Shigley j.e. elementos de maquinas, vol. 1

ELEMENTOS
DE MAQUINAS

Josep! ple Shigley

CONMECA AS OBRASOA.LTC

Anno
cacon °

Oran ce Máx

asievocwinee
TELLES Tumaco tng + Matra, Proj a Demnho
TELLE 2 Fand Inout Cle

1 PREFACIO

cap. 3, quando 6 feto a anise das delexdes. O Cap. 3 apreseñta um estudo arunçado sobre
Rambager
No Cap. 6, abordase carregamo
cap. 9, dedicado » unides soldadas, br
sida nu andise de tenes de unidos sueltas a cisalhamento, 01520
Imancais de tolamento. aborda vida de mancas, confiabilidade, carregamento sobre mancais e
Éolamentos cónicos. O Cap. 8, sobre elxos e drvores coniém os métodos de Sines e de K
Ju puis projto e anise de ixos e devores
ico objetivo ao recscrevo este lio fol o de sarar deficigncias que existem em edigóes
anteriores, dando maior claeza em certs passagens © meihorando a redaedo e ilustrado dos
problemas. Muitos exerplos Forum subsituidos ou revisados e é nova a maris dos problemas
ya trabalho a domicño. Os das edigdes anteriores que se mostraram adequados,
lente resultado no trabalho de autoaperfeigoumento do estudante, foram mantidos

jun, por engentctos de

elo na prática Jo. Por esta 10210, em muias partes, ete texto dirige se 10

engentciro se e, econhecendose que surs necosida
diferentes e que de melhores # iver o projeto completo. As
laccisaos tomadas por um engenheiro na reolugfo de um problems dependerio desis mios €,
postanto, podem variar bastante de uma indüstia ou de um departamento de Engenharia para
lane, entretanto, deseja obter a repos que € a resposta obtida pelo
tem sido difícil alcangar se este duplo objetivo. O problema ntero 6 explicado
iro, de modo que, consilerando as limitagdes de resoluo ds p
‘uma soluczo Ótima. Para os estudentes, gore se uma Sequncia apropiada de a
oF estadantes encontrim algurnas ambig opcion para seus
propósitos; os engenbeios tém dis s.
“O savor espera que os usuários desta edigZo enviem sous comentários e sugesdos e infor»
os oF capitelos de pre didas

JOSEPH EDWARD SHIGLE

AGRADECIMENTOS

(O autor express sun graildGo, pelas sugestss, a

Robert W. Adamson, California State Polytechnic College, San Luiz Obispo, California.

Charles W. Allen, California State University, Chico, Califia.

‘Rolin F Barrett, North Carolina State University, Raleigh, Carolina do Norte

W. K. Bodger, Fresno State College, Fresno, Culifómia,

O. M. Browne Jr. University of Washington, Seattle, Washington.

Milton A. Chace, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan.

Frederick A. Costello , Univesity of Delaware, Newark, Delaware

“Joseph Datsko, The Universiy of Michigan, Ann Arbor, Michigan.

Winton M. Dudley, Sacramento State College, Sacramento, Califösnia.

G. A. Fazekas, Univesity of Houston, Houston, Texas.

Ferdinand Freudenstein, Columbia Univesity, Nova Jorque.

Franklin D. Hart, North Carolina State University, Rayleigh, Carolina do Norte.

‘Robert C. Jusinall, The University of Michigan, An Arbor, Michigan.

william € Kielng, University of Washington, Seattle, Washington.

WA. Kleinkenz, University of Minnesota, Minneapolis, Mianesota.

Charles Lipson, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan

‘Robert A. Lucas, Lehigh University, Bethlehem, Pensitvina

Charles R. Mischke, lowa State Univesity, Ames, ows

Lamy D. Mitchell, Virginia Polytechnic Institute und State University Blacksburg, Vir
gínia.

(Gants Muckolls, Florida Technical University, Orlando, Flórida

Gares 8. O'Toole, Pennsylvania State University, McKeesport Campus, MeKeesport.
Pensivänia,

Dan R. Rankin, California State College, Los Angeles, California

George N. Sandor, Rensselaer Polytechnic Institute. Troy. Nova lorque.

Arthur Wi Sear, California State College, Los Angeles, Califómia

Ivatter L. Starkey Ohio State University, Columbus, Oli.

Ralph L Stevens, University of low, Lowa City, lows.

Word O. Winer, Georgis Institute of Technology, Atlanta, Geörgla

JOSEPH EDWARD SHIGLEY

Prefich, Y
Agradecimientos, VI

1 = Introdugto, 1
1.1 = As Fares de Proetos, 1

Reconkecimento e Mentificago, 2
O Modelo Matemático, 3
Ali € Apresntagz0, 4
Fatores de Preto, 5
Resistencia, 6
Aspectos Económicos, 9
Sistemas de Unidades, 1
Sistemas de Unidades Inglesa, 14

LLE — Regras para o Emprego das Unidades do SI, 16
Preciso e Arredondamento de Námeros, 18
113 — ConversZo de Unidades, 20

Anti de Tensdes, 22
24 = Tensoes,22
22 Citculo de Mohr, 23
23 ~ Circulo de Mohr para Tenses Tridimensionas, 28
24 = Tensto Uniforme, 29
Deformagäo Elstica, 29
Rela;des entre Tensto e Deformagzo, 31
Momento Fleor e Esorgo Cortanke em Vigss 32
Fançoes de Sinpalaidado, 35
‘Tensbes Notmaís na Flex, 38
Vigas com Seg es Astimétricas, 42
Tensses Cisalhantesna Flexdo, 43
Fluxo de Cisatamento, 51
Toigio,53
Cilindros de Parade Fina, $5

x 1 sumänıo

2.15 — Tensdes em Cilindros de Parede Gross, $5
2.16 — Ajustagem Forgada e Fretagem, 39

2.17 — Tensdese Deformagdes Térmicas, 62
218 — Vigas Curvas, 64

2:19 — Tensdes de Contat

Anslise de Deflexdes, 88
3.1 = Rigidez de Motas, 88

32 — Tragio.Compressdo e Torçäo

33 — Deffeaso em Vigas, 91

3/4 — Cálculo das Deilendes, Usando: Funçües Singulares, 93
35 — Método da Sup:

56

3.7 Energia de Defomo;1o, 99

38 = Teorema de Castigiano, 102

39 ~ Deflexto de Pegas Curvas, 105

3.10 — Teoria da Flambagem, 106

BAL = Projeto de Coluna, 110

3.12 = Fórmula da Secante, 112

Coneideragdes Estatísicas no Projeto, 123
4.1. — Permutacoes, Arranjos e Combinagdes, 123
42 — Probsbitidade, 126

43. — Teoremas de Probabjlidade, 128

44. — Varidvois Aleatérias, 132

45. — Amestra e Populagda, 134

46 — ADisribuigio Nonaal, 138

43 — Distibuigses de Amostra, 140

48 — Combinagoes de Populagdes, 144

49 - Dimensionamento — Defingdes, 145

4.10 — Anilise Estatítica de Toleráncia, 146

Resistencia de Elementos Mecánicos, 151
S.1 = Algumas Notas Sobre Resistencia, 151

52 — Dutilidade e Dureza, 152

s3

54 — Teoria da Tensio Normal Máxima, 155

5.5 — Teoria du Tensdo Cisalhante Máxima, 157

56 = Teoriada Energia de Distorgto, 158

5.7. — Paha de Materiais Di

58 — Falha de Materais Frágeis com Cargas Estática, 162

59 Fatiga. 165

3.10 — Resiténcia à Fadiga Limite de Resistencia 4 Fadiga, 166
5.11 — Resisténcia à Fadiga para Vide Finita, 170

5.12 — Fadiga Acumulativa, 172

5.13 — Fatores Modificadores do Limite de Resistencia à Fadiga, 175
5.14 — Acabemento Superficial, 176

Dimensdes da Pega, 176
Confibilidade, 177
Temperature, 180
Concentragdo de Tensdes, 180
Efestos Diners, 183

= Tenses Flutuantes, 196
Resistencia à Fadig sob Tensdes Variávls, 187
Resisténci 4 Fadiga na Torgdo, 192
Fal por Fadiga Devido a Tensdes Combinadas, 194
Resistencia Superficial, 197

Unides por Parafusos, 209

61
62
63
64
65
66
67
8
69
610
u
612
613

Paddos de Roscas e Definigoes, 210
Parafaso de Poténels, 211
Tensio nos Filetes da Rosca, 219
Uniso por Parafusos, 220
Pré-Carregamento dos Parafusos, 222
Montagem - Torque, 225

afusos € Pré-Contegamento,

Faia,
Cissthamento, 238

Centröide de Grupos de Parafusos, 240
Carregamento Excéntrco, 241

Chaetas. Cavilhas e Andis de Retengáo, 244

Molas, 2

71
72
73
T4
75
78
12
78
79
710
an

Tensoes em Molas Helicoidais, 255
Defiexäo de Molas Helicoidas, 258
Malas de Trago, 260

Molas de Compressio, 261

Matersis para Mas, 262

Fadiga, 26:

MolasHelicoidais de Toro, 267

Mois Belleville, 269

Outros Tipos de Moles, 270

Feequéncia Critica de Molas Helicoldais,272
CCapacidade de Armazenar Energia, 272

Elxose Arvores, 278

si
82
$3
84
85
x6
$7
ws

= Introdugio, 278
Projet para Cargas Estáicas, 279
lens Alterada e Toto Constante, 279
Diagrama de Soderberg, 280
(Caso Geral de Tensdes Bias, 285
A Teoria de Sines, 286
A Teoria de Kececiogl, 288
Fonos pura os Patones de Conca

SUMARIO / XI

ar 7 sumanıo
Resposta de problemas selecionados, 296

Apéndice: Tebas, 301

Prefixos do Sistema Internacional de Unidades, 301
CConversio de Unidades Ingless para Unidades, 302
Conversto de Unidades S para Unitades Inglesas, 302
Unidades do SI Preferdas para Tenslo de Flexio o = Mejf e Tensto de Torgio r =
Trp, 302
Unidades SI Preferidas pare Tensco Axial o = F/A e Tensio de Cislhamento 7
= F/A, 303.
Unidades Si Peferdas para Defleso de Vigas y = (CEP /E1) on y = (wt), 308
Constantes Fiese de Materiais, 303
apres de Pets Estruturais ~ Cantoneitas de AbasIguas— Padrdo Americana, 304
Proprisdades de Pers Estruurals — Cantoneiras de Abas Desiguais — PadrTo Ames.
cana, 305
Propriedades de Tubos Redondos, 305
Penpriedsdes de Perfis Esraturls — Per
Esforgo Certante, Momento Fletor e Deflexso de Vigas, 307
Ordenados da Curva de Distribuigto Normal, 315
‘Areas Subentendidas pela Curva de Distibuiggo Normal, 316
Alfabeto Grego, 317
Tebos Padrio Americano, 317
Mecánicas de Agos, 318
micas de Ligas de Alumno Forjadas, 319
Mecinicas le Ligas de Aluminio Fundidas, 320
Propricdados Tipizs do Perro Fundido Cinzento, 320
Piogrisdades Tipics de Algumas Ligas de Cobre, 321
Propricdades Mecinicas Típicas de Agos Inoxkläveis Fojados, 322
ropriedades Típicas de Ligas de Magnésio, 323
Equirlentes Decmais de Dtos, de Arares e de Chapas de Ago, 323
Fatores Tedricos de Concentrago de Ten
Parafuso de Cabega Clíndrica e Atredondada, com Fenda (Reprodugäo paria da
ABNT-P-PB-167),332
227. Parafuso Sextavado com Rosa Parcial - Acsbamento Fino e Médio (Reprodupio parcial
da ABNT-P-PE-54),334
A28 Parafoso Sextwvado (ASA B182 ~ 1952), 336
A29 Pores Sextavada — Acabamento Grosso (Reprodugto parcial da ABNT-PB-44),337
A30 Propriedades das Segdes, 338
ABI Masa e Momentos de Inécia de Formas Gcomética, 339

Lisa de Abresiaturas, 340

{indie de Autores, 341

Índice Remisvo, 343

INTRODUÇAO

Este lio € um estudo dos process de tomada de delsio que os engenhecos mecánicos
sam na formulacio de planos para a construglo de máquinas, dispositivos e sistemas Estes
processos aplicarnse 2 todo o campo do projeto de Encenhsr — e nfo tomente ao projeto
mecánico. Para compreendéos, aplicálos a stuagSes press, para se obter bom resaltado,
entretanto, necessite de uma série de eircunstäncas, uma situado particular, où um veículo,
por asim dizer. Neste lio, efcolhewse, portanto, o compo da Engenharia Mecánica como ©
Veiculo para a aplicagdo destes processos de tomada de deciso.

Projeto mecánico significa projeto de objetos e sstemus de natureza mecánica — miqui
nas, produtos, estrutures, dispoitivos e Instrumentos. Geralmente. o projeto mecinico utiliza

Ciénelus dos Materias as ciéncias da Fagenlaia Mecánica.

O projeto de Engenharia Mecénica inclui odo o projeto macánico, mas € um estudo mais
amplo. porque engloba todas as disciplinas da Engenharia Mecánica, assim como 25 ciéncias
termo-lidas, Além des ciencias fundamentais que so necessvias, os primeros estudos no
projeto de Engenharia Mecincia compreendem o projeto mecánico, e, portant, este será o
primeiro passo a ser dado neste lvo,

O tivo dividese em duas pares, A primeira tata dos fundamentos da tomada de decisio,
das fercamentas matemáticas e analíticas necesdras e os assuntos correlatos a seem empre
ados no uso desss ferramentas, Casualmente, pode se encontra um asunto familiar incl
fo texto, para que se posa reve, se necessiio; porém, mais importante € estabelecer à
nemenchaturs a ser empregade nas partes mais avangadas do listo, pasa continuidude e como
fonte de refesncia.

Na segunda parte, aplicamse os fundamentos a multas situagOes típicas que aparecer no.
projeto estudado ou na selegio dos elementos de sistemas mecánicos. Tentowse artumar a
“segunda parte de modo que os el básicos ou os mais comuns fostem estudsdos prielro
Desse modo, 3 medida que o estudante se tomar femillarizado com o projeto de elementos
simples, poderé comegar à juntilos para format miquinas ou sistemas completos. Asim, com
felagio 4 um sistema completo, segunda part tome se progressvamente mais compreensiva. A
intengZo. portato, € que a segunda parte sea estudada capitulo por cxpituo, na ordem em que
So apresentados.

1.1 = AS FASES DO PROJETO

[Neste capítulo, interesse-nos © processo de projeto completo. Como comega? O enge-
nico simplesmente ve senta a sua escrivaninha, com uma fol de papel em branco? E quardo

2 7 ELEMENTOS DE MÁQUINA.

cle toma nota de alguna ids, que acontece em seguida? Que ftores influencian ou contro
lam as desisdes que devom ser tomadas? Finalmente, como termina este processo de prota?

Este procesto completo, do incio 20 fim. é frequentemente esquematizado como, na
Fig. 1.1. Comega com a identifieagio de uma nocessidade e a decisio de fazer alguma coisa
sobre sla, Após multas Heragdes, © processo termina com a apretentagSo dos planos para
satisizer A mecessidade. Nas próximas seg6es, examinaremos detalhadamente estes passos no
ecursa do proto.

CES

Fi LA As fus de um projet.

1.2 — RECONHECIMENTO E IDENTIFICAÇAO

‘As vezes, mas nem sempre, o pojeto se inicia quando um engenheiso reconhece uma
meesiôsde € decide faze algo a testo. O reconhesimento da necesidade, com a sia
expresso em palavra, normalmente, constitu um at tamente cristo, porque necesidad
ode er somente um tao descontentamento, um sentinto de inguisar 2004 osentimento de
que algo ndo est coreo. O reconhecimento € normalmente cionado por uma clcunstánca
Adve parir ov por um conjunto de ercustincis slstris que aparecem quae simul
taneamente, É também eident que uma pesonsensível, que se perturba facilmente com lo,
tem malor probabilidad de retomhecer uma necasidade € tambám aires chance de fer
goa tespeto. Por esta ro, s pessoas sense so mas crias

Normalmente, a necrsidade nio é evidente, como fol indicado. Por exemplo, a necesa:
dade de 30 fazr alguna coisa a resprito de wine máquina de empacotur alimentos pode ser
indicada peto nivel de ro, pel vario d peso do produto pelas arisoesmuio peguen
nus pecepívis, na qudidade do empacotamento

Faviimente se recothece uma necesidado depois que alguém 2 estabeece. A
ernoase Bem evidene, nos das ates, a necesidade de água ar mas impor, de moi

mmooueko 1 3

{acilidades de estacionamento nat grandes cidade, de melhores sistemas de transportes públicos
‘ede um etsoamento mals rápido do trfego

Hé uma diferenga precisa entre o estabeleimento da necesidade e a itentficario do
problema que se segue a este estabelecimento (Fig. 1.1). O problema € mais espec
fecessidade for de ar mais limpo, o problema poderá se reduzir à descarga de pô das e
où à quantidade de gates intimos dos escapamentos dos veiculos ou ento crur meios para à
rapida extingáo de ineéndiose

A defniggo do problema deve incluir todas as especificagOes para 0 objeto que se deseja
projetar. As especificas estabelecem os elementos de entrado e as resposta, as característicos
2 as dimensoes que o objeto deve er, o espago ocupado e todas as Imitapdes dessas quantidar
es. Podese considerar o objeto a ser projetado como algo dentro de ums caina prota, Nes
caso, devemvse especificar as entradas e a5 respostas d caixa juntamente com suss caracterís
ticas e limitaóes. As especificagdes definem o custo, a quantidade a ser febricads, vida espe:
ada, a série, a temperatura de aperagdo o a conibllidade, Os itens obvios mas especifcagdes
Slo 2s velocidades, os avangos, 2 limites de temperatura, 9 alcance mixin, as varagies
esperadas ns varivese aslímitagOo das dimensóss e de peso

Ha muites especificagoes implícitas que resultam tanto do ambiente particular do proje
Lists, como de natureza do problema em si. Os process de fabricagdo disponiveis, juntamente
‘com as instalugóes de uma determinada fábrica, constitue resricoes à iberdade do projetistae
portanto, slo parte ds especficagdas implícitas. Uma pequena insalago pode. por exemplo,
io postuir máquinas para trabalho a fio. Sabendo disso. o projetista escolhe outros métodos

que possam ser desentolvidos nessa fábrica. A disponibilidade de
máo-de-obra ea stuagdo competitiva também constituer eepecitieagdesimplicits.

Quulguer coise que limite a iberdade de escola do projetist € uma espeilicagäo. Os
stálogos dos fornecedoreslstam muitos materials e medidas, por exemplo, mas estes ndo esto
sponivels em sua totalidade e, frequentemente, há escasez de alguns deles. Além diss,

yo um fabricante estoque uma quantidade mínima de materias e

Depois que o problema for definido e depols de se obter um conjunto de copeificagbes
escritas e implita, o próximo passo do projet, conforme indica a Fig, 1.1, síntese de uma
solugóo ótima. No se pode, porém, realizar a síntese sem a anise e a otimizagio, porque se
deve analisar o sistema para determinar se desempenho está de acordo com as espec
[A andtise pode revelar que o sistema nfo & ótimo. Se o projeto fahar em emos em ann
testes, devese recomegar à síntese.

13 - OMODELO MATEMÁTICO

A experiéncia tem Indicado, e multas vezes se poderd comprovar, que o projeto $ um
processo de interag3o no qual se trsbalha em etapas, avallamse os resultados e. eno, retorn se
a uma fase anterior. Assim, podemse sinteizas diversos componentes de um siste, analisilos
€ otimizétos, e retornar à sintese, para verfloars o efeito sobre as demas pags do Serra. A
anis e a otímizasio exigem que se construam ou se eriem modelos abstrates do sistema, os
quais admitiio alguma forma de enalise matomálica. Esses delos sio denominados modelos
Imateráticos. Aravés deles espera se encontrar um modelo que simule bem o sstema Fisico rel

Todos os sistemas físicos reas sio complexos.Crisndo-se um modelo temático, simpli
fleas o sistema físico a ponto de se poder aalitálo. O term corpo risido 6 wins deslizacio.

à / ELEMENTOS OE MAQUINA.

esse tipo. Nio hd corpor rígidos na noturers. A expresso Jorge concentrade € outa deal
io. pois 10 usila considerase que a drea onde a forge atun € relativamente pequene. Como
Send visto. hi multas outras espécies de Idelizagdes que devem ser usadas
A natureza do problema, seus arpectos cconómicos, as disponibilidades de computagdo, à
habildade e as horas de trabalho do engenheiro desemperham papel fundamental na formula:
40 do modelo. Algunt problemas #0 tdo importantes que exigem um modelo muito soft.
cado + a análise cconómiea do problema pode justifica tal modelo, Outras vezes, a natura do
problema e o estudo dos aspectos económicos indica que ndo € necessrio nem desejivel uma
nganharia de alta qualidade. Em tal caso, o engenheiro pode escolher ou eriar um modelo
Simples, a fim de obte resultados num curto período de tempo.

14 — AVALIAGAO E APRESENTACÁO

Conforme indicado na Fi. 1.1 a el é uma fas significativa do processo completo
de projeto. Ea prova final de um prjeto ber sucedido, qu
um prototipo no kart. Aqui se deja Cscobri soo projeto satan ralmente ces
dade ou ds necesdades. E eonfvel? Comp com Exit com produtos sinlares? E ezond-
nica sua fabrican? E seu emprgo também conómico?É e el manutengSo?E de real:
fem fill? Podese bter Icro com sus venda où com seu emprego?
A apretenacio do projet à outre pesos é o passo fina, vital, no processo de projet
nte, mitos grandes projets, nvengórs e tabilhs criaivos learn peródos
2 Rumanidade simplemente porque seus cores foam incaazes cu nose dispuseram à
aagds à cuts. A aresrtaso um autho de venda. O engeaheito, quan-
ado ums nova sog a pessoas de nel de adminisracio, de gencia ou de
. st slap
com sues, desperigamse o tempo € 0 efor gustos obtengo da sougá
Aquele que ende uma ies nova também se promove Se lguém obtém suceso pete
emo com a venda de és, projets, novas soles e coses semlhamte à
feasber zumentos de talon e promogies: de Into, € asim que s sobe» ladera do Suceso,
Basicamente, s6 hi trés meios de comunicasio dsponivis para nbs e formas escrita, orl €
‘ifs. Portant, o enpenbtro bem sucedido deve ser renleamente competente e verá nas
ds formas de comuunicasio. Uma passa tecnicamente competente, mas à quem falte habll-
dade cm «alque uma dosis formas de comunicado, ia em desvntogem muito grande. Se
{altar hablado ns te formas ninguém jamais econhecer à compotenc desa pesoa!
As wi format de comuna aio hblaades que podem
e inteligente. Adguiremse 38
omuenente. Músicos, aletas.
chute at es, dangrinos,trapedstas arista, por exomplo, do hibet
devido 20 número de hors, dst, semanas, mess € anos de prática. Nada que vaa a pana
sida pode ser alcngado sem trabalho, que de vezes 4 enfadonho, vasrore e monótono, e à
Engenharia neo uma exce.
A hablidce de server pod sr adquirida, escrevendose cotas, sltóios, memerandos,
documentos e rigen Nio er importinca se o artigo So publicados ou no — pile 60
À habaidade de Flu pode se desenvolviós peta pari em asvidades socials,
ives, ellos e profisionis. Esa prtiipajto proporciona inómera oportunidades para
Gótica dealer. ara e adgakit a hablidado de desear, deve empregar o ebogo a pis
aa last tolas as cis poses. A palave eet ou fla, multas vezes, enge estados

INTRODUGAD / 5

para que seja compreendida, mas as figuras sfo comprecndids imedistamente e devom ser
usadas Iivmemente

(O engerheito competente nio deve temer a possibilidade de ndo obter sucesso em uma
apresentaglo. Do fito, devese esperar um fracaso ocasional, porque o Trucuso ou a crítica
Parccem acompanhar realmente toda idea ciativa. Hi muito 0 que aprender de um facasso, e
© maior dos ganhos pode ser abtido por agueles que desejam artiscar uma devrota. Em última
anilie, o verdadeir fracaso estaria na decido de o se fazer à apresentag.

(© propósito desta seg £ salletar a importánciz da apresentagío como a etapa final do
processo de projeto. Assim, nfo interesa se voce está planejando uma «presentar para scu
Professor ou para seu empregado; vocE deve se comunicar com elaceza e car» empenbo, porque
pata iso há uma retro. Informagües ütels em selsérios escritos, cioquéncia o alar em
público, esbogos on desenho est disponíveis em um número ncalcuivel de fonts, ve
tira partido desses meios ailes.

15 — FATORES DE PROJETO

‘As vezes, a reisténcia de um elemento é uma considerado importante na determinagfo
da geometria ¢ dus dimensdes dese elemento. Em tal stuagdo, dizse que a ressrénca € um
fator de projeto importante

‘Quando usamos a expresso fator de projeto, estamos nos referndo 2 alguma caracterís
tica où consideraedo que Influenci o projeto do olemento ou, talvez, o sistema intro. Norma
mente, devese consiles um determinado nömero dessesfatores em que situa de
projero As vezes, um deses fcores tornase crtio e. quando € satsfito, os outros ratores
‘Zo precisam mais ser considerados. Como exemplo, doves considerar quus: sempre a seguinte
lista de fatores de projet

Resistencia 12. Ruido.
Confiabilidade 13. Estilo

Consideras térmicas 15. Forma

Corrosio 15. Tamanho

Desgaste 16. Flexiblidade

Auto 17. Controle

Process de fabricagio 18. Rigidez

Uilidade 19. Acabamento superficial
Costo

Seguranga Manu

Peso Volume

“Alguns deste fatores colacionamse diretumente com as dimenses, o material, o processo

de fabricasio € à montagem dos elementos do sistema, Outros fatores afetum a coniguragto
aldo sistema. Estes e muitos outros Étores serdo abordados do comego ao im deste vio
[Neste lio. enftentaremor um grande número de stungdes de projets onde se devem
aplicar os Fundamentos de Ensenturia, usualmente ate una abordascin matemática, 3

* Na estra de poet, gun autores usa expo fro de proto pra der arar entr
rencia de um elemento len nos eras pls fect ever que aa woe cemento,

6 / ELEMENTOS OE MAQUINA

resolugio do problemas ou dos problemas. sto éperfetamente coreto e aprogriado so ambien
te académico, onde o tecessiio € realmente utlizar estos fundamentos ra resolusdo de proble.
mas profiionas. Para se menter a perspectiva coreta, entrotanto, deve-e observar que, em
_muitasstuagées de projeto, os fatores importantes so als que a£o € nocessri efetur cálculos
où expericias pace se def um sistema. Os estudants, especialmente,
confundem-se multas vezes, q n em situagées onde é virtualmente impostivel (zer um

iso de projeta importante. Estas ndo 550, de modo
alga, ocorréncs extraordinárias; acom a que
mo se cometa o engeno de se acted! ‘sional para
cada decisio de projet

16 ~ RESISTENCIA

Resisténci € uma propriedade de um material ou de um elemento mecinico. A reeténcla
de um elemento depende da escolha, do tatamento e do process de fabricagdo do material
Consideremos, por exemplo, um cartegamento de 1 000 molas, Podes asociar uma resistencia
SA mola de ordem 1. A tenso na mola, entretanto, € zero, at que seje montada ha máquina
Depois da montagem,aplicum-se forgas externas A mola, ocasionando tens es cujas intensidades
éspendem da geometria da mola e independem do material e da sew processo de fabrcagto. Se a
mola for semovida da máquira sem danos, a tenio será novamente zero, mas a sessténcia Sy
Permunccend como uma des propricdades da mola. Recordando, tenso € algo que acontece a
uma pega devido à aplicaggo de uma força, mas ressténcia € uma propriedade nerente à pega
| devido ao uso de certo material e determinado processo de fabricaráo.

[Neste live, usase a letra maliscula S para indicar rsisténcia, com of indices apropriados
para a designagáo da ospéco de resisténca.

das reisténcias estáticas a serem usadas dependem de informagio obtida através
'o padronizado, Este teste utiliza um corpo de prova usinado segundo dimen:
etes préestabelecidas. À área e o comprimento oriinais do corpo de prova so anotados antes
corpo de prova, enquanto se observam a carga a
0. No final do teste, representamos resultados em um gráfico denominado digra
o deformapio (Figs. 12 € 13).

© ponto Am Fig. 1.24, chamase limite de proporcionalidade. Este & o ponto 4 partir do

qual o diagrama fensio-deformapio comoga a se desviar da linha reta que apresentav desde sua

Lim de

Drm

tel

INTRODUGAD 1 7

corigem. O ponto B chamaae limite eric. Se à cära for eirada neste ponto, ndo se observará
deformaso permanente no corpo de prova. Entre À e B, o disgtama nfo € uma links seta
embora 0 corpo de prota seja elástico. Assim, a lel de Hooke, que estabelece que a tensio €
proporeionsl à deorm0, aplicada somente sé omite de proporcionada

Durame o teste de wapdo, mites materi langem um ponto no qua à deformagdo,
«omega a aumentar muito rapidamente sem um aumento cortespondente na tensto, Este € 0
onto C da Fig, 1.22, conhecido como limite de escoumento. Nem todos os mates possuem
Um limite de escosmento Ho fell de se determinar. Por esta rado, defines multas vezes o
Timite de escozmento atran do valor de tenso que cosresponde a uma determinada deform
‘glo permanente, depois do descarregamento do corpo de provs. Esa deformayo permanente é
Fixeds, normalmente, em 0.2 20.5% do compriment inci. Obténvse graficamente ese lle
de eacoumento marcando se o valor préfizado da defommucio permanente no iso horizontal e
rayando.e, por ess ponto, uma teta paralela à tangente à curva que pasa pele orge. A
inersegio desa reta com a curva tensiodefocmagío determina o ponto que cortesponde ao
limite de escosmento. A Fig. 1.25 ste esa consigo.

limite de resistence ou resiténcis à tragZo € à mor tensio atingida no ensalo © no
diagrama tensio-defonnagdo, indicado na Fig. 13a pelo ponto B. Alguns materiss apresentam,
o diagrama tensio-dformugio, um diminuigio da tenso, depots que esta age o limite de
Jesiséncia (Fig, 13a). Outros, como o fes fundido e alguns ago de ala ressténcia, softer
ruptura ainda na parte ascendente do diagrama,

CT MITO
m >

Fig 3) Tete de tio de um mate dt (9) Digas torque que de tin

Os testes de compresio sio de execagfo mals difícil a geomerra do corpo de prove
difere da usada nos testes de taco. A razo dito € que o corpo de prova pode farb durante
f test ou pode fear difícil de se obter uma distituicso uniforme de tenes. Outras fiel.
des advém porque os materials di tam aps © efonamento. Entretanto, podese
colocar também os resultados num diagrams tensio-deformagZo e empregar as mermas defini-
ts já mencionadas. Para muitos materials a reistänela& coniprssto aproximadamente igual
À de tracto. Quando ocorrem diferengas substancias, enictato, como rn caso de foros und
dos, deves expressr separadamente as resisténcas à tagio e compressfo

Podese determinara resistencia à torso de um miter, submciendose corpos de prosa
cilíngicos à orgáo e seistrando- ados e es ángulos de toco emsesponden
tes. Em orgue X ángulo de tordo, conforme indica Fi. 1.36.
Usados as cages de to à sean apretados no Cap. 2, pole encontrar

8 4 ELEMENTOS DE MAQUINA

te de proporciniidade corespondente ao torque Tp e o limite de escoamento à tor,
conespondents a Ta. O ponte C, no diagrama, coresponde ao imite de reisténcia à 1060 Sy
Entretanto, esta náo é uma ters£o máxima verdadeia, porque o interior da barre toreida está

la no regime clásico, Por esta rezo, a resiténca S.y, corespondente a Ts, € chemada
adequadamente de módulo de ruptura

De aco:do com a prática consagrada, empregaremos as letras gregas oe 7 nete vo para
designar a tensdes normal e isltant, respectivamente.»

0 fator de projeto, chamado fator de seguranga, € um fator empregado para se avalar a
sepurançs de uma pega. Seis uma pega sujita a uma cara aplicada, sendo F um simbolo
mult geral, que pode ser uma fo:ga, um torque ou um momento, por exemplo. Se Ferescer,

-niuaimente poderd tomar t grande que qualquer pequeno 2umento adicional rejudi.
cari permanentemente a capacidade da pega de desempeno sun fungio. Se designarmos este
valorlimito de por Fi, ento defiiremos o fator de seguranga como

Fim,
F

Em muitos caos, a tenso € diretamente proporcional à carga. Nestascondig6es, o fator
de seguranga é

an

Quando as tensöes 580 iguis à resistencia, m= 1 € nfo há seguranga de modo algum.

Use 0 termo margem de seguronga freqlentemente. A margem de seguranga & defi pela
equagio

men-ı aay

Empregamse largamente 0s termos fator de seguranga e margem de seguranga na prática
industrial; o significado e objetivo deses termos af claramente compreendidos. Entretanto, a
resisténcia de um clomento € uma grandeza que varía estatisticamente e a tenslo também €
ariel. Por esta razdo, um fator de segurange n >1 ndo impede a falta da pega. Devido à
correlagdo entre o grau de perigo e m, algumas autoridades preferem usar o termo fator de
proto. em vez de fator de seguranga. Contanto que se compreenda o significado, ambos os
Termos esto cortetos, Conforme indicado snteriormente, use termo fator de projeto. nese
livio, para deterever as diversas consideres de tomada de decisio. Ftor de segurango, aquí,

eo fator n da Eg-(1-1)
Podeme representar todas as equagGes de tens pela equagdo geral

ann F Fas Fo E aa

do RO auto india por 9 2 tenes que eat as propiedades do mater Asi, à
ons test de pars som tendo nomi & tense de ruptura pr ciltamento, As ndkagcscom 0 ey
fo eaves qe tu nes pega, Na trado oh manta est ona.

INTRODUAO / 9

onde:
€ = uma constante;

xi = dimensbes da pega a ser projetada;
Ey = Forgas externas ou cargas aplicadas sobre a pega a se projetada

As equagdes para as tensdes, neste limo, serlo sempre escritas desta forma. Na andlie,
naturalmente, podem se resolver ditetamente as equag es para as tenses. Em projet. o segun»
do membro, normalmente, contém as forgas que sio conhacidas e as dimensdes que dever see
determinados. Sempre se procedo desta forma, quando se escreve uma equegdo de tersio,
substtuindo-se nel os valores conhecidos, deixando-se os sírbolos, que Inditam as dimens es a
serem determinadas, A direlta do sinal de igualdade. Agora, em vez de 0, esceve-se S/n no
primeiro membro da equagdo, resultando.

À = taco FF Eso E) as

A tesistncia $ e o fator de seguranga n deverdo ser determimados previamente; poderse
agora resolver aequagZo para calcular as dimensBes

Podese determinar também a seguranga através do emprego de uma suposta tensio
admissivel. Ume tensio admissvelé a tensto máxima que um corpo pode suportar com segu
range. Podemse define tas tensdes por um código ou por um fator de seguranga. Assim,
5

as

s
met tam

Onde Ost € Yat SÍ a ers admisívls normale de cslhumento, respectivamente

AS vezes espesfcamse as tesdes admisivesatanés de um código Por exemple, 0
manual da AISC? especifica uma tensfo admisivel de trato de 138 MPa prs ago etruturas
robles, prafuos e metal de sold O código no especia que fator de segarana fo
Obtengdo dessa tens m qual rsstinia usada; entreno, dee que estos códigos epee:
fiquem o tipo de ago, € posal determinarse o Íator de seguranga empregado, à parti da
resistencia do ago

1.7 = ASPECTOS ECONÓMICOS

0 custo, como fator de projeto, desempenha um papel tdo Importante no proceso de
decido, que se pode despender tanto tempo em seu estudo quanto no estudo do projet
Aqui sero fetes somente algunas pequenas considerar e repas simples

Primeiro, observa se que nada se pode dizer num sentido absoluto 3 respeto de cutos. Os
materials e à mio«=obra, normalmente, apresentam um aumento de custo de ano para ano,
Porém, se pote esperar uma tendéncia de diminuigzo dos custos de fubricaio dos materins
devido 20 uso de riáquinas opeatrizes automáticas. O eust de fabrica de um único produto
(vara de uma cidade para outra e de uma instalo para cates, devido ds diferengos de custos
indireos, mode obra, dferengas de fret e pequenas vriızdes de Fabricas.

2 Stel Conarueon. y. 516, American tte of Sel Canton (ACH, Nora Tocgue Ets
manual € epublica footer lima co pod bte em quae tara

10 / GLENENTOS De MÁQUINA

Usar Dimenscos Padronizadas

Este é um primelro principio da redupfo de custos. Um engenheiro que especifica uma
nado a quente G10350°, qundrada, de 2 1/8 pol, aumenta o custo do produto,

ds de 2 ou de 2 1/6 pol, que sio pudronizada, atendara és

dcacces, Poe se obter a bare de 2 1/8 pol através de encomenta espec, laminando-se
2 barra de 2 1/8 pol, porém estas soluges aumentam o custo de produto.

Imente. n Sistema Internacional uste a pedronizagio em milímetros

Para garami a especificrio de dimensóss padronizadas, o projetista deve tet acesso 205
catilogos dos materiis que uulize, que se envonteam à venda nas ivraias ou que podem ser
obtidos dretamonte dos fornecedors.

14 nocesridade de uma pulavra adicional de precaugdo com respeto à seleç2o de dimen-
sis pudionizadas de mates. Embora um grande número de bolas sparega normalmente nos
entólogos, nem sempre todas as dimensios sto disponíveis de imedito. Alguns tamanhos 230
usados 10 raramente. que nem s3o estocados. Um pedido urgente para als bitolas pode sign
Ficar mas despesas 6 atrasos. Assim, devese dispor também de uma lista do dimensdes pre

Muitespoges podem ser compradas, como motores, bombas, mancals e rtentores, que sio
especificadas pelos projetistas. Também neste caso, o projetista dev se esforgar para especificar
pegas que estejum disponsveis no mercado. Esas pecas, sendo fabricadas o vendidas em grande
«utntidade, (Sm seus custos consideravelmente menores do que as de dimensBes singulares. O
fusto de rolamentos de esferas, por exemplo, depende mais da quintidade produzida pelo
fabricante do que do tamarho do rolumento,

Usar Poleráncias Grandes

otre os efeitos das espeificagóes sobre os custos, os das toleráncis talvez sejam os mas

ios. As olerincias no projet6 inluencim o produto final de multas maneias, desde a

as adicional no processo de fabricas até tornar ama pega completa

praticivel de ser produzida economicamente. As tolerinciss abrangem a variagdo

‘mensional, a variagio devida 4 rugosidade superficial e também a varlapfo de propriedades

nicas resultantes de tratumento térmico e de outras operagdes de fbricao.

vas pegas que tém tolrincias grandes podem ser fabricadas, quase sempre, por máquinas

de producto clevada, Também o custo da mio-deobra seri menor, se náo for necesirio 0

emprego de operdios especializados. Além diss, ser refugude uma quantidade menor de pesas
tno processo de inspegío e,normelmente, tals pegas so de montagem mais fi

Pontos de Equilibrio

a vezes, acontece que, quando se compartm dois ou mais projeos, para is de custo, à
escola entre cles depende de outra série de eondigbes, como 2 quantidade de produsto, a velo
Cidade des Milos de montagem ou quilquer outra. Ocorre ento um ponto corespondente a
(Gastes (uals, chamado ponto de equilioio

‘Como exemplo, consideremos uma situagio onde so poss fabricar uma certa pega raro
de 25 unidades por hora. numa rosqueadora automática, ou 10 unidades por hora, numa ros

> VarTab AIT.

INTRODUCAO / 11

queadora manual. Suponhamos também que 0 tempo de montagem para a máquina automática
“ja de 3 horas € que o custo da miodeobra pura ambos os casos seja de CrS 1 000,00 por
hora, incluindo-se os custos indiretes. A Fig. 1.4 6 um gráfico que indica o custo de cada
máquina versus o número de pegas. O ponto de cquilibrio corresponde a 50 pegas. Se desjar-
mes uma produgío maior que 0 pegas, devemos usara máquina automátca.

