Sistemas numéricos: Evolução
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About This Presentation
Síntese elaborada por Celeste Duque, onde se procuram as origens do conceito de número e contagem. Apresentam-se alguns dos sistemas numéricos da antiguidade, tais como: Babilónia, Maia, Egípcio, Romanos, Hindu/Árabe. Sistemas de contagem: o Ábaco...
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Sistemas Numéricos:
Evolução
Escrita egípcia
Inscrição numa fonte
São Pedro das Águias (velhas), Granjinha
Papiro Rhind, Museu de Londres.
Contando nas cavernas,. Foto: © Alek
Baptista/MUHPAN.
Evolução
Escrita egípcia
Inscrição numa fonte
São Pedro das Águias (velhas), Granjinha
Papiro Rhind, Museu de Londres.
Contando nas cavernas,. Foto: © Alek
Baptista/MUHPAN.
April 1, 2010
© Celeste Duque
2
l
Introdução: origem dos números
1.Como surgiram os números?
2.Quais as eram as primeiras formas de contagem?
3.Como é que os números foram criados, ou, será que
eles sempre existiram?
Pintura Rupestre
© Celeste Duque
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l
Introdução: origem dos números
1.Como surgiram os números?
2.Quais as eram as primeiras formas de contagem?
3.Como é que os números foram criados, ou, será que
eles sempre existiram?
Pintura Rupestre
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Introdução: origem dos números
–Os homens primitivos não tinham necessidade de
contar, pois o que necessitavam para a sua
sobrevivência era retirado da própria natureza - povos
recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de
frutos e raízes...
© Celeste Duque
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Introdução: origem dos números
–Os homens primitivos não tinham necessidade de
contar, pois o que necessitavam para a sua
sobrevivência era retirado da própria natureza - povos
recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de
frutos e raízes...
April 1, 2010
© Celeste Duque
4
l
Introdução: origem dos números
–A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das actividades humanas, quando
deixou de ser nómada:
•E sentiu necessidade de se fixar em determinada área
geográfica fosse pela abundância de recursos ou por
uma questão de melhor sobreviver aos sucessivos
ataques de tribos inimigas...
© Celeste Duque
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Introdução: origem dos números
–A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das actividades humanas, quando
deixou de ser nómada:
•E sentiu necessidade de se fixar em determinada área
geográfica fosse pela abundância de recursos ou por
uma questão de melhor sobreviver aos sucessivos
ataques de tribos inimigas...
April 1, 2010
© Celeste Duque
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l
Introdução: origem dos números
–Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar
trocas de produtos.
•Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria
trocar por outros
•Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o
conceito de número matemático.
© Celeste Duque
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Introdução: origem dos números
–Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar
trocas de produtos.
•Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria
trocar por outros
•Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o
conceito de número matemático.
April 1, 2010
© Celeste Duque
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l
Introdução: origem dos números
–As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia,
foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje
é denominada Oriente Médio.
•A agricultura passou então a exigir o conhecimento
–do tempo,
–das estações do ano e
–das fases da Lua e
–assim começaram a surgir as primeiras formas de
calendário.
Calendário Lunar
© Celeste Duque
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Introdução: origem dos números
–As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia,
foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje
é denominada Oriente Médio.
•A agricultura passou então a exigir o conhecimento
–do tempo,
–das estações do ano e
–das fases da Lua e
–assim começaram a surgir as primeiras formas de
calendário.
Calendário Lunar
April 1, 2010
© Celeste Duque
7
l
Sistemas numéricos
Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava
os números como conjuntos de incisões em
placas de argila: triângulos cursivos
representando as dezenas e traços em forma
de Y para as unidades
Diversas civilizações da Antiguidade
desenvolveram os seus próprios sistemas
de numeração.
–São inúmeros os vestígios deixados ao
longo dos tempos, por exemplo os sistemas
de numeração dos Egípcios, Gregos,
Romanos, Chineses...
–Alguns destes sistemas perderam
completamente a sua utilidade, outros, como
é o caso da numeração romana continuam a
ser utilizados, embora com menor
frequência.
© Celeste Duque
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l
Sistemas numéricos
Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava
os números como conjuntos de incisões em
placas de argila: triângulos cursivos
representando as dezenas e traços em forma
de Y para as unidades
Diversas civilizações da Antiguidade
desenvolveram os seus próprios sistemas
de numeração.
–São inúmeros os vestígios deixados ao
longo dos tempos, por exemplo os sistemas
de numeração dos Egípcios, Gregos,
Romanos, Chineses...
–Alguns destes sistemas perderam
completamente a sua utilidade, outros, como
é o caso da numeração romana continuam a
ser utilizados, embora com menor
frequência.
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus
próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos
povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados
em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...).
Tablete mesopotâmico.
Foto: The British Museum.
Moeda Chinesa, época Medieval
Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O
Grande”, 323-305 a.C - Egipto
Moeda Romana com 1700 anos
Calendário Maia
© Celeste Duque
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Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus
próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos
povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados
em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...).
Tablete mesopotâmico.
Foto: The British Museum.
Moeda Chinesa, época Medieval
Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O
Grande”, 323-305 a.C - Egipto
Moeda Romana com 1700 anos
Calendário Maia
April 1, 2010
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Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
–Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a
base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos
compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na
Mesopotâmia, há mais de 4000 anos.
Para saber mais: http://www.biotrust-eco-
energy.com/473.html
© Celeste Duque
9
Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
–Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a
base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos
compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na
Mesopotâmia, há mais de 4000 anos.
Para saber mais: http://www.biotrust-eco-
energy.com/473.html
April 1, 2010
© Celeste Duque
10
Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
–Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a
numeração Romana - podem ser observados nos mostradores
de relógios, na indicação de datas, na numeração de
capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas
cujo nome é igual (reis, papas...).
Papa Benedicto XV
Papa Benedicto XVI
Relógio de fachada. Pormeno: IIII em
vez do convencional IV.
Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem
a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o
4 convencional: iv.
