Sistemas de primer, segundo orden y de orden superior

Hecho por Leandro Casais

1. Sistemas de primer, segundo orden y orden superior Hecho por: Leandro casais

2. Respuesta temporal Un sistema puede ser excitado con distintas señales de entrada. Las más utilizadas son las funciones impulso unidad, escalón unidad, rampa unidad y sinusoidal de amplitud unidad. La respuesta del sistema ante las distintas entradas suele tener un régimen transitorio y otro permanente, aunque este ultimo puede no darse y depende de la estabilidad del sistema.

3. Sistemas de primer orden Un sistema de primer orden se define como aquel que posee un único polo. Por lo general, la función de transferencia G(s) de un sistema es una expresión racional de polinomios en s. Las raíces del denominador se llaman polos y las raíces del numerador se llaman ceros

4. Respuesta ante entrada impulso La salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada impulso unidad es: A continuación se muestra un ejemplo de respuesta ante entrada impulso. Aparece también la recta que comienza en K/T con pendiente −K/T². Se observa que dicha recta pasa por cero para t = T. En el ejemplo, T = 0.33 s.

5. Respuesta ante entrada escalón La salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada escalón unidad es: En la figura se muestra la respuesta ante entrada escalón unidad del mismo ejemplo que el apartado anterior. Ahora el valor final es K, mientras que recta que sale del origen con pendiente K/T toma el valor K para t = T.

6. Respuesta ante entrada sinusoidal La salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada sinusoidal de amplitud unidad y frecuencia ω es: Se observa que la salida c(t) posee dos sumandos: el primero es transitorio, desaparece prácticamente después de T segundos, y el segundo es una sinusoidal de frecuencia igual a la de la señal de entrada, pero con una amplitud y un retraso que dependen tanto de la frecuencia ω de entrada como de las características del sistema de primer orden.

7. Ejemplo de sistema de primer orden En la siguiente figura se puede ver un ejemplo de un sistema físico de primer orden, y en la ecuación la función de transferencia de dicho sistema:

8. Sistemas de segundo orden Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. Este tipo se sistemas se suele representar de la siguiente forma: La constante K es la ganancia estática del sistema, ζ es el amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural. Dependiendo del carácter de los polos, el sistema de segundo orden puede ser subamortiguado, sobreamortiguado, críticamente amortiguado u oscilatorio.

9. Sistema subamortiguado El amortiguamiento posee un valor entre 0 y 1 y los polos del sistema de segundo orden son complejo-conjugados. Su posición aparece en la siguiente ecuación: La constante σ es la atenuación del sistema y ωd la frecuencia natural amortiguada. En la figura se define el ángulo φ que forman los polos complejo-conjugados en el plano complejo S con el origen

10. Sistema sobre mortiguado El amortiguamiento es mayor que la unidad y los polos del sistema de segundo orden son reales localizados en:

11. Sistema críticamente amortiguado El amortiguamiento es igual a la unidad y los polos son reales e iguales:

12. Sistema oscilatorio El amortiguamiento es cero y los polos del sistema de segundo orden son complejo conjugados imaginarios puros localizados en: En este último caso no existe ningún valor de régimen permanente ante entrada escalón unidad.

13. Sistemas de orden superior El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del sistema. Como se ha visto en el apartado anterior, el polo más lento es el que posee la constante de tiempo más grande, es decir, aquel polo se encuentran más cerca del origen en el plano complejo S.

14. Influencia de los ceros La presencia de ceros en la función de transferencia, modifica la respuesta que se podría esperar del sistema atendiendo a la posición de los polos. La presencia de un cero real negativo hace el efecto contrario un polo, es decir, adelanta la respuesta temporal en lugar de retrasarla. Si el sistema tenía dos polos, la pendiente inicial del sistema pasa de ser nula a no nula. Si el sistema tenía tres polos, la derivada segunda en el instante inicial para se ser nula a no nula. Y así sucesivamente.