\

2080 3000
rogues

Fig A

ra de ober pregos de custo relativos de modo a compsraraproximodar
mente dois ou mais projetos. Em alguns exemplos pode-se exigir um certo g:au de Julgamento.
Por exemplo, podese comparar o valor relativo de dois automóveis, comparandose os custos
por unidade de peso, Outra maneira de comparar o custo de vm projeto com o de outro €
Simplemente omar no de pjs. O puja que io mesma de peo, prove

Podemse empregar muitos outros indicadores de custo, dependendo da splicagio, como
rea, volume, poténcia, torque, capacidado, vlocidade e diversas randes de desempenho,

Engenharia de Valor

Um método de avalar diverts projetos propostos usando-se uma abordigem sistemática €
a chanusda arise de vor ou engenharia de valor, sempre muito útil. e que pode até indicar o
Camino para novos projetos. Por este método", definese alor como uma razio numérica, a
250 entre a moto, ou desempenho, e 0 custo

Como introdugio elementur 205 métodos de aniis de valor, anlisemos o olamento de
esteras da Fig. 1.5. Realizaso a análise em Forma de tabels, conforme indica a Tab, 1.1. Como

Ver EDEL Jn, D Henny, Production to creative dev. Fig Cs, Non Jrs, Pat
at oe 1967. po 11119,

12 1 ELEMENTOS DE MAQUINA

somente os fabricantes de rolamentos tém acesso 405 custos reals eta andise se basa em
ados hiporétics, As etapas da ande est apresentadas na Tab. 1.1, da esq

1. Nome da pega
rove enunciado ou resumo da fungto d pega
Estimativa da pereentagem do desempenho total que a fungfo da pega cobriw.
Custo da pega
Percentagem do custo ‘ot
Valor, aio entre as percentagens do desempenho e do custo

Th

Y arca

9.1.5 Nomencltus de um mans de rlamento. (Cortes de New Departure Dir, General Motors
Coporton)

TAMELA 1. Anite de Valor de um Rolamento de Esteras

5 =
Nomeds Pee Fungi PA

‘Avetesteme _ Some come pira pan sens 20
An intme Serve come pista pars sens 20
Ester Suporte a ea ES
Sepundor Sears as sens 10
Reber Fixe st motos do separados 0

Fora 1

INTAODUCAO / 13

0 rcipeinio, baseudo na Tab. 1.1, € 0 seguinte: como serd abordado no Cap. 9,08 and.
‘extemo e interno server de pistas para as esferas. O furo do arel interno e diestro extezno
do anelexteno so retificados com muita preciso, para proporcionar uma sjustaem excel
te, quando o rolamento completo for montado numa miquina. Além diso, as faces desses dois
anéls, reglentemente, se apólam em outras pesas, afim de permitir que o rolamento revista ds
casgas axlals e mantenha oalínhamento das pegas rotativas

A fungZo das esferas ésuportar a carga e, por sua ago de rolamento, reduzir atrio.

Se as esferas nóo fossem mantidasafastadas umas das outra pel sepatador,havera deli
zamento entre elas, gerando malor torque resistente de atrio. O separador também garante o
mesmo número de esferas na zona de apoio da carga, durante todo 0 tempo.

Como se vé na tabela, os bites mantém juntas as metades do separador.

Note-se que o valor do separador € igual ao dis esferas, mesmo que a fungéo do separador
Seja secundéra, Seria, portanto, uma economia inúiltentarse eliminar o separador. Entretinto,
averia uma economia considerivel, se 0 valor do ane externo pudesse ser aumentado.

18 ~ SISTEMAS DE UNIDADES
‘As primolras duas les de Newton podem se resumidas pela equago
F = ma, as)

que é denominada equapdo do movimento de uma partícula. Nesta cquasto, a € a sceleragáo
que uma partícula de massa m adquiro quando atua sobre ela uma forga F. Fe a sio grandezas

Um importante uso da Eg, (1.6) £ na padronizapto dos sistemas de unlades. Empregue
mos os seguintes símbolos para as unidades:

For, F
Massa, M
Comprimento. L
Tempo, 7.

Estes simbolos podem representar qualquer unidade que se escolha, Asim, as escolhas
possives para o símbolo L podem se polegadas, qulldmettos ou milhas. Os símbolos F, Mf, Le
IT nao sio números, mas podem ser substituitos na Eq. (1.6) como se fossem. Osinal de igual
dade indica que os símbolos de um membro sf0 equivalentes aos do outro. Fazendose a substi
igdo indicada, obtémse

F= MIT an

[porque a aceterao a tem unidades de comprimento divididas pelo ~vwdrado do tempo. A
Eq. (17) indica uma equivaléncia entre as quatro unidades de forga, mass, comprimento e

tempo. Podes: escoherllvtemente as unidades de trs dos símbolos; a unidades para o quarto

[depender des tés primeras, Por esta sao, as prinelias tés unidades sfo chamadas ados
[de base, enquanto a quarta é conhecida por unidode derncde

Ovando se eseuhem forga, comprimento e tempo conv unidades de base, a massa € uma
Junidade derivada € o sistema resultante chama-esistema gravitacional de unidedes

14 / ELEMENTOS DE MAQUINA

Quando se escolhém massa, comprimento e tempo como unidades de base orga € uma
vnidade derivada eo sistema resultante chama-e sistema ebroluto de unidades

1.9 — SISTEMAS DE UNIDADES INGLESAS

¡Nos paies de lingua ingles, o sistema pére segundo (FPS) e o sistema polegada-ibra-
segundo (IPS) sio os dois sistemas gavitacionais mais usados pelos engenheirs. No sistema
pélibra segundo, a unidade de mas €

Cibraforgs) (Segundo) = iopstype = “aug.
O. mts “a as

Assim, comprimento, tempo e forza so as ts unidades de base ne sistema gavtacional
(PS). A unidad de comprimento éopé, ja abreiatur € (em ings); mas, par economia
de espago em Hustragées, o comprimonto em pis € dstgnado por um al colocado à iris ©
ra pate superior do número corespondente. Assim, a distincia de 16 pis nos textos aparece
como 16" nahe 3
A unidade de tempo no sistema pólbrsegundo (FPS) 0 segundo, abreviado como 5; a
unidade de forg € a libra, mas apropridament camada de bra ora. Raramente breve
como IDE a abreviatura 1 € permssfel, desde que se tae somente de items
vizcionis ingles, E Interessante saberae que à abrovitara I para libra vem de Libra, à
ang, 0 sétimo sign do zodiaco, que é representado pr uma alanga.+
"Ei er alguns casas representarse 1 0001 come 1 Xi, ito 6,1 qua
Finalmente,notase, na Eq (1.8), que a unidad deta de masa no sistema gavtacio-
nal p£librasegundo (FPS) & lbs e que esta unidade € denominada "sig", nfo havendo
abreviatra, Observase que, em ve de hifen, usa e um ponto entre Ib € 3.
A unido de musa no sistema gaitaciona pol da lèrasepund (PS) €

ET „ Oro) segundo?" ay
ae Æ erde 105 /pol as

Neste sistema, a unidade de comprimento € a polegada e sua abreviatus € pol. Em Hustra-
‘e805 usx<:, por exemplo, 8" para indicar 8 polegada.
O pero de um objeto 6 a forga exercida sobre ele pela apo da gravidtde, Designando-te o
peso por Pe aaceleragio da gravidede por , «Eq. (1.6) tomase
P= ng.

pélibrasegundo (FPS), a acloregdo a graridade €

E = 32,1740 pass

+N, do R, Exchvecimento válido apenas pas explicar por que a une de fra, que m cama
pound” en és tem o símbolo

INTRODUCAO 7 15

[Na maloria dos casos, arredondase para 32,2. Assim, 0 peso da massa de um “slug”, no
sistema FPS, 6

P = me = (I ug) (32.2 El?) = 32,2166

No sistema polegada.ibrasegundo (IPS), a aclerıgdo da gravidado € 386 pols, Assim,
neste sistema, a unidade de massa pesa

Pw (1 Bf pol) (386 polls?) = 386 I.

1.10 — SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

© nome oficial do Sistema Internacional de Unidades & Le Système Intemational
Units, abreviadamente, SL

O SI um sistema absoluto. As unidades de base sio © metro, o qulograma (massa) eo
segundo. A unidade de fora 6 derivada e chama-se newton, As unidades de newton 20

(guilograma) (metro)
‘Gegund

A abreviatura para o newton EN.
‘As ste unidades de bass do SI, com seus símbolos, estao indicadas na Tab. 1.2. Sto
dimensionalmente independentes. Para os símbolos, usamvse letras minúsculas, a no ser que

sejam derivados de um nome prôprio, onde se usa letra maidscula para primeira lesa do sim-
bolo. Observase que a unidade de massa usa o prefixo quil; 6 Única unidade bisica que tem
prefixo,

A Tab. 12 mostra que a unidado de temperatura do SI é o grau kelvin. A escala de
temperatura Celsius (antigamente cismada Centígreda) nfo parte do Sl, ma; vina diferenga de
vam grau a escala Celsius 6 ual a um grau kelvin

TABELA 1.2 Unidados de Bas do St

Grantee 177

Compeinente maus
Nasa ges
Tempo segundo
Corente ética spire
Temperatur termodinámica
Qurntidade de mata

Uma segunda classe de unidades SI comprende
tém nomes especial. A Tab. 1.3 uma list dequelas judas serem as mais ites para este lv,
O sadíano (ra) & uma unidado suplementar do SÍ para ngulos plans.

16 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

TABELA 13 Exemplos dé Uidades Devas do SI"

andere ndade

Acces mets por gun, or sano
radian por seudo, por sesundo

Ana meto quadesdo

Energia oe

Frog inl cular radino po segundo,

ama exec udosrens por meto cies

Potéacia watt

Pesto posal

Quetiade de enor pue

Tens mecánica pars

Torque ewtonmetco

Velcildeangolar ino por segundo.

lame meso cóbico

Tratamo ale

Estabelecewse uma série de nomes e símbolos para a formado de múltiplos e submúl-

plos das unidades do SI, a fim de se poder contar com uma alterstiva para a designagfo de
potencias de 10, A Tab. A.1 inchs esses preixos e símbolos,

111 — REGRAS PARA O EMPREGO DAS UNIDADES DO St

© Bureau Internacional de Pesos e Medidas, que € a agéne de padronizapáo ¿ntemacional
para 0 SI. estabeleceu certas regras e tecomendagöes, que pretendem elimina a diferengas que

Os números que tém quatro ou mals digitos r=itram se em grupos de ts, separados uns
dos ovtros. Entretanto, podese omitir o espagamento, no caso especial de um número de
quatro dígitos, Usrse a vírgul para os números decirmis. Para nömsros menores do que a
vnidade, uste sempre 0 ero antes da vírgula. A segue, mostramse exemplos correos:

1924 ou 1924
0.1924 ou 0,1924
192 423,618 50,

* Neste lve. os expoentesneathos aamente o usados. Asin a regüäne veis, por exemple,
sla anne om rad

Emprego de Prfixos

Recomendamse somente os mölüplos e submiltiplos que sejem poténcias de 1000.
(Tab. A.1). Ito significa que o comprimento deve sr expreso em mm, m où kan, us o em
fem, a nio ser que existe uma razo convincente.

‘Quando se eleva uma unidade do SI uma poténcia,o prefix tunbänı feu elevado a essa
mesma poténcia. Assim, km? &

km? (1.000 m} = (1.000)? m? = 10m;
do mesmo modo, mm €
mm? = (0,001 mp? = (0,001)? m? = 10°F mi

Quando se eleva uma unidade com prefixo a uma poténcis, permitese. embora nem
sempre seja convenlente, uso de unidades nfo recomendadas como cm ou dim

Exceto para o kg. que € uma unidade de base, os prefixos ndo devem Ser usados nos
denominadores de unidades derivadas. Assim, o megenewton por metro quadiado, MN. €
satisfatrfo, posém newton por milímetro quadrado ndo deve ser usado, Obsenese que esta
recomendaÿäo evita a proiferapio de unidades derivados

Nio se deve usar os prefixos duplos. Asim, om ver de milimilímeto, uns micrometro,
um.

[io se deve usar um sinal de igualdode, a nio ser que a igualdadeseja verdadeia. Esta €
uma igualdade verdadera

14 240m = 14,2408 + 03 m.

Porém, 14 240 m ndo € Iguala 14,240 km, embora team equivalentes. io.
fundir portanto,equivaéncia com igualdade

Massa, Forga e Peso

As mag es acostumadas a usar o sistema métrico devem char mais difícil a mudanga de
sunt formas de unidades métricas de Engenharia do que as nagües de ingun Inle». A 10250 está
na grande diferenga no emprego do newton como unidade de força, em vez do quilogtama
ferça.

E necessrio haver uma mudanga bien de raclocinio acerca de forge e mass. Masa
medida em qulogramas. é a quantidade de matéri conti nos objetos físicos. Peso, medido em
newtons, & à forga gravitacional que atua sobre um objeto en ums determinada Joclidade.
Asim, € preciso acabar com a prática corente de diva a quantidade de maté de um objeto
especlicandose seu peso, Quando se considera um poso, ento, deve se específica a locale
a conseqdente acleragdo da grave

A American Society of Mechanical Engine (ASN), ts li d Ores epi pr a
us de unladen mies 8 pi 1, estee que nie sc do wa o ente in Ds

18 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

A gravidade-pudedo € 9,806 m/s? ou cerca de 9,80 m/s". Assim, o peso de um qulograma
mass em Washington, D.C.,20 nivel do

D = mg = (9 0m) = 9,80N.

interesante lembrer que uma magz pesa cerca de IN.

0. eujo simbolo él, é empregado como um nome especial para o decímetro cúbico,
mendável o seu uso para modidas de alta preciso, Como o volume de
de norteamericana), €
unie de timanho conveniente > provavelmente ter emprego mais amplo quando o sistema
SI for usado universalmente
Deve se tomar culdado especial com 0 símbolo I d Ito, pata se evitar confundido com o
número 1

1.12 — PRECISAO E ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS

© uso de uma máquina de calcular cletrónica com olto, dez où mais dígitos no mostrador
pode facilmente dar a Impressso de grande precio, Consideremos, por exemplo, um eflevlo
cujo resultado seja F = 142047 N. Este nümero tem sels algarismos significativos e, assim,
subertendese q eco para todos a sels algorismas. Enteetanto se 05 dados de

ta F = 142.047 N indicará um: preciso que fo existe, Expresar resultados com precisto ndo
existente € no mínimo, ilsóri, assim como desonesto e pode ser perigoso. Nesta seg,
querse examinar como aprender ap ificatem-se métodos de
Arredondamento de um resultado para que cle se 1017€ preciso e costo,

‘Quando ss contam objetos, o resultado £ sempre exato. Quando se compra uma dia de
piles na padari,esperase receber exetamente 12 piss — nera mal, nem monos, Mes, as medidas
sio sempre uproximadas. Por exemplo, uma pessoa, quando se pesa, pode les na balanga, por
cexemplo, 600 N. Ito nio sigifica 600,000 N porque os tis zeros depos da virgla Implica
o habilidado daquela pesos lr a esca da balanga com 2 preciso de 0.001 N. Assim, 0 peso
de 600 N significa simplesmente que € mais próximo de 600 N do que de 599 ou de 601

O grau de precisto obtido de uma medida depende de uma série de fatores, um dos quals
4 de qual procisio reolmente se necesita. Geralmente, uma precisio muito grande € car,
porque tas medidas dover ser realzadas com instrumentos mais dispendioos e por operários
melhor qualfcados. Uma precio desnecesária desperdica tempo e dinero

A preciso implícita de qualquer medida corresponde mais ov menos metade do último
algarismo signifiatio do número usado para indicar o valor da medida. A Fig. 1.6 mostra uma
barra que mede 18,5 unidades em comprimento. O comprimento está mals próximo de 18,5
unidades do que de 184 ou 18.6, Para expresar este resultado, usurımse «ds alarmes

rifistivos. A preisio desta medida € 20.95, porque o resultado pode ter sido expresso
como 18,5 unidades para todos os comprimentos entre 18.45 e 18.55.

Um valor eseto como 18,50 tem quatro algarsmos Sgniiativos. O valor 18.50 indica

que a medida € mas próxima de 18,50 do que de 18:49 ou de 18,51. A precis € de 20,005

INTRODUCAO 7 19

FG-16_ À bar made 185 unidades ds

A medida 0,0018 tem dois alarismos significativos, porque os zeros aqui slo usados
somente para locaiagto davirguls. Se se expresas a metida na forma 1,8 2.03, os dois algas
‘mos significativos ler evidentes. A medida 0.00180 tem trs algaciemos significativos

A preciso de um valor tal como 18.000 ndo pode ter determinada. A medida pode ter
sido feta para 0 1 000 mals próximo e, neste caso, I somente dois alarmas siguifictivos.
Em tus casos, © conhecimento de como fol foto a medida revel a precido. Nene lv, os
casos ambiguos, como este, supSese mbitrarieaente que team uma preciso equivalente 3
trésalarismos Sigrifiativos. Se o valor for expresso como 1,80.£ + 04, está claro que há rés
algarismos siennes.

Agora, suporhese que se tenha wma medida, por cxemplo 142507, que se sbe ser
precisa som (res algarismos significativos Desejase, portanto,ciminer os algunos
fo sigulfcaivos. Este processo &coahecido por arredondemento de um valor. Aqui esto ss

vegas:

1. Manter inslterado o último dígito, seo primei dio a ser despezado for menor que
5, Por exemplo, 234,315 arredondase para 234.3, se e desejurem quatro aigariemos
ves, ou para 234, ese desearem Iris alazismes somente.
ar o último digito a er mantido de uma unie, seo primeio dio despre
zado for mafor que 5, ou se for 5 seguido de pelo menos um dígio ero. Por exemplo,
14,6 arredonés-se para 15; 14,501 pera 15.
Mantertnatersdo o último dígito, se for pure e o primeiro dígito desprezado for $
seguido somente de zeros. Asim, 1,45 1,450 50 aredondados para 14,2 se des:
Jarem dois alarmes sigolfictivos
‘Aumentar o último dígito de una unidwe, se for um número impar € se o primeiro
digo desprezado for 5 seguido somente de zero. Asim, arredondase 1,55 para 1.60
15,50 para 16.

(Os cálculos que envolvem mullplcasi e vise devem se arredondados depois e rea
“adas as operagdes. Devese ansedondar a resposta de modo que ndo tenha mais algarsmos

sipniflstivos do que o número menos preciso envolvido na operagto. Asim, o produto

(1:68) (104.2) = 175056

deve ser aredondado pars 175, porque o número 1,68 tem trás alacsmosspriiativos, Da

As regis sio lgeiramente diferentes para clculos que envolvam adigio e subia,
‘Antes de walicır as operagtes, aredondame todos os valores, de modo que fiquem com um
‘Shuto signfieativo a mais do que o número menos preciso dos envolvidos na operagí.
Realizaseentio a adigio ou a subiragio, Finalmente, aredondase a resposta, de modo que
aa 0 mesmo número de algursmos sgalficaivos que o número menos preciso. Considere,
por exeinpo, asoma.

A 104241687 + 1346

Destes, o número 104,2 € o menos preciso. Portanto, usando- as reas de arredonda-
«se primeleo

A = 10424 1,694 13,46 = 11935.

Arredondase entlo o resultado para À = 119,4, empregandose a cera 4. Chamase
tengo pura o eredondamento de 1,687 para 1,69 antes de ser efetuada a ado.

1.13 - CONVERSÄO DE UNIDADES

As Tabs, A2 © AZ podem ser usadas para converso de unidades inglesas para o SI où
vice-versa, Realmente, ado deve sr necessário fazer a canversio de um sistema para outro com
cia. Se os dudos do problema sio presentados em unidades do SI, entlo, devese

‘As vezes, nfo se dipde dos dudos necsssris resolugdo do problema no SI. Dimensdes,
potencias, pesos e outcot dados “vatvos a artigos manufaturados nos paises de lingua inglesa
ise vsualmente em unidades ingles. Exemples deste costume sfo of pesos e 25
dimensées de perflados de ago pur estruturss, como perl em Le cantones, ea potencs € ©
torque de motores, Assim, quando se aispde dos dades somente em unidades inglesas, € neces
sitio comerté ot para o SÍ, para résolwo o problema neste sistema.

(Com relagto à Tab. Ad vése que convetio de pés para metros requera multiplicar
de ps pelo fator 0.305 pura a obtengto de metros. Ito Significa que as unidades da constante
de conversio estio em m/pés. Quando se converte de um sistema de unidades para outro,
sempre se colocam na equugóo a8 unidades ao lado de cada valor. Se a equacio estiver estra»
turaéa coretamente, as unidades se cancolaio, para darem 0 resultado desejado

Por exemplo. na converso da dimensio h = 8,50 pés para unidades do SL, equigáo €

sso) (us) 2590

CObserase que o simbols pds aparece no numerador e no denominador, cancelando-e,
portanto, fcando apenas a unidade deseada.

"Algumas conversoes neceltum de um número major de etapas, mas o procedimento € 0
mesmo. O concreto pesa cerca de 140 1b/p?”. Qual será seu poso em unidades do SI?

+= (0-8) (8) oa) (rm)

INTRODUGAO 1°

No segundo membro desta equasd0, o segundo fator converte libras pata newtons. U
tercelro fator converte pós cúbicos para metros cúbicos: observase que a converso deve ser
feta no denominador. O quarto fator converte o resultado para quilonewions por metro
cúbico,

‘Um dos problemas que surgem com o uso do SL que os valores diferem muito daquetes
empregados no sistema inglés. Por exemplo, o módulo de clasticidade do ago 20 níquel €
30 Mps no sistema inglés e 207 GPa no SI (ver Tab. À 7). À área de L polegica quadrada no

E

em milímetros quadrados, où

anos,

Y «sao

‘em metros quadrados. Esta € a razo pela qual as calculadoras eletróncas que possuem capac:
ade de notago cientifica sdo muito valisas para rezolugo de problemas no SL.

As Tabs. A.4 € AS proporcionam uma ajuda adicional no cálculo de tensdes e deflexGes
de vigas no SI. Estas tabeas do as unidades preferidas pera ense doformagtes, no SL.

PROBLEMAS

14 Um ago de alto cartono ado termiament fo tests uso, O del orginal ds amosta ea
125mm € o diimewo fnal, 11,6 mm. Unndo-e um intumento de medid, de cpaciade mé
SO mm, obras oe seins dados

En Tonsomento Gm Alora
on Com) av 55)

39 ost ws ose
560 007 94 om
466 0092. 908 1016
ses 0307 1072 tse
na gs mas 20
ms 0205 ms zu
sos 0308 mo 5088
350 0406 183 360

Determina estas 0 excoamento para 0,2% de deormsgáo permanente, a rene À apta e
osent percent,

Converter os seiner alors paa unidades adequrs do St:

(a) Area de Race. (6) 58 ph (mos por or
(0) Bei de 30 ps (hy 15 pes de gs

©) 2400 am. © 187 ps preso atest
(a) A mass de um utomôre que psa 3 2001

(e) A clindrada de um motor de 425 pol cbc

UP Laura e 1 pat ant note amet sie

2

ANALISE DE TENSOES

© püblice hoje exige miquinas mals rápidas, mals limpas, mas seguras e mas silenciosa.

senhetos de projeto, em seus esforgos para satisazerem esas demandas com produtos de
balxo custo, est3o Sendo processados nos tribunals do mundo intel por projetatem objetos
‘que avo tém Seguranga, que 580 perigo una. Um dos problemas reais enfentados
neste Iveo & o de relaciorar a rsisténcl de um elemento ds cargs externas que atuam e que
ele causam tenses internas. Para evita um comprometimento do produto, 0 engenheiro proje
"ista dove ter seguringa shsoluta de que as tensdesatuantes nunc vlttapaiado reisténca da
pega. Neste capítulo será abordada 2 determinagzo desas tensdes. Em outros capítlos a
segur será intodurido o conceito de resstcia e será iniciado processo de relacionar a resis
ténciads tones, para se ainia segura.

E villa a observagZo de que as tenses calculadas sio confiávis tanto quanto o sio 25
carga externas e as confgurages usndas nessa determinagio. Uma vez que o produto tera
sido Fabricado e colocado nas mos de um consumidor ou usuério, o fabicante abandonará o
‘controle sobre aquele produto e, em paro, sobre as cagas externa ds qu se pode submeter o
produto. Por eta razo, ente outas, € que os testes e 2 experimentagSesSio tdo importantes
no projet e no desenvolvimento de uma máquina ou de um dispositive novo.

21 - TENSOES

A Fig. 2.10 representa um paraelepípedo elementar, mostrando té tensöes normal 03,
y € Oz, todas positivas, e seis tens cisalhamtes Tg Tye Tyr eya Fox € Tas tambem pose
tiras. O paraelepípedo elementar está em equilibrio e

were a ay en

Considerimse positivas e como trago as tensdes normals orientadas para fora do paral-
lepfpedo clomentar. As tensöes chalhantes sio positivas, se atuarem no sentido postive de um
‘hyo de referénca. O símbolo, que indica o componente da tens cslhante, tem dois índices
(ex. 109). O primeiro ndice representa à coordenada normal à face do parallepípedo, O
segundo indica o exo paralelo A tenso representada, As faces negativas do purtlelepípedo terfo
tensöes isliante atuando no sentido oposto; estas tamibém so consideradas positivas

ARALISE DE TENSOES / 29

he

A Fig. 2.16 Uustra um estado plano de tensdes ou biaxial, que é o caso mais usual. Para
este estado, somente 4 tensBes normals sido tratadas como positivas ou negativas, Os sentidos
dos componentes du tensto eslhante serdo especificados p
(SH) ou do sentido ant horário (SAH). Assim, na Fig. 2.10, tay € SAH € rx 6 SH.

22 - CÍRCULO DE MOHR

‘Um dos problemas de malor desaño em projeto relaciona reiténci de um ciemento
mecánico ds tenses internas que so produzidas pelas cargas externas, Em geral, tome somen:
te um único valor para a resistencia, tl como resistencia ao escoamento, mas diversos compo:
Inentes de tensdes. Um dos problemas a er enfrentado em capítulo futuro € como tomar um
elemento de tensio como o da Fig. 2.19 e rlectonálo win único valor de resstencia para se
obter suranga. Est seo constitu o rimeio passo ds solu.

onhase que o elemento du Fig. 2.10 soja cortado por um plano incinado de um
ngulo ¢ em relagío 20 eixo x, conforme indicado na Fig, 22. Esta sego trata des tensoes ger
que atvam neste plano inclinado. Fezendose o equilibrio ente a soma dos cumponentes das
tensdes eas tensGes no plano inclinado, choga=e at

+ ESP cos 26 + hey 0029

AI sen 26+ ty 0082

! Pa andre completa, ver SHIGLEY. Joseph L. Applied mechnis of meer. Nora Torque,
fscCrawti Book Company 1996p. 25941,

24 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

Fe22

Diferenlandose a primeira equagio em relaio a 6 e igulandose o resultado à zero,
obtémse
2
er; as

A En. (24) define dois valores parclares para o ángulo 2¢, um dos quals define a
tens normal máxima 0, € Out, a tenso normal mínima 03. Estas dus tenes chamamıe.
ensdes prncipats, e sun dirgöes comespondentes, dires prncipat O ángulo $ entre as
diregóes principal de 90".

Anclogamente, diferencias a Eq. (23), igulase o resultado a zero obtémse

erg = ar. as

To

A Eq. (2.5) define os dos valores de 24 para os quals a tensio y € máxima
E interesante notar quese pode exerever a Eg, (2.4) na forma

Bry 608 26 = (04-0,):0 26

wag = Se

Agora, substituindose& Eq. (a) ne Bq. (2.3), obtémse

a PRE + cry as
2 À (RG monte qu eno shame ua pr ambas sde prints
endoso a Eq 019) minados del o lr e sen29 lento EA. (22),
obtense
on tte, en

‘A Bq, (2.7) indica que as duas tenses normals asocldas ds dieges das duastensdes
‘isathantes maxima So igual

ANALISE DE TENSOES / 25

Podemse obter as expresses para a5 dus tens8es pricipal, subäituindo-s 0 Angulo 26
da Eq.(24) na Bq, (2.2) O resultado €

De modo semelhante, obtémae as duastenstes clathantes máximas

Portm, eta pode nfo ser a tenio cllhante minim, quando se considere também a
direçso z (ver Seg. 2.3).

Um método grfio para determinar a diver els entre tesde, chamado digan
o eieu de Mohr. € um melo mo elcaz dese valia o estado de tesbes em um ponto e
de e tagaem a8 diseges dos vos componentes asociados ds tee planas. Na Fig. 23,
crinse um untema de coordenadas com af tenses normeis orientadas ao longo do exo ds
Ablage stones elulhanes orentaas segundo © eixo das ordenadas, as abschia, mat
came 4 tenes normals de tngo (positives) dieta da rigem O as tenses nots de
‘ompresefo (negatives) à esquera.

‘Usando-se o estado de tensües da Fig. 2.15, traçasse o circulo de Mohr (Fig. 2.3), fazen-
dose o iguala O4, To igual a AB, 9, igual 3 OC rye igual 2 CD. O segmento DEB € 0
Qümetr do eiteulo de Mohr, com o cent em £ obte 0 0 0. O ponto B tem como coorde-

> su

Fl.23 Chao de Mohr,

adas a tenses dg € Fay. Corespondentes ds faces x, € o ponto D tem como coordenadas at
tens0es 0, € fy, Correspondentes ds faces y. Assim, EB eorresponde a0 eixo x © ED, 20 eixo y.
20. metido no sentido antihorário, de EB a ED, & de 180°, que corresponde a

*. medido no sentido antihoriro dex a, no elomente de tenso de Fig. 2.18,

Principal máxima o; ocorre m Fearne 05, em 6. As dUas tensdes
isslhantes máximas, wna no sentido horáto e outa no sentido ant horáio ocorrem em fe,
respectivamente

q O tet dee domonsta por si mesmo que a gromai d i, 23 sl toas as

Enivora as Eqs. (2.8) e (24) possam ter rsoividas diretsmente em termos das tensdes e

ditegdes principal, pode<e usar um método aproximado Semigrfico que € mais fil e mals
rápido © oferes menores opor

EXEMPLO 21

© elemento de tente mentado ma Fig. 24 tem og =SOMPa ¢ ray = SO MPa SH Determine as
tender principal e e rede pina indceadoa em um elament de ls orintado comeunente
fem ro aos elos x e. Detenhe auto elemento de ala para most rq, determine a tentes

Fe. 24

Soli. Consusloeo cial de Mohr eomerpondente so: datos d problems ertram os valores
(retunene de diag, Podese fer ev consrcio gráfica com compas rg, ote informe
(0 deta om à jo de rép e var
Bo metodo seirifien 2yzoximado aq ado, rico fa um sto, a mote, do ctu de
Mohr ent usos peor a rs pars obre a informagde erat
"Tano, em prime lagar, on eos ge y, na Fi, 250, e mare oy = 90 MPa uo logo do exo
Entio,» ari de ay, marcas ray 2 50 MP no sentido horse de ct y. loalndo portant, o ponte
A. Como ay =O, tense ye ÉO MPa. o senti atiborno. 20 longo de eso 7.0 abléma 0 pont.
(2 AD repas à me do ht ela encunfrucn pode ads sors A nero da
na qu Denon a CA; eo y

VEN FU

* Quaker componente de tenso, como ep rx el. que ao ep dado um problems, € sempre

ANALISE OE TENSOES / 27

este valor pode ser também marcado na gun. Como pant comergende a 40 MPa, cidos pat de
‘rg, podem determinar aora s tenor penpals

os = 40468 = IMD 0 = 40-66 = Nm

Dago 29 eme orcos ye 0 no sero horáno, é

Podese war ums clelaora que sport de converso de ordenndsretangulrc pats polares,
par ober rin 2

Fig 25. Todarastemberem

Par desnhar o elemento de tenio com ss teme principale (Fig 250), tajamee or exes x e y
[arltomento so sor original (Fe. 2.0. O Sega 9 mo cemento de tenso deve ser modi no memo,
ide que o do area 29 oo ciao de Mohr. Asin, a puto dex, medese 25,7" (metate de 31,320
rewtido Hoi e mercase o xo 2, Pleas ara compat date de env ed tt ens que

28 / ELEMENTOS DE MAQUINA

‘As dua temas chahanted más ocomen nos pontos E F de Fig. 2.5, As dun tensos normas
conespondentes esas tenses calhantes fo 40 MPs ead uma, conforms indicado, O pont E ex 38.7%
o sentido eniiriio à pete do poste A, ro cire de Mohr. Poranto, na Fig 20, deshace um
‘emo de tenio orentado sega o Ingo de 19.3 (cad de 28,79, na semi anihertie. apar

conse 2 lenge ds dues» ¢ do sem de
tre en

23 ~ CIRCULO DE MOHR PARA TENSOES TRIDIMENSIONAIS

O caso geral de tensdes tridimenslonals, ou fensdestiaias,eté mostrado na Fig. 2.10,
conforme j se vu anteriormente. Como no caso de tensóss planas ou biaxii, o elemento de
tenso assumird uma orientagdo particular no espago na qual todos os componentes de tensdes
clsathantes serio nulos. Neste cas, a diegSes normaís ds faces do elemento corespondem de
iregóes das tens principals e as tenses normals asociadas com estas faces ado as tenes
principals. Como sio sis face, hd trés diregöer principals e tes tensdes principi 0, 4 € 0.

No estudo de tenses planas, devese ser capaz de especificar qualquer estado de tensto
or 0%, 0y € Tay e de achar us tensdes principals e as dieses principal. Poren, um estado de
tenso comum exige a especficaglo de seis componentes de tensde, e problema de determi
ago das tensdes principals ¢ ds diregdes prinipas fica muito mais difícil, Como sto rara
mente será necessrio em proetos, este problema ndo será investigado neste lio, O proceso
evolve a determinagto das trés afzes da equagio cúbica

(0, +0, +0,) 02 + (090, +0,0,+0y

= (6,00, + ren = De @.10)

Resolvendo-se a Eq. (2.10) para um determinado estado de tenslo, podese obter um
elemento de tenslo principal como o da Fig. 2.60

‘Tragandose os eiteulos de Mohr para tensos taxis, arranjam-se as tenses principal
de modo que 0, > 03 > 03. O resultado entäo aparece como na Fig. 2.66. As coordenadas de

Fig. 26 Ciclos de Moke paa tes teal,

AMÁLISE DE TENSOES / 29

enslo ayrw para qualquer plano escolhido arbitrariamente sempre cuem dentro de área
sombreada.

Acontece frequentemente, no caso de tensdes plans, que as dus tensGes principals ay €
03 tenham o mesmo sina. Nesta situaslo, a construgäo de um único cfieulo de Mohr com 04
+ 03 ndo condutirá Tmáx. Pods ver istofeclmente, constuindo se os tés círculos, usan-
dose 03 =0 para aterclr tenso pricipal.

24 - TENSÄO UNIFORME

Freqüentemente, considerase, em projeto, uma distribuigdo uniforme de tensio. Cha
mase entáo o resultado de rg pur, compressio pura ou csalhamento puro, dependendo de
como sio aplicadas as casas externas 20 corpo em estudo. Emprega-se, e vezes, a palavra
simples em vez de pura, para indicar que nfo há outros efeitos complicadores. Uma butra sob
trasto é um exemple típico. Aquí apllease a caga de trago F 20: pinos situados nas extremi-
dades da barra. A suposigio de carga uniforme significa que, se se cortar a barra numa 5eç20
aastada das extremilades e se se remover sua parte superior. podese substitu o feito desta
parte splicandose uma forga uniformemente distribuida de intensidade 04 à extremidade
cortada. Dizse, entio, que 2 tensio 0 € uniformemente distribuida e pode sor calculada pela
quasi

E
e an)

Esta suposiio de tensto uniformemente distibuída exige que

1. A barra sej reta e de material homogéneo.

2. A ha de ago da forga coincida com o centro de massa da seo,

3. A segZo considerada estejo afstada das extremidades e de qualquer descontinuidade
où mudange abrupta da seo eta.

A mesma equagSo e as mesmas consideragdesaplicum-se à compressa simple. Uma barra
delgada sob compress pode, entretanto, flhar por Nambagem; deve-e eliminar esa posibli-
dade antes dese empregara Eq. (2.11) (ver Seg. 3.10)

O uso da equagzo

am

para uma pega, por exemplo, um parafuso, submetido a eisalhamento, implica também nt
considerado de uma distribuigio uniforme de tensto de cisaltamento, Na prática, € muito
dificil obterse uma distibulgto uniforme da tensto de eialhamento: incluise esta equagio
qui porque há ocasies em que se considera esa hipótese

25 — DEFORMAGÁO ELÁSTICA

Quando se submete uma barr sta a uma carga de trago, a bar se along. A grandeza
ese alongmentochamase deformagto. O longamento po wade de comprimento da burra

20 / ELEMENTOSOE MAQUINA

chamase alongamento unitério.* Apesar destas deines, entretanto, costuma-e emprega

avr “deformegto" para significar “deformagto unitária” e a expreso "deformapfo total”
para significar slongamento total ou deformagfo de uma pegs. Seguindo- esse costume, a
expresso pura defarmagio €

5
cod a

onde 5 é o alongamento total da bara partir do comprimento L

Deformapto angulr € à sleragio sofia num ángulo reto de um elemento de tenso
submetido a eisalhamento puro,

leztcidade € propriedade do material que permite retomar sus forma e suas dimensöes
Originals, quendo se remove a carga. A lei de Hooke estabelece que, dentro de certo limite, a
tensio em um material € proporcional deformagio nele produzida. Um material elit
obedece necesurlamente à le de Hooke, porque é possvel, para alguns materias, endquirir tua
forma original sem a condigio limitatva de tenso ser proporciona à deformagio. Por outro
lado, um material que segue le de Hooke € elistico. Pela condicio da tenso ser proporcional
A deformagio, podesse eserever

o=£e 019
1=0% ag

onde £ e G sfo as constantes de proporcionalidade, Como as deformagcs 0 números adimen-
sionals, as unidades de £ e G so as mesmas das tenis. A constante E chama e módulo de
elsticidade*®; a constante G lama e módulo de elosticidade ao ciallamento +" qu, vezes,
módulo de rigidez. Ambas, E e G, entretunto, indicum a sgidez dos materias, Estas dues
‘constants repesentam propriedades fundamental dos materi,

Substituindo-se 9 = F/A e €=5/l na Eq, (2.14) e rearrumando-se, obtémse a equasso
para a deformagdo total de uma barra carcegada axialmente com trago ou compresso:

©

Experiénclas demonstram que em um material, quando submetido à trago, nfo exlste
somente deformagto axial, mas também deformagfo transversal. Polsson demonstrou que estas
uns deformagdes eram proporcionas uma em relagdo à outra, dentro dos limites da lei de
Hooke. Esta constante € express por

iy — Deformagio trate due

+ € conhecida como rezdo ou coeficiente de Poisson. Essas mesmas relagóss apicamse à com
press, devendo se lembrar que a deformagSo transversal, neste caso, € uma expansto,

M de R. Também conbeido por "formas especifica”,
"+N. dp R. Ou "möcht de Young”, com retrial 0 cess inglés Thomas Young (17731829)
que estos tica de tama
ER doR. Os "indole eosticdae tner

ANALISE DE TENSOES / 21

{As tds constantes clésies relcionamse através da expreso

E = 26(1+u)

26 — RELAGOES ENTRE TENSAO E DEFORMAGÁO

A tensfo, sendo um concelto artificial, no pode ser medida experimentalmente. Há
muitas técnicas experimentus, contudo, que se podem usar para a medida da deformapio.
Asim, se se conhece a 1elagfo entre a tensio e a deformagio, podese calcular 9 estado de
tensöes depos dese medicem a deformagdes

Definemse as deformapdes principals como as deformagdes nas direçües das tensdos
principals. As deformagdes de cislhamento s30 nulas, assim como o so as tensósscsulhantes,
as faces de um elemento alihado com as tensdes princisis. Da Eq. (216), as tés deforma»
005 principas orrespondentes a um estado uniaxial de tensos so.

e

ash ene

Usase osinal negativo para indicar deformagdes de compressdo. Observase que, enquanto
‘estado de tensio € uniaxial o estado de deformagdo € triaxial

Tensbes Biasais

Para o caso de tensdes planas, dise os valores de o; € 07 € fazse 05 igual E zero.
Podemse calcular os valores das deformagdes principals pela Eg. (216), imaginendose cada
tenso principal atuando separadamente e, entfo, combinando-s os resultados por superpo-

sigdo. Isto leva a

As Eqs. (2.19) dio as deformagdes principal em termos dus tenses principes. Porém. à
situagio usual € o contréro. Pra callar 0, multplicase €; por we somamse as dussprimel-
ras equagdes membro a membro. Isto produz

32 / ELEMENTOS DE MAQUINA
Retirandose o valor de oy, temse

Bla tue)
Er

Ela tun) em)

on = Flats

Resolvendo estas equagdes, o eitor deve se lembrar de que consideramse positivas as
tensdes de ago e as deformagdes de trago, e negativas as tenes e as eformapdes de com-
preso,

Tensöes Travis

Dizse que o estado de tenido & trixial quando nenhuma das tés tenses principals €
zero. Por Iso, as deformagSes principals so

oa

Em termos das deformages as tensbex principals 90

Ee (1-1) + HE + 6)
T= a= 24!