© Celeste Duque
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
–Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a
numeração Romana - podem ser observados nos mostradores
de relógios, na indicação de datas, na numeração de
capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas
cujo nome é igual (reis, papas...).
Papa Benedicto XV
Papa Benedicto XVI
Relógio de fachada. Pormeno: IIII em
vez do convencional IV.
Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem
a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o
4 convencional: iv.
April 1, 2010
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
© Celeste Duque
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico
Babilónico
O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).
Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a
utilizar símbolos numéricos.
–O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal.
–Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em
forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram
cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não
fossem de extrema importância.
•A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía
mais de 2000 sinais.
Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia
© Celeste Duque
12
Sistema numérico
Babilónico
O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).
Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a
utilizar símbolos numéricos.
–O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal.
–Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em
forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram
cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não
fossem de extrema importância.
•A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía
mais de 2000 sinais.
Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia
April 1, 2010
© Celeste Duque
13
Sistema numérico Babilónico
Os babilónios usavam seu
conhecimento de aritmética e
álgebra simples para expressar
–comprimentos e pesos,
–trocar moedas e mercadorias,
–calcular juros simples e
compostos,
–impostos, e a
–proporção de uma colheita que
deveria ir para o fazendeiro,
para a igreja e para o Estado.
© Celeste Duque
13
Sistema numérico Babilónico
Os babilónios usavam seu
conhecimento de aritmética e
álgebra simples para expressar
–comprimentos e pesos,
–trocar moedas e mercadorias,
–calcular juros simples e
compostos,
–impostos, e a
–proporção de uma colheita que
deveria ir para o fazendeiro,
para a igreja e para o Estado.
April 1, 2010
© Celeste Duque
14
Sistema numérico Babilónico
Também usavam a matemática na
–divisão de campos e de
–heranças, e em
•projectos de canais,
•represas e
•sistemas de irrigação;
–Pensa-se que os problemas
económicos que enfrentaram foram o
estímulo para desenvolvimento da
matemática. (Kine, 1990)
Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
Também usavam a matemática na
–divisão de campos e de
–heranças, e em
•projectos de canais,
•represas e
•sistemas de irrigação;
–Pensa-se que os problemas
económicos que enfrentaram foram o
estímulo para desenvolvimento da
matemática. (Kine, 1990)
Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia
April 1, 2010
© Celeste Duque
15
Sistema numérico Babilónico
A grande utilidade desta escrita foi ao
nível da:
–contabilidade e administração, pois
•facilitava o registo de bens,
•marcas de propriedade,
•cálculos e transacções comerciais.
–Os símbolos numéricos utilizados eram
os que se podem observar na figura:
© Celeste Duque
15
Sistema numérico Babilónico
A grande utilidade desta escrita foi ao
nível da:
–contabilidade e administração, pois
•facilitava o registo de bens,
•marcas de propriedade,
•cálculos e transacções comerciais.
–Os símbolos numéricos utilizados eram
os que se podem observar na figura:
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
Tinham um símbolo diferente para a
–Unidade;
–Dezena;
–Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por
exemplo:
•O número 60 escrevia-se exactamente como o 1,
•o que para nós é muito confuso.
–Por exemplo, 61 escreve-se como 2.
Detalhe, portal Ishtar
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
Tinham um símbolo diferente para a
–Unidade;
–Dezena;
–Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por
exemplo:
•O número 60 escrevia-se exactamente como o 1,
•o que para nós é muito confuso.
–Por exemplo, 61 escreve-se como 2.
Detalhe, portal Ishtar
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
–Pensa-se que os Babilónios sabiam
distinguir o número a que se referiam
de acordo com o contexto do
problema.
•Escritos Babilónicos provam que esta
civilização já possuía conhecimentos
matemáticos avançados.
•Neles aparecem uma série de
notações que se inserem num sistema
de numeração sexagesimal.
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
–Pensa-se que os Babilónios sabiam
distinguir o número a que se referiam
de acordo com o contexto do
problema.
•Escritos Babilónicos provam que esta
civilização já possuía conhecimentos
matemáticos avançados.
•Neles aparecem uma série de
notações que se inserem num sistema
de numeração sexagesimal.
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico
–O uso do número 60 como base
para contar e dos seus divisores
•como a dúzia: 12 = 60/5
–era utilizado pelos babilónios há
milhares de anos nos seus cálculos
quotidianos e também pelos
sacerdotes nos seus cálculos
astronómicos e de quem dependia a
contagem do tempo.
–Mais um exemplo:
© Celeste Duque
18
Sistema numérico Babilónico
–O uso do número 60 como base
para contar e dos seus divisores
•como a dúzia: 12 = 60/5
–era utilizado pelos babilónios há
milhares de anos nos seus cálculos
quotidianos e também pelos
sacerdotes nos seus cálculos
astronómicos e de quem dependia a
contagem do tempo.
–Mais um exemplo:
April 1, 2010
© Celeste Duque
19
Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59)
© Celeste Duque
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Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59)
April 1, 2010
© Celeste Duque
20
Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000)
© Celeste Duque
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Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000)
April 1, 2010
© Celeste Duque
21
Sistema numérico Babilónico: Exemplos
Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema
sexagesimal.
1x60! + 45x60" + 29x60 + 36
= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
= 216000 + 162000 + 1740 + 36
A notação decimal é: 379776
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema
sexagesimal.
1x60! + 45x60" + 29x60 + 36
= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
= 216000 + 162000 + 1740 + 36
A notação decimal é: 379776
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Exemplo:
1,45,29,36 em numerais Babilónicos
–Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em
sua substituição, utilizavam um espaço em branco para
marcar a não existência de um dígito num determinado
lugar do montante.
•Exemplo:
–4,0,8 em numerais da Babilónia
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Exemplo:
1,45,29,36 em numerais Babilónicos
–Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em
sua substituição, utilizavam um espaço em branco para
marcar a não existência de um dígito num determinado
lugar do montante.
