SISTEMAS DEPREDADOR-PRESA (1) EN EDO.pdf

Es una pequeña presentación sobre el uso de las EDO en un sistema depredador presa

1. aplicacion de las edo en un SISTEMA
DEPREDADOR-PRESA

2. aplicación de las edo en un sistema depredador-presa +luis mario espejo romero
+josé miguel ruiz tejada
+jean carlos hernandez c ecuaciones diferenciales ordinadrias 2024

3. contenido ⚫ introducción

4. contenido ⚫ introducción
⚫ marco teórico

5. contenido ⚫ introducción
⚫ marco teórico ⚫ objetivos

6. contenido ⚫ introducción
⚫ marco teórico ⚫ objetivos ⚫ ¿Cómo afecta la interacción depredador-presa a una poblacion de
un ecosistema?

7. contenido ⚫ introducción
⚫ marco teórico ⚫ objetivos ⚫ ¿Cómo afecta la interacción depredador-presa a una poblacion de
un ecosistema?
⚫ conclusión

8. contenido ⚫ introducción
⚫ marco teórico ⚫ objetivos ⚫ ¿Cómo afecta la interacción depredador-presa a una poblacion de
un ecosistema?
⚫ conclusión
⚫referencias

9. introducción .

10. marco teórico ⚫ sistema depredador-presa es una relación ecológica entre ambas especies ,el cual, genera un equilibrio que regula las
poblaciones, donde el número de depredadores y presas fluctúa cíclicamente a lo largo del tiempo.

11. marco teórico ⚫ crecimiento exponencial se refiere a un tipo de aumento en el que la cantidad crece a una tasa proporcional a su valor
actual, Matemáticamente, este tipo de crecimiento se describe con una EDO de variable
separable : que tiene solución:

12. marco teórico ⚫ crecimiento logÍstico describe cómo una población o cualquier cantidad crece de forma limitada por algún factor
ambiental o de capacidad, alcanzando eventualmente un estado de equilibrio. matematicamente
se representa por medio de un pvi:que tiene solución:

13. marco teórico ⚫ cadena trófica es una representación lineal que describe como la energía y
los nutrientes fluyen entre los organismos de un ecosistema.

14. objetivos ⚫ objetivo general

15. objetivos ⚫ objetivo generalModelar y analizar las dinamicas poblacionales de un sistema depredador-presa utilizando
ecuaciones diferenciales ordinarias, con el fin de comprender
las interacciones ecológicas entre ambas especies y preveer su comportamiento a
lo largo del tiempo .

16. objetivos ⚫ objetivos específicos: ⚫ Establecer condiciones de equilibrio

17. objetivos ⚫ objetivos específicos: ⚫ Establecer condiciones de equilibrio
⚫ Predicción y control de poblaciones

18. objetivos ⚫ objetivos específicos: ⚫ Establecer condiciones de equilibrio
⚫ Predicción y control de poblaciones
⚫ Profundizar nuestros conocimientos en los temas utilizados

19. objetivos ⚫ objetivos específicos: ⚫ Establecer condiciones de equilibrio
⚫ Predicción y control de poblaciones
⚫ Profundizar nuestros conocimientos en los temas utilizados
⚫ Culminar de manera satisfactoria el curso de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

20. ⚫ ¿Cómo afecta la interacción depredador-presa a
las poblaciones en un ecosistema? El estudio del crecimiento poblacional ha generado modelos matemáticos para especies aisladas, pero para reflejar
la complejidad real de los ecosistemas, es esencial incluir las interacciones entre especies que comparten un mismo
hábitad. Uno de los escenarios más emblemáticos es el de la interacción depredador-presa. dicho lo anterior, Consideremos la situacion clásica en la que una especie, llamada presa,
dispone de un suministro abundante de alimento, mientras que otra especie, el depredador,
se alimenta exclusivamente de ella. si se tienen los casos donde:

21. ⚫ si, En ausencia de depredadores, el suministro amplio de alimento apoyaría el crecimiento
exponencial de la presa, es decir, entonces, ⚫ si, En ausencia de la presa, se supone que la población de depredadores disminuiría con una rapidez
proporcional a sí misma, es decir, entonces,