Ball -W+HEla + 65)

ae Ta

Eat = + ue ta)
ETES"

A Tab. A.7 apresenta ot valores do coeficiente de Poison para diversos mates

27 — MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE EM VIGAS

[A Fig. 270 mostre uma vga blgpolada com esreapdesRı € Ra e com 0 camegamento des
forja concemraas, Fy, Fy e F3. A odenagdo excolhida para 0 exo inca a comenglo de
Sins para a fora. FF e Fy fo negativas, porque am O sentido negativo de ys e Ra
sio posta.

ANALISE DE TENSOES / 92

Ay

mer

Se se cortar a viga numa segío na abslssa x = x,, contidear a parte da esquerda como
um corpo lvre, devem atuar na segfo cortada uma Jorge Interna de ctalhamento ou exforgo
cortante Y e um momento fleor M, para que hoja equilibrio, Calculase esa orga cortante,
somando-se as forgas esquerda da seso considerada. O momento fetor € 4 soma dos momen:
os das forgas situadas à esquerda da ses, tomados em relagfo a um eixo que pase pela seo.
A forga de cisahamento ou forga cortante € 0 momento fetos relcionarnse pela equagío.

an

7

= (29

As vezes, o momento causado por uma carga distribuida. Entfo, pode: escrever a
relagdo entre a forge cortante € o momento fletor através da equagto

zei a

onde w a carga unit atuante na vga (w unidades de forç por unidade de comprimento).*

A Fig. 28 mostra as convengdes de nal usadas nest li para momento Teto € forga

© earrgamento w da Eq. (2.25) uniformemente distribuido. Podes defini uma dst
but mas geral arts de equagio

ar
27 or

onde q é denominadotntesidde de cage asin. = —w.

‘As Eqs. (224) e (225) conduzem a relgtes adicional, e integradas. Asim, integran
Ido e entre o limites x4 exg,obtämse

ear = [ear er am

[que estabelece que a verizrdo da forga cortante entre À e B igual área do tlgrama de carre.
[gemento entre x exp

TN. do R. Tambémconbecido como "ta de camegamento”.

34 1 ELEMENTOS DE MAGUINA

oe

Fg. 28 Convene de par ex atmen
De modo semelhante,

ar Var = My My,

que estabelece que veria do momenta fltor de À a iu érea do diagrama de forge

EXEMPLO 22
À Fig 298 morts uma ven OC de OAS m de comprinento camada pes ores concentradas de
250N em Ae SON em. Culo acres R, eR, waar 0 drama fogs crane ede momento

Fig.29 Dimensdes em metros

ANALISE DE TENSOES / 35

Solo. Samant os momentos em reto 0 poto 0, ovat Ry = LL. Fatedoae 0
coman de tomara reo) cunas fy = MEN

tas a amics 6% rn de fr sont (290, mare ma ren. tan de
ad pa à da oro site € D, dc O A, Em Aer ovat o pu DD
‘Sea conte de ON gb cua inma um A Ent À € rl o ota €
DRIN Em Dent comment andose on ALLEN A a lia e Clio oe de
Conant ged irom sera ee

Pa determinar & ram e moment Ot F296), den rm mene que aa
de momen rte don poor sg Li db dre de fr nie ene ses or pao Canons
inc odagana de comento que 6 gran de coo De forgets Fama ea Od soe
era, momestoemA fu o dogma de o cae OSA, A,

Ma = (889) (010) = 3849N=m
breve que este restado pode ser também obtido, mulipicandose arcas, pl inc de
ona.
A vasiagio do momento Neor de A a 8 & a deu do gran Ue fora cortante enti À € 2, Asin,

Mg Ma = (1389) 040) = 1359 Nom
Mg = 3889 41349 = 52.78Nem

Podese também ober ete rela, calculados sematóro de momentos em tlio ao onto:

Mg = (3883) (0,20) - 050) (0.10) = $228 Nom

28 ~ FUNGÖES DE SINGULARIDADE

As cinco fungoes de singulacidade definidas na Tab. 2.1 constituem um modo úl fácil
de integraçäo através de descontinuidades. Usandose a tabela, podemse escrever as expressöes
Beris da forga cortante e do momento fear em gs, quando carregadas por foras concentra:
das où momentos concentrados. Conforme mostra a tabel, se fungdes forga © moment

concentrados sio iguals a zero para todos os valores de x, exceto para o valor particular de
=a. As fongdes de degrau unitário, rampa e parabélic sdv mulas somente para vores de x
menores que a. As propriedades da Integrapfo mostrados na tabela constituer também vana
parte da definig£o matemático. Os exemplos seguíntes mostram Como se usam ess fungden ®

EXEMPLO 23

Deduir expresses para os grams de earepamente fre cortente € momento tor par ven
és rue 210.

Sont. Usando» à Tab 2.1 6 6x) par à fun docuregamento,btémse

ete GE, Ge à WERE) w

Far exemplos sions, er CRANDALL, S. M. DANI. Norman €. € LARDNER, Thomas J
[da An inrodacon tothe mechanics of solido. 2. e Nov torque, Meal Book Company 1972,
QUE

38 / ELEMENTOS DE MAQUINA

TABELA 2.1 Fungde de Single

angio

Gráfico dein)

entiendo

ER

tae

Fone
contenta

Der onto

a

et dew exe!

nau oe rneoes ı 7
Amul wr E, 20 pus hr rcv Deer hat q 9m pe
= [eee more mascara as

‘Um segunda na, de acordo com a Ea. (2.27) eve
a

Podemse determina a sendos, e Ry, clado o somatério de momento oras de modo
urn au obserandoae que fora cortante 0 momenta fte dre sempre er scr enets sept Poa
Dé llo pits que de Eg (2), obtén Y = ar malo quel Asn
DEEE ET
Como o moment fetos dev serzero na mama so, de Ea. (3), re
REN) Emo) = 0.

Podemos resolver as E. (40 (5) ar calama a etes e Ry

EXEMPLO 24

A Fig. 2216 mostra o capama de cargamento da vig encstda em O que tem uma cara uno
memene safe eno recho a Cx € Dedue a expre pa forge coran momento Aer,
ER, sb astas de sal

“|

Fig-211 (6) Diprma de cua par uma via enastada em 0 (0) Disama de fog cortante (6) Diagram
Ge moment et.

38 / ELEMENTOS OE MAQUINA.

Solus. Seuindone 0 prometo empregado no Ex, 23, hue, par a fans curegamento.
am ME RR wir. a

'% 4
v= [ed = cart +8,00 = werd a

Detemiaanse a ener score lgtamente malo que L porque ambos, Y e M, fo moon
rareza. AE (2) dor eno

MD Ry m4 29 = 0. o

de onde we ti 9 lor de Ry Da Ea (D, ote

meri ao, o

que dio valor de My. As Figs 2110 € 2116 monram o dnramas da fore cortnte ¢ do momento fett.

29 — TENSOES NORMAIS NA FLEXKO
Na dedugdo das relaócs paa as tensdes normals na flexo de vigas, admitese o sgulnte:

A viga está submetida à exo pura; sto sigles que aforg cortante € ero que nfo
hi cargas auais ou de tgl.

O materia E sotröpieo homogéneo,

O material segue al de Hook.

Asia inicialmente € reta com uma seso transversal constante em toda a sua extenso,
A via tem um eixo de simetra no plano d flex.

‘As proporgöes du viga so tas que deve falhar por flexo, em vez de por esmagamento
‘ou famibagem lateral

[As segdesretas da via permanecer planas durante a exo

Na Fig. 2.126, vése parte de uma via sob ago de um momento fletor M. O elxo y €0
ixo de simetra. O eixo x coincide com o elxo neutro da seso e plano xz, que contém os
‘ioe nous de todas as segúes chamase plano neuro. Os elementos de tenso colncidentes
om este plano m deformagdes nulas A localiza do eixo neutro na sepio reta ainda no fot
‘etn

aplica de um momento positivo fard com que a superficie superior da vga se cure
para Baixo, asim como © exo neutro, conforme mostra a Fig. 2.12. Devido à curvatu
Zoo AB, otiginalmente paralela à CD, porque 3 vga er reta, pascrá para a poscto A’
ando doum ángulo de. Como AB e A'B' sio ambas has rte, supús o que estas segs
planas permancceriam plans durante a flexo. Chumandose o ao de curvature do eixo neutro

ANALISE DE TENSOES / 39

o

Fig 212

de p, 6 comprimento de um elemento diferencial do elxo neutro de ds e 0 ángulo subentendido
pelos dos lados adjacentes CD e A'8' de d, teve, enzo, da definigfo de curvatura,

1.4.
Sa (a)

Conforme indicado na Flg. 2.120, a deformagio de um elemento situado disténclay do
elo neutro €

dx = yde. Oy
A deformasto específica € a deformacto dividida pelo comprimento original,

de

ra a
[onde o sinal negativo indica compressio. Resolvendo-se as Eqs. (a), (6) e (c) simultaneamente,
obtémee

oe
x @

Assim, a deformagio € proporcional à istincla y a pati do eixo neutro, Agora, como
lo = Be, chegase à teasfo

40 / ELEMENTOS OE MÁQUINA

Tratase de Mexdo pure, o que significa que no hi forga axial atuando sobre a via
Podese cstabeecer isto de forma mutemátca, somando-se todas as forgas horizontals que
tum na segio seta e igualandose esta soma a zero. A forga que atun era um elemento de área
dA ¿0dA: portzato,

soda = -£ sydd =0. o

A Eq. (7 define a Jocalizagio do eixo neutso. O momento da drca cm relagdo a0 eixo
neutro € zero e, portato, © elxo neutro passa pelo centro de gravidade da seçäo rta.

A seguir, observase que o equlíbio exige que o momento fetor interno criado pelas
tensdes o deve er o mesmo que o momento externo M. Em outras palavra,

6

A segunda integral na Eq. (6) € 0 momento de inéria da área da segío reta em rela 20
1944 (28)
que € momento de inérca de dre; como, na verdade, a área nfo pode ter inérci, no se deve

confundile com momento de inéreia de mass.
Resolvendose as Eqs. (¢)¢ (2.28), obtémse

1 M
te 2.28)
F° =
Esta € uma equagto importante na determinsgio de deflexdes de vigas e ser empreguda
no Cap. 3. Finalmente. eiminaado-se p das Bas. (ee (229), chegase a
om ML
# es

A Eg. (2.30) estabelece que a tensío 0, devida 4 fiexto, € diretamente proporcional à
distancla y medida a partir do eixo ne momento fletor M, conforme mostra a
Fig. 2.13. Costumase designar = pm € omiti sinal negativo, escrevendo se

aa)

A Eg. (231) dé a tensdo máxima, Determinase se a tensdo máxima € de tracto ou de
compressto através de simples inspero, quando se conhece 0 sentido do momento Netor.
Pode-e escrever a Eg. (2.31) de duas formas altern

onde Z = He € o módulo de sepáo.*

2 do Tarntém chamado "módulo de resistencia:

ANALISE DE TENSOES / 4]

Et neuve

exuno 2

‘Uma via com seg em T tem as dimensSes mosuada na Fig. 2.16 e está jet a um momento tor
de 1000 Nm. Localizar © exo nett e determisa as tenes normals máximas de tag de compendio.

Pelo seni do momento, arte superior d via está submetie à ae.

oo
"¡OS TT

N nl

shor
run

Solusóo, A ia da who ¿ À = 1000 mm. Divdese aseo em T em dois retingulos 1 2 2 €
semana os momentos desas res em rego à um eto que pas pes orda superior d seso, tb,

10006, m 10% 50x 5 + 10 SOX 35 = 10000 Nem

onde e, = 20 mm. Ponanto,c, = 40 mm
A pur ceuta momento de insel de cada teinguo er reo ocio barat. Uandose

Tab. AJO, encontre, para rt
A

Fe

2 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

Paso ángulo 2

Empresa o totems de Steiner ou dos ete pros par oberer o momento de nich a|
Ion em ei ate lo aac Est orme establos que

hn leg tad,

Lg à momento dencia Se em ruso 29D az £ 0 momento de nich em
Fais Y quiet ex parto editan quee io. Ps oreiingle Ie die €

ado tors de tner dns vers éme

T= ADA tad) =
= (616642 + 500 AS”) + (DE 16667 + 500% 15%) = 333 339,4 mu

Flete determine a tenio normal mina que arr ns Beda per, no curo, to:

De mode event, el tens máxima de compre, ma onda ner:

Mes 100000040 29 amt
7 SEH Pal

ETS

2.10 - VIGAS COM SEÇOES ASSIMÉTRICAS

Podemse também aplicar as equagSes deduzldas na Ses. 29 para vias que tim segs
asimétrica, desde que o plano da fexdo colnida com um dos dol isos principal da seg.
Sabese que à tensioddistinca y do eixo neutro €

©

Portano, a forga sobre elemento de área dA, a Fig. 215, €

oat = Da
a

ANALISE DE TENSOES / 49

Fig 245

Tomandose o momento desta forga em relago ao eixoy e integrando se em toda seo,
obtémse

M,

gu facet = focas ”

A segunda integral na Ba. (8) & o produto de inéreia yg. Se o momento fetor ester no
plano de um dos eixos principal,

Ln = fread =0 ©

+, com est restrio, as relapses mantém-se para qualquer forma de ego. Em projeto, natural
mente, Isto nio acontece, a ndo ser que 0 projetista planeje as pegas ques ligam com a viga e
tuansferem a carga para el de tal forma que o plano desis cargas de exi sea 0 mesmo que
‘um dos planos principals de vig.

2.11 — TENSOES CISALHANTES NA FLEXAO

saad a crane em uma vi to for a, eevee una en cata,
coja Intesidade €*

(03)

Esta tensto ocorre à distincia y, da superficie neutra, conforme € mostrado na Fig. 2.16.
Nesta equapio, b € a laura da superficie em yy, Y € a fora cortante sobre a seo tera 8
O momento de inéci da seç20 em rela a0 exo neutro.

A integral, na Eq. (2.33), € 0 momento de primera ordem da dres da face vertical entro
A € € emrelaio ao eixo neutso,Designa se normalmente este momento por Q. Assim.

=f yaa

* Pare o desenvolvimento completo, ver SHIGLEY,Jorph E Apple means of mater Nova
Torque, MeCrsw-Hil Book Company, 1976, 149-58,
SN 60 R. Tamim chamado "momento etic

44 7 ELEMENTOS DEMAQUINA

Fi. 235

Com esta simplieasto, podese ecrevera Eg. (233) como
r=.
“2 (235)

A Eq. (233) mostra que a tenso cislamto € máxima, quando y, =0, e zero, quando
a =¢, para uma seslo retangulat. Assim, a tensio cisulhante € zero nas sperfícies superior e
inferior da vga, onde a tensZo normal, devido à Mendo, € másima; a tenso cialhante € méxima
no eixo neuto, onde a tenszo normal € 2e10, Como a tensto csalhante horizontal € sempre
acompanhada por tensdescisalhante verticis, pode-se representar essa disribuigáo através da
Fig. 2.160.

A Fig. 2165 mostra a distibuigdo de tensöes cisalhantes para uma sepfo retangulr. Na
Ea. (233), subsituindose / pelo valor correspondente 20 da segio retangulr, com yı
obiém ea tensio csalhante máxima.

ta = 34 236)
Para uma segdo circular, a Eq. (2.33) dard

faxes ¿E

ime © 34
+, para uma segdo circular oca,

fate LA
mix = Y

Para perfs de bordas grandes e em Z, uma boa aproximagto é dada por

an =
mu =

onde Ay éa área somente do núcleo.

ANALISE DE TENSOES / 45

[No oto de certas segs assinéticas o plano do momento tr deve paar plo centro
de org“, es desea ea a or da via (Fig 2.17) Normalmente, este problems aparece
quando se empregam segs abertasdeladas par vgs e sob estas codigs deve se Investigar
colapso ou a flambagem da vea Os métodos de localizan d cetro de try esto sem do
propósito dest vo.

>

Fig 217 (4) 0 per em C tem somente um evo de simeti; tb) para se evitan torso, o plano de eats
mento dev pasar plo cetro d ario

em de orto

1
w Le

EXEMPLO 26

Determinaro dämeto pars à âne redonda de AS m de comprimento mosto na Fig. 2.18. A
one end points em mancas de slamenteszutocompenstorr. Momtader a &vor, hi uma Poi para
ceria em V com cars radial de 17808, e uma enpenage com cra reia de 668 N. As aras esto no
mesmo plano, mesas ¿legs e tion. À tens normal dei ao momento Der na dee aluspar
ein

El

TN do R. Também conbecit por “centro de cramento
* Ver Gand Dante Ladner Op. cht 490

1 / ELEMENTOS OF MAQUINA.

Salto. Conforme e ndcou no Cp. 1. necestamse de ces supose Net problems, dc
douse ter suits concer:

Despensa o poso d ior.
Come os solamente sp stolinhivels,consderamae à Ener slmplemente noia ea egos
com foc concentra

150 70

CEE

Diagrams de crepes

TN a2
(0) Drame de force coran

0 disgrama decremento est montre na Fi. 2.192. Caeuandove a omstéri de momentos em
relacio.

MG = -04SR, + (0.30 (1780) + (010) (668) = 0
Ry = 139548

DAS) 780) ~ (035) 668) +045R, = 0

Podemae calcula at rss, empregandove vote Define o dr uno e omo. rociado
sos enon xy, rmectiramente Op etes poso des ponton A.B eC wo

MOIS 1m 03S, A= Das
Tambin, os eto foes so
R= Rh Fam In Fe = -666h R= Rb
Ento, seno o somatéi de moments em rl à 0, Obämse a equal voor
TAX Ea +19X FR HICXR, = 0,
As paca d Eq CD) chemanıa produtos ptoí O produto veto dos dis ear

Ac sglevasezake B= xpitypiecek

+ do. O produto veto poe também ser inca com nta 14 À Fa

ANALISE DE TENSOES / 47

AXE = Wate tua + ra = sara + aye = ar
Est eli pode ser expres na forma de determinate
ax loa va ta
i ko ve

Aste, alum os termos da Eg. (1):

waxy = loss

,
10XR,= (045 0 0|=045R,k
oR, 0

Substtotntow est termos mu Eg. (1) € rextventose à oqugio able reine, bide
T2990 A wavs soe

Ry = —E4-Fg=R, = (1780) - 668) 211129 = 1 385450.

Neste exemple, octal era mal uabathon,Frovelnente, par problems em ts menos
pas proramacio em computador dl mi vena.

0 paso sele & tea o Alarma de fra cortante (Fi. 2198). momento Nor máximo come
0 poto de fxg can seo. Seu vor é

Mn (4.335.045) = 20027 Nem

JLerandose em conta as consiteryt fea lniciment, splices Eq. (232) Cale primeco o

módulo da esto. De Tab À 0.

1

ati undo- à Ea.(232,

Subrttiadese o 69 x 10°

Poranto, escotes 0 dämeir d roc d= 31 um,

48 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

EXEMPLO 27

Para o canegamento moxtado na Fig. 220, determine us ss eR, o valor louise do
momento feto máximo.

Fig 220

“Solus, O exane ds foges Im 4 € Bp Fg. 220, indica que sens Y € RY euro na diego
de y, 0 no postive, € 2 res Ree Re a dep ez no sentido negative. Esrrendose an qua
SA emectantos€conroleteconieraeme nor sonidos polos toos os vtoes descontado.

Prime wandose 3 notas sige tomando o soma de momentos em relacio 20 x 2

= 010 € 350) - 025) 000) + 0.35R%
= 102857.

0.10) 480) - 029 350) -035RÍ
= -109286%.

Somendose a organ ne dise 02, bis RY € RÉ

EY = RY 1350-3004 100

LA = RÈ +450 + 135010946 = 0
aE = msn,

and 0 cal torial paso mesma propo, devem defini os etores oso

tA = 0G, EC 1 = 038,

ANALISE OE TENSOES / 49

Tam expresando as ras € rss Forma veto, bé
RS REIGATE Fam 1360) + 4508
Rs = RIF REL Fp= -900 + 1350k

otto, azendo-e o somati de momentos em lagi à origem,obtimae a equego verra
EM, = TAX F4 trp X FE ICI, = 0.
‘Caleta fesmente paces a (D) Os rematados so

tak = nk
BRIE CONC

FAR, m 038A sony

Substvind- estes valores na Eq.) € callando R obtén

Ry = 102831) - 1092866

IR, = 1500770.
A segur para hover eq,

Ri +FA+ FR +R,» 0
A volugto dest equnsio€

Ry = 122143) —707,168

IRI 1911368,

© momento fetor mitimo ctoneri no porto A cu no B. Pas ambos ot ponte, dene fate o
somatérie de momentos em lado sos loz ques parles yet. Para ponto A bé

a = (122149010) = MIE Nem
37 u OI 040) = 7021 Nom
tin o momento resent em A €
Ma = SORTS TOAD © 36114 Nom.
Pan oponto 8,

ME (122143) (0,29) + (1350) (OS) = 10279 Nom
M0 = 0714) (028) (450) (045) = 10970,

Mp = VITARA = 150.03 Nom,

Estes celos potem se verificado, tragando o ol sagan de fosa cortante, um parao plano
ae outro par 077. € determinando se on dol comespondentes Jamas de moment Nee

50 / ELEMENTOS DE MAQUINA

0028

Una ia de 0.30 m de comprimento soporta ums cars concentrada de 2 ION atada £0075 m

de uma das extreme, conforme indica a Py. 221. Comiderando apenas 2, tentes nora did so

‘etx. um prjctitastconos um pr em C A9TOTS, de palais, de liso, xj den

er esto moradas também ma fur. Entrtato, o pojeto pode no er serena, porque an temes

alhanes no foram condenadas. Incsindose tembér ess tenon, a tee minima combinada deve

‘corer peto do pont de splsc € ca € Ra judo de aba de per com o necio, esr tenes
pipes contento a capa pasando pel care de tro,

I an

1
Rat 62788 SN F091 x 10 mL

Fig 221

eal

—

(aS

©

Fig. 222 () Diagramas de cra, de eoro corte € de moment Hear, (9) Seo sta comiera.

Solar. A Pig. 2.222 mota os dames de caregamento,deforgacorunt de momento fete,
Pac simplifica os edel, conside» à seo veta com os ato em anedondumento (Fig. 2228), De
acordo om O drama de forza cortante, à fosa corta méxima otre logo 4 exa de ca de
ZITON. Desejavedetemisaz as tenses noel state ao longo do plano ab de Fg. 2223. A temo.

„4 BORN sem

ANALISE OG TENSOES / 53

Pan a tenio calhante, were a Bq. (233). Nectar de dA = 0.035814, y, 0031 m €
= 0.981 Teme, et

anf ree ef

mr 90358144, = 8.04% 10" m;

mario Ze E

> AIRE ASMP

Trgındose um cto de Mohr com se alors encotram 2, = 2432 Mac,
(Compuram este resaltados coma tes normal máxima na peri enter do pe:

Me, , 209098) om
ery 9x 107 de

‘Asim, nesteexemplo, important comiderrseacontrmico da ora cortante no preto

2.12 ~ FLUXO DE CISALHAMENTO

Na determinacto da tensfo cislhante em uma viga, nem sempre se mede a dimensio b
paralelamente 20 elxo neutro. As segdes apresentadas na Fig. 223 mostra como se deve medir
5 fin de calcular o momento esítico Q Sempre se devers levar em conta que € a tendéncia da
‘rea hachurada de desliza em relaçäo 4 perte ndo hachurada que provoca a tenso de cisalha
mento. Assim, obtémse sempre a tensfo cisslhante em qualquer spfo,selecionando.se o valor
mínimo deb para esta seo

‘Outra iden ail na andlse de vigas & o conceko de fuxo de csalkamento. Da Eq.(235).
se seretira dimensto b,obtém-seo fuxo de csalhamento q,

a = VOM, (240)
onde q € expresso em unidade de forga por unidade de comprimento da viga na seçäo conside
rads. Basicamente, o floxo de eisslhamento € simplesmente a forgs cortante por unidade de
Jcomprimento na segio definida por y = y. Quando se conhece o fluxo de cisaliamento, deter
mina-se a tenso chante pela equagfo

== alo.

T Oe

Fig. 2.23

52 1 ELEMENTOS DE MÁQUINA

EXEMPLO 29 1

A Fig 224 mostra ums vgn casio de aluminio, onsrdnrebitando e dus chapas de alumóno de
mm de capone a do peña em C laminado F9 de 130 mm ¥ 25 mm. A a e etn mo fore
Gerne de 7 STON Sonne to longo do comprenant da vic, sand seit de mumínio de 6 mun de
incio, caja cara cante admire € de 2225, qu deverd sr © epagumento entre 08 rede?

Babies ¢8 mm

ig 224

Nectar, prneto, calcule o momento deindri da serio composta. A maneire mals
(he ao facto eur o mement de lnea do retina entolvente e tbc deste valor os mor
etes dos és pag reemplace vaio. O setinguo envolvente mede 100 mm de lure yr

Se are O retingul come! tem 25 mim de gars por 150 mm de atra. Os dos retingulos nea tim
15 mm de purs por 138 mim destaca Ent o momento do Inicia d ego comport é

0.39"
cy

]- soucis

Rave se este probleme usando rebites em número suficiente ar rest ao Nuno de camente
et à shape 0 do pe Asin, Q à den de uma hapa vees ta de sen centro de avide ao

@ = AF = (100 (0.006) (0.075 + 0.003) = 468 x 10° m,
onde 5. à ditäneis d cet de raide d chapa an six neue. Ent, usados a Eg. (240), obémae

vo. SIMAO 99 soon
7 mao 27 160 Nin,

Int sica que se deve tastes d chapa par os pes 27 1608 de forga conte por mero de
compriucnto de mes Cada par de reits tano 4 50 N pars of pra Potato, o espaamento ds
Fene deve ser

à 4450
o> #40 0160 m. ei
o: Re.

ANALISE DE TENSOES / 53

Em trs ples, deve haves um par de sbies cada 164 mm de comprimento de vg, mar dust
hapa que compSem pet
Pode empre um cálculo simil para Ges compos fs por soldagem.

2.13 - TORÇAO
A 2530 de se torcer uma pega por um momento de torgdo externo ou torque chama-se

roro. O ángulo de torso para uma barra redonda €

n
= am

comprimento;
módulo de lasticidade transversal.
momento de inécia polar da área.

Para uma atra redonda macia, a tens cisalhante € zero no centro e máxima na super:
A alstibulgo € proporcional ao alo pe €

(43)

Chamando-se der o alo de superficie, temse

m
mé = À

As suposisóes sedas na análise sf:

1. Submetese a barra a um momento de torgJo puro e a segs em estudo esto asta
das do ponte de aplicagZo da carga e do ponto de alguma alteragóo de diámetro.

2. As segdes setas adjcentes originalmente planas e paralelas permanecer planas e para
Telas depois da org e qualquer linha radial permanece reta.

3. O material obedece à lei de Hooke.

Ag. (244) € aplicável somente a segdes circulares, Para una seso circular che,

edt
= as

‘onde d #0 dämetro da bara. Para uma segáo em coros cteulat

onde d 60 diimetro interno.

84 / ELEMENTOS DE MAQUINA

Para usarse a Eq. (2.44), necesitase do torque Ta partir da poténci eda velocidade de
otago da áevore. Asim, no sistema lags,

20m
65000) (127

63.0007

onde:
P = pottecia, HP;

velocidade, pé/min.

Em unidades do Sistema Internacional,

Pe To = 010477 =

poténcia, Ws
torque, Nm;
velocidado angular, rs;
locidade da dore, cpm;
= forga, Ns
velocidade, m/s

À determinagfo de tenses cisulhantes deidas à torgto em pegas nfocreulres € um
problema difícil oralmente feta enperimentalment, wandose a analogía da membrana ou de
Setha de subo, que no será abordada aqui. Timoshenko e MacCullough, entretanto, do a
ssguinte fórmula aproximada para a tensfo máxima de csthamento em uma seo retangular:

aso

Nesta equagio, we 580 alargura ea espesura da barra, respectivamente; estas dimensdes
fo podem ser trocadas, porque £ devo er a menor dela. Para placas delgadas sueltas tongo,
ie € pequeno e podese despreza o segundo termo. Esta equagio é também válida, de um
odo aproximado, para pers em L com as abs Ipuis; podem ser considerados como dois
Fettngulos, cada um dos quals cap de suportar a metade do torque.

+ TIMOSMENKO e MacCULLOUGH, Giesron H. Elements of nrenght of mater 3. cd, Nora
torque, Van Nostra Company, Int, 1949p 68. Ver amé SHANLEY, FR, Strength of meter.
Nor Torah, Grat Book Company, 19

ANÁLISE OF TENSOES / 58

2.14 — CILINDROS DE PAREDE FINA

Quando a espessura de parede de um veto de presto cilíndrico € cerca de um décimo, ou
menos, de seu ralo, podese considerar a tensfo resultante da pressto do vaso como sendo
distribuida uniformemente ao longo da espesura da parede. Quando se faz esta considergío,
dize que 0 vaso é de parede fina. Pode-se também determinar o estado de tenso em tanques,
tubulagdes e aros, usandoso esta suposigo.

Na Fig. 2.25, a presslo interna p atua na parede de um cilindro de espesura e diámetro
intemo D. A carga que tende a separa as metades de um comprimento unltär do cilindro €
pD. Esta carga & equilibrada pelas denses tongencios, atuando uniformemente sobre à Sra,
Teme, entio, pD'

as)

onde oy é tenso tangencial.

y
Yi

Fig. 225 A tenio tangencial € did presto inte.

Em um elindro fechado existirá uma tensto longitudinal y devida à pressto nas extre-

mitades do vaso. Devese iguala a forga que atun nas extremidades p (20/4) com a tenso
longitudinal vezes a área na qual atua a tensfo. Assim,

an
PAD soplado)

2,
fe

an

2.15 — TENSOES EM CILINDROS DE PAREDE GROSSA

Um cilindro de parede grossa sjeito a presclo extema ou interna, ou ambas, tem tensbss.
radiais e tangencils com valores que depender do rio do elemento considerado, Um cilindro
de purede grossa pode também ser tensionado longitudiralmente. Em projeto,podeseconsiderar
como cilindros de parede grossa canos e tubos de 2 dros hidríulios de ata presio e
‘ubulagdes conduzindo Auidos com alta press,

55 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

Fig. 226 Clindeo de pasee grosa.

Na determinesto da tensto radial o, e da tensfo tangencial 04, pode-se considerar que o
alongamento longitudinal constante em uma circunfexéncia qualquer do cilindro, Em outras
pelawrs, qualquer seo reta do cilindro permanece plana, depois de submetido s tensBes.

Designase o rio interno do clindro pora, o ralo extemo por 8 a press interna por pre
a pressio externa por pa, de acordo com a Fig. 2.26.

Considerese o equilibrio de um anel semicircular infinitamente delgado coriado do
cilindro no ralo re tendo um comprimento unltäro. Somandose a forgas na dire vertical e
Igunlandose a zero, temse

20, dr + 20,720, + doy) (r+ dr) ()
Simplifcando-see desprezando o Infintésimos de ordem superlr,

doy

CE -0, ©

A Bq, (b) relaciona as dust grandezas desconhecidas 0, e 0, porém derese obter uma
segunda elagfo para o seu cálculo, Obtémse a segunda equasdo, considerando-se que a defor
magdo longitudinal € constante. Como ambas a tensGes o e 0, so positivas, no caso de trado,
podes esrever a Eq. (2.22):

©

onde u 6 0 coeficiente de Poison e e € a deformar2o unitária longitudinal. Como y e ey sto
constantes, podese rearranjar a Eq. (c) na forma

orto, = 20 @

A segui, resolvendose as equagdes (9) () par a eliminasto de oy, obtémse

ANALISE DE TENSOES / 67
Multipllcandose a Eg. (e) por,

do,
PL +270,
at?

Notase que

Er + 210,
Einer ur.

4 a) =
Leon = 20.
Apés a integrasto, obtémse
Po = PO +0,

onde C, & uma constante de Inegragto, Calculandose 0,

@
Para calcular as constantes de Integragäo, usarse as condigdes de contomo do cilindro

à ES pan
"Aero paca rt.

‘Substtuindo-se estes valores na Bq. (), cheps-ae à

meth mecs.

Resolvendose estas duss equapdes simullaneamente, encontram ae as constantes

a Pena
Der)

pet pad 28%, = prt

88 / ELEMENTOS DE MAQUINA
pat pelt Leon mn en

Nas equagdes anteriores, as tenses posiivas inlcam tras e as negativas, compress,
Quando a press externa for zero, ubsttuise po =0 nas Eqs. (2.53) e (254), obten-
dose

ess

0)

Estas equagoes esto representadas graficamente na Fig. 2.27, mostrando a disribulg4o de
Kensües ao longo da espessur da parede. A tensZo máxima ocorre na superfície Interna, onde
=a, Suasintensidades so

(a) Oise des tester (2) Diigo dos aries

de tnıdes num clio de pase pou jets a pes intern

De modo semethente, determinamse as tensdes na superficie externa de um elindeo
sujeito somente pressio externa,

a, po it es)

(260)

ANÁLISE DE TENSOES / 58

2.16 — AJUSTAGEM FORÇADA E FRETAGEM

Quando duos pegas cilíndricas slo montadas por fretagem ou ajustagem forgada, uma
dentro da outra, crise uma pressio de contato entre as duas pegas. Podenvse calcular facil
ment astensdes resultantes desta pressto com as equagdes da ego anterior.

A Fig, 2.28 mostra duas pegas cilíndricas que foram monladas com uma ajustagem com
intereréncia. Existe uma pressio de contato p ente as pegas no rio D, causando tensbes radials
0, =-p em cada pega, nas superficies de contato. Da Eq. (2.59), a tenso tangencial na super-
Fiele externa do cilindro interno €

es)

Da mesma manera, da Eq. (2.57), & tensto tangencial na superfície interna do cilindro
extemo €

sot ee)

io € possivel resolver estas equagdes antes de se conhecer a pressäo de contato. Numa
ajustasem com intereréncia, o dlämetro externo da pega interna € maior do que o diémetro
interno da pega externa, A diferenga destes élmetros chamo e nterferéncia e € a deformagdo
[que as duas pegas devem softer. Como estas dimensöes sZo normalmente conbecids, devemse
Iintroduzir as deformagdes para determinado das tensGes. Seam

do = scréscimo no rao do furo

4 = éecréseimo no alo do cilindro interno.

A deformasto tangencial do cilindro extemo no seu ral interno €

60 / ELEMENTOS OF MÁQUINA

A
25

porém,como

Obtémse, das Bg. (261) e (2.62),

©

Este € o acréscimo no raio do cilindro externo. De modo semelhante, encontrase o

= ») ©

deertscimo no rao do cilindro interno?

Podes resolver esta equagto e calcular a presto p, quando se conhece a Interfréncia 6
Se as duas pegas forem do mesmo material, By = Ej = Ee à telagio se simpliia para

[en]

Bea

A substtuigfo deste valor dep nas Bas. (2.61) e (2.62) conduzirá ente As tenses tangen-
si na superficie Interna do edindroexterno ena superfície externa do edindro interno, Alt.
disso, podemse empregar as Eqs. (263) e (2.64) para se obter o valor de p para usarse nas

equagdes gras (2.53) e (2.54)], a Am de se obter à tenso em qualquer ponto, em qualquer
dos cilindros,

Hipbreses

All das hipóxesesestabelecids e das inerentes a0 desenvolvimento, € necesiro suporse
que as dues pogas ttm 0 mesmo comprimento. No caso do cubo de uma pega montado 30
presio em um cixo, esta hipótese nfo € mais verdadeira e haverá um actéscimo de preso nas

ANALISE DE TENSOES / 61

extremidades do cubo. Costumase considearestefato com o emprego de um fator de concen-
raglo de tenss. O valor deste fetor depende da pressto de conato e do desenho da pega
extern, porém seu valor teórico raramente € major que 2

EXEMPLO 210

{Un tdo dea, somo por xempl o tubo de um cao, tam an dinenses nominal de 25 mm de
time interno e 50mm de dlimevo extume. Sobre ene tulo devese montas com Intererinch um
secando tubo e SO mun e dimeto nern e 15 nm de diämeue estemo, Desa montas cs pea de
‘modo que aa uma ento oy = 69 MPa a ups interna do wo extra.

4) Determinar a menses ogni eerie os tubos
2) Cll a bugs de tea ean,

Solón. 2) Usando a Eq. (2.6), cleanses pren de coto. Asi,

PES

De Ea (2.60, cuisse deforma

DEEE
©

ENE arar = a0136:mm
a TTS = TI ped

[As dimenstes seconada si a sets:

metro externe do toto interno = 50,00 mm
litro intern do tubo exter = 50,000 - 2000136) = 49,973 mm.

2) Deterninaracdagor a tb de tentes no tbo eteno. En tbo € m cdr eto à
tama preso intra py = 26539 MPa ura pesto etes po = 0 a, Aplcanae ts Ego (259) 1.30)
‘Nesta ander, ¢= 25mm € 9237. mm e dereze rancia pus den nates de cote 25
378 mm. Fatendover = 275 mm, clase, como exemple,

oe BS] - onsen

7) * ra er

(4) een fe]. mac

Estes tos lados obs mesma mania eto a Td, 2,
Umar as Eat. (259) € (254) paa o tuvo interna. Quindo = 0 pg mp, eros us rede

ass

ac

2 1 ELEMENTOS DEMAQUINA

TABELA 22 Toren Tange Reals no Tubo Entero.

For Temo regada Teto Redio
am) aur) re)

1825
a

TANELA23 Tender Tengen ¢ Radal no Tubo Inter

Meer Teno Tangente, _Tento Radi
(om ees) co

ns ono o
150 so 1040
us Tess
200 ESA
ns Tasse
250 2558

Lui TenaSo tangencial, a 10) Terao rail oy

ig. 2.29 Distlbic de ene rail tangencial em pgs feted

ape ete count de equates «ete exempl,sndo «= 12,5 mm, b= 25mm er varanda de
125 a 5 mea A preso e conte € 2.959 MPa, como anteronnete Os teultados eso aprentados na
Tab 23 exi 229 mostra dilo gráfica de antes ar o dos tubos

2.17 - TENSOES E DEFORMACOES TÉRMICAS.