•Exemplo:
–4,0,8 em numerais da Babilónia
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Outro exemplo:
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Outro exemplo:
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Um exemplo muito simples:
© Celeste Duque
24
Sistema numérico Babilónico: Exemplos
–Um exemplo muito simples:
April 1, 2010
© Celeste Duque
25
Sistema numérico Babilónico: Regras
Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/
© Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Regras
Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/
April 1, 2010
© Celeste Duque
26
Tabela de multiplicação babilónica do 9
Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm
© Celeste Duque
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Tabela de multiplicação babilónica do 9
Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Cálculo do quadrado de números
babilónicos > 59 e do cubo de números > 32
–Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas
de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as
que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E
o Cubo de números maiores que 32.
8
2
= 1,4 [(1 x 60
1
) + (4 x 60
0
)] até chegar a
59
2
= 58,1 [(58 x 60
1
) + (1 x 60
0
)] (ver imagem).
The famous 'root (2)' tablet from the Yale
Babylonian Collection.
Para Saber mais:
http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra
nt.htm
© Celeste Duque
27
Cálculo do quadrado de números
babilónicos > 59 e do cubo de números > 32
–Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas
de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as
que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E
o Cubo de números maiores que 32.
8
2
= 1,4 [(1 x 60
1
) + (4 x 60
0
)] até chegar a
59
2
= 58,1 [(58 x 60
1
) + (1 x 60
0
)] (ver imagem).
The famous 'root (2)' tablet from the Yale
Babylonian Collection.
Para Saber mais:
http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra
nt.htm
April 1, 2010
© Celeste Duque
28
Sistema numérico Maia
Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da
América Central, algumas dezenas de cidades mortas
ilustram um dos mais misteriosos episódios da História.
–Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de
Civilização Maia.
© Celeste Duque
28
Sistema numérico Maia
Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da
América Central, algumas dezenas de cidades mortas
ilustram um dos mais misteriosos episódios da História.
–Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de
Civilização Maia.
April 1, 2010
© Celeste Duque
29
Sistema numérico Maia
Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena
e as potências de vinte.
Ex.: 365 representado numa base de 10
–Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por
meio de símbolos figurativos realidades numéricas,
•foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se
registam na história da humanidade.
Números Maia de 0 a 10
© Celeste Duque
29
Sistema numérico Maia
Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena
e as potências de vinte.
Ex.: 365 representado numa base de 10
–Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por
meio de símbolos figurativos realidades numéricas,
•foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se
registam na história da humanidade.
Números Maia de 0 a 10
April 1, 2010
© Celeste Duque
30
Sistema numérico Maia
Criaram um sistema
baseado na posição dos
símbolos, que incluía a
utilização do zero 0
–para indicar que não
existem unidades deste
valor,
•um símbolo ovalado que
aparece em numerosos
vestígios ou códices maias
–bastante semelhante ao
símbolo zero, da notação
científica: !.
© Celeste Duque
30
Sistema numérico Maia
Criaram um sistema
baseado na posição dos
símbolos, que incluía a
utilização do zero 0
–para indicar que não
existem unidades deste
valor,
•um símbolo ovalado que
aparece em numerosos
vestígios ou códices maias
–bastante semelhante ao
símbolo zero, da notação
científica: !.
April 1, 2010
© Celeste Duque
31
Sistema numérico Maia
A razão, desta contagem, é
devida ao hábito que os seus
ancestrais tinham de contar não
apenas com
– os dez dedos das mãos, e
com
– os dez dedos dos pés.
•A escrita é orientada na
horizontal até ao número 19.
© Celeste Duque
31
Sistema numérico Maia
A razão, desta contagem, é
devida ao hábito que os seus
ancestrais tinham de contar não
apenas com
– os dez dedos das mãos, e
com
– os dez dedos dos pés.
•A escrita é orientada na
horizontal até ao número 19.
April 1, 2010
© Celeste Duque
32
Sistema numérico Maia
–A partir do 20 os números eram representados considerando
a posição do algarismo, parecido com o sistema de
numeração que utilizamos,
•com uma diferença importante,
–eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se:
(Imenes, 2002)
© Celeste Duque
32
Sistema numérico Maia
–A partir do 20 os números eram representados considerando
a posição do algarismo, parecido com o sistema de
numeração que utilizamos,
•com uma diferença importante,
–eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se:
(Imenes, 2002)
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exemplos
–Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar
da mesma forma, ficamos com:
•Outro exemplo:
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exemplos
–Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar
da mesma forma, ficamos com:
•Outro exemplo:
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exercício
–E os números seguintes consegue dizer quais são?
•Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é!
–Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é
representado com dois pontos lado a lado.
•Quais são então estes números?
(Imenes, 2002)
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exercício
–E os números seguintes consegue dizer quais são?
•Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é!
–Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é
representado com dois pontos lado a lado.
•Quais são então estes números?
(Imenes, 2002)
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exemplos
–Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30:
(Imenes, 2002)
(1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20)
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exemplos
–Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30:
(Imenes, 2002)
(1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20)
April 1, 2010
© Celeste Duque
36
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,
para facilitar cálculos nesta área,
–fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu
sistema numérico, i.,e. do
•número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de
vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18
por 20 (18x20)
–que é igual a 360,
–Ao invés de 20 x 20.
© Celeste Duque
36
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,
para facilitar cálculos nesta área,
–fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu
sistema numérico, i.,e. do
•número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de
vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18
por 20 (18x20)
–que é igual a 360,
–Ao invés de 20 x 20.
April 1, 2010
© Celeste Duque
37
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Isto porque:
–O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então,
não consideravam as posições 20
0
, 20
1
, 20
2
,... mas sim
•20
0
, 20
1
, e a partir daí salta para:
•20
1
#18 (=360), 20
2
#18 (=7 200), 20
3
#18 (=144 000)
•Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios"
punham o sinal ovalado:
© Celeste Duque
37
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Isto porque:
–O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então,
não consideravam as posições 20
0
, 20
1
, 20
2
,... mas sim
•20
0
, 20
1
, e a partir daí salta para:
•20
1
#18 (=360), 20
2
#18 (=7 200), 20
3
#18 (=144 000)
•Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios"
punham o sinal ovalado:
April 1, 2010
© Celeste Duque
38
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o
número
482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 10
0
= 482.
•Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma
potência de 20.
© Celeste Duque
38
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o
número
482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 10
0
= 482.
•Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma
potência de 20.
April 1, 2010
© Celeste Duque
39
Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360
1 x 360 = 360
2 x 360 = 180
3 x 120 = 360
4 x 90 = 360
5 x 72 = 360
6 x 60 = 360
8 x 45 = 360
9 x 40 = 360
10 x 36 = 360
12 x 30 = 360
15 x 24 = 360
18 x 20 = 360
© DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html )
© Celeste Duque
39
Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360
1 x 360 = 360
2 x 360 = 180
3 x 120 = 360
4 x 90 = 360
5 x 72 = 360
6 x 60 = 360
8 x 45 = 360
9 x 40 = 360
10 x 36 = 360
12 x 30 = 360
15 x 24 = 360
18 x 20 = 360
© DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html )
April 1, 2010
© Celeste Duque
40
Sistema numérico Maia: Exercício
Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos
partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um
palpite: como você acha que os maias escreviam 467?
–Não sabe?
© Celeste Duque
40
Sistema numérico Maia: Exercício
Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos
partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um
palpite: como você acha que os maias escreviam 467?
–Não sabe?
April 1, 2010
© Celeste Duque
41
Sistema numérico Maia: Exercício
Então vamos juntos:
–Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias
escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20
por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por
exemplo,
•Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava
–1x20x20, ou seja, 400.
•Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos,
–o que significava 3x20, ou seja, 60.
•E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e
dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a
seguir:
© Celeste Duque
41
Sistema numérico Maia: Exercício
Então vamos juntos:
–Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias
escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20
por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por
exemplo,
•Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava
–1x20x20, ou seja, 400.
•Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos,
–o que significava 3x20, ou seja, 60.
•E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e
dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a
seguir:
April 1, 2010
© Celeste Duque
42
Sistema numérico Maia: Exercício
E este número, qual é?
•2012
© Celeste Duque
42
Sistema numérico Maia: Exercício
E este número, qual é?
•2012
April 1, 2010
© Celeste Duque
43
Sistema numérico Maia: Regra geral
Sabendo que os números se representam da seguinte
forma:
E que a regra é:
Torna-se fácil representar o número abaixo:
© Celeste Duque
43
Sistema numérico Maia: Regra geral
Sabendo que os números se representam da seguinte
forma:
E que a regra é:
Torna-se fácil representar o número abaixo:
April 1, 2010
© Celeste Duque
44
Calendário Maia
Calendário Maia
Para saber mais:
http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/
09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html
A mudança de contagem a partir
da 3ª casa surgiu, provavelmente,
porque os sacerdotes –
astrónomos – quiseram que esta
tivesse um número aproximado
ao número de dias do Ano Maia.
–O uso da potência de base 20
corresponde ao factor
multiplicativo de cada casa.
© Celeste Duque
44
Calendário Maia
Calendário Maia
Para saber mais:
http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/
09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html
A mudança de contagem a partir
da 3ª casa surgiu, provavelmente,
porque os sacerdotes –
astrónomos – quiseram que esta
tivesse um número aproximado
ao número de dias do Ano Maia.
–O uso da potência de base 20
corresponde ao factor
multiplicativo de cada casa.
April 1, 2010
© Celeste Duque
45
Espiral da Numeração Maia
© Celeste Duque
45
Espiral da Numeração Maia
April 1, 2010
© Celeste Duque
46
Sistema numérico Maia
No desenho ao lado:
–A segunda coluna da esquerda, de cima
para baixo, contém os números 9,9,16,0,0,
que indicam
•9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 =
1.366.560.
•Na terceira coluna estão os números
9,9,9,16,0 representando 1.364.360.
Imagem original de cor preta e vermelha
(Morley, 1915, p. 266)
© Celeste Duque
46
Sistema numérico Maia
No desenho ao lado:
–A segunda coluna da esquerda, de cima
para baixo, contém os números 9,9,16,0,0,
que indicam
•9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 =
1.366.560.
•Na terceira coluna estão os números
9,9,9,16,0 representando 1.364.360.
Imagem original de cor preta e vermelha
(Morley, 1915, p. 266)
April 1, 2010
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47
Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200)
© Celeste Duque
47
Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200)
April 1, 2010
© Celeste Duque
48
Sistema numérico Maia: Exemplos
© Celeste Duque
48
Sistema numérico Maia: Exemplos
April 1, 2010
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49
Sistema numérico Maia: Exemplos
© Celeste Duque
49
Sistema numérico Maia: Exemplos
April 1, 2010
© Celeste Duque
50
Sistema numérico Maia: Exemplos
Número representado numa base de 20
5125 = 12x20
2
+ 16x20
1
+ 5x10
0
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia
© Celeste Duque
50
Sistema numérico Maia: Exemplos
Número representado numa base de 20
5125 = 12x20
2
+ 16x20
1
+ 5x10
0
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia
April 1, 2010
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51
Sistema numérico Chinês: Primitivo
“Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun,
no distrito da província de An-Yang.
Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham
inscrições em caracteres chineses antigos.
A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também
conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C..
Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de
tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas.
Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no
lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que
surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados,
às questões colocadas.”
(Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html)
© Celeste Duque
51
Sistema numérico Chinês: Primitivo
“Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun,
no distrito da província de An-Yang.
Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham
inscrições em caracteres chineses antigos.
A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também
conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C..
Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de
tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas.
Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no
lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que
surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados,
às questões colocadas.”
(Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html)
April 1, 2010
© Celeste Duque
52
Sistema numérico Chinês: Primitivo
A importância desta descoberta, foi
permitir um maior conhecimento sobre
o sistema numérico da antiga China.
–Muitas das inscrições eram numéricas
e registavam o número de homens
que perderam a vida na guerra, que
foram feitos prisioneiros, o número de
sacrifícios feitos, o número de animais
mortos numa caçada, etc. O sistema
numérico utilizado baseava-se no
sistema decimal e permitia a adição e
a multiplicação. Nesta imagem podem
ver-se os símbolos utilizados naquela
época.
© Celeste Duque
52
Sistema numérico Chinês: Primitivo
A importância desta descoberta, foi
permitir um maior conhecimento sobre
o sistema numérico da antiga China.
–Muitas das inscrições eram numéricas
e registavam o número de homens
que perderam a vida na guerra, que
foram feitos prisioneiros, o número de
sacrifícios feitos, o número de animais
mortos numa caçada, etc. O sistema
numérico utilizado baseava-se no
sistema decimal e permitia a adição e
a multiplicação. Nesta imagem podem
ver-se os símbolos utilizados naquela
época.
April 1, 2010
© Celeste Duque
53
Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos
O número 4359 é a representação
gráfica da natureza aditiva, senão veja-
se, utiliza o
–símbolo que equivale a 4000;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 300;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 50;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 9;
Mas por não contemplar o zero veja
como se representa o número 5080.
4000 + 300 + 50 + 9
5000 + 80 + 10
© Celeste Duque
53
Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos
O número 4359 é a representação
gráfica da natureza aditiva, senão veja-
se, utiliza o
–símbolo que equivale a 4000;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 300;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 50;
•Adiciona-lhe
–Símbolo que equivale a 9;
Mas por não contemplar o zero veja
como se representa o número 5080.
4000 + 300 + 50 + 9
5000 + 80 + 10
April 1, 2010
© Celeste Duque
54
Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de
numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais
profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos
sacerdotes da época.
–Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de
escrita que visa colmatar algumas falhas em termos
numéricos,
•mas também esta não contemplava o zero.
© Celeste Duque
54
Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de
numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais
profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos
sacerdotes da época.
–Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de
escrita que visa colmatar algumas falhas em termos
numéricos,
•mas também esta não contemplava o zero.
April 1, 2010
© Celeste Duque
55
Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em
folhas de bambu com tinta preta.
–Como se pode observar na imagem abaixo, a
•unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na
horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12
ou mesmo 111.
Numeração chinesa, séc. IV a.C.
Representação do número 1234
Representação do número 45698 Representação do número 60390
Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html
© Celeste Duque
55
Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em
folhas de bambu com tinta preta.
–Como se pode observar na imagem abaixo, a
•unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na
horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12
ou mesmo 111.
Numeração chinesa, séc. IV a.C.
Representação do número 1234
Representação do número 45698 Representação do número 60390
Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html
April 1, 2010
© Celeste Duque
56
Sistema numérico Japonês/Chinês
Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se
o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos
japoneses.
–No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado
considerá-las um fenómeno isolado.
© Celeste Duque
56
Sistema numérico Japonês/Chinês
Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se
o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos
japoneses.
–No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado
considerá-las um fenómeno isolado.
April 1, 2010
© Celeste Duque
57
Sistema numérico Japonês/Chinês
Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han
(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e
culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a
Europa.
–A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência
sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca
na ciência de outras sociedades.
•Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números
negativos, que podem ter vindo da China para a Índia.
© Celeste Duque
57
Sistema numérico Japonês/Chinês
Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han
(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e
culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a
Europa.
–A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência
sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca
na ciência de outras sociedades.
•Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números
negativos, que podem ter vindo da China para a Índia.
April 1, 2010
© Celeste Duque
58
Sistema numérico Japonês/Chinês
Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais
fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às
quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000).
–Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente
empregue é o seguinte:
© Celeste Duque
58
Sistema numérico Japonês/Chinês
Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais
fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às
quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000).
–Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente
empregue é o seguinte:
April 1, 2010
© Celeste Duque
59
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
Por exemplo: Mais exemplos:
1000
3x 100
4x 10
7
Isto é, 1347.
© Celeste Duque
59
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
Por exemplo: Mais exemplos:
1000
3x 100
4x 10
7
Isto é, 1347.
April 1, 2010
© Celeste Duque
60
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
© Celeste Duque
60
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
April 1, 2010
© Celeste Duque
61
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
© Celeste Duque
61
Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
April 1, 2010
© Celeste Duque
62
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
© Celeste Duque
62
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
April 1, 2010
© Celeste Duque
63
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
© Celeste Duque
63
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
April 1, 2010
© Celeste Duque
64
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
© Celeste Duque
64
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
April 1, 2010
© Celeste Duque
65
Sistema numérico Egípcio
Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de
numeração escrita.
–Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer
influência estrangeira.
–"Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos
tirados da fauna e da flora do Nilo”;
–Tratava-se de um sistema numérico décimal.
© Celeste Duque
65
Sistema numérico Egípcio
Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de
numeração escrita.
–Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer
influência estrangeira.
–"Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos
tirados da fauna e da flora do Nilo”;
–Tratava-se de um sistema numérico décimal.
April 1, 2010
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66
Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos
© Celeste Duque
66
Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos
April 1, 2010
© Celeste Duque
67
Sistema numérico Egípcio
© Celeste Duque
67
Sistema numérico Egípcio
April 1, 2010
© Celeste Duque
68
Sistema numérico Egípcio
–A origem do algarismo 1 foi
"natural": a barra é o sinal
gráfico mais elementar que o
ser humano possa imaginar
para a representação da
unidade.
–A dezena constituiu o
desenho de um cordão que,
outrora, deve ter servido para
unir os bastonetes num
pacote de dez unidades.
© Celeste Duque
68
Sistema numérico Egípcio
–A origem do algarismo 1 foi
"natural": a barra é o sinal
gráfico mais elementar que o
ser humano possa imaginar
para a representação da
unidade.
–A dezena constituiu o
desenho de um cordão que,
outrora, deve ter servido para
unir os bastonetes num
pacote de dez unidades.
April 1, 2010
© Celeste Duque
69
Sistema numérico Egípcio
A numeração escrita egípcia foi fundada numa
base rigorosamente decimal.
© Celeste Duque
69
Sistema numérico Egípcio
A numeração escrita egípcia foi fundada numa
base rigorosamente decimal.
