Sucesiones y series

Tema de series y sucesiones en el campo de las matemáticas

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre-Ampliación
Charallave
Curso: Matemática II
















Docente:

Naudy Albornoz
Integrantes:
Karla Navarro
27.282.460

2. Introducción
Aunque las matemáticas suelen vincularse principalmente al cálculo y las
mediciones, esto no quiere decir que se trata de una disciplina dedicada
exclusivamente a resolver operaciones numéricas. La matemática, desde un
punto de vista más amplio, es una herramienta que nos permite entender la
forma en la que está diseñada el universo y, con dicho conocimiento, resolver
problemas, ya sea en la vida cotidiana o en un ámbito académico.
Por lo que es importante mencionar que las series y las sucesiones se
encuentran presentes en nuestra vida diaria, recordemos que las series permiten
entender la idea de querer sumar una cantidad infinita de sumandos (tantos
sumandos como números naturales); esto significa que se le asigna a cada
entero positivo n un número a una variable, a este número se le llama n-esimo
de la sucesión. A medida que n, la variable tiende a un número L, por lo que se
le llama el límite de la sucesión esto significa que entre más incremente la
sucesión se aproximara con mayor probabilidad a su límite; por ejemplo, un
automovilista cuando llega al estacionamiento el automóvil entra en una
sucesión que es el rodaje de sus llantas y se aproxima a las líneas que dividen
cada espacio.
Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más
términos de una sucesión. Un ejemplo común es el recorrido de un automovilista,
cundo recorre varios kilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando
constantemente, esto es que a medida que aumenta la velocidad el motociclista
desciende más rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión de
suma a la cual se le denomina serie obtenida de la sucesión.

3. Sucesiones
¿Qué es las sucesiones?
En análisis matemático y en álgebra, una sucesión es una aplicación cuyo
dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro
conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza, también pueden ser
figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término
(también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos
ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
Reseña histórica de las sucesiones
Las sucesiones que siguen una regla determinada han llamado siempre
la atención de los matemáticos de todas las generaciones. Pero, a pesar de esto
y de que se conocían desde tiempos lejanos, no fueron estudiadas de forma
detallada hasta la época de mayor desarrollo de las matemáticas en el
siglo XVIII. Fue en ese tiempo cuando se perfeccionó el concepto de límite de
una sucesión como el valor al cual se acercan de forma sucesiva sus términos.
Sin cuestión alguna, Leonhard Euler fue el matemático más destacado de
esa época, gracias a sus contribuciones decisivas en diversos campos de las
matemáticas, sobre todo, en el campo de las sucesiones y de las series
numéricas. También cabe destacar al matemático italiano Leonardo de Pisa,
quien, en el siglo XII, introdujo en Europa una de las sucesiones matemáticas
que mayor existencia tiene en los fenómenos naturales, los números de
Fibonacci.
En general, las sucesiones se utilizan para representar listas ordenadas
de elementos pero, sobre todo, dentro de las matemáticas discretas son
empleadas de otras diversas maneras como, por ejemplo, dentro de las ciencias
de la computación y en la teoría de juegos.

4. Tipos de sucesiones
 Sucesiones convergentes
 Sucesiones divergentes
 Sucesiones oscilantes
 Sucesiones alternadas
 Sucesiones monótonas
 Sucesiones constantes
 Sucesiones acotadas inferiormente
 Sucesiones acotadas superiormente
 Sucesiones acotadas
Propiedades de la sucesión
Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema: Sean (�
??????) y (�
??????) dos sucesiones de números reales que
convergen a x e y respectivamente y sea ??????∈ℝ. Entonces:

Igualmente, para sucesiones convergentes se tiene:

