Si B es veraz entonces A es normal
d) Si B es mit?mano entonces C es normal
Suﬁ ciencia de datos
1. A dice que B no miente
B dice que A miente
Para demostrar que A tiene la raz?n se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A no miente
(2) Si B no miente entonces A no miente
2. A dice que B miente
B dice que A no miente
Para demostrar que A miente se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A miente
(2) Si B no miente entonces A miente

L?gica Matem?tica
27
3. A dice que B miente
B dice que C miente
C dice que A miente
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si C miente entonces B no miente y si C no miente entonces B
no miente
(2) Si A miente entonces B no miente y si A no miente entonces B
no miente
4. A dice que B miente
B dice que C miente
C dice que A y B mienten
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si B no miente entonces C miente y si B miente entonces C
miente
(2) Si A no miente entonces C miente y si A miente entonces C
miente
Bibliografía
Kneale, W y M. Kneale (1980). El desarrollo de la lógica, Madrid: Tecnos.
Martín Collantes, C. y O. Exp?sito Hern?ndez (1997). El comienzo de la
L?gica Matem?tica. Revista del Seminario Orotava de Historia
de la Ciencia Año III, de la ciencia triunfante a la pérdida de la
certidumbre (1700-1900) (Actas año III), Canarias, noviembre:
477-514.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
M?xico: McGrawHill.
http://www.rae.es/rae.html (07-febrero-2013)

28
Capítulo 3
Aritm?tica
Introducci?n
A
ún no se cuenta con un documento base real que pueda explicar
qui?n fue el primero en descubrir las matem?ticas suﬁ cientes para
poder conseguir que se construyeran esas grandes ediﬁ caciones en el pasa-
do. No obstante, se encuentra muchas exposiciones generales del origen de
las matem?ticas en Egipto, por ejemplo en los escritos de Her?doto y otros
viajeros griegos.
Según Arist?teles, las matem?ticas se originaron porque la clase sacerdo-
tal de Egipto, tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio. M?s de
dos mil años m?s tarde se obtuvo una corroboraci?n exacta de esta observa-
ci?n, mediante el descubrimiento de un papiro conservado actualmente en
la colecci?n Rhind en el British Museum. Esta obra muestra una colecci?n
de problemas de geometría y aritmética.
La palabra aritmética es deﬁ nida por la Real Academia de la Lengua
como “parte de las matem?ticas que estudia los números y las operaciones
hechas con ellos”.
En este capítulo, ser? de vital importancia el manejo de conceptos b?sicos
de la Teoría de Conjuntos, de los conjuntos num?ricos, de sus operaciones
elementales y de algunas aplicaciones.

Aritm?tica
29
I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos)
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritm?tica, es preciso deﬁ nir los con-
ceptos elementales para la comprensi?n del tema.
Deﬁ nici?n: Un conjunto es la colecci?n de objetos denominados ele-
mentos. A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas A, B, C, etc., y a
sus elementos con letras minúsculas x, y, z, etc?tera.
Deﬁ nici?n: Dos conjuntos son iguales si y s?lo si tienen los mismos
elementos.
Para denotar que un elemento forma parte de un conjunto o no, se utili-
zar? cualquiera de las siguientes expresiones con su respectiva notaci?n:
x ∈ A
{
x pertenece al conjunto A
x es elemento de A
x está en A
x A
{
x no pertenece al conjunto A
x no es elemento de A
x no está en A
Deﬁ nici?n: Se dice que el conjunto A est? contenido en B, o que el con-
junto A es subconjunto de B, si y s?lo si cada elemento de A es elemento de
B y se denota
A ⊆B.
Deﬁ nici?n: Se dice que un conjunto A no est? contenido en B o que un
conjunto A no es subconjunto de B, si y s?lo si existe un elemento de A que
no pertenece a B y se denota
A ⊈B.
Existen dos maneras de describir a un conjunto:
Por extensi?n, cuando se enumeran los elementos del conjunto.
Por comprensi?n, cuando a la totalidad de los elementos se le describe
a trav?s de una f?rmula o carac terística.
Ejemplos
Por extensi?n:
1. El conjunto A de todas las letras que conforman la palabra “Xochi-
milco”.
A = {x, o, c, h, i, m, l}
Note usted que omite las letras que se repiten. La raz?n es porque
resulta redundante.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
30
2. El conjunto B de los meses del año cuyo nombre inicia con la letra m.
B = {marzo, mayo}
3. El conjunto C de los números pares positivos.
C = {2, 4, 6, 8, 10, …}
Por comprensi?n:
1. El conjunto A que se comprende de todos los meses del año.
A = {x | x es un mes del año}
2. El conjunto B de las soluciones de una ecuaci?n de 2° grado.
B = {x | – 2x
2
+ 5x + 3 = 0}
Si recuerda usted que una ecuaci?n de 2° grado puede tener dos, una
o ninguna soluci?n, se podr? percatar que este conjunto puede tener
0, 1 o 2 elementos.
Deﬁ nici?n: Al conjunto que contiene a la totalidad de elementos en un
problema, se le denomina Conjunto Universal y se denota U.
Deﬁ nici?n: Al conjunto que no contiene elementos, se le denomina Con-
junto Vacío y se denota Ø. A lo largo del tiempo, los matem?ticos lo han
caracterizado de distintas maneras, una de ellas es:
Ø = {x | x ≠ x}

Aritm?tica
31
II. Diagramas de Venn
La manera de representar gr?ﬁ camente a los conjuntos es a trav?s de los
diagramas de Venn. ?stos consisten en un rect?ngulo grande, que representa
al conjunto universal; ?ste, a su vez, contiene pequeños círculos que repre-
sentan cada uno de los conjuntos involucrados.
Ejemplo 1
Represente con un diagrama de Venn a los siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 5, 10}
B = {7}
C = {1, 3, 5, 6, 7, 9}
D = {4, 8}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C
B
D
A
1
5
2
10
9
3
4 8
6
7
U
Estos diagramas tambi?n tienen aplicaci?n a problemas con cifras. A
continuaci?n, se muestran.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
32
Ejemplo 2
En una encuesta realizada a una muestra de 300 profesores de carrera de la
FCA sobre sus h?bitos de lectura dominical, se encontr? que 141 leen el pe-
ri?dico El Financiero y 158 El Universal, pero 63 leen los dos peri?dicos.
Esta informaci?n quedaría representada en el siguiente diagrama de
Venn. Los 63 profesores que leen ambos peri?dicos son contabilizados entre
los lectores que leen al menos una publicaci?n; pero para determinar a los
que “exclusivamente leen una publicaci?n”, se debe restar los 63 que leen
ambos peri?dicos. De igual manera, existen profesores que no leen estos
peri?dicos, estos quedarían representados en la parte complementaria a es-
tos conjuntos, dentro del universo conformado por la muestra.
El UniversalEl Financiero
6378
95
U
64

Aritm?tica
33
Deﬁ nici?n: Se dice que el elemento x pertenece al complemento del
conjunto A, si y s?lo si, x
∉ A y se denota x ∈ (A
C
).
A
C
= {x│x ∉ A}
A
B

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
34
III. Operaciones entre conjuntos
Las principales operaciones entre conjuntos son: La Uni?n

∪, La Intersec-
ci?n

∩ y La Diferencia –, a continuaci?n, se deﬁ ne formalmente a cada una
de ellas.
Deﬁ nici?n: Se dice que el elemento x pertenece a la uni?n de dos conjun-
tos A y B, si y s?lo si, x ∈ A o x ∈ B o x est? en ambos y se denota x ∈ (A ∪ B).
A ∪ B = {x│x ∈ A o x ∈ B}

A
B
Deﬁ nici?n: Se dice que el elemento x pertenece a la intersecci?n de dos
conjuntos y B, si y s?lo si, x
∈ A y x ∈ B y se denota x ∈ (A ∩ B).
A ∩ B = {x │ x ∈ A y x ∈ B}
A
B

Aritm?tica
35
Deﬁ nici?n: Se dice que el elemento x pertenece a la diferencia de dos
conjuntos A menos B si y s?lo si,
x ∈ A y x ∉ B y se denota x ∈ (A – B).
A – B = {x│x
∈ A y x ∉ B}
A
B

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
36
IV. Conjuntos numéricos
A continuaci?n, se presenta los conjuntos num?ricos m?s importantes den-
tro de las matem?ticas:
1. Los números naturales N
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
2. Los números enteros Z
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
3. Los números racionales Q

a
Q = {
x = —│ a, b ∈ Z y b ≠ 0}

b
4. Los números Irracionales I

a
I
= {x ≠ —│ a, b ∈ Z y b ≠ 0}
b
5. Los números reales R
R = Q ∪ I
Nota: El conjunto de números reales, para las matem?ticas que se mane-
jan en este curso, es el conjunto que contiene a cualquier número.

Aritm?tica
37
V. Operaciones binarias en los conjuntos numéricos
Deﬁ nici?n. Una operaci?n binaria * en un conjunto num?rico A es una apli-
caci?n a dos elementos y el resultado permanecer? nuevamente al conjunto
A, es decir, si a, b, c
∈ A si el resultado de aplicar la operaci?n * a los elemen-
tos a y b es c, entonces:
a
*
b = c
Como ejemplos de operaciones binarias, el lector debe conocer la suma,
resta, multiplicaci?n y divisi?n.
El conjunto de los Números Naturales tiene asociadas dos operaciones
binarias, la adici?n o suma y el producto o multiplicaci?n que satisfacen los
siguientes axiomas:
1. La suma de números naturales es conmutativa, es decir, si a, b
∈ N
entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números naturales es asociativa, es decir, si a, b, c ∈ N
entonces:
(
a + b) + c = a + (b + c)
3. El producto de números naturales es conmutativo, es decir, si a, b, ∈ N
entonces:
a
× b = b × a
4. El producto de números naturales es asociativo, es decir, si a, b, c ∈ N
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
38
5. Existe en N un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si
a ∈ N entonces:
a × 1 = 1 × a = a
6. En N el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c ∈ N entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Para conocer m?s acerca de los Números Naturales, es preciso enunciar
los cinco
Axiomas de Peano:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el n+1 tambi?n es un número
natural (a n+1 se le denomina sucesor de n).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m tales que n + 1 = m + 1, entonces
n = m.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cual-
quiera, el sucesor de ese número tambi?n pertenece a ese conjunto;
entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Notas:
1. Este conjunto de axiomas deﬁ ne implícitamente al conjunto de los
números naturales. Recuerde que en el capítulo de L?gica Matem?-
tica se explica lo que signiﬁ ca una deﬁ nici?n implícita y el por qu? se
dice que los axiomas son v?lidos por deﬁ nici?n.
2. El último axioma presenta la fundamentaci?n de la Inducci?n mate-
m?tica, que generalmente se utiliza para demostrar propiedades en
este conjunto de números.

Aritm?tica
39
El conjunto de los Números Enteros tiene asociadas dos operaciones
binarias, la adici?n o suma y el producto o multiplicaci?n que satisfacen los
siguientes axiomas:
1. La suma de números enteros es conmutativa, es decir, si a, b ∈ Z
entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números enteros es asociativa, es decir, si a, b, c ∈ Z
entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. Existe en
Z un elemento neutro para la suma el 0, es decir, si a ∈ Z
entonces:
a + 0 = 0 + a = a
4. Para cada a
∈ Z, existe en Z su inverso aditivo que se denota –a,
entonces:
a + (–a ) = (–a) + a = 0
5. El producto de números enteros es conmutativo, es decir, si
a, b, ∈ Z
entonces:
a × b = b × a
6. El producto de números enteros es asociativo, es decir, si a, b, c ∈
Z
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)
7. Existe en
Z un elemento neutro para el producto el 1, es decir, si a ∈ Z
entonces:
a × 1 = 1 × a = a

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
40
8. E
n Z el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c ∈ Z entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) +
(b × c)
Nota: A cualquier conjunto num?rico que cumpla con estos ocho axiomas
se le conoce como ANILLO.

El conjunto de los Números Racionales (o fraccionarios) tiene aso-
ciadas dos operaciones binarias: la adici?n o suma y el producto o multipli-
caci?n, deﬁ nidas respectivamente de la siguiente manera, sean
a, b, c, d ∈ Z
entonces

a c ad + bc
— + — =

b d bd

a c a x c
— x — =

b d b x d
Nota: En adelante, para denotar el producto se omitir? el signo x.

Aritm?tica
41
Con estas dos operaciones binarias se satisfacen los siguientes axiomas:

a c
1. La suma de números racionales es conmutativa, es decir, si —, —
∈ Q
entonces: b d
a c c a
— + — = — + —

b d d b
a c e
2.
La suma de números racionales es asociativa, es decir, si —, —, — ∈ Q
entonces: b
d f

a c e a c e
(
— + —
)
+ — = — + (
— + —
)

b d f b d f
0 a
3. Existe en
Q un elemento neutro para la suma el —, es decir, si — ∈ Q
entonces:
1

b

a 0 0 a a
— + (
—
)
= (
—
)
+ — = —

b 1 1 b b
a –a
4. Para cada
— ∈ Q existe en Q su inverso aditivo que se denota —,
entonces:
b
b

a –a –a a 0

— + (
—
)
= (
—
)
+ — = —

b b b b 1
5.
El producto de números racionales es conmutativo, es decir, si

a c
—, — ∈ Q entonces:
b d
a c c a
— — = — —

b d d b
6. El producto de números racionales es asociativo, es decir, si

a c e
—, —, — ∈ Q entonces:
b d f

a c e a c e
(
— —
)
— = — (
— —
)

b d f b d f

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
42
1
7. Existe en Q un elemento neutro para el producto el —, es decir, si

a
1

— ∈ Q entonces:
b
a 1 1 a a
— (
—
)
= (
—
)
— = —

b 1 1 b b

a a 0
1. Para cada — ∈
Q, con — ≠ — existe en Q su inverso multiplicativo
b b 1
(otro número racional que al ser multiplicado por ?ste da como

1 b a
–
1
resultado al — ∈ Q), a saber, el número —, que se denota por (
— )

entonces:
1 a
b
a a –1 a b ab ab 1
— (
—
)
= (
—
)(
—
)
= — = — = —

b b b a ba ab 1

a
c

e
2. En Q, el producto distribuye a la suma, es decir, si —, —, — ∈ Q
entonces:
b d f

a c e a c a e
— (
— + —
)
= (
— —
)
= (
— —
)

b d f b d b f

a c e a e c e
(
— + —
)
— = (
— —
)
= (
— —
)

b d f b f d f

Notas:
1. A cualquier conjunto num?rico que cumpla con estos nueve axiomas
se le conoce como CAMPO.
2. Cualquier número entero a ∈ Z es un número racional, puesto que

a
a = — ∈
Q.
1
3. Otra manera de identiﬁ car a un número racional es cuando al realizar
la divisi?n de este número su expansi?n decimal es ﬁ nita o peri?dica.

Aritm?tica
43
El conjunto de los Números Irracionales se caracteriza, precisamente,
porque no puede expresarse como cociente de números enteros; m?s aún,
son aqu?llos cuyo cociente tiene una expansi?n decimal inﬁ nita.
El prop?sito de este libro no tiene contemplado el estudio a mayor pro-
fundidad de este conjunto num?rico, por lo que s?lo se presentar? algunos
ejemplos de estos números.
π = 3.1415926535…
e = 2.7182818284…
2 = 1.4142135623…
3 = 1.7320508075…
Tambi?n tienen asociadas dos operaciones binarias: la suma y el producto.
Los números reales se deﬁ nieron como la uni?n de los números raciona-
les con los irracionales. ?ste es un conjunto con un número inﬁ nito inconta-
ble de elementos; tambi?n tienen asociadas dos operaciones binarias: la
suma y el producto. Recuerde que en todos sus estudios anteriores tuvo que
operar con estos números, incluso en su forma decimal.
Las operaciones comúnmente utilizadas con los números reales, colo-
quialmente son: la suma, la resta, la multiplicaci?n y la divisi?n, porque con
toda la formalidad se tiene deﬁ nidas s?lo la suma y el producto. Las otras
dos operaciones derivan de los inversos aditivos y multiplicativos.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
44
VI. Razones y proporciones
Cuando se realiza la comparaci?n de dos números reales, se puede hacer
a trav?s de una diferencia (resta) o, de igual manera, se puede utilizar un
cociente y se determina qu? tanto es mayor uno del otro. En este caso, se
abordar? la comparaci?n con cocientes.
Deﬁ nici?n. Se dice que la raz?n de dos números es el resultado de divi-
dirlos. Sean c, d ∈ R, c/d o c: d representa la raz?n c es a d.
Ejemplo:
La raz?n de 5 a 3, se denota 5/3 o 5: 3 y se lee cinco es a tres.
En este caso, el número 5 se denomina antecedente y el 3 se denomina
consecuente.
Deﬁ nici?n. Una proporci?n consiste en la igualdad entre dos razones y
se puede representar de dos maneras:
a a

— = — o a: b:: c: d y se lee: a es a b como c es d.
b d
Proporcionalidad
Deﬁ nici?n. Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se dice
que las magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Cualquier producto cuyo costo dependa de su peso o unidad de volumen
(carne, gasolina, papel, etc.). Se dice que los costos son proporcionales a las
unidades adquiridas.

Aritm?tica
45
Ejemplo 2:
Suponga que el litro de gasolina magna tiene un costo de $12.50. Complete
la siguiente tabla con los costos de llenar un tanque con los litros de gasolina
que se piden.
Gasolina (l) 51 01 52 02 53 03 5
Costo ($) 62.50 125.00 187.50 250.00 312.50 375.00 437.50
Es muy sencillo ver que los precios solicitados para los distintos números
de litros se puede determinar a trav?s de una sencilla regla de tres.
Deﬁ nici?n. Cuando una magnitud crece mientras que la otra magnitud
decrece, se dice que son inversamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Suponga que quiere almacenar cajas en un almac?n con capacidad de 240
metros cúbicos; cuenta con cajas cuyo volumen son de 1, 2, 4 y 8 metros
cúbicos. Entonces podr? llenar el almac?n de acuerdo con:
Número de cajas 240 120 60 30
Tamaño en m
3
12 48
Observe usted que entre m?s crezca el volumen de la caja, menor ser? el
número de cajas que podr? almacenar.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
46
Problemas
Suﬁ ciencia de datos
1. En la progresi?n geom?trica a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
¿cu?l es el valor
de a
4
?
(1) a1 = 6 = 6x1
(2) a7 = 4374
2. ¿Cu?nto pesa un atún si su cola pesa 2 kg?
(1) La cabeza pesa lo mismo que la cola y la mitad de su cuerpo.
(2) El cuerpo pesa lo mismo que la cabeza y la cola juntas.
3. En dos cuartos hay 76 personas, ¿cu?ntas personas había en la primera
habitaci?n?
(1) Quedaron el mismo número de personas cuando se salieron 30
del primero y 40 del segundo.
(2) En el segundo cuarto hay 10 personas m?s que en el primero.
4. En una misma caja, hay 10 pares de calcetines de color caf? y 10 pa-
res negros. En otra caja, hay 10 pares de guantes de color caf? y otros
tantos negros. ¿Cu?ntos guantes debe sacar al menos de la caja para
garantizar un par del mismo color (el que sea)?
(1) Debe sacar tres calcetines.
(2) Los guantes son izquierdo y derecho.
5. Un corredor de autos calcul? que si hacía 10km/h llegaría a la meta
una hora despu?s del mediodía ¿A qu? velocidad debe correr para
llegar exactamente a mediodía?
(1) Si corre a 15 km/h llegaría una hora antes del mediodía.
(2) Recorri? 60 km.
6. Un hombre coment? a sus amigos la siguiente an?cdota: Tenía yo
tantos años como lo expresan las dos últimas cifras del año de mi
nacimiento; le platiqu? a mi abuelo y ?l me contest? que le ocurría lo
mismo. Los amigos dijeron de inmediato que era imposible; pero ?l
les contest? que su abuelo tenía raz?n y les cuestion?. ¿Cu?ntos años
tenía cada uno de nosotros?
(1) El siglo XX fue de 1900 a 1999.
(2) La an?cdota sucedi? en 1932.

Aritm?tica
47
7. Un padre y su hijo trabajan en la misma compañía. El hijo hace 20
minutos de casa de sus pap?s al trabajo; el pap?, 30 minutos de su
casa al trabajo. ¿En cu?ntos minutos a lcanza el hijo al padre?
(1) El hijo recorre en 5 min ¼ del camino al trabajo.
(2) El pap? recorre en 5 min 1/6 del camino al trabajo.
8. ¿Puede usted expresar el número 1000 utilizando ocho dígitos id?n-
ticos en su conformaci?n? Adem?s de las cifras se permite utilizar
tambi?n los signos de operaciones.
(1) El dígito buscado es par.
(2) El dígito buscado es potencia de 2.
Problemas de opci?n múltiple
1. Un alumno realiz? un examen de 50 preguntas. Cada respuesta co-
rrecta tiene un valor de tres puntos, pero por cada respuesta inco-
rrecta, o que el alumno no responda, se le resta dos puntos. Si obtuvo
60 puntos, ¿cu?ntas respuestas estuvieron correctas?
a. Falta informaci?n para resolverlo
b. Tuvo 20 aciertos
c. Tuvo 30 aciertos
d. Tuvo 32 aciertos
e. Tuvo 25 aciertos
2. El cociente de una divisi?n es nueve y el resto 4.Si el divisor dismi-
nuye en dos, el cociente aumenta en tres y el resto permanece igual.
Determine el dividendo y divisor.
a. El dividendo es 2/21 y el divisor 34/7
b. El dividendo es 76 y el divisor 8
c. El dividendo es 34/7 y el divisor 2/21
d. El dividendo es 8 y el divisor es 76
e. El dividendo es 16 y el divisor 3

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
48
Bibliografía
C?rdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, M?xico: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
M?xico: Grijalbo.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
M?xico: McGrawHill.

49
Capítulo 4
Álgebra
Introducci?n
L
a Real Academia de la Lengua deﬁ ne el ?lgebra como: Parte de las
matem?ticas en la que las operaciones aritm?ticas son generalizadas
empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simb?li-
camente un número u otra entidad matem?tica. Cuando alguno de los signos
representa un valor desconocido, se le llama inc?gnita.
La historia del Álgebra tiene sus orígenes en el año 2000 a. C., en Meso-
potamia y Babilonia, puesto que su base es justamente la aritm?tica. M?s
o
menos en la misma ?poca, los egipcios desarrollaron un ?lgebra elemental
para resolver problemas cotidianos. Por su parte, los griegos en los siglos I,
II y III d. C., hicieron grandes publicaciones acerca de la aritm?tica y la
geometría.
En el siglo VII, los indios desarrollaron reglas algebraicas fundamentales
para el manejo de números positivos y negativos, y ya en el siglo IX d. C.,
Al-Jwarizmi, matem?tico y astr?nomo ?rabe, escribi? sus investigaciones
acerca de los números, de los m?todos de c?lculo y de procedimientos alge-
braicos para resolver sistemas de ecuaciones. A partir de ese momento, y
hasta el siglo XII, otros matem?ticos de medio oriente hicieron notables con-
tribuciones al ?lgebra.
En el año 1202, Leonardo Pisa, matem?tico italiano, mejor conocido
como Fibonacci, difundi? en Europa el sistema de numeraci?n ar?biga, y
public? el Liber Abaci (Tratado del Ábaco). En los siglos XV y XVI, otros

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
50
notables matem?ticos europeos hicieron contribuciones importantes en
el
?rea.
En el año 1637, René Descartes, matem?tico franc?s, fusion? la geome-
tría y el ?lgebra al inventar la geometría analítica. En 1750, Gabriel Cramer,
matem?tico suizo, introdujo la regla de Cramer en el ?lgebra lineal para dar
soluci?n a los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1799, Carl Friedrich Gauss, matem?tico alem?n, a quien se le conoce
como el Príncipe de las Matemáticas, demuestra el hoy conocido Teorema
Fundamental del Álgebra.
A partir de ese tiempo, y a la fecha, son muchas las grandes contribu-
ciones que otros matem?ticos han realizado. Se citar? solamente a algunos
de ellos:
Pierre Frederic Sarrus, matem?tico franc?s que inventa la regla de •
c?lculo en 1833.
?variste Galois, matem?tico franc?s a quien se le considera el padre •
del ?lgebra abstracta.
William Rowam Hamilton, matem?tico y astr?nomo irland?s, quien •
desarroll? la aritm?tica de los números complejos.
Hermann Grassmann, matem?tico alem?n, a quien se le considera el •
creador del ?lgebra lineal.
George Boole, matem?tico ingl?s, se le reconoce porque redujo la •
l?gica formal en una ?lgebra simple.
Giuseppe Peano, matem?tico italiano, quien enuncia los postulados •
con los que se formaliza la deﬁ nici?n de conjunto de los números
naturales (Barrera, 2014).

Álgebra
51
I. Conceptos preliminares
Los símbolos usados en ?lgebra para representar cantidades son los núme-
ros y las letras.
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritm?tica, es preciso deﬁ nir los
conceptos elementales para la comprensi?n del tema.
Deﬁ niciones:
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y de-•
terminadas. Por convenci?n, se usan las primeras letras del abecedario
para denotar tambi?n cantidades conocidas como coeﬁ cientes.
Se denomina • variables a las letras que representan cantidades des cono-
cidas. Por convenci?n, se usa las últimas letras del abecedario como
u, v, w, x, y, z.
Una • expresi?n algebraica es la representaci?n de un símbolo alge-
braico o de una o m?s operaciones algebraicas.
Término• es una expresi?n algebraica que consta de un solo símbolo o
de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o el signo –.
Ejemplo:
La siguiente es una expresi?n algebraica:
3x
2
+ 5xy –183
Esta expresi?n consta de tres t?rminos:
Primer término Segundo término Tercer término
3 x
2
5 x y -183
Observe que cuando un t?rmino no va precedido por un signo, toma el
valor positivo.
Ejemplo:
–3 y
5
+ — x
2
–18 xy + 10
1
3
El grado de este polinomio es 5.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
52
II. Polinomios
Cuando un t?rmino involucra un coeﬁ ciente, una variable y un exponente,
estos elementos se distinguen:
ax
n
a = coe?iciente
x = variable en la base
n = exponente
Deﬁ nici?n: Un polinomio es una expresi?n algebraica que tiene la forma:
a
n
x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ … + a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
Deﬁ niciones:
Un • monomio es una expresi?n algebraica que consta de un solo
t?rmino.
Un • polinomio es una expresi?n algebraica que consta de m?s de un
t?rmino.
El • grado de un polinomio es el grado de su t?rmino de mayor grado.
Por lo general, un polinomio se ordena de forma ascendente o descen-
dente al grado del polinomio.
Suma de polinomios
Para poder sumar dos polinomios, ser? necesario hacerlo únicamente de
t?rminos semejantes, es decir, se suman los coeﬁ cientes que est?n multipli-
cando a variables con la misma potencia.
Ejemplo. Realice la suma de los siguientes polinomios:
P(x) = –8x
5
+ 4x
4
+ 10x
3
– 15x
2
+ 20x – 100 Con Q(x) = – 12x
5
– 12x
3
+
15x
2
+ 2x + 117

Álgebra
53
Se recomienda colocar en orden cada uno de los t?rminos y sumar los
coeﬁ cientes, como se muestra a continuaci?n:
+
–8x
5
+4x
4
+10x
3
–15x
2
+20x –100
–12x
5
–12x
3
+15x
2
+2x +117
–20x
5
+4x
4
–2x
3
0x
2
+22x +17
Puesto que por convenci?n no se expresa de manera escrita un t?rmino
que est? multiplicado por cero, el polinomio que result? de la suma es:
–20x
5
+ 4x
4
– 2x
3
+22x + 17
Leyes de los exponentes
x
0
= 1 x
n
=
1
x
n
x
1
= x
x
n
x
m= x
n–m
x
n
= xx … x
(multiplicar x n-veces)
(x
–n
)
m
= x
–(nm)
x
n
x
m
= x
n+m
x
y()
nn
n=
x
y
(ax
n
)(bx
m
) = (ab)x
n+m
x=
( )
1
m
m
≥
≥
(x
n
)
m
= x
nm
x = —
(

)
–1
1
m
≥
m
≥
(xy)
n
= x
n
y
n
x =
(

)
n
m
m
≥
x
n
(x
n
)
m
= x
m
1 n
x = —
(

)
–n
1
m
x
nm
≥
Producto de polinomios
Recuerde la forma de multiplicar que estudi? en su educaci?n b?sica: cuan-
do las unidades se sumaban con unidades, decenas con decenas y centenas
con centenas. Ese mismo proceso se realizar?, pero considerando un orden
estrictamente relacionado con la potencia del t?rmino en cuesti?n.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
54
A continuaci?n, se har? un ejemplo de la manera en que se multiplican
dos polinomios. Recuerde que para los prop?sitos de este libro se est?n orde-
nando de forma descendente.
Ejemplo:
Multiplicar –10x
3
+ 15x
2
– 20x + 10 con 5x
2
– 2x + 11
X
–10x
3
+15x
2
–20x +10
5x
2
–2x +11
–110x
3
+165x
2
–220x +110
+20x
4
–30x
3
+40x
2
–20x
–50x
5
+75x
4
–100x
3
+50x
2
–50x
5
+95x
4
–240x
3
+255x
2
–240x +110
Por lo tanto, el polinomio que resulta del producto es:
–50x
5
+ 95x
4
– 240x
3
+ 255x
2
– 240x + 110
Tambi?n se puede realizar este producto de forma lineal, al aplicar conti-
nuamente la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, aplicar
repetidamente las leyes de los exponentes y sumar los t?rminos semejantes.
Sin embargo, observe que el m?todo expuesto de multiplicar polinomios
permite reducir un posible error por omisi?n de algún t?rmino.

Álgebra
55
III. Ecuaciones de primer grado
Como su nombre lo indica, se presenta a continuaci?n expresiones algebrai-
cas de grado 1. Para el prop?sito de este libro, s?lo se analizar?n los casos
m?s simples.
La recta
Una recta en su expresi?n pendiente ordenada al origen se expresa de la
siguiente manera:
y = mx + d
La pendiente de una recta indica su grado de inclinaci?n, de esta manera:
m > 0 m < 0
m = 0 m, no determinada
Y en t?rminos generales, a la ecuaci?n de una recta, tambi?n se le pre-
senta como:
a x + by = c
Pero son exactamente lo mismo; mire a continuaci?n el despeje que se
har? de la ecuaci?n general de la recta:
ax +by = c
by = c – ax
ca
bb
y = — — — x

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
56
Note que y que
–a c
bb
m = — y que d = —

Adem?s, existe tambi?n la manera de determinar la ecuaci?n de una recta
de la que se conoce su pendiente y que pasa por un punto, digamos P
0
(x
0
, y
0
):
(y – y
0
) = m(x – x
0
)
Observe que x y y, que no tienen subíndice son unas variables, y x
0
, y
0

son valores conocidos.
En caso de no conocer la pendiente, pero sí dos puntos en el plano car-
tesiano por los que pasa, digamos P
1
(x
1
, y
1
) y P
2
(x
2
, y
2
), la forma de determi-
nar la ecuaci?n de la recta es a partir de la pendiente, con la f?rmula:
y
2
– y
1
x
2
– x
1
m =
De esta manera, la ecuaci?n de la recta queda:
y
2
– y
1
x
2
– x
1
(y – y
1
) = (x – x
1
) ()
Ejemplos:
1. Determine la recta cuya pendiente es -1/2 y que pasa por el punto
(-3,5)
Se sustituyen los valores directamente en la f?rmula:
–1
2
(y – 5) = — (x – (–3))
De esta manera:
–1
3
2
2
(y – 5) = — (x + 3)
–1
2
(y – 5) = — x – —
3
2
–1
2
y = — x – — + 5

Álgebra
57
Quedando la ecuaci?n de la recta con pendiente y ordenada al origen:
–1 7
22
y = — x + —
Y la ecuaci?n general:
–1 7
22
–1 7
22
— x + y = —
O, si se multiplica por completo por 2:
– x + 2y = 7
2. Determine la recta que pasa por (2,3) y por (–3, –5).
Se sustituye los valores directamente en la f?rmula:
–5 –3
–3 –2
(y – 3) = (x – 2) ()
De esta manera:
–8
–5
(y – 3) = (x – 2) ()
8
5
(y – 3) = — (x – 2)
()
8
5
(y – 3) = — x – —
16
5
8
5
y = — x – — + 3
16
5
Quedando la ecuaci?n de la recta con pendiente y ordenada al origen:
8
5
y = — x – —
1
5
Y la ecuaci?n general:
–8
5
— x + y = —
–1
5

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
58
O, si se multiplica por completo por 5:
–8 x + 5y = –1
Ejemplo de aplicación
Un partido político, para la campaña del Jefe de Gobierno del Distrito Fe-
deral en las pr?ximas elecciones, observ? que si pasan 3 comerciales en apo-
yo a su candidato en horario estelar su candidato obtiene 35% de posibles
votantes en la encuesta de un peri?dico; pero si pasan 6 comerciales en ese
mismo horario, su candidato obtiene el 42% de posibles votos. ¿Cu?ntos
comerciales deberían pasar en horario estelar para obtener 55% de posibles
votantes?
Soluci?n
Primero, se determina que el porcentaje de votantes depende del número de
comerciales en horario estelar; por tanto, se tiene la siguiente informaci?n:
P
1
(3,35) y P
2
(6,42)
Para poder contestar la pregunta, es necesario construir la recta que pasa
por estos puntos, utilizando la f?rmula correspondiente:
y
2
– y
1
x
2
– x
1
(y – y
1
) = (x – x
1
)
()
Por tanto:
42 – 35
6 – 3
(y – 35) = (x – 3) ()
Despu?s de realizar operaciones algebraicas, se llega a la siguiente fun-
ci?n lineal:
7
3
y = — x + 28

Álgebra
59
Ahora, observe que se quiere determinar cu?ntos comerciales son nece-
sarios transmitir para obtener un porcentaje del 55% de posibles votantes,
es decir, se requiere despejar la variable x, puesto que ya se conoce el valor
de y. En la funci?n se sustituye el valor de y y se despeja el valor de x:
7
3
55 = — x + 28
81
7
— = x
11.571428 = x
Por tanto, se requiere de aproximadamente 12 comerciales en horario
estelar.
Inecuaciones
Las inecuaciones lineales son expresiones algebraicas de grado 1 y se carac-
terizan porque en lugar de tener un signo de igualdad se tienen desigualdades
del tipo <, ≤, > y≥..
Ejemplos:
− 7x + 21 < 2x – 5
3y + 17 ≥ – 2y + 50

y + y – 1
1
5
2
3
≥
¿C?mo se resuelve una inecuaci?n?
La manera en que se resuelve una inecuaci?n es muy similar a como se
resuelve una ecuaci?n lineal, s?lo debe recordarse que si divide o multiplica
de ambos lados de una desigualdad por un valor negativo la desigualdad se
invierte. La soluci?n a una inecuaci?n de primer grado es necesariamente un
intervalo de la recta real.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
60
Ejemplos:
Se resuelven, a continuaci?n, dos inecuaciones lineales para que quede m?s
claro y, posteriormente, se representar? su conjunto soluci?n en la recta real.
7y + 21 ≥ 4y – 36
7y + 21 ≥ – 4y – 36 – 21
7y + 4y ≥ – 4y + 4y – 57
11y ≥ – 57

(11y) ≥ (– 57)
1
11
1
11
y ≥ Δ ? 5.1818
–57
11
Que es un intervalo de la recta real:

–57
11
[,+∞)
0 1 -1 -5 -4 -3 -2 -7 -6
–3x + 18 < 9x – 12
–3x + 18 – 18 < 9x – 12 – 18
–3x – 9x < 9x – 9x – 30
–12x < – 30

(–12x) > (– 30)
–1
12
–1
12
x >=
30
12
5
2
= 2.5
Que es un intervalo de la recta real:

5
2
(,+∞)
3 4 2 -2 -1 0 1 -4 -3

Álgebra
61
Note que en el primer ejemplo el círculo est? relleno, eso indica que
–57
11
est?
incluído en el intervalo y, en el segundo ejemplo, el 2.5 no est? considerado,
por esa raz?n tiene un hueco el dibujo.
Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2
Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 se expresa de la siguiente forma:
(Ecuación 1) a
1
x + b
1
y = c
1
(Ecuación 2) a
2
x + b
2
y = c
2
Como puede apreciarse, se trata de dos líneas rectas en el plano cartesia-
no, por tanto, la soluci?n implica determinar el punto en que se intersectan
dichas rectas, si no son rectas paralelas.
Para determinar la soluci?n de un sistema de ecuaciones de 2x2, hay una
diversidad de algoritmos, de los cuales se recordar? s?lo cuatro:
Suma y resta•
Sustitución•
Igualación•
Determinantes•
Suma y resta
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
1. Elegir una variable a despejar (x o y).
2. El coeﬁ ciente de la variable no elegida en la ecuaci?n 1, multiplicar?
a toda la ecuaci?n 2, y el coeﬁ ciente de la variable no elegida en la
ecuaci?n 2, multiplicar? a toda la ecuaci?n 1.
3. Restar la ecuaci?n 2 de la ecuaci?n 1.
4. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n de primer grado con una inc?gni-
ta, por tanto se despeja su valor.
5. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 4, se susti-
tuye en cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor
de la otra variable.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
62
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y.
2. Note que basta con sumar las ecuaciones.
3x + 5y = 14
–3x + 3y = 18
0x + 8y = 32
32
y = = 4
8
3. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n de primer grado con una inc?gnita,
por tanto se despeja su valor.
y = 4
4. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 4, se susti-
tuye en cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor
de la otra variable.
3x + 5(4) = 14
3x = 14 – 20
3x = –6
x = –2

Álgebra
63
Sustitución
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
1. Elegir una variable a despejar (x o y) de una de las dos ecuaciones (1
o 2) y despejarla.
2. Sustituir la variable despejada en la ecuaci?n no-elegida.
3. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n de primer grado con una inc?gni-
ta, por tanto se despeja su valor.
4. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 3, se susti-
tuye en la variable despejada en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y de la ecuaci?n 2.
3y = 18 + 3x
y = 6 + x
2. Sustituir la variable despejada en la ecuaci?n 1.
3x + 5(6 + x) = 14
3. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n de primer grado con una inc?gnita,
por tanto se despeja su valor.
3x + 5(6 + x)= 14
3x + 30 + 5x = 14
8x = 14 – 30
x = – 2
4. X = –2, se sustituye en la variable despejada en el paso 1.
y = 6 – 2
y = 4

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
64
Igualación
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
1. Elegir una variable a despejar (x o y) de las dos ecuaciones y despe-
jarlas.
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n
de primer grado con una inc?gnita, por tanto se despeja su valor.
3. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 2, se susti-
tuye en una de las variables despejadas en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, digamos x de las dos ecuaciones y
despejarlas.
14 – 5y
3
18 – 3y
–3
3x = 14 – 5y ⇒ x =
⬚
–3x = 18 – 3y ⇒ x =
⬚
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya s?lo existe una ecuaci?n
de primer grado con una inc?gnita, por tanto se despeja su valor.
18 – 3y
–3
54 – 9y = –42 + 15y
–24y = –96
y = 4
=
14 – 5y
3

Álgebra
65
3. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 2, se susti-
tuye en una de las variables despejadas en el paso 1; por ejemplo, en
la x que se despej? de la primera ecuaci?n.
14 – 5(4)
x =
–6
3
x = —
3
x = –2
Determinantes
Antes de abordar el algoritmo como en los casos anteriores, ser? preciso
deﬁ nir algunos conceptos:
Deﬁ nici?n: El determinante de una matriz de orden 2x2 de valores rea-
les es un valor num?rico que se determina de acuerdo con:
a
c
b
d
= ad – cb
En el sistema de ecuaciones de 2x2:
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
Se tendr? asociados tres determinantes: el determinante del sistema, a
quien se denotar? Δ
s
, el determinante para despejar el valor de la inc?gnita
x Δ
x
y el determinante para despejar el valor de la inc?gnita y Δ
y
:
a
1
a
2
b
1
b
2
= a
1
b
2
– a
2
b
1∆
s
=
a
1
a
2
c
1
c
2
= a
1
c
2
– a
2
c
1∆
y
=
c
1
c
2
b
1
b
2
= c
1
b
2
– c
2
b
1∆
x
=

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
66
La soluci?n al sistema de ecuaciones se determina con los siguientes co-
cientes:
x = — y y = —
∆
s

∆
x
∆
y
∆
s
Observaciones:
1. Note que el determinante del sistema se conforma únicamente de los
coeﬁ cientes que multiplican a las variables.
2. Para determinar el determinante de la variable x, se cambiaron los
coeﬁ cientes que multiplican a esta variable por los coeﬁ cientes del
lado derecho de las igualdades; an?logamente, se procedi? con el
determinante de la variable y.
3. Un punto relevante en este caso es que si el determinante del sistema
es cero, entonces este sistema de ecuaciones NO tiene soluci?n.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
Se calcula los determinantes asociados a los sistemas de ecuaciones:
3
–3
5
3
= (3)(3) – (–3)(5) = 9 + 15 = 24
∆
s
=
14
18
5
3
= (14)(3) – (18)(5) = 42 – 90 = –48
∆
x
=
3
–3
14
18
= (3)(18) – (–3)(14) = 54 + 42 = 96∆
y
=
Finalmente, se determina la soluci?n al sistema:
x = — = — = –2 y y = — = — = 4
∆
s
∆
s

∆
x
∆
y–48 96
2424

Álgebra
67
Ejemplo de aplicación
Una compañía fabrica dos tipos de jab?n, A y B, que se deben procesar por
dos departamentos: producci?n y empaque. Si los tiempos estimados en la
producci?n de 100 jabones se presentan en la siguiente tabla, determinar
cu?ntos jabones de cada tipo deben fabricarse para aprovechar al m?ximo la
capacidad de la f?brica.
Departamento
Productos Horas disponibles
A B Por mes
Producci?n 4 3 4300
Empaque 3 1.5 2625
Soluci?n
x = Número de jabones del tipo A a producir en un mes
y = Número de jabones del tipo B a producir en un mes
El modelo es:
Depto.de producción 4x + 3y = 4300
Depto.de empaque 3x + 1.5y = 2625
Se resolver? utilizando igualaci?n:
4300 – 3y
4
4x = 4300 – 3y ⇒ x =
⬚
2625 – 1.5y
3
3x = 2625 – 1.5y ⇒ x =
⬚

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
68
4300 – 3y
4
2625 – 1.5y
3
=
12900 – 9y = 10500 – 6y
–3y = –2400
y = 800
4300 – 3(800)
4
x =
1900
4
x =
x = 475
La soluci?n es:
1) Se requiere producir mensualmente 475 jabones del tipo A
2) Se requiere producir mensualmente 800 jabones del tipo B
De esta manera, se aprovechar? por completo la capacidad de los depar-
tamentos en esta f?brica.

