Resumo das interseções entre planos e retas

Resumo das interseções entre planos e retas

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Intersecções – Resumo
© antónio de campos, 2010

2. INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

3. GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano
Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto.
x

xz

xy

α
f
α
h
α
I
r

4. INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral
1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente)
que contenha a recta dada;
2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares,
pois estão ambas contidas no plano auxiliar;
3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectante
Para um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço
horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectante
Para um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta
com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção.
Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a
projecção frontal do ponto de intersecção.

5. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM
UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não
projectante) com um plano oblíquo α (não projectante).
x

xz

xy

α
x
f
α
h
α
f
α
h
α
r
2
r
1
r
2
r
1
I
I
2
I
1
f
θ
≡ h
θ
F
2
F
1
H
2
H
1
r

θ
F
H
i
2
≡ i
1
I
2
I
1
f
θ
≡ h
θ
≡ i
1
i

i
2
1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar
vertical θ que contenha a recta r;
2. Determinar a recta de intersecção i entre
os dois planos. Esta recta i e a recta dada r
são complanares, pois estão ambas contidas no
plano auxiliar θ;
3. O ponto de concorrência das duas rectas I
é o ponto de intersecção da recta dada r com
o plano dado α.

6. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM
PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t
(projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal).
x

xz

xy

x
α
f
α
h
α
h
α
f
α
t
(t
2
)

t
1
t
1
(t
2
)

I
I
1
≡ I
2
≡ I
2
I
1
É no cruzamento da
projecção horizontal da recta
com o traço horizontal do
plano, aonde se situa a
projecção horizontal do
ponto de intersecção, dado
ser um plano projectante
horizontal.

7. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM
UM PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com
um plano de topo θ (projectante frontal).
x

xz

xy

x
θ
f
θ
h
θ
r
r
2
r
1
f
θ
h
θ
r
2
r
1
I
2
I
1
I
1
I
2
I
É no cruzamento da projecção
frontal da recta com o traço
frontal do plano, aonde se
situa a projecção frontal do
ponto de intersecção, dado ser
um plano projectante frontal.

8. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM
PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com
um plano de rampa ρ (não projectante).
x

xz

xy

ρ
f
ρ
h
ρ
x
f
ρ
h
ρ
v
2
(v
1
)

v
v
2
(v
1
)
I
≡ I
1
I
2
≡ I
1
É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto
I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I.
H
2
H
1
F
2
F
1
r
2
r
1
I
2
r

r
1
r
2
H
F

9. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

10. GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos
Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa
recta, a recta comum a ambos os planos.
x

xz

xy

α
i
δ

11. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS
ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes
As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação
for projectante.
A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos
traços da recta, localizados no cruzamento dos traços dos dois planos.
ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traços
Uma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra
é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano.
ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantes
A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal.
Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de
intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a
recta fronto-horizontal.
ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comum
O ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.

12. ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x
Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de
intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar
um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados.
O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção.
ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traços
Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se quatro rectas complanares auxiliares, rectas de
intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a
localizar a recta de intersecção.

13. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante
horizontal).
x

xz

xy

x
α
f
α
h
α
h
α
f
α
i
≡ i
2
A recta comum aos dois planos tem a sua
projecção frontal coincidente com o
traço frontal do plano de topo θ
(projectante frontal), e a sua projecção
horizontal coincidente com o traço
horizontal do plano vertical α
(projectante horizontal).
θ
f
θ
h
θ
f
θ
h
θ
≡ i
1
≡ i
2
≡ i
1

14. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM
PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).
x

xz

xy

α
f
α
h
α
i
θ
f
θ
h
θ
x
h
α
f
α
i
2
f
θ
h
θ
≡ i
1
H
2
H
1
F
2
F
1
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
horizontal coincidente com
o traço horizontal do plano
vertical α (projectante
horizontal).
Como a recta i pertence
aos dois planos, os
traços da recta i
situam-se na
intersecção dos traços
dos dois planos. A
partir dos traços da
recta i, é possível obter
a sua projecção frontal.
F
H

15. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO
PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos.
x

xz

xy

α
x
f
α
h
α
f
α
h
α
θ
i
f
θ
h
θ
f
θ
h
θ
H
2
H
1
H
F
F
2
F
1
i
1
i
2
Como a recta i pertence aos
dois planos, os traços da recta i
situam-se na intersecção dos
traços dos dois planos.

16. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM
PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas
rectas paralelas).
x
(f
υ
)
r
2
r
1
s
1
s
2
R
2
R
1
S
2
S
1
i
1
≡ i
2
x

xz

xy

υ
(f
υ
)
r
s
α
i
R
S
Como o plano υ é projectante frontal, a
projecção frontal da recta i é coincidente com
o traço frontal do plano. Através do ponto de
intersecção entre as rectas r e s com o plano υ,
se obtem os pontos R e S, que permitem obter
a projecção horizontal da recta i.

17. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos de rampa, ρ e σ.
x
h
σ
h
ρ
f
ρ
f
σ
x

xz

xy

ρ
f
ρ
h
ρ
i
f
σ
h
σ
σ
f
α
h
α
α
f
α
h
α
A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal,
sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da
recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano
projectante auxiliar.
F
1
F
2
H
2
H
1
F
H
a
2
≡ a
1
a
H’
2
H’
1
≡ F’
1
F’
2
≡ b
1
b
2
F’
H’
b
I
I
2
I
1
i
2
i
1

18. INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM
PONTO COMUM SOBRE O EIXO X
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo
x, o ponto A.
x

xz

xy

α
x
f
α
h
α
f
α
h
α
f
δ
f
δ
h
δ
h
δ
A
1

≡
A
2
A
i
Sendo o traço frontal e horizontal o
mesmo ponto, o ponto A, é necessário
obter um outro ponto comum aos dois
planos para definir a recta i. Um plano
horizontal auxiliar ν permite obter as
rectas de intersecção do plano ν com
os planos α e δ.
(f
ν
)
(f
ν
)
F
2
F
1
F
F’
I
a
b
F’
2
F’
1
≡ a
2

≡
b
2
a
1
b
1
I
2
I
1
i
2
i
1

19. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO
PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ
está definido pelo eixo x e o ponto P.
x

≡ f
ρ
≡ h
ρ
f
α
h
α
P
2
P
1
x

xz

xy

ρ
≡ f
ρ
≡ h
ρ
P
α
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
horizontal coincidente com
o traço horizontal do plano
vertical α (projectante
horizontal).
A
1
≡ A
2
≡ i
1
Através de uma recta
auxiliar fronto-
horizontal r, que
pertence ao plano ρ,
obtem-se o ponto de
intersecção com a recta
i, o ponto I. Como o
ponto A pertence aos
dois planos, a recta de
intersecção está
definida pelos pontos A
e I.
A
r
I
r
1
r
2
I
2
I
1
i
2
i
f
α
h
α

20. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO
PROJECTANTE COM PONTO COMUM
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ
está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α.
x

xz

xy

ρ
≡ f
ρ
≡ h
ρ
P
α
A
x

≡f
ρ
≡ h
ρ
f
α
h
α
Nesta situação, a
determinação da recta
comum aos dois planos, a
recta de intersecção, é
imediata, pois o ponto P é
um ponto comum aos dois
planos.
A
1
≡ A
2
≡ i
1
P
2
P
1
i
2
i
f
α
h
α

21. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO
NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está
definido pelo eixo x e o ponto P.
x
P
2
P
1

≡f
ρ
≡ h
ρ
A
1
≡ A
2
É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto
P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-
horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma
recta frontal.
x

xz

xy

ρ
≡ f
ρ
≡ h
ρ
P
A
a
H
α
f
α
h
α
f
α
h
α
i
(h
φ
)
φ
b

≡ a
1
a
2
H
2
H
1

≡ b
1
b
2
I
A intersecção das rectas a e b vão definir
o ponto I, que juntamente com o outro
ponto comum aos dois planos ρ e α,
permitem a definição da recta de
intersecção i.
I
2
I
1
i
1
i
2

22. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO
DE RAMPA
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o
ponto P.
x

xz

xy

ρ
x
f
σ
h
σ
f
σ
h
σ
σ
≡ f
ρ
≡ h
ρ
P
P
2
P
1
≡ f
ρ
≡ h
ρ
f
α
h
α
i
F
H
α
b
aI
É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto
P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A
recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta
fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o
ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i.
f
α
h
α
F
2
F
1
H
2
H
1

≡ a
1
a
2

≡ b
1
b
2
I
2
I
1
i
1
i
2

23. INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS
PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção
entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O
plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto
P.
x
b
2
a
2
b
1
a
1
P
2
P
1
É necessário utilizar um plano
auxiliar horizontal ν e determinar
as rectas de intersecção entre os
planos.
A intersecção das rectas m e n
vão definir o ponto I. A recta m é
a recta de intersecção entre o
plano ν e o plano α. A recta n é a
recta de intersecção entre o plano
ν e o plano δ.
Para a definição da recta de
intersecção i, será necessário um
outro ponto I’, obtido utilizando
outro plano auxiliar horizontal ν
1
e
outras rectas de intersecção de
planos. A recta m’ é a recta de
intersecção entre o plano ν
1
e o
plano α. A recta n’ é a recta de
intersecção entre o plano ν
1
e o
plano δ.
(f
ν
)
A
2
A
1
B
2
B
1
s
2
r
2
s
1
r
1
R
2
R
1
S
2
S
1

≡ m
2
m
1

≡ n
2
n
1
I
2
I
1
(f
ν1
)
A’
2
A’
1
R’
2
R’
1

≡ m’
2
m’
1

≡ n’
2
n’
1
I’
2
I’
1
i
1
i
2

24. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

25. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR
ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas
Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção.
ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus
traços
Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano
no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção.

ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços
A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente.
A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β
1,3
ou o
β
2,4
.

26. INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas
rectas) COM O β
1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano θ com o β
1,3. O plano θ é definido por duas rectas
paralelas.
x
r
2
s
2
s
1
r
1
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β
1,3
, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β
1,3
.
Os traços das duas rectas
situados no β
1,3
, Q e Q’, são
dois pontos que pertencem aos
dois planos.
Q
2
Q
1
Q’
2
Q’
1
i
1
i
2

27. INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas
rectas) COM O β
2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano θ com o β
2,4. O plano θ é definido por duas rectas
paralelas.
x
r
2
s
2
s
1
r
1
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β
2,4
, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β
2,4
.
Os traços das duas rectas
situados no β
1,3, I e I’, são dois
pontos que pertencem aos dois
planos.
I
1
≡

I
2
I’
1
≡

I’
2
i
1
≡

i
2

28. INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido
pelos seus traços) COM O β
1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano oblíquo α com o β
1,3. O plano α é definido pelos seus
traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
x
f
α
h
α
A
1
≡ A
2
Para definir a recta de
intersecção do plano α com o
β
1,3, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano α e
ao β
1,3
.
Como o β
1,3 é um plano
passante, todos os pontos do
eixo x pertencem ao bissector.
O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à
recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano α, é possível
obter o traço da recta no β
1,3
,
o ponto Q, que será o outro
ponto da recta de intersecção.
h
2 F
2
F
1
h
1
Q
2
Q
1
i
1
i
2

29. INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido
pelos seus traços) COM O β
2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano oblíquo α com o β
2,4. O plano α é definido pelos seus
traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
x
f
α
h
α
A
1
≡ A
2
Para definir a recta de
intersecção do plano α com o
β
2,4, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano α e
ao β
2,4
.
Como o β
2,4 é um plano
passante, todos os pontos do
eixo x pertencem ao bissector.
O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à
recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano α, é possível
obter o traço da recta no β
2,4
,
o ponto I, que será o outro
ponto da recta de intersecção.
r
1
H
2
H
1
F
2
F
1
r
2
I
1
≡

I
2
i
1
≡

i
2

30. INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido
pelos seus traços) COM O β
1,3

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de rampa ρ com o β
1,3.
x
h
ρ
f
ρ
A recta de intersecção é uma
recta fronto-horizontal, pois é
ó único tipo de recta que é
comum a um plano de rampa e
um plano bissector.
Para definir a recta de
intersecção do plano ρ com o
β
1,3
, é necessário determinar
um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e
ao β
1,3
.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano ρ, é possível
obter o traço da recta no β
1,3
,
o ponto Q, que será um ponto
da recta de intersecção.
r
1
H
2
H
1
F
2
F
1
r
2
Q
2
Q
1
i
1
i
2

31. INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido
pelos seus traços) COM O β
2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de rampa ρ com o β
2,4.
x
h
ρ
f
ρ
A recta de intersecção é uma
recta fronto-horizontal, pois é
ó único tipo de recta que é
comum a um plano de rampa e
um plano bissector.
Para definir a recta de
intersecção do plano ρ com o
β
2,4
, é necessário determinar
um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e
ao β
2,4
.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano ρ, é possível
obter o traço da recta no β
2,4
,
o ponto I, que será um ponto
da recta de intersecção.
r
1
H
2
H
1
F
2
F
1
I
1
≡

I
2
i
1
≡

i
2
r
2

32. INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE
(definido pelos seus traços) COM O β
1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de topo δ com o β
1,3.
x
f
δ
h
δ
A recta de intersecção é uma
recta com a sua projecção
frontal sobre o traço frontal
do plano, pois o plano δ é um
plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer
recta que pertence ao β
1,3, tem
as suas projecções simétricas
em relação ao eixo x, a
projecção horizontal da recta
de intersecção do plano ρ com
o β
1,3 será simétrica com a sua
projecção frontal em relação
ao eixo x.
≡ i
2
i
1

33. INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE
(definido pelos seus traços) COM O β
2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de topo δ com o β
2,4.
x
h
δ
f
δ
A recta de intersecção é uma
recta com a sua projecção
frontal sobre o traço frontal
do plano, pois o plano δ é um
plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer
recta que pertence ao β
2,4, tem
as suas projecções
coincidentes, a projecção
horizontal da recta de
intersecção do plano ρ com o
β
1,3 será coincidente com a sua
projecção frontal.
≡ i
1
≡ i
2

34. INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

35. INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS
ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade
Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.
O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos
três planos dados.
ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidade
Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.
As rectas obtidas são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da
intersecção dos três planos dados.

36. INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidade
O estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja
um ponto próprio ou uma recta própria.
Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três
planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano horizontal ν.
x
(f
ν
)
f
ρ
h
ρ
f
α
h
α
Primeiro é obtido a recta de
intersecção entre o plano α e o
plano ν, a recta i.
A seguir é obtido a recta de
intersecção entre o plano α e o
plano ρ, a recta i’.
O ponto I será o ponto de
intersecção entra as rectas i e
i’, e será também a figura
geométrica resultante da
intersecção dos três planos
dados.
≡

i
2
F
2
F
1
i
1
F’
2
F’
1
H’
2
H’
1
i’
1
i’
2
I
2
I
1

37. INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidade
Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três
planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano vertical δ.
x
h
ρ
f
ρ
h
α
f
αf
δ
h
δ
Primeiro é obtido a recta de
intersecção entre o plano α e o
plano ρ, a recta i.
A seguir é obtido a recta de
intersecção entre o plano α e o
plano δ, a recta i’.
As rectas i e i’ são de facto
uma única recta, que será
também a figura geométrica
resultante da intersecção dos
três planos dados.
H
2
H
1
F
2
F
1
≡

i
1
i
2
≡

H’
1
≡

H’
2
≡

F’
1
≡

F’
2
≡

i’
1
≡

i’
2