santillana-los-caminos-del-saber-matematicas-11_compress.pdf

hola fisicos

1. Matemáticas 11

I. ¡Caminos del Saber

E ANTILLANA

2. Æsanruana

3. PRESENTACION DEL MODELO

| (os Caminos del Saber

Es un programa de educación que te ofrece múltiples recursos, impresos
y digitales, para que adquieras conocimientos y desarrolles habilidades
que te permitan enfrentar los retos del futuro.

¿Qué te ofrece el programa para el área de Matemáticas?

Unsitiowed
‘wav santilanaplus.com cocon mas
sos Interactivos y multimedia

so

Sara
decontenidos

Bara.
7] deneramients

Botón de aya

4. Qu nun = aunun A mens m cue sn |

¿Cómo está organizado tu libro?

Cronología

To plandetraajo.

Yestoquevas

IM Desarrollo de temáticas]
* - = =e
|

Ejemplos

5. ¿== E
== 1

Ejercicios para repasar Problemas para repasar

Trabajacon Hiperpágina

6. [ CONTEN |S EEE

Pensamientos numérico y variacion!

Proposiciones. Determinación de unconjunto 18 Vaor absluto
Proposición simple O Relación de pertenencia 19 Ejercicios para repasar
Proposiciones compuestas Fescones entre conjuntos 20 *Problemas pararepasar 36
Proposiciones con COperscones ente conjuntos 22 * Yesto que aprendi,

cadres 15. +Nümeros reales 7 ¿para qué me sive? ES
Conjuntos 7 DesgualdadesenR 25. -Trabajacon AnallogicA 2
Funciones 42 Funconbyectia 5) Operaciones entre
oncepto de relación 42 Simenta defunciones 5 funciones n
Concept “ vesy decrecientes _Composkißndefundones 73
Notación de función “ Ejercicios pararepasar 75
Dominio yang lasifcación de funciones 5?“ Problemas para repasar 2
de una función 46. Funciones oinómicas 27 Vestoque aprendi,
Propiedades. Funciones tacionales 50 apara qué me seve? 2
funciones 50 Funciones gas 6) Trabaja con Winplot “
necia. 50 Funcionestrascendentes 65
Función sobreyectiva Si Fancones species &
Limite de una función vigonométias 102 enunintenalo 17
Idea intuit de Imte Unies iin 05 Discontinuidades 119
Defriciónformaldelímte 90 Limtesenelinnto Ce Ejercicios para repasar 122
Limes eos 93 _LUimtes exponencales © <Problemas para repasar 12%
Cálculo de limites aplicando hat deunsfoneén 112 "Yesto que aprendi,
propiedades 5 Funclones continuas. 5 para qué me sine? 26
Lies de funciones Continuidad de una función Trabaja con WIRIS 27
indeterminadas 100. enunpumo 16
Limites de funciones Continuidad de un función
Noción de derivada Derivada de una funció Funciones no continuas
Tasa de varacen meda 31 enunimenalo 142. yroderables 149
Tasadeveracion nstatines 132 Dentablidady contnuidad — 146. >Ejercilospararepasar 152
Derivada de una función 135 Deihabilcad mpica Problemas para repasar 154
Derhada de una función comida 145 o Yesto que aprendl,
enn punto 136. Continuidad noimpica ¿para qué me sirve? 156
ca tangente 139 defablldad 47 TrabajaconGeoGebra 1
Recta normal 10

7. Reglas de derivación 182
Detivada de afunción

Derivada de a función

idéntica 182
Derhada de una pote 18
Der del maple

Derivada de a suma

defuniones 16

Análisisgráfico 204
Valores máximo y minimo.

de una función

Crecimiento dec
Puntos tios y pcos
Anal con a primera errada
‘nals con la segunda
dead 216

Antideriv
indefinida

as e integral

Derivadas defunciones
compuestas
Derivadas defunciones
trascendentes

Representación gráfica
defunciones
Diferenciales

Razón de cambio
Optimización.

Movimiento rectilineo
Funciones económicas

Pensamientos numérico y varaional

Derivación implícita
Derivadas de orden
superior

Ejercicios para repasar
Problemas para repasar
Yesto que aprendí,

Pensamientos variaional, espacial y métrico

agi de Hopital

Ejercicios para repasar
Problemas para repasar
Vesto que aprendí,
para qué me sirve?

Cálculo de áreas

246

Antiderivada deñida 266
Integral defi Relación entre integración
Soluciones particulares 257 y derivación 269
Métodos de integración 253 200
porpartes 262
265 269
Pensamientoalstoro

Probabilidad condicional Funciones de distribución
Variables aleatorias de probabilidad para
Funciones de distribución variables aleatorias

de probabilidad par continuas

variables aleatorias Función de distribución
diseretas 23 Jada de una variable

Valor esperado y varianza
de una variable aleatoria
Si

n binomial

Gare m

Big

baba normal
Ejercicios para repasar
Problemas para repasar
Y esto que aprendí,
¿para qué me sirve?
Trabaja con Excel

de probabilité

25
ze

330
332

8. Estándares: pensamientos numérico.
y variacional

alar el valor de verdad de una proposición
mboza una propos cuantifcadores
‘operaciones entre conjuntos

encuentra en u (TTL)

Evaluaciones:

1. Determina cudls de ls siguientes enunciados.
son verdaderos y cuáles son falsos.

a. Todo número entero negativo es menor que
b. Lasuma de dos números naturales puede ser
un número racional,
€: El producto de dos números es iguala ceros
alguno delos números es cero.
2. Escribe tes elementos que pertenezcan a cada
conjunto.
a. Conjunto delos números naturales

b. Conjunto delos nimers racionales que no son

©. Conjunto de los números racionales

9. Y Y esto que vas a aprender,
¿para quéte sirve?
Para tomar decisiones

relacionadas con los productos
bancarios.

Las desigualdades se aplican en diferentes äm-
its en fa toma de decisiones Asi por ejemplo, las
Inecuaciones se pueden ulizr para comparar los
¡costos de dertos productos bancarios offecidos por
diferentes entidades financieras.

# Lee más acerca de este tema en a página 38.

© Cronología de lógica y conjuntos

10. Historia de
las matemáticas

Elfundador
delstégies

Recuerda que...

1. Proposiciones

ia proposición sun enunciado del cual e puede armar sis verdadero o alo, pero

esa ran as preguntas, as

11 Proposición simple

proposición simple a

1. Determinar cules de ls siguientes expresiones son proposiciones
a. Tokio esla capital de Japó.

ción porque se puede afirmar ss verdade

Esa presión es u

Tokio sl capital de Japón

bo ¿Cuál esla rai cuadrada de 5762

Esa presión noes una proposición porque es una pregunta y por tanto no se puede

afirmar ses verdadera o fala
€: Ciere la puerta

Esa expresión no cs una proposición porque es una orden y pr sto no xe puede afrmar

du 320 + 54> 368,

Esa exp «ques puede afirmar stes verdadero o flo que a

2. Simboliar cada proposición. Luego, determinar su valor de verdad,
a. 25 es diviorde 173,
25 es divisor de 173, El vlor de verdad de

La proposición se puede simbolizar como

pre falso porque la división de 173 entre 25 noes exc

b. El período dela función 0) = cos es.

La proposición se puede sim

izar q: e periodo dela fund

de verdad de qe flo porque el período def) = cos es
+: Una delas soluciones dela euscién st = 7x + 12 = Oesx= 4.

La proposición se puede simbolizar como 7: una de las solucione de la ecuación
PDA 0 esx = 4. Para dererminar el valor de verdad de r se rec la

Por ano, valor de verd erdadro

11. Estándares

12 Proposiciones compuestas 4

proposición compuesta s
lógicos.

or ejemplo, la proposición “Un wiánglo cqilte

En ete cso ls propos

conectvosióicos [ED «

con que e willen par formar p

pos

ciones sia de una manera diferente y define

una operación

Operación
lógica

6 Disyunciôn pa pog
si Implicaión | = P>a Sipemonces 4

ps quien ag
== =] Nop

nina monádico pu pesca, Ea

se aplica ados proposiciones

1. Escrbirla negación de pel planeta más grande del sistema solares Jópitr Luo,
determinar su valor de verdad.

La negación de pes

El valor de verdad de pes also porque Júpiter si sl planeta más grande del siem

2. Simboliza la proposición “Un polígono es regulars sus lados tienen igual me

dida

| La proposición se puede rescibir como “Sos lados de un polígono tienen igual

py q relacionadas mediante el co fetonces. Por tato, la proposición se

simboliza — 4

Recuerda que...

12. Augustus De Morgen

conjunción < ED in

conjunción

simple py 9

4
y
F

E

Disyuncién

disyuncién

1. Simbolizar a siguiente proposición.

Los precios som altos ye dinero no sempre alcanza,

2. Determinar el valor de verdad de ls proposiciones compuestas conformadas por

las siguientes proposiciones simples
po La caución +»? = a? representa una circunferencia

4 radio dela circunferencia es.

apg
bpvoa

El adio del circunferencia no 6

13. Implicación

implicación

Equivalencia

cs una tautologia à

EJEMPLO

Hala ts

bes val

14. | © -

Afanzo COMPETENCIAS MAME

Marea con un / ls expresiones que son propos

1. Medellin la capita de Ancioquia
2. {Que viva Colombia!

(Determina el valor de verdad de cada proposición.
Justice respuesta.

5. Una conjunción es verdadera sal menos una de

as proposiciones simples que la conforma
6. Una proposición compuestas

falas

css as siguientes proposiciones sens oper
ib lógica quee aplico Lego sibel.

11. Un número pue ral racional

12.Un
k

val medida.

(Conse la abad verdad pra cda propor

contingencia.

13.p AD
eV

15. Era
16.109) ~p
17. Va) rAd
18.199)

VD (p A «+

ron Qu one mre Qian rs

Observa la siguiente proposición compuesta en
forma simbólica. Luego, aplcala para escribir cada

implica una disyunci,
o- 9

Escribe, en cada caso, los posible valores de verdad
de y r para que se cumpla a condición dada

a. Sverdaden
25.4 A D V res fis

26. > ges verdadera
27. (p>) \V resi

sit proposé (y V 1 FV == “pi ei,
pe

28, p ges verdade

29.5 =p sala
30. =p es fils
Hare

Como pared unjicio que
se un spechme de
oboe sc era qe"
Stade Sure a dear
Gele hechos mms ea
trponsabl dict oc ómplce el robo

32. denia

ina abla de vedad para determinar

15. Estándares

-0

13 Proposiciones con cuantificadores

ar ferrer

Funciones proposicionales

in función proposicionales una et

Las funciones prop
ción delas variables corespondients or ejemplo, la
que 5 se puede representar como Pl)

Ae cualquier conjunto m

Cuamtifiadores

n cuantifcador es ur

Los principales cuantficadores son el cuantificador universal "parat

liza V y el evan

Negación cuanicador existencial {3x À: A)

SAM)

bola 3 Recuerda que...
area EE)
y

1. Convertir la función proposicional Pts) en una
proposición anteponiendo un cuamifiador. Luego,
determinar su valor de verda

Pa + 2 < 20

1 Po
Para esto, se puede anteponer el

a proposición

<uamificado "para todo” as:
VxEZ,x+2520

Luego, se determina el valor de verdad dela proposición.

En ex caso, la pr

ción es fala. porque parax = 5
se tiene que

Función proposcional Ps): 2 + 2 20, se forma wna

proposición que es fla, porque no todos los números

x que pertenecen alos enteros cump

eros reales

2. Simbolizar la proposición “Todos ls
son racionales”. Luego, escribir su negación

Primero, se identifica la función proposcional y el

que se utiliza el euantificador “para tod

VER: A

Luego se plantes la negación aplicando el cuantifcador

Vx ER: M0) ERIM)

nue, se escribe la negación en lenguaje natural

site un número x que pertenece a los números reales

16. ©

Afanzo COMPETENCIAS MA

O Escribe las si

tes proposiciones en lenguaje
do en cuenta que "representa el
Conjunto de los números naturales y Z el conjunto.
¿e os números enteros.

36.vx€

3. vxe
39.3

(Simboliza as siguientes proposiciones con cuan:
cadre.

42. Essen números, y tales que x

43. Todo número divisible entre 2 6 par.

Niega cada proposición. Luego, determina el valor
de verdad dela negación

44. Vx
45.3x€

46NxEZ: Ve T =0

3 AE Zo = Y

DDerermina e valor de verdad de cada proposición
teniendo en cuenta las siguientes funciones propo-
Sicionales,Jutfica respuesta.

QG x cs múltiplo de.

Sid: es menor o iguala 6
48. 0020

49.10 À QUE

50, 5127) A-Q8)] = Rt)
51.511) + (IRD VQ) ARS
52.10) MIRO) AQ] =S(=4)

as:

delas siguientes proposiciones

11,2, 3,4. 5), determina el valor de verdad

Escribe una proposición con cuantificado para cada
fotografia. Luego. s

56.

las funciones

Utica cuamiicadores para conver
úproposicionales en proposiciones teniendo

que d= RE N/ 2 = x= 9}. Luego, determina el
Valor de verdad de cada proposición

58. er 60. Six) < 25
59. Qu x>8 61.709: Ve €

(simboliza la negación de las sign

ates proposi

(62. Exist algunos números racionales que son me
(3. Todos los números naturales son dies entre
imero que clado al cuadrado es

| 64. Bus

(ses Vel conjunto de estudiantes de una universidad:
y dadas ls funciones proposcionales Pts): fue ala
| conferencia y QU x fu a clase

66. ¿Cómo se simboliza la proposición “Algunos es

Qe udn sii signes
proposiciones acres dela alimen
ond lor animale.

+ Todos los animals son her

+ Algunos animale son ca

+ Existen animales que son omnivores,
67. Sim u

antcadors

5B.V xe AS < 32
Si BxE As

S5.VxE 42

= 15

68. Simboliza La sg

| Función proposicional AG es cuad

me proposición wilizunde la

pedo.

animales cuadripedos no son herbivores

17. Estándares

2. Conjuntos

in conjunto es una agrupac a x
n omina elemento Los ie

tos son aquellos que tienen un número de

2 Infinitos son aquellos que tienen un número indererminado de deme
tario son aquellos que tienen um slo element.

= Vacio es aquel que no iene elements.
iversal es aque cuyo objeto de studio son sus subconjuntos

generalmenne se nombra con la ler U Además el conjunto vacíos

Hay dos formas de representar un conjuntos escribiendo sus elementos entre Naves e

paradas por comas de diagramas de Venn, de tal form

E ———

1. Representa el conjunto P cuyos
iguales a —3 y menores o iguales a3.

Las posibles representaciones del conjunto P son

Ei Enden den

3a

2,-1,0,1,2,3)

sten varios posbls conjuntos universales U. En este caso, el conjunto universal
puede ser el conjunto de números enteros Z oe conjunto de os número racionales Q,

2. Clasificar los siguente conjuntos en finito, inf

a. El conjunto de los números rales
El conjunto R s infinito, porque tiens un número indeterminado de elementos

A4 1.0

El conjunto A es finito, porque iene un número determinado de elementos, s dei.

