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método de Gauss para un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

1. Curso de Formación CNICE
Alfonso Soriano Ordóñez

2. Método de Gaus
Para la resolución de un sistema lineal de 3
ecuaciones con 3 incógnitas.

3. Enunciado del Problema
Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres
metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del
metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g
de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g
de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a
partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A,
35 g de B y 50 g de C.
¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

4. Solución
A B C PESO TOTAL
1º LINGOTE 20 g 20 g 60 g 100 g
2º LINGOTE 10 g 40 g 50 g 100 g
3º LINGOTE 20 g 40 g 40 g 100 g

5. Hemos resumido en la anterior tabla los datos
que nos daban. Y vamos a llamar x a los
gramos que tenemos que coger del primer
lingote, y …, z ….

6. Queremos conseguir 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C
Por tanto:

5 0 0456
3 5 0442
1 5 022
5 04,05,06,0
3 54,04,02,0
1 52,01,02,0
=++
=++
=++
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
=++
=++
=++
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx

7. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:

®
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
--
®
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
®
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
×-××-
-
2 5 01 000
2 0 0230
1 5 0212
5 0220
2 0 0230
1 5 0212
5 0 0456
3 5 0442
1 5 0212
aa
a
a
aa
aa
a
2233
2
1
133
12
1

8. O lo que es equivalente:

2 5
5 0
3
5 02 0 0
3
22 0 0
2 5
2
5 05 01 5 0
2
21 5 0
2 5 01 0
2 0 023
1 5 022
=
=
-
=
-
=
=
--
=
--
=
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ý
ü
-=-
=+
=++
®
z
z
y
zy
x
z
zy
zyx

9. Por tanto:
Habrá que coger 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g
del tercero.