April 1, 2010
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70
Sistema numérico Egípcio
•Outra designação para cada um dos símbolos
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70
Sistema numérico Egípcio
•Outra designação para cada um dos símbolos
April 1, 2010
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71
Sistema numérico Egípcio
Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de
numerais, sem usar hieróglifos, que
–registavam da direita para a esquerda.
© Celeste Duque
71
Sistema numérico Egípcio
Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de
numerais, sem usar hieróglifos, que
–registavam da direita para a esquerda.
April 1, 2010
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72
Sistema numérico Egípcio: Potências
© Celeste Duque
72
Sistema numérico Egípcio: Potências
April 1, 2010
© Celeste Duque
73
Sistema numérico Egípcio: Exemplos
© Celeste Duque
73
Sistema numérico Egípcio: Exemplos
April 1, 2010
© Celeste Duque
74
Técnica de cálculo dos Egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os
egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que
envolviam números inteiros.
–Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito
especial: todas as operações matemáticas eram
efectuadas através de uma adição.
•Por exemplo, a multiplicação
–13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
© Celeste Duque
74
Técnica de cálculo dos Egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os
egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que
envolviam números inteiros.
–Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito
especial: todas as operações matemáticas eram
efectuadas através de uma adição.
•Por exemplo, a multiplicação
–13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
April 1, 2010
© Celeste Duque
75
Técnica de cálculo dos Egípcios
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a
multiplicação:
–Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas;
•era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
–1 + 4 + 8 = 13
•O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta
três colunas:
–9 + 36 + 72 = 117
–Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos
cálculos com números inteiros.
•Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
–E para isso os números inteiros não serviam.
© Celeste Duque
75
Técnica de cálculo dos Egípcios
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a
multiplicação:
–Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas;
•era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
–1 + 4 + 8 = 13
•O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta
três colunas:
–9 + 36 + 72 = 117
–Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos
cálculos com números inteiros.
•Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
–E para isso os números inteiros não serviam.
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio: Fracções
© Celeste Duque
76
Sistema numérico Egípcio: Fracções
April 1, 2010
© Celeste Duque
77
Sistema numérico Hindu
O desenvolvimento do sistema numérico actual começou
no vale Hindu.
–Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares.
–Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em
letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas.
•Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo.
–No início era apenas um ponto que representava uma coluna
vazia num ábaco.
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77
Sistema numérico Hindu
O desenvolvimento do sistema numérico actual começou
no vale Hindu.
–Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares.
–Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em
letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas.
•Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo.
–No início era apenas um ponto que representava uma coluna
vazia num ábaco.
April 1, 2010
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78
Sistema numérico Hindu
Actualmente aceitamos naturalmente os números que
conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim.
–Um milhão, um bilião, um trilião...
•Sabemos que é possível contar para além de um milhão e
que podemos exprimir qualquer número que queiramos.
Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de
anos.
–A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0,
•inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e
800 d.C..
© Celeste Duque
78
Sistema numérico Hindu
Actualmente aceitamos naturalmente os números que
conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim.
–Um milhão, um bilião, um trilião...
•Sabemos que é possível contar para além de um milhão e
que podemos exprimir qualquer número que queiramos.
Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de
anos.
–A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0,
•inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e
800 d.C..
April 1, 2010
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79
Sistema numérico Hindu:
O Ábaco
Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o
sistema posicional de numeração.
–$%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a
sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500
anos.
–Colunas imaginárias baseadas em potências de dez
representavam as colunas do ábaco
–O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente
um valor diferente.
•O algarismo 5 pode representar cinco unidades;
•50 unidades (cinco dezenas),
•500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente.
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79
Sistema numérico Hindu:
O Ábaco
Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o
sistema posicional de numeração.
–$%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a
sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500
anos.
–Colunas imaginárias baseadas em potências de dez
representavam as colunas do ábaco
–O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente
um valor diferente.
•O algarismo 5 pode representar cinco unidades;
•50 unidades (cinco dezenas),
•500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente.
April 1, 2010
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80
Sistema numérico Hindu: O Ábaco
–O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores
babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras
se dispunham em colunas paralelas para representar os
números.
Ex.: Representando o número 6302715408
© Celeste Duque
80
Sistema numérico Hindu: O Ábaco
–O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores
babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras
se dispunham em colunas paralelas para representar os
números.
Ex.: Representando o número 6302715408
April 1, 2010
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81
Sistema numérico Hindu: O Ábaco
–O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base
em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior
e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e
quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa
ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia
1.
© Celeste Duque
81
Sistema numérico Hindu: O Ábaco
–O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base
em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior
e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e
quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa
ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia
1.
April 1, 2010
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82
Numeração Hindu - O Ábaco
A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito
deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste
exemplo está representado o número 5648.
© Celeste Duque
82
Numeração Hindu - O Ábaco
A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito
deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste
exemplo está representado o número 5648.
April 1, 2010
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83
O Ábaco: alguns exemplares
Ábaco chinês
Ábaco Chinês - Suan Pan
© Celeste Duque
83
O Ábaco: alguns exemplares
Ábaco chinês
Ábaco Chinês - Suan Pan
April 1, 2010
© Celeste Duque
84
Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Foram os Hindus (do
Norte da índia) que
começaram a usar os
•símbolos numéricos
que deram origem aos
•numerais que
utilizamos,
actualmente.
© Celeste Duque
84
Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Foram os Hindus (do
Norte da índia) que
começaram a usar os
•símbolos numéricos
que deram origem aos
•numerais que
utilizamos,
actualmente.
April 1, 2010
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85
Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C.
© Celeste Duque
85
Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C.
April 1, 2010
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86
Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos
–Cada algarismo tinha um nome:
–Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena,
cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
© Celeste Duque
86
Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos
–Cada algarismo tinha um nome:
–Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena,
cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
April 1, 2010
© Celeste Duque
87
Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas
de Cálculo
Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do
valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem
o auxílio do ábaco.
–Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus
terão usado esses sinais numéricos, que os árabes
adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.
–Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito.
Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo
para designar o zero.
•Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7,
ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao
“nada” das dezenas.
