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Notas de aula sobre função exponencial.

1. 1/8
Fun¸c˜ao exponencial
Referˆencias
FUNC¸˜AO EXPONENCIAL
(a consulta a estas notas de aulan˜ao dispensaa leitura da bibliografia de referˆencia)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais
Departamento de Matem´atica ( http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2025

2. 2/8
Fun¸c˜ao exponencial
Referˆencias
Fun¸c˜ao exponencial
Defini¸c˜ao (Fun¸c˜ao exponencial)
Fixado um n´umero realpositivoa, a̸= 1,afun¸c˜ao exponencialde base
a´e definida porf(x) =a
x
, x∈R.
O nome da fun¸c˜ao se deve ao fato de que a vari´avelxest´a noexpoente.
A fun¸c˜ao exponencialn˜aodeve ser confundida com a fun¸c˜ao potˆencia
g(x) =x
a
,que tem a vari´avelxnabase.
O que ´ea
x
?
Sexfor um n´umero inteiro, ent˜aox= 0,x=noux=−n,para algum
inteiro positivon.Desse modo,
a
x
=











a
0
= 1 se x= 0
a
n
=a·a· · · · ·a
|{z}
nfatores
sex=n
a
−n
= 1/a
n
= (1/a)
n
sex=−n
.

3. O que ´ea
x
? (cont.)
Sexfor um n´umero racional, i.e.,x=p/qcomp, q∈Zeq >0,ent˜ao
a
x
=a
p/q
=
q
√
a
p
=
Γ
q
√
a
∆
p
.
Todo n´umeroirracional pode ser aproximado por uma sequˆencia de
n´umeros racionais. Usando esse fato,
pode-se demonstrar que a potˆenciaa
x
est´a bem definida parax
irracional.
Propriedades da potencia¸c˜ao (exponencia¸c˜ao)
Sejamaebn´umeros reais positivos. Sejamxeyn´umeros reais quaisquer.
Ent˜ao,
P1a
x
>0.
P2a
x
a
y
=a
x+y
e
a
x
a
y
=a
x−y
.
P3 a
x
)
y
=a
xy
.
P4 ab)
x
=a
x
b
x
.
P5 a >1 ex < y,ent˜aoa
x
< a
y
.
P6 < a <1 ex < y,ent˜aoa
x
> a
y
.
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4. 4/8
Fun¸c˜ao exponencial
Referˆencias
Exemplo 1
Reescreva e simplifique as express˜oes:
(a)
4
−3
2
−8
(b)
4/3
(c)b
8
(2b)
4
(d)
x
2n
·x
3n−1
x
n+2
(e)
p
a
√
b
3
√
ab
Segue das propriedades P5 e P6 que a fun¸c˜ao exponencialf(x) =a
x
´e
crescentesea >1, e ´edecrescentese 0< a <1.
Consequentemente, a fun¸c˜ao exponencial ´einjetora, isto ´e,
f(x1) =f(x2)⇐⇒a
x1
=a
x2
⇐⇒x1=x2.

5. Gr´afico def(x) =a
x
,0< a̸= 1
Figura 1: f(x) =a
x
, a >1.Figura 2: f(x) =a
x
,0< a <1.
f(0) = 1,isto ´e, a curvay=a
x
passa pelo ponto (0,1).
O dom´ınio def´eR.
A imagem def´e (0,∞) :
f(x)̸= 0,∀x∈R,
f(x)>0,∀x∈R.
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6. Paraa >1,
f(x)→ ∞quandox→ ∞,
f(x)→0 quandox→ −∞.
Para 0< a <1,
f(x)→0 quandox→ ∞,
f(x)→ ∞quandox→ −∞.
Entre todas as basesaposs´ıveis, h´a uma que ´e mais conveniente para os
prop´ositos do C´alculo, a saber: o n´umeroirracional
e= 2,71828182845904523536028747135266249775724709369...
(n´umero de Euler ou constante de Napier).
f(x) =e
x
´e chamadafun¸c˜ao exponencial natural.
Exemplo 2
Resolva as seguintesequa¸c˜oesexponenciais :
(a)
2x−7
= 125
(b)
s
`
1
2
´
3x−2
=
`
1
2
´
−4x
·2
−x+4
(c)
2x+1
−3·2
x+2
= 32
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7. 7/8
Fun¸c˜ao exponencial
Referˆencias
Exemplo 3
Resolva as seguintesinequa¸c˜oesexponenciais :
(a) ≤
`
1
2
´
x
≤8
(b)e
x
2
−5
≥e
4x
Exemplo 4
Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao
g(x) =
r
9 (3
2x−1
)−
1
27
.

8. 8/8
Fun¸c˜ao exponencial
Referˆencias
Referˆencias
THOMAS, G.C´alculo. 12. ed. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2012. v. 1.
STEWART, J.C´alculo. 7. ed. S˜ao Paulo: Cengage Learning, 2013. v.
1.
https://www.geogebra.org/
L
ATEXhttps://www.latex-project.org/