RECTAS EN R2 Y RECTA PARALELAS-recta.pptx

rectas en r2 y recta paralelas

1. CONCEPTO PREVIO             Recordamos como ubicar dos puntos en un plano cartesiano y ; podemos trazar una recta que pase por estos puntos.   No es necesario tabular varios puntos para trazar una recta; es suficiente tener dos puntos. En el plano vectorial todos los conceptos se mantienen, solo que ahora estos puntos son radio vectores

2. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA P = (     Q = ( )   Si llamamos a “P” el punto inicial y a “Q” el final; (los puntos por donde se puede trazar una recta) ¿Cómo hallamos las coordenadas de un punto cualquiera R de esta recta?   ¿Qué debe cumplirse?         Punto cualquiera de la recta Punto inicial o Punto de paso Parámetro de la recta Vector Dirección

3. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A = (4,-3) y B = (7,10)     Punto cualquiera de la recta Punto inicial o Punto de paso Parámetro de la recta Vector Dirección  

4. ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA         Las coordenadas de un punto de la recta están en función del Parámetro de la Recta.  

5. ECUACION SIMÉTRICA DE LA RECTA     Si tenemos la ecuación Paramétrica Despejamos el Parámetro en cada coordenada                     De la igualdad o Simetría del Parámetro  

6. ECUACION GENERAL DE LA RECTA   Si tenemos la ecuación Simétrica      

7. Al trazar una recta horizontal por cualquier punto de la recta; ambas rectas forman un ángulo ( ; llamado ángulo de inclinación de la recta.   ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA A = (   B = (     Para problemas de aplicación en ingeniería civil se suele llamar a este ángulo como “ángulo de elevación” o “ángulo de depresión” Ángulo de inclinación

8. Al conocer el ángulo de inclinación de la recta, si hallamos la tangente de este ángulo , al valor encontrado se le conoce como Pendiente de la recta. PENDIENTE DE UNA RECTA A = (   B = (     El resto de ingenierías trabaja con este valor y le da una interpretación, esta es la razón de la importancia de encontrar la pendiente de una recta. Ángulo de inclinación      

9. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Halle todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A = (2,3) y B = (6,9)     Ecuación Vectorial Igualando vectores:     Ecuación Paramétrica Igualando el Parámetro   Ecuación Simétrica       Ecuación General

10. OBSERVACIÓN   Al tener la ecuación general de una recta y despejar “y”   Se le conoce como la forma Punto Pendiente, porque el coeficiente de “x”: es conocida como la pendiente de la recta  

11. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Halle el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P = (6,4) y Q = (3,1)   Buscamos la ecuación punto pendiente           La pendiente es 1   )         ¿Será necesario tener la forma punto pendiente para tener la pendiente?

12. OBSERVACIÓN Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos A = (3,4) y B = (5,9) En el ejercicio anterior la pendiente requería conocer la ecuación punto pendiente de la recta   Ecuación Vectorial   “La sola diferencia entre los puntos, independientemente como los reste, al dividirlos me da la pendiente de la recta”

13. 14 Halle la distancia del punto C =(6,9) a la recta que pasa por A=(2,5) y B=(8,11). DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA   )               En el triángulo:    

14. Halle la distancia del punto C =(6,9) a la recta que pasa por A=(2,5) y B=(10,11) DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA         Otra forma es con la ecuación general de la recta:     Reemplace el punto C en x e y  

15. EJEMPLO 2: Determine el vector dirección y el punto de paso de la recta:   EJERCICIOS PROPUESTOS

16. Hallar la ecuación General de la recta que pasa por los puntos ; y la recta que pasa por los puntos . Halle las pendientes y grafique las rectas ¿Qué observa en las graficas? ¿Qué puede deducir?   EJERCICIO RETO

17. Dadas las rectas:   RECTA PARALELAS Dada la recta que pasa por A = (1,4) y B = (6,3); otra recta                           ؞

18. Dadas las rectas:   RECTA ORTOGONALES Dada la recta que pasa por A = (3;7) y B = (-2;-3); otra recta                   ¿ ?       ؞

19. OBSERVACIÓN Si observa las pendientes de las rectas ; . Son iguales                             Si observa las pendientes de las rectas ; . Su producto:  

20. LA RECTA POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que: RECTAS COINCIDENTES Si y sólo si:   entonces, las rectas son coincidentes, “todos sus puntos son comunes.” RECTAS PARALELAS si: , las rectas son paralelas “ No se cortan en ningún punto” RECTAS SECANTES Si : las rectas son secantes “ se cortan en un punto”  

21. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Si las rectas son Paralelas Por las pendientes iguales sabemos que son Paralelas pero; ¿cómo saber si coinciden? Coinciden             Halle las ecuaciones generales ¿Qué observa?

22. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Si las rectas son Paralelas No Coinciden             Por las pendientes iguales sabemos que son Paralelas pero; ¿cómo saber si no coinciden? Halle las ecuaciones generales ¿Qué observa?

23. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Si las rectas son Paralelas y no coinciden; debe hallar la distancia entre ellas         En una recta elige el punto de paso o punto inicial, luego halla la distancia del punto a la otra recta paralela Esto ya se resolvió    

24. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Si las rectas no son Paralelas, solo hay una posibilidad Se intersectan             Por las pendientes sabemos que no son Paralelas; luego debe hallarse el punto de intersección 1.- Debe hallar las ecuaciones generales de ambas rectas     Un sistema de ecuaciones lineales, si se resuelve, se halla el punto Q de la intersección de las rectas.  

25.     Resolviendo el sistema de ecuaciones para hallar el punto Q     (x2) (-)   R   Q=(1;1)  

26. ÀNGULO ENTRE RECTAS         Cada recta tiene su ángulo de inclinación, recuerde que la tangente de este ángulo es la Pendiente       ( )   Por Trigonometría básica:         El ángulo entre rectas depende de sus Pendientes No es necesario graficar, siempre es la Pendiente mayor menos la Pendiente menor  

27. EJERCICIO EXPLICATIVO 1.Dadas las rectas:   a.- ¿Cuáles son Paralelas? b.- ¿Cuáles son Ortogonales? c.- Si hay Paralelas, ¿Coinciden o no? d.- Si no hay Paralelas, Halle el punto de intersección y el ángulo entre rectas.

28. 2. Determine la medida del ángulo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 2 + t ∧ y = 5 − t x = 2 – 2t ∧ y = 1 – 2t   EJERCICIO EXPLICATIVO