«El conjunto M formado por los números primos pares

El conjunto Mes unitario, porque 2 es el único número primo

Georg Cantor
ES

18. 2.1 Determinación de un conjunto SD

comprensión

1. Determinar por extensión los siguentes conjumos.

a A=KEZ/0<x< 8]
njunto À ese co ®
bS=RERIx>B/Ax< GI

2. Determinar por comprensión los siguientes conjumos

a B=11,2,4,8,16,

3. Observar los siguientes conjuntos Luego resolver
2. Determinar por extensión el conjunto Q.

b. Determinar por comprensión el conjunto
»

19. 2.2 Relación de pertenencia

EJEMPLOS

Recuerda que

20. 2.3 Relaciones entre conjuntos

de igualdad
Richard Dedekind Relación de inclusión
Bey. F
Cuando un conjunto A no subconjunto de un conjunto & be AS B
Algunas propiedades dela eacón de inclusión son
El conjunto vacio, Ze subconjunto de todos los conjuntos, es dei, 2 C
Relación de igualdad
prnl "wre wre
Algunaspropidades de a relación de
2 Todo conjumo A es igual ai mismo, e decir, A
SiA = Brentonces, B= A
SiA,B, Cson conjunts tales que À = By B = €, emonces, À
Determinar ls posibles relaciones entre los siguientes | Por tanto, cl conjunto Bse determina por extend
A 6<x<4 come o lementos de B, cs decir
B= be + Be + 15 =0} 3 y —5, perenecen al conjunto A, entonces, B es
one aaa sabconjunte de dy se ecb

eo de

njunto de Cy se serbe

acc
ralmente, se tiene que todos los elementos de C son
nos o igus a 4, de donde se

21. ‘Afianzo COMPETENCIAS ie

0 Observa siguiente diagrama de Ven. Luego, com
peta cada espacio con lo símbolos @.

oy 5 7

nQc

D 72.D—A

TR R=KENI4<x
AT = 2e-3=0)
75.J= WEN I = 169)

76.L= REZ = 5x-6=0)
= 1 y
7H

@eremina por comprensión or siguientes com

DEZE ze)
an)

(D Determina cuáls delas siguientes proposiciones son
verdaderas y cuáles son falas, Jus tu repuesta.

ss #.0c

86.2 c (0 #.0€2

Estándares!

@Propongo + Arche - @Razon0

@Derermina por comprensión d conjnte delos de
menos qu pertenten la región smbrcada elos
Spies digas de Ven

so, »
ë v
on. 2

à

Lee y ruche

EI conjunto de parte es el conjunto formado por

Por ejemplo, el conjunto de partes de H = (0, 1 es
PE = (0,10. 1 10,1
93. Escribe el conjunto de parte del conju
94. Determina cui
de partes de un conjunto que dene elementos.
(DSi = ©, 11,2}, 1), 1, (2) escribe Vs es verda
ero oF, ss aso Justia tu respuesta

95.204 98. (1.2
96. 21 € 4 99. 164
7.DGA 100.1] € 4

indicas cada pareja de conjunto son iguales o no
son iguales.

101./= WEN /x>2
L
102. R= (xe <0)

103.M= (EN/0<x<11

22. 2.4 Operaciones entre conjuntos

y rare CD :

se denominan disyumtos

En a igual región rayada representa la intern

1. Determinar I intescción entre los siguientes conjuntos.

A=elx=20-3 ME Ny B= (0-1

onjunto À para comparar fcilmente los

Finalmente, tene que AN B= [=3
2. Simboliza la intersección que e representa en el siguiente disgrama de Venn

23. |

Unión
En la figura se mues tación, en
lagramas de Venn, dela unión delos conjuros A
y À La unión entre conjuntos cumple la siguientes
BAUS=A AUA= A
#AUB= BUA 8 AUU=U
AUBUO =MUMUC
También eisen otras propiedades que relacionan
ANBUO=ANBLANO
AUBNO =MUBNAULC

Estándares

1. Un supermercado free una promoción a aus dien
ves de dos productos champs yjabón. El número de
personas que aprovecharon a oferta se muestra en el
Siguiente diagrama de Venn,

5 €

¿Cuántas personas compraron al menos uno delos

dos productos?

praron al menos uno de los pro

nero, se iene que, para saber cuss personas com-

05, debe deer:

nina acanidad de clement del conjunto JU C
Luego, el conjunto / tiene 9 + 6 = 15 ye conjunto C
tiene 6 + 11 = 17

ho 6 personas que com.

praron champú y Jabón, entonces, la cantidad de cle

menordeJU Cer 15 + 17=6=26

Es importante tener en cuenta que en exe caso no e

representan en el diagrama de Venn los lementos de

Véliz los símbolos de un
dad entre con

inversección e igual
pars simbolizar cada represen
vación en diagramas de Venn

En el diagrama de Venn se representa el conjunto A. Por
tanto, al utilizar los símbolos de unión intescción €

A= ANUUB

bu ;

En e diagrama de Venn se representa la unión de À 9B
AN G Por amo, e ie que

ANBUO

24. commen ED

diferencia

Recuerda que...

La diferencia ent B cumple las siguientes propiedad.
subconjunto prio ple Las sig y
< 84-9 = Aydeigual forma À - A
BA-B=DsiyslosACB.
248 na
Ex importante tener en cuenta que La diferencia entre conjuntos no cumple a ley

A paride la diferencia entre conjuntos y teniendo en cuenta un conjunto universal U
define cl complemento del conjunto
complemento.
s diagramas de Venn que representan ls diferencias A ~ B, B ~ Ay el conjunto A
AB o A

1. Determi
represenaro en un diagrama de Venn teniendo en

ar por extensión el conjunto A — By

12,34
Le

a

junto universal es U

14, 6,8 y el con
exe

El conjunto A = Bes el conjunto de los elementos que
pertenecen a A y que no pertenecen a B. Por tano,
A~ B= (1, 2,3) y su repesemación en digramas de

2. Representar en un diagrama de Vena AC a pari del

conjunt univer Uy de conjamo À

U= abode Eh

A> le xs una vocal del palabra diferencia

25. Estándares

Diteencasmérica < [EB ss

à diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre dos conjuntos Ay Bcumple con asiguienes propiedades

1aB=BaA
BAMB=(AUB)- ANB)
AAB=(A—BU(B-A)

EJEMPLOS

1. Dados los conjuntos À = (1, 3,4, 5,7, 8) y

B= (3,7, 8,9, 10, 12) determinar lon. | A a
junto À À By representarlo en un diagrama SS
de Venn a >
Primero, se determinan los conjuntos A U B y A
An Ba 5 2
AUB= (1,3,4,5,7,8,9, 10,12)
AN B= 15,7,

AS B= 11,4,5,9, 10,12)

2. En uma encuesta sees preguntó alos estudiantes qué actividad preferían realizar en

su tempo libre: ver tlevisión o navegar por Internet. Al respect se obruveron los

siguientes resultados: 38 cetudiantesprefieren ver tlevisión y navegar por Internet,
120 prefieren ver televsin, 90 prefieren navegar por Internety 20 prefieren realizar
tras actividades.

a. ¿Cuámoscstudiames fueron encuestados? Y
ara determinar el múmero de encuestados ra 7 :
representa os datos en un diagrama de Venn a (a =

er television yen J, d número de estudiantes que

Así el número de estudiantes encuestados es 82 20= 192

b. ¿Cuántos estudiantes prefere ver televsiin únicamente o navegar por Internet
EI número de estudiantes que prefere solo ver televisin o solo navegar por Interner
coresponde ala cansdad de lementos del conjumo TA I, cs deci 82 + 52 = 134

ames

Recuerda que...

26. e

Añonzo COMPETENCIAS Ste

mets: E Prevenge- (odo reno Solucion problemas

@ determin por extensión cada conjunto parir dl

siguiente diagrama de Venn,
4 » A
104. BUC 105. (CU #44

(Simboliza la operación entre con)
presenta la región sombreada en los siguientes
diagramas de Ve

106. 108,
107. 109,

Representa, mediante diagramas de Venn, los si
pulents conjuntos,

110.49. BNC
LAND
12. 4n 80 0

113. AU BUO!
114. ALB C
us. (AS BOC

Desemina por exenién ls siguientes conjunos

#4 = [-2,-1,0,1,2, B= (-1,2,3,7,9) y
C= (3,4,5,8,9, 10.

16.AU) ~ (BOC

Hz. AN BO UC

18.4 BNO

119.43.) U0,

(Dee as propiedades de las operaciones entre con
juntos para demostrar ls siguientes igualdades:

120. AU BON B=ANB
LAN BU AN BD = À
122, EN BCU ACN BO = (B = AN

(Observa los siguientes conjuntos determinados por

123. Comple lo elementos de ls conjuntos Ay B.

de al forma que À A B= (db, fg

A Guscrocentos usuarios de telefon celular rei
bieron una promoción para amadas sella (2
Interne (La catia de persons que aprovechó
diagrams de Venn

SL 10
124. Determina la canidad de pesonas x que apro

125. ¿Cuántas po

ión por Internet

En un zoológico hay 70
aves que son de corral
130 aves que son orna

mentales, 45avesqueson
de corral y
y 310 aves que no son de

oral ni ornamentales

126. ¿Cuántas aves hay en el zoológico?

27. Estándares

3. Números reales

Los distintos conjuntos numéricos surgen a partir de necesidades específicas, Por

Historia de
las matemáticas
numero

«ejemplo, el conjunto de os números naturals (N) cs necesario para contar y enumerar

objtos, ye conjuntode acinale () sirve entre otras, para describe la

relación enue el perímetro y el diámetro de una circunferencia. En general el conjunto

delos

En el siguiente diagrama se muesra la relación entr os dife

[Naturales

Niner PO ean

Todos los números reales e pueden expresar en forma decimal. Así os números nate
vales ls enteros y los racionales se pueden expresar como números decimales finitos ©

En cambio, los números irracionales e

como númesos decimals infinitos priódio

expresan como números decimals infinitos no periódicos.

Al representar los números reales en una recta se pueden obserar ls siguientes crac

cada punto dela recae corresponde un único número realy viceversa

nue dos números reales siempre es posible encontar oro número real.

1 Losnümero reales forman un conjunto ordenado, det o

a=bäb-a=0

a> bib—a<o

Determinars aa proposición ex verdadera o falsa,

Es pipa rd pau 17 pi si cas
ae

La proposición es falsa porque 3, F/TT2E es un decimal periódico que represent al

nque V2 € Les verdadera, la proposición 3

se E

28. Recuerda que.

3.1 Desigualdades en

> Intervalo. Notación de

29. Inecuaciones cuadrátias

¡EEES Ss
| ms

30. be + Grt4<0

Primero, la expresión cuadrática no se puede fietoriar iilmente. Por esa ran. se
expresa la inccuación como una ecuación cuadrática y e resuelve, as

Por tano, hay dos posibles soluciones xy = =3:+ /3 y x, ==3=/3
Luego, se ubican as dos soluciones en la reca teniendo en cuenta que; = ~0.76 y
23 = 5,24. se toman valores en cada inervalo para determinar en cuáles de ells la

expresión cuadrática toma valores menores que ceo,

36

Finalmente, se tiene que la expresión cuadriica ® + Gx + 4 es menor que cero para los
nümeros que están entre ~3 ~ V5 y ~3 + 4/5, de donde se deduce que el conjunto

solución es (-3 V3, -3 + V5).

COMPETENCIAS 0 Al a @sorsionoprenenss

a el conjunto solución delas siguientes inceus
ciones cuadriticas

© Responde las siguientes preguntas. a

128. ¿Cuáles son los diferente tipos de intervalos?

129, ¿Cómo se resueve una incuación cuadrática? Eee: BER
D Determina si el alo de la variable es solución dela

inccuación. Jus u respuesta ©®Determina una inceuacén cuyo conjunto sc

my res = sea el intervalo dado.

44. (2,2) 146. (=
131. 3m + RN

Mie + le < 18 143.158 x

2m

145. |-4,4

dra i

Una vendedora de perfumes vende x perfumes. Si

E 43
133. -3p-4<$p+% p=0
EA cobra aun precio de 53 — x dólares cada uno:

relaciona cada incuación con su respectivo co 148. Desrmina una expresión para calcula los
en (poor an mis de cael depa
et acs “ decia a ge aa de dean
iR n a Sun
136 . so. La expen Tp $7, + 32 naciona la
137. 4; Ste temperatura en grados Fahrenheit (7) y la
Sempere en gos Cas (70.5 laa
en Ban
m z Corporal se encuentra por debajo de los 98,2"
25 ge

1 & (Hs) Misma le cl Clie?

30] esmas

31. 3.2 Valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

31

32. Recuerda que.

renace Y

Las expresiones de a forma ax > lex
‚es con valor absoluto.

‘cumplen ls siguientes propiedades

Determinar el conjunto solución dels siguientes inccuciones. Luego, representar la
solución enla recta numérica,

2.41 > 7

eS ree
x>Ryx<-135
Por tanto, la solución corresponde ala unión (==, —135) U (12,2), como se muestra

b. rt 9] 5x

Primero, se tiene que Sx > 0, de donde x > 0,

Luego, se realizan ls siguientes pasos

Así el incervalo solución e [9,2 y su representación en la reta es

33. Orne - Dar

Estándares!

aereo scons (A

propongo « Brie. soluciono problemas

fianzo COMPETENCIAS

O Desermina si cada una de Is siguientes propos

cones es verdadera falsa, Justin tu respuesta.

151. El valor nca sun núme

152. Siay bson núme cesse cup
quee + 4 f

15.5 ‚denn ponde
al distancia 6 m

154.5

ta distancia entre dos puntos en la recta numérica
et dada por la expresión tp) = be — pl Expresa

155. El número.

156,25 encuentra a men
157, La distancia entre periora cun

Que las siguientes ecuaciones con valor abso
to,

159. e+ 3) 162.4 + [3 5
ls 100 3+ 5
161. dx 164,5 1=1

(Dobrerva la siguieteccuació.

165, Verifica que
166, Explica p

@Propsin una ecuación con valor absoluto cuya solu
ción corresponda al conjunto dado.

167.1

168. (4,5)

GQ ata icojumo solución para ls sguemesinecus

ES» 143-5129
7. e+ 2) 175 11<5
1. <2 176.1< jet

En viganomerría el ange de la función seno toma
valores comprendido entre — 1 y 1. En cambio, ls
rangos de ls funciones secante y coscant
valores superiores a 1 inferiores a
valor absolut para expresar el rango de

1. Vila el

sen 178. eco. 179.08

DSi ay bom números reales, entonces se cumple que

A = lé sy slosi < D
10. mar que si
181.5. mers nepaivos tales que x

182. Utiliza a

se especifica que
parte exacta de un motor
pequeño tiene un dif
metro de 0,623 cm. Para
que la parte encaje co

rectamente, su diámetro
debe estara 0.005 cm del
diámetro especificado.

183, Escribe una incuac

valor absolute para

bles diámetros de las p

184. Determina el an

tn cierta ciudad la tempera
sas, está dada por la expresión

à 7, en grades Cd

sr 151< 10
185. Determina en quérango se encuenta la tempe
ratura da ciudad,

186, Represen

temperatura dela ciudad.

34. Proposiciones
* Desc el valor d vedad ela ges po

Pr Todo número enero cuya cifra de las unidades es
Ges pu

Stun número enero cs divisible entre 3, entonces,
+ divisible entre 6

Todo mero primo diferente de 2 es impar.

1 La suma de dos números pares es milk de 4

17. (VA
188. pd ge

189. AD vg)
190. (Adv +

9 Simboliza las siguientes proposiciones utilizando
‘uanticadores

191. Una rc

E
J
E
R
c
1
c
1
o
s
P
A
R
A
R
El
Pl
A
s
A
R

193. En al

vidas de sus

1
© Sila proposición (p #) V Lg (sa

‘completa cada enunciado escribiendo verdadero 0

falo,
195. pes
197.

ra la negación de cada proposición con
uamificadores. Luego, determina su valor de
vedad.

Conjuntos
© Realiza lo que se indica con ls siguientes con
U= MEN In < 30)

202. Representa en un dagrama de Venn los anteriores

203. aumnc )
204. (8-OCUA 1

(Observe sguientediagrama de Venn,

206. Simiboliza la operación entre

nuns que repre
senta a regi sombre

a

35. 9 Marca con un Y las proposiciones que son verda
dens

207. Si cone

210. Si

Números reales

213. Completa la siguiente tabla utilizando el símbolo

16. (2,7

17. 2 (-# DUG

18. b

19. o e

20. a

21. .

223. Ulis el mé er inccuacones

36. go PROBLEMAS PARA REPASAR

38. Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?

..Para tomar decisiones relacionadas
con los productos bancarios.

nla entidad I debe ser menor

1 sin importar el número dere

pe a :

El manejo de la
rn la entidad 2.

Remplazando C; y C la incuación resultante es:

clientes,
A continuación se muestran Las trfas de dos entidades 3.350 + 3400: < 10.400 + 3.320
bancarias de Colombia en el año 2012. Resolviendo la incuación se tiene

3.400 — 3.320% < 10.400 ~ 9.350
EE 80-x < 1.050
1.050

Monto básico 9.350 << 1

Retiro cajero entidad 1.020 s< 132$

Retro cajero exerno 3965 Es decir, para que a la person le convenga la end
que 3400 bancaria 1, debe emitir como máximo 13

| 1. ¿Cómo se aplican las inceuaciones
Costoenpesos | product ofcido por una entidad ban
|

Monto básico 10.400 2 Si una persona desea abrir una cuenta corriente
= «dependiendo solamente del nimero de reiros que

elaentidad durante cl mes, para
iat la entidad 22

realiza en cajeros
«cuántos retiros es más renabl

Si una persona que viaja constanteme
‘una cuenta corrente que le permita realizar más de

requiere

Por ejemplo, una persona natural quire abrir un

al ak cinco eiros en el mes a menor costo, ¿qué entidad

‘ena corrent en un ban debe die

Ingresa als páginas de entidades bancarias del pas

cheques resulta más
mportar los retiros por cajero. y busca las taas y tras que ofrece asus clientes por

cada servicio. Luego, plantea inccuaciones
‘mitan conocer la viabilidad de tomar algu

delos
productos que ofrecen estas entidades y explicalas a
tus compañeros de clase

39. Objetivo:
Descripción:

Para acceder AnalogiA, ingresa y descarga
el programa en: sourceforge.et/projects/anallogica
© Haz clic en Anallogica.

@ Observa la ventana que se despliega. Luego,
hazclicen Listo para entrar a la opción edición.

© Observa la ventana que se despliega. Luego,
identifica el área de trabajo y las herramientas
asociadas alos operadores lógicos,

O ingresa (p — 9 À (g— 2) — (o 0 en el
cuadro con la ayuda dela herramientas que se
muestran en a figura. Luego, haz licen Hacer.

© Observa la solución donde se muestra el desa:
rrollo. en una tabla de verdad y, enla parte de
abajo, la explicación detallada de cada opera

O ingresa -(p/\q) => -p\ =9.
Luego, se comprueba que el resultado es una
tautología

© Utiliza AnallogicA para identificar y analizar las
siguientes proposiciones compuestas

Luego, veífia, en cada caso, s es una taut:
logía.

a (pa Ar

oq
Ag —=pMave
dbAg ne (pe (an)

pda

YAA (pd

40. Estándar: pensamientos numérico MA Lo quesabe= 1

y variacional la

Erro bom f } 3

Evaluaciones |
Ds @: |
D: > |
Bs E I Im

|}

| [à

41. © Cronología de las funciones

ÍN Y esto que vas a aprender,
¿para qué te sirve?

Para calcular la distancia
de frenado de un automóvil.

Una de las dificultades de la movilidad en Colombia
son os choques causados por no conservar una di
tancia prudente entre los vehiculos En las cludades
estos choques ocurten en la intersecciones 0 ro
ondas, mientas que en carretera se dan en ramos
retos incorporaciones ala vi salidas

1 Lee más acerca de estetema ena pégina 82

42. Recuerda que...

1. Funciones D +=

Madiante el trabajo en matemáticas se presentan diferentes conceptos que i

operaciones, relaciones y ue están contenidos dentro de a:

ros tamos aspectos
‘mundo de esta ciencia. Una de las api
cad de as funciones

1.1 Concepto de relación

Par la comprensión del e m primer se estudia la idea de

cep de fü
significado cotidiano dela palabra rlación indica que cs una eorrespondenc
dico, una conexién que se sablce entre dos o más cosas

Así por ejemplo, en la coidiaidad se pueden definir relaciones com

ser alumno de”, er docente de, entre oras

Una relación en matemáticas es una corespondencia que se stable

¿le dos conjuntos. At la definición formal de relación es

y B son conjuntos no vacios, enton
relación ene los con

Al conjunto A se le denomina conjunto de partida y al conjunto , conjunto de ll

ada. Para nombrar ls relaciones uslizan las mayúsculas como À

De ste modo, cn a relación; ser la mica de” definida en los

muestran enel diagrama sagital (dela figura 1), se aprecia que

3 A ese conjunto de sida y Bes el conjunto de llegada.
2 Algunos cementos del conjunto A ein relacionados con algunos lem
junto B, por medio de La relación G.

En el diagrama, se muestra que 0,5— 1

Lo anterior, se interpreta como: | sl imagen de 0. y se escribe

nada (05; D. Asa rlción Gy se pucde expresar como d conju

6 = {05:00 (41,5)

ye de rango de

Toda relación entre conjuntos de R icne dos representaciones gráficas: el dis

Diagrama de fechas: se emplean diagramas de Venn, tato paa ©

para el codominio, Posteriormente, se emplean Mechas

la ración, como se muestra enla figura 1
3 Representación artesana: e cl je horizontal, se ubica os clemen
de parida y en el ee vertical os elementos del conjunto de llega
representan los puntos correspondienes a las parejas de la ela

cartesiana dela relación G se muestra en la figura 2.

43. 12 Concepto de función [Bi

función. e

cemento de conjumo A deb de conju

gráfica dela función, lo hace en u

Fancién Noes función
x x y
Dominio f Codominisf Dominiog Codominiog
En el diagrama dela anorar que o todos lo clementos de codomini

escribe una relación entre una variable independiente

xy una variable dependiente

Historia
las matemát
Berard Bolzano

44. 13 Notación de función

Historia de Dado que una funció es una corapondenc, ua se puede cbr de dieses
llas matemáticas > ala ae.
Leonhard Euler Para expres

la ventaja de identifica claramente la variable dependiente

EJEMPLOS

1. Expresar el área de un triángulo iséseles en función. | 2. Realizar la tabla de valores de fs) = 2° + 1, para el
dela longitud x de uno de los dos lados congruentes intervalo —3 < x < 3. Luego, trazar el bosquejo de
A la gráfica de la función.
a posible tabla de valores de at hend
El área de un tiéngulo ext dada por a expresi a) JESE
ucgo, se ubican las parejas ordenadas en el plano
Laa «lado de diferente longitud, lo divide en | Sao» se taza la gráfica de la función as
A] 6
ne /e-¢
Luego, le expresión para el dea se puede escribir come
Es importante apreciar que la función del área stá | IE BES

45. COMPETENCIAS Ps |
Res,

46. O -

B BD 14 Dominio y rango de una función

de variable ra, al que i) = y s posible analizar ls valores que

(variable dependiente

Dada la función f X Ys define el dominio de fcom

conjunto delas primeras
ea nents de as parejas que stn en Se simboliza Dom El rango de fes el con
10° € À. Se simboliza Ran À

nee te x De mismo modo, para halla el rango se despeja la variable xy se

EJEMPLOS

1. Hallar dominio y rang dels funcions represen: | 2. Un granjero liza 200 eu tne de mala pura
tadas. | cercar un terreno rectangular.
we
ea | à obene una fancón y = 1 que are el dee
A SN ón meros de uno dels dos ados de
Al observarla gráfica de la función fs) = GET se
den Dom f= Ry Ran f= 00,1 Primero, se indica por x la medida, en me
Lis Tad del aero, como primer der
1 | + 100%
= a | bo came de problema, ill domini de
| si derar el =
Don g= R= 13,137 Rang (o Hu. | rocio, Dome 0.10,

47. ‘Dominio y rango de funciones olinómicas

Las funciones polinóxmicas son del forma Js x

del polinomio y el número natural expresa su grado (sta, + 0)
Una función polinömica es para odo núm nio.

nar el dominio y el rango decada una de las siguientes funciones

Deter

a y= fi) = Bet 1

Para hallar el

anto, Ran,

be gl) = 28 + Be + 3

(x +4 +($))+3-2.(#
el vertice de a función cuadráica es (=2, 9 1
mplear el cuadrado en la ecuación de
una función cuadrática fix) = 3° + bx + 6 se obtiene }

coordenada del vice

49. zo COMPETE!

Afiar

(025. Explica mediante un jemplo as resicones
para hallar el dominio el rango de funciones

Quai el domino y el rango de cada una de las sí
guientes funciones.

2-1 30. are
VTT a 2

2 ; Bye

2 E ». N

over la ria dela nc dd Leg. uch

Escribe en forma de i

la misma tendencia, ¿cul podria ser el posible

36. Para qué valores de rl valor de Get entre

(Obrera y suche.

37. Calcula os valores def paras = 2 yx= 2.
38. Escribe las parejas (sf

Estándares

-O

Oper » Quiet « ecto - @Razon- @soiucone problemas

ter Spam donde e muera un etapa
sen us onu. Lug che

40, Halla el dominio y ango de la función re.

Qi y realiza lo indicado.

La

42, Determina el domi dela función

Para almacenar gas propano se desea fabricar un

43. Expresa el volumen V (en mettos cúbic

44. Hala el dominio y el rango de la función vo-

45. Describe el comportamiento de la función ¢

intervalos de 10 años

50. 2. Propiedades de las funciones

2.1 Función inyectiva

51. 2.2 Función sobreyectiva

2.3 Función biyectiva

Recuerda que

52. 1. En una biblioteca, todos los libros estin catalo- pr,
gados por titulo, además de otros identificadores,
igualmente existen títulos con más de una copia.
Considerando la Función o que tene como dominio
«conjunto de todos los ejemplares de La biblioteca y

«l conjunto de tículo dels libros
catalogados en la biblioteca, Establece il Función
€ inyectiva, sobreyectiva o biectiva

de la biblioteca estén caalogados por un título, es

significa que par

2. Se quiere construir un acuario de 4 m? de volumen y 1,2
represen

m de aleura, donde x

el largo yy el ancho de La base del acuario.
a. Determinar a cantidad M de metros cuadrados de vidrio necesarios, como función
des. Luego, traza el bosquejo de la gráfica dela función.

b. Determinar sla función Mix) es inpeciva, sobreyectiva y bipectiva, dado que xy
Mis) al ser medidas de longitud y superficie, respectivamente, s les puede asignar
cualquier

Apa

ir dea gráfica de a Func se aprecia que

ctv porque para un área de 14 mes posible tener

Además, la función noes sobreyectiva porque y = 1 no es imagen de ningún x

53. Broce eo Baume Q soluciono pcbemas

Afianzo COMPETENCIAS
Responde. Explica con un ejemplo. Escribe la expresión algebraica de una función que

47. ¿0 57. Una función sobreyectiva pero que no sea inyee

A Descrmina si cada

ón dada es inyeciva Jus 58. Una función biyectiva

fa tu rspuesa @ercemina culs delas siguientes funciones son
RE 5
5 Jaja] 5. 2. form RTE
TE : 60.0 = -2* 63. ba) = =
, GE Desermina cule delas siguentes funciones son
65.f0= 5 67. fo) = sen

aaa 5 Qee y rire.

el incremento del ben
5 A ‘ci dado por la función
g(x) = 24 — Sx + 22, > 8. ¿Es posible afirmar
E 7 3 Qui y responde.
| Em una fbric el costo dex camisas ed dado por a
52 A

Doa

verdadero. Justfica tu respuesta.

70. ¿Cuánxo valen 1.000 camisas?

53. La fune 84 a.
Here Tr | 72. Bneste context, a función es bigeciva?Jusiica

54. 2.4 Simetría en funciones [ED

fen vo 0
fica de una función enel plano cs pero
1 Se dia s con respecto ale fu
ru m
F a par

BES

1. Determinar si ls siguientes funciones son pares aiment
impares o ninguna de as dos |

a. fis) = x + 15 2. Observarla gráfica de a función cs. Luego, sf

carla como paro impar o ninguna de las dos

D = (oa +15 | ;
bg = sen + x +
M = 7 Pr
+2 El número real x está en el do
pr demás, 3) = e)

55. Estándares

2.5 Funciones crecientes y decrecientes

3.35%

efecto de certo medicamento en el cuerpo de un paciente, después de haber inge

la primera dosis, se represent e a siguiente gráfica, que relaciona a secuperación
del paient con el tiempo de acción. Analizar el comportamiento de esta función

Desde quese ingiere de inferir que

ner a primera medi

recent. Luego, la rcupera hasta la hora sie después de haber

Recuerda que...

56. e

GS

|Atanzo COMPETENCIAS J

ODesermi

à s las siguientes funciones son pares,

'mpare o ninguna de ls dos condiciones. Explica
vu respuesta

23.

76.

Dee y resuelve

nino, considera as funciones Bi) y OW)

Bo) = LU + Aly Oo = Ho — A
77. Demuestra que Fs) es una función pa.
78. Demussra que Obs) e una Función impar

Qc

0 ninguna de las dos.

en cada caso, sia función es par impar

me) BET
wenn MAZA
span + Bs fo = x
82. f)= 86. fo) =1

(57. Determina los intervalos en los que cada función

resume Mada - jr otro roben

aber e jode una grade la función
ac par ela condicione dect.

88. Dom f= 1-3, 3) creciente en [~3,
89. Dom f= [3 3} decreciente en
90.0 3.3) constante en

Dice, observa y resucve. El dom
aparece en la gráfica sel inter

o dela función que

91. Complet la face
intervals donde la funció
93. Compra a rica para fs
donde la funció
Lee y resuctve
Una bacteria que invadió un

una segunda dois que a

Similar al dela prime

95. Elabora una gráfica y ne
tient dela bacteria

96. Determina lo in ación

397. eric si a función guna de

57. Estándar

3. Clasificación de funcion

58. cun parábola

Determinar el dominio, el rango dela función fs

bosquejo dela gráfica de a fü

59. 3.2 Funciones racionales

Asintotas verticales

Asínttas horizontales

Asintotas oblicuas

60. 1. Realiza la gráfica de la función Lo)

Lugo, se ubican los puntos encontrados en

5

2. Analizar el comportamiento de la expresión

<=. laborar la gráfica dela función

61. 3.3 Funcion

adicales ED

Recuerda que.

de potencia

62. 1. Trazarla gráfica de la función fle)

env, y además el de ee
Luego, s resuclve la desigualdad HF >0, teniendo
Comolasolcióndeladesiguldades (==, - 112,
Entonces, s tiene qu
(4
Dom f= (==, Fut,

x= 2s una asinota vertical
2 es una asintota horizontal

La abla de valores muestro que ocurre con las imágenes

La gráfica de la función es

Ran f= 10,2) ~ (2

2. Considerar el triángulo rectángulo ABC, represen
tado en la siguiente figura, donde x es la distan
dc vrtce al pe de a perpendicular trazada desde
Callado AB.

a. Encontrar la fanción que determina la longitud de
Inaltura del triángulo en función dex

Primero, se identifica que laura divide el AABCen

Luego, por a proporconalidd entre Los dos correspon:

dienes se tne que

1. Hallar cl dominio dela Función resultae

El índice es par Luego, el radicando no debe ser
Esdeci x — 2 > 0.
Al rsolverla desigualdad, se obtiene que: > Oy x

Finalmente, Dom 4 = [0,1

3. Laley de Kepler sobre el movimiento delos planets,
dice ques ls cuadrados de los períodos de revolución
(7) de los planetas son propor
desu distancia promedio al Sol (2), Expresarla dis

rancia promedio al Sol, en términos del período de
revolución.

Primer rma matemática la ey de Kepler:

is

Donde, Tes el período de resolución, Res la distancia

promedio al Sol y bla constante de proporcionalidad.
rem

T
R

63. fanzo COMPETENCIAS MALARIA

© Determina el dominio y el rango de cada una de las
siguientes funciones. Si las funciones representadas
son polinómicas, indica el grado que puede tenet

cada una de ellas

ss.

» 1
' ' |
1 |
E |

Grits dominio yl rang de ls siguentes on
on Len ee ps don
10h fa) = 22-3 106,f) =
te mae

104. fa) = 2 — x

105. fos

4 109. f=

(Divo la función polnómica que comsponde à
cada bla de lo. Luego, cube uma pose
pré laca par cada nc

m EDO i
“x

om >)-=)-)>)->

(tata domi de as sees funciones, Dee

12. fly = À

114,

113. A0= FFT 15. ju) 3

(16. obser las siguientes funciones cuadras

(Describe V sil enunciado es verdadero o Fs es also.
Justia u respuesta
17.1

unciones p

o un ineralo de

119, Toda función racional tene asín

120. El rango de toda función polinómica de

(tacon cad ra con m repent función.

my my
my my

faye Te pos
bot de y= F3

64. G

sucio, fi)

125. Simpliica La función.

6

126, Halla las asinoras, dela función.

127, Elabora una tabla de valores teniendo encuenta

el dominio dea funció.

128. Realiza el bosquejo de la gráfica del funció.

129.Da

in osinervalos de rocimienoy cre

de dicha función

130. Analiza ia función espa, impar o ninguna de

131. Una parábola que cone al je x en x = 3 y
132. Una paribol que cone al je x en x= 2, solo
133. Una función cúbica que corte al eje x en

cúbica que come una vez a je
endl punto x= 5. |

135. Una función polinómica de cuarto grado que

La siguiente figura iene un ärca de 40 om? de super

fic y está formada por dos rectángulos, además el
ra del reténgulo rojo sde 10cm

136. Muesra que el perimeto de
del lado del rectingulo verde end dado por la
0, 20

137. Expresa como función racional de la forma
pe)
10

La akura de un choro de agua en metros, reaica

desde el suelo, está dada por una función que de

pende de a distancia horizontals en menos, por la

138. Determina a aura máxima el alcance máximo
de choro de agus

139. Calcula la distancia horizontal, entre dos puntos
ara los cuales la altura del chorro igual 0,9

En la figura se muestra una pirámide d
ada, con un cilindro insrt, donde el ára de la

base de la pirámide es 16 cm’. El eje del cilindro

coincide on I altra dela pirámide,

140. Expresa el volumen del cilindro como una fun
que depende de x, Lucgo, halla dominio

del función.

141. ¿Entre qué valores deben variar ls valores de
À de manera que el volumen del lindo sea

TS

La altura en metros de un árbol 7 años después de

resuelve

sido sembrado, est dada por AL)

142, ¿Cuál cala altura del rbol cuando fue sem
brado?

143. Determina analiticamente cuánto tiempo le
level ärbol alcanzar los cinco metros de altura,

144. ¿E bol Negar a tener una altura superior a9
metro Justia eu repuesta.

65. Estándares

3.4 Funciones trascendentes

Las funciones trascendentes tene a par

aridad que a arabe independiente toma

Tas voces de exponente, taf

sda por un logarimo opor una función cr

Asi as sigulenes son funciones trascendentes

unción exponencial.

sm (4)
runcónezorenca! SD du
ue RETIRE

Función logartmica
Una función logar des ER yes 1
En una función logaremica f(s) = Log. xs tiene Dom f= Ry Ran f= R

10 < a < Iya función ex decreciente

El punto de corte con el ejexeel punto (1,0), ya -

ue ll) = Log. = 0. E o a
dd = ins
Ena figura 13 se muestran las gráficas de as Fun a | ie

Wa) = Log fle) = La xy 9 = Logs

66. Funciones igonoméicas IBD creo

La fonciones trigonométricas son

Dom/ Dom f= & ponte, au)

Da Da Dom [Fsmenccoimpar]
Ran f= R

Periodo: 2, ya que Periodo: 2, ya que

pro pore ens x= pan mener ——Intereptos x = wm, n € Z;y=0.

Dom f = R = {*Frnenteroimpa} |Domf= R

Ran f= R »

Ran f= R-(-1.1)

Periodo: 2 Periode: m

Es una función impar. Bi una fanción impar
Esun

unción par

Asíntoras verticals x are er Asintoras verticales

Interepios 7
Intercptos
Interopros p
No ort alos js ? ps
No cor je y 1 = ZE, montero impar

67. Afinzo COMPETENCIAS Sa

Escribe ls carctristicas de las siguientes funciones.

Diana cada func
Expl tn deción.

M48.fi) = 3-1 1500 = 3
159.0) x 151 ñ
D 4

9152. Otra la gua. Lugo, onena de menor à

DE scribe V, si la afirmación es verdadera o E ses falsa,
Just vu respuesta.

153. La función g6) es decreciente

154. Si fos una función exponencial, eto
155. La función la) = cose + = sep
156. El rango de cualquier función trigonométrica es

(Raiz la grfica de as siguientes Funciones.

1A 160
158 Je 161 fo
159.19 = 4 162. fs) = osx
Qi ruche

de dicha herida en el simo di d

puts de

163. Sapón que unaherid

¿Qué tn grande será e ra de a herida de

164. ¿Qué tan grand

la cora delos biomitmas, fl) = 100 sen rs usa

Porenil io: perodo de 23 día

Poxencial emocional periodo de 28 días

165. Determina el valor dew para cada caracterís

166. Encuenen
ción alcan

a fu

los tempos para
va el 100% de pe

respucs

A medida que aumenta la po

167. ¿Cuál esla población de aves dos m

168. ¿Cuál es la

68. 3.5 Funciones especiales

Algunas funciones no es

as no presentan wna

2 Funciones trozos

Valo absoluto,

2 Pare entra

Función a rozos

fica con un wazo continuo, tales funciones requicren un

Anglacin

descritas solamente por una expresión algebraica o algunas

xo special por lo cual se cudian de manera independiente. Est tipo de

0 más funciones cada una de ellas
‘nombre de función segmentada. función

Así, una función a trons presenta diferentes expresiones algebraicas en determinados
incervalos cn forma general, una Función a tonos e de a siguiente forma:

La gráfica de 0) et formada por odas las partes g(s) El dominio ye

asien
lestsixe

go deg) es

la unión delos dominio y los rango de cada una delas artes que Ia forman,

Determinar la gráfica, el dominio y el rango dela sí
guiente función

xo, se idensfica los intervalos en los que se define

Para x 1. Es dei, lim se caliza la

tabla de valores con 00)
pare de una parábola

sponde a una

Para el intevao (1, ), se relia la abla de valores con
fis) = 1 = x que corresponde a un linea recta

y sj 1] -2] -3

Luego, se raza I grafica de la función de acuerdo
las funciones que a componen.

Se debe tener en cuenta que el valor 1 del dominio se
encuentra incluido en el primer intervalo.

Finalmente, la gráfica dela función es

De acuerdo con la gráfica se puede concluir que:

Dom f= Ry Ran f

69. Función valor absoluto
Lafunción valor absoluto se puede considerar como
Función asigna a cada nme ral del dominio u alo
fe sx>0
ex s-;
El dominio dela función es el conjunto de los
meros reales

Domf

El rango dela función es el conjunto de los nú
meros reales no negativos, Es decir, Ran = (0,2

Lagrilia de a función valor absoluo es

Estándares! os numérico.

linda tooo. Esta

Realizar Ia gráfica de cada función. Luego, indicar el
dominio y el range.

a fis) lr 428-6
Primero, se estudia la variación del signo de x = dl,
parir de a definición de la función valor absoluto, as

Dado que x — 4 es negativ, para valores menores que

ee Peete

Ahora, como x — 4 es psiivo, par valores mayores que
Ayscanulaen 4 setene

función

se sie fi)

Luego, se grafica cada parce de acuerdo con la definición

La gráfica de la función es

Finalmente, Dom f= R y Ran f= R

bo gis) = fe 4] + fe 51 28

Primero se liminan los valores absolutos del uci,
par al fin se usa el siguiente diagram

SAI

PRE

Segundo, seesribego) = [2x + 4 + = 5] - 2xcomo

se tl six -

so)=|oxt9 si-2<e<5

x-1 six>5

Luego, se grafica cada pare de acuerdo con la de

Finalmente, Dom f

Ry Ran f= (4,

sas [69

70. Función parte entera
recibe el nombre de función parte envers, E

En form ara
le
La gráfica de la función ’
EJEMPLOS
1. Realizar la gráfica de la si | 2 Una compañía de telefonía celular cobra $240 sola
hala su dominio y rango. | mente por marcar un número internacional, de ahí

en adelante, cada minuto que dure la llamada genera

| ria del ción pad |
to o 70 | se duración de amada en minutos |

71. Estándares

Afanzo COMPETENCIAS Same

repond Esplicacon
169.

jemplo

170. Qué aplicaciones tienen ls funciones

fabor la gica decada fain,

mi
mapa, BES?

ma pol soon
rev:
Rp ml

DDesermina una expresión algbraca que describa
ada una de as siguientes funciones. Explica u rer
pct

180.
182. j

|

- |

una función definida a
vronos. Luego, relia la gráfica de la función

18. 2
84. y= |v 1-4
185.) = 2 p-4

186, y= f= dx + 5

reesponden a estados des

ic aplicada

Por demplo la À

197.

de Heaviside

188, Elabora a grifica de dicha función.

Un supermercad uu
ada 4.000 de >

Pro

189. Expresa modiant una

con d peso p de dicha cara vine dado por un

190. Elabora lag a coso,

191. Escribe u

<a de transporte cobra $30,000 p

en kg st enel ineralo (0
cobra 520.000 por cada

A parirde ce pe Siglo

192. Representa la ráica del

72. 72 eso

4. Operaciones entre funciones

es aritmiéicas de adi

== Do.
2. Dadaslasfunciones fx) = VE y gls) = TT encontra: f+ 960 y (4)

Luego, realizar a gráfica decada una y determinar sus respectivos dominios.

Para (f+ gd, scene: f +

En a figura 14 se muestra la gráfica de Y

Par (

En a figura 15 se mues o

73. 4.1 Composición de funciones

Existe ora

Recuerda que.

1. Dadas ls funciones f(x) = /% y o) = 2 1 halla:

74. [2 Sa = deermiar la función al que $96) =~ 126+ 9.

3. La distancia recorrida, en kilémetrs, por un avión
con una velocidad de crucero, 1 horas después de st 4

Eliza la velocidad, está dada por 4 = 910n.1=0. re

A partir del momento que entra en velocidad de eu
ero, la cantidad de combustible q en tros, del depósito del avión est dada, en
Función de la distancia recorrida d, por gl) = 200.000 — 14,054, d > 0.

a. Determinar a cantidad de combustible en el tanque del avión en el momento que
entr enla velocidad de crucero

1. Determinar la distancia recorrida por el avión durante los primeros 90 minutos,
después de llegar ala velocidad crucero. ¿Cuál esla cantidad de combustible que
queda después de ets 90 minutos?

Primero, se hala la distancia recorrida en 90 minutos, ast:

AIS) = 91015 = 1.365
Segundo, se calcula la cantidad de combustible con d = 1.365 km.
901465) = 200.000 — 1405 : 1.365 = 180,821.75

combustible que queda en el tanque es 180.821,75

+. Encontrar una expresión que permita calcular la cantidad de combustible en el
anque del avión después de hora de alcanzar La velocidad de crucero.

Finalmente, la expresión es g() = 200.000 ~ 1278554, 120,

75. éndares

Afianzo COMPETENCIAS SAS | CON LU CESSER

responde ee sue La composición
se deine como Gg’ hs) = FEU)

tres funciones

193. Cómo se pueden formar nuevas funciones à
bas las fncions fg. bry hal: | Ñ 1
BARS RS | (Lee y sue. Cada una de a siguientes funciones
ml ms | etl dada de a forma (fg). Luego, determina
2 | ute sn Is funciones g que dieron origen a
195.(f+ 9) 200. cha función
196. + 069 201.6 + nc | argo ,
197.(r— Mo) 202 | aro
198. f+) 20.4 | PRET
20. TE
199. (4) 206. (Sia
L | Lee y resuelve. Dadas las funciones fs halla:
Dadas ls funciones yz encuentra fo nef fof | [= six>o 541
y gegen cada cae | lel eco TEE
205.0) = so) = 3042 20 fi) 21.40
206. fo = 1 ro = x +2 QEsics de qué manera bay que componer Is fun
207. ET er pu
1 = TT ser bi
208. f= + d= A hi

para obtener las siguiente funciones
(Dee, observa y resuelve, A continu
las gráficas de dos funciones, y:

222.

Ateo rsuche

En un experimento de laboratorio se calienta una
placa cuadrada durante 30 segundos. El lado de la

placa antes de inicia el experimento medía 1 cm.
Dra ls 0 sendos dl prienol de
Con bas en las dos funciones, evala las siguientes À
expresiones. En caso de no esta definidas explica a | 225. Determina la longitud del lado de la placa 10s
alcala el área dela placa en ee momento
209. fle(2) o x
Escribe una expresión que permita, en cualquier
210. (f+ 90) no instante del experimento, calcular el éea dela
au 2 214. (ep) placa

76. Inversa de una función

Recuerda que. i
y
Som f= Ran fy Ran! = Do
1 hn detain = $+ fag, | 2 Rae gs dl <1
ñ :
SER Dro

77. fanzo COMPETENCIAS Sao
respond

Realiza la gráfica de fa partir de la gráfica de la

Responde las siguientes preguntas Justin tu re.

256. a despa

78. +
’

Funciones 9 Hala dominio y rang de las pente an
9 Obs lo conjuntos My M Luego, monde | 265 x
0.610 | y
267.
| 261. Ra a Re os guien digne de | 2 cor 3
| i ñ Ran

Propiedades de las funciones

DSuUSVUMD PIPV no-n-nam“m

® Desermina cuáles dela siguientes funcions son
uno a uno. Jusica tu respuesta
268 269,
® Calcula fix) a parir del valor de «dado ER
262. para e
| ¢
9270. Esplica por quéla siguiente fune
impar
€

79. } Observa la gráfica de La función fs) = sen

Clasificación de las funciones

Operaciones con funciones

9 282. Determina y”! teniendo encuenta que

80. ES PROBLEMAS PARA REPASAR FPS 6 80 6 +

¿Cuáles el dominio y el rango de la función Al) que
permiten calcular el área de la parte impresa de la
Pégina?, ¿cuál es el área dela parte impresa para una
margen de 1,2pul

Comprende el problema
¿Cuáles on ls preguntas del problema?

¿Cuáles son los dats del problema?

a página son de 8+ por 11 pulgadas un ancho uniforme

81. 4000004

283. Expres lärcade un triángulo rectángulo vósceles. | Responde las preguntas 288 a 290 de acuerdo con la

como función de a longitude uno de sus lados | siguiente situación.

a Un avión realiza un vije con una velocidad constante

de 500 mila por hora. E costo C, en dólares, por el

284. Un avión ra un vu de came | ut dun ae que desea alive vine

te Cho = 100- 45

La frontera separa dos pases. El avión cui e

36

(velocidad |
1a frmera separa dos pasos El ión da cl onde xesla velocidad con respect al sucio (velocidad

del aión = velocidad del viento

pals y medio vuelo en el país vecino, Erbe ls | 288. ¿Cuáles el como de ras

tar una pasajera en con:

funciones correspondiente y realiza un bosquejo diciones el

E 289. ¿Cuál es el coso por pasajero al presentarse un
3 290. ¿Cuáles el costo por 15 pasajeros si hay viento a
E favor con velocidad de 100 millas por hor
, 285. Una compañía de energia eléctrica cobra a sus
q lies $577 por kilovatiovhora (KWH) por los | 291, Siunobjetopesamllbaal nivel dl mar entoncs
primero 1.000 kWh que se consumen, hie su peso wen bras auna aura deb mils sobre
obra 5532 por los siguentes 4000 kWh y $511 € nivel dl mar sá dado aproximadamente por la
q por cualquier kWh mayor que 5.000. Determina A
E peso al nivel del mares de 120 libras
Responde la preguntas 286 y 287 de acuerdo con la
EL IVA es el impuesto quese pag por la compra de | 292, Una persona se encuenta ax; mes dela base |
tmadamente del 16% del precio de producto adquirido. la persona empieza a alejan del edi con una

nl) queelaciona

286. Si el precio de un producto es xy no tene IVA.

incluido, ¿cuál esla expresión que permite calcul

cdf para aukıuier insanse 130,

al precio sal que debe pagar cliente

287. Halla l valor que debe pagar un cliente
computador que cuesta S1-850.000 y que n

incluido el IVA

82. UY esto que aprendí, ¿para qué me sirve?

„Para calcular la distancia de frenado

de un automóvil.

En a actualidad, una dels difiulades dela movilidad
en Colombia son los choques causados porno conservar
vna distancia prudence entre os vehículos. En ls ciu
dades, esos choques ocurren cn las ineicciones o
rorondss, mientras que en career sedan en tramos
rectos, incorporaciones a lava o salidas

Solo mensualmente, en el pas, se presentan cerca de
150 accideme por eta caus Los choques de se tipo
tin erechamente relacionados con a velocidad del
vehíclo, tiempo de reacción al frenar y la distancia
de frenado. A patie de estas variables las autoridades
de tránsito pueden determinar La culpabilidad en un

choque

Fist una relación funcional entre la distancia de fre
nado, medida en metros y el cuadrado dela velocidad
que leva el vehicul, medida en Kilómetros por hora
Esta función es

Donde des la distancia de frenado, ves La velocidad
que lleva el vehículo y 170 cs un valor aproximado
que depende dela masa del automóvil, la gravedad yla
Esta expresión permite conocer la distancia la que
debe ir un autom6v paa via un choque.

Por jemplo, cuando un vehículo va 80 km/h por una
tops, se puede obtener La distancia segur rempla
zando el valor del velocidad en la expresión, as:

Gé

Resolviendo la expresión e obtiene que
d= 37650
Lo que indica quel distancia que debe conserva el ve

Iieulo con recto oro cuando viaja a una velocidad
de 80 km/h sde 37,65 metros aproximadamente, Una

itanda menor en este cso, se considera insegura y
por tanto puede generar un choque

ac
stand de frenado con la velocidad del vehículo

¿Qué tipo de función e

e. ¿Cuálesel dominio y el rango de la función?

2. Si se conduce un automóvil de tal forma que su
distancia de frenado sde 70 metros con respecto à
‘otro vehículo próximo, a qué velocidad debe ir <
auton?

3. Consulta la velocidad Kite reglamentaria en el
territorio nacional. Luego, calcula la distancia de
frenado ala que debe ir un automóvil para citar
un accden

83. ..También sirve para analizar las gráficas
de calor y temperatura de los cuerpos.

Exo implica que la reac

or transferido a
un cuerpo determinad
muestra un io al quese le rame
su tempera
ada mi

100"

Er

a temperatura se mas
‚ua se ransforma comple

temperatura del vapor de agua continúa aumentando

1. Indica il gra coresponde a una función inpee
viva. Justes respuesta,

2. Escribe la expresión algebraica que representa la
relación de la temperatura en función del calor, a
parir de la gráfica.

3. Indica el dominio y el rango de la funció.

4. La energía normalmente en jui
Gloria equivale a 4,184 julios, Realiza la gráfica
correspondiente al función que relaciona la tem
peratua y el calor medido en Julio.

$ Arasigen
Fonción d

mo es la gráfica de temperatura en
dempo para los cambios de estado del
agua. Luego, explica las similitudes que hay con la

de a temperatura en función dela energía

84. Objetivo:

Descripción:

Para acceder a Winplot ingresa y descarga

el programa en: winplot softonic.com el ee

y aparecer a ecuación del parábola con su
© Haz doble eicenelicono wplotspexe ‘dominio restringido. Luego, elige la opción
© Activa la opción Ventana y selecciona 2—dim. Rey y haz cic ese) QUE nostra rere

(© Haz clic en Ecua y selecciona Explicit. Luego, ms
digita la ecuación y = 22, Como esta función OC -
no es inyectiva, entonces para hallar la función
inversa se puede restringir su dominio. Para =
esto, escribe — 10 en inf y Den x sup después
de hacer clic en bloquear intervalo.

ve

© Haz clic en Reflejar.. y aparecerá la gráfica
de la función inversa, como se muestra a con

je tna nate tinuación. Además, se muestra la recta y = x
pc nato et Punteada sobre la que se refja la función
pe + m ==

© selecciona ok y aparecerán dos ventanas: una
que se denomina inventario en la que está su
ecuación y ora con la siguiente gráfica

O Restringe el dominio delas siguientes fun
«iones utliza Winplot ara trazar la gr
la función inversa.

as
bar

84

85. © Selecciona Archivo y haz clic en Nuevo. Luego,
abre nuevamente la ventana Explícita en el
menu Ecua y digita la función y = x.

© Haz clic en ok y aparecerá la gráfica de y
Luego, repite el paso anterior para trazar la
gráfica de la función y = e', como se muestra a
continuación,

@ Haz clic en el menú Dos y selecciona Combi
nación. Aparecerá la siguiente ventana, con las
operaciones entre funciones,

@ Haz clic en el botón £< ——g de la parte in
ferior derecha de esta ventana y aparecerá la
gréfica de la función compuesta Ag), de tal
forma que fix)= 2 y g(x) = er. Luego, selec:
ciona el botón f* g y aparecerá la gráfica del
producto de ambas funciones,

@ En la ventana inventario selecciona la función
y= x yhazclicen el botón grafico para ocultar
su gráfica. Luego, oculta la gráfica de y = e”.
Finalmente, para que aparezcan las ecuaciones
de la función compuesta y del producto de las
funciones, selecciona cada función y haz lic en
el botón Ecuación.

® Utiiza Winplot para determinar la compost
ción de las funciones fix) = x, gx) = x — 2y
hx) = x + 1,sisu gráfica esla siguiente,

86. Limites y continuidad

Estándares: pensamientos numérico
y variacional

+ el concepto, las características vol )
propiedades dels límite
decuadamente los límites

la continuidad de una fnción x c
3 con sus Im b a
Resolver problemas que involucran limites :
y continuidad
Libro E
DB Evaluaciones:
Do» @: a
GB: 6 ;
Ds a. Ce

87. .. Para conocer el crecimiento
de un cultivo de bacterias.

88. E

Historia de
llas matemáticas
Jean Le Rond

Alembert
armaron

€

1. Límite de una función «EB

A finals de « ki XIX x dea
pri

dela cori de limites
cla Antigiedad se apli
1 de hallar ea

pro de mit parar

limitada por una función postv, el ej xy ls recas «= ay x = b

nc la suma de res de rectngy
vez mayor, sama de as reas de los rein
muestran lasiguiene figura

deal forma que si

Así cl ea dela región es limit de la suma de ls res de los rectángulos.

h à A A

11 Idea intuitiva de limite

Encontrar cl limite de una función fsignfca hall el valor al cual se aproxima fs)

Porejemplo,si fla) = ZH límite def cuando xiende a2 se puede determinar

[HR
fe 39

=

225] 2 2001 ‘

alors def) se aproximan a4
Como se muestra en la gef. Por tanto,
se tiene que

Lin Sf = 4

89. Eständares

1. Uslzar tablas de valores para determinar si Lim —F4 existe
Se realizan las siguientes tablas de valores.
Con valores de x ques aproximan a —3, ales que x < =3,
4] 3.1) -3001 | —3,00001 Fi
4) =40) —4000 | =400.000 4

Con valores de x que se aproximan a —3, tales
quex> 3. 6

FIENEDETIETT y

‘fo 4) 40 | 40.000 | 400.000

En la primera tabla se puede observar que cuando x e aproxima a =3 y x < —3, los
valores de fle) se pueden hacer más pequeños que cualquier canidad negaiva M
En cambio, en la segunda tabla se puede obserar que cuando x se aproxima a ~3 y
> ~3,lorvaloresdefls se pueden hacer más grandes que cualquier cantidad positiva.

Por anco,en te ao Lim fle) no exit

2. Desermiar Lim fi) sa e siguiente unción por pres.
f+ ane six<o
form ES

15 dx 0

Primero, se rain ls tabla con valores mayores y menores que cero, ques aproximen

aa ve mis este nümero, Para esos remplaza cada valor de en La parte dea función

‘que corresponde y se utiliza a calculadora (en modo radians) para calcula cada valor.

Con valores menores que cero

y —289) 062) -0063 | -0.0063

Con valores mayores que ero

Fromme

y 65) 31) 0.316) 003

Luego, se tiene que cuando los valores de x
venden ceo, los valores de fs) también tienden
acero portato Lim f(s) = 0,comose muestra

nla siguiente gráfica

Finalmente, se tiene que (0) = 15 ex diferente
al valor del limite de la función cuando x tiende

Recuerda que.

uns 189

90. 12 Definición formal de límite E)

>

92. Afianzo COMPETENCIAS =

(© Responde cada una de ls siguientes preguntas.

vo + @propongo + Berre

con base en as gies determina si ls mer

lim fs
+ f qe
(Completa ls siguientes tablas y, con base en las, FES
10. Lim fo
q T F
Une
= 14. Lim g 16. Lim g(x)
a 15. Lig W760)
iy bs ara cada función y el dado, e
, 3° 0 que sig la dein de imite
je 18. fi) = 3s e = 0,01; Lim (3x + 1 5
i Anos 2 à api
, 921. Demuesa, uilizndo la definición de mie,
non [EEE a =
as Yin 2 = 2e.

Lim k
@cconsruye en cada caso una tabla pars uscar ©
refutar la proposición.

8 Lin 9. Lim sen = 0 24.

(Considera a función y = fl) =

CConseraye una tabla de valores para valores er

93. 13 Límites laterales < (ED) row

Las aproximaciones que se realizan para determinar el limite de una función se rea
conan con el concepto de imite lateral

Los límites trae se representan de dos formas distintas seg sl aproximación se
realiza por la nquirda o po la derecha

por derecha es gua
¡de a pora izquierda es qu:

La exisencia o no existencia del limite de un
ya quesos limites laterals exsteny son iguales, en
y es igual al valor de los limits laterale. En cambio, los límite laterales no existen o
ton diferentes, entonces, limite dela fun

ción depende de los límite laterals,

Lim) = Lsiyslosi Lim f(s) = L y Lim fla) = L

Por ejemplo, enla gráfica 1 que se muestra a continuación s iene que Lim fs) =, y

Lim/ts) = by, ded

le se deduce que Lim f(s) no existe, Por ot p

2, se tiene que Lime( = b y Limgls) = b, de dond

se deduce que Log) se

yes igual ab

160

1. Determinar el límite indicado en cada caso a parir | ba Lim ga)
dela gráfica 3

Primero, e determina el límit
= Lim foo 7 por quid
por aigue Luego, lla imite po a

Lig ft)

Luego, se hall el límite para 4 Lim gla) = 2

la derecha, 1 Finalmente, e tiene que

Lin fe Lim 40 no existe porque los

Finalmente, e tiene que Lim FU) existe y esiguala 3. | ie laterals son diferente

94. |

2. Realiza a grin de cada función. Lucgo, deter- | 3. Enel siguiente cartel ve mucsra el sistema de cobro
mina los limites que se indican, em un parqueadero.

| web > Parqueadero

inf Lin fs) Lim fie Horatio 10... 10 p.m
Tarifas

Ñ A + Cada hort of
+ Mis de 5 horas $10,000

4 Estancia méxima 12 horas.
| d so
a. Realzarla gráfica del costo Cen función del iempo

a función Ces por parts por tan, su representa

á J i ied poe

Luego, se deerminan los Limits laterals,

Finalmente, e tiene que Lin fa) no existe

A]
bom fea a-ıcz E

Bose rex anit 2
mb Lim bi al É 1 te)

Primero, se raza lag
bo. Calcula el valor de los límites Latas dela Función

reruladon
Lin Co = 2.000

Lego, se determina el límie por la derecha de 1

Lim Ci = 4.000

2.000 y, paa

aparcamientos

Luego, se calculan ls limits laterals en cada punto
apagar es de 4.000.

Lim, H9==2 Light
€. Determinar el alo de los limites laterales en # = 4
Lim, = -2 pd 1 Ps
Finalmente, se tene que Lim be) exe y igual | à jme neal DR
2p His leales son igals. En cambio, | 00 an
Li te) no existe porque los limites laterals son if
sens LimClO = 10.000 Lim GW) = 10.000

95. Afianzo COMPETENCIAS SUR

40) Determina si cada una de Las siguientes afirmaciones
es verdadera o fala, justifica tu respuesta.

25.51 el Lim fi) exime, entonces, Lim fle) va
bién eine
26.5 Lian 03 y Lip 0 exe en

27h
rales defen

28. Lig (3x + 1)= Lim Gx + 1

(A Considera la función dada por la siguicnte expresión

W si-<x<i
= sil<x<3

29, Realza a gráfica de
Determina, en caso de exist, el valor delos si
guientes limite.

30. Lim, fü 35.Lim fo)

31. Lim, fo)

36.Lim fi)

32. Lim, foo Lis
33. Lim, ft) 38.Lim
34. Lim, fs) 39:Lim fs

© eben, en cada caso, la gr de una función que

cumpla a condiciones propuestas.

Lim, fs) = —1i Lim flo) = 3
Lim fle) = 2:0) = 0:A-2) = If

42, Lim, f(s) = 3: Lim. fl) = 4. Lim fo) no
existe, Lim [> Lim

Considera ta función parte entera fx) = |x

43.51» € Z, euinto valen ls limites laterals d
44, ¿Existe Lin e

55.5 os límios Li
Lim [st

nites de acuerdo con la

(Determina el alor de los

gráfica
rest)

46. Li 49.Lip

47: Lim go 50. Lip y

48, Li S1.Lim ete

Dresponde la siguen po
52.51 Lin f

53.5: Lim fl 5: Lim 1 yade

Es servicio de acueducto en una ciudad establece una
tarif básica de $15,000 más 52.500 por m conse
mido. Si el con
cobrara a 53.000,

mo excede los 40 m), cada m? se

54. Models una función que relacion el valor quese
55. ¿A qué valores se acerca el costo, para consumos

96. Historia de
llas matemáticas

[e la defrición formal de
ite, Además demosvó

96] ora

14 Cálculo de límites aplicando propiedades
Ba momen dead ine de un nión mein bla de er
rennen bie pan em co del em ep
pried

propiedades destins < ED) 2°:

Sean fs) yg) funciones als que Lim fle

y Lim gl) = M y kes una constante

rea, enconces se cumplen las siguientes propiedades.

a fg) = Fig 00) = FUN Lig FU) = JUN

Lim (Log, f(s] = Log, [Lien F0] = Log, (2) siempre que L > 0

Principio de sustitución
(Our propiedad importante delos limites e el principio de sustitución, en el cual se
establece que Lim f(x) = fla) es dein, que en algunas funciones el límite cuando x
vende hacia a def) se obrene remplazando a en fo) y realizando las operaciones. En
particular para calcular el limite de una Función polinómica sempre se aplica el principio
de sustitución.

En el caso de las funciones racionales s aplica el principio de susivución slo sel valor
que se remplaza hace que el denominador sea diferente de cero.

99. ‘Afianzo COMPETENCIAS

O Determina el valor

Dee y resuelve. Juifs tu

Qi Lim fis) = 1: Lim
encuentra el valor de los siguientes lites:
61. Lim f

62. Lim

Gi. Li
65. Lim

66. Lin

QWcatcuia d

68. Lin

70. Lin

71. Lin

Den sa

@Dereemina el valor de los limites de acuerdo con las

100. 15 Límites de funciones indeterminadas

ecuerdaque 4
1. Determinar el valor de los siguientes límites. | vente, Lim = >
«e 7 | 2. Calcular Lim“ =
Lim 24222 ln +2
nai
Finalmente, Lim, À 2 2.5 1 à
i |
| = +30 +
| al

101. Limites defunciones radiales

EJEMPLOS JS —

a. Lim 3
L J
la)
L
b. Lim = a

102. 1.6 Límites de funciones trigonométricas

103. eme À

104. Darsunenis « jr - @Razone

Afianzo COMPETENCIAS,

(@ Responds ls siguientes prune (DResponde Y, sel enunciado es verdadero oF et

Falso. Juifs mu respuesta,
93. ¿Cómo se evitan indrerminaciones

95. Para qué valores de ai (an) no eine 105. Toda indetermin. pue
(O Dsirmina el valor delos siguientes límites naco es
nal 106 2) =, con m y dienen de
96. Lin A SE=t ie
108, Detrins, x, init
99. Lip E
100. Lin STE socia cas limie con recto valor
tote el, 109, Lig z a +
102. Lig = 28 = 38-18 no. tip EEE bo
© 103. Encuenes y core los errores que se come | 111. Lig 53 ä
2d 12. in LE 4-7
Lim I
5 7
2 er | up ZS, s
Ley da
114, Lim £
a ) (115, Vitis et hecho de que Lip RE = 1 parade
Lim
o e sonra formalmente que in LS = 0
E] mer por + us
KEN) Encuentra el valor dos siguienns mies gone”
ae 116, Lin sen
Lim se
"ru 118. Lim &

105. 17 Límites infinitos - HB)

»s, cuando se cala el limite de una función para un valor dado, se

Para expresar que los valores de fs) à cuando x se acerca ¢ x escribe
Lim f= 9

De igual manera, sio (x) crecen in cor cuando xs acer se escribe
Lim fd = =

dado.

fg EM OS —

1. Realizar ana tabla de valores y analizar el comportamiento dela función

100 = BE para valores de xcercanos a 3.

«68 | ~698 | -6908 | ~69.998 | ND | 70.002 | 7.002 | 702

En la tabla, se aprecia que para valores

Mientras, que para valores ce

=i Ten
La representación gráfica de la funció À

2. Elaborar una tabla de valores indica sl Función crece o dere sn cota wt

4,8 49,88 499/88 499,88 ND -5.000,13 -500.13]-50.13) -5,13

Lego, cuando zielen —2 pur lain ot, Es decir
Lim oe. Además, can x) decree in cot
Es decin, Lim, 2x2 = =. Finalmente, Lim 727 no exi

106. 06)

Historia de
las matemáticas
Hen Poincare

(a8s4-912)

Recuerda que...

18 Límites en elinfinito Cp Ax:

a yla unción) e aproxima a os valores Ly M.
pecivament, Estos limites se Iman lite en el infinio y e expresan com

fo=1 Lim, fo) = M

no signa que en un lugar muy alejado a a derecha respecto
al je x exista un nümero mis grande que todos al cual s aproxima x. En garde st

“ER Un = 0 Un = 0. Admin d¿ER* ys
pepe my Lig, = Gare igh ny La, = mos

1. Hallar Lim FO y ‚Lim, fl 8.
Moe] 200] +] bas ] cae

Cuando x toma valores cda vez más grandes pero negativos, la Función 69

Cuando x roma valores cada vz más grandes pero poscivos, la función [60
tiende a 0.
Sache Lim $= 0 y Lig À = 0

2. Una población de pingúinos crece en un ambiente de confinamiento de acuerdo

con a curva de crecimiento logístico quese muestra en la figura. En esta, Ces la
spacida de sostenimiento del ambiente y representa la cantidad máxima de indi
duos que pueden ser sostenidos en ese ambiente.

Plantar un limite que determine la capacidad de sostenimiento del ambiente habitado
por les ping

Ense

la función población de pinglinos P depende del tiempo 1. Es deci, 0)
Luego, limite que decrmina la capacidad del ambiente es Lim PU) = C

108. G

Afonzo COMPETENCIAS Jus

Expresa con sus palabras el significado de ls si

CEE

122. Lin fo 124. Lim =

123. Lim, ft = L

125. Lim fs) = ==

(D Desermina, en caso de exist, el valor de los si
guientes limites. Jus us procedimientos.

126. Lin )

7. 10 ET

128. Lin RE 2

129. Lim,

130. Lin, SE

131. Lin, ES
we

oben ls grs de sinne onen
Sipe

133. Lim 3
134. En el cao dela función y = fs) = e cuál de

Qi fx) es una función ac

tames reales m y M tales que m

la(s deci existen con
M para

cualquier € Dom f) entonces Lim [= 0,

135. Demuestra que Jin SE = 0

136, Deter

A A soto po

(Dean fy funcions polinomials,
1305 Lim L2 y Lim £2 eisen ¿cómo son
D Considera a función y = fa) = tg
139. Comple ve ab
140. ¿Que se puede afrmar acerca de Lim

Encuentra una función que cumpla ls condiciones
propuesta en cada cas,

141. Lim x
162.1 xy Lim fla) = =
Analiza os siguientes limites,
143. Lim À 146. Lim À
144. Lip SE 197. Li
145. Lim 2 148. Lig
heey resuelve
149. Se
de
ie Fi

idad dela i

109. 19 Límites exponenciales E)

¡ES ———

110. Linneerponencatespecal CD

EJEMPLOS 5

Determinar el valor de Lim ($

2. Verificar que Hin (1

111. Afanzo COMPETENCIAS a

peta cada uno delos siguientes enunciados

delos siguientes limites.

158. Lim(

DDerermina

guienes limite

Da

se india.
162.6 165.
163, 166.4

à: Daroumento + Proven

PConsider la Función y = fis) = (1+ À

fos

Drerponde cat res

DSi =
va.

112. 1.10 Asintotas de una función LD asks

El rérmino asíntot se utiliza para describir una linea que se “acera”, de forma indef

Asintotas verticales

Generalmente, cuando se están buscando ls asínotas verticales de na función racional,

se determinan ls valores dex que hacen el denominador dela función cer.

Asintotas horizontales

xtiende a o cuando x tiende a =, los valores de sto

exista el límit de fi) cuand
Timites determinan ls asínotas horizontales

Asintotas oblicuas
Una función) tiene una asintora oblicua en y = mx + 6 i se cumple:

Lim m donde m # 0 fle) md = à

Una asinora oblicua de una función es una reta de la

1. Hallar ls asíacras verticales y horizontales de f(s)

Las posibles asinroas verticales s

241 A 541.3
Como Lim SH = Lim 4
1
PES op SET
info uns = | Bat
Luego, la recta con ecuación y = 1 esunaasintota horizontal dela función ait

113. 2. Determinar sia función fs tiene
Fr
may u
Kin
L 310 =o
| an a ba
Lio - ml = Limp

ssitotaoblicua. Sila asin

114. Atanzo COMPETENCIAS Sa

O completa cada uno de lt siguiee enunciados
178.51 Lim fo) = bla reta y = bse di

179. Una función A iene una asín

180. i Lim FO = + y Lim

DA pari de la grfica de la función determina sus
asimotas. Juste cu respuesta.

is.
= Ei =e des
182.

Asínoras verticales

185. La función hin) = VE FO

(Determina las asintotas horizontales y verticales, si

las hay de a siguientes Funciones

termina el valor de verdad de cada uno de los

Complea a siguiente abla

que f(s) = FR y e) indica el cociente dela
división emu py 4

Amor

10 obli

pars)

193. Qué conc

@encuentra las asíntotas oblicuas de las si
Funciones radicales Realia un esbozo desu

va pero
La gráfica muestra la estatura x en metros de un
mamifero en función de su edad ren años.

115. Estándares

2. Funciones continuas : E) sem

Intitramente una Función es continua, sis gráfica no presenta algún tipo de cambio

abrupto o slo, En cle, la continuidad de una función se analiza puntualmente

Porejemplo, las dos primeras funciones no son continuas para x = a La tercera gráfica

muestra una función continua en x = a

I 97)

10) +

Existen situaciones relacionadas con funciones continuas Pr ejemplo, al considera el
jento de un cachorro y analizarla función que describe el peso del cachoro en

n del tiempo, describimos una función continua puesto que el peso del cachoro

mo para de aumentar cn os primeros meses de vida
Ahora al considerar el precio de la gasolina por galón, se observa que la asignación de
‘tos precios se establece mensualmente y cambia al final de cada mes. En los primeros
cuatro meses del año 2012, la gasolina varió mes a mes en promedio 5200,

(Cuando se relian as operaciones entre funciones continuas dan como resultado fun

ones continuas, Es deci, sy te) son funciones continuas entonces ls siguientes

«gd LA i gs) # 0 £a (fe gt
Además, como ejemplos defunciones continus tiene que

ss funciones polinómicas son continuas en

1 Las funciones racionales on continuas en todos los números eles desu domino,
# Las funciones radicals son continuas en todos los números reales de su dominio

sesh definida. Es decir. > Oy «> 0.

Historia de
llas matemáticas
Bernard Bolzano
(71-1848)

116. 2.1 Continuidad de una funcién en un punto

&

1. Determinar ia fun

2. Determinar sila función fi) GAS es continus en +

117. u ©

2.2 Continuidad de una función en un intervalo 9

u mail
Ina función es continua en un intervalo abierto (a, 6), fs continua cn tod
puntos del intenalo (a, D

1. Observarla gráfica dela función fi) Luego, dete | Como Lim /69 no ease, entonces, la función no es
minar su continuidad en (0, 3 cores
* 2. Encontrar el valor de las constantes a y para que
t x six<o
& y 7 fi)=factb d0<x<1
2 sapı
il | como la fi xinua en R, os puntos de
yx= 2 ya queencl reno de | f(0) = «0
im FO = Lim (ar + 6)
Enx= lise ie
Lip £6) = Lim (ax D+i=até
im fla) = Lim 2 = 2
Finalmente, se vera que paa a = 2 y b= 0, se iene

118. Afianzo COMPETENCIAS

@Responde ass

lentes preguntas

202. ¿Qué co debe cumplir una función f
203. Desde el punto de visa gráfico, ¿cómo sent
204. ¿En qué radical diferencia entre cond

Dias funciones dadas en las siguientes gráficas son
discontinuss en los puntos dados. Indica cuál delas
‘condiciones de continuidad esla que falla.

205.
‘fo
206. 4

intere

à» @rropongo + Bert - @Razone

ina los valores x € R, para los cuales La fan

aio. fo as, ts
211.460 = Ln + 1) 214, fs) = van
Q@derermina la función es continua en el punto

indicado.
RE à <a

le-4 2-1

paa sx
216. g69=|x=5 o
> I

a ol valor de las const

oc +2 sac-ı
[rer
zn LEE NT

© completa la definiciön de cada función a wozos con
expresiones no constantes y diferentes, de forma que
t dx

119. Estánda

23 Discontinuidades OD

Ina función no es continua o es discontinua, cuando no se

120. 120

A CD

discontinuidad no evitable esencial

AE

¡dad dela función go) ens = 3 esno evitable, donde

nidad no viable en x = 3.
2. Observar la gráfica de la función .
a). Luego, determinar los valores t t .
de x par los cuales la función pre 2
senta discontinuidad evitable o no
viable 2
Primero la función Ms) presenta diss get =
inuidad viable en x = ~1, ya que a
=D = =2y Lim blo [
2,lafunción presenta
ad no cvinble, pueso que I}

Finalmente, la función Ms) presenta discontinuidad no estab

x= 2. Además ota disconeinuidad evitable en x

121. Afianzo COMPETENCIAS Sa
One

onde las siguientes preguntas

224.$i Lim fo) n

DObserv la gráfica de cada función, determina los
os en los cuales es discontinua y clasifica sus

continuidades,

25. 226.

(Encuentra cl punto o los puntos donde la función es

discontinua. Luego clasifica sus discontinuidades,

7. fo) = À E
fet2e six

233. fos

= la sot

Rusos rl

Estándares

(D Determina el valor de verdad de cada uno de los

246.1

Construye la gráfica de una función con ls condi

(La gráfica muestra la fuerza de aceleac

despegue de la nave espacial. Esta iene dos cohetes
de impulso, Aquí ges la fuerza de gravedad.

so

122. Do D

E Límite de una función
i Halla los limites para cada función dada. is
‘ en 257. L €
EL
Cc im |
C ”
M ur
N 2:
> A 260. 1
ET
à Pare
ee ne
E 255. Lim “ = |
A Le |
E yf
e AP ee 1
re ws de la función 264. Si L pe
EEE von = D 1} 27.
Luego, realiza un bosquejo de la gráfica. a |
265. Si Lim À 2 ‘
€

A

123. Funciones continuas

© Realiza la gráfica de una función que cumpla con

las condiciones adas en cada case,

© Deer

D 273.Redefine la función fi

D Lee y ruche

124. ES PROBLEMAS PARA REPASAR) ¿0 à 0 ©

¿Cuál es la profundidad inicial, ¿cuál será la profundidad final
cuando termine la construcción del dique, es continua la función?

Comprende el problema

las progetes del problema?

undidad inicial, ¿cul ser la profundidad final cuando termine a co

¿Cuáles son los datos del problema?
La profundidad de la capa de arena et dada por la función p(0)
Elabora un pl

Verifica y redacta la respuesta

Se comprucha la continuidad de a función = 1. Luego, s tiene que la profun
dida que transcurre el tiempo. Además, la profundidad inicial

125. 200000000000 6 ee

79. El balance entre as pérdidas y las ganancias (be
neñios, en millones de pesos, de dos empresas
está dado por las siguientes expresiones

Empresa B bin)

Calcula hacia que valores tienden los beneficios d

Howe as aides 280 y 21 de saeco la
nom À

280. Halla el número de habitantes el año en que se

Calcula cuántos habitames habrá cuando el tempo
aumenta indefinidamente

La temperatura en grados centgrados de un objeto

en función dl tiempo ten horas ti dado por la
¿Qué temperatura tendrá el objeto con el paso

indefinido del tiempo?

Resuelve las actividades 283 y 284 de acuerdo con la

le un cilindro ua

Un gas se mantiene a una temperatura constant dentro
4 xs se comprime, su volumen

ixminuye al ar a una presión crítica, de
al forma que al sobrepaar la presión se conviene en
líquido, Este proceso se representa en la siguent gr

283, Calcula imerpeeta Lim V
284. Calcula inerpres Lim, V

Responde ls preguntas 285 a 287 de acuerdo con la

siguient siwación

Un estudio de rentabilidad rec que una empresa que

invierte x millones de pesos obtiene una ganancia Gls)

dada por a expresión

is +16

285. ¿Cuál esla ganancia dela empres si inviere dos
millones de pesos

n Gis) en todo su domini?

