Sistema de numeración decimal. Material completo. .pptx

Presentación sobre el Sistema de numeración decimal-

1. SISTEMA NUMÉRICO DECIMAl

2. El sistema numérico decimal De la necesidad de usar números grandes surge la invención de un sistema que permita expresar estos números de manera concisa y a su vez operar de manera sencilla y eficaz con ellos.

3. El sistema numérico decimal: Principios Agrupación de decenas: se refiere a la organización de los números, es decir, con los conjuntos de objetos, con la recolección y agrupación de diez elementos para formar una nueva unidad. Este proceso se repite: diez unidades se agrupan para formar una decena, diez decenas para formar una centena, diez centenas para formar una unidad de mil y así sucesivamente. Notación posicional: los números se expresan por medio de un sistema denominado “notación posicional”. Esto significa que cada dígito posee un valor diferente dependiendo de su posición en la cifra. El primer dígito que se encuentra a la derecha representa a las unidades, el segundo dígito de derecha a izquierda corresponde a las decenas, el tercer dígito de derecha a izquierda corresponde a las centenas, y así continúa sucesivamente.

4. El sistema numérico decimal: Principios “El sistema decimal se utiliza para organizar y representar números. Se basa en dos principios: la agrupación de decenas y la adscripción de un valor a un dígito según su ubicación en la cifra. Mientras más a la izquierda se encuentre el dígito, mayor será su valor” “El sistema decimal simplifica la anotación de cifras mayores y facilita los cálculos que se hace con ellas”

5. El sistema numérico decimal Actividad grupal: Discutan respecto a los conceptos que se enuncian y defínanlos de acuerdo a sus conocimientos: 1. Dígito – 2. Cifra – 3. Número – 4. Cero – 5. Unidad 6. Decena – 7. Centena – 8. Valor posicional – 9. Unidad de orden 10. Sistema numérico decimal (SND)

6. El sistema numérico decimal Definición de conceptos: Discutan respecto a los conceptos que se enuncian y defínanlos de acuerdo a sus conocimientos: Dígito: se refiere a uno de los signos posicionales usados en un sistema numérico para representar a los números. Cifra: a veces se usa como dígito a veces como conjunto de dígitos que representan un número. Número: Es un concepto abstracto que representa la cantidad de elementos que contiene un conjunto determinado 4. Numeral: es el símbolo con que representamos a estos conceptos para poder comunicarnos.

7. 5. Cantidad: Resultado de una medición. Particularmente, cuando se cuenta una colección, se está midiendo. 6. Cardinal: número que representa la cantidad de objetos de una colección. 7. Ordinal: número que representa orden o sucesión en relación con los números naturales e indican el lugar que ocupan. 8. Cero: expresa ausencia de cantidad. 9. Unidad: En un número corresponde al dígito que se ubica en el primer lugar de derecha a izquierda y representa la cantidad de objetos que no fue posible agrupar de a 10. Según el principio de agrupamiento reiterado de nuestro sistema de numeración decimal, nunca un número podría tener más de 9 unidades. 10. Decena: En un número corresponde al dígito que se ubica en el segundo lugar de derecha a izquierda y representa la cantidad de grupos de 10 que se logró formar en el agrupamiento. Según el principio de agrupamiento reiterado de nuestro sistema de numeración decimal, nunca un número podría tener más de 9 decenas.

8. 11. Centena: En un número corresponde al dígito que se ubica en el tercer lugar de derecha a izquierda y representa la cantidad de grupos de 10 grupos de 10 que se logró formar en el agrupamiento. Según el principio de agrupamiento reiterado de nuestro sistema de numeración decimal, nunca un número podría tener más de 9 centenas. 12. Valor posicional:  es el valor que toma un dígito de acuerdo con la posición que ocupa dentro del número. 13. Unidad de orden: cada una de las agrupaciones dentro de un número, en nuestro sistema decimal cada 10 elementos se forma una unidad de orden superior. 14. Sistema numérico decimal (SND): Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos(2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

9. Origen del sistema de numeración decimal El sistema numérico que conocemos hoy se inventó en India. Pero en realidad data de la Babilonia antigua: los babilonios ya habían inventado ambos principios (la agrupación y la notación posicional) hace unos 3.700 años. Sin embargo, en el sistema que utilizaban en esa época no se agrupaban unidades en decenas., sino que se agrupaban unidades por grupos de 60. Este método de escritura fue adoptado por los griegos quienes lo utilizaban para los casos de cálculos complejos, como los que se usan en astronomía.

