Sostituzioni notevoli per l'integrazione [santi caltabiano]

Sostituzioni notevoli per l'integrazione [santi caltabiano]

1. Santi Caltabiano
1
SOSTITUZIONI NOTEVOLI

Le seguenti sostituzioni risultano di fondamentale importanza. Infatti nella
maggior parte dei casi, applicandole una o più volte, in un integrale assegnato, lo si
riconduce ad un integrale di una funzione razionale.
1 SOSTITUZIONE NOTEVOLE
1) Integrali del tipo:

R(f(x)))(xfdx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento f. Ad esempio:

x
xx 5)ln(3)(ln3
2

dx
La sostituzione da fare è:
t=)(xf
2 SOSTITUZIONI PER LA RAZIONALIZZAZIONE D’INTEGRALI
IRRAZIONALI
La sostituzione da ricercare in un integrale irrazionale è quella che razionalizza il
radicando.
2) Integrali del tipo:

R



x,




dcx
bax


1
m




,




dcx
bax


2
m




,…,




dcx
bax


n
m







dx
con m1,…, mn numeri razionali e a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione
razionale dipendente dagli n argomenti. Ad esempio:

53
5
2


xx
xx
dx oppure 
)sen(xx dx
La sostituzione da fare è:
t
N
=
dcx
bax



2. Santi Caltabiano
2
dove N è il m.c.m. dei denominatori di m1,…, mn. Si esplicita la x in funzione di t, si
differenzia e si sostituisce.
3) Integrali del tipo:

R




x,
2
xa




dx
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad
esempio:

22
22
3125
3
xxx
xx


dx
La sostituzione da fare è:
x=asin(t) oppure x=acos(t)
4) Integrali del tipo:

R




x, ax
2





dx
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Esempio:

3125
3
22
22


xxx
xx
dx
La sostituzione da fare è:
x=acosh(t)
5) Integrali del tipo:

R




x, ax
2





dx
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad
esempio:

3125
3
22
22


xxx
xx
dx
La sostituzione da fare è:
x=asinh(t)

3. Santi Caltabiano
3
6) Integrali del tipo:

R




x, cbxax 
2





dx
con a,b,c reali con a0 e tali che se :=b
2
–4ac0 allora a>0 e dove R è una funzione
razionale dipendente dai due argomenti. Ad esempio:

172125
172
22
22


xxxx
xxx
dx
Evidentemente tale tipo d’integrale ingloba gli integrali del tipo: 3), 4), 5). Se :=0
allora ax
2
+bx+c si può scrivere come un quadrato perfetto cioè del tipo a(x–)
2
, ed in
tal caso non è necessaria alcuna sostituzione. Mettiamoci quindi nel caso 0.
Osservando che:
ax
2
+bx+c= a
















2
2
42 aa
b
x = sgn(a)|a|
















2
2
42 aa
b
x
pertanto facendo la sostituzione:
t=
a
b
x
2

si ricade in un’integrale del tipo: 3), 4), 5).
Vediamo qualche metodo alternativo.
Se a>0 (e ovviamente 0) una sostituzione efficace è:
cbxax 
2
=a(x+t)
quadrando:
ax
2
+bx+c=a(x+t)
2

si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce cbxax 
2
con
a(x+t) ed x con l’espressione di x in funzione di t.
Se >0, allora dette  e  le radici (reali e distinte) del polinomio ax
2
+bx+c,
osserviamo che:
cbxax 
2
= ))(( xxa =






x
x
ax)(

4. Santi Caltabiano
4
e si ricade quindi nell’integrale del tipo 2).
7) Integrali del tipo:

R




x, bax, dcx




dx
con a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione razionale dipendente dai tre
argomenti. Ad esempio:

x
x
722
23


dx
La sostituzione da fare è:
t= bax
quadrando:
t
2
=ax+b
si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce bax con t ed x con
l’espressione di x in funzione di t. E si ricade così in un integrale del tipo 6).
8) Integrali del tipo: (integrali di un differenziale binomio)

x
m
(ax
n
+b)
p
dx
dove m,n,p razionali. Gli integrale del tipo 3), 4), 5) risultano un caso particolare di
quest’ultima tipologia di integrali. Si presentano tre casi:
 Se p è intero, la sostituzione da fare è:
t
N
=x
dove N è il m.c.m. dei denominatori di m ed n.
 Se
n
m1
è intero, la sostituzione da fare è:
t
N
= ax
n
+b

dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si
sostituisce.
 Se
n
m1
+p è intero, la sostituzione da fare è:
t
N
=a+bx
–n

5. Santi Caltabiano
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dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si
sostituisce.
3 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E
LOGARITMICHE
1) Integrali del tipo:

R(e
x
)dx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento e
x
. Ad esempio:

x
x
e
e
2
1
2

dx
La sostituzione da fare è:
t=e
x

2) Integrali del tipo:

R(ln(x))dx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento ln(x). Ad esempio:

)ln(2
1)(ln
2
x
x
dx
La sostituzione da fare è:
t=ln(x)
4 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRIC HE
1) Integrali del tipo:

R(sin(x),cos(x),tg(x))dx
dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:

)(tg2
1)cos()(sin
2
x
xx 
dx
La sostituzione da fare è:
t= 





2
tg
x

6. Santi Caltabiano
6
Ricordando che:
sin(x)=
2
1
2
t
t

; cos(x)=
2
2
1
1
t
t


; tg(x)=
t
t
2
1
2


2) Integrali del tipo:

R(sin
2
(x),cos
2
(x),tg(x))dx
dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:

)(tg2
1)(cos)(sin
22
x
xx 
dx
La sostituzione da fare è:
t=tg(x)
Ricordando che:
sin
2
(x)=
2
2
1t
t

e cos
2
(x)=
2
1
1
t

Evidentemente quest’ultimo tipo d’integrale è inglobato dall’integrale del tipo 1).