Propiedades de las sucesiones divergentes

5. Teorema: Una sucesión de números reales es divergente ↔ es no
acotada.
a) Si (�
??????) es creciente y no acotada ⇒lim
??????→∞
�
??????=∞
b) Si (�
??????) es decreciente y no acotada ⇒lim
??????→∞
�
??????=−∞
Teorema: Sean (�
??????) y (�
??????) dos sucesiones de números reales con (�
??????)≤
(�
??????) ∀�∈ℕ.
a) Si lim
??????→∞
�
??????=∞⇒lim
??????→∞
�
??????=∞
b) Si lim
??????→∞
�
??????=−∞⇒lim
??????→∞
�
??????=−∞
Aplicaciones de las sucesiones
En general, las sucesiones se utilizan para representar listas ordenadas
de elementos pero, sobre todo, dentro de las matemáticas discretas son
empleadas de otras diversas maneras como, por ejemplo, dentro de las ciencias
de la computación y en la teoría de juegos.
Ejemplos resueltos de las sucesiones
Hallar el término general de la siguiente sucesión
1) 8,3,−2,−7,−12,…
Podemos obtener la diferencia entre los términos consecutivos:
3−8=−5
−2−3=−5
−7−(−2)=−5
−12−(−7)=−5
Debido a que la diferencia es constante,
�=−5

6. Es una progresión aritmética:
�
??????=8+(�−1)(−5)=8−5�+5=−5�+13
Series
¿Que son las series?
En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma,
aplicada a los infinitos términos de una sucesión {a
n}={a
1,a
2,…}, lo que suele
escribirse con el símbolo de sumatorio:
S=∑a
n+=a
1+a
2+a
3+a
4+a
5+a
6+⋯
∞
n=1

Donde a
n es el «término general» de la sucesión, que usualmente se
expresa por medio de un regla, o se obtiene a partir de un algoritmo.
A diferencia de las sumas finitas, las series requieren de herramientas del
análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. El
estudio de las series consiste en evaluar la suma de un número finito N de
términos sucesivos, y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento
de la serie a medida que N crece indefinidamente.
S=lim
N→∞
S
N=lim
N→∞
∑a
n
N
n=1

Cuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie
es convergente. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la
convergencia de las series, sin necesidad de calcular explícitamente el valor de
la serie.
La noción de serie se puede generalizar a otros objeto matemático para
los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los vectores,
las matrices, las funciones.

7. Propiedades generales
Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en
términos de las sumas parciales asociadas.
Sumas parciales
Para cualquier sucesión {a
n} de números racionales, reales, complejos,
funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:
S=∑a
n=a
1+a
2+a
3+⋯
∞
n=1

La sucesión de sumas parciales {S
n} asociada a la sucesión {a
n} está
definida para cada número natural ?????? como la suma de los ?????? primeros términos
de la sucesión {a
n}, desde a
1 hasta a
n, ambos inclusive:
S
??????=∑a
n=a
1+a
2+⋯+a
N
∞
n=1

Convergencia
Por definición, la serie ∑a
n
∞
n=1 converge al límite S si y solo si la sucesión
de sumas parciales asociada S
?????? converge a S. Esta definición suele escribirse
como
∑a
n=S
∞
n=1
↔lim
??????→∞
S
??????=??????
En caso de que {S
N} sea convergente, y su límite sea S, se dice que S es
la suma de la serie.
Puede ser que la sucesión de sumas parciales {S
N} sea divergente, es
decir, que tienda a más o a menos infinito. En tal caso se dice que la serie es
divergente. También cabe la posibilidad de que no se den ninguna de las dos
circunstancias anteriores, por ejemplo, la sucesión:

8. {1,−1,1,−1,…}
Tiene una sucesión de sumas parciales oscilante:
{1,0,1,0,…}
Con lo cual no es convergente ni divergente.
Convergencia absoluta
Una serie S=∑a
n
∞
n=1 se dice que es absolutamente convergente, o que
su convergencia es absoluta, si es convergente la serie en la que se suman los
mismos términos pero en valor absoluto:
∑|a
n|
∞
n=1

Esta condición es más estricta que la anterior, es decir, si una serie es
absolutamente convergente entonces es convergente en el sentido ordinario. Lo
contrario no es cierto: hay series convergentes que no son absolutamente
convergentes. Tales series se dice que son condicionalmente convergentes.
Bernhard Riemann probó un teorema que establece que, dada una serie
condicionalmente convergente, se pueden reordenar sus términos de forma que
la serie resultante converja (en sentido ordinario) a cualquier valor arbitrario o
incluso que diverja.
Ejemplos de series
 Una serie geométrica es la serie de una sucesión geométrica: aquella en
la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante
??????, llamada razón de la sucesión. Por ejemplo, para una razón ??????=
1
2
:
??????=1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+⋯=∑
1
2
??????
∞
n=0

9. En general, una serie geométrica es convergente si solo si |??????|<1 y en tal
caso, la serie converge a
??????=∑??????
??????
∞
n=0
=
1
1−??????

 La serie armónica es la serie
??????=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+⋯=∑
1
&#3627408475;
∞
n=1

La serie armónica es divergente.
 Una generalización de la serie armónica son las p-series:
??????=1+
1
2
??????
+
1
3
??????
+
1
4
??????
+
1
5
??????
+⋯=∑
1
&#3627408475;
??????
∞
n=1

Para cualquier número real &#3627408477;. Una p-serie es convergente si &#3627408477;>1 y
diverge en otro caso. El caso límite &#3627408477;=1 es precisamente la serie armónica, que
diverge.
 Una serie alternada es una serie donde cada término cambia de signo
respecto del anterior:
??????=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+⋯=∑(−1)
??????+1
1
&#3627408475;
∞
n=1

 Una serie telescópica es la suma ∑&#3627408462;
??????, donde&#3627408462;
??????=&#3627408463;
??????−&#3627408463;
??????+1, es decir
??????=∑(&#3627408463;
??????−&#3627408463;
??????+1)
∞
n=0

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente,
ya que:

10. ??????
??????=(&#3627408463;
0−&#3627408463;
1)+(&#3627408463;
1−&#3627408463;
2)+⋯+(&#3627408463;
??????−1−&#3627408463;
??????)+(&#3627408463;
??????−&#3627408463;
??????+1)=&#3627408463;
0−&#3627408463;
??????+1
Por lo que
??????=lim
??????→∞
(&#3627408463;
0−&#3627408463;
??????+1)=&#3627408463;
0−lim
??????→∞
&#3627408463;
??????
 Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:
??????=∑&#3627408462;
&#3627408475;
∞
n=0
&#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;
&#3627408462;
??????+1
&#3627408462;
??????
=
&#3627408451;(&#3627408475;)
&#3627408452;(&#3627408475;)

Donde &#3627408451; y &#3627408452; son polinomios en &#3627408475;.
 Para los números reales, su representación decimal puede expresarse
como una serie. Por ejemplo, el número con expansión periódica
0.1111…
se puede expresar mediante la serie
∑
1
10
&#3627408475;
∞
n=1

Dado que estas series siempre convergen en los números reales, no hay
diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan.
Por ejemplo, 0.1111…=
1
9
;1=0,9999…
Clasificación de las series
 Si la sucesión S
n tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a
S). A “S” se le llama suma de la serie.
 Si limS
n=+∞ o−∞ se dice que la serie es divergente.
 Si S
n no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.
Nota: S
n es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión an.

11. Historia de las sucesiones y las series
Edad contemporánea (1600 d.c.)
Es difícil establecer con precisión la historia de las sucesiones y las series,
por lo que sólo se pretende hacer un esbozo de los principales aportes de los
que se encontró registro histórico.
Plantearon el problema: ¿cuánto tiempo se doblaría una cantidad de
dinero a un determinado interés compuesto?
 Entre el 500 a. C. Y el 200 a. C., los matemáticos yainas comenzaron el
estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas
desarrollando matemáticamente las sucesiones y progresiones.
 Píngala (siglos iii al i a. C.) Expone ideas básicas sobre los números de
Fibonacci, llamados mātrāmeru.
 El manuscrito “bakhshali”, escrito entre el 200 a. C. Y el 100 d. C., incluía
soluciones de progresiones aritméticas y geométricas y de series
compuestas.
 El alemán Leonard Paul Euler (1707-1783) realiza múltiples aportes a
varios campos de la matemática. Entre otros aportes se tienen:
 Creó la teoría de las series hipergeométrica
 Creó la teoría de las series q.
 Creó la teoría analítica de fracciones continuas.
 Demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la
divergencia de series armónicas.
 Utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre
cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de
números naturales.
Antigüedad tardía o temprana edad media (500-1000 d.c.)

12.  Nicolás de cusa (1401-1464) sigue una vertiente filosófica, relacionada
con las matemáticas. Sus escritos se basan en la crítica sobre la noción
de infinito.
 Michael stifel, estudio de manera formal las series y las progresiones
aritméticas y geométricas Papiro de ahmes o papiro de rhind).
 En el 450 a.c. Zenón de Elea plantea40 paradojas, de las cuales se han
conservado nueve o diez descripciones completas.
 En el 300 a.c. se comienzan a usar los números figúrales, debido a lo
pobre que resultaba ser el sistema de numeración de la época
Babilonios (2000-600 a.c.)
 Isaac newton (1642-1727), demuestra el teorema del binomio newton, que
es capaz de desarrollar cualquier potencia de sumandos como una serie
finita de términos.
 Gottfried Leibniz calcula π en forma de serie mediante la fórmula
(demostrada 300 años antes por madhava, “olvidado” en la historia).
Renacimiento (1400-1600 d.c.)
 Descubierto en 1858 por el escocés Henry rhind
 Mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho.
 Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que
se conoce.
 Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.
 En el 1100 d.c. bhaskaracharya o bhaskara ii, escribe su obra lilavati (la
hermosa). En el capítulo 5 se encuentra la resolución de problemas sobre
progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
 En el 1350 d.c. narayana pandit, escribió ganita kaumudi. El capítulo 13
de esta obra (llamado red de números) está dedicado a las sucesiones de
números y algunos problemas relacionados con las progresiones
aritméticas.

13.  Hacia el año 1350 d.c. nace el matemático madhava de sangamagramma,
cuyos resultados después serán redescubiertas por los matemáticos
europeos.
Por lo que parece que conocían de alguna manera la fórmula del interés
compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
No se encontraron mayores avances. En gran p arte, debido al
teocentrismo.
Edad media (1100 d.c.-1400 d.c.)
 Arquímedes (287 a.c– 212 a.c). Aproxima a pi mediante una sucesión de
polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia: π debía
encontrarse entre 310⁄71 (aproximadamente 3,1408) y 31⁄7
(aproximadamente 3,1429).
 Fue escrito por el escriba ahmes aproximadamente en el 1650 a.c. A partir
de escritos de 200 años de antigüedad.
 Aparece la fracción 2/47 descompuesta de la siguiente forma 2/47 = 1/30
+ 1/141 + 1/470.
 Contiene una tabla que da la descomposición de todas las fracciones de
la forma 2/(2n-1) siendo 1< n < 49.
 Joseph fourier (1768-1830) introduce la representación de una función
como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de
fourier.
 El austriaco Otto stolz (1842-1905) trabaja en análisis matemático e
infinitesimal. Consiguió estudiar la convergencia de una sucesión a partir
de otra sucesión monótona creciente y divergente.
 El indú srinivāsa aiyangār rāmānujan (1887-1920), en parte ayudado por
el inglés godfrey harold hardy (1877-1947) compiló casi 3.900 resultados
independientes (en su mayoría identidades y ecuaciones). Casi todos sus
hallazgos se han demostrado válidos, aunque algunos ya eran
previamente conocidos. Dentro de sus resultados más pertinentes a esta

