Sistemas de Equações Diferenciais muito boa

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1. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

2. Um sistema linear da forma é chamado de sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Se todas as funções g 1 (t), . . . , g n (t) forem identicamente nulas no intervalo I = (α, β), dizemos que o sistema é homogêneo; caso contrário, ele é não-homogêneo . (1)

3. Dizemos as funções: são uma solução do sistema no intervalo I = (α, β) se elas : i) são diferenciáveis em todos os pontos do intervalo I e ii) satisfazem o sistema em todo t ∈ I . Se associarmos ao sistema, n condições iniciais : dizemos que (1) e (3) formam um problema de valor inicial (PVI) (2) (3)

4. Vejamos, através de um exemplo, que sistemas lineares envolvendo derivadas de ordem mais altas podem ser reduzidos a sistemas de primeira ordem : Fazendo a mudança de variável nos diz que (4) (5) (6)

5. e permite que reescrevamos o sistema (125), como um sistema de primeira ordem: Se tivéssemos as quatro condições iniciais relativas ao sistema de segunda ordem (7), elas seriam naturalmente traduzidas nas quatro condições iniciais correspondentes para o sistema de primeira ordem acima. (7)

6. Equações lineares de ordem n também podem ser vistas como sistemas lineares de primeira ordem : Fazendo a mudança de variável e permite que reescrevamos a edo (8), como um sistema de primeira ordem: (8) (9) (10)

7. Método de Eliminação Este método aplica-se a sistemas lineares homogêneos ou não homogêneos . Baseia-se essencialmente no método de eliminação usado na resolução de sistemas lineares algébricos . O operador diferencial é tratado como um “coeficiente” do sistema:

8. Comecemos por introduzir o operador D : Rearranjando:

9. Vamos agora eliminar x 2 . Para tal, multiplicamos a primeira equação por -(D-1), a segunda por 2 e somamos ambas as equações : Obtém-se assim uma equação em x 1 :

10. Transformamos assim a resolução do sistema de duas EDO’s na resolução de uma EDO homogênea de segunda ordem, o que não nos deverá surpreender, uma vez que já discutimos a analogia entre um sistema de n EDOs lineares de primeira ordem e uma EDO linear de ordem n. A solução geral desta equação é fácil de obter:

11. Da primeira equação do sistema original obtemos uma relação entre x 2 e x 1 : Logo: