Sistemas de Numeracao

Arquitetura de Computadores e Sistemas Operacionais - Sistemas de Numeracao

1. Introdução à Arquitetura de
Computadores e Sistemas
Operacionais
Professor: Mauro Jansen
Sistemas de Numeração e
operações binárias
Versão: 02/2018

2. Prof. Mauro Jansen
Sistemas de Numeração
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 2

3. Prof. Mauro Jansen
Sistemas de numeração
•Conjunto de regras que nos permite
escrever e ler qualquer número
utilizando símbolos básicos
(algarismos ou dígitos).
•Chamamos de “base N” o sistema de
numeração que usa “N” símbolos
para representar os números
–Ex.: base 10, base 2, base 8, base 16
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 3

4. Prof. Mauro Jansen
Sistemas de numeração
•Exemplos:
–Sistema decimal (base 10)
•Dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
–Sistema binário (base 2)
•Dois símbolos: 0 e 1 (que são bits)
–Sistema octal (base 8)
•Oito símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
–Sistema hexadecimal (base 16)
•Dezesseis símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 4
Usado
interna-
mente pelo
computador
Usado às
vezes na
programação
Usado por
nós,
humanos

5. Prof. Mauro Jansen
Por que entender sistemas de
numeração??
•A arquitetura do computador é composta
por memória, CPU e dispositivos de
entrada e saída
•Então antes de estudar a arquitetura do
computador, é importante conhecer como
ele armazena e processa os dados
internamente:
–Internamente, o computador guarda e manipula
tudo na forma de números binários
•Ajuda-nos a entender a matemática que
está oculta em todas as operações
realizadas pelo computador
Redes de Computadores
Introdução, histórico e conceitos

6. Prof. Mauro Jansen
Sistema Decimal
(nosso sistema de numeração)
•Soma dos produtos dos dígitos por potências de
base 10 (10
n), onde n é a posição relativa do
algarismo (peso ou ordem), da direita (n=0) para
a esquerda (n=quantidade de dígitos do número
- 1)
7 0 4 8
10
3
10
2
10
1
10
0
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 6
8 x 10
0
= 8 x 1 =
8
4 x 10
1
= 4 x 10 =
40
0 x 10
2
= 0 x 100 =
0
7 x 10
3
= 7 x 1.000 =
7.000
7.048

7. Prof. Mauro Jansen
Sistema Binário
(sistema do computador)
•Soma de produtos dos dígitos (bits) por potências
de base 2 (2
n), onde n é a posição relativa do
algarismo (peso ou ordem), da direita (n=0) para
a esquerda (n=quantidade de dígitos do número
- 1)
1 0 1 0
2
3
2
2
2
1
2
0
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 7
0 x 2
0
= 0 x 1 = 0
1 x 2
1
= 1 x 2 = 2
0 x 2
2
= 0 x 4 = 0
1 x 2
3
= 1 x 8 = 8
10

8. Prof. Mauro Jansen
Bits e Bytes
•Byte é um conjunto de 8 bits:
•O byte é a menor unidade de memória
•Um Nibble é um conjunto de 4 bits
(metade de um byte)
10100111
7 6 5 4 3 2 1 0
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 8
Bit 0: Bit menos
signifcativo
(LSB)
Bit 7: Bit mais
signifcativo
(MSB)
Peso / ordem
dos bits

9. Prof. Mauro Jansen
Sistema Binário: valores
máximos
•Quantidade máxima de valores
representáveis com N bits: 2
N
•Maior valor representável: 2
N – 1
•Exemplos:
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 9
Qtd.de
bits
Qtd.valores Maior
valor
Binário
4 2
4
= 16 15 1111
8 2
8
= 256 255 11111111
16 2
16
= 65536 65535
11111111
11111111

10. Prof. Mauro Jansen
Sistema Hexadecimal
•Usa dezesseis símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
•Notação: letra “h” após o número
–Exemplos: 3Fh, 200Ah, B7ECh, 70h
•Sistema mais usado em computadores
•Correspondência de algarismos
hexadecimais para decimais:
A = 10 D = 13
B = 11 E = 14
C = 12 F = 15
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 10

11. Prof. Mauro Jansen
Sistema Hexadecimal
•Soma de produtos dos dígitos (bits) por
potências de base 16 (16
n), onde n é a
posição relativa do algarismo, da direita
(n=0) para a esquerda
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 11
0 3 C F
2
3
16
2
16
1
16
0
F x 16
0
= 15 x 1 = 15
C x 16
1
= 12 x 16 = 192
3 x 16
2
= 3 x 256 = 768
0 x 16
3
= = 0
975