287. Sila inversión es cada ver mayor, ¿qu ganancia
obtendrá la empresa?

126. N que aprendí, ¿para qué me sirv: }—

..Para conocer el crecimiento air
de un cultivo de bacterias.

1. ¿Por qué cres que es necesario el contol de crei
‘mento de culivos de bacterias

3. Un cultivo de bacterias crec en miles cada minute |
de acuerdo con la siguiente expresión

Analia la continuidad de la función
gráfica. Luego, de
vo de bae

parte de la
para saber si la Func

continus en mina si es necesario colocar el

Consult en qué sectores de la industrias trabaja
Line +3=12 con el crecimiento de bacteria. Luego, explica a

idad de una función de crecimiento,

se

127. Objetivo:

Descripción:

Para acceder a WIRIS ingresa y trabaja online e:
‘wena neveduca madrid or veiis/es/
Index html

© Haz clic en Análisis. Luego, observa las herra-
mientas asociadas al cálculo de límites de una
función y el área de trabajo.

© ingresa Lim para

‘obtener el resultado, como se muestra en la
figura

eN. Luego, haz ic en

O Para ingresar una expresión algebraica con
signos de agrupación fracciones y otras opera
«iones, utiliza las herramientas que se activan
fen Operaciones, como se muestra en la guia

ingresa Lim 2545

para obtener el resultado, como se muestra en
la siguiente figure

$. Luego, hazclicen

© ingresa Lim +. Luego, haz ci en = para ob

tener el resultado, como se muestra en la fi
gura

mio
© Ingresa Lim (1 + x)*.Luego, hazclicen = para

obtener el resultado, como se muestra en la
| Fgura

er
e

" ©

128. Estándares: pensamientos numérico [9 Lo que sabes...)

y variacional

> Tu plan de trabajo...
una función y la continuidad de la misma.
derivado de una función
a a derivada
en un punt, usando la calculador |
2. Hal a ecuzo
| Encuentra en tu (Eure } ciones dadas.

3. Calcula los siguientes limites.

a big VF b. Lin

129. [NY esto que
¿para qué te sirve?

Para medir la variación
de la cantidad de azufre
presente en la atmósfera.

La actividad volcánica es un fenómeno natural
que afecta notablemente la fora, la fauna y alas
comunidades que habitan cerca a los volcanes,
ASÍ por ejemplo la cantidad de azufe presente en
la ceniza que emiten los volcanes puede generar
enfermedades respiratorias en ls seres humanos.

2 Lee más acerca de est tema en la página 156.

130. 1. Noción de derivada ‘BB sem

El conecto de derivada de una función
lk

ene que ver com lap
‘de Arquímedes y el otro ae cálculo
er Galileo

Isaac Newton dela velocidad samen deu
16421727

recta tangente cora ala curva en más de un punto o en otros caos no habrían tecas
tangents, como se muestra en las siguientes Figura

El problema de encontar la reta tangente en un punto P se reduce a determinar su
pendieme en ese punto. En este caso, se aproxima la pendiente dela recta tangente por

Para el clclo dela velocidad de un cuerpo en movimiento, e analiza el hecho der

cul ‘donde propone que la distancia resorida por un cuerpo al cac

ibrements proporcional cuadrado dl empo que ha sado cayendo, despreciando

los factors xtenos resistencia del ave. E deco, si) s la distancia recorida

después dee segundos, entonces, () = 49 #
En ese caso la dificultad se presenta al calcular la velocidad instantánea del cuerpo al

la velocidad promedio, la cual se define como la razón de cambio de la variación de L
distancia recorda en dl imenalo de tiempo transcurrido,
A continuación se definen taa de variación media y tas de variación instantine

131. 1.1 Tasa de variación media

La variación media de una funció

ay _ fo
=
Donde dx sla variación en xy Ay es la variación de la

a fdehmida en un Imerrdo le, 8, cquirale a a pes
diente de la recta o

à
3

a

Bet

Estndares

Recuerda que.

mm =
fof)

a a los segundos, la

à respect al temps

1. Analizar la asa de variación media de la siguiente
siwuación. Una empres vextl ha puesto en marc
tan muevo material con la intención de remplazar el
tradicional en términos de volumen de ventas. En

la gráfica se representa la evolución del volumen de

| venta de estos dos materiales durante los 11 años

después del lanzamiento de nuevo material. El verde

representa el último material, el tiempo est expre
silos de peros

os 10 ah
favorable. Durant et p

üldmo producto tuvo un aumento de 140 millones de

à tas de variación medi de ventas del material

Asi el volumen de ventas

lio anal, de

La tasa de variación media de venas del material rad

LL años cs

Ip

2. Hallar la velocidad media de un objeto que ce desde
dere altura y cya posición end dada por la función

X) = — 498 + 30, donde s está medida en meros

y resté medido en se
La veloc 1,2) etd
dada por:

ae

YY

104] - 25,1

132. 1.2 Tasa de variación instantánea - CD min

Recuerda que. >) Considerar Av

Lim À

E

= 1. Dexerminar latas de variación instamsánea de cad Función en valor indicado,
a. fi) = he + Den x = 15
Lim I Le
5-44) 15)
Li
Lim =f
bo fe Sxenx = 2
Li
Ey AS as
bin =? s ==
Lim 2
Finalmente, a casa de variaciôn instantánea de À Swen = 2

133. EE a et Sa

a. Encontrar a velocidad media del objeto en el interval 8,

b. Determinar la velocidad en 10 segundos.

ta durante un período determinado, de modo que
grados Celsius, se ha incrementado como una función del
2, Calcular la taa de va

3. Una barra de hiero se

134. © respond Explica cu respuesta

1. ¿Cuáles fueron los dos problemas que diero
2. ¿Cuáles la rlción entre as de variación media
{velocidad promedio

(at la cs de variación media de la siguientes

fe) se
4. 10.10 5. (-4,5]
(Calcula la tasa dev

7,2) de cada una de as siguientes funcione.

Gy gs) =» — 4x

6. fle) = 3x8 5 + 1288 + 48
9. fis) = Log (3e — 8
10. hin) = sen (58) = cos (x)

Tara la gráfica de una función continua que
cumpla ls siguientes condiciones:

+ Latasade variación media en [5,0] es nega
+ La tasa de variación media en [0.4] es pos

+ Lataadeariacón mediaen osinervao

Dindica el valor de verdad de las siguientes propos!
clones. Justia tu respuesta.

12. Sina función polinómica es ereciente ene inter
valo La 0)

13, Si una función polinémica pose asa de variación

aración media de fle) = = 5 + Ben

15. La tas de variación instantánea de la función

Encuentra la velocidad que lleva un objeto, en el
a je
sante dado, cuya fe
india en cada caso. 1) está medida

a de movimiento) se

20.4) = -8

21.0 enı= 108
Qui y resuelve.

La presión ps en armósfras, de un líquido homo

eno yen equilibrio, varía con la profundidad J, en
metros, de acue

Calcul la asa de variación media dela presión
Sn función dela profundidad en el ineralo de 0

2

Para cualquier profundidad de intervalo O m a

15 m. la presión p puede ser descrita por la fun
a
+ 0. Determina los valores de ay .

ción p = ah + b.dandeay bson constantes, con

2
3.

Calcula la presión en 8 m de profundidad

Demuestra que la tasa de variación media de
la presión en función de la profundidad en cl
ingervlo de O m hasta 15 m. es constant para
Cualquier valor distinc, hy Jade profundidad

Lacoriación de una acción dela Bolsa de valores
sigue la función fix) = 0028 + 1, donde x es

ía de La semana (0 = hunes,1 = manes.)

26. Halla la asa de variación media de es cotización

135. 1682-1716)

136. 2.1 Derivada de una función en un punto

derivada de una función fix) en el punto x = a, se smbo

Si fa) está definida, significa que fi) es derivable en 4, 0 que JU) tiene una derivada
na Gométicament la derivada e la pendiente dela eca tangente aa gráfica de a
Función enel punto Pia, la), como se muesta en la siguiente ura

pan

te entre los puntos Py Q es

La figura se observa que la pendi

flat b)~ fla _ ferh=fo

ente dela recta tangente en el punto P.

Luego, cuando b tiende a 0, se obriee la
fa +b) ~ fla

Es deci, Lim

Calcular la derivada de cada función en el punto indi- | b. g(x) = senxenx= =

cado,

a fle)

Lin

Finalmente, la derivada dela función en x En ER fo BANS

neg = 1

138. vi + Daroumento + @iereto - @Razono- (soluciono problemas

zo COMPETENCIAS

Ari

MResponde ET
27. Cul erpreación geométrica de la d ia 0
derivada de una funció ae

Arc

31 bo £
33.7 = 38 ay =6

Qiatts 1a función derivada y la derivada en el punto
indicado.

38. gi) = py ene = 4

D Demuesta cada una de las siguientes proposiciones

41. Si fe sonces, la función fs

ás. indica cuál fue el error cometido al calcular la
derivada de la función en el punto indicado
Explica tu respuesta

139. 2.2 Recta tangente

fa EJEMPLOS

=

x para el cual la
realizar la gr

140. Recuerda que.

2.3 Recta normal [ED

A EJEMPLOS =

Hallar a

141. Afianzo COMPETENCIAS MAMMA A
Doerermina 4

Justifica mu respuesta,

7 ica à
+4 i
55 Mesina va pins ss tens rn dal

Determina la cu
dela función fen

es y rche 77.1

142. 2.4 Derivada de una función en un intervalo - (ED

derivable en un intervalo

M EJEMPLOS

144. Historia de
las matemáticas

Pierre de Fermat
(01.1655)

eur
LA

V4 | oss

derivada de una función f sla unción que asocia cada número x
mf" = (x € Dom f//1s) existe

2.5 Función derivada

Lafan

su derivada, sexist, Por tanto, el dominio de Fes

Geométrcamente es posible hallar la gráfica de la función f'a parir dela gráfica de f
teniendo en cuenta que (xf) es un punto de la gráfica def tal que flo) es La pen
¿lente dela esa tangente ala gráfica de fen el punto (, Aa)

fica se puede observar que la pendientes de las rectas

tangentes ala grfica de la función gen los puntos x = à y x = e son positivas por
que en la gráfica de los puntos valores (a) yg) también son positivos. En

la pendiente dela recta tangente ala gráfica de gen x = ces negativa, por lo que (0)

Gráfica deg Gráfica deg
A ere

En estas mismas gráficas se muestra que en x = by en x= das recta tangentes son hos
zonles, por esta razón en a grafica deg los valores de $6) y de (son iguales cero.

Determinar la grfica de la función derivada f'a parir de la gráfica dela función f

Primero e determinan los puntos (s,s) para los cuales la pendiente dela recta tn

tangente es positiva. Estos puntos son aquellos que pertenecen alos interalos (0,3)

ecenalieralo (3,27)

es negativa. Estos puntos son aquellos que pet

Finalmente se tiene que en

igual acero. Por canto, la gráfica de fes a siguiente

»
|

145. ‘Afianzo COMPETENCIAS

€) Responde las siguientes preguntas.

mina la derivada de cada función en el inter
valo indicado.

Das reis y son tangente gráfica de fen

Si fes derivable en el intervalo (1, 11), determina
cules de as siguientes proposiciones son verdaderas
y cuáles son false. Justifica tu respuesta.

86. fle) > FU 8. fo >0
ss o 9 6 < x < d fu) <0

i

Estándares

126 oropongo- (aereo: razon

@2. Determina cues de ls sigiene gráficas no
son debio en

O Tata gris de cad funció Lagos onu
Les dea pride ea de?

Aral ta función derivada en cada caso.

(99. Propón una función f que cumpla las caracte
rísticas dadas. Luego, traza la gráfica de fy la

gráfica def
a pendiente de la recta en cad

45

146. À 3. Derivabilidad y continuidad
a po u

3.1 Derivabilidad implica continuidad ED

À derivable continua:
|
q
E
|
EJEMPLO —
E
| 29 [ rit ae
q

147. 3.2 Continuidad no implica derivabilidad - 3)

EJEMPLOS

derivable

2. Probar que
la gráfica

148. 6)

149. 3.3 Funciones no continuas y no derivables - [EJ)

ES ;

Determinar en cuáles puntos no es derivable cada fa +6 :
ins six <1 Inte +2) i -2 1
a. fle b fe
ben Je sid 174-150
Luego p a a

150. i Afianzo COMPETENCIAS AMA

© 100. Completa el siguiente párrafo.

(O Identifica en cuáles puntos cada función f no es
derivable

(D Demucsera, aplicando la definición de derivada, que

punto Pque
103. fa) 3, 8
104, fa) = à + 3
105. fa) = 4

@ Tia la gráfica de una función fque

107. Bs dei

108, Es

A Analia la continuidad y a deriabilidd de lass

je 2
109. 9)" Jao By .
jet Ge 1
NO. 09 = lo + 8e «>=
u ica do
| Me
112. ba) = 2e — & 138%
|
[eo
113.4 & s

G14. Hal ls valores de ay b tales que la funció
sea derivable en x= 1

f

late siapı

Resuelve a parir de a función fi
P

115.1 na fun

116. Encuentra los puntos en los q
sable

117. Halla os inter

cuenta os valores de a y de D para que cada
Wilda decada función.

A]

151. O Completa cada una de las siguientes gráficas para
que cumpla a condición dada.

121. No derivable en

122. Derivabl o

D Determina cuáles de as siguientes proposiciones son
verdaderas y cuáles son falsas. Just

124. Toda función polinómica es derivable y con
125.$i fa) = Lo a
126. Toda función por partes no es derivable en

(9128. Traza la gráfica de una función no derivable

en x = 6 que sea derivable en el resto de su

dominio y que su función derivada sea 0 en el
intervalo (6,

(analiza la derivabilidad delas siguientes funciones
trigonométricas en el intervalo indicado.

19.40 = xc xen [7
130.46) = cor en (0,7
131.69 = tan (x + 2) en | FF
132. gtx) = Ez en [Fam

@ 153: Halls valor de 6 para que a función sea con

GE cons Cde producción de un acute et dado

Donde Cse calcula en pesos yx es la masa en hilo
gramos del ariculo,

QE 1 siguiene gris se representa a dan (2

137.0. la velocidad de la partícula en los
138. Determina la derivabiidad en 1=3y

152. © rs Dir ©

I daa
a 141,
s *% Halla la ecuación de la recta tangente que se mues-
Pp e vus
A pase ?
R
A % Calcula la tasa de variación instantánea de fix) en
So Pa
E
P 3.
À er
s E
a nee
R

146. Determina la tasa de variación instantánea dea

153. Estándares

Derivabilidad y continuidad

ica de fi) = 1
© Verifia si cada función es continua y derivable en

punto indicado,

160 Ze
Hala a deivada dete) = 50 - 36 + Lencada | 161 mobi anno enx= 0
153. '@
%) 162. Desermina en cules punto a fnciönes con.
im yen cuáles e drtble Luego, ecb

(© Aplica a definición dela derivada para comprobar

que) na ei Luego, a un bosquejo dela | 163 Tir grade una fancin que cumpla las

Psi fy = 3 -
18.70 558 dci 8 {3}

53

154. ES) PROBLEMAS PARA REPASAR

¿Cua
los 4 meses

Comprende el problema,

Paso 3 Veritica

156. esto que aprendí, ¿para

Para medir la variación de la cantidad D
de azufre presente en la atmósfera.

157. .. También sirve para medir la eficiencia
de un antipirético.

158. Objetivo:

@ Haz clic en GeoGebra en el mens Inicio.