Quando se aumenta uniformemente a temperatura de um corpo que nfo estja sujito a
restes, este corpo se expande ea deformagto normal €

ANALISE DE TENSOES / 62
76 =e = aan, es

‘onde a 4 0 cocficiente de datapdo térmica e AT a varagzo de temperatura, em graus Ces
Nesta ao, o corpo experimenta um simples aumento de volume, com todos os componentes
de deformagto de cialhamento iguals a 2er,

Se uma barra reta for presa nas extremidades, de modo a evitar o aumento do compri-
mento, ¢ for sujeta a um aumento uniforme de temperatura, desenvolveo uma tensto de
«compressto devida 3 resis Imposta. À tensto &

0 == (an. (268)

De modo semelhante, se uma placa plane for press pelas bordas e sujeita a uma leva
uniforme de temperatura, a tensfo de compresso será

(ane e
“Ear ce

‘As tensdes representadas pelas Eqs. (2.68) e (2.69), embora devidas temperatura, ufo
Ho tensbes térmicas visto que resultam do fato de que as bordas estavam press. Uma fensZo
térmica € a que surge devido à existéncia de um gradiente de temperatura em um corpo.

A Fig. 2.30 mostra as tenses Internas em uma bara de dimensöes Infinitas durante o
aquecimento e o resfamento. Durante o esfiamento, a tensöo máxima € à tragdo na super-
fície. Ao mesmo tempo, o equlfbrio de forgas requer uma tenslo compressiva no centro da

lamento 1) Aquecimento

Fig 2.30 Tenste térmicas em uma pacha de comprinento einte durante o aquecimento eo esmero.

TABELA 24 Conieenes de Distro Térmica Cosfclents Lines
pa à Fala de Temperatura de Da 100°C)

Tere ETE STE
‘coe cxbone soga

Alo oe 17 tions Sean“
Aline ETS ETS
Faro fandido mare 59 or

Lacs fondide 183 00» ASNO
Mundo ET Ka 007
Tnt EOS 240

4 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

barra. Durante o aquecimento, as supefices extemas eso quente e tendem a se expandir;
porém, sio impedidas pela parte central mals fa. Isto causa compresto na superfície e trago.
no centro, conforme mostra Agur

“A Tab. 24 apresenta valores aproximados para o coeficiente a para diversos materials.

2.18 — VIGAS CURVAS

Determinase a distibuigo de tensdes em uma viga curva usandose as sepuintes hipó-

1. A segto reta tem um cixo de simetla em um plano 2 longo do comprimento da viga.
2. Assegöss reta plana permanecem planas 1965 a Dex.
3. O módulo de elaticidade € o mesmo, quer em trago, quer em compres.

Diferente do que se vio para uma viga seta, verificarse que o eixo neuro eo elo bar-
céntrico de uma viga curva nfo so coincidentes e também que a tens no vaa Unearmente
com a distancia medida a partic do elxo neutro, De acordo com a notasdo mostrada na Fig. 231

To = ra da parte externa;
7 = ralo de pate interna;
altura da segfo;
distincia do eixo neutro à parte extern

= 1alo do exo newto:,
= aio do eixo baricénricos

h
er = distänch do cixo neutro à parte Interna;
€ = distinca do clxobaricénrico ao elxo neutro.

Fig. 2.31 Obreras qe y posto, quando mucado em de 0 pont O.

ANALISE DE TENSOES / 65

De tnfcio, define seo elemento abed pelo ángulo $. Um momento fletor M faz seg bef
giras segundo um Angulo dé para a posislo be A deformagdo de um elemento qualquer
situado à distänea p do centro O €

eE. Er
y >

(o)]
A tensfo normal comespondente 2 eta deformagto é

Eu - do
E

oe o]

Como 40 hé forga externas axis atuando na vga, a soma das forgas nomals que atuam
na segto deve ser zero. Portanto,

= £40 | 0-0
jura jugo
gora, arnes Eg.() foma
atta
elf)

eresolvese a expreso entre paröntees. Ito lea a

jano
q

Usase esta importante equagdo para determinarse a localiza do eixo neutro em rela
$f a0 centro de curvatura O da seg eta. A equagZo indica que os elxos neutro e baicéntrico
I so coincidentes.

© próximo problems é determinar distribuiglo de tens,

Fazse ¡sto através do equirio entre o momento externo aplicado e o momento interno
resistente. Assim, da Eq. (0),

Senn = 52 [aoe a o

= 2pr + pl, podes escreves à Eq. (e) na forma

2 Pfr as -r [aa + [par

68 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

‘onde r € uma constante; comparando os dols primelros termos entre parénteses com a Eq, (4),
vése quese snvlam. Tema, ent,

A)

Nesta express, a primeie Integral € a área À € a segunda 6 produto PA. Portanto,

de
ME Gna
Een

Agora, usandose a Eq. (0) mais una vez, chegase, finalmente, a

a de
Ae(r-y) cy

Esta equagdo mostra que a distribuiglo de tensdes € hiperbélica, As tensbes méximas
fcorrem nas extremidades da segío reta, ns partes mais próximas e nas mais afstadss, e 370

Meo

Aero a

Estas equagdes so vidas para flexo pura. No caso usual e mais gral como um gancho,
a estrotura em U de uma presse, ou a estrtura de um grampo. o momento fetor ocorre devido
As forgas que atuam de um lado da septo considerada. Nese caso, caleulase o momento fetor
em relagio a0 exo baricéntrico e ndo em xelagdo 20 cixo neutro. Também se deve arescentat
uma tensio normal adicional de trago ou de compressfo ds tensbes normals da Mexto dadas
pelas Eqs. (2.71 )e (2.72), pera se ober a tenso resultante que atua na seo,

Podese projetar uma segto ótima para uma viga curva, relcionandose as tenses nos
pontos de menor e de maior ralo de curvatura, através da Eq. (2.72), na mesma raz exstente
entre as resiténcias 3 teagfo e à compressfo do material da viga. Assim, para o ago, onde us
resisténcios 4 trapio e à compresslo sio aproximadamente iguas, podese projetar a seplo de
modo que 0; 0, ¢ se obtenha uma geometca étima. Observase que ¡sto conduz à elagdo

simples

pe o

[a qual, entretanto, nto & 130 simples de aplicar. Uma tentaiva de otimizagfo 6 decia forma
[da seso e programar a Eq. (2.70) e outas rela necesäras para computacio digital. Ent.
Jusandose o processo de tempo compartlhado com interacto homer -máquina, simplesment,
perfuramse cartdes para diversos valores experiments da geometria, até que se satisfaga à
[Ea. (7). Seor usado o processamento por lot, podese empregar ume des técnicas de interago-
[padrio com Eq. (i) como comando STOP ou END.

ANÁLISE DE TENSOES / 67

EXEMPLO 2.1

Una ig de seo retaguar tem a dimens 5 mme et sts sum momento
eto poro de 226 Nm, de modo a produ compress na are farms, Cs as ide pus oy

pains formatos:

0) Migs se
2) Vis cura, com nda bala de 375 mm de io de canatur.
©) Vie eur, com La buiónrc de 5 mm de lo de cita

Solón.
a

A 238% 104 mt

Agora, te = 03780 + 00975
Amis

Emo, e=F=r=03750-03787=00013m. Tambim, co=00368m © ci=0.0%62m. As
By (272 dio

En 2226 (0.0362)

E ~ 7666 MPH

ae

o. NON are

°° arg” TOT

9) Temae 19 = 0.075 + 00315 =0,1125 m e r= 0075 ~ 00375 = 00375 m. Unndose nom
mente ng, (2.79), obtén

ons

ng san
003%

1150 - 0.0583 = 00067 m, co = 0.0442 m € = 0.0508 m. Das Ege (272,

22261 09308) en
DOS acer "0
2226) 0.0442)

aa” SEITE

65 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

€ iteemante observa que à leeng as tenses entr a Via et a que tem 0,375 m deso
de curatura E de somente 31%. Tal erro pode er active em corts tuées de projet. É aqui que
reia deve use 0 sn pepo julamento ps tomar a defo de star à pera como eta ou uma 58
Economia seu pröpr tempo considerado à ia como sea. eo rio de natur for grande, compared
fom a lus deso, se hour necesitado de um round rpid, o projets podes apropnndamente
deco somentr 0 (ir de seguranga de um poqueno vl clar ener, comiderndo ag rota
Naturalmente, no e deve expor asta aha de 20 em cane ou po tuno, sem conter as imprentas
nwo,

A Fig. 232 mostra as sepBes encontradas com maior freqUénes na andise de tenes de
vigas curvas. As fórmulas para a seso retangular foram detenvolvias no Ex. 2.11, porém eso
repetidas aquí, para maior conveniéncia:

h
nr am

A
toro em

Para asegfo trapezoidal da Fig. 2320, a fórmulas to:

A)

ANALIGE DE TENSOES / 69

Para aseglo T da Fig. 2.326 temse

Died + 2bacıcı + bock
ETC ES]

dyer + boca
HRTF end + do ale FET

Asequagdes pare a seg clcular da Fig. 2324 so:

AAA

A Eq. (281) df 0 salo de curvatura do eixo neutro. No se deve confundilo com o lo
da slo.
Podemse obter as fórmulas para outras segdes através da intogragfo indicads na Ey,
(2.70). O curvamento a fio de vigas introduz dstorgto na ses, fuzendo com que ele adquira
um formato um pouco diferente da que Unha antes da deformagto. Esta distorgo, natural
mente, € malor no caso de peris ocos reangulates ou circulares. Para todos eses, in como
para segdes complexas, podese necessita de uma interagto gráfica ou numérica & Eq, (2.70),
se se desjurem resultados mal precios

219 — TENSÓES DECONTATO, DE HERTZ

Raramente aparece em projeto um estado triaxial de tensGes. Uma excegio € caso de
ols compos com supericies curvas presionadas uma contra a outra. Quando isto acontece, o
ponto ou alla de contato passa a sera área de contato e as tensOes desonvolvidas sio dl
mensonais, Problemas de tenıdes de contato aparecem entre uma roda € um tilho, uma
came e seu seguidor, duas engrenagens acoplados ¢ à agdo de maneais de rolamentos. Para
prevenir a posiilidade de falta da superfice, em tals casos, € necesselo tere um meio de
‘aleular os estados de tenso que resultan do carregamento de um corpo sobre o out.

Quando se pressionam, uma de encontro à outre, duasesfras de diámetrosd, € com
uma forga F, obteme uma drea de contato circular de io e, Especificandose Eu, © Ea
sendo y as respectivas constantes elíicas das dus esferas, rio será E

De 10 DES ea

GDF UE)

A preso em cada esfera tem uma distribulgo semiclitia, conforme inva Fig. 2.3,
A pressto máxima ocorre no centr da dea de contato, € €

3e
nes (283)
L Zu

70 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

Fi 233 Dilig de pesto ente das esfera

‘As Bas. (252) e (2.83) s20 perfeltamente geras e também se uplicam ao contato de uma]
esfera e uma superfície plana ou de uma esfera e uma superficie esférica Interna. Para uma]
superfície plan, fase d'= m. Para uma superfície interna, expressase o dlämetro com o sna

Thomas e Hoersch” calcularam as tensoes para diversas profundidades abaixo da super-
ficie de contato. Em relagño à Fig. 233, definese um sistema de coordenadas em trés dimen:
bet com arigem no centro da área de contato a coordenadaz na diregZo da forga de contato,
indicando a altura de qualquer elemento de tensSo abalxo da superfície de contato. Ent, de |
acordo com Thomas e Hoersch, as tensdes nas diress x, y € x sto as tenses principal. Pri
mciro, define um fator À peta equagse

de (las) + (les)

4° AH - ET

Entdo, para qualquer elemento de tenso no elxo 2, as tenses sto:

ao "lern (Secon +) oe] ess

2) Le

Estas equagäes s20 válidas para qualquer esfera, porém, ra Eg, (2.85), o valor do coefl
ciente de Poisson usado deve corresponder a0 da esfera considerada. Notase que as equagdes
serlam ainda mals complicadas, se se refersiem a estado de tensZo de pontos fora do cixo 2,
porque deveriam sr incluidas as coordenadas x e y

> THOMAS, H. R. e HOËRSCH, V. A. Sres due tothe pere of one etc ol upon anote,
‘Uae 1 Eng Expt Sta Bull 212, 1930. Ver também ROTHBART, Herold A. (cd). Mechenial ere and
ystems nAbook. Nova orgue, McGrwil Bock Company, 1964, p. 1313-13, € SPOTS, MF
echanel design analyte, Ele CN.) Pentic Hall Inc, 1964, p. 166-7

ANALISE DE TENSOES / 71

Ihr, para o estado de tensto descrito peas Eqs. (2.85) e (2.86), const
use de um ponto e dots cítulos coincidentes, Como 0, = ay, Tay m0, €

es

A Fig. 2.34 motte a representaçto gráfica das Eqs. (2.85) (2.87) para a istincia até 3a
absixo da superficie. Observase que y alcange um valor méximo logo abaixo da superficie,
Multas autoridades slo de opinifo que esta tenso cisalhante € responsével pela alha por fa
superficial dos elementos em contato. A explicado € que aparece uma fisura no ponto de
tenso cialhante máximo abaixo da superficie, que progride para a superfície, que a press
do lubrificante, nessa sua, proporciona o desprendimento de material iniciado peta fissure,

E Bsa a
ici superficie de conato

de tene ba ca upefte come uma [uno da preso máxima
‘enuf alante mima Gere loo abi da zei pron
em contato slo cilíndicas, a drea de contato € um retängulo

estreito de lrgura 26, sendo,

ass)

nde 16 o comprimento da área de contato e as demas quantidades tém o mesmo significado
Prtenor. A presio tem uma dstiibuigto lítica segundo a largura 25 e a presio maxima €

Pais = ~ 25 es)

72 / ELEMENTOS DE MAQUINA
As Bas. (2.88) e (2.89) aplicamse a um lindro e a uma superfície plana, fzendose
due para a superficie plena; também se aplicam 20 contato de um ellindro e uma superfície
cilíndrica interna note cso, feed negativo
Para a configurag£o do estado de tenszo, seleciona 3 orgem de um sistema de refrán
cia no centro de Are de contato, com o eixo x paralelo aos eixos dos cilindros y perpendicular
to plano formado pelos eixos dos dos clinros e z no plano da forga de contato. Entfo, para
elementos de tendo situados no elxoz, há tes ensdes principal, og, ay € 04, todas diferentes
Hd tee tenaöes chalhants diferentes; a malor delas €
8. (290)

Esta tensfo, também chamada Tie, es representada grficamente na Fig. 2.35. Vése
‘que ela atinge um valor máximo logo abalxo da superfície assim como no caso das esferas em

i
i

Dictada sper de sonara

Fe. 2.35 Intenddnde dos componentes de tenes aba d spent como uma fungi da reno máxima.
ds cinkon em sontate, Dar Uta under cate, a malo € parla so plano zy. Obten que exa
proxima de Omi ¢ Score logs abate da specie de const,

PROBLEMAS

Sepfo22
22. Pan dam dessins estado de tenio, const dpa oil d Ma erin
tee ipso fener int más Doc um eto fen eno cr.
time como eo pr mon ent pipe mace Cala o Ange ent à
Gel age MPa ay man
Gy ofS tomes, yaa nasi

ANALISE DE TENSOES / 73

(0 ag= -2MP: ay = BMP ray = MPa SALE
(ore INR oy EME royo I MAS,

Ha ao Prob. 21, ndo:

da) ax 85 Pa; ay 220 MPa; ray = 35 MPO SH.
(0) or = SD NP; ay = -60 MP; ray = 30 MPSA
(o or = DOM: ray = 40 MPa SH.

ID = IDE Gy m6 MP: ray = 35 MP: SAM

Para cada um dos sepunts estados de tes, taa o cúculo de Mohr, determina a estes prac
pas as Arde prnl e mostro: em um elemento de tendant cornet e eco

on) 0 Mob. 2, para or puit componente de too:
BE Pas oy = 82 MPa; roy = 96 MPa SL
250 MPa = 60 M cry SOME SA
S60 PS: toy = 40 MPa SH
DNB: oy = -60MPR ray = #0 MPS SU

0623226

5) Uma bara de ao de 80 mm de comprmento e 15 mm de diner ésubmetida y uma cade com
presdo de 178 EN. O material ¢ ago so uno. Deieminar:

(0) A tenso de comprsso
(6) A defomacio a pois
(e) A deformsio

(0) O mento do dmeto de bara

Desert o discama d colo de Mohr purs ur estado dimensional de tenio € termina a ét
tenes principal ea ento cant máxima par sine cons

(a) Teo para
(0) Compre pus

(© Toro pura

(9 Trades eu mas dere.

Um bara de a de 13 mm de dämetro € 11m de compriment suport ma
135008,

(6) Catal a tes eo aengamento ds bara

(0) Substivindose esta Dura por ova de alumini que en o mesmo aongamento, quel dee
(ey Estate mts na bara de ami

Ders poeta ans por, de modo que alogameno das Cus pea A mia à ug ado

(@) Devose usara pens par casa de at 44 500 N. Determina sdlimenss ds clan.
10) Seve permit uma tenso máxima de HO MPa, a lun fee sera?

74 / ELEMENTOS OF MAQUINA.

rb 28

‘Uma biela consiste de tts barras de ago de 6,25 mm de espessura e 31,25 cam de largurs,contorme
mostra a figura Durnte a montsgen, deco que uma des Drs medi somente 799,925 mn
entre os conos dos rs eas outs necia oxatamente 800000 mm. Determinar tenso em cada

Uns bora de alumínio de 20m de diámeuo € 130 m de comprimento e uma bara de ago de
12m de démon» 0350. de oomprmento, appoint de 130 m, ler à ss ip arena
1 aplicar da cara. Para es propósitos deste problema, comsidear a viga sem ges € absolutamente
ris

(a) Determinuro lca onde deve er aplicada carp.

(0) Caesar tenio em cad ba

ana smn 920 mm

[==

Prot. 2.10

ANALISE DE TENSOES / 75

231 Um paatuso de ao de diámetro nominal e 20 mm epa de 25 mu. {tie de fn a fe ds rs,
ra duesto ax e um tubo de alumíno de 40 um «22 mn de ddmetosexeto € nero, ren
vamente, uam como espogadores para dus placas, conforme indica à Meur. Cies pora, lin
mandos toda a flgae, em seus, do um apto adicional concspondeme a um te de vol,
Calcular tenio result no para no tubo, despezando a deforma das placas, de Ge

a pora do parure.

Dexemvove eprendes para a deformas encia nas sgte xo y, quando a entes de

Momtamas extensómetroseítco na speffi de uma poj de máquina cares, alinhado com as
ges ds tenses principle. Os valore as deformacder especificas os spines
44500021 mm ey -000076 mm

Determina as rs tenses pipi x deforma de ilhamento descontó. Que consideras
so necesi? Considera = 207 Cha eu= 0292.

[Segtes 2.7028

[214,25 Calcular as rags nos apolos e ar oF digamos de fora cortante e de momento tor pra
‘ads uma dns vigas mostradas na gr.

of. FP

in
no

w

Prob 214

78 1 ELEMENTOS DE MAQUINA

ta w

|
nl | plop

la ‘a

Prob 215

216.2219 Usando as fungs de singulaidde, determinar a experts per par cargamento, forga
Gorene e momento tor pars cda ga mostrada Mur son ss mies nos alos. Confer
Sriendtadescom a Tab .12, quando posse,

=

Lieu ei eta

o

|
|
H

dades diras dosd

Probl 2.17

pa |
, |
Saivtits

NY

Prod 218

ANALISE DE TENSOES / 77

A.
IRERTEERN

Probl 219

Sesdes 29e 2.10

220 A gua most um roo de bomachn trado par gora rue. Os mancis À € Bsuportam io
rotate, que & camezaco uniformemente com 22000 Nr de comprimente, eat de Duo lo
Semelante. Deyese unz um eto tubular com uma espesor de pars de um cmo do dette
Estero. Achar as denses de tg do ao, con tae numa tendo normal smal igual
nose,

fe en

en

221 A fa most uma ro montada em marc em A ©. As oras que tua naengrenigenie pt
Pola cause sin na dere. A ensenagem e à pola io endweindas na ner, Deere
“mens de uma fx tb patronizad, com dimeto temo sec de ts quaro de externo.
que ie adequada pa rete ds cra. Conddre as cars como CORTE ait um tenes
oral amie de 166 MP

room 16010004

EU”
|

1000 Prot 221

ero fondo tem um reiten à comprend de cere eta quero ens etc tao,
ependendo do tipo. Proc uma seg T da pare una aga de feo fundo, Lande uma esp
ura uniforme tal que at ete a che desempeno e Wao ch

78 / ELEMENTOS DE MAQUINA

223. cine mostodo m pus apa em mancls m D e Ce et jet sers que atu nos pontos
Ack
16) Trapt os dois diopamas de momento Meter, um para cade plano de Merde, deteminando 0%
KB) O exo deve ter um diámetro uniforme e o material deve ser o ago fogado a frio, ABNT 1035
(UNS 610350), Com um fator de seguranga de 2,3, baseado na ER a0 exoament, deter
mirar tenso nora mie.
(ey Deteminar e diner part exo, amedondando 0 par o número ineiro mat próximo, em

AÑ

FS,

a, ho. 223

A figure representa um elo com parte om tngo, salad nos mancalsO € Be cargado com fora
mA € € Determinar vto e oclzcio de odo normal máxima, abend que exo ter um.
mer de LS rm.

Segtes 2112213

128 A Tigun mostra um cixo iind de diámetro de comprimento sujeto uma caga F, que tua no
meo dow. O ts elementos de teo apontados na 530 Au so: Bm pare superior e o plot,

ANALISE DE TENSOES / 79

13: ina parte anterior e no plano 22: D, na pate Interior e no plano x. Desnhar cad um deses
elements de tenso, orientados coetamente em reto 108 enor 292, mostandn a tomes que
es atuam e ecrte as mate das tens em fun e Pe des dende cone

Prob. 225

Um exo de ao com 25 mm de diámetro e $50 mm de comprimemo aplese em mancal em su
extemidades está jet uo cargamento indicado na fir.

(@) Tragos diagramas de fora cortante de momento sor determinendo ses valores nos pontos
e apices des orgs,

(0) Desenhr o elemente d tenso cozepondente 20 pont À calcula tenses que arm nene
elemento represent no dx,

(6) Fazer para oponto Bo mesmo que o pedido no item (9).

De

IR mot 2.26

[227 A figure man aseo de um perl comport de dois per em €, de ago, € de das tas de ge,
folded por pont: Detemina o espaamento entr cada ar de ptos sa slds ca fr coran
Atuatena vig de SAN es fogs clan admi pas cla pont de sole de 7480

Unna de ento os pame de sole Probl 227

ELEMENTOS DE MÁQUINA.

A figura mostra uma viga cae fet de quero Lis coladas, ada uma de 25m X 150 m de
‘esto. À ia deve porta ums fora cortante de 74 KN no plano). Determinar entochalhnte
avoids coladas

S

SJ

2.29 ur morra uma vere montada em mancsi em À € D, tendo a plas BC. As forza que tue
as poe devemae Se corse que so montadas ns pois. Calcul torque aplicado deere trav
ds cada pol. Determinar um dämetco apropundo para ävore,usundo uma ens normal admis.
Set de 110 MPa fou uma tene chante amas de 83 MPs

30 A fur representa uma érore apolda em mani em A e Be suportando dons palo. As oras ds
‘ora esto mostradas par cada pol. Podeae identifica o tema de coordenadas pelos Indie ds
face de mme Deen 9 mt da vas ind tene srl ot mii
de 60e Ka repo mete

ANÁLISE DE TENSOES / 81

Probl 2.30 0 veta façade 1 670N € a as
tuant na corel a pol ce 150 ım.

ryote de ago apotada em mancl em 0 68,
tenutando as seas R, € Ry. At fees F4 a ASIN e Fo= LS EN atm soe sine sai
amo os toques Tq = = Te = 600 New

(a) Tear 67 diagramas de fogacortante ede moment tr, cuado os valores corespondentes
sos rentes 0.4. Be.

(2) Localizar um elemento de tendo na super fie da vot, cm su pate ner
sino y), corspandente
ro de bulo para cima.

(© Usando o elemento de testo do item (0), agro dema do ctulo de Mor, determinar
env principal posconedoas em elo nor cito de refencia ey, tmb. € ela ©
Angulo ente o sio de , «0 0 x,inicando.o neat.

(@ Descatar o elemento de tenso principal orientado soretmente em rl ao or, represen
‘nde com dar stent ingles.

Prob 2.31

82 / ELEMENTOS DE MAQUINA

232 Deverae determinar at trues em dos ponts d gn gate mostrada na figura. Ta onto go
lento de tenso tuno no ponte, a part supone da partit da ga pallo a plano
22: comento stundo em £, a parte anterior de super d ía paseo a0 plano). O carers.
inerte Cenar das fogat F2 OSSI € P=AKN € do torque 7= 30 Nm, Deseas ambos oF
elementos de ono, Kenliando or exo a tenses com ias intensidades dos add.

IN, mas

A figura most vere de manivela 0 volante de um cemprcwor dear monnaie. Durante o
Funcionamento, une pue da potencia Acumladı, 10 Volant, para 8 ober pre ds fort 2 no

sio. Neve problema, deve considera que org ot P co pl ssl do torque de 600 Num
amende à an de mu velo pelo volante. No ponto A, ütunde» 100 mm do mancal a esquerás
ma pare super da we calzas u Comento de testo com o dos parles

(e) Cater a tenir que nam em À

(6) Determine a tenses principe us ieçes par o clement acia considera,

(e) Fazer um esa e cemento detesto pencpal orientando oretamente em ret ss cios
ze € Menticando se ass os ángulos

(a) Esbosse onto comento e tenio oretado complemente, part moras a eno de cialhamento
de senses normal ormpondentes Mentiftande ses elementos

ANÁLISE DE TENSOES / 83

2.34. Uma devote elindica de 100 mm de iimeuo pode upon um torque de 7, Nom, sem que si
‘Stmpainds ama determinada testo de cislbameto minima. Que pela dest torque pode super
tar une evo Clínica oca com 0 mesmo dämetro excino css de pode de 10 mn? Ambas
a árvoresdesem 1er a merma tenco de eialhameno máxima Calkls a at entre 2 mass os |
ones maca ca

A figure mon uma enrenagem clcaenchavtada morra ivore de 25 mun de lime A érvore
pisse em um marca combinado de ctcorae tail em D e em um mancal de ago rial em F.
pise o torque 3 note avé de enpensgem cilíndrica et E. Na and indie de uma eure
Fm cómica, consierame,qeae sempre foros equivalentes tuno na extemiénde mar dos
‘Genter na cicunferinein primihn. Neste problema eepeicase fore rellene aplicado nese
‘ono, sav de tet componentes: uma fora al #7 575, atuando mo seno seat dex
fms fos fagencial = 1227 no sent negative e (o stoma de Condenada € dueto, com
iso ino da Ogu) uma org adil Wp = 375 N, ande no soni nope d co). À
parte da vee suede À delta do mancalF pode e conienda como uma ven engastda Enio, o
Elio desa frç € caus leno, compressa e torso an vos, Denvezao Cimlamento det €
slt toda» tensos que asa sobre oF elementos 4 8 eC. Desenhur cada cemento de eno,

pe»

an an.

dl | va

4 Probl 235

Usage 0 aro de pus morado na figura para apicago de um torque de 17 Nm ur org nal de

220N i roca, na execu e um fro

(a) Callar tods as ss indicas em um exbogo em penect, mortrando todas a forge que
stun na arco de pu as fernen,

(9) Sleione cientos de tego ne partes super e inferior e nor dis ados da sio Av ©
calcula todas as temes atsnts nee elemento

(© À feramenta usa fem una hate com dümeuo de 6 mm e & pres pels placas nt seso BB.
Sendo a dic de 83 ai a suprtcia de madela de 75 mm, elclar © malo vals da end

Prob, 236

86 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

237 A fan monte ema aie jt uma fra P= 1350, canto tongo Mero u
Soden de D mm de mero end em um part edo a igen de items de eso
ados erent Na end, ie porte ade represen a inc da peu quem dic Ba,
{Bu par oops de na de tenses page confer tne rot cme de en
(©) Eiorr on drama de corpo tne pas pete AB e pur 0 bo BC 6 cla or are de

toda as fra, mentor Better © torr sauer. Neer daa, ar ess or
(0) Cae a ems de terio de ext mina o bro BC e nda pois ode aan.
de) Pa um cemento de tno Suda na part peo, pont edel era nen que nl

Pro 237

Segdes 2,122.16

Um claro pars bla pro, foto de Ips de aluminio, tem um der externe de 90 mn +
165 mm de topes de parle. A pronridades do mateal o E= 1 GPa e n= 0204, Se a
pared ter exter Ñ

Um tbo de gn tem 127 mm de dlimetro exten e 127 mm deepened pared, Use ne
tubo como um vaso depress, par amasenar um io presto nera de 27,612 MPa. Calor
tenses nomas e tenencia € e Es deformacies principal nas woperices extern interes de

Un clio tem 300 mm de Seo extero e 200 mm de dime interne ect rete à uma

Lo pono onde oom.
Dadi a expresses para ondo em am vo de pren caco de paredes fa.

Podese fabricar um cono de arma, montando, com frcumento. um tubo dento de out, de modo
Sera eso pincpl min sj Wa a 70% do nite de escoment Go mate Ambos os
30 de mo «mar propiedades nfo 80" 938 MPa, £ = 207 GPa p= 0,292. Orion nominal dor
{aes a 4 6 9.52 mm « 1429

(a) Bsboraradstibuigo de tenses nor dos tubos montados,

(8) Qua valo a interino qu dede ud?
(e) For ocu de um to, cries uma preto interna de 275 MP, Espa a iii de tenses

evant

ANALISE DE TENSOES / 0

243 Um clim tem 25 mm de dimets intern e SO mm de diimeto extemo € está sujeto «uma
preso items de 150 MPa. Determnar as tense cabanes ns pois ima e exer co

Determinar as tenses tangents as ruperfie nera e ntem do endo do rob. 243, quando
‘numa peso externa e 150 MPs 6 uma pres lnern ig eo,

Devese montas com interfeéncis um anl de ago de 9,525 mm de eyes em um dico de
406400 mm de diámeuo e 25,400 mm de espesura. Caesar o deta interno que deve tet o
ave, ata que à enso normal do al sp igual a 136 MP. O dico € de fro fund n 30€ tem
Eo 0211

Seger 2180 2.19

246 Esbogar a distribuía de tenses existentes na sepfo 4-4 do pancho mosrado na (gua, para
Fen

Probl 246

1247. Determinar a tenses normals nas bodas item e extema d seco AA, referent 3 ets moe
trad a Sua, paa = 2250.

Lg

ka

m frou 247

26 / ELGHENTOS DE MÁQUINA

248 A Sur most o dsenho de um ano referéacts3029T,n9 14, comprimento 2X, TDE, Est neat 6
feo de ao friado heft com ter de crkano Se 055% O piesa número Camper our
sso de entre, Ö minero 14 laica amano ea drabnais 2 releer o camprimentn denk
ica que a hat do argo € mal do que o amando puista = cancponde » do anol ne 1 das

vezes male. TDE sente com ol dobrdo (nom down eye); talc format Coria
se 190 deol poposciona um modo de tena a nana forge Esp, en exec:
Vin da ita O mater do ana te cla] usp rpronimadamee igs 228 CPR
> de etecamento de 2.25 GPa, aproximadamente, Que foja deen sr apse to sal ara

(Y

oth 248

© parafus com otal mostrado ma figura € flo e ago de baso abo, laminado a fg, portado
ur nit ao esonrento de 428 MPa. Em uma ane complete da essence data pep,
ser ss considera à rate 20 ciralbamento don fines da ona man, ness proa, do
mida somsrte «posite de aha do al Dateado na zinda to scort determine.
1 fora axl nisi que e pode apr ao paras. A sel determina ac de Modo que =
pode plas em 4 re o patna for apaade em 2.

y= 98
8 x 125 nora amina

Neste problema, devemse deieminar e teroes nets em U do eco de ser montado wt
ur, Par a sessing do problems, ose preci saber que» vera € monada com una fore de
Lago d 299 N e que o material do arco € ao, ABNT 1018 (UNS G10180), laminado af Es

ANALISE DE TENSOES / 87

tato, € interessante saber que à nina por ol laos, um em cada extreme, que x encaian
os enla das gates do aso, A gare B tem uma haste rosca, que se enla ma ross intersex
a tado na ns, que permite ma remoto ou a subiluNo por outs ou, pr rare,
Pouinsmento para o carte,

Um rods de ago de 75 ram de diimeto e 5 mm de epasur suport ume carga de 1 800N,enguanto
ole sem deslizar sobre uma supertce plana de ao, Com bate ma Fiz. 235, determina à destina
ino da supere da oda onde ocre tenio caihate máxima, senda um elemento de ena
paa ste pont, alado com a dara d feto puacipl e Clear oy y eon eat digame
6 ciao de Mohr paa tr dimensds € determinar as Hs tenes de challament máximas Or
Valores ds constantes elástica esto na Tab. A?

ANALISE DE DEFLEXOES

Uma estrutura ou elemento mecánico € considerada rígida, quando nfo se deforms, além
de um certo limite, 20 aplicarse uma forga externa, um momento cu um torque. Entretanto, se
as deformagßes ultropassam esse limite, dizse que o elemento é flexibel, As palavras rigidez €
{flexibilidede so termos qualitativos, que dependem sobretudo da situa.

Como exemplo, pode-t citar o seguinte fat: clasicas como muito ríido o piso de
uma oficina, que, seb a¢fo do peso de uma máquina muito pesada, cede 2 mm; entetanto,
dize ser muito lexivel uma chapa cuja superfície cede 0,2 mm sob 2660 do proprio peso.

À aise de deflexdes entra no projeto de diversas maneirs, em muitas situagdes. Uma
arruela de trscamento ou enel de retengfo deve ser suficientemente fextvel para que, na mon-
tagem, possa fexionarse sem sofrer deformagfo permanente e também deve ser rígido o
bastante para mintor Junta as partes montadas

Em uma transmis, as engrenagens devem ser suportadas por ávores rígidas. Se a rvore
defomnese muito, ito 6, se € multe Nexível, os dente das engrenagens ndo se engrenam perfel-
lamento, sesultando impacto excesivo, ruído, desgaste e falha prematura. Em Jeminagto de
chapas o fte de ago, para se obter uma determinada espessura os rolos de aminagfo devem.
ser curvos, em forma de coros, de manelra tal que o produto fin) tenha espessura uniforme.
‘Assim, para projetaremse os rolos de laminagáo, € necesirio eonheserse exatamente quanto
Aetido, quando uma chapa de ago estver Sendo laminada entre eles. As vezes, preciso projet

eos de modo que, para uma determinada forga, tonharn uma rela forga
defexto característica, O sistema de Suspensfo de um automóvel, por exemplo, deve ser proje-
tado dentio de ume aixa muito cstrcta, para aleançar uma ótima freqúéncia de oscilagto
vertical para todas as condigoes de carga do veículo, porque 0 corpo humano 56 se sente confor.
vel dentro de uma fixa de freqúencia limitada.

31 — RIGIDEZ DE MOLAS

Fluido € uma propiedad do mater, que permite u seomo à forms orina
pos deter sd dorado, NOW # un men metio que ere ur fora, quedo
sor dfomogo. A Fg 3le most uma viga a de empre, implement plas e
com 0 caegamento feto por uma fr mn E À Lee y pemane Incamente
propaconat oa, den dentes lan ade do mae, cono masa gece Tl
Vi coir cono molde ies constant

ANALISE DE DEFLEXOES / 80

ms w

Fig. 341 €) Molde rier constante; (9) mol de rider crescent; e) mols de rider seen

A Fig. 3.1b mostra uma vga eta, cujos apolos sto dis cindros, de maneir tal que o
comprimento entre eles diminui A medida que a viga deflete sob açfo da forga transversal FE
necessris uma forga maior para Meir uma viga menor do que a exígida para (etic uma viga
malor, Assim, quanto mais a vga delete, mais rígida ela se tora. No presente caso, a deflexdo
‘fo é linearmente proporcional à forga e, por lso, essa viga 6 considerada uma mola de rigido

A Fig, 3.1¢ mostra uma chapa circular, cóncava como um prato emborcado e simples:
mente apolado nas bordas. À forga necessria para ti tal chaps inicialmente aumenta, para
depolsdecreser, à medida que a chapa se aproxima d forma plana. Tal stusgóo € ustrads no
gráfico. Consideras como mol de rsidez deerescente qualquer elemento mecánico que tena
{ais características

(Quando se faz 0 relucionamento geral entre forga e deflenso pela equagio

F= FO),
arigider de uma mola é definida por

nm AR
20) = tin SE À en

medindose y na diregdo de F e"no ponto de aplicagfo de F. Muitos dos problemas de deflexto
50D agfo de forga que se encontram neste livo s5o lineares, como na Fi, 3.12. Para estes, k €
uma constante denominada constante de mola; coasequentemente, escreyese 2 Eq, (3.1) da
seguinte manel:

a
ef 62

Notase que as Equ. (3.1) e (3.2) slo bastante geais € aplicam ae igualmente bem para
torques e momentos, contanto que as medidas angulares sara usadas em lugar de y. Para os
eslocamentos nears, as unidades de & so, no Sistema Internacional, Newton por moto, 6,
para os deslocumentos angulares, N-m por radiano.

30 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

ann ann ni

©

Fea

Quando se tm duss ou mals molas combinadas, € comum representélas por linhas em
Ziguerague, A Fig. 3.20 mostra trés molas em série. Podemse substituir essas très molas por
‘uma única equivalent, de rigidez k, bastando considerar que a deflexGo da mola eguivalente
deve ser igual à soma das deflexdes das és molas em série, Entáo,

£
E

A Fra cnt pr deta ss moles parle dF, 3206
Fahy thy thy.
ii i pai i ni ai a atl

+ ha ths 64

As idéiss aqui apresentadas serdo bastante úteis na andlse de estruturas complexas,
Jcompostas do muitas pegs, e paa outros fins. Estes métodos súo também tels na simulagro de
sistemas dintmicos, onde as relapdes forgadeflexo sto necessárias para definir o modelo mate-
Imstico do sistema

13.2 - TRACAO, COMPRESSAO E TORÇAO SIMPLES

A selsggo para o alongamento total ou deformagso de uma barra uniforme ol tratada na
[seg.2.5, Eq. (0), repetese aq por convenléncia

‘ANALISE DE DEFLEXOES / 91

Esta equagZo nio se aplica à barras longas com cargas de compressdo, onde hé posibili
dde de Nambagern (Seg. 3.10). Usendo as Eqs. (3.2) e (3.5), vEse que rigidez de uma bara
camregada axlulmente €

AE

k= AE. 69]

A deformagto angular de uma barr uniforme de seso circular, submetida a um torque 7,
fol ista ma Eq. (2:42).0 € :

n

+ en
onde 0 & dado em radianos. Multilicando-se a Eq. (3.7) por 180/1 e fazendose J = nd4/32,
obtémse, para barras de seg ercular chela,

= ST
ot es
onde @ € dado em graus.
Podese determinar a rigidez. de uma mola de torgfo modificandose a Eq. (3.7), para
obterse

es

33 — DEFLEXÄO EM VIGAS

As vigas defetemse muito mals do que as pegas que tém carregamento axil, e, elas, o
problems da flexfo provavelmente ocorre com muito mais freqúéncia do que outros tipos de
carregamento, No projeto e ma anlise de estruturas e sistemas mecánicos, frequentemente
deve-se tratar como vigas,drvores, cixos, manivela, alavancas, molas, suportes angulares e roda,
sim como muitos outros elementos. O asunto lexdo € básico € o estudante j dev 16 0 vito
como preparagdo paraa lstura deste Livro. Por esta razo, ze aquí apenas uma breve evito,
‚Para estabelecer a nomenclatura e as conveng6es a serem usadas

Na Seg. 29, estudouse a curvatura de uma viga submetida a um momento fetor M
[E.(299)] e chepouse a

610)

onde p 60 raio de curvatura. Da Matemática, sabes que a curvatura de uma curva plana dada
pela equagzo

Pa CAE
Tier GE

1
o

92 / ELEMENTOS DEMAQUINA

onde y € a deflexio de viga em qualquer posto x 20 longo do seu comprimento. Obtémse a
inclinagio da viga em qualquer ponto x pela equagdo

Em muitos problemes de flo, a inclinagio € muito pequena; conseqientemente,
pode-se consideras 0 denominador da Eg. (3.11) igual à unidede, A Eg. (3.10) tansformase,
envio, em

= 0]
Otservandose as Eqs. (220) e (225) e diferenclandowe sucesivamente a Eg. (0),
obtémse
ae

gs
+ 2 @

vio ay ©

É conveniente reunir estas equagdes em um grupo, como se segue:

ce em

613)
61)

619
619

A Fig, 33 ilustra à nomenclatura e as convengdes, onde uma viga de comprimento
1 0,50 m suporta uma carga w = 16 EN por metro de comprimento da via.