12. Prof. Mauro Jansen
Um byte em hexadecimal
Redes de Computadores
Introdução, histórico e conceitos
•Byte é um conjunto de 8 bits:
•Um byte equivale a dois dígitos
hexadecimais
•Cada 4 bits (metade de um byte)
corresponde a um dígito hexadecimal:
10100111
7 6 5 4 3 2 1 0
Peso / ordem
dos bits
A 7

13. Prof. Mauro Jansen
Números com um byte
•Repare que com um byte (8 bits) podemos
representar os números decimais de 0 a
255 e seus correspondentes hexadecimais
e binários:
Decimal0 a255
Hexa 00h
a
FFh
Binário00000000
a
1111111
1
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 13
Para representar valores maiores que 255
precisaremos de dois ou mais bytes
Dois dígitos hexadecimais correspondem a um
byte
Logo: Um dígito hexadecimal corresponde a 4
bits

14. Prof. Mauro Jansen
Sistema Hexadecimal:
valores máximos
•Quantidade máxima de valores
representáveis com N dígitos: 16
N
•Maior valor representável: 16
N – 1
•Exemplos:
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 14
Dígitos Qtd.de
bits
Qtd.valores Maior
valor
Hexa
1 4 16
1
= 16 15 F
2 8 16
2
= 256 255 FF
4 16 16
4
= 65536 65535 FFFF

15. Prof. Mauro Jansen
Exercícios
•O que é um sistema de numeração?
•Qual a importância de aprender
sistemas de numeração?
•Qual o sistema de numeração usado
pelas pessoas? Quantos dígitos ele
tem?
•Qual o sistema de numeração usado
computador? Quantos dígitos ele
tem? Por que?
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 15

16. Prof. Mauro Jansen
•O que é um byte?
•O que é um nibble?
•Quantos números binários podemos
representar com 4 dígitos?
–E qual o maior valor?
•Quantos números hexadecimais
podemos representar com 2 dígitos?
–E qual o maior valor?
Redes de Computadores
Introdução, histórico e conceitos

17. Prof. Mauro Jansen
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 17
Conversões de base

18. Prof. Mauro Jansen
Conversões de base
•É possível converter um valor de um
sistema de numeração para outro,
usando algumas regras
•Podemos usar calculadoras ou o
próprio computador para fazer essas
conversões, mas é importante
conhecer as regras
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 18

19. Prof. Mauro Jansen
Conversão da base n para
decimal
•Multiplicar cada dígito por n
X, onde n é a base
destino e x é a posição que o dígito ocupa, da
direita (x=0) para a esquerda, e somar todos os
resultados.
•Exemplo: converter 1010
2 p/ base 10
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 19
1010
2
3
2
2
2
1
2
0
0 x 2
0
= 0 x 1 = 0
1 x 2
1
= 1 x 2 = 2
0 x 2
2
= 0 x 4 = 0
1 x 2
3
= 1 x 8 = 8
10
Portanto,
1010
2
= 10
10

20. Prof. Mauro Jansen
Conversão da base n
para decimal
•Obs.: caso n=16 (conversão da base
16 p/ decimal), substituímos cada
dígito literal hexadecimal pelo seu
respectivo valor decimal (A=10,
B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) na
multiplicação pela potência de base
16, quando necessário
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 20

21. Prof. Mauro Jansen
Conversão de decimal para
base n
•Efetua-se divisões sucessivas do número
decimal por n enquanto o número for
maior que n. O correspondente na base
n será o número formado pelo último
quociente e resto das divisões, da direita
para a esquerda
•Exemplo: Converter 13
10 para base 2
•Solução: 13
10
= 1101
2
132
(1)62
(0)32
(1)(1)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 21

22. Prof. Mauro Jansen
Conversão de decimal
para base n
•Obs.: caso n=16 (conversão da
decimal p/ base 16), substituímos o
quociente e cada resto pelo dígito
literal hexadecimal correspondente
(10=A, 11=B, etc.), quando
necessário
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 22

23. Prof. Mauro Jansen
Conversão de hexa para binário
•É feita de forma transparente, visto que a base
16 é potência da base 2
•Cada dígito hexadecimal corresponde a quatro
dígitos binários e vice-versa
•Substitui-se cada algarismo hexadecimal pelo
seu correspondente binário
•Exemplo:
0 3 C F
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 23
0000 0011 1100 1111

24. Prof. Mauro Jansen
Tabela de conversão básica
DECIMAL HEXA BINÁRIO
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 24
DECIMAL HEXA BINÁRIO
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111

