Relações de Girard

Relações de Girard

1. PROF. EVERTON MORAES 1

RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES


Considere a equação do 2º grau 2
0ax bx c .   Sejam ,
x e ,,
x suas raízes. Vamos estabelecer as
relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.
Sabemos que: 2
,b
x
a
  

e 2
,,b
x
a
  


1
a
relação: Soma das raízes.
   2
2 2 2 2 2
, ,,
bb
b b b b b b
S x x
a a a a a a
                     
           
   
   


Portanto:




2
a
relação: Produto das raízes. 
 
2
2
2
22
22
22
2 2 2
2 2 4 4
4 44
4 4 4
, ,,
b
b b b
S x . x .
a a a a
b b .a.c b b .a.c ac c
a a a a
            
      
   
   
 
   


Portanto:




3
a
relação: Diferença das raízes.
   2
2 2 2 2 2
, ,,
bb
b b b b
D x x
a a a a a a
                      
          
   
   

Portanto:




Exemplo 1: calcular a soma o produto e a diferença das raízes da equação 2
7 10 0xx   .
Temos : a = 1, b = -7 e c = 10 77
7
11
, ,, b ( )
S x x
a

      
10
10
1
, ,,c
S x . x
a
   
, ,, b
S x x
a
   
, ,,c
P x .x
a

, ,,
D x x
a

  
22
7 4 1 104
11
49 40 9 3
, ,, ( ) . .b .a.c
D x x
a

     
   

2. PROF. EVERTON MORAES 2



1) Calcule a soma e o produto das raízes das seguintes equações:
a) 2
8 15 0xx   f)2
3 25 0x
b) 2
2 3 1 0xx   g)22
20x ax a  
c) 2
5 21 4 0xx   h)2
3 5 5 0x ( a)x a   
d) 2
7 12 0xx   i)2
10x (a )x a   
e) 2
3 6 0xx

2) Determinar o valor de k na equação 2
22 20 0kx x   para que a soma das raízes seja 11
3
.

3) Determinar o valor de p na equação 2
5 5 0px x (p )    para que o produto das raízes seja 1
6
.

4) Determine o valor de m na equação 2
4 2 3 0x (m )x    para que a soma das raízes seja 3
4
.

5) Calcule o valor de k na equação 2
5 10 3 0(k )x x    para que o produto das raízes seja 3
8
.

6) Calcule o valor de m na equação 2
10 21 5 0(m )x x    para que a soma das raízes seja 7
6
.

7) Determine o valor de p na equação 2
6 11 1 0x x (p )    para que o produto das raízes seja 3
4
.

8) Calcular o valor de k na equação 2
12 0x x k   para que uma das raízes seja o dobro da outra.

9) Calcule o valor de p na equação 2
8 2 0x x p   para que uma das raízes seja o triplo da outra.

10) Determinar m na equação 2
3 7 0x (m )x m     , de modo que uma de suas raízes seja o
triplo da outra.

11) Calcule o valor de k na equação 2
36 0x kx   para que uma das raízes seja o quádruplo da
outra.

12) Determinar p na equação 2
8 2 3 0x x p    , de modo que a diferença de suas raízes seja 4.

13) Determine m, de modo que uma das raízes da equação 2
1 8 3 0(m )x x    seja o inverso da
outra.

14) Calcule o valor de h na equação 2
3 2 1 10 0(h )x (h )x h      , de modo que a soma dos
inversos das raízes seja 1
3
.
Exercícios