14. presentación están las siguientes expresiones para el π y el número
aureo.
 En el 300 d.c. se empieza a hablar de sucesiones de números pares e
impares.
 Se asociaba lo “par” con lo ilimitado y lo “impar” con limitado.
Algunos resultados de madhava que después serán redescubiertos por
los europeos son:
 Serie infinita de la función arctang de Gregory (1668).
 Serie de potencias de newton para el seno (1700).
 Serie de maclaurin para el coseno (1700).
 Serie para π/4 de Leibniz (1700).
 Aproximación de π con 13 decimales correctos (walis, 1645).
 Leonardo de pisa (1170-1250). Más conocido como Fibonacci, estudia y
calcula la sucesión de Fibonacci que tiene múltiples aplicaciones en los
fenómenos naturales.
 Brooks Taylor (1685-1731) construye la teoría de las series que llevan su
apellido.
 Gauss (1777-1855) a los 7 años consiguió redescubrir como solucionar el
problema de la suma de los 100 primeros números en una clase en el
colegió estableciendo una relación simétrica en esta progresión
aritmética. Contribuyó al desarrollo de la teoría de series hipergeométricas
de Euler.
 Augustin louis cauchy (1789-1857) fue pionero en análisis donde se le
debe la introducción de los criterios de convergencia de series y las series
de potencias. Establece en el análisis. Caracteriza los espacios completos
mediante las sucesiones de cauchy.
 Christian Johann Heinrich heine (1797-1856), Karl Theodor Wilhelm
weierstraß (1815-1897) y Georg Ferdinand Ludwig Philip cantor (1845-
1918) realizan aportes al análisis mediante el estudio de los límites y el
infinito.

15. India (1100-100 a.c.)
En 1100 a.c. bhaskaracharya o bhaskara ii escribe lilavati (la hermosa).
En el capítulo 5 de lilavati, se encuentra la resolución de problemas sobre
progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
Por lo que parece que conocían de alguna manera la fórmula del interés
compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
El objetivo de las series numéricas
El objetivo de las series numéricas, es tener agilidad mental, es decir que
no se trata sólo de usar las matemáticas para llegar a la respuesta, pues se debe
ser rápido en responder; al empezar si puedes calcular en un papel la secuencia
para dar con la respuesta, pero ya practicando más seguido ya no es necesario
pues lo hacemos todo mentalmente.
Aplicaciones de las series
Una de las aplicaciones de las series numéricas se encuentra en los test
de cociente intelectual. En este caso, lo normal es presentar un fragmento de
una serie dada y pedir a la persona evaluada que determine cuál debería ser el
siguiente número de la serie, escogiendo uno entre varias opciones.
De particular interés en matemáticas son las series de potencias.
Ejemplo de las series
Sigue la secuencia 48, 8, 35, 7, 24, ….
En este caso la respuesta es 6.
Explicación: del 48 al 8 se divide 48/6= 8 del 35 al 7 se divide 35/5=7
siguiendo la secuencia nos damos cuenta que si cogemos los números en
posición par (8, 7,) van bajando de uno en uno es decir 8,7, entonces el que le
seguiría es el 6. Veamos si se cumple la secuencia tendrá que dividir 24/4

16. entonces, la respuesta es 6 si nos damos cuenta en las divisiones también va
bajando de uno en uno x/6 x/5 el que le sigue es x/4.

17. Conclusiones y recomendaciones
En este trabajo se llega a la conclusión de que las sucesiones y series,
son parte importante del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados
precisos que con operaciones aritméticas no se pueden llegar, hablando de
aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber cómo
determinar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, ya que
algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro de la aritmética.
En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en
el álgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto
de números en orden lógico, y así poder encontrar el resultado que buscamos,
en las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya
que con la cual también son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado
parametrito establecido con anterioridad en un orden lógico.

18. Bibliografía
https://elpais.com/elpais/2016/09/01/ciencia/1472730034_971444.html
https://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
https://fhu.unse.edu.ar/unidad_2.pdf
https://ocw.unican.es/pluginfile.php/2021/course/section/2376/Bloque2_Su
cesionesSeries.pdf
https://www.unimet.edu.ve/unimetsite/wp-
content/uploads/2017/10/Ejercicios-y-Problemas-de-Sucesiones-y-
Series.pdf
https://es.khanacademy.org/math/aritmetica-pe-pre-
u/xce51e392da300f11:sucesiones-y-series