Álgebra
69
IV. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuaci?n de segundo grado en su expresi?n gen?rica se representa
mediante:
ax
2
+ bx + c=0
Gr?ﬁ camente, en el plano cartesiano, representa a una par?bola que
puede abrir hacía arriba ∪ si el signo del coeﬁ ciente a > 0 (es positivo), o
puede abrir hacía abajo ∩ si el signo del coeﬁ ciente a < 0 (es negativo).
Una par?bola puede intersectar al eje de las “x” en uno, en dos o en
ningún punto:
Intersecci?n
en dos puntos
Intersecci?n
en un punto
No existe intersecci?n
a > 0 a > 0 a > 0

a < 0 a < 0 a < 0

Gr?ﬁ camente es visible la correspondencia biunívoca que existe entre el
número de soluciones de la cuadr?tica y las intersecciones con el eje de las
“x”. Es m?s: en el caso en que no toca a este eje, sí tiene soluciones, pero
?stas pertenecen al conjunto de los números complejos no contemplados en
este texto.
Regresando a ax
2
+ bx + c = 0, la ecuaci?n cuadr?tica, la manera de re-
solverla se puede analizar por casos, dependiendo de cu?l de los coeﬁ cientes
no est? presente o de manera gen?rica, cuando los tres coeﬁ cientes est?n
presentes.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
70
Caso 1) c = 0
3x
2
– 9x = 0
En este caso, se puede proceder factorizando la expresi?n de la siguiente
forma:
3x (x – 3)= 0
Note que se tiene un producto de dos expresiones igualado a cero. Esto
implica que uno de los dos factores debe ser cero, entonces hay dos solucio-
nes posibles:
(3)(x) = 0 y, por tanto x = 0
Con factor derecho del producto, se tendría:
x – 3 = 0 y, por tanto x = 3
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x
1
= 0 y, x
2
= 3
Caso 2) b = 0
–3x
2
+ 12 = 0
En este caso, se realiza el despeje algebraico correspondiente:
–3x
2
= –12
–12
= 3
4
x
2
=
–3
x = ± ≥ = ± 2
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x
1
= 2 y, x
2
= –2

Álgebra
71
Caso 3) a, b, c ≠ 0
Es justamente este caso el que requiere la f?rmula general para su soluci?n:
2a
–b ± b
2
– 4ac
x
1,2
=
Ejemplo:
–2x
2
+ 5x +3 = 0
En este caso:
a = –2, b = 5 y C = 3
Aplicando la f?rmula para determinar las dos soluciones posibles y ha-
ciendo las operaciones correspondientes, se tiene:
–5 ± 5
2
– 4(–2) (3)
x
1,2
=
2(–2)
–5 ± 49
x
1,2
=
–4
–5 ± 7
x
1,2
=
–4
Se determina la primera soluci?n con el signo positivo de la raíz y la se-
gunda soluci?n con el signo negativo de la raíz:
–1
x
1
=
2
y, x
2
= 3
Aprovechando este último caso en la soluci?n de ecuaciones cuadr?ti-
cas, es importante subrayar que el v?rtice es el punto que pertenece a la pa-
r?bola, y es aquel donde alcanza su valor m?ximo o mínimo, según sea el
caso; pero siempre se puede determinar a trav?s del uso de las siguientes
formulas, derivadas de la f?rmula general. De esta manera:
–b
V
x

=
2a
4ac – b
2
4a
y, V
y
=

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
72
Ejemplo de aplicación
La funci?n demanda de un producto es una funci?n lineal donde y repre-
senta la demanda en miles de unidades, y x es el precio del producto en
pesos mexicanos:
y = f (x) = 1500 – 50x
La funci?n que expresa los ingresos totales de la venta de y unidades
como producto de x por y es:
I(x) = (x)(y)
Sustituyendo la y por la funci?n que depende de x, queda expresada de
la siguiente forma:
I(x) = (x)(1500 – 50x)
I(x) = 1500x – 50x
2
Que es precisamente una funci?n cuadr?tica del caso 1, c = 0 y, por lo
tanto, intersecta al eje de las x en 0 y 30; como –50 < 0, entonces el gr?ﬁ co tiene
la forma ∩ y el punto donde se obtienen los mayores ingresos es justamente en
el v?rtice; solo se requiere determinar los valores de cada coordenada.
Soluci?n
–b
V
x

=
2a
–1500
2(–50)
–1500
–100
== = 15
y,

4ac – b
2
V
x
=
4a
0 – (1500)
2
4(–50)
–2250000
–200
== = 11250
La interpretaci?n que se da es inmediata de la manera en que se constru-
y? la funci?n:
Cada unidad se debe vender en • $15.00 por unidad.
Los ingresos totales ser?n de • $11,250.00

Álgebra
73
Problemas
Suﬁ ciencia de datos
1. Determine las dimensiones de un rect?ngulo.
(3) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(4) Su perímetro es de 19 cm.
2. Un parque posee un jardín de ﬂ ores de 50 m de largo y 30 m de
ancho, así como un andador de ancho constante a su alrededor. Cal-
cular el ancho del andador.
(1) El ?rea plantada con ﬂ ores es de 1500 m
2
.
(2) El ?rea del andador es de 600 m
2
.
3. Una mujer tiene dinero invertido en dos cuentas de las que recibe
anualmente una ganancia neta de $14,560.00. De una inversi?n, ella
recibe el 12% anual, y de la segunda el 8% anual. ¿Qu? cantidad de
dinero tiene invertida en cada tipo de inversi?n?
(1) La mujer inicialmente invirti? $150,000.00 en total.
(2) En la que genera 12% de ganancia, ella invirti? m?s de dos ter-
ceras partes que en la de 8%.
4. Determine qu? cantidad de cada soluci?n debe usar un químico para
obtener 6 l de una soluci?n ?cida al 10% mezclando dos soluciones
?cidas.
(1) La primera soluci?n est? al 7% de acidez.
(2) La segunda soluci?n est? al 12% de acidez.
5. Se recaudaron $42,795.00 de la venta de boletos para una funci?n de
teatro, ¿cu?ntos boletos de cada tipo se vendieron?
(1) El costo de los boletos para el público general fue de $60.00
(2) El costo de los boletos para estudiantes fue de $45.00

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
74
6. ¿Existen dos números pares consecutivos cuya suma de recíprocos
es
9
40
?
(1) Un entero es múltiplo de 4
(2) Un entero es múltiplo de 5
7. Luisa compr? un vestido que tenía descuentos extraordinarios y
pag? por ?l $280.00. ¿Cu?l era el precio original?
(1) El vestido tenía un 50% m?s el 20% de descuento.
(2) Luisa pag? por su vestido s?lo el 40% de su precio original.
8. Una compañía fabrica dos tipos de computadoras, la LX3 y la LTT1.
¿Cu?ntas computadoras deben vender de cada tipo para obtener uti-
lidades totales de $11’500,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras
modelo LX3 es de $2,500.00
(2) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras
modelo LTT1 es de $3,500.00
9. Una compañía fabrica dos tipos de muebles, el A y el B. ¿Cu?ntos
muebles deben vender de cada tipo para obtener utilidades totales
de $130,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada mueble es de
$250.00 y $350.00 para los del tipo A y B, respectivamente.
(2) El fabricante ha determinado que se puede vender 20% m?s de
los muebles A que de los del tipo B.
10. Una tienda de autos paga a sus vendedores un porcentaje con base
en los primeros $100,000.00 de ventas, m?s otro porcentaje sobre el
excedente de los $100,000.00 ¿A cu?nto asciende cada porcentaje?
(1) Un vendedor obtuvo $8,500.00 por ventas de $175,000.00 y otro
por $14,800.00 por vender $280,000.00
(2) El segundo porcentaje es el triple de la mitad del primer por-
centaje.
11. Determine las utilidades de este año y las del año pasado para una
compañía que report?.
(1) El año pasado la empresa obtuvo utilidades por $800,000.00
(2) E
ste año la empresa obtuvo utilidades por $200,000.00 por encima
de las obtenidas el año anterior, e indicaron que aumentaron
25%.

Álgebra
75
12. Si usted decide realizar dos inversiones que le reditúan lo mismo,
¿cu?nto invirti? en cada una de ellas?
(1) De la cantidad total invertida,
3
10
de ella m?s $600,000.00 invir-
ti? en la primera.
(2) Al ﬁ nal del primer año usted recibi? $150,000.00 de ganancia
total.
13. Dos engranes, uno de ocho dientes y otro de 24 dientes, al dar la
vuelta el engrane m?s grande, el m?s chico gira alrededor del grande.
¿Cu?ntas veces gira el engrane pequeño sobre su propio eje mientras
da una vuelta completa alrededor de la grande?
(1) Es sencillo: son 3 vueltas.
(2) Al girar un cuerpo trazando una circunferencia, se tiene siempre
una revoluci?n m?s de las que pueden contarse.
14. ¿De cu?ntas formas se puede elegir una mesa directiva que consta de
un presidente, un tesorero y dos vocales, considerando que el orden
es importante?
(1) El presidente es m?s importante que el tesorero y el tesorero que
los dos vocales.
(2) Son 20 profesores a los que se puede elegir.
¿De cu?ntas formas se puede elegir una muestra aleatoria de 500 perso-
nas para un estudio de mercado?
(1) La poblaci?n a considerar se divide en 7 estratos.
(2) La poblaci?n a considerar se tiene 4 características de relevancia
a considerar.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
76
Problemas de opci?n múltiple
1. Un deportista desea establecer una dieta a partir de pescado y pollo,
que contenga 183 gramos de proteína y 93 gramos de hidratos de
carbono. Si una porci?n de pescado de 100 gr contiene un 70% de
proteínas y un 10% de hidratos de carbono, y una porci?n de pollo
de 100 gr contiene un 30% de proteína y un 60% de hidratos de
carbono, ¿qu? cantidad de pescado se necesita cada día?
a. 190 gr
b. 230 gr
c. 250 gr
d. 210 gr
e. 200 gr
2. El precio de un refrigerador es de $10,350.00. ¿Cu?nto costaba hace
un año si aument? un 11.7%?
a. $ 9,139.05
b. $ 10,230.30
c. $ 5,219.36
d. $ 9,265.90
E. $ 11,721.40
3. El 30 de marzo el IPC cerr? en 5,327.5 puntos. ¿Con cu?nto cerr? el
día anterior si subi? 0.82%?
a. 958.95
b. 4,923.75
c. 2,927.19
d. 4,514.83
e. 4,368.55
4. ¿Qu? capital se debe invertir hoy al 27% capitalizable por meses
para tener $30,000.00 en 7 meses?
a. $ 24,500.00
b. $ 21,900.00
c. $ 26,700.00
d. $ 23,622.05
e. $ 25,673.08

Álgebra
77
5. ¿Qu? capital se debe invertir hoy al 30.5% capitalizable por meses
para tener $13,000.00 en 5 meses?
a. $ 11,466.78
b. $ 9,035.00
c. $ 6,825.00
d. $ 9,961.68
e. $ 7,669.61
Otros
6. En un estudio reciente, se indica que la funci?n
–t
2
f(t)
= + — t
4
3
2
representa la popularidad del ex presidente de la República Mexica-
na durante su sexenio, cuando 0 ≤ t ≤ 6. Determine el valor de t para
el cual obtuvo la mayor popularidad.
7. La policía del Distrito Federal estudia la compra de carros patrulla.
Los analistas estiman que el costo de cada carro, completamente
equipado, es de $185,000.00, adem?s, han estimado un costo pro-
medio de $20.00 por kil?metro recorrido. Determine:
a) La funci?n de costo total
b) ¿Cu?l es el costo de cada carro patrulla, si en promedio recorre
50,000 kil?metros en su vida útil?
c) ¿Y si recorriera 75,000 kil?metros?
8. Problema 7. La funci?n de utilidad de una empresa, en miles de
pesos, depende del número de artículos x en cientos de unidades, de
acuerdo con la siguiente funci?n:
U(x) = –4x
2
+ 5x + 10
a) ¿Cu?ntos artículos se deben vender para obtener la ganancia
m?s grande?
b) ¿De cu?nto es esa ganancia?

78
Bibliografía
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra, Madrid: Ediciones y distribuciones c?dice.
Budnick, Frank (2007). Matemáticas Aplicadas para Administración, Econo-
mía y Ciencias Sociales, M?xico: Mc Graw Hill.
C?rdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, M?xico: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
M?xico: Grijalbo.
Web
Barrera Francisco, Historia del Álgebra, Facultad de Ingeniería UNAM
http://www.dcb.unam.mx/users/ericagv/algebra/historia%20del%20alge-
bra.pdf
Consultada el 1 de octubre de 2014.

79
Capítulo 5
Geometría plana y del espacio
Introducci?n
L
a palabra geometría se deriva de las palabras griegas geo, que signiﬁ ca
“tierra”, y metron, que signiﬁ ca medir. Los antiguos egipcios y babilo-
nios (4000-3000 a. C.) pudieron desarrollar una serie de reglas pr?cticas para
medir ﬁ guras geom?tricas sencillas y para determinar sus propiedades.
De Egipto y Babilonia, el conocimiento de la geometría pas? a Grecia.
Los griegos legaron algunos de los m?s grandes descubrimientos para el
avance de las matem?ticas.
Entre los griegos m?s prominentes que contribuyeron al progreso estaban
Tales de Mileto (640-546 a. C.), Pit?goras discípulo de Tales (¿580?-500
a. C.), Plat?n (429-348 a. C.), Arquímedes (287-212 a. C.) y Euclides (al-
rededor de 300 a. C.).
Euclides, que enseñaba matem?ticas en Alejandría, escribi? el primer
tratado de geometría amplio y lo intitul? Elementos. La mayor parte de los
principios que se presenta ahora en los libros modernos estaban ya contem-
plados en este tratado. Su obra ha servido de modelo para la mayor parte de
los libros de geometría que se han escrito a lo largo del tiempo.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
80
I. Conceptos preliminares
Para dar inicio a la comprensi?n de la teoría necesaria en el aprendizaje de
la geometría, es precisa la deﬁ nici?n de los conceptos elementales. Euclides
intent? hacer esto al deﬁ nir el punto como lo que tiene posici?n pero no
dimensi?n. No obstante, las palabras “posici?n” y “dimensi?n” tambi?n son
conceptos b?sicos y s?lo pueden describirse usando tautologías. Tambi?n
intent? deﬁ nir la recta como lo que tiene s?lo una dimensi?n.
Deﬁ nici?n: Un punto es lo que tiene posici?n, pero no dimensi?n. Se
denota por medio de una letra mayúscula escrita cerca de ?l.
Deﬁ nici?n: Una recta es un conjunto de puntos que de manera conjunta
tiene una sola dimensi?n. Tambi?n se le puede deﬁ nir como el conjunto de
puntos que no tiene partes curvas. La recta se denota designando dos puntos
sobre ella con letras mayúsculas.
A B
Deﬁ nici?n: Los puntos que se encuentran todos en el mismo plano son
coplanares.
Deﬁ nici?n: Un ?ngulo es la uni?n de dos segmentos de recta que coin-
ciden en un punto extremo.
Ejemplo: En la ﬁ gura siguiente, se muestra el ?ngulo α que est? determi-
na
do por los segmentos de recta B C y B A
.
C
AB
α
Deﬁ nici?n: Los ?ngulos generalmente se miden en t?rminos de unidad
grado (°). A cada ?ngulo le corresponde un valor real entre 0° y 360°, la
medida de un giro completo.

Geometría plana y del espacio
81
Deﬁ nici?n: Se dice que dos ?ngulos son ?ngulos adyacentes si, y solo si,
tienen el mismo v?rtice. Un lado en común y los otros dos lados est?n con-
tenidos en los semiplanos cerrados opuestos determinados por la recta que
contiene el lado común.
Ejemplo: En la ﬁ gura siguiente, los ?ngulos α y β son ?ngulos adyacentes.
El v?rtice O es común y comparten el segmento de recta O B
; de igual forma,
los segmentos de recta O C y O Ase encuentran opuestos al segmento común.
B
A
O
α
C
β
Deﬁ nici?n: Un ?ngulo es un ?ngulo recto si, y s?lo si, tiene medida de 90°.
Deﬁ nici?n: En geometría, se utiliza la palabra congruente para deﬁ nir lo
que tiene el mismo tamaño y la misma forma. Dos ?ngulos son congruentes
si, y s?lo si, tienen la misma medida.
Deﬁ nici?n: Dos rectas son perpendiculares si, y s?lo si, se intersectan
para formar un ?ngulo recto.
Ejemplos:
.
A
B
C
A
B
C
A
B C

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
82
Deﬁ nici?n: Se dice que dos ?ngulos son ?ngulos complementarios si, y
s?lo si, la suma de las medidas de sus ?ngulos es igual a 90°.
Deﬁ nici?n: Se dice que dos ?ngulos son ?ngulos suplementarios si, y
s?lo si, la suma de las medidas de sus ?ngulos es igual a 180°.
Ejemplos:
Ángulos complementarios Ángulos suplementarios
α
O
β
α
β
Deﬁ nici?n: Dos rectas son paralelas si, y s?lo si, son coplanares y no se
intersectan.
Deﬁ nici?n: Dos planos son paralelos si, y s?lo si, su intersecci?n es el
conjunto nulo.
Ejemplos: A continuaci?n, se muestra que la recta A B y la recta C D son
paralelas; de igual manera, el plano ABCD y el plano A’ B’ C’ D’ son paralelos.

A B
C D
A
A’
B
B’
C
C’

D
D’

Geometría plana y del espacio
83
Teorema 1: Si dos rectas se intersectan entre sí, los ?ngulos opuestos por
el v?rtice son iguales.
α
β
α'
β'
En este dibujo, el teorema aﬁ rma que α = α’ y que β = β’. La raz?n de la
veracidad de este teorema radica en que α y β son ?ngulos suplementarios, y
los ?ngulos α’ y β’ tambi?n son suplementarios (suman 180°).
Teorema 2: Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal
entonces se cumplen las siguientes postulados:
1) Los ?ngulos correspondientes son congruentes.
2) Los ?ngulos internos del mismo lado son suplementarios.
3) Los ?ngulos alternos internos son congruentes.
α
β
θ

β'
α'
θ'
'

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
84
A partir de este dibujo, se explicar? cada uno de los postulados:
1. Los ?ngulos correspondientes se reﬁ eren a α con α’, a β con β’, a θ
con θ’ y aδ con δ’. Es claro que al ser rectas paralelas el ?ngulo que se
forma con la transversal para estos casos queda id?ntico.
2. Los ?ngulos internos del mismo lado se reﬁ eren a α con β, a β con θ,
a θ con δ y a δ con α. La justiﬁ caci?n es muy evidente, puesto que la
suma de cada pareja es de 180°. Ocurre exactamente lo mismo para
el caso de α’, β’, θ’ y δ’.
3. Los ?ngulos alternos internos se reﬁ eren a β’ con δ y a θ con α’; ?stos
son iguales, respectivamente. La raz?n por la que se cumple este
postulado es porque β’ es igual a δ’ por ser ?ngulos opuestos y, al
aplicar el postulado 2, δ’ es igual a δ. Por transitividad, el postulado
es verdadero. Se veriﬁ ca de igual manera cada caso.

Geometría plana y del espacio
85
II. Trigonometría
En matem?ticas, se ha convenido que los ?ngulos medidos en sentido con-
trario a las manecillas del reloj son positivos; pero si se miden en el mismo
sentido que las manecillas del reloj, se consideran negativos.
Ejemplos:
a) Ángulo positivo b) Ángulo negativo
O
β = 45°
B
A O
β = – 45°
A
B
Para poder deﬁ nir las llamadas razones o funciones trigonom?tricas, se
considera un tri?ngulo rect?ngulo:
α
hipotenusa
Cateto
opuesto
Cateto
adyacente
Observaci?n: En este caso, se considera al ?ngulo α para entender con
mayor facilidad las siguientes deﬁ niciones; tambi?n se usar?n siglas.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
86
Deﬁ niciones:
El • seno es la raz?n entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
El • coseno es la raz?n entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La • tangente es la raz?n entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
La • cotangente es la raz?n entre cateto adyacente y el cateto opuesto.
La • secante es la raz?n entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
La • cosecante es la raz?n entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Seno Coseno Tangente
sen α =
C O
H
cos α =
C A
H
tan α =
C O
C A
Cosecante Secante Cotangente
csc α =
C O
H
sec α =
C A
H
cot α =
C A
C O
Para poder comprender en t?rminos m?s generales las deﬁ niciones, con-
sidere el tri?ngulo rect?ngulo ABC:

A
B
C
a
b
c
Teorema de Pit?goras: a
2
= b
2
+ c
2

Geometría plana y del espacio
87
Seno Coseno Tangente
sen B =
b
a
sen C =
c
a
cos B =
c
a
cos C =
b
a
tan B =
b
c
tan C =
c
b
Cosecante Secante Cotangente
csc B =
a
b
csc C =
a
c
sec B =
a
c
sec C =
a
b
cot B =
c
b
cot C =
b
c
Algunos valores importantes para estas funciones trigonom?tricas son
aqu?llos relacionados con 0°= 360°, 90°, 180° y 270°, por tanto se enuncia-
r?n a continuaci?n:
sen 0° = 0 cos 0° = 1 tan 0° = 0
sen 90° = 1 cos 90° = 0 tan 90° = ∞
sen 180° = 0 cos 180° = –1 tan 180° = 0
sen 270° = 1 cos 270° = 0 tan 270° = ∞
Algunas relaciones entre funciones trigonom?tricas:
csc α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cot α =
1
tan α
sen
2
α + cos
2
α = 1 sen
2
α = 1 — cos
2
α cos
2
α = 1 — sen
2
α

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
88
Ley de los senos
Es una herramienta b?sica para resolver los ?ngulos o magnitudes de tri?ngu-
los de cualquier tipo, siempre y cuando se conozcan algunos de los datos:

A
B
C
a
b
c = =
a
sen A
b
sen B
c
sen C
Ley de los cosenos
Es una herramienta b?sica que no es necesaria para los prop?sitos de este
libro, pero se presenta como breviario cultural:

A
B
C
a
b
c
a
2
= b
2
+ c
2
— 2bc (cos A)
b
2
= a
2
+ c
2
— 2ac (cos B)
c
2
= a
2
+ b
2
— 2ab (cos C)

Geometría plana y del espacio
89
III. Figuras planas
Deﬁ nici?n: Se deﬁ ne como tri?ngulo a la ﬁ gura plana que consta de tres la-
dos y tres ?ngulos interiores. ?stos se clasiﬁ can principalmente en tres tipos:
Escaleno, Is?sceles y Equil?tero.
Un tri?ngulo es • Escaleno si, y s?lo si, no tiene dos lados que sean
iguales.
Un tri?ngulo es • Is?sceles si, y s?lo si, tiene dos lados iguales.
Un tri?ngulo es • Equil?tero si, y s?lo si, tiene tres lados iguales.
Ejemplos:
Escaleno Is?sceles Equil?tero
Deﬁ nici?n: Se dice que un tri?ngulo es un tri?ngulo rect?ngulo si, y s?lo
si, tiene un ?ngulo recto.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
90
Propiedades:
1) La suma de los ?ngulos internos de cualquier tri?ngulo es de 180°
2) En un tri?ngulo escaleno, todos los ?ngulos son diferentes.
3) En un tri?ngulo is?sceles, dos de los ?ngulos son iguales.
4) En un tri?ngulo equil?tero, los tres ?ngulos miden 60°.
Deﬁ nici?n: Según la Real Academia de la Lengua Española, un polígono
es una porci?n del plano limitada por líneas rectas.
Ejemplos:
Observaci?n 1: De acuerdo con esta deﬁ nici?n, el polígono debe tener
asociados los ?ngulos internos determinados por las líneas rectas que se
unen y forman un v?rtice.
Observaci?n 2: A la circunferencia, tambi?n se le conoce como un po-
lígono con un número inﬁ nito de lados.
Deﬁ nici?n: Un polígono es regular si, y s?lo si, todos sus lados y sus
?ngulos son iguales. De otra manera, se le denomina polígono irregular.
Como ejemplos de polígonos regulares, podemos citar al tri?ngulo equi-
l?tero y al cuadrado.

Geometría plana y del espacio
91
IV. Perímetros y ?reas de polígonos
Deﬁ nici?n: Se denomina perímetro a la medida del contorno de una ﬁ gura
o superﬁ cie.
Deﬁ nici?n: La unidad de medida para un perímetro ser? la longitudinal.
Ejemplo:
2 m
5 m
P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14 m
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas f?rmulas de pe-
rí
metros.
Deﬁ nici?n: Se denomina ?rea o superﬁ cie de una ﬁ gura plana a la
medida de esa superﬁ cie.
Deﬁ nici?n: La unidad de medida para un ?rea o superﬁ cie ser? el
cua
drado de la unidad de medida longitudinal.
Ejemplo:
2 m
4 m
a = 8 m
2
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas f?rmulas de ?reas.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
92
V. Volúmenes de s?lidos
Deﬁ nici?n: Se denomina volumen de un s?lido al número de unidades de la
medida de espacio en el s?lido.
Deﬁ nici?n: La unidad de medida para el espacio ser? el cubo de la uni-
dad de medida longitudinal.
Ejemplo:
3 m
2 m
2 m

v = 12 m
3
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas f?rmulas de volú-
menes.

Geometría plana y del espacio
93
Problemas
Suﬁ ciencia de datos
1. Una persona observa un avi?n a 500 m. Obtener la altura del avi?n.
(1) El ?ngulo de elevaci?n respecto de la vista del observador es
de 50°.
(2) La distancia en la persona a donde est? el avi?n en tierra es de
321.394 m.
1.7 m
500 m
2. El ?ngulo de un avi?n que va a aterrizar sobre una de las pistas de un
aeropuerto es de 15°. ¿Qu? distancia recorre el avi?n hasta el instante
que hace contacto con la pista de aterrizaje?
(1) El coseno del ?ngulo de inclinaci?n es de 0.9659°.
(2) La altura del avi?n en ese instante es de 1250 m.
15°

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
94
3. Determinar el valor del ?ngulo x.
(1) y = 6 m
(2) Sen (180°) = 0
y
5 m
x°
4. Si el lado AB es paralelo al lado CD, ¿cu?l es el valor de x?
(1) 30° < x°+90° < 180°
(2) y = 40°
A
B
C D
120° x° + 90°
x°
y°
30°
5. Determinar el valor del ?ngulo x. (***)
(1) Sen (0º) = 0
(2) y = 26 m
y
x
14
10

Geometría plana y del espacio
95
6. Determinar el valor del ?ngulo x. (***)
(1) r mide 10 m
(2) El ?rea del Δ es 400 m
2
20 m
r
h
x
a
7. Determine las dimensiones de un rect?ngulo.
(1) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(2) Su perímetro es de 19 cm
8. ¿Cu?l es el volumen de un dep?sito abierto con fondo cuadrado y una
altura de 3 m si su costo total de construcci?n fue de $7,560.00?
(1) El costo del material que se ocup? para el fondo cost? $360.00
por m
2
.
(2) El costo del material para los lados cost? $120.00 por m
2
9. Un cuadrado se recorta en 36 cuadrados, 35 son iguales y uno es
desigual. ¿Cu?l es el ?rea del cuadrado desigual?
(1) El ?rea de los 35 cuadros iguales es de 1 cm
2

(2) Los 35 cuadrados tienen igual ?rea
10. ¿Cu?ntas caras tiene un l?piz de seis aristas?
(1) El l?piz no tiene punta
(2) La arista no es una cara

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
96
Problemas de opci?n múltiple
1. Si el lado PQ es paralelo al lado RS, determinar el valor de x.
a. 130º
b. 140º
c. 135º
d. 165º
e. 125º
P Q
70°
40°
x
RS
2. Determinar x.
a. 90º
b. 45º
c. 35º
d. 30º
e. 60º
120°
x
3. Determinar el valor de X.
a. (225)
(1/2)
b. 108/2
c. (63)
(1/2)
d. (21)
(1/2)
e. (42)
(1/2)
12 m
9 mX

4. Determinar el valor de X.
a. (125)
(1/2)
b. 20/5
c. (15)
(2)
d. (50)
(1/2)
e. (75)
(1/2)
5 m
10 m
X

Geometría plana y del espacio
97
Bibliografía
Baldor, A. (1991). Geometría plana y del espacio con una introducción a la
trigonometría, M?xico: Publicaciones Cultural.
Barnett, R. (1970). Teoría y problemas de geometría plana con geometría de
coordenadas, M?xico: Mc Graw Hill.
Hemmerling, E. M. (1971). Geometría elemental, M?xico: Centro Regional
de Ayuda T?cnica (AID).
Wenworth, G. (1979). Geometría plana y del espacio, M?xico: Porrúa.

98
Capítulo 6
Compendio de ejercicios
de suﬁ ciencia de datos
con respuesta
C
omo el alumno aprende por primera vez este tipo de problemas, que requieren un razonamiento distinto al que han manejado con anteriori-
dad, a continuaci?n se presenta un compendio de ejercicios para resolver, con
las respuestas correctas al ﬁ nal, para que pueda veriﬁ car su respuesta.
1. Determine el valor de xy
(1) x y y son dos números naturales consecutivos
(2) x
2
+ y
2
= 313
2. Considere cinco números naturales. Indique cu?l es el menor.
(1) La suma de los cinco números es 40
(2) Los cinco números son pares consecutivos
3. Determine el valor de x considerando que l
1
son l
2
rectas paralelas y l
3

las intersecta.
(1) x + 2y = 217
1
2
3
l
y
xl
l
(2) x – y = 106

Anexo
99
4. En un grupo de la FCA hay 120 estudiantes de Administraci?n y Con-
taduría Pública, ¿cu?ntas mujeres estudiantes de administraci?n hay
en este grupo?
(1) La proporci?n de estudiantes de administraci?n con respecto a
los de Contaduría pública es 2:1
(2) La proporci?n de mujeres a hombres en el grupo es 4:1
5. Si a = 5
2x
+ 3 ¿cu?l es el valor de a?
(1) 25
x
= 16
1
(2) 5
–x
=

4
6. Determine la proporci?n de ventas de este año con relaci?n a las del
año pasado de una tienda de equipos de c?mputo.
(1) La tienda vendi? $850,000.00 el año pasado
(2) La tienda increment? sus ventas en un 25% con relaci?n a las del
año pasado.
7. Sea abc un tri?ngulo cualquiera y sean A, B, C las ?reas de los tres
cuadrados con lado que coincide con uno de los lados del tri?ngulo.
¿Se puede decir que es un tri?ngulo rect?ngulo?
(1) B = A + C
A
B
C
c
a
b

__ __ __
(2) ab + bc ≥ ac
8. Sean a y b enteros, ¿a es negativo?
(1) a + b < 0
(2) ab < 0
9. Sean a y b enteros, ¿es 6a + b par o impar?
(1) b es número par
(2) a es número impar

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
100
10. Determine el promedio de los números naturales x, y, z

x

y

2

(1)
_
=
_
=
_

3

4

z
(2) xz – 6 = 0
11. Sean mn y nm dos números naturales que est?n a su vez conforma-
dos por dos dígitos ¿se puede determinar la diferencia de m – n?
(1) mn – nm = m – n
(2) m = 9
12. En la ecuaci?n 9x
2
– (t + 20) x + (t – 1) = 0 ¿cu?l es el valor de t?
(1) 9x
2
– (t + 20) x + (t – 1) es divisible entre (x – 3)



1

(2) x =
_
es raíz del polinomio

3
13. Sea x un número natural, entonces ¿se puede aﬁ rmar que x es un
número impar?
(1) 4x + 2 es par
(2) 3
x
+ x
2
+ 1 es impar
14.
x y y son dos enteros consecutivos donde x < ¿cu?l es el valor de y
2
– x
2
?
(1) 3x – 2y = 38
(2) –x + y = 1
x
2
y – y
z
15. Determine el valor de
cuando:
y
2

(1) y = 2

(2) x = 2z, z = y
2
16. Sean x, y números naturales y suponga que es cierto: (2
x
– 7)
y
= 1
entonces ¿cu?l es el valor de x?
(1) x es impar
(2) y es impar
17. Suponga que en una bolsa se tienen pelotas verdes y amarillas. Si se eli-
ge al azar una pelota ¿cu?l es la probabilidad de que ?sta sea verde?
(1) El número de pelotas amarillas es de 50
(2) El número de pelotas verdes guarda la proporci?n de 3/5 del
número de pelotas amarillas
18. Sea un número entero ¿x < 5?
(1) 11 – 2x > 1
(2) – x + 4 > – 1

Anexo
101
a
19. Si a y b son números reales, determine el valor de –
b
      1
(1) b – – = 5

a
     1
(2) a – – = –3

b
20. Sean a, b, c y d cuatro dígitos distintos y ninguno de ellos cero ¿a + b
+ c + d > 25?
(1) abcd > 3000
              4 3
(2) abcd se divide entre 7 y – a = c, – a = d

3 2
21.
Sea • una operaci?n binaria para cualesquiera dos números reales a, b
              4a – b
que se deﬁ ne mediante: a • b =
2
(1) a
• b = 10
(2) a = 4 – b
22. Cuando x se divide entre el cociente es 7 y el residuo r. Determine el
residuo cuando 2x se divide entre 7.
(1) r = 5
(2) y = 4
23. Determine el valor de x
(1) y = 10 – 3x
    2 + x – 3z
(2) y =
4
24. Determine el ?rea del rect?ngulo ABCD, donde la medida de sus
lados son números naturales.
–– ––
(1) AB es un número primo y BC no es
número primo
A
B
C
D
(2) Su perímetro es igual a 48m
25. Partiendo de los enunciados (1) y/o (2) ¿se puede determinar esta
igualdad 12x + 8y = xy?
   1 1 1
(1) — + — = —

3x     2x    24
(2) x(y – 1) = 8y + 11x

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
102
26. Suponga que a y b son números enteros y distintos de cero. Determi-
ne la proporci?n de a con respecto a b
(1) a
2
+ 3b
2
= 8ab
(2) 5ab = 11b
2
27. Sea A, B, C, D, E y F un hex?gono regular, si O es el punto del cen-
tro, determine el ?rea del tri?ngulo OED
––
(1) EA = 6
A
O
E D
C
B
F
—
(2) AB = 6
28. Sea ABCD un paralelogramo. Determine el ?rea del tri?ngulo DOC
que est? contenido en el mismo.
(1) El ?rea del paralelogramo es 84 cm
2 A B
O
C D
(2) O es el punto que est? exactamente en
—
la mitad del lado AB
29. C?sar tiene una colecci?n de monedas que exhibe en 7 vitrinas, entre
otras, tiene varias monedas de plata ¿se puede determinar el número
promedio de monedas de plata por vitrina?
(1) Cuatro de las vitrinas tienen el mismo número de monedas de
plata y el resto de vitrinas, el doble.
(2) La mediana del número de monedas de plata es igual a 7

3x + y
30. ¿Se puede determine el valor de 9x
2
+ 6xy + y
2
– (———) – 3x – y?

y

5
(1) — = 9

3x
(2) 3x + y = 10
3

Anexo
103
Respuestas
1234567891 0
CCDEDBAEAE
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ADBACDBDCD
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
CAEEDBDACB

PARTE II

105
Capítulo 7
Investigaci?n de operaciones
Introducci?n
S
us principios son los mismos que los del m?todo cientíﬁ co, cuyo ori-
gen exacto se desconoce. A trav?s de diversos estudios, se asignan sus
orígenes a partir del siglo XVIII. Previamente, al ingeniero Frederick Winslow
Taylor, norteamericano, se le reconoce la paternidad de la Administraci?n
Cientíﬁ ca debido a sus aportaciones, como la divisi?n del trabajo mediante
capacitaci?n, selecci?n y adiestramiento de los trabajadores. Adem?s, de la
aplicaci?n del an?lisis cientíﬁ co a los problemas de manufactura, estable-
ciendo normas de trabajo y de especializaci?n. Por su parte, Henry L. Gant
plane? las tareas de las m?quinas para evitar demoras de producci?n.
El desarrollo como Investigaci?n de Operaciones IO, se dio en el siglo XX,
justamente en el transcurso de la Segunda Guerra Mundial, cuando los
llamados Aliados (Reino Unido, Uni?n Sovi?tica, Estados Unidos, Francia,
etc.), congregaron a un grupo multidisciplinario de cientíﬁ cos para determi-
nar t?cticas de guerra que les permitieran vencer al bloque opositor (liderado
por Alemania, Jap?n e Italia). Como se conoce hasta la fecha, fueron justa-
mente los denominados aliados quienes ﬁ nalmente ganaron la Segunda
Guerra Mundial, pero a estas t?cticas de guerra desarrolladas en este periodo
se le conoci? como Investigaci?n de Operaciones (militares).
Al t?rmino de la guerra, en los países que quedaron devastados, se si-
gui? utilizando para la reconstrucci?n del país, pero, por ejemplo, en los
Estados Unidos de Norteam?rica se siguieron desarrollando algoritmos muy

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
106
importantes que permitieron integrarse en las organizaciones para su ?pti-
mo desarrollo en problemas de tipo logísticos, el desarrollo de patrones de
vuelo, planeaci?n de maniobras navales.
Ya en la d?cada de 1950, con el desarrollo y comercializaci?n de compu-
tadoras, se pudieron mejorar notablemente los algoritmos para este tipo de
problemas. Es m?s: se inventaron muchos otros, sobre todo en programaci?n
entera y simulaci?n en donde la soluci?n de problemas sería impensable si
no existieran las computadoras.
La Programaci?n Lineal es una de las ?reas mayormente conocidas den-
tro de la IO por su gran facilidad de aplicaci?n a diversos problemas empre-
sariales y ﬁ nancieros. Otra ?rea de gran aplicaci?n es la Evaluaci?n y Admi-
nistraci?n de proyectos, en la que se requieren conocimientos de las
matem?ticas ﬁ nancieras.
Ahora se cuenta con un sinnúmero de algoritmos para resolver distintos
problemas que se han clasiﬁ cado dentro de la investigaci?n de operaciones,
para ello se requiere determinar el modelo m?s adecuado utilizando diversas
herramientas de las matem?ticas.
En la actualidad, el desarrollo de esta disciplina ha sido tan importante
que su ?mbito de aplicaci?n abarca casi todas las disciplinas.

Investigaci?n de operaciones
107
I. Conceptos preliminares
Lo principal es conocer las deﬁ niciones clave dentro de la IO, de manera muy
breve, pero despu?s hacer un an?lisis m?s profundo en la Programaci?n Lineal.
Deﬁ nici?n: La Investigaci?n de Operaciones es la aplicaci?n del m?todo
cientíﬁ co para la soluci?n de un problema especíﬁ co, por un grupo multidisci-
plinario de personas, con un enfoque de sistemas.
Metodología
Se debe precisar que en la deﬁ nici?n, la aplicaci?n del m?todo cientíﬁ co no
es literal; evidentemente, se debe adaptar cada uno de los pasos involucra-
dos en la metodología.
Método cientíﬁ co Metodología de la IO
Observaci?n An?lisis del problema
Elaboraci?n de hip?tesisElaboraci?n de un modelo (generalmente matem?tico)
Experimentaci?n Resolver el modelo
Comprobaci?n Comparar la soluci?n con la realidad
Conclusi?n Implantar la soluci?n o modiﬁ car el modelo
Clasiﬁ cación de problemas en IO
Existen diversas maneras de clasiﬁ car los tipos de problemas que pueden
abordarse en IO. Una de ellas es con base en la naturaleza de sus variables
(puede variar):

Programaci?n Lineal
Programaci?n No Lineal
Programaci?n Entera y
Binaria
Teoría de Redes
Programaci?n Din?mica
Teoría de Inventarios
Simulaci?n
Heurísticos
Teoría de Colas
Cadenas de Markov
Teoría de Juegos
Investigaci?n de Operaciones
Determinísticos Híbridos Estoc?sticos

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
108
II. Programaci?n lineal
En esta secci?n, se profundizar? en la teoría y aplicaci?n de los problemas de
programaci?n lineal, los m?s aplicados en diversas ?reas.
Deﬁ nici?n: Un Problema de Programaci?n Lineal (PPL) est? conforma-
do por una funci?n objetivo (FO) de tipo lineal, a maximizar o minimizar en
presencia de un conjunto de restricciones lineales de la forma ≤, ≥ 0 =.
Maximizar z = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ⋯ + c
n
x
n
Sujeto a
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ⋯ + a
1n
x
n
≤ b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ⋯ + a
2n
x
n
≤ b
2
⋮ ⋮ ⋮
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ⋯ + a
mn
x
n
≤ b
m
x
1
, x
2
, …, x
n
≥ 0
Deﬁ nici?n: Un punto factible o soluci?n factible es una n-ada
x
1
, x
2
, …, x
n
, n ≥ 2
00 0
, de valores reales, tales que satisfacen a la totalidad de
restricciones.
Deﬁ nici?n: Una regi?n factible es el conjunto de soluciones factibles.
Para observar gr?ﬁ camente lo que representaría una regi?n factible, se
utilizar? un PPL en dos variables, como el siguiente problema:
Min z = 8x
1
+ 6x
2
Sujeto a
x
1
+ x
2
≥ 15
–4x
1
+ 6x
2
≤ 0
x
1
, x
2
≥ 0

Investigaci?n de operaciones
109
A continuaci?n, se debe dibujar en el plano cartesiano las distintas regio-
nes que est?n acotando cada una de las restricciones lineales:
L
1
15
15
X
1
X
2
L
2
(6,4)
Note usted que, por ejemplo, el punto de coordenadas (17,1) est? en la re-
gi?n factible y satisface a la totalidad de restricciones del PPL; lo mismo ocu-
rre con (17,2), (18,1), (19,1), (19,2), etc. Por tanto, existe una inﬁ nidad de
parejas de números que satisfacen a las restricciones del PPL, y los m?todos
para resolver este tipo de problemas encuentran la soluci?n que maximice o
minimice a la FO, según sea el caso.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
110
III. Modelaci?n de problemas de programaci?n lineal
Los ejemplos presentados en esta secci?n son ﬁ cticios; pero muy did?cticos,
muestran con claridad situaciones de la vida cotidiana que pueden modelarse
matem?ticamente a trav?s de un PPL.
Problema 1. La dieta
Una actriz de televisi?n est? preocupada por su peso y el costo de la comida
diaria. Para bajar de peso, ella requiere consumir un m?ximo de 2000 kcal,
pero para mantenerse nutrida requiere un mínimo de 400 mg de vitaminas
diversas, 325 mg de proteínas y 125 mg de calcio; los dem?s nutrientes los
tomar? en c?psulas.
La actriz ha elegido alimentos que le gustaría incluir en su dieta, baratos
y nutritivos.
Alimento Porci?n kcal
Vitaminas
(mg)
Proteínas
(mg)
Calcio
(mg)
Costo
($)
Huevo 1 pieza 30 15 35 25 2.00
Frutas 1 plato 40 25 10 — 50.00
Pollo en mole
Pierna con
muslo
75 20 50 15 75.00
Cerdo en verdolagas Dos trozos 100 25 65 10 95.00
Leche 1 taza 25 20 15 14 10.00
Pan o tortilla 2 piezas 43 15 — 20 5.00
Al analizar la tabla, ella se percat? de que podría satisfacer su problema
consumiendo únicamente cerdo con verdolagas, por lo que decidi? conside-
rar que diariamente a lo m?s puede comer cuatro porciones de huevo, dos
de fruta, dos de pollo, dos de cerdo, tres de leche y cuatro de pan o tortilla.
Soluci?n
Primero, se debe deﬁ nir lo que va a signiﬁ car cada una de las variables de
decisi?n. En este caso, la cantidad de porci?n que se va a incluir en la dieta

Investigaci?n de operaciones
111
diaria, de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan los requerimientos
de nutrientes con los que indican las cantidades m?ximas a consumir.
El modelo completo es:
x
i
= Cantidad de porción del alimento i a incluir en la dieta diaria,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = 2x
1
+ 50x
2
+ 75x
3
+ 95x
4
+ 10x
5
+ 5x
6
Sujeto a
30x
1
+ 40x
2
+ 75x
3
+ 100x
4
+ 25x
5
+ 43x
6
≤ 2000 Kcal
15x
1
+ 25x
2
+ 20x
3
+ 25x
4
+ 20x
5
+ 15x
6
≥ 400 mg vitaminas
35x
1
+ 10x
2
+ 50x
3
+ 65x
4
+ 15x
5
–––≥ 325 mg proteinas
25x
1
––– + 15x
3
+ 10x
4
+ 14x
5
+ 20x
6
≥ 125 mg calcio
0≤ x
1
≤ 4
0≤ x
2
≤2
0≤ x
3
≤2
0≤ x
4
≤2
0≤ x
5
≤3
0≤ x
6
≤4
Problema 2. De producci?n
Una compañía de zapatos mantiene en su producci?n tres líneas: zapatillas,
calzado para caballero y de niña. Las utilidades netas que proporciona cada
par de zapatos son de $35, $25 y $19, respectivamente, y se requiere para la
fabricaci?n de una hora con 30 minutos, 45 minutos y 30 minutos de corte,
respectivamente; una hora y 90 minutos, media hora y una hora de costura, res-
pectivamente; ﬁ nalmente, 15 minutos de revisi?n para cada par de zapatos.
Si la pr?xima semana se tiene un pedido de 50 pares de zapatillas y 25
pares de zapatos de niña, pero, según un estudio de mercado, no se ven
de-
r?n m?s de 125 pares de caballero. Determine el modelo de PL que determine
la producci?n ideal, considerando que s?lo se dispondr? de 45 horas de
corte, 40 horas de costura y 30 horas para revisi?n.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
112
Soluci?n
x
i
= Número de pares de zapatos del tipo i a fabricar en la semana,
i = 1 (zapatillas), 2 (caballero), 3 (niña)
Maximizar z = 35x
1
+ 25x
2
+ 19x
3
Sujeto a
90x
1
+ 45x
2
+ 30x
3
≤ 45 × 60 = 2700 min de corte
90x
1
+ 30x
2
+ 60x
3
≤ 40 × 60 = 2400 min de costura
15x
1
+ 15x
2
+ 15x
3
≤ 30 × 60 = 1800 min de revisión
50 ≤ x
1
0 ≤ x
2
≤ 125
25 ≤ x
3
x
1
, x
2
, x
3
enteros
Problema 3. De contrataci?n de personal
Restaurantes California abrir? un restaurante en la Col. Copilco. Su gerente
quiere determinar cu?ntas meseras deber? contratar para que atienda a los
comensales en los distintos horarios. Este restaurante trabaja las 24 horas
del día, las meseras trabajar?n ocho horas consecutivas y se requieren como
mínimo distintos números para la demanda en horarios de cuatro horas.

Horario
Número mínimo
de meseras
0 - 4 3
4 - 8 4
8 - 12 8
12 - 16 10
16 - 20 9
20 - 24 6

Investigaci?n de operaciones
113
Soluci?n
x
i
= Número de meseras a contratar para que inicien sus labores en el horario i,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
Sujeto a
x
1
+ x
2
–––––––––––––––≥ 4 meseras en el horario 2
–––––––x
2
+ x
3
–––––––≥ 8 meseras en el horario 3
–––––––––– x
3
+ x
4
–––––≥ 10 meseras en el horario 4
––––––––––––x
4
+ x
5
–––≥ 9 meseras en el horario 5
–––––––––––––––x
5
+ x
6
≥ 6 meseras en el horario 6
x
1
––––––––––––––– + x
6
≥ 3 meseras en el horario 1
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
≥ 0 y enteros
Problema 4. Concesi?n de contratos
Una Secretaría de Estado requiere contar con alternativas de proveedores de
productos de papelería para realizar sus compras de manera transparente. A
continuaci?n, se muestra tres opciones para la licitaci?n:
Costos ofertados para el producto ($)
Proveedor 1 2 3 4 5
1 5.00 57.50 3.00 104.50
2 57.25 3.20 8.75 103.20
3 4.80 57.75 3.10 9.00
Requerimientos
de la secretaría
20000 15000 30000 25000 2000
Observe que los proveedores no necesariamente hacen ofertas de los
cinco productos mayormente demandados por la entidad; tambi?n, algu-
nos de ellos indicaron cantidades m?ximas que pueden surtir de productos

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
114
particulares. El proveedor 1 indic? que no puede surtir m?s de 10,000 unida-
des del producto 3, y el proveedor 2 no puede surtir m?s de 8,000 unidades
del producto 2. Las regulaciones de compras estatales no permiten que se
compren todas las unidades de un producto solicitado a un solo proveedor.
Soluci?n
x
ij
= Número de artículos del tipo i a comprar al proveeedor j,
i = 1, 2, 3, 4, 5 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 5x
11
+ 4.8x
13
+ 57.5x
21
+ 57.25x
22
+ 57.75x
23
+ 3x
31
+ 3.2x
32
+ 3.1x
33
+ 8.75x
42
+ 9x
43
+ 104.5x
51
+ 103.2x
52
Sujeto a
x
11
– x
13
––––––––––––––––––––––––––––––≥ 20,000 artículos del tipo 1
x
21
+ x
22
+ x
23
–––––––––––––––––––––––≥ 15,000 artículos del tipo 2
x
31
+ x
32
+ x
33
–––––––––––––––≥ 30,000 artículos del tipo 3
x
42
+ x
43
–––––––––––––––≥ 25,000 artículos del tipo 4
x
51
+ x
52
≥ 2,000 artículos del tipo 5
x
31
≤ 10,000
x
22
≤ 8,000
x
11
,x
13
, x
21
, x
22
, x
23
, x
31
, x
32
, x
33
, x
42
, x
43
, x
51
, x
52
≥ 1 y enteros
Problema 5. De transporte
Despu?s de un hurac?n en el Pacíﬁ co Mexicano, se dañaron severamente
tres entidades del estado de Guerrero. El Gobierno Federal decidi? enviar
provisiones y medicamentos desde la capital de cuatro estados de la Repú-
blica Mexicana. Debido al costo de transporte a?reo por tonelada, a conti-
nuaci?n se presenta los costos en miles de pesos por tonelada transportada:

Investigaci?n de operaciones
115
Localidades de Guerrero
Capital proveedora 1 2 3 Oferta (T)
D. F. 3 2.5 4.5 80
Guadalajara 5 6 2.5 30
Monterrey 7 6.5 3 80
Toluca 9 8 4.5 35
Demanda (T) 90 70 65
Soluci?n
x
ij
= Número de toneladas de suministros a transportar de la capital i a la
localidad j,
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 3x
11
+ 2.5x
12
+ 4.5x
13
+ 5x
21
+ 6x
22
+ 2.5x
23
+ 7x
31
+ 6.5x
32
+ 3x
33

+ 9x
41
+ 8x
42
+ 4.5x
43
Sujeto a
x
11
+ x
12
+ x
13
–––––––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en el DF
x
21
+ x
22
+ x
23
–––––––––––––––––––––≤ 30 Ton disponibles en Guad
x
31
+ x
32
+ x_
33
––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en Mty
x
41
+ x
42
+ x
43
≤ 35 Ton disponibles en Tol
x
11
––––– + x
21
–––––––+ x
31
––––––– + x
41
≥ 90 Ton necesarias en loc.1
x
12
–––– + x
22
––––––+ x
32
–––––– + x
42
– ≥70 Ton necesarias en loc.2
x
13
–––– + x
23
––––––+ x
33
–––––– + x
43
≥65 Ton necesarias en loc.3
x
11
, x
12
, x
13
, x
21
, x
22
, x
23
, x
31
, x
32
, x
33
, x
41
, x
42
, x
43
≥ 0

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
116
Problema 6. De asignaci?n
En un Juzgado de Distrito, se quiere asignar cuatro jueces a cuatro listas
de causas de los tribunales. El responsable de esta tarea estim? el número
de
días que requeriría cada juez para completar cada listado, con base en
su
experiencia y la composici?n de equipos de caso en cada lista, así como su
experiencia para culminar los diferentes casos:
Grupo de causas
Juez 1 2 3 4
1 20 18 22 24
2 18 21 26 20
3 22 26 27 25
4 25 24 22 24
Soluci?n:

1, si el juez i se asigna al grupo de causas j
x
ij
= {

0, si el juez i NO se asigna al grupo de causas j
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4
Minimizar z
= 20x
11
+ 18x
12
+ 22x
13
+ 24x
14
+ 18x
21
+ 21x
22
+ 26x
23
+ 20x
24

+ 22x
31
+ 26x
32
+ 27x
33
+ 25x
34
+ 25x
41
+ 24x
42
+ 22x
43
+ 24x
44

Investigaci?n de operaciones
117
Sujeto a
x
11
+ x
12
+ x
13
+ x
14
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––= 1
x
21
+ x
22
+ x
23
+ x
24
––––––––––––––––––––––––= 1
x
31
+ x
32
+ x
33
+ x
34
–––––––––––––––––= 1
x
41
+ x
42
+ x
43
+ x
44
= 1
x
11
––––––––– + x
21
–––––––––– + x
31
–––––––––– + x
41
–––––––––– = 1
x
12
––––––––– + x
22
––––––––– + x
32
––––––––– + x
42
––––––––– = 1
x
13
–––––––– + x
23
–––––––– + x
33
–––––––– + x
43
–––––––– = 1
x
14
––––––––– + x
24
––––––––– + x
34
––––––––– + x
44
= 1
Note usted que las primeras cuatro restricciones s?lo est?n restringiendo
el hecho de a cada juez le debe tocar solamente un grupo de causas; pero si el
modelo quedara así, podría suceder que el mismo grupo de causas se asig-
nara a todos los jueces; por tanto, las últimas cuatro restricciones indican
que tambi?n se debe cumplir que cada grupo de causas se le asignen a un
s?lo juez.
Problema 7. Tipo mochila
En una secretaría de Estado, se analizaron varios proyectos de inversi?n,
de los cuales se elegir?n s?lo cinco como candidatos para elegir. Puesto que
?stos reditúan buenas ganancias, la decisi?n de elegir en cu?les invertir no es
sencilla, puesto que al elegir un proyecto se tendr? que invertir el costo total
y la secretaría s?lo asign? $8’000,000.00 para este prop?sito.
Proyecto
Costo
(Millones de pesos)
Ganancias
(Millones de pesos)
1 1.5 0.5
22 1
3 2.1 1.2
4 3 1.6
5 2.5 1.8

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
118
El modelo que se usar? se denomina “mochila” porque se hace una com-
paraci?n con el excursionista que desea llevar al viaje una serie de objetos;
pero no puede llevarse todos, pues la capacidad de su mochila es limitada, es
decir, s?lo se debe considerar una restricci?n. Por tanto, el modelo quedaría:
Soluci?n:

1, si se invierte en el proyecto i
x
ij
= {

0, si eNO se invierte en el proyecti i
i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 0.5x
1
+ x
2
+ 1.2x
3
+ 1.6x
4
+ 1.8x
5

Sujeto a
1.5x
1
+ 2x
2
+ 2.1x
3
+ 3x
4
+ 2.5x
5
≤ 8 ($ disponibles)

Investigaci?n de operaciones
119
IV. Método Gr?ﬁ co
Pedag?gicamente, es importante su aprendizaje, porque permite entender la
idea intuitiva del m?todo simplex. Por esta raz?n, no se profundizar? en el
tema; s?lo se mostrar? la idea b?sica y un ejemplo completo de aplicaci?n.
Deﬁ nici?n: El m?todo gr?ﬁ co consiste en utilizar la geometría analítica
para resolver problemas de programaci?n lineal en dos variables: a trav?s de
graﬁ car la regi?n factible e identiﬁ car los puntos de tangencia de ?sta con la
Funci?n Objetivo.
Algoritmo del método gráﬁ co
1. Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales.
2. Determinar la regi?n factible involucrando las restricciones del tipo
≤ o ≥
3. Dibujar la FO que pasa por el origen (0, 0)
4. Trazar rectas paralelas a la FO en direcci?n de la regi?n factible y
encontrar el punto (los puntos) de tangencia.
5. Determinar las coordenadas del punto (los puntos) de tangencia de
la FO con la regi?n factible y calcular el valor ?ptimo de la FO.
Ejemplo numérico:
Maximizar z = 4x
1
+ 6x
2
Sujeto a
2x
1
+ x
2
≤18
x
1
+ 2x
2
≤ 16
x
1
, x_
2
≥ 0
Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales y deter-
minar la regi?n factible involucrando las restricciones del tipo ≤ o ≥
L
1
2x
1
+ x
2
= 18 pasa por (0,18) y (9,0);

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
120
Evaluar (0,0) 2(0) + (0) = 0 < 18 como SÍ satisface la restricci?n. La
regi?n es hacia el origen, en el primer cuadrante.
18
9
L
1
X
2
X
1
18
9
L
1
X
2
X
1
L
2
x
1
+ 2x
2
= 16 pasa por (0,8) y (16,0);

Evaluar (0,0) (0) + (0) = 0 ≤ 16

Como SÍ satisface la restricci?n, la regi?n es hacia el origen, en el primer
cuadrante.
18
16
9
8
X
2
X
1
L
1
L
2
18
16
9
8
L2
X
2
X
1
L
1

Investigaci?n de operaciones
121
La regi?n factible que resulta es la intersecci?n de las dos regiones deli-
mitadas por el par de rectas.
18
169
8
X
2
X
1
L
2
L
1
Dibujar la FO que pasa por el origen (0,0)
4 x 1 + 6 x 2 = 0 pasa por el punto (0,0) y, por ejemplo, por el punto (-6,4)
18
169
8
(-6,4)
L
2
L
1
X
2
X
1

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
122
Trazar rectas paralelas a la FO en direcci?n de la regi?n factible y encon-
trar el punto (los puntos) de tangencia.
18
169
8
(-6,4)
punto de
tangencia
X
2
X
1
L
2
L
1
Determinar las coordenadas del punto (los puntos) de tangencia de la FO
con la regi?n factible y calcular el valor ?ptimo de la FO.
Al resolver el sistema de ecuaciones involucrado de 2x2 utilizando cual-
quier m?todo (suma y resta, sustituci?n, igualaci?n, determinantes, elimina-
ci?n gaussiana, etc.), se obtiene:
x
1
* = 20/3, x
2
* = 14/3 y z* = 164/3
La interpretaci?n del problema depender? exclusivamente de las varia-
bles de decisi?n y lo que representan en el modelo, como tambi?n la FO y las
restricciones.
Ejemplo pr?ctico de minimizaci?n
La Secretaría de Seguridad Pública del Distrito Federal necesita contratar
personal para monitorear la seguridad en los principales cruceros viales de

Investigaci?n de operaciones
123
la Ciudad de M?xico. Para ello, ha considerado que este trabajo puede ser
desarrollado por dos tipos de personas: con estudios de preparatoria termi-
nada o de preparatoria incompleta; que las pantallas necesitan al menos de
15 personas que est?n vigilando, pero el jefe de personal pide que el 60%
de los contratados tenga la preparatoria terminada. Si los sueldos de las
personas con estudios de preparatoria ascienden a $8,000.00 pesos mensua-
les y de los otros empleados a $6,000.00, ¿cu?l ser? el número ?ptimo de
empleados a contratar de manera que el costo de prestaci?n de este servicio
sea mínimo?
Este problema involucra a dos variables:
x
1
= Número de personas a contratar con estudios de preparatoria
x
2
= Número de personas a contratar sin estudios de preparatoria
La funci?n objetivo pretende minimizar el costo por la prestaci?n de
este servicio:
Min z = 8000x
1
+ 6000x
2
La primera restricci?n es que el número mínimo de empleados necesa-
rios es de 15:
x
1
+ x
2
≥ 15
La segunda restricci?n es que al menos el 60% de los contratados tenga
la preparatoria terminada:
0.60(x
1
+ x
2
) ≤ x
1
⇔ 0.60x
1
+ 0.60x
2
– x
1
≤ 0 ⇔ (0.60-1)x
1
+ 0.60x
2
≤ 0

?

?
–0.40x
1
+ 0.60x
2
≤ 0
Multiplicando por 100 de ambos lados de la desigualdad:
–4x
1
+ 6x
2
≤ 0
La no-negatividad y que las variables sean valores enteros, que en este
caso indicarían que no se pueden contratar números negativos de empleados
o fracciones de los mismos:
x
1
, x
2
≥ 0 y enteros

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
124
Solución del problema utilizando el método gráﬁ co
Dibujar la regi?n factible, al considerar las restricciones del tipo ≤ o ≥ y la
no-negatividad.
L
1
15
15
X
1
X
2
L
2
(6,4)
En este punto, se omiten los gr?ﬁ cos que representan los dibujos de cada
una de las restricciones lineales y el razonamiento que se sigue para determi-
nar la regi?n acotada.
Se recomienda al estudiante repetir el proceso que se desarroll? en el ejem-
plo num?rico anterior, con la ﬁ nalidad de reforzar el algoritmo aprendido.

Investigaci?n de operaciones
125
A continuaci?n, se dibuja la FO que pasa por el origen y rectas paralelas en
direcci?n de la regi?n factible, para encontrar el o los puntos de tangencia.
L
1
15
15
X
1
X
2
L
2
(-6,8)
(6,4)
FO
Punto de
tangencia
15
Se determina la soluci?n ?ptima al PPL utilizando cualquier m?todo de solu-
ci?n del sistema de ecuaciones de 2x2.
x
1
= 9 y x
2
= 6
Finalmente, se evalúa la FO:
z = 8000(9) + 6000(6) = 108000
Interpretaci?n
Se debe contratar 9 personas con estudios de preparatoria y 6 personas con
estudios de preparatoria no concluidos; se tendr?n que pagar mensualmente
por concepto de salarios a este personal $108,000.00
Nota
Veriﬁ que usted que la soluci?n encontrada, satisface a todas y cada una de
las restricciones planteadas.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
126
V. Método simplex simple
El prop?sito de aprender en qu? consiste el m?todo simplex simple es que el
alumno tenga claridad en la manera de operar el software de apoyo LINDO,
que se utilizar?, y la interpretaci?n de las soluciones que se obtienen.
Deﬁ nici?n: Una variable de holgura vh es aquella que representa la can-
tidad no-negativa necesaria en el lado izquierdo de una restricci?n lineal y
que, al ser sumada de este lado en una restricci?n del tipo ≤, permite que la
desigualdad sea una igualdad.
Cada restricci?n tiene asociada una distinta variable de holgura. Por ello
se tendr?n tantas variables de holgura como número de restricciones distin-
tas a la no-negatividad existan en el PPL.
La notaci?n que se usar? ser? s
i
con i igual al número de restricción.
Observaci?n: Este algoritmo s?lo puede aplicarse a problemas cuya to-
talidad de restricciones (exceptuando la no-negatividad) son del tipo ≤.
Algoritmo simplex simple (caso de maximización)
1.
Sumar las variables de holgura (vh) a todas las restricciones del tipo ≤.
2. Sumar las variables de holgura multiplicadas por cero en la funci?n
objetivo (FO).
3. Igualar a cero la FO.
4. Introducir los coeﬁ cientes de los puntos (1) y (3) a la matriz simplex
(Figura 1).
5. Iterar hasta encontrar la soluci?n ?ptima el siguiente subprograma:
i. Elegir el valor m?s negativo del rengl?n de la FO. La variable que
se encuentra sobre ?l es la que entrar? a la base. Los candidatos
a ser elemento pivote son los números estrictamente positivos en
esta columna.
ii. Hacer los cocientes de los valores que se encuentran en el lado
derecho (LD) de la matriz sobre los valores positivos de la colum-
na elegida. Elegir el denominador del cociente m?s pequeño; el
denominador de este cociente es el número al que denominare-
mos pivote, y la variable en la base que est? en este rengl?n sale
de la base.
iii. Multiplicar el rengl?n pivote por el inverso multiplicativo del
número pivote.

Investigaci?n de operaciones
127
iv. Al rengl?n que se acaba de determinar en el paso (iii), multipli-
carlo por cada uno de los inversos aditivos de los números que
se encuentran arriba y abajo d
el pivote y realizar las sumas a los renglones correspondientes, de
tal forma que se obtengan ceros arriba y abajo del pivote, que
ahora es el número uno.
v. Veriﬁ car si en el rengl?n de la FO quedan aún valores negativos.
Si aún los hay, repetir (i), (ii), (iii) y (iv); si no, entonces ya se
termin?. Los valores ?ptimos de las variables que est?n en la base
y de la FO “Z” se encuentran en el mismo rengl?n en la colum-
na
del lado derecho, LD, las variables que no est?n en la base
valen
cero.
Figura 1. Matriz simplex
X1 X2 … S1 S2 … LD
Z C1 C2 … 0 0 … 0
S1 a11 a12 … 10 … b1
S2 a21 a22 … 0 1 … b2
…… … …… … ……
Sn an1 an2 … 0 0 bn
z
Observaci?n: Este algoritmo se muestra s?lo para el caso de maximiza-
ci?n por la existencia del siguiente
Teorema: Un PPL con FO de minimizaci?n es equivalente a una de maxi-
mizaci?n mediante:
Minimizar z = Maximizar (–z)

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
128
Y a la inversa
Minimizar z = Maximizar (–z)
Ejemplo numérico 1
Maximizar z = 2x
1
+ 3x
2
Sujeto a
–x
1
+ 5x
2
≤ 15
4x
1
– 2x
2
≤ 12
x
1
, x
2
≥ 0
En la matriz simplex queda:
X1 X2 S1 S2 LD
Z -2 -3 0 0 0
S1 -1 5 1 0 15 *(1/5)
S2 4- 20 11 2
z -13/5 0 3/5 0 9
X2 -1/5 1 1/5 0 3 *(3)*(2)
S2 18/5 0 2/5 1 18 *(5/18)
z 0 0 8/9 13/18 22
X2 0 1 2/9 1/18 4
X1 1 0 1/9 5/18 5 *(13/5)*(1/5)
En este ejemplo, el valor m?s negativo es el -3; por tanto, la variable x2
entrar? a la base. S?lo hay un candidato a elemento pivote, el número 5; por
tanto, la variable s1 sale de la base. El elemento pivote cumple el mismo
papel del m?todo de eliminaci?n gaussiana. Se repiti? este proceso hasta
obtener la soluci?n que da como resultado:
x
1
= 5, x
2
= 4 y z = 22

Investigaci?n de operaciones
129
Gr?ﬁ camente, la manera de operar del m?todo simplex se vería:
(0,3 )
Inicio (0,0)
?ptimo
(5,4)
Ejemplo numérico 2
Maximizar z = 4x
1
– 2x
2
+ 2x
3
Sujeto a
6x
1
+ 2x
2
- 2x
3
≤ 12
3x
1
- 3x
2
+ 6x
3
≤ 3
4x
1
+ 4x
2
- 4x
3
≤ 8
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0
X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD
Z -4 2 -2 0 0 0 0
S1 6221001 2
S2 3 -3 6 0 1 0 3 *(1/3)
S3 44- 40018
z 0 -2 6 0 4/3 0 4
S1 0 8 -10 1 -2 0 6
X1 1 -1 2 0 1/3 0 1 *(4)*(-6)*(-4)
S3 0 8 -12 0 -4/3 1 4 *(1/8)
z 0 0 3 0 1 1/4 5
S1 0 0 2 1 5/3 -1 2
X1 1 0 1/2 0 1/6 1/8 3/2
X2 0 1 -3/2 0 -1/6 1/8 1/2 *(2)*(-8)*(1)

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
130
En este ejemplo, el valor m?s negativo es el -4; por tanto, la variable x1
entrar? a la base. Los candidatos a elemento pivote son 6, 3 y 4; se hacen los
cocientes (12/6)=2, (3/3)=1 y (8/4)=2. Por tanto, el cociente m?s pequeño es
1 y la variable s2 sale de la base. El elemento pivote se hace 1 al multiplicar
a todo el rengl?n por su inverso multiplicativo y con ?l se hacen ceros arriba
y abajo con operaciones elementales. Se repiti? este proceso hasta obtener
la soluci?n que da como resultado:
x
1

= —, x
2
= —, x
3
= 0 y z = 5
3
2
1
2
Note que en este caso la variable de holgura s1 est? en la base y su valor
ﬁ nal es 2. Esto se interpretar? con base en la representaci?n que cada res-
tricci?n tenga.
Ejemplo de aplicación a un problema de producción
Una empresa textil tiene como objetivo para la pr?xima semana trabajar
en la confecci?n de tres tipos de vestido A, B y C, de los cuales obtendr?
utilidades netas de $65.00, $55.00 y $45.00, respectivamente. En la siguiente
tabla, se muestra los tiempos requeridos (minutos) para la elaboraci?n de
cada tipo de vestido:
Tipo de
vestido
Tiempo requerido en minutos para su confecci?n
Corte Costura Planchado
A 35 60 20
B 45 80 20
C 30 60 10
Si para la realizaci?n de estas tareas se cuenta con 30 horas de corte,
45 horas de costura y 13 horas con 20 minutos para planchar. Determine el
modelo de PPL. Resuelva el problema e interprete los resultados.
Modelo:
x
i
= Número de vestidos del tipo i a fabricar en la semana,
i = 1 (A), 2 (B), 3 (C)

Investigaci?n de operaciones
131
Maximizar z = 65x
1
+ 55x
2
+ 45x
3
Sujeto a
35x
1
+ 45x
2
+ 30x
3
≤ 1800 min de corte
60x
1
+ 80x
2
+ 60x
3
≤ 2700 min de costura
20x
1
+ 20x
2
+ 10x
3
≤ 800 min de planchado
x
1
, x
2
, x
3
enteros
Soluci?n mediante el método simplex simple:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD
Z-65 -55 -45 0 0 0 0
S135 45 30 1 0 0 1800
S260 80 60 0 1 0 2700
S3 20 20 10 0 0 1 800 *(1/20)
z 0 10 -25/2 0 0 13/4 2600
S1 0 10 25/2 1 0 -7/4 400
S2 02 0 30 0 1 -3 300 *(1/30)
X1 1 1 1/2 0 0 1/20 40 *(65)*(-35)*(-60)
z 0 55/3 0 1 5/12 2 2725
S1 0 5/3 0 0 -5/12 -1/2 275
X3 0 2/3 1 0 1/30 -1/10 10
X1 1 2/3 0 0 -1/60 1/10 35
x
1
= 35, x
2
= 0, x
3
= 10, s
1
= 275, s
2
= 0, s
3
= 0
z = 2725
Interpretaci?n
Se tiene que confeccionar para la pr?xima semana 35 vestidos del tipo A y
10 vestidos del tipo C; pero no ser? necesario confeccionar vestidos del tipo
B. De igual manera, se contar? con 275 minutos de holgura para el proceso
de corte, en los dem?s procesos los tiempos se cubrir?n por completo. Con
esta producci?n, se obtendr? utilidades netas por $2,725.00 en la semana
pr?xima.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
132
VI. Portafolios de inversi?n
En el ?rea econ?mico administrativa, es de vital importancia la construcci?n
de modelos matem?ticos que permitan al tomador de decisiones elegir las
mejores opciones de inversi?n. Con las herramientas aprendidas al momen-
to y con el uso de un software adecuado, ser? enriquecedor aprender los
modelos de portafolios de inversi?n de la Programaci?n lineal, que pueden
utilizarse, y la manera en que se interpretan.
Motivaci?n
Suponga que usted trabaja en una Secretaría de Estado donde se tiene que
invertir en proyectos de desarrollo. Usted cuenta con 5 proyectos para los
que se requiere distintos ﬂ ujos de efectivo a lo largo de cinco años. Suponga
que los límites de presupuesto exterior para el inicio de los dos primeros
periodos son conocidos e iguales a $4’400,000 y $4’000,000.
Los ﬂ ujos netos de efectivo que corresponden a cada proyecto se mues-
tran en la siguiente tabla.
Se desea elegir los niveles de inversi?n en cada uno de los proyectos de
manera que generen la mayor cantidad posible de utilidades, al considerar
una tasa de cambio del 20% por periodo. A continuaci?n, se presenta una
tabla con los ﬂ ujos netos de efectivo en miles de pesos.
Inicio del
periodo
Proyecto
12345
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
Con la informaci?n presentada, ser? necesario, primero, evaluar si cada
uno de los proyectos es redituable; segundo, como hay restricciones de capi-
tal en los dos primeros años, no se puede invertir en todos los proyectos.

Investigaci?n de operaciones
133
El valor del dinero en el tiempo
Es del conocimiento cotidiano que no es lo mismo tener $100,000.00 en
este momento, que tenerlos en 10 años. Esto debido a que diversos factores
inﬂ uyen en el valor del dinero en el tiempo, por tanto, tomando como base
los libros de texto de Jos? Luis Villalobos y Coss Bu, ser? necesario iniciar
con algunas deﬁ niciones b?sicas.
Deﬁ nici?n: El inter?s es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. El
dinero, como cualquier bien, tiene un precio que es el inter?s I.
Se dice que el inter?s es el dinero que produce un capital al invertirlo, al
otorgarlo en pr?stamo o al pagarlo por la adquisici?n de bienes y servicios
en operaciones a cr?dito.
Deﬁ nici?n: Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero C se incre-
menta hasta otra M, entonces el inter?s I es:
I = M – C ⇔ M = C + I ⇔ C = M – I

? ?
D?nde: C = Capital o valor presente M = Monto e I = Intereses generados.
Es decir, si un dinero se contempla en el futuro con todo y los intereses
que gener?, se le llama monto M; de igual manera, al dinero futuro, si se
le considera en la actualidad descont?ndole los intereses que gener?, se le
llama capital C o valor presente.
Interés Simple e Interés Compuesto
El interés es simple cuando s?lo el capital gana intereses, y es compuesto si
a intervalos de tiempo preestablecidos el inter?s vencido se agrega al capital,
por lo que ?ste tambi?n genera intereses.
Es decir, si al terminar el tiempo en una inversi?n a plazo ﬁ jo no se retira
el capital ni los intereses, entonces a partir del segundo periodo estos intere-
ses comienzan a generar sus propios intereses. ?ste es el inter?s compuesto.
Para determinar el Monto o el Capital de una cantidad de dinero con
inter?s compuesto, se utilizar?:
i
p
M – C 1 + — ⇔ C = M 1 + — []
i
p[]
np –np

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
134
M = monto
C = capital o valor actual
np = número total de periodos involucrados
p = periodos de capitalizaci?n en un año
n = plazo en años
i = tasa de inter?s anual capitalizable en p periodos por año.
Ejemplo
¿Qu? capital debe invertirse ahora al 32.7% capitalizable por bimestres para
tener $40,000.00 en 5 bimestres?
C $40,000.00
D?nde:
M = 40000
C =
np = 5 bimestres
p = 6
i = 0.327
Entonces
0.327
6
C = 40000 1 + = 30678[]
–5
Por tanto, debe invertir $30,678.00
De esta forma, se puede conocer el valor actual de dinero futuro. Pero
en el problema original, se contemplaba varios montos futuros, ¿c?mo de-
terminar el valor actual de todos ellos?
Deﬁ nici?n: El Valor Presente Neto (VPN) es el valor monetario que re-
sultante de restar la suma de los ﬂ ujos descontados a la inversi?n inicial.
1 + —
i
p
VPN = + + … +
FNE
O
FNE
1
FNE
n
()
0
1 + —
i
p()
1
1 + —
i
p()
n

Investigaci?n de operaciones
135
Considerando los datos iniciales, se puede calcular para cada proyecto
su Valor Presente Neto y saber si todos son redituables o no.
Inicio del
periodo
Proyecto
123 45
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
Los c?lculos correspondientes se muestran a continuaci?n.

–1000
(1 + 0.20)
0
2000
(1 + 0.20)
1
2000
(1 + 0.20)
2
2900
(1 + 0.20)
3
1308
(1 + 0.20)
4
VPN
1
– + +
–1200
(1 + 0.20)
0
2400
(1 + 0.20)
1
2500
(1 + 0.20)
2
3567
(1 + 0.20)
3
VPN
2
= – + +
= –1000 – 1666.66666 + 1388.88888 + 1678.24074 = 400.5
= –1200 – 2000 + 1736.11111 + 2064.23611 = 600.3
–2000
(1 + 0.20)
0
2100
(1 + 0.20)
1
3000
(1 + 0.20)
2
3000
(1 + 0.20)
3
VPN
3
= – + + +
= –1200 – 1750 + 2083.33333 + 1736.11111 = 630.78703 = 700.2
2000
(1 + 0.20)
4
2296
(1 + 0.20)
5
–2500
(1 + 0.20)
0
1300
(1 + 0.20)
1
2000
(1 + 0.20)
2
2000
(1 + 0.20)
3
VPN
4
= – + + + +
= –2500 – 1083.33333 + 1388.88888 + 1157.40740 = 964.50617 = 850.2
1800
(1 + 0.20)
4
955
(1 + 0.20)
5
–3000
(1 + 0.20)
0
900
(1 + 0.20)
1
1400
(1 + 0.20)
2
1600
(1 + 0.20)
3
VPN
5
= + + + + +
= –3000 – 750 + 972.22222 + 925.92592 = 868.05555 = 383.79308 = 900

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
136
En esta informaci?n, se aprecia con claridad que cada uno de los pro-
yectos son redituables. A continuaci?n, se completa la tabla inicial con la
evaluaci?n respectiva de cada uno:
Inicio del
periodo
Proyecto
12345
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
VPN 400.5 600.3 700.2 850.2 900
Recuerde que su deber es maximizar la ganancia de la inversi?n total, y que
?sta se representa con el VPN de cada proyecto. Para resolver este proble
ma,
se har? uso del modelo cl?sico de portafolios de inversi?n para Proble
mas
de Programaci?n Lineal, para el cual se puede considerar dos casos:
Modelo binario. Si al invertir en un proyecto deben respetarse la totalidad
de los ﬂ ujos de efectivo.
Modelo continuo. Si es posible invertir parte de la inversi?n total y ob-
tener una ganancia proporcional a la inversi?n.
Modelo binario
La variable de decisi?n queda deﬁ nida mediante:
x
i
=
{
1, si se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
0, si no se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
i = 1, 2, …, n
Maximizar z = VPN
1
x
1
+ VPN
2
x
2
+
:
+ VPN
n
x
n

Investigaci?n de operaciones
137
Sujeto a
FNE(0)
1
x
1
+ FNE(0)
2
x
2
+ … + FNE(0)
n
x
n
≤ b
0
(capital disponible en el periodo 0)
FNE(1)
1
x
1 + FNE(1)
2
x
2 + … + FNE(1)
n
x
n ≤ b
1
(capital disponible en el periodo 1)
…
FNE(m)
1
x
1
+ FNE(m)
2
x
2
+ … + FNE(m)
n
x
n
≤ b
m
(capital disponible en el
periodo m)
Para el ejemplo que se analiza:
x
ij
= {
1, si se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
0, si no se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 400.5x
1
+ 600.3x
2
+ 700.2x
3
+ 850.2x
4
+ 900x
5
Sujeto a
1000x
1
+ 1200x
2
+ 2000x
3
+ 2500x
4
+ 3000x
5
≤ 4400 (capital disponible
en el priodo 0)
2000x
1
+2400x
2
+2100x
3
+1300x
4
– 900x
5
≤ 4000 (capital disponible en
el priodo 1)
Nota: Los ﬂ ujos netos de efectivo cambian de signo porque las restric-
ciones de capital son cantidades positivas y s?lo existen en los primeros dos
años.
Modelo continuo
En este caso, no es necesario invertir la cantidad total requerida, pero la
utilidad ser? proporcional a la inversi?n; entonces, se deﬁ ne las variables de
decisi?n como:

x
i
= Fracción del total a invertir en el proyecto i, i = 1, 2, …, n
Maximizar z = VPN
1
x
1
+ VPN
2
x
2
+
… + VPN
n
x
n

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
138
Sujeto a
FNE(0)
1
x
1
+ FNE(0)
2
x
2
+ … + FNE(0)
n
x
n
≤ b
0
(capital disponible en el periodo 0)
FNE(1)
1
x
1 + FNE(1)
2
x
2 + … + FNE(1)
n
x
n ≤ b
1
(capital disponible en el periodo 1)
…
FNE(m)
1
x
1
+ FNE(m)
2
x
2
+ … + FNE(m)
n
x
n
≤ b
m
(capital disponible en el
periodo m)
0 ≤ x
1
, x
2
, …, x
n
≤ 1
Es necesario destacar que las variables deben acotarse a los requerimien-
tos totales para cada proyecto; por eso, lo m?s que pueden invertir es la
totalidad que equivale a 1.
Con la informaci?n presentada:
x
i
= Fracción del total a invertir en el proyecto i, i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 400.5x
1
+ 600.3x
2
+ 700.2x
3
+ 850.2x
4
+ 900x
5
Sujeto a
1000x
1
+ 1200x
2
+ 2000x
3
+ 2500x
4
+ 3000x
5
≤ 4400 (capital disponible
en el priodo 0)
2000x
1
+2400x
2
+2100x
3
+1300x
4
– 900x
5
≤ 4000 (capital disponible en
el priodo 1)
0 ≤ x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
≤ 1

Investigaci?n de operaciones
139
VII. Uso de LINDO 6.1
Este software se eligi? por la facilidad que tiene en su uso, por su practicidad
y por su capacidad para resolver problemas de programaci?n lineal y entera
hasta con 500 variables.
Primero, se debe instalar el software, de la p?gina oﬁ cial www.lindo.com
El alumno puede bajar de la Internet una versi?n legal de prueba por 40
días, que le permitir? realizar los ejercicios señalados en esta secci?n.
A continuaci?n, tomando como base los modelos realizados en la sec-
ci?n anterior para portafolios de inversi?n, se iniciar? el aprendizaje del uso
del software.
Modelo continuo de portafolios de inversión
La informaci?n que se debe escribir en LINDO para el modelo continuo es
de la siguiente manera:

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
140
Se le da click al bot?n solve y el paquete muestra la siguiente pantalla:

Lo que se interpreta como:
Las variables x
2
= 1 y x
4
= 1; por tanto, se deber? invertir la totalidad de
ﬂ ujos de efectivo necesarios para los proyectos 2 y 4. Así, se obtendr? el total
de sus VPN dentro del valor de la FO.
La variable x
1
= 0.221 se debe invertir, esta proporci?n de dinero, en los
ﬂ ujos requeridos para el proyecto 1; por tanto, se obtendr? el valor propor-
cional de VPN del proyecto 1 dentro del valor total de la FO.
La variable x
5
= 0.159 se debe invertir, esta proporci?n de dinero, en los
ﬂ ujos requeridos para el proyecto 5; por tanto, se obtendr? el valor propor-
cional de VPN del proyecto 5 dentro del valor total de la FO.
La variable x
3
= 0 por eso NO se debe invertir en el proyecto 3 y, por
tanto, su valor de VPN es cero dentro del valor total de la FO.
Finalmente, el valor de z = 1682.785, el m?ximo valor posible de la suma
de los VPN de los proyectos en que se invertir?, indica que la inversi?n ser?
redituable.

