Tema 4.1. Variables aleatorias: explicación sobre variables aleatorias

probabilidades

1. Estadística Econòmica I Empresarial I
Grau d’Economia
Facultat d’Economia i Empresa
Universitat de Barcelona


Professora: Elisabet Motellón
TEMA 4. Probabilidad y poblaciones
estadísticas univariantes
4.1. Probabilidad

2. 4.1.1 Concepto de probabilidad
— Rama de la matemática y auxiliar para la estadística
— Describe y cuantifica las ≠ posibilidad de que se produzca un
determinado suceso, cuya única certeza es su acontecimiento
— Facilita reglas para el estudio de los experimentos aleatorios
— Constituye para la estadística inferencial
— Objetivo: Experimentos aleatorios o de azar

3. — Estadística y, en concreto, la probabilidad se ocupa de
fenómenos reales aleatorios.

— Fenómenos reales:

— Deterministas: conocemos resultado con anterioridad
— Aleatorios (estocásticos): resultado no conocido a priori
— Repetición con similares o iguales condiciones infinitas veces
— Todos los posibles resultados conocidos a priori
— Resultado exacto imposible de predecir
— Mantienen regularidad estadística (tendencia a largo plazo)




4.1.2 Experimento aleatorio (I)
Constituyen el campo del cálculo de probabilidades

4. — Conlleva un nivel de incertidumbre respecto al resultado
del experimento…

— Precisa de indicador de las posibilidades que pueden ocurrir
(probabilidad)
— Probabilidad: medida del grado de incertidumbre asociada a
cada suceso aleatorio.
4.1.2 Experimento aleatorio
Idea: No conocemos con certeza sus resultados, al menos cuantificar
las posibilidades de q se presente cada suceso

5. — Espacio muestral o referencial (Ω):
— Conjunto de todos los posibles resultados (N)
del experimento aleatorio
— Sus elementos son conocidos antes de realizar experimento

— Resultados elementales (ω): elementos de Ω
4.1.2 Experimento aleatorio
Ω=ω1,ω2,ω3,...,ωN{ }

6. 4.1.2 Experimento aleatorio
— Espacio muestral (Ω) en f(naturaleza)

— Cualitativo
— Cuantitativo
— Finito
— Infinito



- Numerable

- No numerable
Ejemplos

7. 4.1.3 Definición y tipos de sucesos
— Suceso (S): Cualquier subconjunto del espacio muestral (Ω)
— Resultado elemental también es un suceso
— Simbolizados con letras mayúsculas

— Sucesos “especiales”
— Suceso cierto (seguro): A = {Ω}
Siempre se verifica después del experimento Suceso
— Suceso imposible: B = {∅}
Nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. Como debe ser un
subconjunto de Ω, la única opción es el conjunto vacío
— Suceso elemental: C={ω
i
} ∀i= 1, 2, …, N



Ejemplos

8. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— S colección de elementos, s, con una(s) característica(s) común(es)
— Pertenencia de s al conjunto S:
— No pertenencia de s al conjunto S:
— Si A es subconjunto de S:
— 
— C no contiene ningún elemento:


s∈S
A⊂SA=B→A⊂ByB⊂A
s∉S
C=∅
Diagrama de Venn, útil para visualizar operaciones
(no demostración)

9. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Unión: (A ∪ B) → A o B
— Intersección: (A ∩ B) → A y B
— Suceso Complementario:
— A ∪ A
c
= {Ω}
— A ∩ A
c
= {∅}
— (A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
— (A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c

— Mutuamente excluyentes: A ∩ C = {∅}

10. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Unión de sucesos






A B
(A ∪ B)
Ω

11. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Unión de sucesos


— Casos particulares:
— S∪∅=S
— S∪Ω=Ω
— ∅∪∅=∅



A B
(A ∪ B)
Resultado, otro suceso que
aparece cuando tiene lugar A o B
NiS
i
N
i
,...,3,2,1
1
=∀
=
∪
Ω

12. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Intersección de sucesos


— Casos particulares:
— S∩∅=∅
— S∩Ω=S
— ∅∩∅=∅



(A ∩ B)
Resultado, suceso que aparece
cuando tiene lugar A o B
simultáneamente
NiS
i
N
i
,...,3,2,1
1
=∀
=
∩
Ω
A B

13. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Sucesos disjuntos o incompatibles

— Caso particular:
Sucesos disjuntos dos a dos, no implica que lo sean
conjuntamente
— 






Sin elementos en común, su
intersección es el suceso vacío
NiS
i
N
i
,...,3,2,1
1
=∀∅=
=
∩Si∩Sj=∅ ∀i=1,2,3,...,N;∀j=1,2,3,...,N
Ω=
∅=∩
=
i
N
i
ji
S
SS
∪
1
Sucesos S
i
forman partición
del espacio muestral

14. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Propiedades de la unión e intersección
- Conmutativa: A∪B=B∪A
A∩B=B∩A

- Asociativa: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

- Distributiva: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

15. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Diferencia de sucesos
Dado dos sucesos, A y B, la operación diferencia (A-B) es un
suceso integrado por los elementos de A ∉ B

- No tiene propiedades conmutativa, A-B ≠ B-A





Ω
A B
Suceso que tiene lugar cuando
sucede A y NO sucede B

16. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Diferencia de sucesos
Dado dos sucesos, A y B, la operación diferencia (A-B) es un
suceso integrado por los elementos de A ∉ B

- No tiene propiedades conmutativa, A-B ≠ B-A





Ω
A B
Ω
B A ≠

17. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Diferencia de sucesos
Dado dos sucesos, A y B, la operación diferencia (A-B) es un
suceso integrado por los elementos de A ∉ B

- No tiene propiedades conmutativa, A-B ≠ B-A
- Simétrica de los sucesos A y B: (A-B)∪(B-A)





Ω
A B

18. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Diferencia de sucesos
Dado dos sucesos, A y B, la operación diferencia (A-B) es un
suceso integrado por los elementos de A ∉ B

- No tiene propiedades conmutativa, A-B ≠ B-A
- Simétrica de los sucesos A y B: (A-B)∪(B-A)
- A y B disjuntos: A-B = ∅

19. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Sucesos complementarios (Ā=Ω-A)
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







Ω
A

20. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— Sucesos complementarios (Ā=Ω-A)
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







Ω
Ā A
Se comprueba:



A)A(
AA
ΩAA
=
∅=∩
=∪

21. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— LEYES DE MORGAN
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







(A∪B)=A∩B(A∪B∪C)=A∩B∩C(A∩B)=A∪B(A∩B∩C)=A∪B∪C
Ω
B
Ω
A

22. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— LEYES DE MORGAN
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







(A∪B)=A∩B(A∪B∪C)=A∩B∩C(A∩B)=A∪B(A∩B∩C)=A∪B∪C
Ω
B
Ω
A
C

23. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— LEYES DE MORGAN
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







(A∪B)=A∩B(A∪B∪C)=A∩B∩C(A∩B)=A∪B(A∩B∩C)=A∪B∪C
B
Ω
A

24. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— LEYES DE MORGAN
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







(A∪B)=A∩B(A∪B∪C)=A∩B∩C(A∩B)=A∪B(A∩B∩C)=A∪B∪C
B
Ω
A
C

25. 4.1.4 Operaciones con sucesos
— LEYES DE MORGAN
Complementario del suceso A (A*, A
c
, Ā), suceso compuesto
por los elementos de Ω que no pertenecen a A.







(A∪B)=A∩B(A∪B∪C)=A∩B∩C(A∩B)=A∪B(A∩B∩C)=A∪B∪C
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
SS
SS
∪∩
∩∪
11
11
==
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1ª Ley de Morgan
2ª Ley de Morgan

26. 4.1.4 Operaciones con sucesos
Morgan deLey 2ª:ción generaliza BAB)(A
Morgan deLey 1ª:cióngeneralizaBAB)(A
AA
AA
A que de elementospor formado suceso :A
→∪=∩
→∩=∪
∅=∩
Ω=∪
∉Ω

27. 4.1.5 Probabilidad. Axiomas y propiedades
Objetivo: Asignar valores numéricos a diferentes posibilidades de
ocurrencia de los distintos sucesos (probabilidad)

AXIOMAS DE KOLMOGOROV (condiciones a verificar):
1) P(A) ≥ 0
2) P(Ω) = 1
3) P(AUB) = P(A) + P(B) → para A∩B=Ø





)A(...)A()A()A(A)A...AA(A
N21
1
ii
1
N321 PPPPPP
N
i
N
i
+++==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
==
∪∪∪∪∪
Generalización
1(A)0 ≥≤P

28. 4.1.5 Probabilidad. Axiomas y propiedades
Propiedades:




1)P(A)=1-P(A)2)P(∅)=03)P(A∪B)=1-P(A∩B)4)P(A∩B)=1-P(A∪B)5)Si B⊂A → entonces: P(B)≤P(A)≤P(Ω)6)Si A∩B≠∅ → entonces: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) Si A∩B = ∅→ entonces: P(A∪B)=P(A)+P(B)

29. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
En general, número de sucesos de Ω = 2
N
(N, nº elementos de Ω)

Solución:
- Asignar probabilidades a los resultados elementales (ω
i
)
- Recordar que Ω finito
- Prob(suceso compuesto) = suma de prob(ω
i
)

30. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
Ejemplo de asignación de probabilidades:
— Ω={ω
1
, ω
2
, ω
3
, …, ω
N
}
— Interés: probabilidad de A è A={ω
1
, ω
2
, ω
3
, ω
4
}
— Para determinar Prob(A):
1. Asignar a cada resultado elemental su probabilidad
P(ω
i
) ∀ω
i
i=1, 2, …, N
1. Calcular P(A) basándonos en que los resultados elementales son
sucesos disjuntos









∑
=
=
=+++=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
4
1
4321
4
1
4321
)()()()()(
)()(
i
i
i
i
PPPPP
PPAP
ωωωωω
ωωωωω ∪∪∪∪

31. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
En general, número de sucesos de Ω = 2
N
(N, nº elementos de Ω)

Solución:
- Asignar probabilidades a los resultados elementales (ω
i
)
- Recordar que Ω finito
- Prob(suceso compuesto) = suma de prob(ω
i
)









1. Teoría Clásica (Regla de Laplace)
2. Teoría Frecuencialista
3. Aproximación subjetivista

32. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
1. Teoría Clásica (Regla de Laplace)
• Se espera que todos los ω
i
tengan = probabilidad de aparecer
• 










Siendo:
N: nº resultados elementales de Ω
M: nº resultados elementales de A
N
M
NNN
PPPAP
M =+++=+++=
111
)()()()(
21 ……ωωω
M veces

33. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
1. Teoría Clásica (Regla de Laplace)
• Se espera que todos los ω
i
tengan = probabilidad de aparecer
• 
• Si P(ω
i
) es equiprobable, entonces:










N
M
NNN
PPPAP
M =+++=+++=
111
)()()()(
21 ……ωωω
M veces
posibles casos nº
favorables casos nº
)(=SP
Limitaciones: No aplicable si Ω es ∞,
Carácter circular de la definición,
Equiprobabilidad supuesto muy restrictivo, etc.

34. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
Ejemplo de Tª clásica de la probabilidad (Regla de Laplace)
1. En el lanzamiento de dos monedas
— Ω={CC, CX, XC, XX}
— P(CC)=P(CX)=P(XC)=P(XX)
— Suceso A: “obtener al menos una cara”
P(A)=P(CC, CX, XC)=P(CC)+P(CX)+P(XC)=3/4
2. En el lanzamiento de dos dados?

35. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
2. Teoría Frecuencialista (Tª de la frecuencia relativa)
• ω
i
no tienen porqué ser equiprobables
• Basada en la regularidad estadística de los fenómenos aleatorios
• 
• Propiedades:
a) 0≤f
A
≤1
b) f
A∪B
= f
A
+f
B
, si A∩B=∅
c) f
A
converge a P(A), cuando N→∞










P(A)=N→∞limnAN
Siendo, N nº de veces que se repite el experimento
n
A
nº de veces que ha dado el suceso A

36. )(...)(...)(

1
11
1
k
k
K
i
i
i
k
i
AfAf
N
n
N
n
N
n
N
n
Af
AA
++=++===
=
∑
=
=
∪

37. 4.1.6 Asignación de probabilidad de un S
TEORÍAS para la asignación de probabilidades:
3. Teoría Subjetivista (o personalista)
• Imposibilidad de múltiples repeticiones del experimento aleatorio
• Investigador, con información disponible, asigna probabilidad a
sucesos
• Procedimiento de asignación de valores al “grado de creencia
personal”
• Principio de consistencia
• Principio de racionalidad o coherencia

38. 4.1.7 Probabilidad condicionada
— 

— 
— 
— 













0>P(B) ,
)(
)(
=)(
BP
BAP
BAP
∩
0>P(A) ,
)(
)(
=)(
AP
BAP
ABP
∩
Probabilidad de suceso A
condicionada al suceso B
Probabilidad de suceso B
condicionada al suceso A
0=)(=)( :entonces ,=BA Si ABPBAP∅∩Si A y B son independientes, entonces: P(AB)=P(A) i P(BA)=P(B)
En este caso: P(A∩B)=P(A)·P(B)
Analizar
independencia
➾ Sucesos disjuntos vs. Sucesos independientes

39. Ejemplo:
A={CC, CX}
B={CX}

Queremos saber si dos sucesos son independientes (2 formas):

1) P(A)=P(CC∪CX) = P(CC)+P(CX) = 1/4+1/4 = 2/4 = 1/2
P(B)=P(CX)=1/4

P(B/A)=P(A∩B)/P(A) = (1/4) / (2/4) = 1/2
P(B/A) ≠ P(B) ➔ A y B no son independientes
2) Si A y B son dependientes, entonces: P(A∩B)=P(A)·P(B)
P(A∩B)=P(CX)=1/4
P(A)·P(B)= 2/4 · 1/4 = 2/16 = 1/8
Por tanto, P(A∩B)≠P(A)·P(B) ➔ A y B no son independientes