© eixo dos x € positivo para a diteta e 0 elxo dos y € positivo para cima. Todas as gran
dezas como carregamento, esalhamento, momento, inclina e deflexto tém O mesmo sentido,
863,510 positivas, quando seu sentido for pare cima, e negativas, quando for para baixo.

CChamamsse valores de contorno os valores de tas grandezas ms extremidades da viga,
onde x =O e x =1. Por esta razo. o problema sobre viga, fequentemente, chama se problema
de contoma. Usando-e os métodos do Cap. 2, acham se facilmente as sezgdesR, = Ry = 4 KN
© a forgas de cisalhumento Vo = +4 KN € Y, = —4 KN. Nas extremidades, o momento Neto
2e10, porque a viga € simplesmente apolada, Notese que a curva de defiexio da via tem uma
inclinagdo pegativa na extremidade esquerda e positiva na extremidade dieta. Vése isso faci
mento. examinandose a deflexdo na Fig. 3.3. Por enquanto, € desconhecila a intensidade da

ANALIse DE DEFLEXOES / 29

incliragto nas extremidades; entretanto, por simetia,sabese que, no centro da viga, inclina!
lo € 2270. Finalmente, notase que a deflexZo € nula nas extremidades

Csregamanto,

Costa, Y

Momento or, Mf
™,=Mj=0

Incinacio, ern

3.4 — CÁLCULO DAS DEFLEXOES, USANDO-SE FUNÇOES SINGULARES

Podem se usar muitos métodos para integrar as equagdes; estes métodos podem ser encon:
trados praticamente em qualquer livo básico de Mecinice dos Sólidos (Resisteneh dos Mate
ini). Como eles sio precisos e bastante gerus, apresentaremos, neste Livro, somente dois
métodos aproximados: a integragSo gráfica e a integrasfo usando fungdes singulares (ver
Seg. 2.8. Tab. 2,1), Os exemplos seguintes sfo ustragdes do uso de Fungües singulares.

Como primeiro exemplo, fl coté a via da Tab. A-126, que 6 uma mg simplemente spots
om uma fora concentada À For do centro ds Wig. Pza ete tipo e caregamento, a EQ. (3.12) 6

e

fh ga mart <a

94 / ELEMENTOS DE mAQUINA

Notese que at eses Ry eR, aio apurecem nesta gs, como no Cap. 2 por cuss do valor nt
«solido par x Intepandowe agora entr Oe x nlo ente „= ex, de acordo com a Eg. (2.12), beara

ey
aft

rando cera vera, (3.14) integrando novamente, obtén
Er a ma rare 40,240,
889. (3) = Pas A 0, Be (3 8

qe

EN
7 7

Substuindo4e os valores de €, e €, na Eq. OD, bsémae

a

all Fer m

En
7

Fodese também obte sta equio, considerandos soma ds momentos em lag a uma seo
situada uma disnea x de oem, Agra, interandose dar vents a Ea, 0) de coude som u Exp. (15)
Karen

Fost Fans"

Ban nn du

+6, o

by = PL FOO ogy
iy = E Ge tare, ©
‘Obtémse oF valores das constantes de interaglo C, e Ca, usando-se dust condigtes de contorno,
220 em 20 € ym 0 em x A alar d prieta contigo na Fa. (6) & Ca = 0. A aplicaio de
Segunda contigo na Eg (6) 4

Poin
Lar,

SubvitundoweC, e Cara Eg. (6), obtémae a spunte qua paraa define:

ve ie nie a

Gomparantose u Eg. (7) com 1 dus equngies de deexo da Tab A324, note que, usando
unge sles, impot expresa completamente a lago de defeat com Uma amp stunden

ExENPLO 32

Lando funden singular, char «relat de defiendo, delento máxima as cages pas ai
tam indeterminada mostrada na Fig.

a

ln,
m

Fig 34

Soles, O diagrama de tegamento curva de dee aproximadas visto a Fi, 3.48. Com
na fen 0 < x < 0 oque de carepamento à

ere, w

Integrando quato vers, conderandose as Eq. de 3.12 43.16, time oF sente render:
m

o

Lar
2 : Decre, 0)

E w Goa
By = Bun Kine rs o
dr ER gta 5
(Como no exemplo antec, achamse as comentes, ande at cond de contoro adequadst
Primerament, notes, d Fig. 346, que, no ponte x = 0, temas 10 = Oe Ely =0, Inoreslta em €; = 0
€ Co 0. Em seule, observes gue, no ponte += 0, à Tora de cialhamento € igual sapo nm, 4
Ea, (2 di VIO) = Ry = Ci. Como à defento & mula no apio da mao Ay. onde x=, da Eq (5) temo
Ga
Seren o + 0
Lalo 4 ©
Do memo modo, come à momento deve see ero na extremidade em Slang, onde x= a. (3)
eS

Kydd Eda 4 GG, = 0
Simplsicandoe notendone que I~ = b,obtémae

Gere,

96 / ELEMENTOS DE MAQUINA

Brain Ba

Obtémse a rsgto momenta A,» parir de Eq. (2, com
HO = M, = 6 =
A euacio completa d cura de delo & obid sbatiindose ot valores conteides de Ry e des
constants Cj Eg (9). Teme

fy = Bae mar Kun

wots, wre
ae ae 0)

À detent máxima ocore nu etremldade le da via, onde x =. Fazendose à bide na

a (8) operando »exprentevrultante, obte, nalen,
wo
Die = = EH o
Um exame da curva de deñenio de Fig. AD revela que cura ted uma incio zero em gum
ponto entre Ry e Ry, Subituindo y as constants na Ex. Al, fatedose 9 = D e resolvendose a equaco.
pars x. encontinze que a nino Ca cum € ero no ponte x = 2/3. Obemse a deck comespendente

‘ese pomo, do e eno nlar de xno Eq (8

venue

3.5 — MÉTODO DA SUPERPOSIÇAO

Embora um engeaheito poss tra proveite do desafío que é a resolugäo de problemas de
vigas, um projetita, entretanto, goralmente tem colas mals importantes e mais urgentes para
fazer. Se alguém j4 tver resolvido o problema, o engenheiro pritico poderá usaras solugdes
existentes, economizando mio-de-obra e tempo, aumentando assim o lucro da empresa. A
Tab. A.12 contém as solugdes de problemas de exo que ocorrem mais frequentemente em
projetos. As solugdes de outros problemas de deflexzo de vigas que ocorrem com maior fre.
QUéncin podem ser encontradas em vérios manuais. Caso a solugio para um determinado
problema nio teja encontrada, ainda € posivel obtáls, usando-se o método de superposigo,
Esse método pode ser empeegado para todos os prublemas ineres do forja delexdo, isto é,
aquels nos quals a forga € a deflexdo estío linearmente relacionadas, O método da superpo
siglo baselase no principio de que a deflexzo, em qualquer ponto da via, € igual soma das
deflexdes que cada forea causa separadamente. Assim, se uma viga softe Colexio sob a apio de
{tes forgas, a Jelexio em qualquer ponto da viga € igual à soma dus deflexdes que cada forga
proveca separadamente ness ponto,

ANALISE DE DEFLEXOES / 97

36 ~ MÉTODO DA INTEGRAÇAO GRÁFICA

Frequentemente, acontece 0 fato de a geometria ou o método de caregamento de uma]
viga, tornarem to difícil a solugto de um problema de deflexdo, que nfo € pritico solo]
pelos métodos clásicos. Face a tas condigges,pode-seempregat a ntegragío numérica, usando
uma calculadora de mesa ou um computador eletrónico, ou entáo emprega a integras gráfico
Embors de precio limitada, o método gráfico € rápido e permite uma boa compreensto física
do que está acontecendo. Para muitos fins, a precisSo dese método € satisatória

Para explicado da inteprago gefle, observese a Fig. 3.5; em a temst à fungio e em B
a Integral. Sao mecessiis tds escales gráficas, uma para a varkivel derendente, uma para à
varifvel independente € uma para a integral. Considereso x como variel independente e y
como vacivel dependente. Ent, a integral da funséo y =f e) entre x =a e x = bé simples
mente a área 509 a curva y = f(x) entr as ordenadas levantadas do cixo dos x em a e 6. Em
integragdo gráfica, escolhem se as duas ordenadas próximas e trate o valor médio entre eses
ordenadas, de modo que o provedimento consiste meramente em se determinar um esquema
gráfico no posível tragarem se linha cjasinclinag0ss seem proporcion à ordenada
média em cada interval,

Para integrarse a fongdo da Fig. 3.50, escolheo a linha Ob, que se chama desónciapolor,
designada por 1, de um comprimento conveniente, conto por exemplo 20 mm. Projetamse
sobre o elxo dos y us alturas dos diversos retángulos e tragarase a linhat que unem esas alturas
20 polo b. Cada linha, b-1, 2 e B3, tem InelnagSo proporcional altura do retingulo corres
pondente. Obtémse a integral da Fig. 3.56, tragandose as linhas: Op paralela 6-1; pq paralela
402;gr paralela 63. A escala da integral

Sa = HS,

onde

= distancia polar, em unidades de comprimento;
‘Sy = escala dex em unidades de x por unidade de comprimento;
5, = escala dey em unidades de y por unidade de comprimento;

Sy = escala da integral em unidades de x vezes unidades de y por unidade de comprimento.

Ses
128 1008)
= 32 (orion imm

98 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

ExENPLOIS

Arles agora este método d sos pas ober a dei de uma viga F'.34).A figura morta

um eso eaonóo (1) orgias

mente desah.do com um quart do tamano + paneriomentereducke.

por quedes de reprodugio gráfica O digrama de cargamento (2) most uma Caza de 8 900 Nm, este

Gendose por uma dich de 25

0 mm do comprimento d exo. As eden nor manei form calculadas 6

Indices como Ry 6 Ay. Obtén dam de efore cortant (3), «parts do diagrams de amepanente.

tando e as cendigtes de ero esto. Obtémos D dispara de momento ter (4) por inte
en do dlgcama de etorg corte A Agura mois congo e os cil par obtengo da esca

de dira de moreno (tor. O p.öximo pao obte oavaoesnuméicos o menso cvdsteminados

meno
Se= 4 mm 11140
mental

(A Carregamento
Sy, = 17a Nm

(4) Momento for
Se

C1

Sy. = 4004 x 10" resimmimm

Ce
14008 x 10° (01 (4)

Maior ee

no

17 otra
Er
PCT Las

so medio o drame

ws en

ME

AMALISE DE DEFLEXOES / 99

Giulumse ent os valores do momento de nich pars ade diámeto do exo, Eo segui, div
dem os momentos plot produtos do mädulo de situe (207 Cs) peor momento: de Ini: po
‘ura (3) ees valores, para obterae 0 crams M/E. (Se o momento de mdr for constant, pods
reals esta opeaqio depts dese obtr a cua da dele, Cro vag to, con naar eno que.
‘uve da der ransormaj na cura EL) Agora, neg dus veu ogra El pata oberae a
ura de denendo (7). Ne interagto do diagrama de incinaci (6), à neces este à ocalizacio dt
Hnchnatso teo, tod, poso na qua se dere cnica xo dor. Seen localiza for rada, ua.
mente © & à curs de deflente o (char com ma linha horizontal A ino deve sr tada de modo à
fecha à cueva de deere as medias de efes dere se Ras na eco venia, (Nao meds perpen
dlculzmente 3 Inh de fechamento, a mens que ela sja horizontal) Encontre lolo cut ds
ponte de nelnagf zero da mana que se segu: gate uma Io para à linha de eclumeuie € oh
Bene À coma da dex. O pono ge togínca € © ponte de locians ero € € també a li
Sato máxima.

3.7 ~ ENERGIA DE DEFORMAGAO

© trabalho externo realizado para deformar uma pega elistica € transformado em defor-
mayo ou energia potencial, Obtémse a energia potencial armazenada por uma pega que softe
uma deformagso y. multiplicando: aforga média pel defexdo, ou

Ly
a 6.18)

A Eq. (3.18) € geral, de modo que a forga F também pode significar torque ou momento,
contanto que se usem as unldades adequadas para k. Substtuindo-se k pelas expresos apro
riadas, obtémvse fórmulas da energa de deformado para véros tipos de caregamento simples.
Assim, por exemplo, empregando-e a Eq. (3.6) para tagio e compressto simples, obtémse

je E
vu. 619

Para torgfo, usase a Eq (3.9), 0 que dé a energia de deformagto por torso

rm
un 620

Para oblerse a energia de deformagfo devida 20 cisaliamento direto, considerase 0

elemento com um lado fixo (Fig. 3.70). A forga F coloca o elemento em eisalhamento puro e 0
trabalho &

Como a tensto de csalhamento €

se
TE

T

100 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

„A
v- El 62)

Pode-se obter a energia de doformapfo armazenada em uma viga ou barra submetida à
exo, referindo-se à Fig. 3.78, AB € uma sogio da cura da elástica de comprimento ds, tenda.
um rio de curvatura p. A encrgia de defommagto armazenada nesta seso é

=
au Man

Como p d® = ds, temse

Usandose a Bg (3.10)

ecg:

Obtämse a energía de deformagio para a vga intra, adicionando-e as energias em todas
as segdeselementares da seso. Para pequenas deexGes, ds = dx; entio,

Max
Es Be

Podes obter uma relagfo dti, dvidindose as Eqs. (319) « (3.20) pelo volume 14.
Obtémse, ent, 23 dvas expressdes seguintes, para a energía de deformagdo por unidade de
volume:

62)

ANALISE DE DEFLEXOES / 101

Suponhase que se deseje projeter uma peçu para armazenar uma grande quantidade de
energia (ese problema aparece freglentemente em projeto de molas). Estas expresses mostram
(gue o material deve te alt resisténca, porque o aparece no numerados e, surpreendenlemente,
‘eve ter um médulo de elasicidade Baixo, porque £ aparece no denominador.

“A Eq, 0.22) dé a energia de deformagto devida à flexZo pura. Em projets, multos pro
lemas ndo so de flexto pura, mas, nele, o isalizamento $ Lo pequeno, que pode sr despre
zado, Contudo, o engenheito deve ser capuz de calcular a energia de defonnagso devida so]
‘alhamento para, ent, decidir se a despreza ou náo. Assim, seja uma viga dsegáo retanglar
de largura b e altura h, submetida a uma forga verucal de esalhamento Z Usandose a Eg.
(231), com/= BH /12.e da = b dy, encontrase, pra à tensío de cisalhamen’ 0,

y fan 4
LE [i as = oro o]
‘Tomandose um volomeelemenas dv = bdy de uandose a Eq. (323) para a ener
de cilbamento, obte
ay PE dax 0)
dan
obtiuindose o valor de + ado pla Ea. (e) na equsto (/) e integrando em els
ay,oblemse
aa

Prés [14 as gy 169"
ay = | at re

portanto,

af re
Ze

Notese que a expressfo € válida somente para segfo retangular transversal reta e dd a
energin de deformagfo devida ao cisalhamento transversal. A energía total inclu também af
devida à Mex.

‘Uma viga em balango tendo na extremidade livre uma carga concentrada F possui url
forge de cisalhamento constante V = —F e a Eq. (3.24) dá

625)

ovinal! estabeleceu que, para outras sedes setas, a constante } pode ser substiuida|
sor 4. Popor? mostra que, quando wma viga em balango tem um comprimento dez ou mais
Diner maior que a espessura da viga, o energia de Ceformagio «evida ao ciathamento € menor]
que um por cento da total. Assim sendo, excetuandose o caso das vigas muito curt, a energia
Je deformacio dada pelas Eqs (3.24) e (325) pode ser desprezada,

* JUVINALL, Robert €. Sres, sein ed strrgh Now orque, Meran ok Company. 1967

À ROPOY, Egor F Introduccion ta mechantr of ros. England Clif. NJ. Prices Inc

1968, p.487.

102 / ELEMENTOS DE MAQUINA
‘Como outro exerhplo do uso da Eq. (3.24), tome-se uma viga simplesmente apola:
uma carga uniformemente dstibuida w. A forga de cselhamento €

Resolvendose a Eq. (3.24), achase

af

so)?

3.8 — TEOREMA DE CASTIGLIANO

Viusse que a deflexäo de uma estrutura ou de um grupo de elementos montados, pode ser
obtida tatandosse cada elemento como mola e ajustando-os dentro de configuras geométrica
própria, de modo a obtere uma única mola equivalente. Outro modo de resolver este problema
& através do teorema de Cstiglano. A vantagem do método de Catilano € que € muito Fácil,
quise uma “recsita de bolo”, ideal par ser adaptado à computagío digital

O teorema de Castillo estabelece que, quando forgas eruam sobre sistemas elétios,
podese encontrar o deslocamento correspondente a qualquer uma des forgs, fezendose à
derivada parcial de energía total de deformapdo com relegóo ¿quelaforga. Como fol visto no
estudo da rigidez dus molss, s termos forge e deslocamento devem sr interpretados de maneira
mpl, de modo que els se upliquem igealmente a momentos e deslocumentos angulares. A
expressio matemática do teorema de Catilano €

“=. em

onde 8; € o deslocamento do ponto de aplcagto da forga y, na diego de Fi

Algumas vezss, desj-se conhecer a deflexfo de uma estrutura em um ponto onde fo
aja forga ou momento aplicado, Nesse caso, imagina e uma forga Qy aplicada naquele ponto,
esenvolnese a expresso de dy Ja Qy igual zero. Os termos remanescentes dio a deflexío
(no ponto de plicago da fora imaginsra Dj na diego em que fol imaginada atuando. Podes
também usar a Eq. (327) para calcular as reaçôes em determinadas strutuas. A deexdo €
2210 nos pontos onde ocorsem essasreagGes; as, para obterse a forga de regio Ry, simples
mente resolve a equsgo

au
Eu 629
Quando existe váris reagdes ndetemmimades, escrev.se a Eq. (3.28) pars cada uma

del, a fim de obterse um sistema de equngdes, permitindo assim resolver todas as equages

simultaneamente,
© teorema de Castiglano, naturalmente, só é válido para as condigóes em que o deslocs:

mento é proporcional 3forga que o produz.

ANALISE DE OEFLEXOES / 103]

EXEMILO 34

Achar a defento máxima de una vgn simplemente spa, com uma cr unformemente dst
lds,

Solo. A deento máxima ocone no canto da va; et, coloca, eme posto, une fora
imagina tudo paa baxo, As renga nes extremidades a ea lo

eee ee

a

Omomentoente x= 06x =1/26

ener d domo par a ia inti 6 dobro da seri paa made da Ya, demczandone o
chatharente deo, ito,
A
af”

otto, exo no centro da via €

un "(me ox

Jo erg hp 2 * 2

‘Como éimacinicio podese gar fabio gual eo. Integrando em sep, srl

ee

dois ir | is lo ane

EXENPLO 35

iso o método de Castigano,deteminar a rides de uma vig em baango, tendo um compe
mento um ago uma forge concentrada. como mostra a Fig. 38, Despeza acogía de cinlamento
poa

104 / ELEMENTOS DF MÁQUINA.

Solde. © brago BC age como uma viga em Malango com enpstaiento em B.A enema de defor
magie fi

re w

lo “ar,
onde Mo Fe.
‘Aeagio em B, des à F, € um torque T= Fr e forge F prodaz, em AB, um momento Detor
8 = Fs Enid, à ter de deformugko amazenuda em AB €

Las =

A eng de efomasto pe a ie nein €
EN UE
Jo en * 207 to er
Desvandove Umi a, btémse
DE 1 [laggy 244
nc MEE aos Be hf m

E M8 Sr à

Subltlndose ee valores na Eg. (4), sete

AN PI Dy
peal eat a free i Br

Portanto, constante de mole &

nn ee
D 7 CRETE PUGH PROS e
Este serlado pode tr va implcag surpreendente, dependendo wobretudo d tigo de quemo
saa, Asin, eres observa mals detalhdamente estado.
"Um blanco de comprimento ares po una fora Fox extromkdde Le tem uma delo dads
or
©

Parano, ager € dad por

Eu
pe A m
7% o

{Uma bara de comprimeno Je momento de inca poa, de cord cam « Eq. (3.7, presenta uma
(storm angular de

0)

ANALISE DE DEFLEXOES / 108|

Entretanto, s es deformagio for roduzis por ume frg Fand na extreme de uma avance]
de eomprimento £ torque será Tm Fras efommust sr dada por 7. Por ema pao, podes tral
Eg. (8) da eine manco:

os

Le
7

Aplandone stes elas Fi. 2.8, bte para BC,

E

27 an
Notes que estas wt relates aparece no denominndr de Eq ():comegientemente, pode
cire E. (3) a seule fora

ES ga)

Examinando-s « Eq. (3.3), ve que ento us mols ot em ie A peri intuigd do obeenados
poden ter med que à mola BC estes em se com a AB. Entetat wa poste! 20 obuenader
apor que s mols reprsentandotargdoe Deo de AB etvese em ve uma com cut?

39 — DEFLEXAO DE PEGAS CURVAS

Armagües de máquinas, molas, grampos, prendedores e similares aparecem frequente-
mente com formato curvo. Anallsese facilmente a defendo dessas pegas, usendo=e o teorema
de Catigliano. Considere, por exemplo, a pega curva da Fig. 3.92. Esta pega £carregada por
uma forga F e desejase conhecer a deflexto na diegdo de x. Seccionandose a pega em uma
posigdo Indicada por @ e analisando=e os componentes da força nessa seszo (Fig. 3/9), ver
case que a forga F causa Nexäo, o componente Fy causa trago e o componente F, cause
cisalhamento direto, A energia total de deformagdo resulta de cada um deste efetos, sendo.

wa ı (He
Us or sf 24E +3 Ga” o

nde, usandose a aproximago de Juvinall, de 1/2 para o tercelo termo, considerase uma.
seg eta nfo relangular (ver Seg. 3.8).

Ito € uma aplicagto da Eg. (3.24) e, se a segl reta da pega fosse retangula, sarta 0
{ator 3/5. De acordo com o teorema de Casigllno, adeflendo produzid pels forga Fé

au TN AO AN
os ap De fe e a GA ar *

166 / ELEMENTOS DE MAQUINA

F639

OS fatores para o primeiro termo desta equagio so
am _
Mur ro ds = rd,

Usando-se a Fig. 3.90, vése que os fatores para o segundo e teociro termos so

62)

AE 268"

Esta 6 a defexzo na extremidade live da pega na direçlo de F. Palo fato de estar o aio
elevado ao cubo no primeir termo, o segundo e fercelo termos serfo desprezados para os casos
de pegas curvas com grandes aos.

3.10 - TEORIA DA FLAMBAGEM

Uma barra curta caregada em compresso pura por uma forga Pagindo ao longo do exo
central val encurtarse de acordo com a lei de Hooke, até a tensfo atingir © limite elástico do
material. Aumentandose P, mais ainda o material cresce transversalmente e será comprimido.
até ser reduzido a um disco plano.

CConsiderese agora uma barra longa, seta e fina, como por exemplo uma vara, carregada
em comprescio pura por uma forga P que age ao longo do elxo baricéntrico. Aumentando se P
a part de zero, a pega encurtase, de acordo com a lel de Hooke, conforme fol vito anterior

‘como a barra & suficientemente longa, medida que P aumenta, atingose
cxilico, Pe, que corresponde à condigio de equilibrio instdvel. Neste ponto, qualquer

ANALISE DE DEFLEXGES / 107

envergamento da pega ou um pequeno movimento da caga ou do suporte irá acarreta falla
da posa por lambager.

Chamase entio de coluna ou pilar a pega que élonga o suficiente para fur por lamba
em. Caso conträrio, chams-se apenas de pepe em compress£o. Em relidade, ao existe qual
quer linha de demarcagio que distinga claramente uma coluna de una simples pega em con: |
pressio. Logo, a falha de ume coluna pode ser considerada uma falha bastante peigoss, porque
o se tem qualquer uviso de que se excedeu Per. No caso de uma bara, 9 aumento da carga
‘cause um aumento de deflexdo, e uma deflex£o excesiva € uma indicagfovisivel de que ela esta
sobrecaregada. Uma coluna mantémse reta até atingirse a carga crítica, ponto apôs o qual
‘corr um colapso brusco, As tensöes em uma coluna na hora da flambasem podem ser bastante
balxas, dependendo do comprimento da mesma. Por eta razo, o citéri de seguranga consiste
ma comparagdo da carga real com a carga crítica

Desenvolve-se aqui relato entre a carga critica, o material da coluna e a geometria da
mesma, com teferéncia à Fig. 3.102. Considerese a barra de comprimento ! e extremidades
rotuladas ou plvotadss, carregada por uma forga P,apindo ao Tongo do eixo centra, A figura
mostra que a barra dobra no sentido positivo do eixe dos y, o que requer um momento nega
tios logo,

@

Fig. 310 (e) Extremidades articuladas; (9) extremidades engastads; (2) ums extremidad tie outra
atadas (4) uma exremidade articulada e out fi.

Se a bara dobrasse no sentido negativo do eixo dos, resultaría um momento positivo, e,
entio, Mf = ~Py, como anteriormente. Usando a Eq. (3.14), escrevese

e
4 0]

108 / ELEMENTOS DE MAQUINA

o que se assemetha à equagto do movimento harmónico simples, jf bastante conhecida. A|

soupe à
man [Pare JE ©

onde A e B sto constantes de Integra, as quais sfo determinadas usandose as condigdes de
contomo do problema.” Para avalif-las, usam-se as seguintes condigdes: y = 0, quando x = Oe
quandox al, o que resulta em B= 0e

omas / E

quando À = 0, ocorre a solugdo trivial, sem flambagem; entretanto, se À #0, temse

wn [Ei =o. ©

sta equapo € sta para VPIETT= Nr, onde N 6 um número intro. Pare N = 1,
tema sarge ction
Poy = EEE, CE
Esta a formula de Euler, aplicado somente par clunas com extremidades rotulado
‘Substuindose ess resultados ne a, (6) obtéma a equçro d cur de deexs0

, 832)

que india sera curva da deflexño uma meia onda senoidal, Estése procurando apenas a carga
crítica mínima, que ocorre quando N = 1. Embora aqui isto nfo seja de muita Importincia,
valores de M maires que 1 resltam em curas de deflexgo que cortam o eixo em pontos de
inflex e sto miltiplas de uma meia onda senoidal.

Usandose a relagio T= AR?, onde A € a drea e k € 0 ralo de giragfo, reorganizase a
Eg (331) de uma forma mals conveniente:

Lo = PE
a Wer 63)

Mk & o cocficiente de esbeltez. A solugio de Eg. (333) d4 a carga unie crítica; embora a
carga unitéra tenha as mesmas dimensOes da tenso, deve-se tomar especial cuidado para nfo
chaméla de senado! Caso contréro, podese incorer no erro de comparar esa carga unitáia
com a resisténcia ~ a ressténca a0 escosmento, por exemplo — o que leva a uma falsa conclu»
sto sobre u existencia de margem de seguranga. A Eq. (3.33) mostra que a carga unitiria critica
depende apenas do módulo de elsticidade e do coeficiente de esbeltez. Logo, uma coluna que

> Vers slug ma Seg 164.

ANALISE DE DEFLEXOES / 100]

obedece à formula de Euler e & felts de um ago-ig de ala ressténcla nfo € melhor que umaf
coluna felta de ago de balxo teor de carbono, uma vez que £ & 0 mesmo para ambas

Pode-se abter a cage crítica para colunas com diferents condipdes de contorno, resolve
dose a equagto diferencial, ou por comparag3o. A Fig, 3.100 mostra uma barra com ambas as
extremidades Ries. Os pontos de inflexdo 530 A e B, situados à distäncin [4 das extremidades
O segmento AB tem o mesmo aspecto de uma barra de extremidades rotulado. Substituindo-se|
‘© comprimento 1/2 por na Eq. (3.31), obtémise

= PEL Amel
Po = GE 634)

Na Fig. 3.106, vése uma coluna com uma extremidade ivre e a outta fix. Seu aspecto e
equivalente à metade da barra com extremidados rotuladas após a deexdo, de tal forma que,
substtuindo-se o comprimento 21 na Eq.(331), obtémse, par a carga erica, o segulnte

an 635]

¡Sto multo comuns as colunas com uma extremidade xa e a outra rotulada, como indica
a Fig. 3.104. O ponto de inflexto ocorre em A, a uma distäncia de 0,7077 da extremidade|
rotulada; logo,

a. ara
Pe a Rn a

Podemse considerar esta várias condigöes de extremidade, escrovendose a equagto de
Euler nas duas formas seguintes:

Pa. aE
fe = ah. 637)

TABELA3A Constante de Extremidado para Coluns de Euer [Pas Serem Usadas
comas Eas. (9371

Constante de Extrem

Condes de Valor
Extremisae de Colina Tesco

Folie ya
FieeRowlats 2
Fi Fis 4

“Par er wrado somente com foes de sparana rltramente fortes (quando as con
ies de amepamente form bem condi.

(0 fator m chamase eonstente de extremidade e assume qualquer um dos valores teóricos
1/4, 1,2 ou 4, dependendo da maneisa pels qual a carga € aplicada. Na prática, € muito dificil,

110 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

sento imposs(vel, ixaremse as extremidades das colunas de modo que os fatores m=2 ou
n = 8 potsam ser aplicados. Mesmo quando as extremidades sfo soldada, sempre ooore alguma,
Meexto. Por esta razo, alguns projeistat nunca usam valore de n malores que 1. Entretanto,
empregandose futores de seguranga relaivamente fortes e conhecendo-se bem a carga de
Coluna, tomase razodvel usareme valores de n que näo excedam 1,2 para colunas com ambas
1 extremidades fixas ou uma rotulada e outra fixa, porque se supde somente uma fixagfo
parcial. Naturalmente, para colunas com uma extreridade fixa e a outra live, devose sempre
tsar o valor den = 1/4. O resumo dessas rocomendagdes está na Tab. 3.1

3.11 — PROJETO DE COLUNA

Anteriormente, fete seferinch ao fato de que no há uma disingio mult clara entre
uma simples pega em campress£oe uma coluna, Par ostra problema, a Fig. 3.102 presenta
ett de fe tant pora pesas em compresso simples como para as coluna de Ele, So
fia pega for curt, Fer por escoamento; se for longa falhad por fambagem, Consequen-
temente, o gráfico tem como abris o cofcente de esbelte ke como ordenadas a carga
unités PA. Ento, uma ordenada levantada por qualquer cosficent de eseltez que s deseje
Val inteceptar também a lia AB e definir uma pega em compres simples, uma vez que a
Tala pode ocorer por cscoumento a ordenada poder também interceptar a ina BD e def
uma colina, porque a falha come por lambagem. felizmente, ss teoria no funcion to
‘bem an prática,

(Os resultados de um grande número de experéncasindicam que, numa vst en em
torno do ponto B (Fig. 3.116), a fla ds coluna comaga antes da carga untl ating um
porto representado pelo pro ABD. Além do mais, os ponos obtidos neta experéniasfo
persos, Où pesquisadores supder que falla da experiencia para verifier a teoría nat vk
hagas do pontoB reside no fato de ser vrualmente impossvel constrlcse uma colun del.
Um pequeno desvio pode tr um fete enorme sabre o valor da carga crea. Tas fatre,
come tensto interna, curvatura inicial e pequenas excentricidades de ca, contrbuem par à
disperso eo desto da teoria.

Cars ni, IA

estan de ete, ik

ostende eben, 1
w nm

ANÁLISE DE DEFLEXOES / 111

Muitas fórmulas diferentes para colunas, multa delas empirica,tém sido imaginadas par
superar as desvantagens da equagdo de Euler. A formula parabólica, ou fórmulo de J. B.
Johnson, € largamente usada em méquinas, automóveis aeronaves eno campo de construpio de
estruturas de ago. Eta fórmula aparece fregUentemente da seguinte mancira

Per 17
Leo (2) os

onde a e b s30 constantes que sto ajustadas para permite a adaptagso da Fórmula aos dados
experimental. A Fig. 3.159 € um gráfico des dues fórmulas. Notese que a curva ABD € o
gráfico da fórmula parebólia, enquanto que BC representa a equagfo de Euler. Na anúis de
"uma coluna para determinar a carg clica de Nambıgem, dense usar somente a parte AB do
gráfico parabólico e a parte BC do gréfio de Euler. Anaiandose uma coluna para determi
anse a carga crítica de Nambagem, devese usar o tuscho AB do gráfico parabólico o trecho
BC do gráfico de Euler

As constants e 6 da Eg, 3.38 slo calculadas, decidindose onde localizar a intesegto A
na Fig. 3.119, € 0 ponto de tagéncia B. Notese que as coordenadas do panto B 50 epi
adas por (PA e (e)

Obtémse uma das erstes male largamente usadas da fórmula parabólica, fızendose a
intersegio A corresponder à tensto de escoamento do material fazeado-se a parábola tangente
A curva de Euler em (2/4), = 5/2. Assim, a primeira constante da Eq. (3,38) € à = Se. Para
obterge a segunda constante, subsitbse Sf2 por Pay € resolvese para (/A)ı. Usandorse a
Eq.(337), obtémse

Substtuindose na Eq. (3.38), resulta

e gp

Gan)

Naturalmente, devese usar esta equapfo somente para coeficientes de esbeltez até (JA),
Usa-se, entto, a equasto de Euler quando Ik for maior que (A),

As Eqs. (3.37) (340) foram resolvias, usandose as condigtes de extremidades da
Tab, 3.1, referentes 20 ao estirado a fio, ABNT 1015 (UNS G10150), e os resultados aparecem
na Fig, 3.12, Obtém o, assim, o gráfico de projeto,

112 / ELEMENTOS DE NÁQUINA

Mee to
24450 34450

ns a0

2s 20135)

233

1780

Corsair 14. MP

ws

320

poe eee
"020 TAO e806 100 Ta 140 160 180 20 280 260
Content de ebees ik

Fi. 3.12 Gráfico das equeg publica e de Euler pars ago, ABNT 1015 (UNS G10150), Laminado a fi |
pata eoniger then des extemiader

Algumas vezes, se estabelece a equagfo parabólica com o fator de seguranga incluído. Por
exemplo, a fórmula da AISC, para ago ASTM N. A7, para os membros principle secundärlo €

a A HN
Zimio ($) 0

(onde Pé dado em Newtons e A, em m?) a qual € vida somente para valores de 1/k menores
ue 120. Como o ago A7 tem uma tes de ao de 413 MPa ou mal, esta equa tem um
{ator de segurangs includ nla Ee (to evidente, porque a equsto it em 1emos de PA,
em vez de Pla

3.12 — FÓRMULA DA SECANTE

Uma carga excéntrica & aquela cua linha de ago das forgas que atuam na coluna nfo
coincide com o eixo que pass pelo centro de gravidade da resto transversal. A distincia entre
08 dole eixot chamase excentricidade e. O produto da força pela excenticidade produz um
momento nica Pe. Introduzindo-e esse momento na anis, deduzse wma fórmula racional,
Vida para quelques coeficiente de esbeltez, O resultado € «formula de secante, que, em geral, €
express por:

Pose
“A” Tr lee?) sec (UE) VPRAE)

[ANALISE DE DEFLEXOES / 113

Nesta equasto, e 6 distincia do plano neutro de flex & superfície extems. O temo]
(ik? chamase coeficiente de excentricidade. A Fig 3.13 representa a Eq. (343) para vii
valores do coeficiente de extentiidade, e para um ago que tem a reisténcia 20 cscoamento
Igual 275 MP. Mostase a equag de Euer para fns de compara.

Mao & conveniente usara Eg. (343) para fins de projto, porque a es d seo tans
es A aparece em ambos of membros da equagdo. Eno, uma vez sleionado 0 material da
<oluna, devese preparar um gráfico semelhante ao d Fig, 3.13. Ts ráfios devem sr guarda
dos para possivel uso em projetosfutuos

344.59

200]

oh de lo

Fig 23 Comparago de fórmula da secant a fórmula de Euler

PROBLEMAS

Segtes 3.1 032

© obictio deste problema é demonstrar que rider da mos depende de como se oo ors. Na
uste a) da fur, aplicas uma fa F = 9ON nacxtrenidade de uma mea de 7 Nm. It ela
Suma deexdo y = 129 ‚mm. Conecta» à mesmo mais extremado de uma avan müde de
250 mm de comprimento, como € mostrado na pare Bda figura, e ala 3 mesma fogs na exten
dnde de alas. Eso produziá uma deflexdo na extremibed da loan. A raider a $
E'S FR. Caleta K 2, seo ea dt Pivot 263 mob € 8 à inc un

ste tbe ema ef ge para

114 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

Arm fal

Karim
|

op ss

33 figure mor uma slavanca sida de 300 mm de comprimeno,psotda em O, que tem uma mot
LA 2 To Km conectada em Ae outa mola kp = 40 Nm conectada em B Aplicando suma cer
forge Fon desta mostads om €, pradur a uma detent x conespondents Podeve substitu todo
sema por uma mola equbaent, ej gd € = Fe. Detemirar

A figura mostra um sistema de engrenagens ns quis suple 2 que tenu ents Ifinitamente ido.
Determine a His torso do stem. Exper como à ao das velocióndes dus engenagens era
nos lleult Super vores dea.

a

oz

I Vs
a
E

À figura moseaBuas engrengen, cos números de dentes so, espectivamente 2, 62,. Um torque

de entre 7 € splende Lextemidade À da vos, que tem rider A org ,. Op es ete torque

Um outro 7, em O, exercido na extremidado da Sore conducida, ej side toreo EX.

(&) Considerando a rre fas am By achat a expreso d gies À tn do sistema ner, baza
dogo sudo meta em À

(63 Consierando Are fla em A, cha expresso da gies 3 torso correspondent à delexto
end.

ANÁLISE DE DEFLEXOES / 115

Prost.

Determinar o diámetro de uma deve macia d ao dex cleus, que dev transi 0 wat a
1pm, acm que sun dele angular exceda 1° em um compriment de 30 dmetor. Determina
também atento de toro (chulhamento) eorespondente

Determina o cimeto de uma énare maiz de ago de seso cl, que deve transmitir 15 KW a
Oo, sem que sus defers angler exceda 1° em om eomprimento de 30 metros. Calle tm
bors tea de torso (ialamento) comerpondent ortenta relie.

Seger 33235

38 Determinar um conjunto de dimenses da sep transversal de uma rua de a de 1 m de compr
mento, de mani u que, quando ela for simplemente ispoad, adefledo devida 20 propio peso

ea menor que 12,5 wm.

39 Une cantontea de yo de $0,8X 50,8 x 9,5 mm (2% 2% 3/8 pol) suport à caga mostrada ral
gut. Determinar define máxima.

poema

ao um |

Prob, 39

210. Um exo de ago de seg cur soporta as caras mostradas a fur. O elo tem um dm de
30 mm e €apoindo em manca que liter agua reims extrema Carla a de.
Dex no conto, contideando, primero, que sy exlemländer jam fia, como mas ft, e,
sxpuodo, sponds que o o ah simplemente pola ass exvemsades Que € arr ene esas

(ans deiexder

j=-200-—4-— 200 —=4-- 200-4

pre pra |
Prob 3.10

341 Da Tab. A8, seleciona uma antonia de af, adronizada, com abs kual, par sports a ca.
representada a gu, de mel que a defend o exceda 1, mm,

ges

ATT

116 / ELEMENTOS DE MÁQUINA.