10. Origen del sistema de numeración decimal El SND se comenzó a utilizar en India durante los siglos VI y VII. Los árabes adoptaron el sistema en el siglo VIII, y lo trajeron a Europa durante el siglo XII. Los árabes también adoptaron la grafía de los dígitos utilizada en India. Pero ésta se instauró de manera diferente alrededor del mundo. La cultura occidental utiliza los dígitos que se crearon en la España árabe. Pero los árabes mismo utilizan los dígitos que se crearon en el Medio Oriente.

11. Construcción de un sistema numérico En un primer momento hay que determinar la base del sistema. Cada b unidades simples (unidades de primer orden) formen la unidad de segundo orden, escribiéndola a la izquierda de las unidades (principio del valor relativo de las cifras). Se continua con el proceso como en 2. Cuando no hay unidades de un orden se expresa mediante el 0 en la posición correspondiente.

12. En nuestro sistema numérico Tenemos la b=10. Son diez símbolos que comienzan en 0 y terminan en b-1. Cada b unidades de primer orden (U: unidad) forman una unidad de segundo orden (D: decena) Cada b unidades de segundo orden forman una de tercer orden (C: centena) y así sucesivamente.

13. Las reglas de todo sistema de numeración posicional Elegido un número b>1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras (0, 1, 2, …, b-1) que representan el cero y los primeros números naturales

14. Sistemas numéricos en general Cualquier número se representa mediante combinaciones de los signos definidos en el sistema de numeración. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. Al número de unidades o agrupación que constituye cada unidad de orden superior se le llama base del sistema de numeración.

15. Sistemas numéricos en general En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de segundo orden . Cuando se alcanza un número determinado, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente . La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos.

16. Otros señalan: Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios , que se emplean para representar correctamente los números. Entre estos principios tenemos: 1. Principio de Orden 2. Principio de la Base 3. Principio posicional

17. 1. Principio de orden Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda .

18. 2. Principio de la base Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad , el cual nos indica la forma como debemos agrupar .

19. ¿Cómo se representa veinte en el sistema quinario (base 5)? En el sistema ”quinario”, debemos agrupar de 5 en 5

20. La base de un sistema de numeración también nos indica cuántas cifras usarse en el sistema, veamos.

21. 3. Principio posicional

22. ¿ CÓMO representar un número en base b a base 10 ? Para Por descomposición polinómica: Ejemplo: 4357 = (9) 9 9 9 2 9 3 4 9 +   3 3 9 +   2 5 9 +   7 9   1 1 2916 + 243 + 45 + 7 = 3.211 (10) 4 81 + 5  

23. Actividad: pasar a base 10 2356 (base 8) 12011 (base 3)

24. Para representar un número en un sistema decimal, se emplea el método de: “Divisiones Sucesivas” ¿ Cómo representar un número en base 10 a base b ? Ej.: Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 ) 243 7 34 5 7 4 6 Entonces: 243 = 465 (7)

25. 145(10) a base 3

26. Actividad: pasar de base 10 a base b 145 a base 3: 768 a base 8: Para ampliar la información deben leer la página 46 a la 49 del libro REFIP Números.

27. División con ceros en el cociente 2 7’5’4’ : 9 = 3 6 0 5 4 ¿Por qué debemos colocar un “cero” en el cociente cuando el dividendo resultante es 5? La razón es que cuando el dividendo es menor que el divisor, debemos buscar qué número multiplicado por ese divisor permite continuar la división. En este caso 0*9 es 0 por lo tanto no afecta al 5 y podemos seguir avanzando sin caer en el error de no respetar las cifras y su valor posicional.

28. Clase 6 de abril 28

29. Recordamos que hay distintos TIPOS DE SISTEMAS NUMÉRICOS Aditivos (agrupamiento simple o múltiple). Por ejemplo: egipcio, romano. Multiplicativo. Por ejemplo: el ático. Híbridos que combinan el principio aditivo con el multiplicativo (chino) Posicionales. Por ejemplo: babilónicos, maya, decimal).

30. EL SND Es un sistema posicional, aditivo-multiplicativo (híbrido) Adopta un símbolo específico para cada uno de los números inferiores a la base llamados cifras o dígitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Una cifra a la izquierda de la otra representa potencias de la base inmediatamente superiores. El valor posicional es el valor que tiene cada número según el orden y la cantidad de cifras que tengan. Los de una cifra son de primer orden, los de dos cifras son de segundo orden, etc.

