Tabla de integrales (integrales trigonometricas)

Tabla de integrales

1. 1 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 1
Repaso de integraci¶on
1. Tabla de integrales inmediatas
Z
x
n
dx=
x
n+1
n+ 1
+C, sin6=¡1
Z
f(x)
n
¢f
0
(x)dx=
f(x)
n+1
n+ 1
+C, sin6=¡1
Z
1
x
dx= lnjxj+C
Z
1
f(x)
¢f
0
(x)dx= lnjf(x)j+C
Z
e
x
dx=e
x
+C
Z
e
f(x)
¢f
0
(x)dx=e
f(x)
+C
Z
a
x
dx=
a
x
lna
+C
Z
a
f(x)
¢f
0
(x)dx=
a
f(x)
lna
+C
Z
senx dx=¡cosx+C
Z
sen (f(x))¢f
0
(x)dx=¡cos (f(x)) +C
Z
cosx dx= senx+C
Z
cos (f(x))¢f
0
(x)dx= sen (f(x)) +C
Z
tanx dx=¡lnjcosxj+C
Z
tan (f(x))¢f
0
(x)dx=¡lnjcos (f(x))j+C
Z
ctanx dx= lnjsenxj+C
Z
ctan (f(x))¢f
0
(x)dx= lnjsen (f(x))j+C
Z
1
cos
2
x
dx= tanx+C
Z
1
cos
2
(f(x))
¢f
0
(x)dx= tan (f(x)) +C
Z
1
sen
2
x
dx=¡cotanx+C
Z
1
sen
2
(f(x))
¢f
0
(x)dx=¡cotan (f(x)) +C
Z
1
p
1¡x
2
dx= arc senx+C
Z
1
p
1¡f(x)
2
¢f
0
(x)dx= arc sen (f(x)) +C
Z
1
1 +x
2
dx= arctanx+C
Z
1
1 +f(x)
2
¢f
0
(x)dx= arctan (f(x)) +C
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

2. 2 F
¶
ORMULA DE INTEGRACI
¶
ON POR PARTES 2
2. F¶ormula de integraci¶on por partes
Z
udv=uv¡
Z
vdu
La f¶ormula de integraci¶on por partes es aplicable cuando el integrando se puede expresar como pro-
ducto de dos funciones, una de las cuales,dv, tiene integral inmediata y la otra,u, al derivarla, nos
conduce a una funci¶on,du, de modo que el nuevo integrandovdusea m¶as sencillo.
Ejemplo 1.Hallar la integral
Z
xcosx dx.
Resoluci¶on.
Z
xcosx dx=
·
u=x du =dx
dv= cosx dx v=¡senx
¸
=¡xsenx¡
Z
¡senx dx=¡xsenx¡cosx+C
Ejemplo 2.Hallar la integral
Z
x
2
e
x
dx.
Resoluci¶on.
Z
x
2
e
x
dx=
·
u=x
2
du= 2x dx
dv=e
x
dx v =e
x
¸
=x
2
e
x
¡
Z
2xe
x
dx
=
·
u= 2x du = 2dx
dv=e
x
dx v =e
x
¸
=x
2
e
x
¡
µ
2xe
x
¡
Z
2e
x
dx
¶
=
¡
x
2
¡2x+ 2
¢
e
x
+C
Ejemplo 3.Hallar la integral
Z
e
x
cosx dx.
Resoluci¶on.Denotemos porI=
Z
e
x
cosx dx.
I=
Z
e
x
cosx dx=
·
u= cosx du=¡senx dx
dv=e
x
dx v =e
x
¸
=e
x
cosx+
Z
e
x
senx dx
=
·
u= senx du= cosx dx
dv=e
x
dx v =e
x
¸
=e
x
cosx+
µ
e
x
senx¡
Z
e
x
cosx dx
¶
=e
x
(cosx+ senx)¡I+C
DespejandoI, tenemos que
I=
Z
e
x
cosx dx=
1
2
e
x
(cosx+ senx) +C
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

3. 2 F
¶
ORMULA DE INTEGRACI
¶
ON POR PARTES 3
Ejemplo 4.Hallar la integral
Z
lnx dx.
Resoluci¶on.
Z
lnx dx=
"
u= lnx du=
1
x
dx
dv=dx v =x
#
=xlnx¡
Z
x
1
x
dx=xlnx¡x+C
Consejos para elegiruydv.
(1) Se debe comenzar por elegirdv. Para ello, en la escala de prioridades, la exponencial siempre tiene
preferencia, seguida de las funciones trigonom¶etricas \seno¿\coseno".
(2) Si en el integrando aparece una exponencial (que tenga primitiva), entonces se asignadva la
exponencial.
(3) Si en el integrando aparece un \seno.
o
\coseno", entonces se le asigna tambi¶en eldv, excepto
cuando aparecen ambos (la exponencial y el \seno.
o
\coseno"), como es el caso del Ejemplo 3.
(4) En general, a los polinomios se les debe asignaru, puesto que si le asignamosdv, cuando se integra
el polinomio para calcularv, el resultado que se obtiene es un polinomio de un grado superior. No
obstante, esta regla tiene excepciones, como la del Ejemplo 4. en este ejemplo, no hay ninguna funci¶on
que sea f¶acilmente integrable, por lo que no nos queda otro remedio que asignardval polinomio 1
multiplicado pordx.
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

4. 3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES 4
3. Integrales de funciones racionales
En esta secci¶on nos planteamos calcular integrales del tipo
Z
P(x)
Q(x)
dx, dondeP(x) yQ(x) son dos
polinomios enx.
NOTA IMPORTANTE. Si el grado del polinomioP(x) es mayor que el del polinomioQ(x),
entonces siempre podemos efectuar la divisi¶on entre polinomios, de modo que el integrado lo podemos
expresar como
P(x)
Q(x)
=C(x) +
R(x)
Q(x)
siendoC(x) (cociente) yR(x) (resto) polinomios, este ¶ultimo, con grado estrictamente menor que el
grado deQ(x). As¶³, podemos descomponer la integral de partida en dos:
Z
P(x)
Q(x)
dx=
Z
C(x)dx+
Z
R(x)
Q(x)
dx
La primera de ellas es inmediata, puesto que se trata de la integral de un polinomio, mientras que la
segunda puede que sea inmediata o puede que sea una integral de tipo racional como las que veremos
a continuaci¶on.
Por tanto, desde este momento, supondremos que queremos hallar la integral
Z
P(x)
Q(x)
dx, donde
el grado del polinomioP(x) es estrictamente menor que el grado deQ(x). Para ello, debemos seguir
los siguientes pasos:
Paso 1.Factorizar el polinomioQ(x). Tenemos que hallar todas sus ra¶³ces. Entre las ra¶³ces obtenidas,
podemos encontrarnos con ra¶³ces reales y simples, ra¶³ces reales m¶ultiples (con multiplicidadr¸2) o
ra¶³ces complejas conjugadas (®§i¯). Para no complicar en exceso la exposici¶on, supondremos que
hemos obtenido una ra¶³z real simple,a0, una ra¶³z realb0con multiplicidadr¸2 y dos ra¶³ces complejas
conjugadas,®§i¯.
Paso 2.Expresamos el cociente
P(x)
Q(x)
como suma de fracciones simples, de la forma:
P(x)
Q(x)
=
A
x¡a0
+
B1
x¡b0
+
B2
(x¡b0)
2
+: : :+
Br
(x¡b0)
r
+
Mx+N
x
2
¡2x®+®
2
+¯
2
(1)
Por tanto, debemos hallar los coe¯cientesA; B1; B2; : : : ; Br; M; Nde modo que los dos miembros de
la ecuaci¶on (1) sean iguales.
Paso 3.Como la integral de la suma es igual a la suma de las integrales, basta integrar cada uno de
los sumandos del segundo miembro de la ecuaci¶on (1).
Ejemplo 1.Hallar la integral
Z
2x+ 1
x
5
+x
4
¡x¡1
dx.
Resoluci¶on.Vemos que se trata de una integral de tipo racional, puesto que el integrando es el cociente
de dos polinomios,P(x) = 2x+ 1 yQ(x) =x
5
+x
4
¡x¡1. Vemos tambi¶en que el grado del polinomio
P(x) es estrictamente menor que el deQ(x). As¶³ que seguimos los pasos anteriores.
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