212 Selecionar úma bir redonda de ago para soporta à carga mostada a gu, de maser que
det máxima nto ulrapuse 040 men.

ee

Probl 3.12

‘Uma mola de org, como morta a pare eda figum, pars fn e andl, pode ser atıda como uma
vgn em bang.
(a) Determina as cimenstes D e h de uma sio retangslr de ago, tal que ume orga F= 20N]

proue una dex de exatmente 75 mm Considerar 8 = 0,108
(0) À sentencia 30 excoumento do ago undo & de 400 MPa. Veer se «fore de 20N aca

Ders

‘A figura mostra uma mola de ago em blank, desc tenversl retangulr Determine as dimenser
da mola, de modo que tena uma constante elástica de 24,5 HN. Qual sed a tenso quando a de.
ende máxima fr de 65 mm?

— 0m
Pa o.
ZA

oe rob. 3.16

‘A gor $ 0 dono de uma estra, mostrando ma vin separando duns clan. A via € feta de
ois pri em C, montados conta com cost, epaafos 60 mm por melo de chapa curas de 6,0 rm
de espeor. Quatro camoneias so uses para segura ie de enconuo is colons, per melo de
Seber, parfupo ou soda. Perf start lo expeticade,etabelecendone sus males dimen

es untamente com o peso por undade de ompriment, Asim, a ga da como colina pest
TAI Nim (SOD. At diem © ropsedades de psa" que wo rgieniemente umdos cm

+ As dimenstes oa propiedades de pes estruturi padroizados de ago laminado podem st enc
tadas no AISC ste! comirueion manual, do American Toni of Steel Construction (ALSO), de Nowe

eue à
NR. Ver tler da ierraen de Volt Redonda (CSN)

[ANALISE DE DEFLEXOES / 117

roots mecinics esto Anden dende a Tab. AB até a Te. ALLL. Um exame da Tab. ALI, por

compl, indica qu peri mn C stand, de 2032 men (8 pa em aba de 64,19 mm (2,527 poh e

estas de 1237 men (0487 pa. Mete problema, use dus desis Vs par suportar uma

máquina cujo poo OU € P. A figura mostra que eve peso é rm da vigas em quatro ponton,

oi em cad viga. Determina:

(a) Os diagramas de esfero cortante de momento flot da vias.

(0) 0 pao P que pode ser suport plas dus sg. permitinde uma tenio de Mendo máxima de
HW:

(0 A éco máxima eus pr ee po

—— nl

‘lungs 406,4 me x 729. Nim
f A 16 50) unse:

Teaax 200% 283 mm 7

34x 34% po

Simbooai
io} Hew

€203,2m x 773.8 NI L Cantonsre
icex 1878) € Peat

com mpratorde ¡|
Gen pe) Ly,
con 44

Ses 3.6

A6 A figura morra 6 deenho de uma fvore de tranumisto seu digrama de curepamento. Os mancalt
Ae Do soto ajotáves: determinara dixo máxima

Homann

|
Vanesa arca

Sam

118 / ELEMENTOS OF MÁQUINA.

347 Determinar dex minima da änore que Wnt ur. O material ao,

Par |

¡son | pron

LE
Fous

Seçües 3.7239

2:48. Deteminar a dflenso máxima do balanjo que 1 vé ra figura, usando o teorema de Castine.

Prob. 3.18

219 Na figura, a) € 0 den de uma deere (9) ses degrama de caegamento, Determina 0 ¿metro
{de mode que doc minima no exceda 0,25 mm. O muera uma a de ao com mao de
lcd de 207% 10° MPa, Uns tores de Castine,

13.20. Deteminas a delete no pono de aplcacio da frz F para balango da gus ea delete da
Esvemidado Bv, Us o terema de aile

Fer

pod, 320

sa

ANALISE DE DEFLEXOES / 119

A estrutr mostrada na fura compos de ts cantoeias e alumíno,vokdadas nos ponts Be Ce
montados em uma estrtaa de apo ns penton e D, Ox momentos de india em relacio sos eier
(be fendo 5 Lap = ep = 1123 UO)" mme e ag = $5.6 0) mar“ Determinar intensinde a
caga em AN, de modo que adele máxima de BC nfo sj maior que LS mm.

Pee

Tax

En rol 321

{figura monta uma etats em X no plano, que se constitu de duns peas decompriment 21
ét no mas cents, freno um ángulo # ente, Cada para te um momento de indi. AS
Sxtremländer A, 8 e D sf simplemente solados. Determinar a expreso pur a deñexto em ©

en orga

Probl 3.22

A pera em da figure tem uma exremldade À orld peto torque 7 a otr extremiade C simple
mente eplada pea sexo R. Os momentos de inci tangle polar lo, reetramente Fi ©
Tad, como a 6, arias a peras so d mesmo material. Ur 0 (rem de Carona par shar
discute angular da pega em A, no sentido do orqu sico.

—_

120 / ELEMENTOS OF MAGUINA

224 tando o teorema je Catllno, erenvolver uma expresso pr
pose que wv gua. e Co rudes em una pee fi,

325 Vee, na figura, um soporte de ag, cueado com a fora P= SKN. Uando o lsgrama de cagao
Lo opeesentado. mado de Casino, determinar a deeno máxima da extemidnd

it
og

‘Prob. 3.25 (6) Suporte () diam sports de delo

226 Vene, m gara, ume etutu em €, constitué d ts ger M. cr uma expre par a
ete es entotara no ponte de splcaie de em ino de.

Seghes 3.10 «3.12

3:27. Dedunt a formula parabólica pam uma colina eta de go esco a fo, ADNT 1035 (UNS 10350),
que tba ambas ss extemidadestouldas e jo panto de trginc etje caro em 0505.
Fazer pio Paz veau conne e ese pra alors até 200,

ANALISE DE DEFLEXOES / 121

2128. A tens de excoumento do a estado a fl, ABNT 1018 (UNS G10180) £ de 372 MPa. Une um
Tutor de spurang 3 para dela equa do plu par caga unica miel, usando forcule
puebölka para amb as extremidades articuladas O poto de tngéncia deve ocre 0,505,
Fazer um rio meinte 206 Fg 3.12 para cotes de lee menores ou Guns 200,

329 Uma cotns com ambas ax exremstades ot st de go, ABNT 1015 (UNS G10150),tanine
do a quete, com um eo anova regular de 10 ram 25 mm. Dernier o Sargento de
argento N para places com os puits comprimentos 85,175,400 600 mm

Tem w uma cola de go, ABNT 1010 (UNS GIOIOD) amine quete, coma oxuemidae fa
‘ew outs roads, de apforeunguar de 13 X 38 mm Uses contant ei da condo de esto
nba par determinar o caregumento de ambar par s wpulnte comprime de cola: 150,
600 1 200 mn.

Determinar à cumpa de compuesto admbaiel para a cantonein de a estar de dientes
10156 101% 127 mm GX 4x 1/20) e Comprimemo de 1 00 mm None co, split a
Et 642,

1332. Un pil de Ele com uma extremado fx our lve Cove ser eto de uma ia amino. À
Ara & seso rta Gear er de 600 mm e 0 par deve ter um comprimento de 2 m. Determina
capa de Mimbazem paa as ets forma:

(a) Uma ber recodo macia.

(0) Um tbo edondo com SO mm de diimeto extern.
(© Um tubo quadado e 0 mm de ado

(0 Uma rra quad macia

233 Un mb de ago que tem putos e $ mm de espera deve soporte um cumepumento aia de 16AN.
Terk as extremidades aldo er de ag ride afi, ABNT 1038 {UNSC 10350), Usar op
fio do Prob 327 € um ft de spurge 4 para deteminar o devo externo par or mpuiner
comprinentos: 75,375 1 125 mum. Dar os estados arrdondados par os mai puöcimos málpos
des
Derese projtar um tubo de a que tea puedes de $ mm de epéaa € que posa aporta uma.
ar aa de 15 AN. O pla eve tr bar a extremidades aruildas e sr de eg estado 0
ANT 1018 (UNS G10180). Vir o gráfico do Probl 3.2 par determina um émet eer sore.
iso, com aproxima de 2,5 mm, paras sete comprmentos: 0,400 e 1 000

A fu mostra um cindro hidrdabeo, que open à ums pesto de 26 MPa e tom um diimeto
lotemo de 75 mm. Quand se conilera o oa, que € vo ma gua, a haste de piso $ dimenio-
ada, unidos mig como comprimento de plat € à aida paa Consame ds condi de ete
mide. Determine os dlimeos dadequrdos ds hate do pito, brand um a de ml tor de
bone, tendo uma reine so escormento S = 500 MER € um ato de seña, para compl
ments 9 pla de 2 400, 1 200 600 mm.

336 A bare 04 © AB da gus io de ao, ABNT 1010 (UNS G10100),ambnado a guente em serie
feta meio 25 mm X $ mm, como mosis gts Com bse rot valores recomendados pur scope.
tantes referees Is coniges de extemiedes, que pero P pode ocstanar uma ahs por ombagem?

CONSIDERAÇOES ESTATISTICAS NO PROJETO

4.1 — PERMUTACÓES, ARRANJOS E COMBINAGOES*

‘Ao estudar a probabilidade de que um detecminado conjunto de uma máquina sje um
sucesso cu uma flha, deve, primeir, aprender a contar, ito €, devese ser capaz de contar
fo número de maneiras que pode ocorer sucesso e o número de maneiras que pode ocorcer
faha. Quando estes contagens podem ser comparadas uma à outra, € possísel obterse uma]
configurasio que indique a probubilidade de sucesso. Em um grupo de dez parafusos e de
poreas, por exemplo, pode ser que se obtenha uma unito defeituos, quando se atrracha deter
minado parafuso em determinada porcs, Entfo, para se calcular a probabiidade de sucesso,
deve-se ser eapez de contar o número de modos com que dez parafusos poder ser starzachados}
à dez pres

‘A permutapio referee à ordem ou à disposipgo dos elementos. As permutagoes de tés
letras ABC so

ABC AG BAC BA CAB CA

Em alguns ramos da Engenharia, o que interesa encontrar as permutegdes particulars.
Isso ocorre na síntese cinemática, por exemplo, quando se pode estar interessado em observar
todas as diferentes manciras de se arranjarem quatıo pegas para formar um mecanismo de
quatro barat. Em outros estudos de Engenharia, € mais importante o mümero de pemutagöes|
do que os detalhes de cada uma. Assim, ¿ necessáio um modo sistemático de contas

‘Suponha-se que te deeje achar todas as permutagóes de m objetos. Hi n escoltas parao
primero objeto; depois dese, há n — 1 escoltas para o segundo, n —2 para o tercivo, asin]
por diante, Entio, o número de permutagdes é

PO) =D ms, en

onde P(n) significa o número de permutagoes de n objetos tomados de uma só vez. Assim, 0
número de permutagdes das tris letras A, Be Cé

26)
+ Nid R. O original nfo far distingo entre Permutas € Aj». Asin. ocre o fat de e te

ara permutagdo de m objeto. tomados am, lo 6, Pina). Na trdosdo despues fato por Asta,
{sto À (mm). A permutas será empre dm eos tomados todos de una 6 ve, st PO,

124 / ELEMENTOS DE MAQUINA

Algumas vezes, ecesstase atrinjar m objetos, de cada vez. Assim, tomando-e as trés
ja em pares teme |

ABŸ AC BA COA,
obtendose o arranjo de ts objetos tomados dois de cada vez ou dois a dols, Nofese que a
primera letra pode ser escolhida de qualquer um de trés modos diferentes; depo dist, a
segunda letra pode ser escolhide de um de dois modos diferentes, EntZo,o número de aranjos
de tts objetos tomados dis dois 6 :
AG,2) = 3-2 =6.

‘Suponha.se que se quelra encontrar o número de arranjos de oo objetos tomados tré de
coda vez. O primeiro objeto pode ser selecionado de to modos iferentes;o segundo, de ste |
modos diferentes o tercero, de seis. Entdo,

ABI = 8:76.
Do modo semelhante,
A(10,4) = 10-987 A(14,3) = 148613 12
AD = 40302 AGA) = 4036201
Uma inspego mostra que hi fatores no produto; portanto, podese escever, em geral,
Alan = nn )(0-2)... 2-14 0). (42)

Uma forma mals conveniente, entretanto, resulta da multilicasto do numerador e do
denominador por (n —7)!, o que dé a

Aer as)

Defiindose 0! = 1,2 Eq. (43) se reduz (4.1), parar =n,
Certumente, para valores grandes den, €teabalhoso cálculo de ni. Em tas casos, devese

usar a aproximagdo de Stiling, que pode ser assim scrt:
motera, a)

onde o símbolo = significa assintbtlco a, e onde e = 2,718 ..., a base de logaritmos naturals
Esta aproximagto tornase melhor, quanto maior for n. Assim, o erro é de L por cento para
n= 10e de 0,1 por cent para n = 100.

Frequentemente, 05 objetos a sexem ordenados où arranjados na andlise de Engenharia
ndo slo todos diferentes. Podese ter um grupo de n objetos dos quais p deless3o Igual. Se

+ Ver-BOAS, Mary Le Mathematical methods In the physical sciences. Nowa Jorque, John Wey &
Sons Inc, 1966, p.408.

CCONSIDERACOES ESTATISTICAS NO PROWETO / 128]

forem permutados usando-s todos de cada vez, algumat das permutagdes seo as mesmas
porque ndo se pode distinglr entre os p's Se se permutarem os p objetos ente si, verifica
que há P(p)=p! permutagdes possíves, se eles pudessem ser identificados, Desde que el

to possam ser identiflcados, o número de permutagdes dem objetos, dos quae p so igus

Esta fórmula € prontamente estendida a grupamentos complexos. Por exemplo, uma}
colegdo de m objetos pode conter um grupo de p objetos que lo igualse um outro grupo de q
objetos iguais. O número de permutagbes €

= @s)
Pat

Nos estudos de Engenharia Mecánica, frequentemente encontta-se.o problema de colocar
objetos em uma eitcunferéaca, ao invés de em lina reta; a disposigo de parafusos em uma
cabega cilíndrica circular € um exemplo. Em tal siwag3o, dois arranjs serio iguas, se um]
deles puder ser obtido por rotagto do outro. Para este problema contam.se as permutagden,|
colocandose o primeiro objeto em qualquer Jugar, Entäo, of objetos restantes podem ser
permutados de (n — 1)! modos. Asim, o número de permutapdes em ums circunferencia de m
objetos, &

PO) = 0-1) en

E especialmente importante lembrar que a permutas se refore à ordem. Assim, a dispo-
Silo ABC diferente da CAB.

‘Agora, define se a palavra combinapdo como um grupo de objetos tomados sem qualquer
Preocupagdo com a ordem. Assim, ABC € a mesma combinag£o que CAB ou BCA. Entio, o
próximo problema € aprender como contar o número de combinagdes de n objetos tomadosr
de cada vez. A expressio Cn, r) será usada para significar o número de combinagdes de n
objetos tomados de cada ve.

Considerese qualquer combinagso com trs letras a partir de quatro letras ABCD, como
por exemplo a combinapäo ABC. As permutagdes de ABC sio ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ©
(CBA; sim, P(3) = 31e, para cada combinago com r objets, há! pormutagóes. Entf, paran
combinagoes de r objetos, deve haver r! C{n, r) permuta 0 € 0 mesmo número de
arranjos den objetos tomodosr de cada ve; portanto,

CGT = Aur)

Cn = AOD + at as

Fear

E interessante saber que o número de combinagdes de n objetos, tomados yde cada vez, €
{gual ao número de combinazOes de n objetos, tomados mr de cada vez, Assim,

Cr) = Cun-n).

125 / ELEMENTOS DE MAQUINA

Pode-e facilmente provar iss, substtuindose a Eq. (4:8) em ambos os lados de (4.9). Os
cálculos so, de vezes, grandementesimplificedos, usando-se est ela.

42 ~ PROBABILIDADE SL

A probobilidade matemática, ou chance, & um número situado entre O e 1 que mede a
possibildude de que deteminado evento acontega. A probabilidade O € dada a um evento, se
for impossivel sua ocorréncia. Se houver certeza de ocorrer o evento, a probabiidade será 1. Se
houver chance igual de ocorrer ou nfo, probabilidad ser de }

‘Como corre com multos conecitos usados em Engenharia, nfo há uma deiniplo mate:
mática sigorosa de probabilidade. Como engenheiros, aeltamos o fat, porque isto nos fornece
um melo de obter sespostas para problemas de Engenharia que no podem ser obtidas de
enhum outro modo. Assim, definese probabilidade numérica como um múmero p, entre € 1,
que indica a chance de um particular evento E ocorrer, dado que ele pode ocorrer de f modos
entre n modos igualmente provdreis. Nesta definizäo, as palavras probabilidade e chance e à
expresso igualmente prondvelsignficam quose a mesma coisa, e, muitas vezes, nós nos encon-
tramos argülndo a 165 mesmos em tomo de um efreulo. Contudo, quando dizemos que hd uma
chance de 50 por cento de chover hoje, estamos usando o conceito de probabilidade. No €
(fi, portanto, aceitera probublidade como um conesito inultivo. Assim, para definigéo
dada, podese escrever

mL. PM

‘onde p é probabilidnde de o evento ocorer.

SSeponhe-se que uma moeda seja langada m= 10 vezes € que se obtenha f=4 caras.
Entäo, usandose a Eq, (4.10) para este experimento, conclulse que a probabiidade de dar
ar

4
p= Plan) = 4

Mas sabese intuitivamente que, se a moeds for langada um número de vezes multo gran
de, sirio caras cerca de metade das vezes, Asim, uma definido melhor de probablidade €

peu “in

E também conveniente deszrevera probable de um evento nfo ocorer. e o evento €
E, entio À € chamado NAO E, e probabllidade de E nfo acontecer ser assim escrita:

a= PD =1-P0) Ce]

EXEMPLO A.

Subonha que um comerciante mur 2 impair eléties quemadas com ses estoque de 98 mpadas
qua És probable de vce compra uma limpada queimads? Eumalimpata nova?

CONSIDERAGOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO / 127

‘Soup. Chamose de E 0 evento de x bter uma imputa queimada,Pode acontecer de/= 2 modos
em n 100 modos igualmente prortes. A probable p &

ES
A poste de nas ober uma pa quen € PD: M = 98 mocosem n= 100 pont
rss
L A
see ba
Notes que p + 2 o que inden à et de que compre uma limp, ek nora
pre

‘Ao estudor probabllidade, também € neceséco desenvolver a Kia de expapo amostral |
isto é, um mapa, conjunto ou coleç£o de tados os resultados possíveis, Suponhase que haa
quatro mancals A, B, € e D. que serio montados a0 acaso nos eixes a, b, € ed, O espago amor |
tral 5, representado na Fig. 4.1, indica que existem 16 resultados posívis designados por ad,
88, oC ete. Cada resultado € chamado de um ponto omostral Se os resultados o igualmente
Provävels, um peso wy =, pode ser associudo a cada ponto: note-se que uy deve ver uns ter
positivo, Ent, para qualquer espago amostral,

(4.13)

METIA
La à

FeAl Oespago amont S € conjunto de todos Fi. 4.2 Oevento FE um sbsonjunto de.

Evento E € qualquer subconjunto do espago amostral. Assim, na Fig. 42, o evento em
que A, 8, Ce D serio montados aos eixos a, b, e e d, nesta ondem, € representado como um
subespago do espago amostral, O evento £ consiste de quatro resultados. A probabilidade de
E fi où À , uma vez que consiste de 4 resultados. A probabilidad de um evento E, portan
10,2 om dos pesos dos portosamostrais em £, Pode-se também escrever

(19

onde n(E) e n(S) sto 0 mümero de pontosamostrls em Ec $, respectivamente

A expresslo mutuamente exclusivos € usada em estudos de probabilidade, quando virios
eventos est sob estudo, Dols ou mais eventos sto dios seem mutuamente exclusivos, quend
3 ocorréncia de qualquer um doles impedo a ocorténcia dos outro. Por cxemplo, a ocori

128 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

do evento 24 na Fig. 4.1 impede a ocorréncia de a aC, aD, DA, cA e da. Entäo, dize que ad

+ cA sio mutuamente exclusivos,

43 — TEOREMAS DE PROBABILIDADE

Ao estudarse probabllidade, freqientemente € conveniente Imaginar que um evento
consiste de véros eventos mas simple. Na seso precedente, estudow:se 0 problema de montar
os mancals A, B, Ce D nos eixos a,b, € ed. O eventoad, de casar o eixo a como mancal A, €
constituido de 2 eventos: obter o exo a entre os eixos a, b, e e de obter © mancal A entre os
mancals A, 8, Ce D. Assim, podese considerar , b,c e d como o espago amostal para o
primero evento, obter um eixo, e considerar A, 8, Ce D como o espago amostal para o segun-
do evento, obter um mancal. Para alguns problemas, os espagos amostrls podem se tornar Io
grandes, que & impossivel tratáos como fol visto acima; entlo, € conveniente desenvolver
lus teoremas poa resolver estas stuagoes.

Diz-se que um evento é evento composto, Eı Es, quando P(E, Es) signifique a probabi-
lidade de que ambos, Ei e Es, ocomesio. É vil asociar a palavr E i operagio P(E; Ey)

Seja também Es + Es associado à palavra OU de modo que P(E: +E;) signifique a
probabilidade de que E, ou Es ou ambos ocorram.

Retomando ao problema eixo-mancal suponha-se que um trabalhador escolha um eixo e
‘um mancal simultaneamente. Seja o evento 1, pegar um elxo a, € 0 evento Es, pegar um
maneal À ou um mancal B. Entdo, o problema pode ser mapeado como mostra a Fig. 4.3.
Contando os pesos, vése que P(Es) = Hye P(Es) = #. Entretanto, há somente dois pontos em
Ey Eszassim, PIE, By as, E, + Es sgriica Ey ou Ea ou ambos, e contamse 10 pontos;
portanto, P(E, + £2) = Isto conduz ao estabelecimento do teoreninda adlpäo, que € usim

PEs +B) = PE) + PCE) - PEL Es) (415)

Observase que P(E; Es) deve ser subido, porque está incluído uma vez em Es e nora»

mente em Es
Se nio hd pontos em Eı Er, entio, P(E; Es) =0, os eventos simples E, e Ez sio mutun-

mente exclusivos ea Eq. (4.15) se reduz a

Ps +E) = PAE) + PE) (4.19)

CONSIDERAGOES ESTATISTICAS NO PROJETO / 125

Para tés eventos, a Eg. (4.15) tomase
PE +B, + En) = PEs) + PE) + PIE) PEE)
PEs Es) ~ PE, Es) + PEs ES Es), 7)

Para mais de ts eventos, a relagto € mals extensa. Entretanto, para { eventos mutua-
mente exclusivos, o teorema de adigto €

PO + By + E5+ HE) = PE) +PE)+ PE) +... + PE). (438)

Definese probablidade condicional P(E | Ey) para significar probabilidade de E, ado]
Eu M tr ocorrido. Agora, refeindose novamente À Fig 4.3, ve que, se Ei já ocorreu, ent,
12 pontos foram eliminados e o novo espago amostal contém somente os quatro pontos af
28, aC e aD. Es agora contém só os dois pontos a4 e aB. Consequentemente, P(E, |
‘Também se pode ober este resultado, usando-e os pesos originals. Assim,

PEED = À = à
DEE:

ou, de modo mas geral,

rer) = TEED. Gas)

A EQ.(4.19) £ chamada teorema da multiplicapio, que também pode ser assim escrito:

Ps Es) = PEs) PEs VE). (420)

Para eventos, a Eg. (4.20) 6
PES Ey Es £0) = PE) PEs TED PES LE EN). PENE: Bs Es Brood (421)

Pode ser que o evento Es nfo tenha efeito sobre a probabilidade de E, ocorrer ou nfo,
Neste caso, os eventos Es Es sfo Independentes e a Eq. (8.21) se toma

PELELES...ED = PCE) PEs) P(E). PD. (622)

Por exemplo, o evento Eı escolher um eixo ¢ independente do evento Es escolher um
mana

Aplicando a probablldade 20 projet, frequentemente, temse que tatar com coisas que
parecem idénticas, mas nfo io. As diferengas podem no ser evidentes, até que os componentes
sejam submetidos a uma inspegZo minucioso. Assim, duss barras de ago estiradas a fr, com.
(üimetro nominal de 25 mm, quando inspeclonados, podem apresentar diámatros de 25,010 €
25,085 mm, respectivamente. Uma quanlidade de bicis pode conte algumas com uma tensio
de escoamenio de, por exemplo, $80 MPa o outras com G10 MPa, Também se pensa que o
desempeno com Sucesso de um elemento em um sistems algumas vezes depende do sucesso de
outros. Poderserum usar eleinentos de mdquinas particulares nos exemplo e problemas quese

120 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

“eguem, mas o raciocino fard mals caro se se empregarerrepresentagóes abstrtas. Asim,
sexo usadas as letras do alfabeto À, 8, Cete. para representar objetos como mancal, perafusos,
xs, rebits e semelhantes.

EXEMPLO 42

Um embarque de 48 tens, totalmente misturados, Consiste de 6 unitdes do tipo A, 12 do po 3, 18
do tipo Ce 12 do tipo D.

(@) Se um item for sleclonado, qual é a probabüitade de sr do tipo À ou do 8? Nem do tipo B
mor

10) Um item & seecionado, seniicao e eu reporto, um oso tem seecionado, Determinar a
probublidade de que sjam ambos do tipo 8; de que 0 pri ja e segundo, A; e que
nm dle sj Cda que um nin. & ero 8; Je que o segundo wi.

(0 Resoher o tam (b.comirando que o tem slconado nfo sj poro,

Sol. (a) Desde que somente um éslecionado, 0 evento A excl 8 € 0 evento B excal4 Por

6
rar er GB Rep
nem D signiicam NAO 8 e NAO D e excrevese BD. Desde que o conjunto contám somente

A,B, CeD, BD igen À + C.Porunte,

PD) = ru +0 = PPO = À Rep.

porque À e Cao mutuament exclues (hi uma Única caco). Uma out abondagem semer
265) - Pa) PBIB, o

Notese que B=A + C + D, emquant que D = À +B +C. Desde que ni somente uma escola, DE
dependent eB. Portnto a (D,

van = 26 (2.38) Rem

(0) Aqui, designamce a escoltas usado os Indie 162, respectivamente Como à prinei ea €

posa a cacohan fo independents, «ent

roya) E 1
20,8) = rar = E Rep.

20,45 = Para = E

2
D
Em seguida, smo os eventos suceso o independents,

PES PE) APC)

‘CONSIDERACOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO / 131

5.8.3

Bayern = E Rep

A probable de que um sla A 0 our B dan esta: PLA, B, + 3, 4), que sein que o
primer um À eo segundo, um B, ou que primeto um eo segundo € A} Desenrevendo, teme

PUB, 4 B,A) = PUDO) +PUDFUD = À

Notese qus A, By erhal poblado de By À, e viceer, to 6, 250 matuanenteexcisiox,
Como a presi eco & reposa, nfo pode fear a obtengo de D no mgundo item skciondo
Portanto,

12

weht

Rep

(0 Agu, o primiz Hem tlelonado ao é repoto e, ent, segundo evento € dependent do]
primeic,Porano,

2.1.

20,89 = rare 1B) = Bek

Rep.

12
Paya) = r@pra, la) = Le

CO evento, E, segue a mesma sordagem Anim,

RD = rer ley = 8-2 a

Obter um À E um 8 spa aber um À na primer escolta E um B an sun, OU obter 2 ma
primi cocoa E na vepaods Porno,

PUB, +B Ad = PUP, AD + PU PU IB)

2 Rep

Notes que A, By 8, A, sio mutuamenteexcusos,

Finalmente, probebilidade de que a panda eo sj D &« probablidde de D, D, OU D, Da.
Avie,

PO) = PO,D) + PB, D,) = PDP, 1D) +P Bye, 1B.

none 1 ES
Sa d'a ms is

Notese que a probabligade de D ma epunda escol € a merma que a de D a primer, mesmo que
um hem ten sido retirado, Podese entender to, notado: que, se todos otters ome rado, exe
m. sem stem deníficados, oie tea a mesma probado de ver um D quanto tra prime,

132 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

44 — VARIÄVEIS ALEATÓRIAS

Considerese und colegio de 20 corpo de prova par ensio de tao, preparados de um
mesmo nimero de amostrs selecionados ao ao de um carepmento de, por exemplo, ago
Estado a fo ABNT 1020 (UNS G10200).É rezoiel esperar que haja desen nas tenses de
ruptura S e cad um dese corpos de prova, Tis diferengas podem ocore por caus de die
Tengas no tamanbo dos copos Ge prov, a seite do próprio material où por ambas 25
Causes Um ensio, como ese $ chamado ense ali, porque os compos de prov fram
Sehevonados aleatoriamente. A restóncia S determined por este ensso € chamadade var!
Siesta on extocdtca Entio uma varie letörh € uma quantidade vacia, como atest
G temanho ou 0 pes, por cxemplo, jos valores dependem do resledo deumensaioalenório

Bora extendere oncsito de varie lest uporhase que dis dads seju langados e
que se defina vate lata x como a soma ds números que apaesem. Cada dado pode
mostrar qualquer nme de 1a 6; eno, hi 36 pontos no espazo amostal Designee stes
ponts pla notas ab, onde a € 0 nómero que aparece no primelo dado e 3. 0 número que
Free no segundo. Endo, a Fig. 4 € o epago montra) par odos os resultados postive
ut igure mostra que viel leatia x tem um valo espcíio para cada resultado post
fel Par event 3.4, = 5 44 =9. Os valores dex, par Cada um dos cents restantes, 30
Computados de mesma mania. É dt formar uma abla mostrando os valores dex 0 valores
Comepondenes da probublsde de x, amada p = (2). Io € feito aciment a pate da
Fig, 4, uma vez que hi 36 ponts, tendo cada resultado um peso = 2. Os resultados esto
imasrado nu Tab 41. Qualqer Bbca como exe, tando todo 6 valores postes de uma
tel feta junto com as probabilidades corspondentes, € chamada uma mu de
probable

Notes, na Fig. 4.5, que as probablidades podem ser representadas na forma gráfica.
‘Aqui é claro que a probabilidade 6 uma fungáo de x. Esta fumpo de probabildade p = f(x) €
Trendentemente chamada de fungáo de freqúéncia ou, algumas vezes, de densidade de probabi-
Hide,

‘As vezes, no se está 130 interesado na probabilidade de um valor particular dex, quanto
se está na probabilidade de que x seja menor do que algum valor particular. Por exemplo, se a
yarlvel alestórs € a resisténci de um elemento de mäguins, poderse ficar particularmente
interessado em saber a probubiidade da resisténia ser menor do que algum valor particular,

CCONSIDERAGOES ESTATISTICASNOPROSETO / 123

He Bhs Ele gle Ble le

EEES

Fig. 4.5. Disiboigo de Goqbnci

‘como por exemplo o valor de projeto. A probablidade de que x seja menor ou Iguala um certo
Valor xy pode ser obtida da fungäo p =/(2), simplesmente somando-s as probabilidades de
Todos os x at€ xp inclusive. Se se fier iso com a Tab. 41, considerando x; Igual a 2, depois
{gual a 3 6 assim por dante, até 12, bterseda a Tab. 4.2, que € chemada disribulado de probe
Bildede acumulado. A fungi F(+). na Tab. 4.2, € chamads fungdo de probabilidade acum
ld Em termos de f(x), el pode ser express matematicamente na forma geral

FGD = „2, fo) (423)

onde F(x) & chamäda de funpio de dismibulpto. A disibuigfo acumulada pode também ser
representada em um gráfico (Fig. 46).

TABELA 4 Uma Disubuigo de Pobabiidade

g E > o
TERERZEZEZER:

TABELA 42 Una Disalgo de Probsbidade Acumulada

ZA 67 8 9 wo

No exemplo dos dois dados, a varivel x € chamada de ariel alatöri discreta, porque
56 pode admitir valores discretos. Em muitos casos, entrctato, devese empresa ia de wal
varivelsleatéria contin y alestória contínua € aquela que pode tomar qualquer
‘lor em um intervalo específico. Em um tal caso, os grficos comespondentes ds Figs. 4.5 ¢ 4.6
Srlam construídos como curvas continus.

124 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

oa)

| | |

AI TOTO

6.46 Disiuigo de freqUánca acumula.

45 — AMOSTRA EPOPULAGAO

INo estudo das varlagdes as propriedades e características mecánicas dos elementos mecá-
lcos, em geral, se rata com um número finito de elementos. O número total de elementos,
chamado populapfo, pode, em alguns cass, ser bastante grande. Em tas casos, € usualmente
impraticável medir as ceraterítcas de cada membro da populagdo, porque isto envolve testes
destiutvos em alguns casos: ento, selecionase uma pequena parte do grupo, chamada amostra,
para estas determinagöes. Assim, à populapdo € o grupo inteiro e a amostra é uma parte da
populagáo.

A média aritmética de uma amosta, chamada médi de amostra, consisindo de ele:
mentos, & definida pela equagío \

nite test.

29

= (420

De manckrasimlar, uma poleo condo de elementos tem uma méd da popu
Lap definida pel equi

ata tato.

7 «29

m

A moda © a mediana também sio usadas como medidas do valor central, A moda 60 valor
que ocorre com maior frequéncia. A mediana € o valor situado no meio, e há um número.
Ampar de casos; € média dos dois valores do melo, se há um número par.

Suponha-e agora que se conduza um ensalo para determinar a reisténcia 4 tragfo do
ferro fundido cinzento® classe 40. Funde-se um corpo de prova para ensalo de tragío de cada
uum dos 61 cadinhos, para obter a amastra.O primeiro problema € aprender como clasificar os
dados que resltam do ensio.

3 Ver "Tab. A20.0 fero fundido ASTM .9 40 tem uma resstnci ¿trago mínima de 276 ME

CONSIDERAGOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO / 135

Como 292,5 está igualmente afastado de 293,0 e de 292,0 como se aredondari, evita
dose eos acumulados de arredondamento? A tea € amedonder pare o tntero par mas
próximo. Assim, 292,5 € arsedondado para 292,0 e 293,5 € aredondado para 294,0.

O próximo problema £ dividir os dados em intervalos. Se as resistenca 4 trago dos 61
corpos de prova entaiados fiearem na faixa de 200 a 400 MPa, poderia haver a tendencia de]
contar o número de corpos de prova que falharam no intervalo de 200 a 250 MPa, de 250 a
300 MPa etc. Mas, se um corpo de prova ver falhado a 250 MPa, surgra a questo de como ele
sera assinlado, Define se, portato, intenalo de esse sem ambigtidade, como 200-240 MPa,
241.280 MPa ete. Os valores 200 240 MPa so chamados limites da clase, mas 28 fronteras da
classe slo, realmente, 200,5, 240,5, 280,5 ete. Note se que aqui ndo há amiguidade, por causa
da regra de artedondamento. Assim, 200,5 seria arredondado para 200 e 240,5 seria arredon-
dado para 240,

A diferenga entre as fionteiras superior e inferior & chamada amplitude de clase; nest|
exemplo, a amplitude € de 40 MPa,

"Usando estas idéis, a Tab. 4.3 mostra os dados clasificados Urados de um ensaio real. A
freqténcla & o número de observagtes em cada intervalo de clase. A Jreqúénciarelariva € à
frequéncia dividida pelo número total de observaçGes

TABELASS

“vera de Come 77 Pannes Relative
ry

20020
241280
381-320
361400

To

Etes dados podem ser dispostos grafcamente para llustrar a distrbuiclo, como na
Fig. 4.7. Este gráfico € chamado histograma. Note se que os lados verticals dos retangules sto as
fronteiras das clases e suas alturas correspondem à fregiénci. O identificador de classe ou
onto médio da classe está no centro do intervalo de classe, O polígono de Jreqúéncia € obtido,
conectando se estes pontos com lnhas reta.

‘Uma vez que os dados tenbam sido clasificados, podese usar um método mas rápido de
calcular o valor mééio. Como se está tratando com resstänehs, designase o ponto médio dos
interalos de clase por S, = 220 MPa, S, = 260 MPa etc, Entio, usandose fi, fa ete. como
freqUéncias, a média €

(426)

ETE

onde k £ o número de Intervalos, Resolvese entZo esta equacto na forma tabular, como €
mostrado na Tab. 44, dandose a média da amostra (S= 300 MPa)

138 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

al
|

25
i

rN

EEE EEE]

esininca 3 Trio: MPA

Flg.47. Histograma de 61 testes de trago do feo fund encanto 1.940.

TABELA 44 Ciculo dx Média da Amostra de 61 Ensios de Trio do Feo
Fandido Cnzento N2 40

Ponte Nadi do » Faure
Inert 5) w =
5-20 1 220
S= 20 3 180
cer a 8100
per] a 740
5230 s 1300

E a m

ge TU _ 19180

+ 2480. „sau.

Além da mél, € útil terse uma outra espécie de medida que informe algo sobre a dis
persfo da ditibulgto. Para qualquer variávl aletória x, o desvio da Hain observagfo da
média é xy — 7. Mas, como a soma destes desvis € sempre Zero, ele io elevados o quadrado e
a variéncia de amostra € definida como

1
26-2
ARA

AIN Hey =F Ce

‘CONSIDERACOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO / 137

O desviopadrdo da amostra, definido como a riz quadrada da vaiáncia, €

Fly

Devese observa que alguns autores definem a vaííncia € o dio paárto usando N, 20
mes de N - 1, no denominador, Para valores grandes de N, há muito pouca diferenga. Para
valores pequenos, o denominador N — 1 realmente dé uma melhor estimativa da variéncia da
populagúo da qual a amostr é trado,

‘Algumas vezes, devese lidar com o desvio padrio a resistencia de um elemento. Devese
tomar cuidado para nfo confundir a notagfo. Notese que está sendo usada a letra maidscula 5
para resisténcia ea letra minisculas para desvio padro.

‘A forma mais conveniente da Eg. (4.27), para dados agrupados, 6

q Std?
Biel - EP

| F

onde o somatérl é realizado em todos os Intervalos

O uso da Eq. (4.29) € iustrado na Tab. 4.5 para o ensalo com ferro fundido einzento
n°40

Em Engenharia, uma populagfo inteca raramente esté dlspontvel para experimentaçio,
uma vez que isto freqlentemente envolve ensalo destrutivo, Entretanto, € conveniente terse

TABELA4S Cálculo da Varna edo Deno Pato para 61 Corpo: de Ens
de Trio do Feno Fundido Cnzent 8240

EJ si 3

260 180 45 20
m 7 $100 2430 000
Fr Tu 2427 600
30 1500 722000

Tora 118 6101 20,
E

Ens? $101 200- 12100"
= 1175086",

> Pr o deemolvinenta deta xls, ver DIXON, Wie . e MASSEY, Je, an J Jamoduetion
to static once 2.00 Nor laque, Moca il Don Company, 1957

138 / ELEMENTOS OE MAQUIVA

uma defialgto de vardncis de populegdo e desviopadrdo da populapto. Estes so definidos
como se segue

PO

«an

A prática de usar a letra grega 0 (sigma) para o desvio padeo € Internacional, em Estats.
ica Matemática. Mas esta letra também é largamente usada para representar a tenso normal,
‘como se viu no Cap. 2; asim, enftentase um stro problema de notagfo. A substitulgfo por
‘outro símbolo nio € satisfatória para a tensfo e nem para o desviopadro. Para resolver esta
Aificuldade, neste no, continua a usar aleta grega o para a tensio normal. Para repre»
sentar o deso, seré usada a mesma letra grega, mas com um acento ercunflexo 0. Com esta
otagio, o demio-padro da tensto normal sera assim escrito: a.

46 — ADISTRIBUIGAO NORMAL

‘Uma das mul Importantes entre as muta disbulgs que ocortem no estudo da Esta-
Linea £a ditribuipfo normal ou grussona, Mas s autores dere quanto d ze do uso da
pal “normal”. Dixon e Masey ao que ea € camada normal por aus da maneia.
article como a re sb à cu da istrbulgd € rand e o como o posto de anormal
Mas Wadsworth e Bryan afirmam que a palavra normal € vada por causa de tentativas tó
thas paaestabelece st distriuigo como uma li básica relata a todas as valves lstóias

A eguagio d curva normal é

ty = den
1 = Se .

onde f(x) € a fungdo de freqUéncia.* A dre total sob esta curve, dex
‘unidade quadrada. Portanto, a rea entre dois pontos quaisque, como por exemplo de x
x6, £4 proporglo de casos que fleam entre os dos panto.

