Reglas Para Cuantificadores

sobre la logica de predicados

1. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y
REGLAS PARA CUANTIFICADORES

2. •NOCIONES
•PREVIAS

3. NOCIONES PREVIAS
•PROPOSICIÓN SINGULAR
•Aquella que tiene sujeto y predicado, pero carece de
cuantificadores. Resultar ser un caso específico. Ej:
•Juan es ingeniero
•Alberto está casado con María
•PROPOSICIÓN PARTICULAR (Proposiciones categóricas I y O)
•Aquella cuantificada existencialmente. Muestra generalización
parcial. Ej:
•Algunas mujeres son reinas de belleza
•Ciertas personas son honradas
•PROPOSICIÓN UNIVESAL (Proposiciones categóricas A y E)
•Aquella cuantificada universalmente. Muestra generalización total.
Ej:
•Todos los genios son matemáticos
•El 100% de los obreros son humildes

4. PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
•Son aquellas proposiciones que establecen una relación de
inclusión o exclusión (total o parcial) entre dos conjuntos de
individuos: un sujeto y un predicado. A estos conjunto de individuos
se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de
proposiciones que se construye con base en ellas se les llama
proposiciones categóricas.
•Ejemplos sencillos de proposiciones categóricas:
•-Todas las aves son animales
•-Todo león no es un pez
•-Algún perro es consentido
•-Alguna ave no es gallina
•-Todos los pensionistas son pobres
•-Ningún felino es lento
•-Algún oso es viejo
•-Algún libro no es comprado

5. CLASIFICACIÓN DE
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
•La cualidad o calidad de una proposición categórica indica si
afirmamos algo del sujeto, o si negamos algo del mismo. Lo que
afirmamos o negamos del sujeto es el predicado; por eso,
cuando la cualidad es afirmativa decimos que el sujeto está
incluido en el predicado, y cuando es negativa decimos que no
lo está, que más bien está excluido. Las expresiones “son” y “no
son” cumplen la función de unir o separar los términos de la
proposición y por eso se les conoce con el nombre de cópula.
•Según el verbo copulativo:
•Afirmativas: Cuando se afirma que el sujeto está incluido en el
predicado. Ejemplo: Todos los misioneros son humildes
•Negativas: Cuando se niega que un sujeto esté incluido en un
predicado. Ejemplo: Ningún gato es manso

6. CLASIFICACIÓN DE PROP.
CATEGÓRICAS
•Una vez que el verbo nos dice si hay un caso de exclusión o inclusión, nos
preguntamos si se trata de una exclusión-inclusión total o parcial. La cantidad
de una proposición categórica indica de cuántos individuos estamos hablando.
Sin embargo, en la lógica aristotélica no se trata de decir en números de
cuantos individuos hablamos, sino de decir solamente si hablamos de todos
los individuos de un conjunto o de algunos de ellos. Las expresiones “Todos”,
“Ningún” o “Algunos” cumplen la función de determinar la cantidad de la
proposición y se les conoce con el nombre de cuantificadores. Estos indican si
el término sujeto se toma en toda su extensión o solo en parte. En lógica de
predicados las representaremos como una A y una E invertidas, así: " (total
inclusión o exclusión) y $ (parcial inclusión o exclusión).
•Según su cantidad del término sujeto:
•Universales: Cuando se detecta la presencia del cuantificador universal y se
determina una relación de inclusión total. Ejemplo: Todas las plantas son seres
vivos
•Particulares: Cuando se detecta la presencia del cuantificador existencial y se
determina una relación de inclusión parcial. Ejemplo: Algunas vacas son
sagradas

7. CLASIFICACIÓN TOTAL
•La cantidad y la cualidad de una proposición categórica son las que permiten definir
completamente su estructura. Esto es algo muy útil, pues como solo hay dos tipos de cantidades,
universal o particular, y solamente dos tipos de cualidad, afirmativa o negativa, entonces resulta
que únicamente hay cuatro combinaciones posibles de cantidad y cualidad, es decir, solo 4 tipos
posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las siguientes:
•Universales Afirmativas (llamadas tipo A)
•Sea la proposición “Todo pez es acuático”. Esta indica que la clase pez está incluida totalmente en
la clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es P”
•Universales Negativas (llamadas tipo E)
•“Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningún elementos de la clase de los
niños pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de exclusión total y se expresa por
“Ningún S es P”
•Particulares Afirmativas (llamadas tipo I)
•“Algunos alumnos son artistas” es una proposición que señala que hay al menos uno de la clase de
los alumnos que está incluido en la clase de los artistas. Esta es una relación de inclusión parcial y
se expresa mediante “Algunos S son P”
•Particulares Negativas (llamadas tipo O)
•La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas no pertenecen a
la clase de lo rojo. Aquí se establece una relación de exclusión parcial y se denota como “Algunos S
no son P”

8. ANÁLISIS DE
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS
•PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
•“Todo socialista es progresista”
•ESTRUCTURA FORMAL
•“Todo S es P”
•CANTIDAD Y CALIDAD
•Universal y Afirmativa
•LETRA TÍPICA
•A
•FÓRMULA TÍPICA
•SaP
•DIAGRAMA DE VENN
•FÓRMULA BOOLEANA
DIAGRAMA DE VENN