5. 3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES 5
Paso 1.Factorizamos el polinomioQ(x) =x
5
+x
4
¡x¡1. Buscamos sus ra¶³ces, probando valores de
xhasta conseguir que para alguno de ellos se anule. Por ejemplo, vemos queQ(1) = 1 + 1¡1¡1 = 0,
por lo que deducimos quex= 1 es una ra¶³z deQ(x). DividimosQ(x) entre (x¡1), cosa que podemos
hacer por Ru±ni: Tenemos queQ(x) = (x¡1)(x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ 2x+ 1). Denotemos porF(x) =
1 1 0 0 -1 -1
1 1 2 2 2 1
1 2 2 2 1 0
x
4
+2x
3
+2x
2
+2x+1. De nuevo, debemos encontrar alg¶un valor dexpara el que se anule el polinomio
F(x). Vemos, por ejemplo, queF(¡1) = 1 + 2¡2¡2 + 1 = 0, con lo que tenemos que¡1 es ra¶³z de
F(x) y, por tanto, tambi¶en lo es deQ(x). Dividimos ahora por Ru±ni el polinomioF(x) entre (x+1):
Ahora nos va quedandoQ(x) = (x¡1)(x+ 1)(x
3
+x
2
+x+ 1). Denotemos porG(x) =x
3
+x
2
+x+ 1.
1 2 2 2 1
-1 -1 -1 -1 -1
1 1 1 1 0
De nuevo, debemos encontrar alg¶un valor dexpara el que se anule el polinomioG(x). Vemos, por
ejemplo, que tambi¶en se cumpleG(¡1) =¡1 + 1¡1 + 1 = 0, con lo que tenemos que¡1 es ra¶³z de
G(x) y, por tanto, tambi¶en lo es deQ(x). Dividimos ahora por Ru±ni el polinomioG(x) entre (x+1):
As¶³ que obtenemosQ(x) = (x¡1)(x+ 1)
2
(x
2
+ 1). S¶olo nos queda factorizar el polinomiox
2
+ 1. Pero
1 1 1 1
-1 -1 0 -1
1 0 1 0
vemos quex
2
+ 1 = 0()x=§i, con lo que no hay m¶as ra¶³ces reales y s¶olo obtenemos dos ra¶³ces
complejas conjugadas.
En resumen, hemos obtenido una ra¶³z real simple, 1, una ra¶³z real doble,¡1 y dos ra¶³ces complejas
conjugadas.Paso 2.Expresamos el cociente
2x+ 1
x
5
+x
4
¡x¡1
como suma de fracciones simples, de la
forma:
2x+ 1
x
5
+x
4
¡x¡1
=
A
x¡1
+
B1
x+ 1
+
B2
(x+ 1)
2
+
Mx+N
x
2
+ 1
(2)
Por tanto, debemos hallar los coe¯cientesA; B1; B2; M; Nde modo que los dos miembros de la ecuaci¶on
(2) sean iguales. Buscamos el m¶aximo com¶un denominador del segundo miembro de (2), que es (x¡
1)(x+1)
2
(x
2
+1) (obs¶ervese que el m¶aximo com¶un denominador siempre es el mismo polinomioQ(x),
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla

6. 3 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES 6
pero factorizado). As¶³ que tenemos que
2x+ 1
x
5
+x
4
¡x¡1
=
A
x¡1
+
B1
x+ 1
+
B2
(x+ 1)
2
+
Mx+N
x
2
+ 1
=
A(x+ 1)
2
(x
2
+ 1) +B1(x¡1)(x+ 1)(x
2
+ 1) +B2(x¡1)(x
2
+ 1) + (Mx+N)(x¡1)(x+ 1)
2
(x¡1)(x+ 1)
2
(x
2
+ 1)
=
(A+B1+M)x
4
+ (2A+B2+M+N)x
3
+ (2A¡B2¡M+N)x
2
(x¡1)(x+ 1)
2
(x
2
+ 1)
+
(2A+B2¡M¡N)x+ (A¡B1¡B2¡N)
(x¡1)(x+ 1)
2
(x
2
+ 1)
Obs¶ervese que el primer y el ¶ultimo miembro de la cadena de igualdades anterior son dos cocientes
iguales y que tienen el mismo denominador. Por tanto, los numeradores son iguales. Para que dos
polinomios sean iguales, los coe¯cientes de cada monomio de un cierto grado deben coincidir. Es
decir, el coe¯cientes del monomiox
4
debe ser igual en ambos polinomios, lo mismo con el dex
3
,: : :,
y as¶³ hasta el t¶ermino independiente. Esto nos permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
A+B1+M= 0
2A+B2+M+N= 0
2A¡B2¡M+N= 0
2A+B2¡M¡N= 2
A¡B1¡B2¡N= 1
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
cuya soluci¶on esA=
3
8
,B1=
¡1
8
,B2=
1
4
,M=
¡1
4
,N=
¡3
4
.
Por tanto,
Z
2x+ 1
x
5
+x
4
¡x¡1
dx=
3
8
Z
1
x¡1
dx¡
1
8
Z
1
x+ 1
dx+
1
4
Z
1
(x+ 1)
2
dx
¡
1
4
Z
x
x
2
+ 1
dx¡
3
4
Z
1
x
2
+ 1
dx
=
3
8
lnjx¡1j ¡
1
8
lnjx+ 1j ¡
1
4(x+ 1)
¡
1
8
ln(x
2
+ 1)¡
3
4
arctanx+C
=
1
8
ln
¯
¯
¯
¯
(x¡1)
3
(x+ 1)(x
2
+ 1)
¯
¯
¯
¯
¡
1
4(x+ 1)
¡
3
4
arctanx+C
0
Dpto. Matem¶atica Aplicada I, Universidad de Sevilla