Ω={R0

40. —  Si A
1
, A
2,
…, A
K
son sucesos de un mismo experimento aleatorio
— Sucesos independientes:
— Sucesos disjuntos:














0>P(B)y 0>P(A) siendo
)(
)(
=)(y
)(
)(
=)(
AP
BAP
ABP
BP
BAP
BAP
∩∩P(A∩B)=P(AB)⋅P(B)=P(BA)⋅P(A)
)...(...)()()P(=
=)...(
1321213121
321
−⋅⋅⋅⋅
KK
K
AAAAAPAAAPAAPA
AAAAP
∩∩∩∩∩
∩∩∩∩
P(A1∩A2∩A3∩...∩AK)=P(A1)⋅P(A2)⋅...⋅P(AK)=P(Ai)i=1K∏P(A1∩A2∩A3∩...∩AK)=0
4.1.8 Teorema de la intersección

41. Ejemplo de teorema de intersección:

Grupo de 30 personas: 17 mujeres y 13 hombres. Se escogen 4
individuos consecutivamente al azar y se separan del resto a medida
que son elegidos.


¿Probabilidad de que el 1º mujer, 2º hombre, 3º hombre y 4º mujer?

P(M∩H∩H∩M)=

= P(M)·P(H/M)·P(H/M∩H)·P(M/M∩H∩H)

= (17/30)·(13/29)·(12/28)·(16/27)= 0,0645 ⇒ 6,45%

42. — Si B
1
, B
2,
…, B
K
⊂Ω tales que estos sucesos constituyen una
partición de Ω . Esto es que:
— A es cualquier otro suceso de Ω, pero diferente de B
A=(A∩B
1
)∪(A∩B
2
)∪…∪(A∩B
R
)















4.1.8 Teorema de la probabilidad total
K1,2,...,=i para 0)P(B
B
dos) a dos (disjuntos ji para
i
1
i
∀>−
Ω=−
≠∀∅=−
=
∪
∩
K
i
ji
BB
P(A)=P(B1)⋅P(AB1)+P(B2)⋅P(AB2)+...+P(BR)⋅P(ABR)=P(A)=P(Bi)⋅i=1
R∑ P(ABi)

43. Explicación “gráfica” del teorema de la probabilidad total



4.1.8 Teorema de la probabilidad total
B
1
B
2


B
3


… B
K


Ω
Sucesos “B
i
”, condiciones:
K1,2,...,=i para 0)P(B
B
ji para
i
1
i
∀>−
Ω=−
≠∀∅=−
=
∪
∩
K
i
ji
BB
A= (A∩B
1
)∪(A∩B
2
)∪(A∩B
3
)∪ … ∪(A∩B
K
)
A
P(A)= P(A∩B
1
)+P(A∩B
2
)+P(A∩B
3
)+ … +P(A∩B
K
)
P(A∩B
1
)=P(B
1
)·P(A∣B
1
) P(A∩B
K
)=P(B
1
)·P(A∣B
K
)

44. Explicación “gráfica” del teorema de la probabilidad total



4.1.8 Teorema de la probabilidad total
B
1
B
2


B
3


… B
K


Ω
Sucesos “B
i
”, condiciones:
K1,2,...,=i para 0)P(B
B
ji para
i
1
i
∀>−
Ω=−
≠∀∅=−
=
∪
∩
K
i
ji
BB
A= (A∩B
1
)∪(A∩B
2
)∪(A∩B
3
)∪ … ∪(A∩B
K
)
A
P(A)= P(A∩B
1
)+P(A∩B
2
)+P(A∩B
3
)+ … +P(A∩B
K
)
P(A)=P(Bi)⋅P(ABi)i=1
K∑
Teorema de la probabilidad Total
(o de la partición)

45. — Partimos de idéntico escenario que en el Teorema de la
Probabilidad Total…
— B
1
, B
2,
…, B
K
⊂Ω constituyendo una partición de Ω .
—  A es cualquier otro suceso de Ω, pero diferente de B















4.1.9 Teorema de Bayes (o de prob. revisadas)
P(BRA)=P(BR∩A)P(A)=P(BR)⋅P(ABR)P(Bi)⋅P(ABi)i=1
K∑
P(A)=P(Bi)⋅P(ABi)i=1K∑
Por Teorema de Probabilidad Total
)(
)(
)(
R
R
R
BP
BAP
BAP
∩
=
Por Probabilidad Condicionada

46. — Partimos de idéntico escenario que en el Teorema de la
Probabilidad Total…
— B
1
, B
2,
…, B
K
⊂Ω constituyendo una partición de Ω .
—  A es cualquier otro suceso de Ω, pero diferente de B















4.1.9 Teorema de Bayes (o de prob. revisadas)
B
1
B
2


B
3


… B
K


A
Probabilidad de que sabiendo que se
ha dado el suceso “A”, sea debido a B
3