SEM 1 - SEM 222222222222222222222222.pdf

Deber

1. Investigación Operativa
ECONOMÍA -MODALIDAD EN LÍNEA
Unidad1
Modelosde ProgramaciónLineal
Tema2
Modeladocon programaciónlineal
Juan José Paredes Quevedo

2. Subtema1: Modelo de Programación Lineal con dos variables
Subtema2: Solución gráfica de un modelo de maximización
Subtema3: Solución gráfica de un modelo de minimización
Subtemas

3. Objetivo
comprenderlosconceptosbásicosdelosmodelosdeinvestigación
deoperaciones,identificandosuscaracterísticasprincipales,para
establecerunabasesólidaenelmodeladomatemático.

4. Cualitativa
Losvaloresquedeterminanestavariablesoncualidades,no
números.Ejemplo:sexo,color,religión,etc.
Cuantitativa
Losvaloresquedeterminanestavariablesonnúmeros.Estasse
dividenen:
»Discretas:Encadalapso,lavariablesolopuedeserdesignadapor
unnúmerodefinidodevalores.Ejemplo:númerodecarasdeuna
moneda,númerodehijos,etc.
»Continuas:encadalapso,lavariablepuedeserasignadapor
valoresinfinitos.Ejemplo:peso,estatura,etc.
Tipos de variables

5. ¿Por qué tomar el enfoque de programación matemática?
Poderosa familia de métodos de optimización.
Diferentes técnicas y metodologías:
-Programaciónlineal (PL)
-Programaciónentera(PE)
-Programaciónlineal, enteray mixta(PLEM)
-Programaciónno lineal (PNL)
Programación Lineal

6. 6
La programación lineal es el campo de la
programación matemática dedicado a
maximizar o minimizar una función lineal,
denominada función objetivo, de tal forma que
las variables de dicha función estén sujetas a
una serie de restricciones expresadas mediante
un sistema de ecuaciones o inecuaciones
también lineales.
ProgramaciónLineal

7. ECUACIÓNLINEAL
»Unaecuaciónlinealdenvariables�
1,�
2,…,�
??????tienela
forma:
�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????=�
»Donde�
1,�
2,…,�
??????sonloscoeficientesdelas
variables,y�eselterminoindependientedela
ecuación.
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

8. »Ejemplosdeecuacioneslineales:
5�+3�=2
�
1+2�
2−7�
3=−3
??????????????????
??????
2
�+
7
3
�=2
»Ejemplosdeecuacionesnolineales:
3��+��=5
cos�+3�−�
2
=1
??????
�+�
+3�=2
�+
3
�
=6
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

9. SOLUCIÓNDEUNAECUACIÓNLINEAL
»Esunasucesióndennúmerosreales??????
1,??????
2,…,??????
??????,que
satisfacenalaecuación:
�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????=�
Cuando:
�
1=??????
1,�
2=??????
2,…,�
??????=??????
??????
sonsustituidosenella.
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

10. »Ejemplo:Determinelasoluciónpara�??????
�+??????
�=??????
Una soluciónes�
1=1y �
2=2, ya que satisface la ecuación
lineal:
21+2=4
4=4
Éstanoeslaúnicasoluciónparalaecuaciónlinealdada,ya
que�
1=2y�
2=0,tambiéncumplen.
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

11. »Unsistemalinealdedosecuacionescondosincógnitas,
tienelasiguienteestructura:
ቊ
�
11�
1+�
12�
2=�
1
�
21�
1+�
22�
2=�
2
Ecuación1
Ecuación2
»Ejemplos:
ቊ
2�
1−4�
2=1
�
1+3�
2=2
ቐ
3�−�=2
�+
4
7
�=3
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

12. TIPOSDESOLUCIÓNDEUNSISTEMADEECUACIONESLINEALES
»Paraunsistemadeecuacionesdenvariables,sepodrán
presentarlossiguientescasos:
Sistema consistente.
oSolución única.
oInfinitas soluciones.
Sistema inconsistente.
oNo tiene solución.
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

13. »Pararesolverunsistemadeecuacioneslineales,tenemostres
métodoshabitualesconoperacionesentreecuaciones,queson:
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Reducción.
Igualación.
Sustitución.
ቊ
�
11�+�
12�=�
1
�
21�+�
22�=�
2
Ecuación1
Ecuación2
ProgramaciónLineal –Conceptosbásicos

14. LaprogramaciónLinealesunatécnicadelaInvestigación
deOperacionesquetienecomoobjetivoesoptimizarun
proceso,yaseamaximizandoenalgunoscasoscomo
cuandosetratadeganancias,resultado,ominimizandosi
nosreferimosarecursos,personal,esfuerzo,tiempoetc.
Básicamente,unmodelodeprogramaciónlinealde2
variableseselquesenospresentacuandoqueremos
optimizarunprocesoenelcualestáninmiscuidos2
factoresloscualesinfluyendirectamenteenlos
resultadosdeestudio.
Programación Lineal –Modelo de dos variables

15. 1.Determinelasvariablesdedecisión
¿Quéestástratandodedecidir?
¿Cuálessonsuslímitessuperioresoinferiores?(tipodevariable)
2.FormulelafunciónObjetivo
¿Quéestástratandodemaximizarominimizar?
Debeincluirlasvariablesdedecisión.Éstasvariablesylaformadelafunción
determinaelenfoque
3.Formulecadarestricción
¿Cuálesmiregiónfactible?¿Cuálessonmislímites?
Debeincluirlasvariablesdedecisiónycasisiempreseránfuncioneslineales.
Programación Lineal –Modelo de dos variables

16. Unafábricademueblesproducedostiposdemueblesdecomedorqueestánmuyde
moda:elAméricayelEuropa.Dichafabricaobtieneunautilidadde$400y$480dela
ventadeuncomedorAméricayuncomedorEuroparespectivamente.
Elgerentegeneralcreequepuedevendertodosloscomedoresqueseproduzcan.Los
comedoresrequierentiempodeprocesodeconstrucciónydepintura.Silos
requerimientosycapacidadesdeproduccióndiariossonlosquesemuestrana
continuación,determinarcuántoscomedoressedebenfabricarparavender.
Ejercicio 1: Fábrica de muebles
Programación Lineal –Modelo de dos variables

17. Unafábricademueblesproducedostiposdemueblesdecomedorqueestánmuyde
moda:elAméricayelEuropa.Dichafabricaobtieneunautilidadde$400y$480dela
ventadeuncomedorAméricayuncomedorEuroparespectivamente.
Elgerentegeneralcreequepuedevendertodosloscomedoresqueseproduzcan.Los
comedoresrequierentiempodeprocesodeconstrucciónydepintura.Silos
requerimientosycapacidadesdeproduccióndiariossonlosquesemuestrana
continuación,determinarcuántoscomedoressedebenfabricarparavender
X = # de comedores AMÉRICA deben producir
Y = # de comedores EUROPA deben producir
Programación Lineal –Modelo de dos variables
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

18. Unafábricademueblesproducedostiposdemueblesdecomedorqueestánmuyde
moda:elAméricayelEuropa.Dichafabricaobtieneunautilidadde$400y$480dela
ventadeuncomedorAméricayuncomedorEuroparespectivamente.
Elgerentegeneralcreequepuedevendertodosloscomedoresqueseproduzcan.Los
comedoresrequierentiempodeprocesodeconstrucciónydepintura.Silos
requerimientosycapacidadesdeproduccióndiariossonlosquesemuestrana
continuación,determinarcuántoscomedoressedebenfabricarparavender
X = # de comedores AMÉRICA deben producir
Y = # de comedores EUROPA deben producir
FO = Max (Utilidad) = Max (Z) =
400x+480y
Programación Lineal –Modelo de dos variables
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

19. Unafábricademueblesproducedostiposdemueblesdecomedorqueestánmuyde
moda:elAméricayelEuropa.Dichafabricaobtieneunautilidadde$400y$480dela
ventadeuncomedorAméricayuncomedorEuroparespectivamente.
Elgerentegeneralcreequepuedevendertodosloscomedoresqueseproduzcan.Los
comedoresrequierentiempodeprocesodeconstrucciónydepintura.Silos
requerimientosycapacidadesdeproduccióndiariossonlosquesemuestrana
continuación,determinarcuántoscomedoressedebenfabricarparavender
X = # de comedores AMÉRICA deben producir
Y = # de comedores EUROPA deben producir
FO = Max (Utilidad) = Max (Z) =
400x+480y
Restricción 1
Restricción 2
Programación Lineal –Modelo de dos variables
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

20. 1.En primer lugar hay que identificar las variables de decisión del problema. En este caso llamaremos:
x= # de comedores del modelo América
y= # de comedores del modelo Europa
2.Buscarlafunciónobjetivo.Enestecasoloquequeremosesmaximizarlautilidad.Dichautilidaddependedel#
decomedoresdecadatipoquesefabriquen,porlotanto,elobjetivoserá:
Maximizarz=400x+480y
3.Encontrarlasrestricciones.Comolosrecursosdequedisponemos(horasdisponiblesencadaunadelas
secciones)nosonilimitados,laproducciónestarátambiénlimitadaporestaescasezderecursos
Restricción1 (Construcción): 6x + 12y ≤ 120
Restricción2 (Pintura): 8x + 4y ≤ 64
Programación Lineal –Modelo de dos variables
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

21. 4.Condición de no negatividad: Esta es otra restricción, ya que el # de comedores de cada tipo que se fabriquen,
será como mínimo cero.
x ≥ 0, y ≥ 0.
Entonces, el modeloserá:
Variables
x= # de comedores del modelo América
y= # de comedores del modelo Europa
Maximizar Z= 400x + 480y
Sujeto a
6x + 12y ≤ 120 (construcción)
8x + 4y ≤ 64 (pintura)
x, y ≥ 0
Programación Lineal –Modelo de dos variables
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

22. Existen varios métodos para resolver un modelo de programación lineal. A
continuación se describen algunos de los más utilizados:
•Método gráfico
•Método simplex
•Método Dual simplex
•Algoritmos de Branchand Bound
•Software y solver
Programación Lineal –Métodos de resolución

23. PASO 1: Encontrar los puntos de corte con los ejes
coordenados de cada una de las restricciones.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
x=0
6(0)+12y = 120
12y = 120
y = 120/12
y = 10
P1(0; 10)
y=0
6x + 12(0) = 120
6x = 120
x = 120/6
x = 10
P2(20; 0)
Restricción 2: Pintura
8x + 4y = 64
x=0
8(0)+4y = 64
4y = 64
y = 64/4
y = 16
P3(0; 16)
y=0
8x+4(0) = 64
8x = 64
x = 64/8
x = 8
P4(8; 0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

24. PASO 2: Graficar en el plano cartesiano.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
P1(0; 10)
P2(20; 0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

25. PASO 2: Graficar en el plano cartesiano.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
P1(0; 10)
P2(20; 0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

26. PASO 2: Graficar en el plano cartesiano.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
P1(0; 10)
P2(20; 0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

27. PASO 2: Graficar en el plano cartesiano.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
P1(0; 10)
P2(20; 0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Restricción 2: Pintura
8x + 4y = 64
P3(0; 16)
P4(8; 0)
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

28. PASO 2: Graficar en el plano cartesiano.
Restricción 1: Construcción
6x + 12y = 120
P1(0; 10)
P2(20; 0)
Restricción 2: Pintura
8x + 4y = 64
P3(0; 16)
P4(8; 0)
Restricciones de no negatividad
X>=0
Y>=0
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

29. PASO 3: Identificar la región factible, en el caso del método
gráfico y en especial en modelos de maximización se genera
un polígono(ABCD). .
A (0; 0)
B (0; 10)
C (?; ?) ------este punto aun no se conoce
D (8;0)
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

30. PASO 4: Encontrar las coordenadas de los vértices del
polígono(ABCD), debido a que la solución óptima se
encuentra en uno de sus vértices. .
C (?; ?) ------este punto aun no se conoce
El punto C se obtiene de la intersección de la restricción 1 y 2.
Por lo tanto, es necesario encontrar la solución al siguiente
sistema de ecuaciones:
6x + 12y = 120
8x + 4y = 64
Podemos utilizar el método de igualación:
•6x+12y=120
x =
120−12�
6
•8x+4y=64
x =
64−4�
8
120−12�
6
=
64−4�
8
(120-12y)(8)=64-4y(6)
960-96y=384-24y
-96y+24y=384-960
-72y=-576
y=
576
72
6x+12y=120
6x+12(8)=120
6x+96=120
6x=120-96
6x=24
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

31. PASO 5: Evaluar la FO en cada uno de los vértices del
polígono(ABCD), y encontrar la solución óptima.
Z = 400x + 480y
Z
A(0;0)= 400(0) + 480(0) = 0
Z
B(0;10)= 400(0) + 480(10) = 4800
Z
C(4;8)= 400(4) + 480(8) = 5440
Z
D(8;0)= 400(8) + 480(0) = 3200
SOLUCIÓN:Elóptimosealcanzaenelpunto(4,8).
Porlotanto:
Sedebefabricar4comedoresdeAméricay8de
Europa,deestemodolautilidades$5440
Programación Lineal –Método Gráfico
Ejercicio 1: Fábrica de muebles

32. Puntos claves
Resumen
•Se formuló un modelo PL (variables, FO, restricciones)
•Se representó gráficamente el modelo en el plano
•Se identificó la región factible y posibles soluciones
•Se encontró la solución óptima
Ventajas del método gráfico
•Visualización intuitiva
•Fácil de comprender
Desventajas del método gráfico
•Solo funciona con problemas de dos variables
•Puede ser complejo cuando el número de restricciones aumentan.

33. PREGUNTAS

34. »KRAJEWSKI, LEE; RITZMAN, LARRY; MALHOTRA, MANOJ.. (2013). ADMINISTRACION DE
OPERACIONES. MEXICO: PEARSON,
»RENDER. (2014). PRINCIPIOS DE ADMINISTRACION DE OPERACIONES. : PEARSON,
»HEIZER / RENDER. (2015). DIRECCION DE OPERACIONES. ESTRATEGICAS. : PEARSON,
»MONKS JOSEPH. (1991). ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES. MÉXICO: MC GRAW HILL,
»MARTIN MARTINQUITIN. (2005). INVESTIGACIÓN OPERATIVA. : PEARSON,
»TAHA HAMDY. (1998). INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. MEXICO: PEARSON,
»Hernandez, G. (2011). Tiposde ModelosenInvestigaciónde Operaciones
Bibliografía