25. Prof. Mauro Jansen
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 25
Codifcações usadas
pelo computador

26. Prof. Mauro Jansen
Codifcações usadas pelo
computador
•São codifcações numéricas usadas
pelo computador para representar
letras, símbolos e números:
–ASCII: Tabelas de códigos padronizada
para representar letras e símbolos
–BCD: Padrão usado para representar
números com seus correspondentes de 4
bits
Redes de Computadores
Introdução, histórico e conceitos

27. Prof. Mauro Jansen
Codifcação ASCII
•Usada para representar dados não
numéricos: letras, sinais ou
algarismos usados em nomes de
pessoa, rua, datas, códigos, etc.
•Tabela criada para representar os
caracteres do mundo real com
códigos no computador e dispositivos
(teclados, displays, etc)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 27

28. Prof. Mauro Jansen
Codifcação ASCII
•ASCII é a sigla para “American
Standard Code for Information
Interchange” (código padrão
americano para intercâmbio de
informações)
•Cada caractere (letras, números,
símbolos, etc.) é representado por um
código (1 byte)
•A tabela completa pode ser
encontrada facilmente na internetIntrod.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 28

29. Prof. Mauro Jansen
Codifcação ASCII
Caracter
e
Decim
al
HexaBinário
Espaço 32 200010
0000
( 33 210010
0001
+ 34 220010
0011
$ 35 230010
0100
... ... ...
0 48 300101
0000
1 49 310101
0001
2 50 320101
0010
3 51 330101
0011
4 52 340101
0100
5 53 350101
0101
... ... ...
Caracter
e
Decim
al
HexaBinário
A 65 41 0110
0001
B 66 42 0110
0010
C 67 43 0110
0011
D 68 44 0110
0100
E 69 45 0110
0101
F 70 46 0110
0110
G 71 47 0110
0111
H 72 48 0110
1000
... ... ...
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 29

30. Prof. Mauro Jansen
Codifcação BCD
•Usada para representar números
•Binary-Coded Decimal (decimal codifcado em binário)
•Usada em alguns displays LCD e outros dispositivos
de saída
•Cada dígito decimal é representado pelo seu
correspondente binário de quatro bits (nibble) :
Decimal BCD Decimal BCD
0 0000 5 0101
1 0001 6 0110
2 0010 7 0111
3 0011 8 1000
4 0100 9 1001
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 30

31. Prof. Mauro Jansen
Codifcação BCD
•Exemplo: representar 148 decimal em
BCD
–1=0001
2
–4=01002
–8=10002
•Como cada dígito em BCD tem 4
bytes e um byte tem 8 bits, para
evitar desperdício, coloca-se dois
BCDs em um byte (BCD comprimido)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 31
148 (decimal) = 0001 0100 1000
(BCD)

32. Prof. Mauro Jansen
Exercícios
•Efetuar as seguintes conversões de
base:
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 32
Número Basep/ base Res.
a) 00110110 2 10
b) 10111111 2 16
c) 3710 2
d) 444 10 16
e) F116 2
f) 300 16 10
g) 8210 BCD
h) 121 10 BCD
i) 10010011 BCD 10

33. Prof. Mauro Jansen
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 33
Aritmética binária

34. Prof. Mauro Jansen
Soma binária
•Regras:
•Exemplo:
•OBS: o “vai 1” ou transporte é chamado
de “carry”
Operação Resultado
0+0 0
0+1 1
1+0 1
1+1 10 (0 e “vai
1”)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 34

35. Prof. Mauro Jansen
Soma binária
•Overflw (estouro): é quando o
resultado da soma não cabe na
quantidade de bits disponível
•Exemplo (dispondo de 4 bits):
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 35
Overfoo
1010
2
(10
10
)
+ 1101
2
(13
10
)
10111
2
( 7
10
)

36. Prof. Mauro Jansen
Valores binários sinalizados
•São números inteiros (positivos e
negativos – conjunto ) no sistema
binário
•Existem 2 soluções para
representação:
–Sinal-magnitude (pouco utilizada)
–Complemento de 2 (padrão)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 36

37. Prof. Mauro Jansen
Valores binários sinalizados
1ª solução: sinal-magnitude
•O bit mais signifcativo representa o sinal e
os bits restantes, o valor:
–+8 = 00001000
–- 8 = 10001000
•Desvantagens:
–Duas representações para o número zero:
•+0 = 00000000
•- 0 = 10000000
–P/ efetuar adição e subtração deve-se
considerar tanto a magnitude quanto o sinal
(difculdade de implementação no processador)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 37