‘Um gráfico de Eq. (4.32) produz uma curva em forma de sino, tendo ordenada ináxima
para x = ¡e decrescendo para zero, tanto para mals, como para menos infinito. Se 0 € pequeno,
curva Elta estreta;so Dé grande, a curva € baixa e larga; ver a Fig. 4.8

«DIXON € MASSEY. Op. ot. 4.
Y WADSWORTIL, core P. à BRYAN, Joseph Probe end rendom vera. Nova Logue,
McGrew Pook Campy. 1960p. 106
"aia uma dedeío desta fango, wee SPOTTS, M.F-Mechanel Design Analyt. Englewood Clit,
RL. Peni Hal In. 1964p. 26572.

'CONSIDERACOES ESTATISTICAS NO PROJETO / 120]

es

«

en o
Fig-48 Forma da dubai normale) pequeno; (D) & ande.
E dificil de se resolver a Bq. (4.32), para se ter as ordenadas; € também difícil a InterasZo |
de dress; por lso, € conveniente a0 engesheiro ter acesso aos resultados através de uma tabel.
Com este propósito a arte x fol express nas chamadas unidades pad, como

CE)

onde + € normalmente distribuida, com varlinda igual a 1 e médla zero. A Eq. (4.32) tomas,
entzo, uma disrtbulpfo normal unidria e ssim escrita

10 ne (434)

Où valores de f(2) e su integral está relacionados nat Tabs, À 13 e A.14. Uns poucos
exemplos servir para lustre © uso dessas tbela.

EXEMPLO 43

sn um exbare de 250 ie», a resitänl à ao médi fol ncotrde como sendo de 310 MPa,
com dewiopadeie de 35 MPa. Adm que as resinca tear sui norma,

(a) Quintas dn estaca menor que 272 MPa?
(9) Quanta im retén etre 2720414 MPa?

Solo. (e) Como a restinia de 271.5 MPa de um corpo de prova pode sr aedondada par 272,
verse realmente encontrar ner de bits com resstóncia menor que 27,5 Ms Em unidos pro
leads, sado à E (139), esse foram

na Sze ZO ,
ns 5

“Agora, à dés A esquerd de zm 1, 64 mesma da des stade À let de x= LL, pombe care
normal mática em lade mba Portnto,d Tab. A16, temas

A = 0500 03643 = 0.351.
As, 1,57 yo ento das Dela tm um estén menor que 272 MPa: eno,

= (260) (0.357 = 33.925:

140 / ELEMENTOS DEMAQUINA
suredondando, vera quevenite a probublldde de 34 bles tren resistencia menor que 272 MPa

(0) Como 13,5 MPa sera anedondadon pra 414 MP, vardelpadronizadecacespondente &

Sox, SO

tans = AE

= 4296,

Da Tab. ALA, eens que shen da 290 à = 296 6 A9 = 04985. E, da parte), 1 en de
zm0ar= 11641, = 01959. Porno,

A = 04985 403643 = 0.628,

que €» propongo de Bea que tim reténcin mue 272 414 MPa. Ent, a qusntidad de balas ness
asa

AS

uredondunde, pote esperas que 216 bes estejam na flea de 280 4420 MPa. Como 216 + 34 250,
Gone que day as ils tr probe de ter enn menor que 414 MP

EXEMPLO 44

{Un grupo de elos deve sr usizado pars um dinero d 2542 mm, com tlein de 2092 m.
Se se conan sina amos de 200 eins e uma media de 2542 mm. qual Gee se depto quiro para
sear que 36 por canto os los teto diene cé? Admite que o met team dt
iio noma

Soler. Como os sixos esto distlbaldos de acordo com a cum normal, € preso asegura que
somente 2 por sento dle nfo excetam 2543 mm, porque este var €amedondado par 2540 mm. À des
Sob à meine ostia da cura somal dew comeiponder 48 por seno, For interpola, enone, at
Tob. Ald, 2 2054, Da a (433), temee

2545 ~2542 = 20565

à = opismm,

47 — DISTRIBUIÇOES DE AMOSTRA

Suponha que voct tenha acabado de receber a primeira parida de 10 000 perefusos para
‘uma importante montagem e é sua taref aelta ou teeta eta partida, dependendo da confor:
midade com as especficaoes. Talvez esta especificas relacionem se &resisténcia; vocd entfo
decide thar uma amostra du gopulagfo de 100” realizar um ensao de dureza no

rafusos desa amostra, Quantos parafutor vo vostra, para ter, por exemplo.

‘CONSIDERACOES ESTATISTICAS NO PROJETO / 141

95 por cento de certeza de que os parafusos slo adequados? Nesta e nas pröximassegdes, sta e
‘utes questdesrelativa à amostragem erto explorada.

Com o propósito de investigar a amostragem de uma populagdo, imagine-se ums situs
620 consitindo de uma popı ente sis molas helicoidal, Para ess populygio, as
constantes da mola, em Nimm 510

Antes de comeyar a amostragen, calcula a média u e a varidocia 0? da populagde. Os
céleulos estlo mostrados na Tab. 4.6. Notese que a varncia € calculada usandose N, 0 invés
de N ~ 1, no denominador; isto vem de Eq. (4.30). A distibuigto de frequéncia esta popule-
fo, mostrada na Fig. 49, claramente, náo se assemelha a una distribuido normal

TABELA 46 Estaría de Popol pars Ses Mola Meco
x y a

3
5
2

Tou! El

3 41m,

Balen). 20
¥

[E

Flg.49 Disutuito de feqéncia de ums para de es els

142 / ELEMENTOS DEIMAQUINA

A partir deste ckemplo, vase stur alguna cola sobre amostragam. Prieto, eco
‘hese um tomando de amorr de das mois e enzo btémse todos as poses amont! eta
populgto, Par cada amost, calclmae a mödla da amos fe «tana a amosta 3
Feemitese que uma única mola sea celhita dus vezes numa amostr,nolandose que a
chance de duplcaco na amastrgem de uma popoagto gande 4 muito pequena. Con uns
popula pequena, é posstldigamar o ea amoral nero, que € menrdo na Fig
4.10. Nesta Aura, 3 constantes de mol so 0 mimers epaados po virus: méd as
mots esto nte parte as vais das aortas, ente clar

| a D mn e

EX EN] 37 37

ws si] us vs
56 [X]

w 2081] (85) 1 |
es [X ee re

us usos on 165 103)| (65) 1051
es cry 67 er

us ts] ss). (051 ss us)
x] 75 z 77

(65 [165 105)
ne 76

o ms ejes eses malo wm m

Fg. 410 Espago amore par todas as morra de tamano 2 de uma populagf de rs meta.

{Como foram usadas todas as amostras posívis de tamanho 2, os resultados mostrados na
lrg. 4.10 so, de fat, dus nora populagdes que fort deriradas da populagfo original de seis
Imola. Cada uma desss populgdes, ccrtamente, tem uma distbuigdo de fregUénia, uma
Imdäis e uma varinea. À Tab. 4.7 mostra a distribuiio das mar das amours junto com a
Imediz da populepo das médias amostras py, a variincia da populpto das médas amosais
Pi

Do mesmo modo, a Tab. 4.8 indica a irmbuigd des vorncas da emostra x} a mala
orespandente da populato desta varincias Nor ‘nfo haver um valor parier
para 0 tleulo du variänci de populagto de vr

CONSIDERAGOES ESTATISTICAS NO PROJETO / 143

ca da Populaglo pam a Distibulgio de Amortas das

36

= 2A 53mm

-2-lepr) . 21-000) . 11
= 7 % e

TABELA4S Exatitia de Popuaglo par Disibulfo de Amosmas ds
Vars

7 2:

10

Média d papas de sj

Antes de se tirar qualquer conclusto desss resultados, que agora esto completos, vale a
pena enfatizar que a Eq. (4.29) fol usada par calcular avarlinci da amostra2? € a vaiáncia da
populasdo 0”. Em particular, usase N — 1 no denominador, quando se quer clcular 4%, N,
quando se quer determinar 0%. Naturalmente, ao calcular $, N € o tamanho da amosta, e, 10
cómputo de 62, € 0 tamanho da popular,

Uma das conclues a ser observada € que + média y da populigfo dus sis molas 6 a
mesma que a méila up da populato da ist de astres das méds. Notes, também,

das Tabs, 4.6 e 4.7, que 0? = 4, enquanto que 0% = 12. Em outras palas, 07/03 =
tamanho N da amosta, Esta & ume rela gral e útil e pode sr assim excita

144 / ELEMENTOS DE MAQUINA

onde W 6 tamanho da amótc usada paa calculer a médl da amos. O sgificado dso,
om Of = 2, € que uma amasr de tamanho 2 tem uma cance mebor de ets próxima da
tread populgte do que uma deseo Ñ

Finn, poses not, ds Tabs 4.6 68, que a méie da die des} a
ene que à varie 8° da poplago de mote. Asim, usando N — 1 como divisor para à
ini da estr e paraa popula da vai, podese ler que an dus, “usuimente™
Su "na media so ua.

No exemplo presentado, o ita a apoio de que uma única mol pod ser duplicada
co ura amet Se s Clemens amont ao so eons, os rider obtdos vem sr
nodos. Sie as seque es ages prs par montage sm repo:

(39

(437)

‘onde N e Np 480 os tamanhos da amostra e da populagzo, respectivamente.

Dixon e Massey” mostram que a dstribuigto de amostra das médias de urla populaglo
será aproximadamente normal te 0 tamanho da amostra for grande ese a populagdo tier uma
vavitacia finita. Por outro lado, pode ser dispendloso obter um tamanho de amostra grande;
‘ent, esta restiglo pode causar alguma dificuldade, se a distribulgo de populagfo for desco-
Inheeids. Entretanto, e a populagSo for normal, adistribulgdo de amustras da média também
será normal. E, quando se estier tratando com aproximagdes, a distrbuigfo de amostrs da
média será mais normal do que a distribulgáo da populagäo. Podese observar isto, fazendoxe o
rico da dstibuigso de freqléncia das médias da amostra na Tab. 4.70 comparandose o
resultado com a dstibulggo de frequénca da populagfo na Fig 4.9. Faça iss,

48 — COMBINAÇOES DE POPULACÓES

Freqlentemente, surgem casos em projetos em que se deve fazer uma andlse estaística
do resultado da combinagto de duas ou mais populagées de uma manera específica. Por
exemplo, pode-se desjar extras uma populagdo de manivels de uma populagdo de máquinas,
As manivelas tém todas uma populagfo de resisténcas Si, e as máquinas sujitamnas a uma
populacdo de tenes oy. Por seguranga, as resistencias devem ser malores que 35 tensdes, mas,
como se tata de distribuisto, pode acontecer que algumas manivelas fiquem Sjetas à tensGes
malores do que suas ressténcias, Por so, vá interese em determinar a confiabilidade dessa
montagens.

Outro problema envolvendo várias populagóes ocorre na ajustagem de pegas, Podese
querer, por exemplo, especificar uma fabxa de diámetros de eos e uma outra faixa de tama
bos de mancas, de modo que os eos se ajustem 205 mancais com uma toleráncia de folga
especificada. Assim, tem se uma populagdo de didmetros de eixos e uma populagio de dime.
‘ros de mancais, das quais resulta uma populagdo de folgas. O problema poderi er especificar
as dimensöes dos cixos e dos mancals de modo que 99 por cento dos conjuntos tenham folgas
satistatóris.

* Op. ct, p.50

CONSIOERACOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO / 145

Um problema muito interessante que surge em projetos 6 a propagaräo dos eros decor.
rentes das folerincias, Suponhase que olto peas, tendo comprimentos médios Fs, Fs... ..Xa
e toleráncias de 2x4, 2x3,» 224, devam ser montadas consecutivamente, ficando a extrem!
dade de ume pega em contato com a da pega seguite, em um espago cujo comprimento médio
€ cuja tolerincia sio 3 e 2ÿ, respectivamente. Além disso, exige que estas pegs se encalxem
com uma folga E dentro de limites 2c. Qual € a probabilidade de se obter uma montagem sa
fatória, quando os elementos forem selecionados ao acaso de cada uma dus vias populages?

As médias de duas ou mals populagdes podem ser adicionadas ou subtradas, para se obter|
uma média resultante. Assim, adiclonando, temse

ti
e subtralndo, temse
(439)
conde, em cada caso, u & a média da dstribuigfo resultant.

Os desvlospadrto seguem o teorema de Pitágoras. Asim, o desviopadrio para a adigdo e
a subtragóo €

CENCETS 440)

43 — DIMENSIONAMENTO ~ DEFINIGOES*

Embora multas deisöes relativas 20 dimenslonamento-de pegas e conjuntos possim ser
tomadas de modo bastante satisfatório pelo delineador de projetos, o engenhelro deve estar
{famllirizado com prática e padrdes de dimensionamento, de modo a menter o controle do
projeto do qual é 6 responsivel reto. Além do mals, a folerincla de ajustagem de pegas e
conjuntos tem um efelto significative sobre o custo e a confiblidade do produto acabado;
portanto, lgumas declses nfo podem ser deixadas ao Julgamento de técicos

Gerslmente, os seguites termos so usados em dimensionsmento:

Dimensäo nominal. Dimensto usada 20 se fazer referéncia a um elemento. Por exemplo,
Pode-se espeeficar um parafuso de 10 mm ou um tubo de 30 mm. As duas dimensdes, a teórica
‘ou a medida, podem ser completamente diferentes. O parafuso pode, em tealidade, medir
9.32 mm e u dimensio teórica de um tubo-pad:fo de 30 mum ser 33,22 mm para o difmetro
exteme.

Dimenslo bäsica. Dimensto teórica exata. As variagdeslimite em ambos os sentidos parte da
dimenso básica

Cotaslimites, Dimensdes máxima e mínima permisiveis
“Mota do Revier. Sogerimos a letra da norma brad PNB-I6 — Sistemas de Tolrinias ©

Aiutes = que fest, em profundiade, ds toscas e uen de pga, pemmiindo mentgens desde
muito byes Los sé outagenopenedas cor pando interfere,

145 7 ELEMENTOS OF MÁQUINA

roles. Diferenga ente os dos limites

-Toterincia bilateral. Variagfo em ambas as direçGes da dimensfo bésic; assim, o tamaaho
básico fea entre os dois limites; por exemplo, 11,05 + 0,02 mm.

-solerincia undateral. A dimenslo básica € tomada como um dos limites e permite a vario.
em uma única reso; por exemple.

igs OO"
0,00

‘Tolertncia natural. Uma toleráncia Igual a mals e menos tés desvioe-padréo da média. Para
“ma distibuigZ0 normal, sto astegura que 99,73 por cento da produjo estf0 dentro dos imi
tes de tolránci.

Folge. Termo geral que se refere& sustagem de pegas, como uma logúetae um foro, ou um
mio e um mancal. A palavra folge € usada, normalmente, quando o membro interno €
Manor do que o elemento extemo. Fol diametro € a diferenga entre as medidas dos doit
Giämetros, Folg radial & 2 iferença entre os dts aies.

Interfertnin. O oposto de folge para a ajustasem de partes em que o elemento Intemo €
maior do que 0 extemo.

Tolerincia de funcionamento. Soma das tlerineis de fabieagfo de furo e exo ou a dife.
soga a folga múxima paraa folga minima.

4.10 ~ ANÁLISE ESTATISTICA DE TOLERANCIA

As vaiagóes nas dimensOes de pegas em um processo de produgfo podem ocorer pura-
mente por aceso, bem como por questöes específicas. Por exemplo, a temperatura de operapdo
de uma feramenta da máquina muda durante 2 partida e isto pode ter efcito nas dimenzdes das
pagas produridas durante os primeiros 30 minutos do tempo de operasto da máquina. Quando
Todat 55 usas de vaiaczo nas dimensöes das pegas tiverem sido eliminadas, dise que o pro-
nio de produgio está sob controle statistic. Nesas condisóes, toda as variagóes de dimen-
bes ocorrem 20 2630,

Problemas envolvendo tolerncies de pogas lines ajustadas ocortem frequentemente.
Se as duns pegas devem ser montadas com folga, o problema & descobrir a percentagem de
conjuntos rejltados devido a uma ajustagem muito apetada ou muito folgada, Um problema
Semelhante ocone quando as pegas devem ser montadas com intefeséncia. Os doi tipos de
‘problema podem se tratados por abordagensestatisticas ji desenvohides.

‘Outro problema que surge ao se dimensionar € Dustrao na Fig. 4.12, As pegas A © Berio
colocadas extremidade com extremidade, montadas em C.

"Uma das questdes que podem ser levantadas é: que percentage de conjuntos será prova
velmenjerejitada por causı da interferéncia? A solugSo consiste em somar populogáo de À
‘com a populaglo de B para obter a populagto rev X. Entio, os X e os C podem ser

‘CONSIDERACOES ESTATÍSTICAS NO PROJETO /

ry D

z 373

A
e ls ae h
i ne me ie in a

do mana que o supero ea oque o mecinco
obtén primero. Dee

tratados exatamente da mesma manelra que o problema do elxo e do furo. Para a montagem
X=A +B, temse, das Eqs (439) e ($40),

x = Ha the a
ty = VAT ua
Como A © B podem let mesmos ser submontagens, o processo descrito por esta equi:
et pode er estendido indefinidamente.

"A seguir, combinamse as Eqs (4.39) e (4.40) para predizer a intereréncia entre X eC. 0}
resultado €

be Hx
ts (443)
VE

EXEMPLO 45
Ait que a mentes a Fig 4.12 seem em eme soponha que os demlospadrfo par a mentagem
cm 54 = 00010 em, ög = DOLO em e 3c = 0015 em. Deterina a perentagem de montaens em que
‘ntertrénis ento X= À + BCE prove cone
Sola. Da Fig 412, encontramos

mq = 28000em ng = 3.50000 c= 6 020m.

ag = ng tag = 2,5000 + 33000 = 60000 m.

ag = VER aap = ORIO + ODOIOF 09014 em.

a / ELEMENTOS DE MAOUINA

Eno, sendost a 4.1440,
I. ern 60030-60000 7 sas,
VE VS + aoa
Da Tab, AJA, encontre Az = 04269, vundo Interpol. Portato, a probebilade de interes
réneis
P= 03000-04169 = 00731

(007.31 por cent.
D problema pode tambén ser solo Enmesamento. Ouro cao sí ode selon in imensto

par ne de modo ll que > obtenha somente uma inteferéaca de 1 por cnto, Nee cue, une a
FS. Alt par encontra x comespondendo à L por ceo e eno rolse ag, (44) par u.

PROBLEMAS

Sesto 4.1

41 Uma unto deve sa moda, utandose ur paros e uma poa; Md cinco parafuss e quatro pores
ponts De quanas mantis pode a unis er montada

42. Un president e ts membros de um comité dee se excothidor de um grupo de 13 pesos. De
quant modos lso pode se eto?

43 De quantas manciras podem Sengrnagen er colocadas em Usha sobre um cir? De qutates modos
podem cinco paros sr aranjaas em torno de um celo?

44> Quantos números podem se formados do conjunto [1, 2,3, 4), s os Gto no frem repetos
fom qulguer nero? Quantosnimeros podem ser formados, se aepetigo de dígitos for permitida?

43. Uma cicanferinca tem fuos pata de paafuos de 15 mm, dos qual ato so de roc grosa dos
120 de ro fin, Se os parut de rosa fina ever se poste Uns 40s ous, de quenos modos
podem se or paafuroy enocadeg na eue

Um mecasismo plano de quatre bas comiste de quato elementos, cada um dos qual pode ser
apestado a um cute por uma junta de pino, como € montado ma figura Ne estado de mectismos,
{ir montagent do chamadar de coels inemdter. Se um dos elos € Gado a uma armacio € um
tutto € wade como condatr, ou elemento de ends, o resultado € chamado de mesntemo de
(uct bres Um ou oso dos dos elementos easter pode sr usado como eemento de sí € un
‘Ricerca de movimento depende dos comprimante dat peas. Supondose que sem does
ito pegas, cata uma tendo um comprinente diferente € com comprimentos tals que as uate
Pole se montadas quantes mec de quiso bars free podem e formador?

(CONSIDERACOES ESTA +10

Segees 42043

47 Une pequena compania pora! dus prensas de fora, cad ume ds quads fl em uso, respeta
ment, durante 60 e 90 por cent do tempo. Se uma prensa ubtament quad pram tn
tho d peal, qul er probabkede des ter uma prensa diponfe?

Uma prtelein upora 30 artigo acondicionados em eas rmazenada sem os rótulos, mas boas
que an egos so 6 do tipo 4, 10 do ipo B € 13 do po C, Duns ea foram sero bert,
1 foram coca

(a) Qual da robabiliade de que primer abe conter um artigo À € segund um do tigo,

(prime eae for ecconadaeabera antes que segunda seca
(6) Qual € a protublidade de que hen ea sontenbs um argo À a outa um do ipo 2 se ambas

{orem sleclonadat e beta so memo tempo?
(0 Qual € probado de que under 1 casas contesham artigos do ipo B, se um cata for

‘slecloads aber e cada vr?

Um paotecontém cinco parafuos e orcas que devem formar pues, Uma ds pores deignada por

A estretano, nfo car com um dot past, desgado por a, emba a porta A combine com ot

pulses b, €. d'où €. Se ter do vus pur montar una mina, qual € à probabiiade de se

‘hier uma montar com sie, se todos s Conjuntos form ados e se 0 sr selecionados ao

Ur bande ontén 20 objetos mitradoy,contitind de 6 do tipo A, 10 do po e14 de po €.

(a) Um objeto eleconado Menicado e ento relocado no Ius; outro objeto eo secos
ado, Qu) € probabildse de que nenhum dels sh do üpo €? Que o segundo sj de tipo A?
Que o prieir seja do tipo Ce osegundo, do tipo A?

(9) Resolver a pute (), seo prieto objeto no for coca,

De quants mantis diferentes podeu ie colorido de SX 5 em ser local em um poor? Seo

le nd for marcato pu carga ea gravis do fo examinada, qual protablsade de sr came.
“pto cometamente no proctor em um tentar S a prime tentativa po lor bom sucia € 0

defor cargado de mode diferente em uma segunda tentativa, que ser a probabilidad de suceso

Segies 44 64.5

4412 Os Gatos mostrados ne tabla a spur representa a dstibulgo de rsiténcis ao excoumento de
‘comps de prov de bars de ago UNS GIO18D, ends» fo, redondas, de iémetos dede 3/4 at
Y 1 pol Este dados foram vetados do Meter handbook, 89 ed, 196, Y. 1, , 16" Deserhar o
tops comupondente e determine a mda avril eo de pude ar sta nos

a | Eimterde cin
‘pu Gos
008 185795 F
core ws
Para asus
63805 845355
mans 65818
ns Feel
145755 905915
168715 925935

Pregtänee

Pas ter em MPa, lpr por 69,

* ado com permis para publica daa por The American Solty fr Meta. Metals Park, Oho

160 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

413 As seistoias o écoumento de 901 corpo de proa de um cero material fo tabeldas a segle,
Juntamente cam feqaenes. O copos de prom nan dlrs vaciando de 25 mm a 225 mun
calar a made o dewio dr, e encante dso padel como peeentgem da mid,

Cs PP Fauré
urn) oO

2 7
a 2
2 E
3 ”
“ E
as 20
6 15
38 2
5 10
50 2

Segdes 4624.10

4614 A toernca comercial no dämetror das codes de plano dedmatro at 0,660 mm € 40,0076 mm.
Um arme tipo coeds de plano, com 0,250 mm de dima, ado par ibrar mols spas nas
‘quit o ame €tensona à torso, Se à lernen dame € mesma nue a toeinca natural,
Gear dewie pad da tenso, petaminde que todos os outre tres peemanegur constar
Les O tore splato & de 000177 Nm.

A tone de fbricaco de uma bara chata” de ao estrado ufo, de Lar até 20 mo, 6 de
0075 mm. Uma bara de ago de 3 mm X 13 mm et ja a uma cup de feo al que o plano
esto © panied dienste de 15 mm. Supondo que ambas, espesura eur, ena tolerancias
atu de +0,000 e „0075 mm, qui o demáopudro d testo de Nexo, 1 à momento à de
Thieme odos tros flores 5 constant?

aseado mas toleríncis mostradas na Fig. 4.12 ns menden de 4 e B cont a menu méla
pas tal que somente 1 por conto de Eterna sj oi. Us us informagóes do Ex. 46.

Un eio um faro tim dimenss de 15826 + 0025 men 15900 x 0025 mun, com endoso
de O10 « 013 mn, respecvamente Clelar a (lg. Que percentage de montagens pode se
Esperar els menores?

Un ei e um fro deve tr toleraces naturals de 05 mon e 008 mn, respectivamente. Deter
minas a fig ma tl queno mal do que 5 por sento ds conjuntos team folg menores que
15 mm. Que percentage dsts el figs maine que 018 mur?

Una ber chata € quaguer bar de go que tens uma slo rota rtngub. Bars chato, ea
ment, vir de dense de 3 run de espesura X 4 mun de gas 8615 mun de erpiar X 300mm de
Equ Diners de 45 mme mai us ao chamadas ft. A sobmpotico € Intencral,

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECÁNICOS

Uma das consideragdes fundamentals no projeto de qualquer máquina ou strutur € que
a resisténcia deve ser suficientemente malor do que a tensfo, para assegurar seguranga e confi
blidade. Para garantir que as pegas mecánicas no falhem em servgo, & necesärlo aprender se
por que, ds vezes, elas entram em colopso. Ent, ser possive relacionar tenses resistencias |
para se atingirseguranga

51 — ALGUMAS NOTAS SOBRE RESISTENCIA

No projeto de um elemento de máquina, ideal é o engenheiro ter à sua dsposigzo os
resultados de muitos testes de ressténcia do material scolhido. Estes testes deverdo ser fitos
em amostras que possuam © mesmo tratamento térmico, o ihesmo acabainento superficial eas
mesmas dimensöes do elemento que o ergenheiro se prop e projetar; os testes devem se rab
zados exatamente sob as mesmas condigdes que a pega enfientard em serigo. Isto significa que,
se 2 pega tiver que trbalhar sofrendo uma floxdo, deverd se estada com uma carga de fexto.
Se tirer que trabalhar sob cartegamento combinado de fexzo e torgáo, dever ser testada sob
cargas combinadas de flexdo e torgo. Se a pega tiver que ser feta com ago UNS G 10400 exam
pado a 480°C e acabamento em retífia, as amostras deverzo ser do mesmo material e preparadas
da mesma forma. Os testes devem proporcionar informagdes dtes e precisas, que dizem 20
engenheiro que fator de seguranga deverá ser sado e qual éaconfiabilidade para uma determi-
nada vida em servo. Sempre que dispôe de dados confiées para 0 proeto, o engenheiro pode
estar certo de que etáfazendo o melhor trabalho possvel de Engerharl

© custo de reunir numerosos dados antes do projeto € ainda mais justificado, quando hu
possbllidade da falha da pega colocar em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a
pega em grande quantidade. Automévels e reltigeradores, por exemplo, tém confislidade
muito bos, porque as pegas afo fcitas em quantidades tdo grandes que podem ser testadas
exaustivamente antes da fabricagio. O custo dos testes € muito baixo, quando dividido pelo
‘mero total de pegas fabricadas,

Podem se agora apreciar as quatro seguinte categoria de projet

1. A falha da pega pode colocar em perigo vidas humanas ou a pega deve sr fabricada em
‘quantidades muito grandes; conseqlentemente, justificase à elaborago de um pro-
ama de testes

182 / ELEMENTOS DE MAQUINA

A pega deve sir fabiicada em grande quantidade, o suiciente para tomar praticével
unin sie moderada de testes.

‘A page deve ser fabricada em quantidades 140 pequenas que, de forma alguma, jus
cam os testes, ou o projeto deve er completado 140 rapidamente, que ndo hd tempo|
suficiente paa os testes

A pega jf havia sido projetada, fabricada e testado e concluiuse que ela era insti
tória. Necesitase de uma andlse para compreender por que a pera é intatisatória e 0
que fazer para melhoréla

Este livo abordará principalmente as trés Últimas categorias. Ito significa que, normal-
‚mente, o engenheiro terd somente os valores de limite de cscosmento, limite de ruptura ealon-|
gamento percentual, constantes de tabelas, como as que si apresentadas no Apéndios deste
lio. Com estas poucas informagdes, experase que 0 engenheir projete contracargas estáticas ©
dinämicas, estados de tenso biaxial trials temperaturas altas e bas € pegas grandes e
pequenas! Os dados normalmente disponives para o projeto foram obtidos através de simples
estes de trago, onde a carga era aplicada gradualmente e hava tempo para o desenvolvimento.
de deformag es. Podemse usar estes mesmos dados no projeto de pegas com cargas dinámicas
complicadas aplicadas hares de vezes por minuto. No se deve etrnhar quando, d vezes, as
pegas de máquina falham,

Para resumir, o problema fundamental do engenheiro& usar os dados dos tests de trapo
+ relacionddos com a ressténcia da pera, qualquer que sej o estado de tenso ou a siuapdo de
curregamento, A esstncia deste capítulo € apresentar a slugdo para este problema.

$2 - DUTILIDADE E DUREZA

E possivel dois metas terem exatamente a mesma resisténcla e a mesma dureza, assim
como um deles ter melhor capacidade para absorver sobrecargas, devido 2 propriedade chamada
dutlidade. A Fl. 5.1 mostra dois materiis que tém aproximadamente a mesma reiténcia 2
mesma dureza, Em (a) vése o dingrama tenstodeformagio de um material frig, onde se
verifica uma pequena deformado plástico, Por outro lado, o material di Dustrado na Fig
5.15 será capaz de suportar uma deformapfo plática relativamente grande antes de faturarse
Medese a dutlidade pelo alongamento percentual que ocorte no material por ocasso da
ratura. A linha divisria normal entr a dutlidude e a fraglidade € alongemento de S% Dize
que um material com menos de 5% de alongamento na fatura € ágil, enquanto que um que
tenia mals de 5% € dtl

ES ETS
de) rer eg (0) Mater au

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECÁNICOS / 153]

Medese, normalmente, o alongamento de um material com relasfo a um comprimento dq
50 mm. Como esta nio € uma medida da deformasto rel, ds vezes usase outro método de
Aeterminagto da dutilidade; depois da fratura do corpo de prova, medese a rca da seg reta]
no local da fratura.* Pode-se eno expressar a dutilidade como a redupdo percentual de ére de
seo reta.

A característica de um material Git! de permitira absorgfo de grandes sobrecargas € um]
fator de seguranga adicional em projeto. A dutilidade € também importante, porque € uma
medida da propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a fio. Dobramento,
embutimento ou estampagem sfo operagóes de procestamento de metais que exigem materias
ites,

Quando se deve selecionar um material para resistir 40 uso, à erosio ou à deformagio|
plática, a dureza é, gerelmente, a propriedade mais importante, Dispdernse de alguns testes de
‘dure, dependendo da propriedade que mais se queia testar. Os quatro tipos de dureza mais
sado Io Brinel, Rockwell, Vickers e Knoop.

A malor parte dos sistemas de teste de dureza emprege uma carga padrio que & aplicada a
uma esfera ou pirdmide em contato com o material ser estado, Exprestase entäo a dureza
como uma funräo do tamanho da mossa resultante. Assim, dureza £uma propriedade fée de
se medir, porque o teste nio & destruivo e nio há necesidade de corpo de
mente, pode-se realizar o teste dretamente sobre a pega.

0 fato de se poder usar o número de dureza Brill Hp para obter-se uma boa estimativa
da resisténcia trago do ago tem um valor especial, relagdo €

Se = 500M,

onde, € expresso em libras por polegada quadrada. No SI, aelagdo correspondente €

S, = 345, 62

‘onde Sy € expresso em MPa.
Datsko! mostra que a ressténcia& tragfo relaciona: com a dureza através do expoente
do encruamento e da carga aplicada, colocando em gráficos esas relapses.

53 — PROPRIEDADES MECÁNICAS

As Tabs. A.17 a A.24 apresentom as propciedades de uma grande vacledade de materias
Para o estudante, esas tablas constituem uma fonte de informagdes úteis para x resolugdo de
problemas ¢ a exeeugio de projetos. Para o engenheiro, as tabelas podem sersir como um
padrio, apresentando valores que podem ser obtidos com o controle adequado da producto,

* Nido R. Durante 0 alocamento da bara, hi coto tanos, que aca a dio de
ren da ego tan £ o fenómeno da “esti”, dno à medida d lade em “ero pere

* DATSKO, Joseph. Mater properties end monafecrring process. Nova ligue, John Wiley &
Sons, Inc 1966, 9.38,

154 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

Emprega-se neste vr, seaipre que for conveniente, um novo sitema de numeragáo para
meta ligas, denominado Sistema de Numeragto Unificado (Unified Numbering System —
UNS?). A SAE (Society of Automotive Engineers) fol a primeira a reconhecer a necessidade e
adotou um sistema de numeragZo para agos. Mais tarde, a AISI (American Iron and Steel
Institute) adotou um Sistema semelhante. Neste sistema, uma letra, usada como prefixo,designa
0 proceso de obtengo do ago. Por exemplo, A indica um agodiga obtido em fomo básico, B
indica um agocubono de forno ácido, C $ um açocarboro de forr> bisico, D € um ago»
escbono de conversor bestemcr ácido, E € um ago de fomo elétrico e BOF indica aços obridos
pelo processo relativamente novo de fono básico a oxigénio. Os primeiros dois números após 0
Prefixo indicam a composi, excluindo o teor de carbono. As viias compose usadas o,
us soguites:

10 Agocarbono Niquelmolibdeno

11 Ago-catbono de corte fácil com mals Níquel molibdeno.
noto ou fésforo Cromo

13 Manganés Cromo

23 Níquel Cromo

25 Níquel Cromowvanádio

31 Níqueltomo Cromoniquel-molibdeno

33 Níquel<romo Cromo-niquel molibdeno

30 Molibdeno langanéssiliclo

41 Cromomolibdeno quel-<romo-molibdeno

43 Niquelcromomelibéeno

(Os últimos dois múmeros apés o prefixo (tré para aços de alto carbono, nos grupos de
cromo 51 e 52) referemse ao teor aproximado de cazbono. Assim, AISI C1040 € um ag0-
‘atbono de fomo básico, com um teor de carbono entre 0,28 e 0,33%,

© exame da Tab. A.17 mostra que o número UNS para agos inclui os números antios de
AISI € da SAE. Assim, um ago UNS G10350 € o mesmo que um ago AISI 1035 € um
SAE 1035,

Os números UNS para outros materias também incluem o número original. Por exemplo,
a liga de aluminio forjado UNS A93004 € © mesmo material que o da designagdo 3004 da
Aluminium Association.

© ferro fundido nio é designado por sua composigfo e sim pele sua resistänci trago.
Por exemplo. o feo fundido 1.0 30 tem uma ressténcia 4 tagZo esperado, no mínimo, iguala
30 kps (= 207 MPa). Ainda ndo se designaram números da UNS para feros fundidos.

Uma publicapfö que informe sobre as propriedades estaísicas dos materials 6 quase
Impossível de se encontrar. Entretanto, deve realizar testes paralelos A produgóo, para se
descobritem ess propriedades, porque os resultados podem varier amplamente, dependendo da
intensidad do controle de qulidae exerio. No obra, agur infomagio resto da
dis as a partir de um grande número de testes $ multo stil como um
adri com o qual e pode comparar sue props ditbuiges. Vera Fig. 5.2. A informagio
contida nesta distdbuigéo será também útil ao cstudanto, como material para resolupfo de
problemas.

? Disponfv na Society o Automotive Engineer Wanendate, Pa

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS 7 1

Nomerade tees.

Lite de srcoomento Sy MPa
&

Fig. 5.2 Dinuibuifo das propiedades de trago de um apo liso a quente UNS G10350, sem tts
ment. Ets teste rum reazados en bras edonéns com diámetos variando etre 254 mm 2286 mm

(Lt 9 pod. (0) Dissibugfo da ressténes too para 930 tests; 5, = $92.54 MF; Sp = 27,83 MP
(6) Disubuio do lime de escoumente para 899 teste: Se = 341.08 MPa; Se = 36.93 hPa (Com peri
ode Metals Handbook. 604, Metals uk, Ono, American Sockty for Metals, 1961, .1.p 64)

54 — TEORIA DA TENSÄO NORMAL MAXIMA

Esta teoria é importante para fins de comparado. Suas previsdes nfo concordam com al
experlénciae, de ato, podem até conduzir a resultados que esto na falxa da insegurangs.

A teoria da tenslo normal máxima estabelece que a falha ocorre sempre que a maior
tensfo principal se iguala ao Limite de escoamento ou À resistencia A ruptura do material. No
Cap. 2, estabeleceuse que sempre se poderdo determinar as tens6es principal, quando for dado,
6 estado de tensto em um ponto. Se se designar a malor dessas tres tensOes como 05, tl que
01 > 07 > 03, entio a teoria da tensso normal máxima estabeleco que a faba correrá sempre
que 01 =S Où 0, =S,. Aquí, Se € 0 limite de escoamento 6 5, o lite de resisténcia do
material.

A Fig. 532 mostra o cítculo de Mohr para o teste de trago simples e (9), (e) e (4)
osram ovtrassituagdes de tensfo biaxal. O estado de tensfo unianal descrito em (3) cores.
ponde exatamente a0 teste de tragf0; portanto, nfo há problema neste caso. Agora, a teoría da
fensfo normal máxima cstabele que somente a maior lens princi conduz falle que se

156 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

Fi. 53 () Crulo de Mohr para teste de tag simples; 9) ctalo de Mohr para trapo pus; ) elo
e Moke ara toro pra (4) el de Moke paa tngo ecompresto combina

“deve desprezar as demais. Porém, a Fig. $c, que é o dlagrama para toro pura, mostra que
70, €, conseqdentemente, que a filha deveria ocorrer quando a tenso cisalhante se igualasse
À reiténci à tragío ou à compressio. Esta previsto nfo concorda com os dados experiments

Marcando-se 0, € 03 em elxos ortogonais, obtémse um aspecto melhor das implicagóes
esta teoria de fuha, Fezse isto na Fig. $4, com o valores de tragto marcados acima e delta

+ os de compressio, abaixo à esquerda. Nota-se que só se obtém um verdadeiro ponto de teste
nde o diazrama corta um elxo, A soria etabelece que a falha ocorre sempre que um ponto,
tujas coordenadas sio 0, € 04, cal sobre ou fora do gráfico. Mals adiate, se estbelecerd uma,
correlacio de dados de testes com esta teoria. No momento, basta miencionar que, de acordo
om esta teoria, os pontos dentro da figura e nos primero € teceiro quadrantes estío na regio
saura, enquanto que os pontos dentro dos segundo e quarto quadrantes podem estar na regio.
insegura,

8.5.4 Teoria de tenio somal mixina par tender basa. O inte de excoamento à mio € y 60
mite e escosmento à compresto, Seo

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS / 187

Pode-se usar teoria da tensfo normal méxima para a previsto de escoamento ou fratura
conforme o crtérioescolhido. Se 9, for a malor das trés tens6es principal, em valor absoluto]
ntio fala por escoamento ocorterá sempre que

Se Sees 63

De maneira semelhante, a falha por fratura ocorerd sempre que

= = Shee 64

‘Também & conveniente defi a seguranga, usando-se o fator de seguranga. Assim, seo]
exit de falla for o escoamento, Obtérmse o fator de seguranga sempre que

See

5.5 - TEORIA DA TENSAO CISALHANTE MAXIMA,

Esta 6 uma teorla fel de usar, e está sempre na regio segura dos resultados dos testes,
tendo sido empregada em muitos códigos de projeto.E usada somente para a previsfo do esea-|
mento, portant, só se aplica aos materials dies

A teoria da tensfo csahante máxima estabelece que o escosmento comega sempre que a
tenso csalhante miixima em uma pega toma-se igual à tensfo cisalhante máxima em um corpo|
de prova de trasfo, quando este inicia o escoamento. Assim, da Fig. 5.32, 0 escuamento comesa|
(quando Tmáx = Se/2. Para um estado geral de tensdes, podem se achar tés tensdes eslhantes|
máximas (Fig. 2.60)

A malor desta € a dx, Ent, de acordo com a teoría da tensfo csulnante máxima, a
{alha por escoamento ocomerd sempre que

en

Notase que esta teoria prevé que o limite de escoamento ao cisaltamento sea a metade
do limite de escoamento 1 trago, st €,

Se = 0.508, (58)

168 / ELEMENTOS DE MAQUINA

‘(Antes de proseguir, sigere-se ao leitor que volte à Seg. 5.4 e descubra a relay entre Se
5e, conformo o previsto pela teoria da tenso cisalhante máxima.)

Também € neceserio definir a seguranga usandose a toria da tenso cisalhante máxima,
Esta teoria estabelece que seguranga € obtida sempre que

a, 69)

onde n €0fator de segurança

'A Fig. 5.5 mostra um grfico da teoria da tens cialhante máxima par tensdes blaxllı.
(Obserra se que 0 gráfico £o mesmo da teora da tensio normal máxima, quando as dus tenses
principal tim o mesmo sna.

Fig 58. Teoria da tenso calante mésima.

15.5 - TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇAO

Esta teoria É conhecida também por teoria de energía de chalhamento e teoria de von
ases Henckp. E um pouco mais difícil de ser empregada do que ada tensfo cislhante máxima,
le € melhor para materiisdstes. À empregada para dei o inicio do esccamento, tal como a
teoria da tensfo cisUhante máxima.

A observagio de que os materials düteis, tensionados hidrostaticamente (trapZ0 ou com-
press igual), possufam limites de eseoamento muito acima dos valores dados pelos testes de
trapfo origino esta teoria. Postulouse que o escoamento ndo era um simples fendmeno de
rapto ou compressio, mas, ao conträio, ea relacionado de algum modo à distorgdo angular do
elemento tensionado, Ora, uma das mais antigas teorias de falhas previa que 0 escoumento
Jcomegaria sempre que a energia total de deformagio armazenada no elemento tensionado se
tomasse iguat energia total de deformugio de um elemento de um corpo de prova submetido a
um teste de traglo, na ocasiio do escoamento. Esta teoria, chamada teoria da energia de
aistorgdo máxima, ndo € mais vsada, mas fol a precursora da teoria da energia de distorgo,
Perguntos<s eno: por que afo considerar a cnergia total de deformagdo e subtrair dela
qualquer energia usada somente para produzit uma vaiagio de volume? Assim, a energia que
obrar será a que produz a distorgio angular, Vejamos como isto acontece,

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECÁNICOS / 159

po

A

ig. 5 (a) Element com tens trai = este elemento soft vrago de volume e dtorefo angulr

(6) elemento 20 tes Nest — sfr somente vario de volume; () element com distro ang
lor, sen vaio de volume.

A Fig. 5.62 mostra um elemento submetido a tensdes, de modo que 0, >03 > 03. Para
um cubo unjtärlo, o trabalho realzado em qualquer uma das diregdes principis &

‘onde n = 1, 20u 3. Portanto, da Eq. (2.22), a energia total de deformagto &
Ws uy Fug tus = [Det —2u(or02 +00 ton (0)
A seguir, define-se uma tenso,

au = tthe, o

Le aplicazo esta tenso a cada uma das diregdes principals de um cubo unitrio (Fig. 5.60). As
tensbes restantes, 01 — mé 03 = Omés, 03 —Omig. mostradas na Fig. 5.6¢, produzitéo
somente distorgdo angular. Substituindose Oma por 01, 0; e 03 na Eq. (b), obtem-se a quant
ade de energia que produz somente varia de volume:

1 sta 210074] 2 (a)
uy = Je] Poda nah |= @

Substituindose agora og, =[(o, + 02 + 03)3]° na Ea. (d)e simplificando se, obtémse

Zu (ot + 0f + 03 + 20403 + 20305 + 20301). ©

0]

160 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

Para o teste de tragdo simples 0, = Se € 0, = 0, = 0. Portanto, a energia de distoreto €

we

3E
Obtéme o citério, igualando. as Eqs. (5.10) (5:11):
(or = 04)" + (05 07090,

que define o inicio do escosmento para um estado trial de tenses. Quando 05 = 0, as
lenses sfo biaxils ea Eq, (5.12) redursea 2

Si = oto, +03, (513)

a torgZ0 pura, 03 sem consegincia,
Se = 057756. (510)
A comparagto da Eq, (5.14) com a (5.8) mostra que o crtério da energla de distorgto
prevé um limite de esconmente ao cisalhamento malor do que o provisto pela eorla da tensfo
Ssalhante máxima. Como compard-a com o límite de escoamento ao clsalhamento previsto pela
teoria de tensio normal máxima?
Para fins de anflise e projeto, € convenlente definirse uma tensdo de von Mises, da
Bq. (6.13),como

Viana, (515)

Entio, prevése a flha por escoamento por mo da teria da encrga de distorefo, sempre
que,

of = Se 619

De modo semethante, provée a segutança por

onde n 60 fator de seguranga.

EXEMPLO SA

Una pega € feta de ago, com imite de escormento de 245 MPs. O tado de tenso em um ponto €
x= HAS MPa, oy = ~5° "MPa, tyy = 82,8 MPa. Deteminat o ator de segurnga segundo a teorias de
‘aso normal maki, tono de chlhamento máxima e energia de toa.

Solupso. Prime», conste o ciclo de Mot e determinan-e a tenses
shane máxima. Oscos 0

TS

RESISTENCIA DE ELEMENTOSMECANICOS / 161

Parano,

P 1686 — (858)
mms = GL CI,

Par tora deter normal mé, sex En (55). A rerpota £

E

A

Par trad tenso calhant máxima, ute Eq (5.9). A repos

Se. us

it = Mw
mix" UND

Paa a tous da energla de toto, calcule atra de von Miss, primo, unidos «Eq. (55).
Orne

eras VEIAN ICI = 206,17 um.
Brito, wandose à Eq (5.17) cha o stor de gangs

CET

7 7 nar

5.7 ~ FALHA DE MATERIAIS DUTEIS COM CARGAS ESTÁTICAS

Pode-se, agora, resumir os resultados das trs sees precedentes e
resultados experimentals. Colocando-e a tés teorias de flhas em um sistema de eixos coorde-
ados 04, 93, obtémse o grifico da Fi. 5.7. Experiéncas bem document das indicam que a

Teoria da erg

Treo as temo
arme mins

Fig. 5.7 Comparcfo da ts teorias de aan sícas pata ml dit eens bans

162 / ELEMENTOS DE MAGUINA

tencia d energía de dior rev oeicoamente com malo peso, rn odos os quadrants
‘Assim, o ato de a teri donen de dstorçao sr asta como a covet ga que a tara
Ge teo cian mésima sempre conduz a resultados d ado da seguranga e que a toca da
censo normal máxima conduit u rrltados seguros somente se 0 ssl da dus tentes
principal form gus. Pra or pur, or ab das dus tenes principi io oporto; em
Eomequinca, podese usar somente à Hori da energia de distrgs0 où a toria da tonto
Sahne máxima.

decido sobre qui era emprear dev ser tomada pel projets, ads considera os
futosenvelvdos no problema particular que ett Sendo rsovde. Um projet que está
Henlando deseaba raro da falta de una posa, de modo que posa ser feto um melhor
datado de redimensionamento, dee certamene iat a teoria da enr de istorgo. Seas
Amendes ago necesitar sr muito pres e eo problema devo se ei rpitament,
ver! war a tr da tendo eslhante máxima. Mos, quando mergem de segranga die ser
monts dentro de ineralo apeado © o projetaa deja o melhor dimenonamento, sem
testar oxperimentlmenie a pra, overt empezar tora d energia de stro.

5.8 — FALHA DE MATERIAS FRAGEIS COM CARGAS ESTÁTICAS

Na sclegño de uma teoria para aplicagio em materias frgeis, evem ser consideradas, em
primeiro lugar, as seguintes caractríslas da malo parte desses material:

1. O diagrams tensio deformado € uma linha contínua até o ponto de falta; a falha
‘corte por Fratura;portanto, eses materials do té

2. A resistencia à compressio, usualmente, € muitas vezes malor do que a essténea 4
tes

3. O limite de resistencia à 1080 Sy, isto 8,0 módulo de ruptura, € aproximadamente o
mesmo que o limite deresistncia 4 trado.

As teorias da tens¥o normal máxima e a de Coulomb Mohr tém sido usadas para a prev
slo de Flhas de materias frágis Já se invstigou a teoria da tenso normal máxima, Usandose
esta teri, os pontos mostrados na Fig. 54 seriam mudados para os valores de S € Se:

A teoria de Coulomb-Mohr, ds vezes denominada feor do atito interne, bassiase nos
resultados de dois testes, o de tro e o de compresto. Num sistema de eixos coordensdos ©,
+, tragamse ambos os eftulos, um para Se outro para Se. Ent, a teoria de Coulomb-Moht
stabeleos que a frtura ocorre para qualquer Stwagdo de tensfo que produza uma ereunferen-
cia tangente 4 envoltórs dos dois eitculos. Arrumando se as tensdesprincials de modo que
94 >03 > 03,0 maior efrculo se formado por a, e os. Estas duas tenes e resistencias ela
clonamse pela equis

(5.18)

à qual define a fiatura pela teoria de Coulomb-Mohr, Para definir a soguranga eserevese a
equucto

RESISTENCIA DE ELEMENTOSMECANICOS / 163

onde 1 £ o fator de sepuranca, Para estas dues equagdes, € importante notar que Sye e 03 10
‘quantidades negativas

Felizmente, hd um número grande de dados disponíves que podem ser usedos para testar
a valdade destes duas teorias? Esta comparagéo fol feta na Fig. 5.8. No primeiro quadran
te, onde 0, 6 0, tEm 0 mesmo sentido, note que as dua teorias fo idénticas e, portanto, se
pode empregarsatisatoriamente cada teoria para preve 2 fratura. No quarto quadrante, onde
Où © 03 t&m sentidos opostos, € que as teorias diferem. Notase, primeiro, que a teoria de
Coulomb-Mohr & mais conservadora, no caso, porque todos os pontos eaem fora da Inha.*
Notase também, na figura, a linha de Inclnacáo 63/01 = 1. Para torgäo purs, 03 = —0, &,
portanto, a intersegZo desta linha com o gráfico de uma toria de falhas conduz 20 valor de Sr,
conforme fol provisto por aquel teoria, Observase que sus intersegóo com a teoria da tensfo
normal máxima indica Sy, = Sp, a qual já foi notada como uma das características dos materials
gels. Mas a teoria de Coulomb-Mol prev um valor de S,, um tanto menor do que Sr.

A teoria de Mohr modificada, mostrada no quarto quadrante da Fig. 58, nfo é 0
conservadora quanto a teoría de CoulombMohr, mas € mais adequada para prever a fala,
Burton Paul? propós uma teoria semelhante, embora ligeramente diferente, que nio esté

roms

re

cam.

Grate oma lluna =

Fi.58 Gráfico representando os pontos dildos de datos expenmentas de tetes com fer fundide
«inzeno net tenses Blass. dados foram setos de modo erreiponderem à Sy = 22043 MPa
€ Su = 12345 MPa, Soperports a eue gráfico eto a Unas comerpondente e (cs da tenso normal
‘nilina, de Colombo ed teria de Mohr, modificada.

COFFIN, LF. Te low and fracture of «brite material, Tent ASME, 72.1. Appl Mech. 17
23348, 1950: GRASSI, R.C. e CORNET, I. Fracture of gay cast ron (bet under bi trees Troms
ASHE, 73.4. Appl. Mech, 16:178:2, 1945.

Uma teria comeradors & erflamentestisttóia ar fas de projet, ode o objetivo € deter.
minar um conjunto de diene ae qu à pegs no fac, orem € competent lem una an, se
objetivo € detectar cau da fas.

"BURTON, Fou. A modification of the Colomb Mote theory off
Mech, sik E. 28(2): 25958, jn, 1961.

164 4 ELEMENTOS DE MÁQUINA

incluida neste limo. A teoria de Mohr modificada € melhor aplicada através de uma abordagem
2, conforme demonstra o exemplo seuinte.

ExEMPLO 52

Projetouse um pequeno pio de 6mm de dieu, de feo fundido ASTM 1.9 40, par soportar uma.
carga comprime axial de 35 KN combinada com uma cura trcoal de 98 Ne. Callar 6 later de
Stpurangs Sent uma (aa etc, umndo cada uma das td teorias para materia fe,

Soc. Ateneo de compres ale

ELE OD à Lieu,

vr =

A tenso cathant devia à tons €

CTA
a za ets

Contrindose o círculo de Mor, encontrame a tenes pric oy = 177 MP,
‘Empreandoseo3 vores tipices ds rerstencis, o ind dos lores mémo, da Tab. A.20, theme
Is = 299 Mia Spe = 965 MPa
‘0 prönme bario € construe um gico em xl corespandente so quarto quadrante Ca Fi. 58,
sarcone nimes dos tenses € ds resistencias encontrada. lt fi flo na Fi. 59. O ponta À
greens as coordenadas oyo, do estado sel de eno. Aumentantose a inensidads de a, ee, pot
Imweiendese a mesma espere ente els, os pontos B, Ce D tepeienastn a fh, em cda uma das
rin Asmat OA teprecma 0 eto detesto, toño AB, AC e AD representam a especies mars
rame er Ses. L pan df de mage de segura), Os tas de searaga coipondentes
5 gus 08 eivdio por OA, OC dda por OA 0D diviid por OA.

Teorias tensa normal mine
Teoria de Mone medica

Fig. 5.9. Todas s tenses ett en MI

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS / 16

As nemesis rennes dfnem a resins component, ob Sy, for wads um otage |
meme. Au, na Fi. $3, podeae ober à re $, pr sd so O aos de segura pla
{corn de Colon Mote € jo

Rem

Netwralmente, pes obte Último eats, alviindo=e Sr para, € Se Por 0, escollendose o
manor des valoro rent

59 — FADIGA

Na obtengdo de propriedades de materials relcionadas com o diagrama tensdo-deforma-
‘fo, aplicase a carga gradualmente, dandose tempo suficiente para o desenvolvimento das
deformagdes. Nas condigües usual, tostese o corpo de prova até sua destruigo, de modo que
as tensdes sejam aplicedas apenas ume vez. Estas condigdes sIo conhecidas como condig6es
estáticas e aparecem de modo muito aproximado em muitas pegas estruturals e em pegas de
méquinss.

Freqlentemente, entretanto, as tens varia ou fhutuam entre determinados valores
Por exemplo, um elemento sobre 3 superficie de um eixo rotativo, sujit à ago de cargas de
Aexdo, fea submetido à trago e A compressioalternadamento, em cada rotap do cixo. Se 0
exo for de um motor elétrico girando a 1 725 rpm, o elemento fears submetido a tensdes de
rapto e compressio 1 725 vezes por minuto. Se, adicionalmente, o Iso for caregado também
axiulmente (causado, por exemplo, por uma engrenagem helicoidal ou parafuso sem-fim),
haverá tuperposigdo de um componente axial de tenso sobre as tensdes devidas 4 lex. Isto
resulta em uma tensio, em outro elemento quelque, lutuando também, porém entr valores
diferentes. Estas e outras espécis de cargas que ocortem em pegas de máquinas produzem
tensdes chamadas reperides, altemadas ou flutuantes

Fregientement, encontramse pegas de máquinas que falharom sob a agS0 de tenses
repetidas où flutuantes; todavia, uma andlse mais cuidadosa revela que as tensdes máximas
verdadeirs estavam abaixo do limite de resisténca do material e, quae sempre, até abalxo do
límite de escoamento. A característica mals marcante dessas falas € que as tensbes foram
repetidas um número muito grande de vezes, Die, ento, que a flha dfs por fadiga.

‘Uma fol por fadi comes» com uma pequena Assur. A fssur nical € 10 pequena,
que ndo se pode detectéta a olho nu, sendo mesmo muito difícil Joclizida em inspeçdo por

jux où por aioe X. A fisara aparecerá em vin ponto de descontinuidede do material

como uma mudanga de seso reta, um rasgo de chaveta ov um furo. Outros pontos por onde
provavelmeate se inicia a falha por fadiga, embora nio tio evidentes o as mares de inspegdo
où cunhagem de inserigGes, isuas internas ou as regularidades causadas pela usinagem. Uma

166 / ELEMENTOS DE MÁQUINA

voz iniciada a fisura, y efe de concentragio de tonsdes torna se malor ea fisura progride
sus depress. A proporgdo que a drea tensionada diminul de tamanho, devido ao aumento da
fisura, a tersto aumenta de intensidade até, Gralmente, a pega partirse subitamente, Uma
a por fag, portato, caracteriza por dua Seas distintas de fatura (Fi. 5.10). A pr
0 desenvolvimento progresivo da fissure, enquanto que a segunda deve se
a da fretura súbita esemetha-se muito à fratura de um material frég,

ha falhado trago,

Fig.5.10 Uma falto por dis de um ciao de 190,5 mm (7,5 pol de det, de ago UNSGIOASO,
Nomad e rveoido, Fo submis à edo rotativa. (Corte ds Timken Compe.)

‘Quando uma pega de máquina falhe esaticamente, usualmente apresenta uma deflexto
anuito grande antes da featur, porque a tensio ulteapase limite de estoamento ea pega pode
ser subsituida entes da (ratura ocorter realmente. Assim, muita falhos estáticas s3o visiveis e
dio aviso com antecipagío. Porém, uma falha por fadga nfo dí aiso; € súbita e total, e, por.

rigoss, Dimensionar para evitar uma falha estática € um astunto simples, porque 0.

sento Jesse mecanismo € relativamente completo. Mas a fadiga € um fenómeno muito

‘uss complicado, somente entendido parelalmente, e o engenheiro que desejr subir ao ápice da

fe sdquirr tanto conhecimento do assunto quanto possvel. Qualquer um pode

¿obrar ou triplicar os flores de soguranga, devido alta de conhecimento sobre fadica, obter

um projeto que nio faiha. Porém, tl profeto náo competirá no mercado atual, assim como os
ergenbeiros que o elborarem.

5.10 — RESISTENCIA A FADIGA E LIMITE DE RESISTENCIA A FADIGA

Pata a determinagdo da resisténcia de material sob a apo de cargas de fadiga,sujeltamse
corps de prowm a Forges repetida variadas de intensidades especificadas, enquanto sd conta
das as inversbes de ciclos ov de teases, até a dostuigo desses corpos de prova. O dispositivo
pera o teste de fadig. mais emprogado € a máquina de teste de flexdo rotativa, de R. R
Moore: Esta máquina submete o corpo de prova à fexzo pura (sem csalhamento) por meo de
pesos. O corpo de prova, mostrado na Fig 511, € cuidadosamente usinado e polio, com acaba-
areata de potent ma. cal pars se eitternarranhöes circunferencia.

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS / 167

ig 5.11, Cono de prov parra máquina de tete de exo state de RR. Moore.

Há outras máquinas disponfveis para teste de adiga que aplicar tenes ais altemadas
où futuantes, tens es de torso ou tensdes combinadas aos corpos de prov.

Para se estabelecer o limite de rossténia à fadia de um material, necesstese de um
grande número de testes, devido À natureza etaistica da fadig. Para o teste rotaivo, aplicase
uma flexfo constante e registra-se o número de revolugdes (Inersdes de tensces) do corpo de
prova necessrias para a falta, Fazse o primero tete com uma tenso solicitante um pouco
menor do que o limite de redsténcia do material, O segundo teste fase com uma tensfo inf
rior À usada no primero teste. Este processo continua e colocamse os resultados em um
diagrama SV (Fig. 5.12). Podese constnir est gráfico em papel semilogaritmico ou em papel
Lorlor. No caso de metas ferrosos e suas liga, o grfico tornase horizontal depois de um
determinado número de cilos, Usando-se papel logartmico, aparece a inflexio da curva, o que
poderia nfo fica evidente, s os resultados fosse registrados em coordenadas cartesianas

Chamase de ressténcia à fadiga Sy 2 ordenada do diagiama SN; 20 mencionar esta
resisténci, d2ve se sempre especfiar o número de celos Y 20 qual ela coresponde.

No caso de agos, aparece uma inlexdo no gráfico e abaixo deste ponto nio ocorrerd a
fuba, no importando 0 número de cielos. A resistencia correspondente a esse ponto de
infexio chamase limite de resisénciaá fadiga, Sp, ou limite de Jadiga. O gráico da Fig. 5.12,
para metals no ferrosos e suas ligas, nunca se toms horizontal e, portato, esses materials no
tm Umite de faige,

ion Y

Fe 5.12 Disgrema 5,17 para ago UNS G1040 recule, Ordes bison e matado no dam so
3100 Ma a 15,1 x 10° llos 2694 NPs 1413 % 10” cor; 2129 MPa a 408 % 20° cidos. 199.1 MPa
Pan 2492 X 10 ciclos 87,E MPa 10012 10%

lo à 186.0 MPa, 10,059 x 10" ciclos Oras tino on de prova no pacta

160 / ELEMENTOS DE MAQUINA.

Conforme notouse anteriormente, é sempre de boa norme, em Engenharia, realizarse um
programa de tetes not material que serio empregados no projet e na fabricagfo. Iso, de fato,
unis exigéncia e ndo uma oppo, para prevenir a possbiidade de ocorrer uma falha por fadga
Desido a esta necessidade de testes, sere rulmente desnecesrio qualquer procedimente
posterior no cstudo da falta por faliga, exceto por uma razdo importante: o desejo de se
‘conhecer por que ocorre a fal por fadiga, de modo que métodos mais eficazes possam ser
‘usados para re melhorar a reistänci 2 fadiga. Asi, o primeiro propósito no estudo da fa iga €
«compreender por que ocorrem as fellas, de modo que se possaprevenilas de um modo Stimo.
Por esta 12230, as abordagens analtica e de projeto apresentadas neste lio, ou em qualquer

o listo sobre este atsunto, nfo conduzem ebsolutamente a resultados precisos, Els devern
considerados como um guía, como algo que indies o que é importante ou nio no projeto
conta u falls por Fadi.

(Os miétodos de anilie de flhas por fadia representam uma combinagto de Engenharia e
Ciencia. Multas vezes, a Ciéncia falla em proporcionar a resposts de que se necesitar. Mas 0
aio ainda deve ser feito para voar ~ e com segurança. E 0 automével deve ser fbricado com
una contabilizade que 13 wana vida Tonga e sem transtomos e, ao mesmo tempo, deve
por he sos cons d india atomic, A ie ed em cto

‘A Ciéncia ainda no explicou completamente o verdadeiro mecanismo da fadiga
[Costudo. o engenheio deve projetar lens que ndo falhem. Em determinado sentido, ete € um
exemplo císico do verdadero si aria, quando comparada com a Ciéncia. Os
engenheiros usum a Ciéncia pora resolver sus problemas se a Cióncia esive dsponivel. Porém,
Lom a Citacia dsponíel ou nio, o problema deve ser resolvido e qualquer forma que a solugto

Ua dos primelros problemas a ser

imite de fadiea eat cessténcias obtidas a partir de testes simples de trago. A pesquisa, usando

Dura, hn Lomante aco)

Limia de resina

10

i ente «resins $ tracto eo imite de rite fai para os foros e
furdides e emos funditos. Pocermse oies Vos provides a pats da dure Del, se à zei
na 3 trade nie for conteción As false que slogan ot ponts lemtados cxperimentamente so
¡iman fone de pero. (Com permiso de LIPSON, One JUVINALL, Rober C. eds) Appl.

yl to desen am metal. The Univers of Michigan Summer Conference Ann Arbor.

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS / 160

grande quantidade de dados de testes de trago e de tests rotativos de fadiga, mostra que hä, de
fato, uma relagdo entre os resultados deses dois testes. Podese observar ess rolagí na Fig,
5.13. Devido à dispesio dos pontos, ndo se pode representar essa relagfo por uma curva únic
considerase uma faixs que abrenge todos os pontos obtidos experimentalmente, Uma inspeo
mis apurada da Fig. 5.13 mostra que o limite de ressténci à fadiga varia de 40 a 60% da
resistencia A tragdo para agos com Spy até 1 400 MPa. O limite de resisténcia à fadiga parece
estar em torno de 700 MPs, par resisténcias tra de 1 400 MPa ou more.

‘Agora, € importante observarse aqui que a dispersio do limite de f
modo alum, a uma disperso, ov vario. nas resstinias à tragío dos corpos de prova testa
dos. Se se tomar, por exemplo, um grande nürtero de corpos de prove de ago testados na
máquina de teste rotativo de (udiga, tendo Sr = 700 MPa exatamente, os limites de fadiga
esses corpos de prova estardo entre 250 ¢ 420 MPa, com uma média de 350 MPa. É por sta
2220 que se deidla sobre a seguinterelagfo ara previsto do limite médio de Jadiga de corpo]
de prova submetidos ao teste rotativo de fig:

5, = 0505, Sa © 1 400 MPa
Eu = 700 MPa See > 1400 MPa.

As unidades corespondentes no sistema inglés so;
0.505, Sa < 2001
100 ksi Su > 200 ki

A motagio “linha” de 8% referese 20 corpo de prova submetido ao teste rotativo de

ig, porque se deseja destinar © símbolo SA, para o limite de resistencia à fudigo de uma]

determinada pega de máquina, Breve, saberse que estes dois valores podem ser bem dife-

Conforme mostra a Fig. 5.13, 0 limite de reisténcia à fadige para © ferro fundido € um
tanto menor do que para o ago. Use, geralmente, relago

Sy = 0405, 529)

para o fer fundido. Observase que este resultado difere multo pouco dos valores mostrados
ma Tab. A.20.

Où fabricantes de ligas de alominio e magnésio publicam tabelas multo completas das
propriedades destes materias, inclusive as essténciss à fadiga. Estas vo, geralmente, de 30 a
40 por cento da resiténcia à trasto, dependendo do material ser fundido ov forjado. ses

materials nfo tém limite de esisténci à fadigo, e a ressténia à fadiga 6, ususimente, tomada]
em 10° ou $(LO) ciclos de inverso de tensbes

Conforme indicam os dados mostrados na Tob. 5.1, os desviospadrio do limite de resis
téncia fadiga vaciam de 4 a 10 por cento, Usandose técnicas de control, nspegio e cuidados]
vazoáveis, € provivel que se obtenha um desvio-padzTo de £ por cento do limite de reitóncia |
fadigae, nsteJsro, será empregado este valor nas antes de confab

"A barra sobre o símbolo Sq, para indicar 0 valut métio, € uma note
será agora abandonada, 5,84 pora o Kite do resisténc 3 fia do corpo|
de prova do teste rotativo que corresponde a uma confabilidade estabelechlu R. Se nfo for
estabelecióa a confiabilidad. considersse S como o limite de reiténcia à faiga cortospon-

dente a R=0,50, sto é, omite médio de resistencia à fad,

170 / ELE:ENTOS DE MAQUINA

TABELA SU Devis Tatra do Limit de Reistinc À Fat

UNS No —

CE CTI BEE

PS ss | uo n

1510 | 190 s
150 | 20 3
1750 | 20 97
Aco 63500 200 | 300 10
Lis de inionéie Rsono! | 1000 | 185 ra
IL de aero A97076 ss | 76 E
Bronze ce han 063000 wos | ur 48
(Cobre vero C17200 175 36

5.11 — RESISTÉNCIA À FADIGA PARA VIDA FINITA

No passado, muitos projets desculddamentepojtavam todas a pegas para uma vida
infalta. It € Jocficient; mesmo uma pequena investiga, mus vezes velará que multas
pegas nunca seso ubmetids a tamos ellos. De fat, € mit simples determinarse a resistén-
cia fadia 5) corespondente a uma via finita qualquer M. A Fig. 5.13 € um gráfico que
muestra os iiftadesde um grande número de testes de fadiga de visor materias com diversas
tesiséncia; no gráfico. a abia € 0 logrirmo do número e lle N, como no gama ua
SN, porém a ordenada & 0 logaritmo da zo entre a resistencia À alia € à reine à

ese ver ese gráfico, que quae todas a ordenados caem sobre ou acima da nha
ente o limite de redstónca 3 fdig 810" ciclos ad o ponto corespondentea 0:95, à
eos, A ina tac que va do pont 0,955 à 10° llos at a abso conespondente
2 10° ciclos ropresentaarssnci média fig.

Neste lito, toda pea que ‘iver uma vid de 1 000 cielo ou menos ser tratada como um.
problema de este, it &, un problema no quel afastee a possbiidade de uma feta por
ati. Devese obser, entretanto, que a falla por faa a N < 1 000 celos ocorrem em
exernposisolads. Isto € um estudo especializado e um tópico Interessant de pesquisa que nfo
6: pode considera aquí

© fato importante a sr obserado em reas à Fi. 5.14 € que el, com a ajuda des
Fas. (520) e (521), indica um meio dese eitimar a resténeis fa $7 correspondent a
qusiquer ntmero de cos ente 10° infinito, Asim, wendo«e somente ds dados publicados
ds testes de tngo, como os da Tab. A.17, podese constr um gráfico log Sog Ne, nee,
agar tanto a inka de resisténet mínimo à faiga, como a linha da resistóncio média. Tal
eco posblitar a detemminagio do; correspondent «qualquer vida N.

‘gots, sto é importante Supone que o etrseja convidado a sente como pelo em

a ag judicial a espeito de um cxsoenvolvendo fla por fdig. Em vita da discuto na
seq. 5.10 sobre a naturza estaca de fediga, oletor uso linha de resisténca média à

D, CUMMINGS, IL, N. e SCHULTE, W. C. Preventing fatigue fares, Pate 5, Machine

332361, 23de abo, 1961
PR tat tan fembamente, abahadas a quente; carpo de pro polos, jos a tre de ida
cin git de tre de Rock rotar

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECÁNICOS / 171

fadiga da Fig. 5.14 ou a lichs de resistencia minima para estimar a vida N? A Fig, 5.14 reine
“ados de muitos agos diferentes, com diversos ratamentos térmicos e diferentes processo de
obtengto. A linha da ressténcia media relativa a todo o grupo de agos usados para a confecgge
a Fig. 5.14 pode coincidi realmente com alinha da resisténcia média à fadiga de determinado
go. Bor esta razio, pode ser perigoso o uso da linha da resisténcia minima na Fig. 5.13 para
définirse a resisténcia média à fadiga, Assim, recomendose que se use a linha que liga dos
potes 0984 a 10° celos e Sy a 10° ciclos, no gráfico log.Sog N, para definirse a ressténcio|
médi à fadiga Sj corespondente a qualquer vite N

Log de raro de reiatncs à

Vide.

Fig. 518 Relcio ente a 1250 resina A fadigienténcis tngo ea vide esperada, ex
‘nner de ios Todos 0 dados foram obtitos à prt de testes em máquinas de test de Pedo ota
{Com permiso de LIPSON, Cares e JUVINALL, Robert C. (eds). Appleton oa eal 10 desen
and matt The Univers of Michgan Somme Conference, Aan Arbor, Michigan, 1961-1

Uma maneir le de se obte aresiénca A dia Sj corrspondente à
de ciclos NE tragarse o lagrams SA em papel log. Polen se le os valore com fede.
‘Uma desvantagem deste procedimento € que 3 inclinagdo da Unha SW tio pequena que toma
fel obterem 2 resultados precisos.

À aspon'blidade de clcladoras tomos possrl clr um método mals ei. Exreveso a
quo da Inha SN como

10857 = =m log +b (523)

Esta linha deve passar pelos pontos 095, a 10° ciclose Sy a 10° ciclos, Substtuindo-|

estes valores na Eq, (5.23), podem-se resolver as equxgdes resultantes para as constantes m ed
Os resultados so:

(520)

(525)

172 / ELEMENTOS OF MÁQUINA

Quando sio dados Sy Sh, podemse resolver estas duasequag6es, usando. a cleus
dora Ent, se N dado so se deve encontar Sj, clocase a Eq (5.23) na forma

ge 10 <W < 104, (520)
que pode sr elcladafacimente com oempreo da celador. Pr outro Ido, ado |
sE e deja ells, cnt à Bg (523) condi à

LU PANA
age 10 62)
sm

Naturalmente, o Jetor deve demonstar, por conta propia, que esses express esto

(Os termos $f € 5, nas Bas. (524) e (5.27) designam, respectivamente, a restés À
fatiga e o limite de seiten à fadig de um corpo de prove submetido ao teste rotativo de
fodiga, Se estas equogdes forem usadas para uma pega de máquina ou de estuturs, ever
substitu termos por Se Sp, como no exemple segulae.

EXENPLO 53

© limite de resistencia fia de uma pega de ago 6 112 MPa e sua resténci à tuo € 385 Me
ul será resisónia À die coespondente auma vida de 70 X 10" clos?

Sos. Como DAS, = 085) = 346 MPa, at ($20 e ($29 o, rrpectente,
095
El
css"
ue =

Fon

»

Ent, com a Ea.(5.26) encontre einen à ad para vida Anka como seno
10? 193029

ye NM
LE Ou OPA

5.12 - FADIGA ACUMULATIVA

[Em vez de uma Unica tenso altemads o durante n ciclos, suponka-se que uma pega esteja
sujets a 0, durante ny ciclos, 03 durante nz ciclos ete. Sob estas condigöen, o problema €
estimar a vida de uma poga suelta a esas tensGs alternadas ou estimar o fator de seguranga, se
a pega ter ums vida infinita, Uma busca na literatura espeefie revela que ainda náo se resol
veu este problema completamente. Portanto, os resultados obtidos, usando-se qualquer dos
ruétados aquí apresentados, devem ser empregados como guias para indicar como se poderia
procurar um arerfigormonto, e nunca deve Ser empregados para se obterem valores absolu
tos, a menos que a experlönea indique a possibiidade de fezblo, A lite

de um método em perfitaharmonta com a experiencia.

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECANICOS / 173]

Atualmente, a teoria mals usada para explicar fadiga acumulativa 6 a feora de soma de
rezos de ciclos, de Palmpen Miner". Matematicamente, esta toria etabelece que

(5.28)

onde n 6 0 número de ciclos de tonsto o aplicados 20 corpo de prova e N € a vida correspon
dente a0. Determinase a constante Cexperimentalmente; usualmente encontra na fbxa

0750522.
Muitos autores recomendam C= 1 € à Eq.(5:28) fea

Como stage do wo de ga de Mine, coli um ago com as propiedades
Su = 550 MPa e So 0= 276 Mi, onde se empresa desta 5.0, em vr a mab ul
Sh, para indicar o limite de resisténcia à fadiga do material virgem, ou sem danos. A Fig. 5.15
most 0 dema log Sog repeenado pla Anka ch Apes, endo, 2 uma
{erat lemada o, =413 MPa por, = 3000 dilo. Como 0, > Sh, limite de restate
À tiga srt prjdcao, Deseo cla nov ie defi 31. mar uam
doae à ra de Miner. À pura mora que o material orinal em unde de M = 8320
ise em consign, poo d apago de o po: 3000 ia, stm Ny =m, = 3.320
llo de vid. sto localiza seiten à fl pra uma via la Sy do materi confome

Fig 5.18. Uso deter de Mine par rer o inte de encia alga de um materi acido pr

* PALMGREN, A. Die Leberuieuer von Kugeligem ZVDI. 68: 33941, 1924; MINER, M. A.
Cuma damage nai. J. App Mech 12, Manr ASME 67: ALSOJA1SA, 185,

174 1 ELEMENTOS DE MACUINA

inticado na Fig, 515. Para obterse um segundo poto, pesguntase:conhecidos ms € Nu
{quanto cls de tensto 0, = 5,0 podem er splcados antes que o materi fate? Ist comes

onde ana celos de tenses alteradas; portant, da Eq. (5.29), temse

a ©

300" Voge = fous.
ov [1 ¿82% Joor = armes

Isto corresponde a uma resistncia à fadip para uma vida Anka Sj 2, na Fig. 5:15. A linha
que lige Sf 1 Sy 2 € 0 novo diagrama log Slog M do material, de acordo com a sera de Mine.
(© novo limite de fsisténea fadiga & Sn, 1 = 266 MPa.

Embora a sega de Miner ja mutto usada, ela falha de duas maneirs, ao e compara
com os ensalos práticos. Em primeiro lugar, esta teoria stabeloce que areisténci estática Sp
fica altered, isto 6, diminufda, devido 4 aplicagto de 0, (ver Fig. 5.15, em N = 10° celos). As
experiéncias nfo confiemam esta provisto.

"A regra de Miner, conforme dada pela Eq. (5.29), nfo considera a ordem de aplcagto das
densos e, posteto, ignora qualquer tenso Inferior 4 Sa, o. Porém, podese ver, na Fig. 5.15,
que uma tenso 05 na ha Sp, 1 <03 <p, cauaria danos, e aplicada depois da modificado
do limite de resistóncia à fadiga feia pela aplicsgo de O.

"0 método de Manson” supera as duas deficiencias observadas no método de Palmgren-
Miner; Mitoricamente, © uma abordagem muito mals recente e muito fácil de usar. Excsto por
‘uma pequena mudanga, use e recomenda-se o método de Manson, neste Ivro. Manson trapo
o diagrama Slog N, em vez do log Slog N, conforme é aqui recomendado, Manson também
Tecorreu a experiéncias para determinar o ponto de convergéncia das linhas log M correspon:
“entes à ressténcla estática, ao invés de seleionar atbtraiamente a inersegío de N = 10°
las com 50,95, como fol feito aqui. Naturalmente, € sempre melhor usar resultados de
nsalos, mes o propósito deste lio tem sido usar os dados de tete de tro simples, para
esensolver o que se conhece sobre fdiga

‘0 método de Manson, conforme € aqul apresentado, consiste em terse todas as linhas
Jog Slog, ste & Hs do material com ou sem danos, conrergindo para o mesmo ponto,
(0981 a 10° clos. Alt disso, as lindas log Sog devem ser construidas na mesma o
cronológica em que ocorrem as tense.

(Os dados do exemplo precedente slo usados para fins lustrativos Os resultados estáo na
Fig. 5.6. Notase que a resistencia Sy, correspondente a Mi ns = 5,32(10) cielos, €

HANSON. S. $, NACHTIGALL, A. J. ENSIGN, CR. e FRECHE, 3 C.Furtherimestation ola
reson for cumulative fatigue dumage I Bening, Tens. ASME, J. Eng Id sie B, 8711): 253, fo.
1966,

RESISTENCIA DE ELEMENTOS MECÁNICAS
|

calculada da mesma manela que antes. Traçase uma Unha pontitada forte por este

por 0.95 à 10° ciclos, para se chegar a N = 10° ciclos, e dfinese limite de est

fadign Sy, 1 do material com danos. Neste cao, 0 novo limite de fadiga € 235 MPa, um pouco

menos do que o encoatrado pelo método de Miner

ig. 5.16 Uso do método de Manson pas povero Unite de eines À fai de un materia sbmetido
reiamente um exceso de tes, durante um námer to deel.

Agora, € Heil ve, na Fig. 16, que uma tensfo alterada como o = 248 MPa, nfo preju-
dicaria o limite de sedsténcia à fadiga do material vigem, nfo importando quantos cicios
fostem aplicados. Entretanto, se se aplicar a = 248 MPa depols do material te sofido danos
or ay = 413 MPa, entfo sofera danos aicionas

5.13 — FATORES MODIFICADORES DO LIMITE DE RESISTENCIA À FADIGA

O limite de resistáncia fadiga Sy de um elemento de máquina pode ser consideravel-
mente menor do que o limite de fadlga 5 de um corpo de prova do teste de flexo rotativa,
Pode-se explica esta dierenga empregando-se uma variedade de fatores de corregfo, cada um
respondendo por um efelto separado. Usando-s esta ida, pode-se escrever

Sy = halgkchakeky Sy 630

onde:
Sp = limite de resstánca adiga da pega;

‘Sq = limite de resistencia fadiga do corpo de prova do teste desexio rotativa;
ke = fator de superfície;

Kg = fatorde lamanho;

Shigley j.e. elementos de maquinas, vol. 1

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Shigley j.e. elementos de maquinas, vol. 1

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78