31. EL SND Para emplear la carencia de unidades de cualquier orden se emplea el cero . La base del SND son agrupaciones sucesivas de 10 en 10 (b=10). El SND oral no es posicional, lo cual genera grandes dificultades para los niños. (se lee de izquierda a derecha).

32. Síntesis respecto al estudio de otras bases El estudios de los sistemas de numeración y en especial el nuestro, tienen una importancia capital en la educación escolar por los siguientes motivos: Refuerza la idea del niño de qué es un número natural, sus usos mas comunes y las formas en que podemos representarlos. Se evita que el alumno se encasilla en una sola visión de lo que es un número y a partir de esta construir nuevos aprendizajes.

33. El Sistema numérico decimal Si nuestro sistema decimal consta de unidades (o agrupaciones) de 10 elementos ¿Qué tipo de actividades nos permitirá pasar de la secuencia numérica a la comprensión del sistema decimal y sus características? ¿A entender que 12 significa 1D+2U=10+2 y no 1+2? ¿Qué aprendizajes previos deben estar ya trabajados en clases?

34. El Sistema numérico decimal La comprensión del sistema numeración decimal se apoya básicamente en la relaciones establecidas entre los dígitos y las cantidades y en las relaciones entre unidades de orden. El material concreto apoya la posibilidad de: Identificar los números como cantidades concretas, comparándolos y ordenándolos físicamente. Tener una idea del tamaño relativo de las cantidades.

35. El Sistema numérico decimal Entonces el uso y comprensión del sistema numérico decimal se observa cuando los alumnos: Son capaces de leer y escribir numerales, Manejan reglas de canje en sentido directo e inverso, Reconocen expresiones equivalente para una misma cantidad, Aplican estos conocimientos en diversas situaciones.

36. El Sistema numérico decimal ¿Qué materiales concretos podemos utilizar? Palitos de helados y elásticos Bloques multibase Botones y paquetes de botones Fósforos y cajas de fósforos- Ábacos Otros

37. Síntesis de lo aprendido: Permite adquirir mayor dominio de la secuencia numérica lo cual les será indispensable para poder avanzar plenamente en su formación matemática (procedimientos, estrategias). Permite entender que los sistemas de numeración han supuesto un avance muy importante en todas las sociedades . Permite generar condiciones didácticas que ayudan a mejorar los métodos y los contenidos de enseñanza asegurando que los niños evolucionen y puedan resolver problemas dentro y fuera del aula. En la comprobación es importante que ninguno de los dígitos, independiente de la posición en la que estén, sea mayor a la base.

38. Propuesta para la enseñanza del sistema de numeración decimal en el contexto escolar. 38

39. ACTIVIDAD PARA EXPOSICIÓN Esta nota será formativa incluida dentro del 10% de trabajos y actividades generales. Diseñar una actividad que permita comprender el sistema de numeración decimal, esta debe incluir: Un OA de acuerdo al Programa de Estudios de Matemática, relacionado con el tema. Indicar el nivel al cual está dirigida la propuesta. Debe incluir una breve historia o situación inventada desde un contexto real o ficticio, esta historia debe llevar a la necesidad de hacer las agrupaciones. Debe mencionar el material concreto a usar y llevarlo a la exposición. Debe mencionar todos los pasos, indicaciones y preguntas a llevar a cabo para lograr la actividad. Debe incluir una guía en la que los estudiantes puedan poner en práctica lo aprendido en clase y hacer el paso de lo concreto a lo pictórico y simbólico. IMPORTANTE: l a exposición debe durar máximo 10 minutos y los grupos serán obligatoriamente de 3 estudiantes, no se permiten 2 o 4. La rúbrica de evaluación incluirán estos ítems y será publicada antes de la exposición (13/04) 39

40. Una mirada desde el Programa de Estudios de Matemática: 1° Básico:

41. 1° básico. Ejemplos

42. 1° básico. Ejemplos

43. 1° básico. Ejemplos

44. 1° básico . Ejemplos

45. 1° Básico. Ejemplos

46. 2° Básico OA7

47. 2° Básico. ejemplos

48. 2° Básico. ejemplos

49. 2° Básico. ejemplos

50. 2° Básico. ejemplos

51. 3° Básico

52. 3° Básico. Ejemplos

53. 3° Básico. Ejemplos

54. 3° Básico . Ejemplos

55. 3° Básico. Ejemplos

56. 3° Básico. Ejemplos

57. El canje: Actividades previas a la decena Cambiamos en el banco unas fichas por otras (1-9).

58. El canje: Actividades previas a la decena Cambio fichas en el ábaco (bases distintas a 10).

59. Una historia para contar… La historia del rey Krishna Existía un rey llamado Krishna, que apreciaba sobremanera el oro. Cada mañana iba a la bodega para contar cuántas monedas tenía. Pero como cada vez tenía más y más monedas, le costaba mucho estimar cuántas tenía en total. Por lo tanto, pidió al administrador de su reino y de su gran tesoro que juntara las monedas en bolsas que contuvieran 10 monedas cada una. Pronto se volvió difícil contar las bolsas pues había muchas. Entonces pidió al administrador que pusiera las bolsas en sacos que contuvieran 10 bolsas cada uno. Cuando, nuevamente, los sacos se hicieron muy numerosos para llevar la cuenta. Comenzaron a usar baúles de madera que contenían 10 sacos cada uno.

60. A Krishna también le gustaba mostrar su riqueza. Cada mañana marcaba el número de monedas de oro que poseía sobre la entrada del palacio. El primer día, cuando comenzó su colección, tenía 7 monedas. Entonces escribió en la entrada: 7 El segundo día recibió 3 monedas más. ¿Qué hizo? Juntó todas sus monedas en una bolsa de diez y escribió sobre la entrada: 1

61. El tercer día recibió 5 monedas más. Ahora, tenía una bolsa y cinco monedas adicionales. Escribió: 1 5 ¿Por qué escribió el número de bolsas a la izquierda y el número de monedas sueltas a la derecha? Porque la aritmética, como el español, se escribe de izquierda a derecha, y la bolsa, que contiene más monedas, es más importante y va primero.

62. A la mañana siguiente tenía 8 monedas más. Juntó 5 de ellas con las 5 monedas sueltas que ya tenía en la otra bolsa. Ahora tenía dos bolsas y tres monedas sueltas, entonces sobre la entrada escribió: 2 3 Siguió haciendo lo mismo cada día hasta que un día su consultor le preguntó: ¿Por qué se toma la molestia de dibujar monedas y bolsas? Ya todos sabemos que el dígito a la derecha corresponde a las monedas y el dígito a la izquierda corresponde a las bolsas. Ahora puede escribir solamente los dígitos, entonces el rey considerando que el consultor tenía razón escribió: 2 3

63. Así es como se inventó el sistema decimal (al menos, según cuenta esta historia). Así pasaron los días y cuando llegó a tener 3 bolsas con 10 monedas cada una, escribió: 3 Y todos entendieron que no había monedas sueltas, sino que 3 bolsas con 10 monedas cada una y ninguna moneda suelta, y pensó que todos entenderían, pero al mirar por segunda vez se dio cuenta de algo espantoso: ¿cómo va a saber la gente que no se trata de “3 monedas”?

64. Se le ocurrió que algo debía colocarse en el lugar de las monedas para que se entendiera claramente que se trataba de “3 bolsas” y no de “3 monedas”. Entonces el rey Krishna, en un momento de iluminación inventó el dígito 0. escribió un 0 a la derecha del 3 para indicar que no había monedas sueltas pero que sí se seguiría indicando el número de la cantidad de monedas sueltas. Entonces escribió: 3 0 Tal como escribimos hasta el día de hoy. Fuente: Aharoni , A. (2012). Aritmética para padres y madres. Un libro para adultos sobre la matemática escolar. Editorial universitaria.

65. Otro ejemplo El número 0 es como la mochila que coloca un niño en su silla para mostrar que la silla ya está ocupada. En el número 201, el cero significa que “no hay decenas, pero sí sigue habiendo un lugar para las decenas”. De esta manera sabemos que el 2 indica la cantidad de centenas. Si se hubiese omitido el cero, el número hubiese sido 21, en donde el 2 indica dos decenas. La verdadera historia es que el dígito 0, al igual que los principios de agrupación y notación posicional, fue inventado por los babilonios. Sin embargo, no lo utilizaban al final de un número, solo lo utilizaban en el medio. La diferencia entre el 3 y el 30 se deducía del contexto.

66. Referencias Aharoni , A. (2012). Aritmética para padres y madres. Un libro para adultos sobre la matemática escolar. Editorial universitaria. MINEDUC. (2013). Programa de Estudio de Matemática. Unidad de Currículum y Evaluación. Lewin, R., López, A., Martínez, s., Rojas, D., Zanocco , P. (2013). REFIP Números. SM Chile S.A 66