© Observa el mend. Luego, haz clic en Aparien
cias y se Algebra y Gráficos. Despu

© Para hallarla ecuación d normal à
curva en el punto À, se usa la herramienta Per

hy pendicular, como se muestra en la figura

nta Tangentes.

159. o a 0 = ji Luego, determina | Ding a fe) = sen x
lagraficadelafuncion ene! | cuentrala función derivada de acu 1

| Do res \
| + punto A, como se muestra en Vin

utiliza GeoGebra pa

bg

160. Reglas de derivación

Estándares: pensamientos numérico
y variacional

reglas básicas de derivación

derivada defunciones compuestas
derivada defunciones trascendentes
derivadas sucesivas.
solución

ro
Evaluaciones:

161. [NY esto que vas a aprender,
¿para qué te sirve?
..Para hallar la velocidad

de producción de plásticos
biodegradables.

O Cronología de las reglas de derivación

Lo atea acen
ER] mita tetas
FF a tote sss
2 mann,
O neds cede apr
tal pur:

Lu
roue
Ze >
aa Be

a aime et mien mue

162. ®-

Gottricd Wilhelm
Lente

1646-1716)

1. Reglas de derivación «>
“ riadas à

1.1 Derivada de la función constante

163. 1.3 Derivada de una potencia : C3

165. 14 Derivada del múltiplo constante

Recuerda que.

EJEMPLOS

1. Calcular a deivada de ls siguientes funciones. 2

166. Afianzo COMPETENCIAS AMARE]

ronde las siguientes pr

(Determina la derivada decada una de as

(Utiliza la definición formal de derivada para demos

Determina, en cada caso, una función que cumpla
las condiciones que se indica

(DDetermina el valor de verdad de los siguientes nun

ados Justifica vu respuesta.

ropongo- Mier: Q rare @ sac

‘undo x= 1

QResucve loss

(Un cohete viaja enel plano cartesiano de izquierda a

derecha a través dela curva y = 2. En €

‘que apaguen los motores, cl cohete seguirá vijando

Qu globo esférico se expande de f

ma tal que su
ene dado por

167. 1.5 Derivada de la suma de funciones

169. Estándares

ans» @prop0090 - azono- soluciono problemas

(DE scribe V, si el enunciado es verdadero o E si es falso.
Justifica tu respuesta,

33. Si fo) = gs) + oH), con gy h dierencabls,
entonces, fs) = 89) + FC)

34. Los polinomios son funcionesdiferenciables en
cualquier número real. (_)

neuen La derivada de cad una de siens

35/00 = + 3e
36 ged B+
57. bi) = —6é +

38.00

3d = Se +

39. 40)

sea ft und dada pola expen

2-20 +54

fos) =

41. Utiliza la propiedad distibusiva par reescribir
‘como suma de porencias en base
42. Utiliza el resultado del ejecicio anterior para
determinar Lo
En cada caso encuentra dos funciones que cumplan
las condiciones propuesta.
43. Que su derivada scan polinomios de grado 2 y
completos.
44. Que su derivada sea lineal con inteseco con el
ey igual a0.

45. Que su derivada sea un polinomio cúbico sin
rérmino cuade

Responde ls siguentes progama, jnficando su

46. Sila diferencia entr dos funciones es una cons
tante, ¿qué ocure con sus derivadas?

47.Sifls) = gd, ge verifica que fi) = glo

| sico = -22-0= 1yn-
ina el valor delat siguientes drat

dp =
40. Lf) + so)

2 Lies he — st
, =
50. Lo S00) = os
51. Lu = 460 + 3 =
EU = Ao + 300
my) 200.)
Ll 10 teo + dhe)
Determina, en cada caso, el punto o los puntos (si

los hay), donde la reta tangente a la gráfica de la
función es horizontal.

5. Bet 4
Shy=s x
552.1

Qu cada e monda por una epidemia de wipe
Endl deparaann coos ennneinde se na
Que en dls después del Inicio de a epidemia à
mer da pesos efes onl pipe et dado
por PO = 240 par O

iA que at apne pipe los as
Der er

(6. ¿Eistalgún instante para el cual (9) = 02
Significado tene pn = 02

¿Qué

(Una pelota rueda sobre un plano inclinado de forma
que la distancia que recorre al cabo de segundos es
Ho) = 20 + 38 ds remem
61, Hallar la velocidad de la pelo para cualquier

62. ¿Qué velocidad leva la peora en

(63. ¿En qué instante la velocidad de la pelota ser de

Lo que viene.

170. Laderivada
de un producto

Feo = Lim E LL gs) + Lim fle + 8) Lin S

‘Geométricamente, a regla para derivar el producto de dos
funciones se puede deducir considerando dos funciones 4, [TZ
u = fo) y 0 = $C) positivas, ales

[sua

171. Recuerda que..

172. Sau —_—

1. Si fla) = Ve glo) donde 63) = 4 y #6)

determinar 13)

2. Determinar los puntos en los cuales la recta tangente a la curva

horizontal Fa
th R
1

174. | ___

trete » Argumento +

Afianzo COMPETENCIAS Sa

OD ata Las siguientes derivadas teniendo en cuenta
que las funciones. y son deiabls en x= 1 y
demás se cumple que:

posa gordo KO
Ayo (£)
Spa «(o

66.

» 69. (

(Otón la derivada de cade una de as siguentes an
iones ado I regla del product.

na scada proposición es verdadera o fl.
Justfica cu respuesta,
79. Si y = fx) * go) entonces, = FU gl

80. $i

(coa adria dels guientes funciones ap
ndo larga dl cocine

8. foo
es. n= Æ

sr KADEN
87.00

88. pig)= 4 =
$.

(cuen la dada decada funció en punto
indicado aplicando ls reps del produce yde o

91. Ly enx=2

» i
= y

5 round

(talla 1a ecuación de la recta tangente a la «

«punto indicado.
os.

9%.

”

98, y = EG en (2,0

(B99. Si ges una función derivable demuestra que

4.
€

1-9
261 10

175. (O Desrmina sta rca que e representa en cada go
Ba tangente la arcón el pono Ian

100.46

101

sentra la recta normal dela función en el punto
‘que se indica en la gráfica.

102. f

Dadas las funciones fs) =
calcula las siguientes derivadas.

oy sa) =

103. (£) 104. (960

D 105.Scan g hy e funcions deivbles

valo abierto J, Probar que si Ax)
1 emtonces, se

We)

x) para todo y

ea
FOO = gd Mn + gd + + 0)
PORT)

9 vo en un ru eric que obedece ly
Ohm sedehnecome Y= 1 donde es acoso
mises on soplos y Ra reacia medida en

106. Muestra que / decrece a una tas proporcional
al inverso del cuadrado de R

107. Determina la asa de variación de respecto a R

preta el resultado,

una partícula se mueve sobre el eje x y su posi

ción en cada instante de tiempo £ está dada por

+19 = 72. donde she mide en metros y ren

segundos. Responde
108.

¿Cuándo se mueve la partícula hacia La derecha

y cuándo hacia la izquierda?

109. Si la acleración corresponde a la variación de

respecto al tiempo, à

eo cada

110. La expansión de un gas según la ly de Bayle es

mación. Luego, resuelve

vá definida por P = fr, donde P es la presión

constante. Determina latas de variación de Y

sı

respecto a P, cuando P = 4 aim y V

111. La temperatura de un alimento se expresa me

dante la función Ti) donde

«tiempo en hora. Hall la asa de variación de
la temperatura con respeto al tiempo, cuando +
es igual 5 horas

Lo que viene

176. 2. Derivadas de funciones compuestas

m O) > 2.1 Regla de la cadena

Agta derivada interna

eV x € Dom (fg) se cumple

Este resultado puede scibrs también median

Regla dela potencia de una función

1. Determinar la derivada de fi) = VTT IS

se expresa 6) como f(s) = [ua], donde ut

177. 2. Expresar cada función como composición de dos funciones. Luego, hallar su der

vaa
u [B52
[= 2P [a u
| DES. |
1
de HO = ern
Luego, la dead de Ko) e
3. Encontrar la destada de y = JTFF GS =
La D + 2

178. 4. La posición de una partcula que se mueve a lo lago de una ine recta est definida
por la función 4) = JTF 6F €

n sen metros y ren segundos. Determinar la
velocidad y la aceleración cuando £ = 3

5. Una piscina que inicialmente sá ena de agua, se comienza drenar desde el
De acuerdo con la ley de Toriceli, el vo

Iumen Ve agua que quedaen la iscinades
pués de £ minutos está dado por la función

vin = 10.0004/(1.790 - 254), donde
12

Ve mide en galones. Determinar la tas
de drenaje después de 10 minutos

179. Estándares

Afianzo COMPETENCIAS SM
@ 112.Compler a siguiente bla Encuentra una fnción compuesta He para que su
ervad sea la expresión indicada
= = 6
coz | ee ruche
+7 | ecuencia ri
ee Determina la tasa de cambio de Frespecto a » cuande
@Devermina ta der de cada función. apliandola | 128, Elavin

regla de la cadena,

Ñ 129, avi
119, fo = (2222
ï 130. ¿Cómo
ES ® oe nue
GE ice este
15, Ad w: La presión absoluta de un a una tem-
né 3 | mm de 7 grados ci so +T
Determina Y 6) en punto indica, reniendo | 131. Calcul a aa de cambio de P respecto a
118. fn) = 1 xx lee y resuelve.
119. fla) =1 Le La cantidad de calcio que permanece en una perso
120. fu) = (Tr función P donde ses el temp
IAL. fe) = am stem
132. Determina la vrlaión respect à cuand
(Determina el valor de verdad dels siguientes af rege oe
— 133. ¿Qué significado tendrán estos resultados
122.517 = fee). 3-03 | q,
Determina La recta normal ala gris de a función Ha profundidad en mero del fluo enel tanque
<nelvaor indicado. 134. Cul es la spero à
124.09 = 20 — IPenx= 1 cuando b= 9

180. 3. Derivadas de funciones
trascendentes

Tees el estudio de ls derivadas de funciones trascendentes

ores) 3.1 Derivada de funciones logarítmicas [>

Recuerda que... L

181. 3.2 Derivada de funciones exponenciales [D> E>

EJEMPLOS —

182. El nivel del sonido percibido por el oído humano
depende de los niveles de intensidad, de acuerdo con

BU) = OL), donde 8 end en deceo y |

1, = 1% 10-12 Wim! esla constante de intensidad
de referencia. Determinar I asa de cambio insan-
tinea del nivel Sonoro respecto a la intensidad Y.

3. La magnitud M de un ssmo y la energía

simica E, se relacionan por la función

MCE) = Flog = 1,8), donde Ex

mide en ergls. Determinar la tsa de
cuando E = 100 erg

cambio i

es de M respesto a E

4. La desintegración del polonio en función del tiempo satisface la fu
onde # se mido en dia, men miligramos (mg) y m, ©

¿nica. Encontra la rapidez con que e desintegra el polo

inicialmente hay 300 mg de material

despues de 10 dia

183. Estándares Pensamientos num

Arona COMPETENCIAS _ 9 E neat eee

O Explica, con tus palabras y mediante un ejemplo,
«cómo se obtiene la derivada de

136. Una función logarítmica.

137. Una función exponencial,

Dese

dieras. Justfic tu respuesta.

a s las afirmaciones son falsas o verda

130.5 = innen y= 4

139, iy = Lae emonces,y = 1
140. Siy = ar, emonces, y = 0
141.517 = Ins + 5), emonces, y

Qbermina la de

127 = Log e+ 6)
1 y= La 55
de y= Lg (23
145.7 = Log Log
M46, y= Log (2
1,

Ma. y= £

19.7 5
150.)

is,

pica as propiindes de loarumo, Luego, deter
nal desa de ada fund.

152. y
153. fi) = In
154. y= Ln 60x" RT Y= 2)

lee y resuelve,

La concentración en el instante de un medicamento.
que se inyecta en el torrente sanguíneo se expres con
la función CU) = Ke== — 74) donde & ay bson

| 155. Determina la rapidez con que el medicamento
se disipa enla circulación.

HOA ied a pid ct
Lec rsponde

Eltiempoque gastaunavisn
en subir hasta una alcura
se define por la función

35.00)

donde se mide en minutos
y been pies y 35.000 cs I ltura máxima del avión

35 Log(

157. ¿Cuál es la tasa de cambio de £ respecto a I
‘cuando 4 = 18,000:

158, Cuando el avión se acerca à su alud máxima,
¿qué puede decirse del tiempo que necesita para
ascender?

he
Da 500 heros En sonido: PAPA
Al La velocidad I que as abejas eben mover as
Al depende de cuenca dea sea ys expe

mediante la función o(f) = 596-2407, donde ves

la velocidad del aie cerca de las alas en milímetros

por segundo,

159, Determina la tasa de cambio de » respecto af
cuando f= 100 Hey f= 200 Hz

160. ¿Qué significado tienen los resultados obre
idos

Ce

Una particu se desplaza a lo largo de una reta y su
‘cualquier instante de tiempo se define

por la función 2) = A» à ‘donde Ay

Bon constames y f= Ise mide en meros y ren
segundos
161. Demuestra que la aceleración es proporcional

162. Dererminalaccuación dela recta tangente ala

B
3).
5

184. 3.3 Derivada de funciones trigonométricas

Dervada dela uncónseno < ESD ;

demorar
Recuerda que...

185. Estándares

1. Determinar la derivada de las siguientes funciones.

E
fl) es una Función compuesta, entonces, por rela dela cadena se obtiene
sf Li cos sen sen = (1+ cos.) (con |

2. Unyate que lot enel océano atado :
4 un muelle describe un movi
miento armónico simple, El despla
zamiento s expresa por la función
Ho) = 0,5 sen nr + 6), donde y

Determinar la rapidez con que se

Ban d for ch arm ec
abajo en 8 mi EN

12.06 em/min

Finalmente, la rapide 6 12,06 cm/min hacia arriba

186. ES

187. Estándares

9

{© rropongo: tro aro sotano problemas

(O Explica cómo se bien a derivada des sigues

163. a)
164. fs)

165.) = wx
(Escuela derivada de cada una dels siguientes

166, y = sen @

167. fs) = se (+ 5) +

168. y= Feet

169. 10) = cor 8 (0 + ce)

170. fi)

171. an 302 + cot ( + ©

172. y= an FFT

173. = La fee 8x + tan 8

(176. Descrmina los valores a,b, € en la función
fa = (ax + sen x

Fi

@ecermina los valores de , donde a funciones
dada ene una eta anges heron

x + cos x les que
à sen x. Justifica ta respuesta,

178. y

179.40) = 0

CES

Si fle) = cosxy m sla pendiente de

180. m para x
181. m

182. m par x

183. m para

184, Ordena en forma ascendente los resultados ob

tenis en los puntos 180 a 184.

ata a ecuación de a eta ungen la cura en
Spann dado.

186, y = sen 2e
187.) = 104 enx= 0.
188, y= weix- Lena = me

Occ y recto

Una partícula describe un movimiento armónico
simple y su ecuación de movimiento se define como

189.0

190. ¿Cuándo es maxima la magnitud de la velo

191. ¿Cuándo pasala masa

¿Cuál es la posición, velocidad y aceleración «

193.38
Alec ronde

El crecimiento de una

población de insectos
está dado por la función
ai) = donde P
‘determina el crecimiento

194, ¿Cuál ela tasa de variación instantánea

195. ¿Cuál esla rapider con la que cre la población

Qu sgae de un motor e represen media la
función dl) = 6

196, Hal

otr tiene 30 meses de funcionamiento.

donde rest en años

197. Desermina e
en los prime

qué rapidez se desgasta el moto
198. ¿Es posible que el motor funcione para siempre

Explica u respuesta

188. 4. Derivación implícita EB

—

derivada dela siguientes