© Celeste Duque
87
Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas
de Cálculo
Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do
valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem
o auxílio do ábaco.
–Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus
terão usado esses sinais numéricos, que os árabes
adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.
–Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito.
Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo
para designar o zero.
•Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7,
ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao
“nada” das dezenas.
April 1, 2010
© Celeste Duque
88
Expansão do Sistema numérico Hindu
O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em
825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição e
subtracção segundo o método hindu” (tradução livre).
–Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas
chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde.
–Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa
gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos,
1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses
números na Europa em 1300 d.C..
© Celeste Duque
88
Expansão do Sistema numérico Hindu
O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em
825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição e
subtracção segundo o método hindu” (tradução livre).
–Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas
chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde.
–Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa
gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos,
1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses
números na Europa em 1300 d.C..
April 1, 2010
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89
Sistema numérico Grego
Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa
ocidental através da civilização árabe.
–Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos
cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego
de representação de números com letras, que puseram de lado quando
descobriram o sistema hindu de numeração.
Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia
© Celeste Duque
89
Sistema numérico Grego
Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa
ocidental através da civilização árabe.
–Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos
cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego
de representação de números com letras, que puseram de lado quando
descobriram o sistema hindu de numeração.
Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia
April 1, 2010
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90
Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos
Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito
similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano.
–Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a
cada um deles.
–Sendo a sequência a seguinte:
•a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,
50000.
© Celeste Duque
90
Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos
Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito
similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano.
–Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a
cada um deles.
–Sendo a sequência a seguinte:
•a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,
50000.
April 1, 2010
© Celeste Duque
91
Sistema numérico Grego: Exemplo
© Celeste Duque
91
Sistema numérico Grego: Exemplo
April 1, 2010
© Celeste Duque
92
Sistema numérico Grego: Tabuada
Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais:
http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm))
“This is a multiplication table dating from ca.100
AD. The ancient Greek numbering system was
based on their alphabet of 24 letters plus three
other symbols borrowed from the alphabets of
trading partners.
The numbers 1 through 10 are written across the
top and down the left column in the same pattern
we often see today. They continued using
additional letters for multiples of 10 and 100.
See if you can find these examples in the table.”
© Celeste Duque
92
Sistema numérico Grego: Tabuada
Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais:
http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm))
“This is a multiplication table dating from ca.100
AD. The ancient Greek numbering system was
based on their alphabet of 24 letters plus three
other symbols borrowed from the alphabets of
trading partners.
The numbers 1 through 10 are written across the
top and down the left column in the same pattern
we often see today. They continued using
additional letters for multiples of 10 and 100.
See if you can find these examples in the table.”
April 1, 2010
© Celeste Duque
93
Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras
Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual.
Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação
existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
© Celeste Duque
93
Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras
Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual.
Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação
existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
April 1, 2010
© Celeste Duque
94
Sistema numérico Grego: Fibonacci
O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do
sistema de numeração hindu na Europa.
–Viveu entre 1170 e 1250.
–Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio
Oriente e, provavelmente, pela Índia.
–Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos
de matemática e tornou-se famoso como matemático.
•Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu
livro demonstrando como
–"com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se
escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser
usados na aritmética.
© Celeste Duque
94
Sistema numérico Grego: Fibonacci
O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do
sistema de numeração hindu na Europa.
–Viveu entre 1170 e 1250.
–Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio
Oriente e, provavelmente, pela Índia.
–Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos
de matemática e tornou-se famoso como matemático.
•Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu
livro demonstrando como
–"com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se
escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser
usados na aritmética.
April 1, 2010
© Celeste Duque
95
Sistema numérico Grego: Fibonacci
Sequência de Fibonaci
Qual é o número?
•Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números
que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros
números de Fibonacci.
–Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
© Celeste Duque
95
Sistema numérico Grego: Fibonacci
Sequência de Fibonaci
Qual é o número?
•Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números
que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros
números de Fibonacci.
–Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
April 1, 2010
© Celeste Duque
96
Sistema numérico Romano
Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos,
atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo
porque ao conquistar territórios aprendia com os
colonizados. Apesar disso,
–ao nível da numeração e, durante toda a sua existência,
manteve um sistema de contagem que se revelou
profundamente complicado e pouco operacional, o que
denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento.
© Celeste Duque
96
Sistema numérico Romano
Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos,
atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo
porque ao conquistar territórios aprendia com os
colonizados. Apesar disso,
–ao nível da numeração e, durante toda a sua existência,
manteve um sistema de contagem que se revelou
profundamente complicado e pouco operacional, o que
denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento.
April 1, 2010
© Celeste Duque
97
Sistema numérico Romano-Romano
–Mais antigo documento Romano que exibe a representação
da escrita de número muito grande. (Sistema Romano-
Romano)
•Algarismo (((I))) representava 100.000
•Sofrendo alterações
Sistema Romano Moderno C = 100.000
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
© Celeste Duque
97
Sistema numérico Romano-Romano
–Mais antigo documento Romano que exibe a representação
da escrita de número muito grande. (Sistema Romano-
Romano)
•Algarismo (((I))) representava 100.000
•Sofrendo alterações
Sistema Romano Moderno C = 100.000
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
April 1, 2010
© Celeste Duque
98
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
Para saber mais:
http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematic
s.html#Ancient
Sistema numérico Romano: Evolução
Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de
escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até
por volta de 900 d.C., altura em que a numeração
árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada.
Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem
alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente
expandido o seu domínio territorial.
© Celeste Duque
98
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
Para saber mais:
http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematic
s.html#Ancient
Sistema numérico Romano: Evolução
Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de
escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até
por volta de 900 d.C., altura em que a numeração
árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada.
Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem
alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente
expandido o seu domínio territorial.
April 1, 2010
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99
Sistema numérico Romano: Primórdios
Apesar destes numerais serem suficientes para escrever
qualquer número sem confusões, acontecia haver números
com um elevado uso de símbolos gráficos
• A título de exemplo apresenta-se o número: 5878
MMMMMDCCCLXXVIII.