Investigaci?n de operaciones
141
Modelo binario de portafolios de inversión
La informaci?n que se debe escribir en LINDO para el modelo binario cam-
biar? con el anterior, pues se debe especiﬁ car que cada variable es binaria.
Eso es posible escribiendo al ﬁ nal las variables con la palabra int antes de
cada variable de decisi?n. De la manera siguiente:
Y la soluci?n queda en este caso:

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
142
Lo que se interpreta de la siguiente manera:
Las variables x
2
= 1 y x
5
= 1, por tanto, se deber? invertir la totalidad de
ﬂ ujos de efectivo necesarios para los proyectos 2 y 5; así, se obtendr? el total
de sus VPN dentro del valor de la FO.
Las variables x
1
= 0, x
3
= 0 y x
4
= 0, por eso NO se debe invertir en los
proyectos 1, 3 y 4 y, por tanto, su valor de VPN es cero dentro del valor total
de la FO.
Finalmente, el valor de z = 1500.3, en realidad es la suma de los VPN
que corresponden a los dos proyectos en que se invertir?, y la inversi?n ser?
redituable.
Modelos de PPL con variables enteras
La informaci?n que se debe escribir en LINDO, para el modelo entero, cam-
biar? con el binario, pues ahora la palabra que se debe escribir antes de cada
variable de decisi?n es gin. Con esta indicaci?n, la soluci?n proporcionar?
valores enteros para las variables en que se especiﬁ que esta característica.

Investigaci?n de operaciones
143
VIII. Administraci?n de proyectos
Suponga que en la Secretaría de Salud se tiene asignado un presupuesto
para la construcci?n de un hospital especializado en pediatría que se ediﬁ -
car? en el estado de Hidalgo. Para este prop?sito, se le propone el siguiente
proyecto, que incluye una estimaci?n de tiempos y costos necesarios para su
realizaci?n.
Actividad Descripci?n
Actividad
anterior
inmediata
Tiempo
(Meses) Costo
A
Levantamiento topogr?-
ﬁ co del sitio de cons-
trucci?n
— 1.5
$40,000.00
B
Elecci?n y contrataci?n
del despacho de arqui-
tectos y/o ingenieros
— 0.5 $10,000.00
C
Elaboraci?n del diseño
arquitect?nico del hos-
pital
A, B 2 $56,000.00
D
Tr?mites de gestiones
municipales
B 2 $45,000.00
E
Construcci?n del hos-
pital
D 7 $48’500,000.00
F
Selecci?n de mueblería
especializada y no espe-
cializada
C 2 $25,000.00
G
Realizar las instalaciones
el?ctricas, telef?nicas y
de ?reas especializadas
E,F 2.5 $1’736,000.00
H
Instalaci?n del mobilia-
rio necesario
G 2 $15’500,000.00
I
Contrataci?n de perso-
nal
E 1 $25,000.00
J
Inauguraci?n y puesta
en marcha
H, I 0.5 $750,000.00
Total $66’687,000.00

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
144
Para tener el control de las actividades y los recursos ﬁ nancieros, es ne-
cesario conocer cu?nto durar? la realizaci?n total del proyecto. Para ello,
habr? que saber qu? actividades pueden realizarse al mismo tiempo, cu?les
de ellas es necesario que culminen en tiempo y cu?les tienen holgura para
su realizaci?n, etc. De igual forma, es importante saber qu? cantidad de
dinero se necesita al inicio de cada mes de realizaci?n del proyecto, y qu?
tanto dinero se ha erogado al ﬁ nal de cada mes de realizaci?n. Para este
prop?sito, se analizar? a continuaci?n la T?cnica de Revisi?n y Evaluaci?n
de Programas (PERT), que con un procedimiento muy sencillo puede mostrar
los puntos mencionados con anterioridad.
Deﬁ niciones:
Un nodo es un punto especíﬁ co en el plano que se representa por un círculo
pequeño.
Un arco es una curva que conecta un par de nodos. El arco puede tener
sentido o no.

i
1
i
2
i
1 i
2
Sea A un conjunto de arcos. Sea N un conjunto de nodos. Una RED
G[N, A] es una gr?ﬁ ca que se constituye de una tripleta: un conjunto ﬁ nito
de nodos N = {i
1
, i
2
, ..., i
n
}, un conjunto ﬁ nito de arcos A = {j
1
, j
2
, ..., j
m
} y una
funci?n de asignaci?n que, a cada arco j є A le asigna una pareja de nodos
(ir, is) є NxN tal que ir is.
Una red es DIRIGIDA si sus arcos tienen direcci?n (un sentido de-•
terminado).
Una red es A-DIRIGIDA en otro caso.•

Investigaci?n de operaciones
145
Ejemplos de redes
i
1
i
2
i
3
j
1
j
2
j
3
i
1 i
2
i
1 i
1
j
1
j
2
j
3 j
4
j
5
a) Red dirigida b) Red a-dirigida
Formulación de redes con la Técnica de Evaluación
y Revisión de Programas, PERT.
Para tener una idea visible de la manera en que se llevar? a efecto el proyecto,
ser? necesario formular una red dirigida. Para determinar el tiempo total de
realizaci?n del proyecto, sus actividades críticas y tiempos de holgura, ser?
necesario aplicar el M?todo de Ruta Crítica (CPM), y para deﬁ nir los recursos
necesarios de cada actividad por mes, ser? necesario aplicar PERT/Costos.
El ?xito de estas t?cnicas depende de la construcci?n correcta de la red
dirigida. Para tales efectos, ser? necesario:
1. Especiﬁ car las actividades fundamentales en el proyecto.
2. Estimar los tiempos necesarios para la ejecuci?n de cada actividad.
3. Deﬁ nir los antecedentes inmediatos de una actividad especíﬁ ca.
4. Elaborar la red correspondiente.
En cuanto a este último punto, a manera de ejemplo, se citar?n algunos
casos que pueden presentarse.
Actividad Antecedente inmediato
A—
B—
CB
D A, C
EC
FC
G D, E, F

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
146
a) Las actividades A y B, que no tienen actividades antecedentes, se
dibujan a partir de un nodo raíz.
1 3
2
A
B
b) Las actividades A,B,C y D quedan refrendadas en la red de la si-
guiente manera. Note que C tiene como antecedente inmediato a la
actividad B, y D tiene tanto a la actividad A como a la C.
1 3
2
A
B
D
C
4

Investigaci?n de operaciones
147
c) Como E tiene de antecedente la actividad C, pero no la actividad A,
introducimos una actividad ﬁ cticia Z1 y de esta manera la actividad
E no depende de que haya terminado o no la actividad A. Llamamos
ﬁ cticia a una actividad que no consume tiempo ni dinero.
1 3
2
5
A
B
Z1
C
4
D
E
d) Las actividades A, B, C, D, E, F y G quedarían dibujadas así, pero...
1 3
2
5
A
B
Z
1
C
4
D
F
6
G
E

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
148
e) En la deﬁ nici?n del concepto de red, que permite identiﬁ carla con
precisi?n, se incluy? una funci?n de asignaci?n que a cada arco le
asigna un único par de nodos. Sin embargo, en este caso, las ac-
tividades E y F comparten la misma asignaci?n de nodos, lo que
causaría, en particular, que en los distintos programas de c?mputo
se identiﬁ car?n un solo arco. Para resolver esta diﬁ cultad de diagra-
maci?n de la red, se agrega nuevamente una actividad ﬁ cticia Z2 que
permite identiﬁ car a E y a F como actividades diferentes. La red,
ﬁ nalmente, quedar? así:
1 3
2
5
A
B
Z
1
4
D
F
6
G
E
7
Z
2
Note que de esta manera se puede apreciar perfectamente qu? actividad
se tiene que concluir para iniciar otra. Si se incluye en la red los tiempos
de realizaci?n de las actividades, queda completa una red PERT. Los arcos
ﬁ cticios, utilizados con ﬁ nes auxiliares, no implican demoras y tendr?n ob-
viamente, un tiempo de cero asignado para su realizaci?n.

Investigaci?n de operaciones
149
Ejemplo 1. Proyecto de apoyo econ?mico
a familias de bajos recursos
La Secretaría de Desarrollo Social (Sedesol) ha decidido brindar un apoyo
econ?mico a familias de escasos recursos en toda la República Mexicana. Se
iniciar? el programa en el estado de Chiapas. Las actividades que se deﬁ nieron
necesarias, sus tiempos de realizaci?n por semanas y los costos correspon-
dientes se encuentran en la siguiente tabla:
Actividad Descripci?n
Antecesor
inmediato
Tiempo
(semanas)
Costos
($)
X Activ.
Costos ($)
X Semana
A
Elaborar programa
logístico
— 3 45,000 15,000
B
Determinar los reque-
rimientos de personal
— 5 15,000 3,000
C
Contrataci?n de
personal
B 3 15,000 5,000
D
Hacer los recorridos
para la realizaci?n
de encuestas socio-
econ?micas
A,C 4 950,000 237,500
E
Analizar la
informaci?n obtenida
en las encuestas
D 8 30,000 3,750
F
Alquilar habitaciones
necesarias para el
personal que se
trasladar? a Chiapas
C 2 1’500,000 750,000
G
Trasladar o comprar
el equipo de c?mputo
necesario para trabajar
en Chiapas
F 4 50,000 12,500
H
Proveeer de
instalaciones
adecuadas para que
el equipo de c?mputo
trabaje en red
F 2 150,000 75,000

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
150
I
Hacer los ajustes
ﬁ nancieros necesarios
para los sueldos del
personal y dem?s
recursos necesarios en
el proyecto
B 5 2’350,000 470,000
J
Realizar la selecci?n
de las familias que
recibir?n el apoyo
y tramitarlo con la
Sedesol
H,E,G 3 500,000 16,666.67
Total 5’605,000
Red PERT
Primero, se formula la red PERT; para ello, se denotar?n los nodos con nú-
meros, las actividades con letras y las duraciones de las actividades que para
este caso est?n dadas en semanas, entre corchetes (par?ntesis cuadrados).
La construcci?n de la red PERT correspondiente inicia con las primeras
dos actividades, que no tienen actividades antecedentes.
1 3
2
A[3]
B[5]

Investigaci?n de operaciones
151
Se continúa con la actividad C, que como antecedente s?lo tiene a la
actividad B.
1
3
2
A[3]
B[5]
3
C[3]
La actividad D tiene como antecedentes a las actividades A y C; entonces
la red ser?:

1
3
2
A[3]
B[5]
4
C[3]
D[4]

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
152
La actividad E tiene como antecedente a la actividad D.

1
3
2
A[3]
B[5]
4
C[3]
D[4]
5
E[8]
La actividad F tiene como antecedente a la actividad C; pero no a la ac-
tividad A, por lo que ser? necesario utilizar un arco ﬁ cticio Z1.
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1[0]

Investigaci?n de operaciones
153
Las actividades G y H tienen como antecedente a la actividad F, por lo
que la red resulta así:
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
8
9
G[4]
H[2]

La actividad I tiene como antecedente a la actividad B, por lo que queda:
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
8
9
G[4]
H[2]
10
I[5]

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
154
La actividad J tiene como antecesores inmediatos a las actividades H, E y
G. Note que no podemos trazar esta actividad de manera que las actividades
H y G tengan el mismo nodo inicial y ﬁ nal, por lo que se har? uso de otro
arco ﬁ cticio (Z2).
Z2[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1[0]
9
8
G[4]
H[2]
10
I[5]
J[3]
Finalmente, se conecta la actividad I con el nodo 9, que representa el
nodo ﬁ nal de la red.
Z2[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]

Investigaci?n de operaciones
155
Método de Ruta Crítica (CPM)
Consta de dos algoritmos.
Algoritmo de paso adelante (progresivo)
Determina el tiempo m?s cercano en que puede iniciar la siguiente actividad
en la red PERT.
Se inicia etiquetando las actividades conectadas con el nodo raíz y, pos-
teriormente, se etiquetan en orden las actividades subsecuentes. La etiqueta
consiste de una pareja ordenada:
[tiempo m?s cercano de inicio, tiempo m?s cercano de inicio + tiempo
de realizaci?n de la actividad]
En caso de tener dos o m?s arcos previos a una actividad, se elegir? el
valor m?s grande para continuar.
Algoritmo de paso atrás (regresivo)
Determina el tiempo m?s lejano de t?rmino de la actividad antecedente en
la red PERT.
Se inicia etiquetando las actividades conectadas con el nodo ﬁ nal y, pos-
teriormente, se van etiquetando en orden, las actividades antecedentes. La
etiqueta consiste de una pareja ordenada:
(tiempo m?s lejano de t?rmino de la actividad – tiempo de realizaci?n de
la actividad , tiempo m?s lejano de t?rmino de la actividad)
En caso de tener dos o m?s arcos posteriores a una actividad, se elegir?
el valor m?s pequeño para continuar.
Para comprender este procedimiento, se har? uso de la red PERT del pro-
yecto de la Sedesol.

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
156
Algoritmo de paso adelante
Se comienza considerando que el proyecto iniciar? de inmediato, es decir, el
tiempo inicial es cero.
Se comienza con las actividades A y B, que se conectan al nodo origen 1.
Z
2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5]
Se continúa con los arcos conectados a los dos iniciales, por lo que lo
m?s cercano que pueden iniciar estas actividades es, precisamente, cuando
hayan terminado las actividades antecedentes, y se suma su tiempo de reali-
zaci?n particular.
Z
2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]

[0,5][5,8]
[5,10]

Investigaci?n de operaciones
157
Así sucesivamente, se hace lo mismo en los dem?s arcos; pero cuando
hay dos actividades que anteceden a la siguiente, es necesario que ambas
terminen para iniciar otra actividad. Por lo que se elige el mayor de los va-
lores num?ricos de t?rmino de las actividades antecedentes (observe que la
actividad J inicia en 20 y no en 12 o 14). Asimismo, observe que la actividad
D inicia en 8 y no en 3 (semanas).
Z
2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5][5,8]
[5,10]
[8,12]
[8,10]

[8,8]
[12,12]
[10,12]
[10,14]
[12,20]
[20,23]
Al lector: Revise con cuidado todos los c?lculos para asegurarse que
comprendi? bien cada paso y cada c?lculo efectuado.
Algoritmo de paso atrás
Se inicia considerando que el proyecto concluir? en la semana 23, es decir, des-
de el tiempo de terminaci?n mayor que llega al nodo ﬁ nal en el paso adelante.
Se comienza con las actividades J e I, que se conectan al nodo ﬁ nal.
Z
2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5][5,8]
[5,10]
[8,12]
[8,10]
[8,8]
[12,12]

[10,12]
[10,14]

[12,20]
[20,23]
[20,23]
[18,23]

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
158
Se continúa con los arcos de actividades antecedentes a estas últimas,
considerando la coordenada derecha igual a la coordenada izquierda de la
actividad posterior, y restando el tiempo de realizaci?n de la actividad. Para
anotar la coordenada izquierda, por ejemplo, note que NO se puede etique-
tar el arco B, pues tiene dos actividades que le suceden y una de ellas, la F,
aún no ha sido etiquetada.
Z
2
[0]
1
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]

[12,20]
[12,20]
[10,14]
[8,12]
[16,20]
[12,12]
[10,12]
[18,23]
[20,23]
[20,23]
[20,20]
3
[8,8]
[8,10]
[0,5][5,8]
Se continúa de la misma manera, considerando que cuando existan dos
o m?s arcos subsecuentes, se elegir? el menor de los valores num?ricos invo-
lucrados (observe, por ejemplo, que la actividad F termina en la semana 16
y no en la 18).
Z
2
[0]

1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]

[5,8]
[5,8]
[0,5]
[0,5]
[8,12]
[12,20]
[12,20]
[8,10]
[8,8]
[5,8]
[8,8]
[8,12]
[20,23]
[20,23]
[18,23]
[5,10]
[18,20]
[10,12]
[12,12]
[20,20]
[16,20]
[10,14]
[14,16]

Investigaci?n de operaciones
159
La Ruta Crítica
La Ruta Crítica es aqu?lla donde coinciden las coordenadas de los c?lculos
de paso adelante y paso atr?s, y permite determinar el tiempo total en que
se realizar? el proyecto (note que no es igual a la suma de los tiempos de la
tabla). Adem?s, indica que estas actividades deben realizarse exactamente
en el tiempo establecido, porque, de no hacerlo, atrasarían al proyecto total.
Las dem?s actividades tienen tiempo de holgura para su realizaci?n.
En este caso, la ruta crítica est? formada por las actividades B, C, Z1, D,
E y J. La duraci?n del proyecto es de 23 semanas. Sobre estas actividades, se
debe ejercer un control estricto para evitar retrasos innecesarios.
Z
2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z
1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]

(0,5)
[8,12]
[8,12]
[8,8]
[8,8]
[5,8]
[5,8]
[5,8]
[0,5]
[12,20]
[12,20]
[10,14]
[8,10]
[20,23]
[20,23]
[20,20]
[18,23]
[5,10]
[14,16]
[18,20]
[10,12]
[12,12]
[16,20]
Resumen tabular
A manera de resumen, la informaci?n se puede presentar en una tabla:
En las primeras dos columnas se copia los datos de las columnas 1 y 4
del proyecto de Sedesol, es decir, la columna de actividades y la columna de
tiempos de realizaci?n.
Posteriormente, se anota las cuatro columnas correspondientes a:
CI = Tiempo m?s cercano de inicio (paso adelante)
CT = Tiempo m?s cercano de término (paso adelante)
LI = Tiempo m?s lejano de inicio (paso atr?s)
LT = Tiempo m?s lejano de término (paso atr?s)

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
160
En la columna “Holgura”, se anota el tiempo disponible para terminar
una actividad, sin que retrase el tiempo de realizaci?n total del proyecto.
?ste se determina restando los tiempos m?s lejanos de inicio y los m?s cer-
canos de inicio (LI – CI) o los tiempos m?s lejanos de t?rmino y los tiempos
m?s cercanos de t?rmino (LT – CT).
En la columna “¿Es crítica?”, se anota Sí para cada actividad que no
dispone de tiempo de holgura para su realizaci?n. Esto signiﬁ ca que si esta
actividad se atrasa, el proyecto total tambi?n se atrasar?.
Actividad
Tiempo
(semanas)
CI CT LI LT
Holgura
(semanas)
¿Es crítica?
A 30 358 5 N O
B 50 505 0 S Í
C 35 858 0 S Í
D 4 8 12 8 12 0 SÍ
E 81 2201220 0 S Í
F 2 8 10 14 16 6 NO
G 41 0141620 6 N O
H 21 0121820 8 N O
I 5 5 10 18 23 13 NO
J 32 0232023 0 S Í
De acuerdo con estos datos, el proyecto total se realizar? en 23 semanas.
Las actividades críticas son: B, C, D, E y J (en ese orden) y deben cumplirse
por completo en los tiempos preestablecidos, pues de no hacerlo así atrasa-
r?n la realizaci?n total del proyecto. Las actividades A, F, G, H e I cuentan
con 5, 6, 6, 8 y 13 semanas de holgura, respectivamente, de manera que
podrían retrasarse un poco sin afectar la realizaci?n total del proyecto. No
incluimos las actividades señaladas con arcos ﬁ cticios, porque no requieren
tiempo y por lo tanto, no pueden inﬂ uir en la duraci?n del proyecto.
PERT/Costos
En todos los proyectos, se necesita su calendario de erogaciones a ﬁ n de orga-
nizar su administraci?n ﬁ nanciera. Para determinar los recursos ﬁ nancieros

Investigaci?n de operaciones
161
necesarios para cada periodo de realizaci?n del proyecto, se analizar?n dos
escenarios: uno optimista y uno pesimista, que se presentar?n tambi?n en
las tablas correspondientes. Antes de continuar con el proyecto de Sedesol,
veamos un ejemplo m?s sencillo.
Supongamos que se cuenta con la siguiente informaci?n:
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo
(Meses)
Costo ($)
X Actividad
Costo ($)
X mes
A --- 2 325,000 162,500
B --- 1 175,500 175,500
C --- 3 450,000 150,000
D A 2 150,000 75,000
E A 1 75,000 75,000
F B 2 133,000 66,500
G C 1 13,500 13,500
H E, F 4 280,000 70,000
I E, F 3 210,000 70,000
J D, H 2 150,000 75,000
K G 1 75,500 75,500
L J, I, K 1 125,000 125,000
Total 2,162,500

1
2
3
5
C[3]
A[2]
D[2]
E[1]
H[4]
J[2]
I[3]
L[1]K[1]
B[1]

7
4
6 F[2]
9
8
G[1]
[2,4]
[7,9]
[9,10]
[9,10]
[8,9]
[7,8]
[4,7]
[0,2]
[0,2]
[0,1]
[0,1]
[0,3]
[2,3]
[2,3]
[5,7]
[3,7]
[1,3]
[1,3]

[7,9]
[3,6]
[6,9]
[4,5]
[3,4]
[3,7]

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
162
Con los datos que tomamos de la tabla anterior en las columnas (1) y
(3) y con los que extraemos de esta red, construimos el siguiente resumen
tabular:
Actividad
Tiempo
(meses)
CI CT LI LT
Holgura
(meses)
¿Es crítica?
A 202020 S Í
B 101010 S Í
C 303474 N O
D 224573 N O
E 123230 S Í
F 213130 S Í
G 134784 N O
H 437370 S Í
I 336693 N O
J 279790 S Í
K 145894 N O
L 1 9 10 9 10 0 SÍ
Ahora se hace la distribuci?n del ﬁ nanciamiento requerido suponiendo
dos escenarios de avance de las obras, el optimista y el pesimista.

163
Escenario optimista
Para el escenario optimista, los recursos ﬁ nancieros se distribuyen de acuerdo con el tiempo de inicio m?s cercano (CI)
y la duraci?n de la actividad correspondiente. Note que la tabla est? dividida en meses, tiempo en que est?n medidas las
actividades, por esto los recursos se dividen en meses.
Tiempo en meses
Actividad 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10
A162500 162500
B175500
C150000 150000 150000
D 75000 75000
E 75000
F 66500 66500
G 13500
H 70000 70000 70000 70000
I 70000 70000 70000
J 75000 75000
K 75500
L 125000
Total488000 379000 366500 228500 215500 140000 70000 75000 75000 125000
Acum.488000 867000 1233500 1462000 1677500 1817500 1887500 1962500 20375002162500

164
Escenario pesimista
Para el escenario pesimista, los recursos ﬁ nancieros se distribuyen de acuerdo con el tiempo de inicio m?s lejano (LI) y
la duraci?n de la actividad correspondiente.
Tiempo en meses
Actividad 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10
A 162500 162500
B175500
C 150000 150000 150000
D 75000 75000
E 75000
F 66500 66500
G 13500
H 70000 70000 70000 70000
I 70000 70000 70000
J 75000 75000
K 75500
L 125000
Total338000 229000 141500 70000 220000 295000 365000 158500 220500 125000
Acum. 338000 567000 708500 778500 998500 1293500 1658500 1817000 20375002162500
En el proyecto de la Sedesol para realizar el PERT/Costos, se requiere una tabla con 25 columnas; pero tambi?n
se puede hacer una con periodos de dos semanas, y de esta manera se tendr? 13 columnas (no importa que la última
columna sea de un solo periodo). S?lo se tiene que distribuir los recursos de acuerdo con los tiempos m?s cercanos de
inicio y m?s lejanos de inicio, respectivamente. Por lo tanto, las tablas quedarían como se observa a continuaci?n.

165
Escenario optimista
Para el escenario optimista, los recursos ﬁ nancieros se distribuyen de acuerdo con la semana de inicio m?s cercana (CI)
y la duraci?n de la actividad correspondiente.
Tiempo en semanas
Actividad 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-23
A30000 15000
B6000 6000 3000
C5000 10000
D475000 475000
E7500 7500 7500 7500
F1500000
G25000 25000
H150000
I470000 940000 940000
J333334 166666
Total36000 21000 478000 950000 2915000 650000 32500 7500 7500 7500 333334 166666
Acum.36000 57000 535000 1485000 4400000 5050000 5082500 5090000 5097500 5105000 5438334 5605000

166
Escenario pesimista
Para el escenario pesimista, los recursos ﬁ nancieros se distribuyen de acuerdo con la semana de inicio m?s lejana (LI) y
la duraci?n de la actividad correspondiente.
Tiempo en semanas
Activ. 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-23
A15000 30000
B6000 6000 3000
C5000 10000
D475000 475000
E7500 7500 7500 7500
F1500000
G25000 25000
H150000
I940000 940000 470000
J333334 166666
Total6000 6000 23000 40000 475000 475000 7500 1507500 32500 1122500 1273334 636666
Acum.6000 12000 35000 75000 550000 1025000 1032500 2540000 2572500 3695000 4968334 5605000

167
El problema inicial
Para practicar los conocimientos adquiridos, se resolver? a continuaci?n el problema inicial.
Suponga que en la Secretaría de Salud se tiene asignado un presupuesto para la construcci?n de un hospital especia-
lizado en pediatría que se ediﬁ car? en el estado de Hidalgo. Para este prop?sito, se le propone el siguiente proyecto que
incluye una estimaci?n de tiempos y costos necesarios para su realizaci?n.
Actividad Descripci?n
Actividad
anterior
inmediata
Tiempo
(Meses) Costo
ALevantamiento topogr?ﬁ co del sitio de construcci?n. — 1.5 $40,000.00
BElecci?n y contrataci?n del despacho de arquitectos y/o ingenieros. — 0.5 $10,000.00
CElaboraci?n del diseño arquitect?nico del hospital. A,B 2 $56,000.00
DTr?mites de gestiones municipales.B 2 $45,000.00
EConstrucci?n del hospital.D 7 $48’500,000.00
FSelecci?n de mueblería especializada y no especializada. C 2 $25,000.00
G
Realizar las instalaciones el?ctricas, telef?nicas y de ?reas especiali-
zadas.
E,F 2.5 $1’736,000.00
HInstalaci?n del mobiliario necesario. G 2 $15’500,000.00
IContrataci?n de personal.E 1 $25,000.00
JInauguraci?n y puesta en marcha.H,I 0.5 $750,000.00
Total$66’687,000.00

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
168
Se proceder? a su an?lisis con las herramientas vistas hasta el momento.
La red de actividades con sus respectivas duraciones es la siguiente:
6
5
8
Z2
1
2
3
A[1.5]
B[0.5]
C[2]
F[2]
G[2.5]
J[0.5]
H[2]
D[2]
7
E[7]
4
9
I[1]
Z1[0]
[0]
[3.5,5.5][1.5,3.5]
[9.5,12]
[9.5,12]

[12,14]
[13,14]
[2.5,9.5]
[0.5,2.5]
[0.5,2.5]
[0,0.5]
[4,5.5]
[0,1.5]
[0,0.5]
[05,0.5]
[5.5,5.5]
[9.5,9.5]
[9.5,9.5]
[9.5,10.5]
[2.5,9.5]
(7.5,9.5)
[12,14]
(5.5,7.5)

10
[14,14.5]
[14,14.5]
La tabla que resume esta informaci?n:
Actividad
Tiempo
(semanas)
CI CT LI LT
Holgura
(semanas)
¿Es crítica?
A 1.5 0 1.5 4 5.5 4 NO
B 0.5 0 0.5 0 0.5 0 SÍ
C 2 1.5 3.5 5.5 7.5 4 NO
D 2 0.5 2.5 0.5 2.5 0 SÍ
E 7 2.5 9.5 2.5 9.5 0 SÍ
F 2 3.5 5.5 7.5 9.5 4 NO
G 2.5 9.5 12 9.5 12 0 SÍ
H 21 2141214 0 S Í
I 1 9.5 10.5 13 14 3.5 NO
J 0.5 14 14.5 14 14.5 0 SÍ

169
El tiempo total de realizaci?n del proyecto es de 14.5 meses.
Las actividades que deben cumplirse en tiempo son B, D, E, G, H y J (en ese orden), pues de no ser así el proyecto
en total sufriría un retraso de tiempo. Las actividades A, C y F tienen 4 meses de holgura para su realizaci?n, por lo
que no importa si sufren algún contratiempo que las retrase. Finalmente, la actividad I tiene 3.5 meses de holgura para
su realizaci?n.
La distribuci?n de los recursos ﬁ nancieros según dos escenarios:
Escenario optimista (CI)
Tiempo en meses
Actividad 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 14.5
A40000
B10000
C14000 42000
D33750 11250
E10392857.14 13857142.86 13857142.86 10392857.14
F6250 18750
G347200 1388800
H15500000
I12500 12500
J750000
Total97750 10452357.14 13875892.86 13857142.86 10752557.14 1401300 15500000 750000
Acum.97750 10550107.14 24426000 38283142.86 49035700 50437000 65937000 66687000

170
Escenario pesimista (LI)
Tiempo en meses
Actividad 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 14.5
A40000
B10000
C14000 42000
D33750 11250
E10392857.14 13857142.86 13857142.86 10392857.14
F6250 18750
G347200 1388800
H15500000
I25000
J750000
Total43750 10404107.14 13911142.86 13905392.86 10758807.14 1388800 15525000 750000
Acum.43750 10447857.14 24359000 38264392.86 49023200 50412000 65937000 66687000
De esta manera, se puede hacer un an?lisis de los recursos ﬁ nancieros necesarios para dar inicio al proyecto. Por
ejemplo, se requiere de, al menos, $43,750.00 para iniciar, dejando algunas actividades pendientes (que podrían haber
empezado de inmediato). Si se cuenta con $97,750.00 se inicia de inmediato con todas las actividades que pueden ir
desarroll?ndose. De igual manera, se sabe que al inicio del octavo mes se han consumido m?s de la mitad de los recursos
totales, m?s de $38’000,000.00 y así sucesivamen te se va haciendo un an?lisis ﬁ nanciero.

Investigaci?n de operaciones
171
Problemas
1. Determine el modelo de PPL para los siguientes problemas:
i. Un organismo federal tiene un presupuesto de $ 100, 000, 000 para
dar como premio a las investigaciones m?s innovadoras en el ?rea de
alternativas de energía. Un equipo de revisi?n de cientíﬁ cos y eco-
nomistas redujeron en la revisi?n preliminar de 200 proyectos, a seis
ﬁ nalistas, y se caliﬁ c? en relaci?n con los beneﬁ cios esperados en los
pr?ximos 10 años.
Proyecto Clasiﬁ caci?n
Beneﬁ cio neto
por peso
invertido
Nivel de fondo
requerido
(Millones de pesos)
1 Solar 4.4 220
2 Solar 3.8 180
3
Combustibles
sint?ticos
4.1 250
4 Carb?n 3.5 150
5 Nuclear 5.1 400
6 Geotermia 3.2 120
El beneﬁ cio neto por peso invertido en cada alternativa sugiere que
cada peso invertido dar? un beneﬁ cio neto (en el proyecto 1) de $4.40
en los pr?ximos 10 años. Las cifras de los fondos requeridos re-
presentan la cantidad m?xima que se puede otorgar como premio a
cada proyecto.
El presidente de la República orden? que al proyecto Nuclear se le
otorgue por lo menos el 50% de la cantidad solicitada. El Secretario
de esta entidad federativa solicit? que se priorizara a los dos proyec-
tos solares; propuso que al menos se le otorgue a ambos de manera
conjunta $300’000,000.00

ii. En el mes de mayo, un partido político local resuelve iniciar la difu-
si?n de publicidad de las propuestas de su candidato para las pr?xi-
mas elecciones. Se considera al peri?dico local que le ofrece los
siguientes precios:

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
172
Un anuncio en plana completa los días de lunes a s?bado le cuesta
$2,000, en tanto que el domingo cuesta $8,000. El partido ha desti-
nado $40,000 en un mes para este prop?sito y desea que se publi-
quen sus propuestas al menos 8 días de los lunes a s?bado y 2 domin-
gos. Si en este mes de mayo se tienen 26 días de la primera categoría
(L-S) y 5 domingos, determine la contrataci?n id?nea de publicidad
periodística.
2. Resolver a través del método gr?ﬁ co
i. Maximizar z = 5x
1
+ 6x
2
Sujeto a
30x
1
+ 20x
2
≤ 1200
40x
1
+ 60x
2
≤ 2600
x
1
, x
2
≥ 0
ii. Minimizar z = 30x
1
+ 60x
2
Sujeto a
4 x
1
+ x
2
≥ 20
x
1
+ x
2
≤ 20
–2x
1
+ 2x
2
≥ 10
x
1
, x
2
≥ 0
3. Resolver con el método simplex simple
i. Maximizar z = 20x
1
+ 120x
2
+ 80x
3
Sujeto a
10x
1
– 20x
2
+50x
3
≤ 800
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
≤ 100
10x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
≤ 300
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0

Investigaci?n de operaciones
173
ii. Maximizar z = 40x
1
– 20x
2
+ 10x
3
Sujeto a
6x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
≤ 240
20x
1
– 20x
2
+ 40x
3
≤ 400
20x
1
+ 20x
2
– 20x
3
≤ 800
x
1
, x
2
, x
3
≥ 0
4. En el software de apoyo LINDO, introduzca los modelos de PL de los
siete ejemplos modelados en este capítulo e interprete la soluci?n.
5. Realizar la red de actividades para el siguiente ejercicio:
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo de realizaci?n
(semanas)
A —3
B —5
C —1 1
D C3
E A5
F B7
G E, F, D 8
H D3
I D1
J G5
K I2
L J, H, K 2
M I4

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
174
6. Aplicar los procedimientos PERT/CPM y PERT/Costos para cada uno de los
siguientes proyectos.
i. La Secretaría de Energía desea ampliar sus oﬁ cinas y para ello con-
trata a una constructora, que presenta el siguiente cuadro:
Actividad Descripci?n
Antecedente
Inmediato
Tiempo
(Meses)
Costos ($)
X Actividad
A
Preparar dibujos
arquitect?nicos
— 1 20,000
B
Identiﬁ car empleados a
trasladarse
— 1 5,000
C
Desarrollar proyectos
arquitect?nicos
A 4 35,000
D
Elegir ingenieros
responsables
A 1 5,000
E Preparar permisos A 1 15,000
F Obtener permisos E 4 48,000
G
Construcci?n de nuevas
oﬁ cinas
D,F 8 3,250,500
H Finiquitar contratos B,C 3 250,000
I Mudanza de empleados G,H 1 17,000
ii. Pronabes ha considerado las siguientes actividades para otorgar be-
cas anuales a estudiantes de escasos recursos.
Actividad Descripci?n
Anterior
inmediata
Tiempo
(Meses)
Costos ($)
X Actividad
A
Preparaci?n de la convocatoria y
estrategias publicitarias — 2 150,000
B
Elecci?n del personal que trabajar?
en la elecci?n
— 1 50,000
C Realizaci?n de la convocatoria A,B 3 75,600
D Recepci?n de solicitudes C 2 35,000
E Clasiﬁ caci?n de solicitudes C 2 80,000
F Entrevistas de candidatos a beca D,E 1 50,000
G Elecci?n de becarios E 3 90,000
H
Formalizaci?n de otorgamiento
de beca
F,G 1 78,500

Investigaci?n de operaciones
175
7. Elaborar todas las redes y tablas que corresponden al siguiente problema.
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo
de realizaci?n
(Meses)
Costo ($)
X Activ.
Costo ($)
X Mes
A — 3 450,000 150,000
B — 2 300,000 150,000
C A, B 1 175,000 175,000
D B 1 350,500 350,500
E D 2 321,000 160,500
F C, E 2 150,000 75,000
G D 2 235,000 117,500
H C, E 1 57,500 57,500
I D 3 105,000 35,000
J I 1 225,000 225,000
K H, G 1 135,000 135,000
L F 1 121,000 121,000
M L, K, J 2 100,000 50,000
Total 2,725,000
Bibliografía
Coss, BU (1981). Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión, 2ª ed.,
M?xico: Limusa Noriega Editores.
Eppen, G. D. y otros (2000). Investigación de Operaciones (en la Ciencia
Administrativa), 5ª ed., M?xico: Pearson Prentice Hall Hispano-
am?rica.
Hillier, F. y G. Lieberman (2010). Introducción a la Investigación de Opera-
ciones, 9ª ed., M?xico: McGrawHill.
Taha Hamdy, A. (2010). Investigación de Operaciones, 9ª. ed., M?xico:
Pearson.
Villalobos, J. L. (2011). Matemáticas Financieras, 4ª ed., M?xico: Pearson
Prentice Hall Hispanoam?rica.

ANEXOS

Anexo
177
Tri?ngulo F?rmula
h
b
c
a
p = a + b + c
Cuadrado F?rmula
l
p = 4l
Rect?ngulo F?rmula
h
b
p = 2b + 2h
Paralelogramo F?rmula
h
b
p = 2b + 2c
Perímetros

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
178
Trapecio F?rmula
b'
b
h
p = a + b + c + b'
Circunferencia F?rmula
r
a = π × 2r

Anexo
179
Áreas
Tri?ngulo F?rmula
h
b
b x h
2
a =
Cuadrado F?rmula
l
a = l
2
Rect?ngulo F?rmula
h
b
a = b × h
Paralelogramo F?rmula
h
b
a = b × h

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
180
Trapecio F?rmula
b'
b
h
(b’ x b) x h
2
a =
Circunferencia F?rmula
r
a = π × r
2

Anexo
181
Volúmenes
Exaedro regular o cubo F?rmula
l
v = l
3
Paralelogramo rectangular F?rmula
a
b
c
v = a × b × c
Esfera F?rmula
r
●
3
a = x r
2
⇒∆

Razonamiento L?gico Matem?tico para la toma de decisiones
182
Tetraedro F?rmula

a
aa
v = 0.1178a
3
Cono circular recto F?rmula
r
h
v = h × (π × r
2
)

Razonamiento L?gico Matem?tico
para la toma de decisiones
Editado por Universidad Nacional Aut?noma de M?xico,
Publicaciones Empresariales UNAM. FCA Publishing.
Facultad de Contaduría y Administraci?n.
Se termin? de imprimir el 30 de marzo de 2017.
En los talleres de Tipos Futura S.A. de C.V.
Francisco Gonz?lez Bocanegra Núm. 47-B,
Colonia Peralvillo, Delegaci?n Cuauth?moc,
C.P. 06220, Ciudad de M?xico.
Se tiraron 400 ejemplares, en papel bond de 75 grs. en interiores
y en forros cartulina couche brillante de 200 grs.
Tipo de impresi?n: digital
Se utiliz? en la composici?n tipo
Simoncini Garamond Std/Cambria
18:21.6, 21:25.2, 13:16, 14:17, 11:13.2, 10:12.2, 9:11.2 puntos..
Idioma original: español
Producci?n Editorial: Secretaría de Divulgaci?n y Fomento Editorial:
Lic. Ma. del Carmen M?rquez Gonz?lez
Departamento de Publicaciones y Fomento Editorial: Mtro. Víctor A. Hern?ndez Arteaga
Edici?n y correcci?n: L.C.C. Iv?n Ventura Gonz?lez L?pez
Diseño de portada: D.C.V. Olivia Cruz Catarino
Revisi?n t?cnica: Fis. Edgar Raymundo L?pez Téllez e Ing. Alejandro Morales Trejo

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