Scomposizione di polinomi

Scomposizione di polinomi

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3. Prodotti notevoli NOME TIPO SVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b ) 2 a 2 + 2ab + b 2 TRINOMIO Cubo di un binomio ( a + b ) 3 a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3 Polinomio con 4 termini Somma per differenza ( a + b ) ( a – b ) a 2 – b 2 BINOMIO ( a + b + c ) ( a + b – c ) (a+b) 2 – c 2 = a 2 + 2ab + b 2 – c 2 Polinomio con 4 termini Quadrato di un trinomio ( a + b + c ) 2 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc POLINOMIO Somma (differenza) di cubi ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 ) a 3 + b 3 BINOMIO ( a – b ) ( a 2 +ab + b 2 ) a 3 – b 3 BINOMIO

4. Come fare a scomporre polinomi in fattori?

5. Vediamo se c’è da raccogliere un fattor comune fra tutti i monomi, cioè eseguiamo il: RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D. PRIMA DI TUTTO…

6. Contiamo quanti monomi costituiscono il polinomio (ed eventualmente cerchiamo di riconoscervi qualche prodotto notevole ) Binomio Trinomio Polinomio con 4 termini Polinomio con più di 4 termini In seguito:

7. BINOMIO Raccoglimento totale o M.C.D. Differenza di due quadrati a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati a 2 + b 2 NON SI PUO’ SCOMPORRE IN R Somma di due cubi a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 - ab + b 2 ) Differenza di due cubi a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) Raccoglimento totale Quadrato di un binomio a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole x 2 - sx + p = (x - a )(x - b ) dove s = a + b e p = ab Ruffini Raccoglimento totale Cubo di un binomio a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ( a + b ) 3 Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a 2 -2ab + b 2 – x 2 =(a - b) 2 - x 2 = [(a –b) + x ] [(a –b) – x ] = [a – b + x ] [a – b – x ] Ruffini Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Quadrato di un trinomio a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 Ruffini

8. M.C.D. Il M.C.D. è costituito dai fattori COMUNI, contati una sola volta, con il minor esponente. Pertanto bisogna scomporre in fattori i monomi che compongono il polinomio e poi è possibile determinare il M.C.D. Esempio: 3a 2 b - 5a 3 b 4 + 4a 4 b 6 = a 2 b ( 3 - 5ab 3 + 4a 2 b 5 )

9. BINOMIO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) DIFFERENZA DI CUBI a 3 - b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) SOMMA DI CUBI a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab+ b 2 ) ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati a 2 + b 2 è irriducibile in R!

10. TRINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO E’ un trinomio formato da due quadrati e da un doppio prodotto . Esempio: 16a 4 + b 2 - 8a 2 b = (4a 2 - b) 2 TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado) Deve essere sempre del tipo : x 2 + s x + p con s = a + b e p = ab. Esempio: x 2 - 9 x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 )

11. Polinomio con 4 termini CUBO DI BINOMIO Ci sono due cubi e due tripli prodotti di ciascuna delle due basi per il quadrato dell’altra a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ( a + b ) 3 RACCOGLIMENTO PARZIALE a 2 - 2ab + b 2 – x 2 = (a - b) 2 - x 2 = [ (a –b) + x ] [ (a –b) – x] = = [ a –b + x] [ a –b – x]

12. RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a 3 b + 2xb - 5a 3 – x = 5a 3 ( 2b – 1 ) + x ( 2b - 1) = = ( 2b – 1 ) ( 5a 3 + x )

13. QUADRATO DI TRINOMIO Polinomio costituito da tre quadrati e tre doppi prodotti Esempio: a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c ) 2 x 2 + 9 y 2 + 4 z 2 - 6xy + 4xz - 12yz = ( x - 3y + 2z ) 2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI Oppure si potrà utilizzare la divisione tra due polinomi o eseguire scomposizione con artifici (ad esempio per scomporre polinomi del tipo: x 4 + 4y 4 ).

14. REGOLA DI RUFFINI x 5 – 10 x – 12 = 1 0 -10 -12 2 2 4 8 16 12 1 2 4 8 6 = ( x – 2 ) ( x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 6 )

15. Grazie per l’attenzione!