Slides de medidas angulares - topografia

Formas de medidas angulares

1. FORMAS DE MEDIDA
ANGULAR TURMA EMA 31 E 32
UNIDADE 01
Prof. Lilian Lopes Cordeiro

2. Revisão 15/08/2025 PROF. LILIAN LOPES CORDEIRO
2
Medidas 
Angulares
Ângulos 
Horizontais
Ângulos 
Verticais
Ângulo interno e externos
Azimutes
Rumos
Deflexão
Ângulo Zenital
de inclinação da luneta
Nadiral

3. Ângulo Horizontal 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
3

4. Ângulo Vertical 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
4

5. Ângulo Zenital 0° a 180° 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
5

6. Azimute 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
6

7. Rumo 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
7

8. Rumo para Azimute 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
8

9. Declinação Magnética 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
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10. Deflexão
oDeflexão é o menor ângulo formado entre o prolongamento do alin hamento de Ré (anterior) e 
o alinhamento de Vante (posterior ou seguinte)
oVaria de 0° a 180°
oPode ser positivo, ou à direita, se o sentido de giro for horár io; negativo, ou à esquerda, se o 
sentido de giro for anti‐horário.
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11. Deflexão
oA relação entre as deflexões de uma poligonal fechada é dada po r: 
???????
?
F???????
?
L 360°
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12. Deflexão 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
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13. Transporte de Azimute A relação entre Azimute e Deflexão é dada por:
“‐” se ??????
????????
“+” se ??????
???????
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???????????? L ????????????
???
G????????????????????????????????????ã??????

14. Exercícios
1)Calcule os Azimutes dos Pontos B, C, D e E:
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15. Exercícios
2)Considere uma poligonal aberta com os pontos A → B → C → D.
O azimute AB é 45°00'
As deflexões são as seguintes:
Calcule os azimutes dos trechos BC e CD.
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Sentido Deflexão Trecho
Direita (+) 30° B–C
Esquerda (–) 45° C–D

16. Ângulos Internos:
oÂngulos formados por dois alinhamentos consecutivos de um políg ono. É sempre medido no 
sentido horário e tomado internamente quando o sentido do camin hamento é anti‐horário. 
oA relação entre os ângulos horizontais internos de uma poligona l fechada é dada por: 
Onde ′??????′número de pontos ou estações da poligonal 
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???????
?
?
Lszr?H:JFt;

17. Ângulos Externos
oÂngulos formados por dois alinhamentos consecutivos de um políg ono. É sempre medido no 
sentido horário e tomado externamente quando o sentido do camin hamento é Horário. 
oA relação entre os ângulos horizontais internos de uma poligona l fechada é dada por: 
Onde ′??????′número de pontos ou estações da poligonal
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???????
?
?
L 180° H :?????? E 2;

18. Erro de fechamento angular  Para uma poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é nec essário fazer a
verificação dos ângulos medidos. Sendo a poligonal uma figura fechada, é p ossível verificar se
houve algum erro na medição dos ângulos.
Num polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a :
???????
?
?
L 180° H
??????E2
Onde′??????′número de pontos ou estações da poligonal
O erro angular (??????
?
) cometido será dado por:
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??????
?
L???????
???
F???????
?
?
??????
?
L???????
???
F 180° H
??????E2

19. Erro de fechamento angular  Num polígono qualquer, o somatório dos ângulos internos deverá ser igual a :
???????
?
?
L 180° H
??????F2
Onde′??????′número de pontos ou estações da poligonal
O erro angular (??????
?
) cometido será dado por:
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??????
?
L???????
???
F???????
?
?
??????
?
L???????
???
F 180° H
??????F2

20. Tolerâncias do erro de fechamento angular
oAntes de distribuir o erro angular é necessário verificar se o erro cometid oétolerávele
classificar a poligonal segundo a norma para levantamentos topográficos .
oSe o erro angular não for menor que a tolerância, deve‐se voltar a campo obse rvar novamente
os ângulos.
oSe o erro angular atender a tolerância, deve‐se distribuir (corrigir) o er ro de fechamento
angular;
???????????? Q ?????? E ??????
??????
Tabela contendo os valores de b para um levantamento planimétrico de acord o com a NBR 13.133
Valores de ‘a’ para esses tipos poligonais é nulo.  
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21. Distribuição (correção) do Erro Angular
oDistribuídos diretamente nos ângulos horizontais
oParte‐se do pressuposto que foram cometidos erros igualmente nos n ângulo s observados. Assim, o
erro cometido é distribuído igualmente em cada ângulo.
oSe ea é maior que zero (ea > 0), é porque o azimute final calculado foi maior qu eoconhecidoe,
portanto, há necessidade de subtrair a correção dos ângulos observados.
oA correção a ser aplicada a cada ângulo para distribuir o erro angular tem, p ortanto, sinal contrário ao
erro,eédadapor:
????????????????????????
??????
L
F??????
?
??????
Assim, o ângulo corrigido (compensado), será dado por:
??????
?
????
L??????
?
E????????????????????????
??????
Com todos os ângulos corrigidos, calcula‐se os azimutes compensados do er ro angular, conforme já
apresentado anteriormente;
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22. Exercícios
1)Calcule o erro angular e faça a correção dos ângulos.
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23. Exercício (solução) ∑??????
?
?
L 180° H
?????? E 2 L 180° H
5 E 2 L 1260°0
?
0“
∑??????
???
L 231°30
?
22
?
E256°09’37”+232°08’43”+269°44’06”+270°11’27”=1259°44’15”
??????
?
L∑??????
???
F∑??????
?
?
L 1259°44
?
15" F 1260°0
?
0“= ‐0°15’45”
Não passou pelo critério de tolerância da norma NBR13133. Assim , teríamos que voltar em 
campo para realizar um novo levantamento topográfico.
Para efeitos didáticos, faremos a correção como se o erro estiv esse dentro da tolerância.
????????????????????????
??????
L
??
?
?
LF:F15
?
45";/5 L 3′9"
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24. Exercícios 15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
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25. Exercícios
2)Determine o erro angular e o erro admissível da poligonal cujos  dados estão dispostos na 
tabela. 
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26. Exercícios
3)Determine o erro angular e o erro admissível da poligonal cujos  dados estão dispostos na 
tabela 
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27. Referências Bibliográficas
15/08/2025 PROFESSORA LILIAN LOPES CORDEIRO
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS.NBR 13133:2021—Execuçãodelevantamentotopográfico.Riode
Janeiro: ABNT, 2021.
SANTOS, Afonso de Paula. Notas de aula – Topografia básica. Viçosa: UFV, [s.d.].
RODRIGUES, Dauto Domingues.Apostila Topografia: planimetria para engenheiros agrimensores e cartó grafos.Viçosa:
UFV, 2008.
VEIGA, Luis Augusto Koenig; ZANETTI, Maria Aparecida Zehnpfennig; FAGGI ON, Pedro Luis.Fundamentos de Topografia.
Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2012.
SANTOS, Thais.Topografia. Notas de aula. Instituto Federal da Bahia – IFBA, Campus Eunápolis, 2025
ZIMMERMANN, Cláudio César; VIEIRA, Sálvio José (colab.); BOLSISTAS do PE T/ECV‐UFSC (colab.).Apostila de Topografia:
planimetria e altimetria .2. ed., Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina – Centro Te cnológico / Departamento
de Engenharia Civil, Programa de Educação Tutorial de Engenharia Civil (P ET/ECV), ago. 2017. 88 p. Disponível em:
https://www.bibliotecaagptea.org.br/agricultura/topografia/livr os/APOSTILA%20DE%20TOPOGRAFIA%20UFSC.pdf. Acesso
em: 6 ago. 2025.