•As multiplicações e divisões eram praticamente
impossíveis
© Celeste Duque
99
Sistema numérico Romano: Primórdios
Apesar destes numerais serem suficientes para escrever
qualquer número sem confusões, acontecia haver números
com um elevado uso de símbolos gráficos
• A título de exemplo apresenta-se o número: 5878
MMMMMDCCCLXXVIII.
•As multiplicações e divisões eram praticamente
impossíveis
April 1, 2010
© Celeste Duque
100
Sistema numérico Romano
Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a
numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da
adição dos seus algarismos
•eram independentes uns dos outros. A sua justaposição
implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187
MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649
!D"#$ %&
1000500100501051
© Celeste Duque
100
Sistema numérico Romano
Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a
numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da
adição dos seus algarismos
•eram independentes uns dos outros. A sua justaposição
implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187
MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649
!D"#$ %&
1000500100501051
April 1, 2010
© Celeste Duque
101
Sistema numérico Romano: Regras
Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo
quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram:
1.Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo
de três vezes.
2.Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os
símbolo numérico respectivo. Por ex.:
3.Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor
numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.:
MCDC#XVIIIVIIVI
110060060876
CMCDXCXLIXIV
900400904094
© Celeste Duque
101
Sistema numérico Romano: Regras
Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo
quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram:
1.Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo
de três vezes.
2.Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os
símbolo numérico respectivo. Por ex.:
3.Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor
numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.:
MCDC#XVIIIVIIVI
110060060876
CMCDXCXLIXIV
900400904094
April 1, 2010
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102
Regras: Numeração Romana
•Todo símbolo numérico:
–com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e
•o símbolo numérico que apresenta
–dois traços sobre ele representa o milhão.
© Celeste Duque
102
Regras: Numeração Romana
•Todo símbolo numérico:
–com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e
•o símbolo numérico que apresenta
–dois traços sobre ele representa o milhão.
April 1, 2010
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103
Sistema numérico Romano: Símbolos
Os romanos usaram o alfabeto para representar números.
–Ainda hoje a numeração romana é usada.
!'"$"#$$$#$$#$#$#$$$
1000500100908070605040 30
$$$($)$*$+$ %$,$-./
201918171615 14131211
$()*+%,-0&
10987654321
© Celeste Duque
103
Sistema numérico Romano: Símbolos
Os romanos usaram o alfabeto para representar números.
–Ainda hoje a numeração romana é usada.
!'"$"#$$$#$$#$#$#$$$
1000500100908070605040 30
$$$($)$*$+$ %$,$-./
201918171615 14131211
$()*+%,-0&
10987654321
April 1, 2010
© Celeste Duque
104
Numeração Romana: Exemplos
•Exemplos:
!!"### = 28
!!!#! = 39
$$$!$"## = 397
%&$$$!"###'= 1818
%%!'= 2010
© Celeste Duque
104
Numeração Romana: Exemplos
•Exemplos:
!!"### = 28
!!!#! = 39
$$$!$"## = 397
%&$$$!"###'= 1818
%%!'= 2010
April 1, 2010
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105
Numeração Romana: Cálculos
Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos
dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa.
•Apesar disso “o sistema de numeração romana era o
sistema predominante na Itália até o século XVIII e em
outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o
século XVI."
© Celeste Duque
105
Numeração Romana: Cálculos
Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos
dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa.
•Apesar disso “o sistema de numeração romana era o
sistema predominante na Itália até o século XVIII e em
outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o
século XVI."
April 1, 2010
© Celeste Duque
106
Numeração Romana: Cálculos
Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para
efectuar operações aritméticas.
–São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números.
Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os
Ábacos para efectuar os seus cálculos.
•Introduzindo algumas alterações no formato inicial,
nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte,
tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de
utilizar...
© Celeste Duque
106
Numeração Romana: Cálculos
Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para
efectuar operações aritméticas.
–São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números.
Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os
Ábacos para efectuar os seus cálculos.
•Introduzindo algumas alterações no formato inicial,
nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte,
tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de
utilizar...
April 1, 2010
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107
Numeração Árabe versus Babilónica
© Celeste Duque
107
Numeração Árabe versus Babilónica
April 1, 2010
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108
Evolução sistemas de numeração
© Celeste Duque
108
Evolução sistemas de numeração
April 1, 2010
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109
Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução
–Na primeira linha da imagem, numerais de há
1000 anos.
–Na segunda, há 800 anos.
–Na terceira, há 600 anos.
–Na última, numeração actual.
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109
Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução
–Na primeira linha da imagem, numerais de há
1000 anos.
–Na segunda, há 800 anos.
–Na terceira, há 600 anos.
–Na última, numeração actual.
April 1, 2010
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110
Evolução:
Sistema de numeração Hindu/Árabe
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110
Evolução:
Sistema de numeração Hindu/Árabe
April 1, 2010
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111
Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV)
© Celeste Duque
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Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV)
April 1, 2010
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112
Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
–Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos
algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação:
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112
Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
–Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos
algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação:
April 1, 2010
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113
Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
–Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos
árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos
respectivos ângulos:
© Celeste Duque
113
Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
–Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos
árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos
respectivos ângulos:
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114
Numeração Árabe:
Representação gráfica/fonética
© Celeste Duque
114
Numeração Árabe:
Representação gráfica/fonética
April 1, 2010
© Celeste Duque
115
Numeração Árabe:
Representação Polinomial
© Celeste Duque
115
Numeração Árabe:
Representação Polinomial
April 1, 2010
© Celeste Duque
116
Referências bibliográficas
Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.
Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics.
Washington: Carnegie Institution.
Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.
Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a
matemática”. São Paulo: Scipione.
Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
Livraria Sá da Costa Editora.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1.
New York: Oxford University Press.
Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág.
146.
Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics.
Moscow: MIR Publishers.
Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia
© Celeste Duque
116
Referências bibliográficas
Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.
Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics.
Washington: Carnegie Institution.
Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.
Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a
matemática”. São Paulo: Scipione.
Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
Livraria Sá da Costa Editora.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1.
New York: Oxford University Press.
Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág.
146.
Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics.
Moscow: MIR Publishers.
Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia
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