38. Prof. Mauro Jansen
Valores binários sinalizados
2ª solução: complemento de 2
•Também usa o bit mais signifcativo
como sinal, mas os outros bits são
interpretados de forma diferente
•É o valor simétrico de um número
binário
•Passos para achar o complemento de
2:
–Calcular o complemento de 1, invertendo
todos os bits do número binário original
–Somar 1 ao complemento de 1Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 38

39. Prof. Mauro Jansen
Valores binários sinalizados
•Exemplo: calcular o complemento de
2 de 00001000 (8 em decimal):
Normal: 00001000 (+810)
Complemento de 1:11110111
Soma-se 1 ao c-1: 1
Complemento de 2:11111000 (-8
10)
•Regra prática p/ achar complemento
de 2:
–Copie todos os bits da direita p/ esquerda
até achar o primeiro bit 1 (inclusive ele)
–Inverta todos os demais bits
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 39

40. Prof. Mauro Jansen
Valores binários sinalizados
•Quantidade máxima de valores
sinalizados representáveis com N
bits: 2
N - 1
•Faixa de valores:- 2
N/2– 1 a + 2
N/2
– 1
•Exemplos:
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 40
Qtd.de
bits
Qtd.valore
s
Faixa de valores
4 2
4
-1 = 15 -7 a +7
8 2
8
-1 = 255 -127 a +127
16 2
16
-1 =
65535
-32.768 a +32.768

41. Prof. Mauro Jansen
Complemento: noção
matemática
•Complemento de “B” de X
–É o valor simétrico de um número X na base
“B”, com N dígitos que, somado a qualquer
outro número YB com N dígitos, resulta num
número que, desprezando-se os dígitos
mais signifcativos que excedem a
quantidade N, é o resultado da subtração Y
– X
–Onde: B é a base do sistema de numeração
N é a quantidade de dígitos do número X
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 41
complemento de B do número X =
B
N
– x

42. Prof. Mauro Jansen
Complementos: noção
matemática
•Exemplo na base 2 (complemento de 2):
complemento de 2 de X = 2
N – X (N=num.de
algarismos)
Exemplo:
Complemento de 2 de 0011
2 (4 dígitos) = 2
4 –
0011
= 10000 – 0011 = 1101
Prova: 1000 – 0011 = 1000 + 1101 = 10101
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 42

43. Prof. Mauro Jansen
Complementos: noção
matemática
•Exemplo na base 10 (complemento de 10):
Complemento de 10 de X = 10
N – X (n=num.de
algarismos)
Exemplo:
Complemento de 10 de 3 (2 dígitos) = 10
2 – 3 =
97
Provas:
94 – 3 = 94 + 97 = 191 (desprezando o 1, fca
91)
75 – 3 = 75 + 97 = 172 (desprezando o 1, fca
72)
10 – 3 = 10 + 97 = 107 (desprezando o 1, fca
07)
(então 97 é como se fosse -3)
Redes de Computadores
Introdução, histórico e conceitos

44. Prof. Mauro Jansen
Operações binárias: subtração
•Podemos efetuar a subtração binária da mesma
forma que no sistema decimal, sendo que pode
ocorrer um “vai 1” é subtraído do resultado da
próxima conta
•Regras:
•Exemplo:
1 1 1
1000
- 0011
0101
Operação Resultado
0-0 0
1-0 1
1-1 0
0-1 11 (1 e “vai
1”)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 44

45. Prof. Mauro Jansen
Operações binárias: subtração
•Como vimos no exemplo anterior, a
subtração pelo processo normal é
trabalhosa
•Por convenção e por questões de
simplifcação, o microprocessador
efetua apenas a operação de adição
•Mas como efetuar subtração só
dispondo da adição?
–R: usando o “complemento de 2”
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 45

46. Prof. Mauro Jansen
Subtração usando
complemento de 2
•Basta somar o complemento de 2 do
segundo fator ao primeiro
•Vejamos como fca a subtração
anterior usando soma com
complemento de 2:
1000 – 0011 = 1000 + complemento de 2 de
0011
1000
+1101
10101
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 46
Despreza-se o dígito que
excede a quantidade de bits
que é 4

47. Prof. Mauro Jansen
Outras operações
•Multiplicação: várias adições
•Divisão: várias subtrações (adições
com complemento de 2)
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 47

48. Prof. Mauro Jansen
Exercícios
•O que é carry?
•O que é overfoo?
•Efetue as seguintes operações,
indicando se houve carry e overfow
em cada uma:
–101011 + 110010
–110101 + 000111
–1010 – 0011 (normal e c/complemento
de 2)
•Efetue a subtração 94 -12 usando
soma c/ o complemento de 10 de 12
Introd.Arq.Computadores e SO
Sistemas de Numeração 48