Sistem Persamaan Linear pada Aljabar Linear

Sistem Persamaan Aljabar Linear

1. Sistem Persamaan Aljabar Linear

2. Materi Pelajaran sebelumnya : - menentukan harga x yang memenuhi persamaan tunggal f(x)=0 Yang akan kita pelajari : - menentukan harga x 1 , x 2 , x 3 ,…., x n yang secara simultan memenuhi sekumpulan persamaan : f 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ,…. x n )=0 f 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ,…, x n )=0

3. Persamaan Aljabar Linear Bentuk umum persamaan aljabar linear: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = c dimana : a: koefisien konstanta c: konstanta n: jumlah persamaan Untuk persamaan linear dengan n <=3, penyelesaiannya dapat dengan : - metode grafik - aturan Cramer - metode eliminasi

4. Metode Grafik

5. Metode Grafik Sistem kondisi timpang ( ill-conditioned )

6. 6 Determinan dan Aturan Cramer [A] : koefisien matriks D : Determinan dari matriks A

7. 7 Menghitung Determinan

8. 8 Eliminasi Gauss Pecahkan Ax = b Terdiri dari langkah : Eliminasi ke depan Substitusi ke belakang Eliminasi ke depan mengurangi pers. Ax = b menjadi sebuah sistem triangular atas Tx = b’ Substitusi ke belakang kemudian dapat memecahkan Tx = b’ untuk x Eliminasi Ke depan Substitusi Ke belakang

9. 9 Gaussian Elimination Eliminasi ke depan x 1 - x 2 + x 3 = 6 3 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 9 2 x 1 + x 2 + x 3 = 7 x 1 - x 2 + x 3 = 6 +7 x 2 - x 3 = -9 + 3 x 2 - x 3 = -5 x 1 - x 2 + x 3 = 6 7 x 2 - x 3 = -9 0 0 -(4/7) x 3 =-(8/7) -(3/1) Pecahkan menggunakan substitusi ke belakang : x 3 = 2 x 2 =-1 x 1 =3 -(2/1) -(3/7)

10. 10 Substitusi ke belakang 1 x +1 x 1 – 1 x 2 +4 x 3 8 = – 2x 1 – 3 x 2 +1 x 3 5 = 2 x 2 – 3 x 3 = 2 x 3 4 = x 3 = 2

11. 11 1 x +1 x 1 – 1 x 2 = – 2x 1 – 3 x 2 3 = 2 x 2 6 = Substitusi ke belakang x 2 = 3

12. 12 1 x +1 x 1 3 = – 2x 1 12 = Substitusi ke belakang x 1 = – 6

13. 1 x 9 = Substitusi ke belakang x = 9

14. Jebakan Pada Metode Eliminasi Pembagian oleh nol Contoh : 2x 2 + 3x 3 = 8 0 2 3 4x 1 + 6x 2 + 7x 3 = -3 A = 4 6 7 2x 1 + x 2 + 6x 3 = 5 2 1 6 Penyelesaian : pivoting

15. Jebakan Pada Metode Eliminasi Kesalahan pembulatan - kesalahan pembulatan menjadi penting pada penanganan persamaan yang berjumlah besar (100 persamaan lebih ) Solusi : Gunakan angka signifikan yang lebih banyak

16. Jebakan Pada Metode Eliminasi Sistem kondisi timpang - Sistem kondisi timpang adalah sistem dimana perubahan kecil dalam koefisien menghasilkan perubahan yang besar dalam solusi Sistem kondisi baik adalah sistem dimana sejumlah kecil dalam satu atau lebih koefisien akan menghasilkan perubahan kecil pada solusi . Contoh : x 1 + 2 x 2 = 10 1.1 x 1 + 2 x 2 = 10.4 x 1 + 2 x 2 = 10 1.05 x 1 + 2 x 2 = 10.4 x 1 + 2x 2 = 10 8+2(1) = 10 ( sama !) 1.1x 1 + 2x 2 = 10.4 1.1(8)+2(1)=10.8 ( mendekati !)

17. Jebakan Pada Metode Eliminasi Sistem kondisi timpang : Adalah Sistem dengan suatu d eterminan mendekati nol . Jika determinan =0 maka solusi tidak terhingga ( sitem singular) Penskalaan : mengalikan dengan faktor skala Penskalaan tidak akan mengubah solusi tapi akan mempengaruhi besarnya determinan