22. Sin embargo, En un ecosistema, las presas enfrentan mortalidad principalmente por depredación, mientras que los
depredadores dependen de la abundancia de presas para reproducirse y sobrevivir. Esto establece una relación
directa entre ambas poblaciones. Entonces, Con los supuestos anteriores se Tiene que :

23. Sin embargo, En un ecosistema, las presas enfrentan mortalidad principalmente por depredación, mientras que los
depredadores dependen de la abundancia de presas para reproducirse y sobrevivir. Esto establece una relación
directa entre ambas poblaciones. Entonces, Con los supuestos anteriores se Tiene que : Se supone también que las dos especies se encuentran entre sí con una frecuencia que es proporcional a ambas
poblaciones y, por tanto, es proporcional al producto entonces, ⚫ la presa drecece a una tasa y los depredadores crecen a una tasa

24. luego, Las ecuaciones en 1 y 2 se conocen como ecuaciones depredador-presa, o ecuaciones
de Lotka-Volterra no se puede resolver una ecuación y luego la otra; se tienen que resolver en forma simultánea y
Desafortunadamente, por lo general es imposible hallar fórmulas explícitas para d y p como funciones del tiempo,
Sin embargo, se pueden emplear métodos gráficos para analizar las ecuaciones.

25. el anterior sistema tiene dos Puntos de equilibrio, esto es: entonces, Ó Ahora,

26. para estudiar la estabilidad de los puntos críticos y analizar el comportamiento del sistema cerca
de esos puntos, usamos entonces, el jacobiano para el sistema es: ⚫ En (0,0) (0,0) Es un punto silla

27. ⚫ En Los autovalores son puramente imaginarios, lo que indica que es un centro: las trayectorias
cercanas son órbitas cerradas (comportamiento cíclico).

28. ejemplo 1 En una reserva natural, se estudia la interacción entre dos especies: tigres y venados. Suponga que
Las poblaciones de ambas especies están modeladas mediante las ecuaciones de Lotka-Volterra. con : a) Encuentre las soluciones constantes e interprete la respuesta.
b) describa graficamente los cambios de las poblaciones en el tiempo. DESarollo: a) entonces, ó se tiene el siguiente sistema

29. Así que las poblaciones de equilibrio constan de 120 tigres y 1500 venados. Esto significa
que 1500 venados son suficientes para soportar una población constante de 120 tigres luego, B) PRIMERAMENTE, BUSQUEMOS una expresion Usamos la regla de la cadena para eliminar t resolviendo la EDO,

30. luego, Dibujamos el campo direccional para esta ecuación diferencial y la empleamos para bosquejar
varias curvas solución . Esto es,

31. ENTONCES.

32. ejemplo 2 Moscas, ranas y cocodrilos coexisten en un ambiente. Para sobrevivir, las ranas comen moscas y los cocodrilos necesitan
comer ranas. En ausencia de ranas, la población de moscas crecerá exponencialmente y la población de cocodrilos caerá
exponencialmente. En ausencia de moscas, la población de ranas decaerá exponencialmente. si, representan las poblaciones de estas tres especies en el tiempo t , escriba un sistema de ecuaciones diferenciales como modelo para la
evolución de ellas. desarrollo : sean Las poblaciones moscas, ranas y cocodrilos respectivamente. en ausencia de ranas, la población de moscas crecerá exponencialmeNTE, pero la población de cocodrilos decaerá
exponencialmente. Entonces,

33. seguidamente.
EN AUSENCIA DE MOSCAS , LA POBLACION DE RANAS DECAERA EXPONENCIALMENTE.ENTONCES; NOS OFRECE ENCUENTROS EN LOS QUE LAS MOSCAS PIERDEN , LAS RANAS GANAN Y PIERDEN , Y LOS
COCODRILOS GANAN ; LO CUAL EN TERMINOS DE TASA DE CRECIMIENTO

34. AL REUNIR ESTA INFORMACION TENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES , CON TODOS LOS CASOS POSIBLES QUE PODRIAN
VARIAR ENTRE ESTA CIERTA POBLACIÓN.

35. AHORA, SE asume que las poblaciones no crecen indefinidamente, sino que tienden a estabilizarse debido a la limitación de recursos.
Al integrar esta dinámica en el sistema de Lotka-Volterra, se obtiene un modelo más ajustado a situaciones ecológicas reales,
donde el equilibrio ecológico es influido tanto por la competencia intraespecífica (dentro de la misma especie) como por las
interacciones depredador-presa.
crecimiento logístico introduce la noción de que las presas no pueden crecer indefinidamente debido a la capacidad de carga del
entorno (K), que representa los recursos limitados disponibles (alimento, espacio, etc.). Al incorporar este concepto, se modifica
la ecuación de las presas para que no sigan un crecimiento exponencial descontrolado, lo cual hace el modelo más realistas..
entonces,
las ecuaciones de la tasa de cambio de los depredadores siguiendo:

36. ejemplo 3 Supongamos que un ecosistema esta compuesto por una población de liebres (presas) y zorros
(depredadores). El crecimiento de las liebres está limitado por la cantidad de alimento disponible
(plantas) y la presión de depredación ejercida por los zorros. A su vez, la población de zorros
depende de la disponibilidad de liebres como fuente de alimento. Con interprete el cambio en las poblaciones para t=1 desarrollo:

37. La población de liebres disminuye en 125 individuos. Luego, La población de zorros aumenta en individuos.

38. así, En este escenario, la población de liebres disminuye debido a la fuerte presión de depredación
ejercida por los zorros. Sin embargo, la abundancia inicial de liebres permite un crecimiento
significativo en la población de depredadores. Con el tiempo, se espera que las oscilaciones de ambas
poblaciones lleguen a un equilibrio dinámico.

39. CONCLUSIÓNLos resultados obtenidos evidencian que, si bien el modelo Lotka-Volterra es útil para describir de manera aproximada
las interacciones entre depredadores y presas, presenta limitaciones importantes al compararlo con datos
experimentales reales. Esto se refleja en una baja medida de bondad de ajuste, ya que el modelo asume oscilaciones
periódicas con amplitud, periodo y fase constantes. Sin embargo, los datos históricos suelen mostrar fluctuaciones
variables, probablemente influenciadas por factores externos no considerados en el modelo, como la disponibilidad de
recursos, enfermedades, la intervención humana (como la caza) y las condiciones del entorno.
Dado que estas simplificaciones reducen la capacidad del modelo para capturar la complejidad de las dinámicas
poblacionales reales, se recomienda explorar enfoques más avanzados en estudios futuros. Esto incluye la
incorporación de nuevas variables determinantes, como la disponibilidad de alimento para las presas, la existencia de
refugios, la propagación de enfermedades, o incluso la interacción con otras especies. Dichas modificaciones podrían
mejorar la precisión y utilidad del modelo como herramienta para la toma de decisiones en la gestión de ecosistemas.
Asimismo, sería valioso analizar modelos estructurados de depredador-presa, que aunque implican mayor complejidad
matemática, permiten realizar supuestos más realistas y ajustados al comportamiento observado en los ecosistemas.
Este enfoque multidimensional podría ofrecer perspectivas más completas sobre las dinámicas poblacionales y
contribuir a la creación de modelos más robustos para aplicaciones prácticas.

40. Referencias⭐Stewart, J. (2012). Cálculo: Trascendentes Tempranas (7a ed.). Cengage Learning. ⭐Turchin, P. (2003). Complex Population Dynamics: A Theoretical/Empirical Synthesis. Princeton University Press ⭐Albarello, M., y Valverde, J. (2018). Modelos matemáticos en biología: Análisis y simulación. ⭐https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Lotka-Volterra ⭐J. A. Oganician. Modelo depredador- presa de lotka-volterra.
https://riull.ull.es/xmlui/bitstream/handle/915/6217/Modelo%20depredador-presa%20de%20VolterraLotka.pdf?
sequence=1isAllowed=y, 2017. ⭐M. García Montoya et al. Ecología matemática. 2019.

41. Gracias por su atención