9. ANÁLISIS DE
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS
•PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
•“Ningún serbio es polaco”
•ESTRUCTURA FORMAL
•“Ningún S es P”
•CANTIDAD Y CALIDAD
•Universal y Negativa
•LETRA TÍPICA
•E
•FÓRMULA TÍPICA
•SeP
•DIAGRAMA DE VENN
•FÓRMULA BOOLEANA
DIAGRAMA DE VENN
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10. ANÁLISIS DE
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS
•PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
•“Algún sacerdote es puntual”
•ESTRUCTURA FORMAL
•“Algún S es P”
•CANTIDAD Y CALIDAD
•Particular y Afirmativa
•LETRA TÍPICA
•I
•FÓRMULA TÍPICA
•SiP
•DIAGRAMA DE VENN
•FÓRMULA BOOLEANA
DIAGRAMA DE VENN

11. ANÁLISIS DE
PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS
•PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
•“Algún sólido no es plástico”
•ESTRUCTURA FORMAL
•“Algún S no es P”
•CANTIDAD Y CALIDAD
•Particular y Negativa
•LETRA TÍPICA
•O
•FÓRMULA TÍPICA
•SoP
•DIAGRAMA DE VENN
•FÓRMULA BOOLEANA
DIAGRAMA DE VENN

12. •REGLAS

13. REGLA DE EJEMPLIFICACIÓN UNIVERSAL
(EU)
•Podemos pasar de una proposición universal a una
proposición singular.
•1. "x B (x)
•Significa:
•Todos son buenos
•Cualquier cosa es buena
•Todo el mundo es bueno
•Todo es bueno
•En virtud de este significado, asumimos que si todos
los elementos tienen cierta propiedad entonces cada
uno de ellos tienen cierta propiedad.

14. •Demostrar: “No existe ningún x que sea
mamífero y que no sea vertebrado. Por ello,
ya que el perro es mamífero, el perro es
vertebrado”.
•1. ~ $x ( M(x) Ù ~V(x) ) //\M(p)→ V(p)
•2. "x ~ ( M(x) Ù ~V(x) )de 1 por IC
•3. "x ( ~ M(x) Ú V(x) ) de 2 por DM
•4. "x ( M(x) → V(x) ) de 3 por Def. →
•5. M(p) → V(p) de 4 por EU

15. REGLA DE GENERALIZACIÓN UNIVERSAL
(GU)
•Podemos pasar de una proposición singular a una universal siempre
y cuando dicha proposición particular provenga de una proposición
universal.
•De A(x) podemos derivar "x A(x) siempre y cuando la variable no
sea débil o no este libre. Cuando una fórmula tiene cuantificadores
sobre todas sus variables, se dice que tiene variables ligadas. Pero
si alguna variable no estuviera cuantificada, se dice que está libre,
libre de cuantificadores.
•1. "x M(x)
•2. M(p) de 1 por EU
•3. "z M(z) de 2 por GU
•Este es el famoso cambio de variable. Es lógico aceptar que si todos
son felices, entonces pepe es feliz y si pepe es feliz, entonces todos
son felices. Esto se explica ya que es contradictorio afirmar que si
Juan es santo, entonces todos son santos.

16. REGLA DE EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL
(EE)
•Podemos pasar de una proposición particular a una singular si y solo si
hablemos de un sujeto que cumple con la propiedad mencionada en la
prop. particular
•$x(A(x)ÙJ(x)) .→. A(a) Ù J(a)
•Se lee: “Si algunos ahijados son justos, entonces a es ahijado y juez”.
•a es una variable ambigua, pues aunque no se sabe a quien refiere se
sabe que refiere al objeto indicado. Dos proposiciones particulares que
cuantifican sobre las mismas variables no puede ejemplificarse con la
misma variable ambigua. Ello derivaría en contradicciones.
•1. $x ( J(x)ÙH(x) )
•2. $x ( J(x)Ù~H(x) )
•3. J(a)ÙH(a) de 1 por EE
•4. J(a)Ù~H(a) de 2 por EE
•5. H(a) de 3 por Simplif.
•6. ~H(a) de 4 por Simplif.
•7. H(a)Ù~H(a) de 5 y 6 por Adj.

17. •Esta contradicción se evitaría ejemplificando con
diferente variable ambigua las expresiones 1 y 2.
Apliquemos esto.
•1. $x ( J(x)ÙH(x) )
•2. $x ( J(x)Ù~H(x) )
•3. J(a)ÙH(a) de 1 por EE
•4. J(b)Ù~H(b) de 2 por EE
•5. H(a) de 3 por Simplif.
•6. ~H(b) de 4 por Simplif.
•7. H(a)Ù~H(b) de 5 y 6 por Adj.

18. REGLA DE GENERALIZACIÓN UNIVERSAL
(GU)
•Podemos pasar de una proposición singular a
una proposición particular.
•Esto es coherente puesto que si una
propiedad cumple para un sujeto, cumplirá
para algún sujeto.
•A(t) → $x A(x)
•Donde t es nombre ambiguo, nombre propio,
o variable individual.

19. •Demostrar la siguiente inferencia:
•Dado que ningún injusto es santo y puesto que no todo creyente es justo, de ahí
se sigue que algunos creyentes no son santos.
•1. "x ( ~J(x) → ~S(x) )
•2. ~"x ( C(x) → J(x) ) // \$x ( C(x)Ù~S(x) )
•3. $x ~ ( C(x) → J(x) ) de 2 por IC
•4. $x ~ ( ~C(x) Ú J(x) ) de 3 por Def →
•5. $x (C(x) Ù ~J(x) ) de 4 por DM y DN
•6. C(a) Ù ~ J(a) de 5 EE
•7. ~J(a) → ~S(a) de 1 por EU
•8. ~ J(a) de 6 por Simplif.
•9. ~S(a) de 7 y 8 por MP
•10. C(a) de 6 por Simplif.
•11. C(a) Ù ~S(a) de 7 y 8 por MP
•12. $x ( C(x) Ù ~S(x) ) de 11 por GE