Superficies cuádricas

1. Superficies cuádricas


Superficies cuádricas







Integrante:

Samuel Ramsbott C.I: 19.411.907

Profesor:

Rafael Zerpa



Barquisimeto, Octubre 2012




INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
MATEMÁTICA III

2. INTRODUCCIÓN

Analíticamente la ecuación Sup er= 0, nos representa un lugar geométrico en el plano uep a la
ecuación Sup er= 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:

ucecs

También se conoce que todo se representa analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma

ád au I ne I ts I g f i

De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura
geométrica, la cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única ecuación
rectangular de la forma:

:Sup ep sr= 0

Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie
esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación.

u
P
I e
P
I s
P
f o
P

3. SUPERFICIES CUÁDRICAS

La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de la ecuación de segundo grado.
au
P
I nu
P
I tu
P
I gu I e I Bs I q f i
Cuando ap ncect no son todos nulos, se dice que la gráfica de una ecuación de la forma
au
P
I nu
P
I tu
P
I gu I e I Bs I q f i es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real. Por ejemplo
El cilindro elíptico
u
P
4
+
e
P
9= 1
Como el cilíndrico parabólico
s f e
P

Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe considerando seis superficies cuádricas
adicionales y bien definidas.

ELIPSOIDE

Se dice que la gráfica de cualquier ecuación de la forma
u
P
b
P
+
e
P
2
P
+

P
0
P
= 1
b 1 ip 2 1 ip 0 1 i
Es un elipsoide. Para|e
T|R 2p la ecuación
u
P
b
P
+

P
0
P
= 1 −
e
T
P
2
P

Representa una familia de elipses(o circunferencia si a=c) paralelas al plano su que se forman
cortando la superficie mediante planose f e
T . Eligiendo, cada uno a su vez,u f u
Tcp s f s
T,
encontrarías que los cortes de la superficie son elipse (o circunferencias) paralelas a los planos
escecue, respectivamente.

4. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA


La grafica de una ecuación de la forma
u
P
b
P
+
e
P
2
P
−

P
0
P
= 1
b 1 ip 2 1 ip 0 1 i
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un plano s f u
T, paralelo al plano uep corta la
superficie en secciones transversales elípticas (o circulares, si a = 0). Las ecuaciones de estas
elipses son
u
P
b
P
+
e
P
2
P
= 1 +

T
P
0
P

b 1 ip 2 1 ip 0 1 i
La elipse más pequeña,
T= 0, corresponde a las traza en el plano ueU

5. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Como se ve en la figura, una grafica de

−
u
P
b
P
+
e
P
2
P
−

P
0
P
= 1
b 1 ip 2 1 ip 0 1 i
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para |e
T|1 2 la ecuación
u
P
b
P
+

P
0
P
=
e
T
P
2
P
− 1
Describe la curva elíptica de intersección de la superficie con el plano e f e
T

6. PARABOLOIDE

La grafica de una ecuación de la forma

u
P
b
P
+
e
P
2
P
f 0s

Se llama paraboloide. En la Figura vemos que para 0 1 ip los planoss f s
T> 0, paralelos al plano
uepc cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son

u
P
b
P
+
e
P
2
P
f 0s
T

7. CONO

Las graficas de una ecuación de la forma

u
P
b
P
+
e
P
2
P
=

P
0
P


b 1 ip 2 1 ip 0 1 i

Son llamados cono elípticos (o circular, si a=b). Para
T arbitrario, los planos paralelos al plano ue
cortan la superficie en elipses cuyas ecuaciones son

u
P
b
P
+
e
P
2
P
=

T
P
0
P

En la siguiente figura se muestra una grafica característica

8. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

La última superficie cuádrica que consideraremos se conoce como paraboloide hiperbólico y es la
gráfica de toda ecuación de la forma

e
P
b
P
−
u
P
2
P
f 0s
b 1 ip 2 1 i
Observe que para 0 1 iplos planos s f s
T, paralelos al plano uep cortan la superficie en hipérbolas
cuyas ecuaciones son
e
P
b
P
−
u
P
2
P
f 0s
T

9. En la figura, se muestra la forma característica de la silla de montar de un paraboloide hiperbólico.

10. EJEMPLOS

12. BIBLIOGRAFÍA


· Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica

· Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III

· G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica